Programación lineal

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Tema de Programación lineal,con esquemas teóricos y ejercicios resueltos

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Programación lineal

  1. 1. PROGRAMACIÓN LINEAL Dantzig Koopmans Kantorovich© Inmaculada Leiva Tapia I.E.S.Alborán
  2. 2. 1. INECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITAS 2
  3. 3. Ejemplo 1:Resolver la inecuación lineal 3x + 2y > 1 x y -1 2 1 -1 3
  4. 4. Ejemplo 1:Resolver la inecuación lineal 3x + 2y > 1 Tomamos el punto O(0,0) y sustituimos sus coordenadas 3.0+2.0 = 0 en la ecuación de la recta: no es >1. 3.0+2.0=0 Por tanto O(0,0) no está en el semiplano 3x + 2y > 1 4
  5. 5. Ejemplo 1:Resolver la inecuación lineal 3x + 2y > 1 O(0,0) es exterior al semiplano 3x + 2y > 1 3x + 2y > 1 5
  6. 6. Ejemplo 2:Resolver la inecuación lineal 3x+2y<1 Tomamos el punto O(0,0) y sustituimos sus coordenadas 3.0+2.0 = 0 en la ecuación de la recta: sí es < 1. 3.0+2.0=0 Por tanto O(0,0) sí está en el semiplano 3x + 2y < 1 6
  7. 7. Ejemplo 2:Resolver la inecuación lineal 3x+2y<1 Tomamos el punto O(0,0) y sustituimos sus coordenadas en la ecuación de la recta: O(0,0) es 3.0+2.0=0 interior al semiplano 3x + 2y < 1 3x + 2y < 1 7
  8. 8. INECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITAS RESUMEN Resolver la inecuación: 3x+2y > 1Sus soluciones forman unsemiplano.Para determinarlo:Se representa la recta3x+2y=1.Se toma un punto que noesté en la recta,por ej.,elorigen (0,0) y se sustituye en es2.0 < 1 (0,0) + exterior 3.0la inecuación.Si la cumple,se toma elsemiplano que contiene al(0,0);y si no,el otrosemiplano. 8
  9. 9. 2. SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITAS 9
  10. 10. SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON 2 INCÓGNITAS Ejercicio:● Cada inecuación determina Resuelve el sistema de un semiplano. inecuaciones● La solución del sistema será 3x + 2y ≥ 1 la intersección ( puntos x–y≤2 comunes) de todos los x + 4y ≤ 7 semiplanos.Es siempre una región convexa. 10
  11. 11. Ejercicio: Resuelve el sistema de ● Cada inecuación determina inecuaciones un semiplano. 3x + 2y ≥ 1 ● La solución del sistema será x–y≤2 la intersección ( puntos comunes) de todos los x + 4y ≤ 7 semiplanos.Es siempre una región convexa. x y Para representar cada recta g : 3x + 2y =1 h:x–y=2 i : x + 4y = 7 x y x y x y 1 -1 1 -1 3 1 3 -4 2 0 7 0 0 1/2 3 1 -1 2 11
  12. 12. 12
  13. 13. 3x + 2y ≥ 1 13
  14. 14. x–y≤2 14
  15. 15. x + 4y ≤ 7 15
  16. 16. 3x + 2y ≥ 1x–y≤2 x + 4y ≤ 7 16
  17. 17. 3x +2y ≥ 1x-y≤2 x + 4y ≤ 7 17
  18. 18. 18
  19. 19. A=g∩i: 3x +2y = 1 x + 4y = 7 Región de validez B=h∩i:(soluciones x–y=2 factibles) x + 4y = 7 C=h∩g: x–y=2 Los vértices 3x + 2y =1 se obtienen como intersección de pares de rectas 19
  20. 20. 3. PROGRAMACIÓN LINEAL 20
  21. 21. PROGRAMACION LINEAL Ejercicio:La programación lineal es un Resuelve el sistema demétodo para obtener la opción inecuacionesmás conveniente, u opción 3x + 2y ≥ 1óptima ,en situaciones en las x–y≤2que la función que se quiere x + 4y ≤ 7optimizar( hacer máxima o y maximiza con esasmínima) depende de unas restricciones la función objetivovariables sujetas a ciertas F(x,y) = x + 5yrestricciones. 21
  22. 22. Ejercicio: Resuelve el sistema de inecuaciones 3x + 2y ≥ 1 x–y≤2Practica con Geogebra x + 4y ≤ 7 y maximiza con esas restricciones la función objetivo F(x,y) = x + 5y 22
  23. 23. Dirección de la función objetivo 23
  24. 24. Función objetivo maximizada en el vértice A (-1,2) :F(-1,2) = -1 + 5 . 2 = 9 24
  25. 25. PROGRAMACION LINEALPartiendo de FUNCION OBJETIVO: Función que se debe optimizar (maximizar o minimizar) hay que Beneficios Costes Tiempo BUSCAR SOLUCIÓN ÓPTIMA: ........ Queremos conseguir Beneficios máximosy que está sujeta a Costes mínimos Tiempo mínimo RESTRICCIONES: ........ Condiciones que tenemos Dinero disponible Capacidad de almacenamiento Material a usar ....... 25
  26. 26. En los problemas de programación lineal con dos variables tenemos: Una función objetivo F(x,y) lineal que hay que optimizar. Puede representarse mediante una recta móvil.Varias restricciones,dadas mediante inecuaciones lineales.Cada una de ellas tiene como solución un semiplano.Todas las restricciones juntas dan lugar a una región poligonalconvexa (región de validez) que puede ser finita o infinita.Las soluciones factibles son los puntos de la región de validez,y cumplen todas las restricciones a la vez. 26
  27. 27. En los problemas de programación lineal con dos variables tenemos:La solución óptima se encuentra siempre en la periferia de la regiónde validez y puede ser: única ( vértice), infinitas ( lado ) o no existir. Para determinar los vértices de la región de validez,se resuelven los sistemas formados por los pares de rectas que determinan los lados de dicha región.Para optimizar la función objetivo,se mueve la recta que la representa,paralelamente a sí misma,hasta encontrar el punto donde alcanza elmáximo o mínimo (solución óptima). 27
  28. 28. 4. EJERCICIOS 28
  29. 29. Restricciones: EJERCICIO 1:x = bicicletas de montaña Con 80 Kg de acero y 120 kg dey = bicicletas de paseo aluminio,se quieren fabricarx≥0 bicicletas de montaña y de paseoy≥0 que se venderán a 200 y 150 €,acero: x + 2y ≤ 80 respectivamente.aluminio: 3x + 2y ≤ 120 Para la de montaña se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio,Beneficio a maximizar: mientras que para la de paseo se requieren 2 kg de cada metal.F(x,y) = 200x+150y ¿Cuántas bicicletas de cada clase se deben fabricar para obtener el máximo beneficio?¿A cuánto ascenderá este beneficio ? Practica con Geogebra 29
  30. 30. 30
  31. 31. x + 2y ≤ 80 31
  32. 32. 3x + 2y ≤ 120 32
  33. 33. 33
  34. 34. Región de validez:formada por todas las soluciones factibles 34
  35. 35. Restricciones: x=bicicletas de montaña y=bicicletas de paseo x≥0 y≥0 acero: x + 2y ≤ 80 aluminio: 3x + 2y ≤ 120 Beneficio a maximizar: F(x,y) = 200x+150yDirección de la Función objetivo 35
  36. 36. Restricciones: x=bicicletas de montaña y=bicicletas de paseo x≥0 y≥0 acero: x+2y ≤ 80 aluminio: 3x+2y ≤ 120 Beneficio a maximizar: F(x,y) = 200x+150yFunción objetivo ya maximizada en el vértice C(20,30): F(20,30) =200 . 20 + 150 . 30 = 8500 € 36
  37. 37. Restricciones: x=bicicletas de montaña y=bicicletas de paseo x≥0 y≥0 acero: x+2y ≤ 80 aluminio: 3x+2y ≤ 120 Beneficio a maximizar: F(x,y) = 200x+150y Si no se aprecia claramente cuál es el vértice que corresponde a la solución óptima, evaluamos la función objetivo en los vértices de la región de validez en que haya duda (en este caso B, C y D): en B(40,0) : 200 . 40 + 150 . 0 = 8000 € en C(20,30): 200 . 20 + 150 . 30 = 8500 € en D(0,40) : 200 . 0 + 150 . 40 = 6000 €así vemos que el máximo de beneficios es para 20 bicicletas de montaña y 30 de paseo. 37
  38. 38. EJERCICIO 2: Halla los valores de x e y que hacen máxima la función z = 8x + 5y sujeta a las siguientes restricciones: x+y≤7 3x + y ≤ 12 x≤3 x≥0 y≥0Practica con GeoGebra 38
  39. 39. 39
  40. 40. 40
  41. 41. x+y≤7 41
  42. 42. 3x + y ≤ 12 42
  43. 43. 0≤x≤3 43
  44. 44. 44
  45. 45. Región devalidez 45
  46. 46. Dirección de la funciónobjetivo 46
  47. 47. Función objetivo ya maximizada en el vértice D(2,5;4,5):F(2,5;4,5) = 8. 2,5 + 5. 4,5 = 42,5 47
  48. 48. EJERCICIO 3: Halla los valores de x e y que hacen máxima la función z = 8x + 5y sujeta a las siguientes restricciones: x+y≤7 3x + y ≤ 12 x≤3 x≥0 y≥0 x , y deben ser números naturales.Practica con GeoGebra 48
  49. 49. 49
  50. 50. Puntos factibles son sólo los de coordenadas naturales 50
  51. 51. Dirección de la funciónobjetivo 51
  52. 52. Función objetivo ya maximizada en C(2,5):F(2,5) = 8 . 2 + 5 . 5 = 41 52
  53. 53. Restricciones: EJERCICIO 4:x = nº microbusesy = nº autobuses Un club de jubilados quiere0≤x≤4 organizar un viaje para 200 socios.0≤y≤5x+y≤6 Contratan una agencia que(25x + 50y ≥ 200) → x + 2y ≥ 8 dispone de 4 microbuses de 25 plazas y 5 autobuses de 50, peroCoste a minimizar: solamente dispone de 6 conductores.F(x,y) = 7x + 16y(en decenas de euros) El alquiler de los autobuses es de 160 € por día y el de los microbuses de 70 € por día. ¿Cómo deben hacer para que el coste del viaje sea el menor posible?¿Cuál será dicho coste? Practica con GeoGebra 53
  54. 54. 54
  55. 55. x+y≤6 55
  56. 56. x + 2y ≥ 8 56
  57. 57. 0≤x≤4 57
  58. 58. 0≤y≤5 58
  59. 59. Regiónde validez 59
  60. 60. Direcciónfunciónobjetivo 60
  61. 61. Función objetivo minimizada en B(4,2):70.4 + 160.2 = 600 € 61
  62. 62. EJERCICIO 5:Restricciones: Un estudiante reparte propaganda en su tiempo libre.La empresa A le paga 0,05 €(x = nº folletos de empresa A) por impreso repartido y la empresa B, con(y = nº folletos de empresa B) folletos más grandes, le paga 0,07 € por 0 ≤ x ≤ 120 impreso. 0 ≤ y ≤ 100 x + y ≤ 150 El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos de tipo A, en la que le cabenBeneficio a maximizar: 120, y otra para los de tipo B, en la que sólo caben 100.F(x,y) = 5x +7y( en céntimos de € ) Ha calculado que cada día puede repartir 150 impresos como máximo. ¿Cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea Practica con GeoGebra máximo? 62
  63. 63. 63
  64. 64. 64
  65. 65. 65
  66. 66. 66
  67. 67. 67
  68. 68. 68
  69. 69. 69
  70. 70. 70
  71. 71. EJERCICIO 6:Restricciones: Una industria vinícola produce vino yx = nº unidades de vino vinagre.y = nº unidades de vinagrex ≥ 0,y ≥ 0 El doble de la producción de vino es2x - y ≤ 4 siempre menor o igual que la de vinagre4x + 3y ≤ 18 más cuatro unidades.Beneficio a maximizar: Además,el triple de la producción de vinagre más cuatro veces la producciónF(x,y) = 8x +2y de vino es siempre menor o igual que 18 unidades. Halla el número de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio máximo,sabiendo Practica con GeoGebra que cada unidad de vino deja beneficio de 8 €,y cada unidad de vinagre 2 €. 71
  72. 72. 72
  73. 73. 73
  74. 74. 74
  75. 75. 75
  76. 76. 76
  77. 77. 77
  78. 78. 78
  79. 79. 79
  80. 80. Restricciones: EJERCICIO 7:x = nº plazas de fumadores Un autobús Madrid-París ofrece plazasy = nº plazas de no fumadores para fumadores al precio de 100 €, y parax ≥ 0, y ≥ 0 no fumadores al precio de 60 €.x + y ≤ 902x + 5y ≤ 300 Al no fumador se le permite llevar 50 kg de peso y al fumador sólo 20 kg.Función objetivo a maximizar: Si el autobús tiene 90 plazas y admiteF(x,y) = 100x + 60y un equipaje de hasta 3000 kg,¿cuál debe ser la oferta de la compañía si se quiere obtener el máximo beneficio? Practica con GeoGebra 80
  81. 81. 81
  82. 82. 82
  83. 83. 83
  84. 84. 84
  85. 85. 85
  86. 86. 86
  87. 87. EJERCICIO 8:Restricciones: Para cubrir un determinado trayecto,(x=nº vuelos A) una compañía aérea tiene dos aviones:(y=nº vuelos B) A y B. 0 ≤ x ≤ 120 y≥0 Entre ambos deben hacer, al menos, 60 ≤ x+y ≤ 200 60 vuelos, pero no más de 200;además y≤x el avión A no puede sobrepasar los 120 vuelos, ni el B puede volar más vecesConsumo a minimizar: que el A.F(x,y) = 900x+ 700y Si en cada vuelo A consume 900 l. de combustible y B consume 700 l., ¿cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo total sea mínimo? Practica con GeoGebra 87
  88. 88. 88
  89. 89. 89
  90. 90. 90
  91. 91. 91
  92. 92. 92
  93. 93. 93
  94. 94. 94
  95. 95. 95
  96. 96. Restricciones: EJERCICIO 9:x = nº acciones A Una persona quiere invertir 100 000 €y = nº acciones B en dos tipos de acciones A y B.(en decenas de miles de €) Las de tipo A tienen más riesgo,pero0≤ x≤6 producen un beneficio del 10 %.y≥2 Las de tipo B son más seguras,perox-y≥0 producen sólo el 7 % nominal.x + y ≤ 10 Decide invertir como máximo 60 000 €Beneficio a maximizar: en la compra de acciones A y al menos 20 000 € en la compra de acciones B.F(x,y) = 0.10x + 0.07y Además quiere que lo invertido en A sea por lo menos igual a lo invertido en B. ¿Cómo debe invertir los 100 000 € para que el beneficio anual sea máximo? Practica con GeoGebra 96
  97. 97. 97
  98. 98. 98
  99. 99. 99
  100. 100. 100
  101. 101. 101
  102. 102. 102
  103. 103. 103
  104. 104. 104
  105. 105. FIN© Inmaculada Leiva Tapia I.E.S.Alborán 105

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