Cálculo de probabilidades
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Cálculo de probabilidades

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Presentación sobre el cálculo de probabilidades.

Presentación sobre el cálculo de probabilidades.
Operaciones con sucesos,regla de Laplace,probabilidad condicionada,probabilidad total,teorema de Bayes.
Con algunos ejercicios.

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Cálculo de probabilidades Cálculo de probabilidades Presentation Transcript

  • CÁLCULO DE PROBABILIDADESNiños jugando a los dados - Esteban Murillo ©: Inmaculada Leiva Tapia
  • EXPERIENCIAS ALEATORIAS
  • EXPERIENCIAS ALEATORIAS.Experiencia determinista : su resultado es predecible de antemano.En idénticas condiciones,se obtiene el mismo resultado.  Ej.: lanzar una piedra al vacío y medir su aceleración.Experiencia aleatoria : su resultado no se puede predecir,depende del azar,aunque se repita en idénticas condiciones. Ej.: lanzar un dado y anotar el número obtenido.
  • SUCESOS ALEATORIOS
  • Al lanzar un dado se pueden obtener seis resultados diferentes.Espacio muestral es el conjunto E de todos los posibles resultados de unaexperiencia aleatoria.E=Suceso : es cualquier subconjunto del espacio muestral asociado a unexperimento aleatorio.A= B=C= D= H=Sucesos elementales : cada uno de los elementos del espacio muestral.Sucesos compuestos : formados por dos o más sucesos elementales.Suceso seguro : es el propio espacio muestral E.Suceso imposible : es el suceso vacío Ø.
  • OPERACIONES CON SUCESOS
  • A= B=C= D=F=La unión de dos sucesos es el suceso formado por los elementos de ambos.BUD =AUB = CUD = E =La intersección de dos sucesos es el suceso formado por los elementoscomunes a ambos sucesos.B∩D = C∩F =
  • Dos sucesos son incompatibles cuando es imposible que ocurransimultáneamente,es decir, cuando A∩B=Ø. C= D= C∩ D = Ø C y D son incompatibles C= F= C∩ F = ǂ Ø C y F son compatiblesDos sucesos son contrarios cuando entre ambos se reparten todos lossucesos elementales,es decir, A∩B=Ø y AUB=E. A= B=
  • OPERACIONES CON SUCESOSUNIÓN: Suceso formado por todos los elementos de A y de B A A AUB AUB se verifica cuando ocurre uno de los dos sucesos A o B,o ambos.INTERSECCIÓN: Suceso formado por los elementos comunes de A y de B. A∩B A A A∩B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.
  • DIFERENCIA: A-B es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B. B-A es el suceso formado por todos los elementos de B que no son de A. A A A-B A-B se verifica cuando lo hace A y no lo hace B. A A B-A B-A se verifica cuando lo hace B y no lo hace A.
  • COMPLEMENTARIO O CONTRARIO: Suceso formado por todos loselementos que no son de A. E A E-A = Ā Ā se verifica siempre que no se verifica A.SUCESOS INCOMPATIBLES: Sucesos que no tienen elementos comunes. A A∩B = Ø A y B no se verifican simultáneamente.
  • Ejercicio Se lanza un dado E={1,2,3,4,5,6} Determina los elementos que componen los sucesos: A=”salir par” B=”salir impar” C=”menor o igual que 4” D=”mayor o igual que 5” F=”salir nº primo” Determina : E 6 C∩F 2 CUF 1 5 4 3 C-F C F F-C ¿Son F y C incompatibles? ¿Y contrarios?
  • PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS DISTRIBUTIVAS: AU(B∩C) = (AUB)∩(AUC) A∩(BUC) = (A∩B)U(A∩C) DE SIMPLIFICACIÓN: AU(B∩A) = A A∩(BUA) = A DEL CONTRARIO: (A) = A A-B = A∩B LEYES DE MORGAN: (AUB) = A∩B (A∩B) = AUB
  • FRECUENCIA Y PROBABILIDADSi realizamos N veces un experimento aleatorio,y observamos un suceso Sque se verifica n veces,tenemosFrecuencia absoluta de S: número de veces que ocurre S. f(S) = nFrecuencia relativa de S: proporción de veces que ocurre S. fr (S) = n/NPor tanto,siempre es un nº entre 0 y 1.LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS:Si realizamos un experimento aleatorio N veces,la frecuencia relativa f r(S)de un suceso S toma distintos valores.Dichos valores pueden sufrir grandes oscilaciones, pero si aumentamosindefinidamente el número N de veces que realizamos el experimentoaleatorio,se observa que las oscilaciones son cada vez menores y quedicha frecuencia fr (S) tiende a estabilizarse, aproximándose a un valor.Ese valor es la probabilidad del suceso S y se escribe P(S) P (S ) = lim f r (S ) N →+ ∞
  • Ejemplo: Lanzamos un dado N veces. Anotamos la frecuencia relativa del suceso S = ”salir el 3”. Repetimos este experimento para otros valores mayores de N.Se observa que fr(S) toma distintos valores y con muchas 1 oscilaciones, si los valores deP(S )= lim ff r(S )= 1 ≃ 0,1667P S = lim S = = 0.17 N son pequeños. N ∞ r 6 6 N →+ ∞ Pero,para valores muy grandes de N (muchos lanzamientos), las oscilaciones disminuyen hasta que los valores fr(S) se estabilizan, acercándose a un número P(S)
  • PROBABILIDADES DE SUCESOSAXIOMAS: EA1 P(A) ≥ 0 AA2 Si A y B incompatibles, A P(AUB) = P(A) + P(B) EA3 P(E) = 1
  • PROPIEDADES:T1 P(Ā) = 1 - P(A) A ĀT2 P(Ø) = 0T3 Si A ⊆ B, entonces P(B) = P(A) + P(B-A) B A B-AT4 Si A ⊆ B, entonces P(A) ≤ P(B) Si A1, A2,...., Ak son incompatibles dos a dos, entoncesT5 P(A1U A2U....U Ak) = P(A1) + P(A2) +.....+ P(Ak)T6 P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)T7 Si E es finito y S = {x1,x2,....,xk},entonces A P(S) = P(x1) + P(x2) +.....+ P(xk)
  • REGLA DE LAPLACE
  • REGLA DE LAPLACELa propiedad T7 permite calcular la probabilidad de un suceso S,sumando las probabilidades de los sucesos elementales que lo componen:Si E es finito y S = {x1,x2,....xk}, entonces P(S) = P(x1) + P(x2) +.....+ P(xk)Si además el espacio muestral E = {x1,x2,....,xn} consta de n sucesoselementales equiprobables, es decir, P(x1) = P(x2) = ...... = P(xn) = 1/n ,entonces la probabilidad de un suceso S viene dada por la expresión: P(S) = k/nEsta es la ley de Laplace que se expresa: nº casos favorables a S P(S) = nº casos posibles
  • Lanzamos un dado correcto.Halla la probabilidad de obtener: a) impar b) primo c) múltiplo de 3 d) menor que 5 E = {1,2,3,4,5,6 }Todos los resultados son equiprobables si el dado es correcto.Aplicamos la ley de Laplace: nº casos favorables a S P(impar) = P({1,3,5}) = 3/6 = 1/2 P(S) = nº casos posibles P(primo) = P({2,3,5}) = 3/6 = 1/2 P(múltiplo de 3) = P({3,6}) = 2/6 = 1/3 P(menor que 5) = P({1,2,3,4}) = 4/6 = 2/3
  • Se tiene una baraja española.Halla la probabilidad de que al extraeruna carta sea: a) figura b) as c) 6 o 7 d) copas e) no figura figura es Regla sota,caballo de o rey Laplace hay 10 cartas de copas no figura es lo P(figura) = 12/40 = 3/10 = 0,3 contrario de figura P(as) = 4/40 = 1/10 = 0,1 P(6 o 7) = 8/40 = 1/5 = 0,2 P(copas) = 10/40 = 1/4 = 0,25 P(no figura) = 1 - P(figura) = 1 – 0,3 = 0,7
  • Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos.Calcula la probabilidad de que la suma sea:a) par b)múltiplo de 3 c)múltiplo de 5 d)mayor que 6E = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Pero estos 11 sucesos no son equiprobables.Nuevo enfoque del experimento aleatorio:E´= {(1,1),(1,2),...........(6,6)} Son 36 sucesos equiprobables ⇒ ley de Laplace: + 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 P(suma par) = 18/36 = 1/2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 P(múltiplo de 3) = 12/36 =1/3 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 P(múltiplo de 5) = 7/36 6 7 8 9 10 11 12 P(mayor que 6) = 21/36 = 7/12
  • Dos amigos juegan con dos dados.Uno apuesta a obtener suma igual a6 y el otro apuesta a obtener suma igual a 7.¿Te parece el juego justo? + 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 P(suma 6)=5/36 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 P(suma 7)= 6/36 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12Conclusión: el juego no es justo pues el segundo jugador tiene mayorprobabilidad de ganar.
  • PROBABILIDAD CONDICIONADA
  • PROBABILIDAD CONDICIONADADados dos sucesos A y B,se llama probabilidad de B condicionada a Aa la proporción de veces que ocurre B de entre las que ocurre A . E B A∩B P(B|A) = APor tanto:la probabilidad de la intersección de dos sucesos A y B es el productode la probabilidad de uno de ellos por la probabilidad condicionadadel otro a éste. P(A∩B) = P(A)·P(B|A)
  • Los resultados de una encuesta sociológica acerca de la actitud políticaprogresista o conservadora, realizada sobre 375 universitarios deambos sexos están registrados en la siguiente tabla de contingencia: Varones Mujeres Actitud progresista 150 75 225Actitud conservadora 50 100 150 200 175 375 P(varón) = 200/375 P(progresista) = 225/375 P(mujer) = 175/375 P(conservador) = 150/375 P(varón∩progresista) = 150/375 P(varón∩progresista) 150/375 P(progresista|varón) = 150/200 = P(varón) 200/375 P(B|A) =
  • SUCESOS DEPENDIENTES
  • SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTESDos sucesos A y B,se dice que son independientes cuando se cumple que: P(B|A) = P(B) y P(A|B) = P(A)Cuando dos sucesos son independientes la probabilidad de su intersecciónes igual al producto de las probabilidades de cada uno de ellos. A y B independientes ⇒ P(A∩B) = P(A)·P(B)En caso contrario se dice que son dependientes y, entonces,la probabilidadde su intersección es igual al producto de la probabilidad de uno por laprobabilidad del otro condicionada a éste: A y B dependientes ⇒ P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B)
  • Los resultados de una encuesta sociológica acerca de la actitud políticaprogresista o conservadora,realizada sobre 375 universitarios de ambossexos están registrados en la siguiente tabla de contingencia:La actitud progresista y el hecho de ser varón,¿son independientes? Varones Mujeres Actitud progresista 150 75 225Actitud conservadora 50 100 150 200 175 375 P(progresista|varón) = 150/200 = 3/4 P(progresista|varón) ≠ P(progresista) P(progresista) = 225/375 = 3/5 Por tanto,las características tener actitud progresista y ser varón son sucesos dependientes
  • 1 2 3 4 5 6 7 8 P(B|A) = P(par ∩ verde) 1 P(par | verde) = = P(verde) 3 proporción de pares P(par ∩ rojo) 2 1 entre las bolas rojas = P(par | rojo) = = = proporción de pares P(rojo) 4 2 en el conjunto total P(par ∩ negro) 1 P(par | negro) = = = 1 P(negro) 1 P(par|rojo) = P(par) 4 1 par y rojo son sucesos P(par) = = independientes 8 2 P(par|verde) ≠ P(par) P(par|negro) ≠ P(par)par y verde son dependientes par y negro son dependientes
  • EXPERIENCIAS COMPUESTAS
  • EXPERIENCIAS COMPUESTAS Se llaman experiencias compuestas a aquellas en las que se distinguen dos o más etapas. Se distinguen dos casos:● Experiencias independientes: ● Experiencias dependientes: Cuando el resultado de cada Cuando el resultado de cada experiencia,no influye en el de la experiencia, sí influye en el de la siguiente. siguiente. P(S1∩ S2) = P(S1)·P(S2) P(S1∩ S2) = P(S1)·P(S2IS1) Extracción de dos cartas sucesiva- Extracción de dos cartas sucesiva- mente con reemplazamiento: mente sin reemplazamiento: P(As1∩ As2) = P(As1).P(As2)= P(As1∩ As2) = P(As1).P(As2IAs1)= = 4/40 • 4/40 = 4/40 • 3/39 Observa la diferencia en la segunda extracción
  • De una baraja española se extraen dos cartas sucesivamente y sin reemplazamiento.La primera carta extraída es el as de oros. Calcula la probabilidad de que la segunda carta extraída sea: 1) oros 2) as 3) figuraPrimera carta Segunda carta 1) P(oros) = P(O2| A1) = 9/39 = 3/13 2) P(as) = P(A2| A1) = 3/39 = 1/13 3) P(figura) = P(F2| A1) = 12/39 = 4/13
  • CASO I : EXPERIENCIAS INDEPENDIENTES Lanzamos dos dados.¿Cuál es la probabilidad de obtener “PAR” en el primer dado y “MAYOR QUE 2” en el segundo?Primer dado Segundo dado 4/6 {3,4,5,6} MAYOR QUE 2 2/6 {1,2} NO MAYOR QUE 2 1/2 PAR 1/2 IMPAR 4/6 {3,4,5,6} MAYOR QUE 2 2/6 {1,2} NO MAYOR QUE 2
  • Ahora determinamos las probabilidades de cada suceso de la experiencia compuesta: Para obtener la probabilidad de un suceso compuesto,se multiplican las probabilidadesExperiencia 1ª: Experiencia 2ª: de los sucesos simples que lo componen ya que las experiencias son independientes: 4/6 {3,4,5,6} P(PAR y MAYOR QUE 2) = 1/2 . 4/6 1/2 2/6 {1,2} P(PAR y NO MAYOR QUE 2) = 1/2 . 2/6 PAR 4/6 1/2 IMPAR {3,4,5,6} P(IMPAR y MAYOR QUE 2) = 1/2 . 4/6 2/6 {1,2} P(IMPAR y NO MAYOR QUE 2)= 1/2 . 2/6 experiencias independientes: P(PAR ∩ MAYOR QUE 2) = P(PAR) · P(MAYOR QUE 2) = 1/2 · 4/6
  • CASO II : EXPERIENCIAS DEPENDIENTES Tenemos una urna con 3 bolas verdes y 2 bolas rojas. Extraemos dos bolas sucesivamente y sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que “AMBAS SEAN VERDES”?Primera extracción Segunda extracción 2/4 P( ) = 3/5 • 2/4 3/5 P( ) = 3/5 • 2/4 2/4 3/4 P( ) = 2/5 • 3/4 2/5 1/4 P( ) = 2/5 • 1/4experiencias dependientes: la probabilidad de la 2ª extracción es condicionada P(VERDE1 ∩ VERDE2) = P(VERDE1)·P(VERDE2 | VERDE1) = 3/5 · 2/4
  • EJERCICIO: Extraemos simultáneamente 3 cartas de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de obtener “3 ASES” ?NOTA:Hay ocasiones en los que las pruebas no son sucesivas,sino simultáneas.Pero puede ser más fácil pensar en ellas como si se sucedieran en el tiempo . Simultáneamente = Haré un sucesivamente sin diagrama de reemplazamiento árbol para ayudarme Es una experiencia compuesta, formada por experiencias dependientes
  • 1ª extracción 2ª extracción 3ª extracción 2/38 As 3/39 36/38 3/38 • • 4/40 36/39 • 35/38 • 3/38 • •36/40 No As • 4/39 35/38 • 35/39 4/38 34/38
  • Ahora determinamos las probabilidades de cada suceso de la experiencia compuesta:1ª extracción 2ª extracción 3ª extracción P(AAA)= 4/40 • 3/39 • 2/38 2/38 As 3/39 P(AAX)= 4/40 • 3/39 • 36/38 36/38 P(AXA)= 4/40 • 36/39 • 3/38 3/38 •4/40 • 36/39 35/38 • P(AXX)= 4/40 • 36/39 • 35/38 • 3/38 • P(XAA)= 36/40 • 4/39 • 3/38 No As 4/39 •36/40 • 35/38 • P(XAX)= 36/40 • 4/39 • 35/38 4/38 P(XXA)= 36/40 • 35/39 • 4/38 35/39 34/38 P(XXX)= 36/40 • 35/39 • 34/38
  • Se tiene una urna con 4 bolas rojas y 2 verdes.Se lanza una moneda.Si sale cara se saca una bola de la urna,y sisale cruz se sacan dos bolas sucesivamente y sin reemplazamiento.Halla la probabilidad de: a) sacar 2 bolas verdes b) ninguna verde 4/6 P( )= 1/2 • 4/6 P( )= 1/2 • 2/6 1/2 cara 2/6 3/5 P( )= 1/2 • 4/6 • 3/5 1/2 cruz 4/6 2/5 P( )= 1/2 • 4/6 • 2/5 4/5 P( )= 1/2 • 2/6 • 4/5 2/6 1/5 P( )= 1/2 • 2/6 • 1/5moneda 1ª bola 2ª bola
  • PROBABILIDAD TOTAL
  • PROBABILIDAD TOTALSi el espacio E se descompone como Cualquier suceso S se puede expresarunión de sucesos incompatibles: como unión de sucesos incompatibles: E A1 A1∩ S A2 A2∩ S A3 A3∩ S S A4 A4∩ S A5∩ S A5 S = (A1∩ S) U (A2∩ S) U..... U (An∩ S)E = A1 U A2 U....U An siendo por lo tanto,la probabilidad total de S es:Ø = A1∩ A2= A1∩ A3=......= Ai∩ Aj P(S) = P(A1∩ S) + P (A2∩ S) +..... + P (An∩ S) = = P(A1)·P(S| A1)+P(A2)·P(S| A2)+....+P(An)·P(S| An)
  • PROBABILIDAD TOTAL P(S| A1) A1∩ S P(A1∩ S) . A1 P(A1) P(S| A2) P(A2) A2 A2∩ S P(A2∩ S) . P(S) A3 . . . . . . . . . . . P(An) . An P(S| An) An∩ S P(An∩ S) .La probabilidad total P(S) = P(A1∩ S) + P (A2∩ S) +..... + P (An∩ S) =del suceso S es: = P(A1)·P(S| A1) + P(A2)·P(S| A2) + .... + P(An)·P(S| An)
  • La probabilidad de que un autobús que va de Madrid a Burgos sufraun accidente en un día lluvioso es del 9% y en día seco del 5‰.Durante un período de 10 días ha habido 7 días secos y 3 lluviosos.¿Cuál será la probabilidad de que se produzca un accidente? E Lluvioso L 0,09 A A∩L L A ∩L A∩L 0,3 0,91 Ᾱ 0,005 ∩S A∩S A A∩S 0,7 S 0,995 ᾹLa probabilidad total de tener accidente es: Seco S P(A) = P(A ∩ L) + P(A ∩ S) = P(L)·P(A| L) + P(S)·P(A| S) = 0,3 . 0,09 + 0,7 . 0,005 = 0,0305 O sea,ligeramente superior a un 3%
  • Un gato persigue a un ratón.Este puede entrar en uno de los tres callejones A,B o C. La probabilidad de que elija cada uno de ellos es del 30%, 50% y 20%, respectivamente.Y de que sea cazado en cada uno de ellos del 40%, 60% y 10% respectivamente. Calcula la probabilidad de que el gato finalmente cace al ratón. 0,4 P(A∩cazado) A 0,3 0,6 P(A∩no cazado) P(cazado) 0,6 P(B∩cazado) B 0,5 0,4 P(B∩no cazado) 0,2 0,1 P(C∩cazado) CLa probabilidad total de queel ratón sea cazado es: 0,9 P(C∩no cazado) P(cazado) = P(A)·P(cazadoIA) + P(B)·P(cazadoIB) + P(C)·P(cazadoIC) = = 0,3 • 0,4 + 0,5 • 0,6 + 0,2 • 0,1 = 0,44
  • Tenemos dos urnas A y B. Se extrae una bola de A , y se introduce en B, se remueve y se extrae finalmente una bola de la urna B. Halla la probabilidad de que la segunda bola extraída sea: a) roja b) verde c) negraurna A urna B 2/5 urna B 1/5 2/6 2/5urna A 1/5 P(R) 3/6 2/5 P(V) P(R) 2/5 P(N) 1/6 1/5 1/5 3/5 P(N)=P(R1)·P(N2|R1) P(V1)·P(N2|V1) P(N1)·P(N2|N1) P(V)=P(R1)·P(V2|R1) + P(V1)·P(R2|V1) + P(N1)·P(R2|N1) = P(R)=P(R1)·P(R2|R1) + P(V1)·P(V2|V1) + P(N1)·P(V2|N1) = = 2/6 . 2/5 + 1/5 3/6 . 1/5 + 2/5 1/6 . 1/5 = 8/30 3/5 13/30 9/30
  • PROBABILIDADES “A POSTERIORI”: TEOREMA DE BAYES.
  • PROBABILIDADES “A POSTERIORI”: TEOREMA DE BAYES.En una experiencia compuesta,si A es una suceso de la primera experiencia yS un suceso de la segunda,¿tiene sentido la probabilidad condicionada P(A|S)?Se puede llegar al suceso S habiendo pasado primero por A, o bien por otrossucesos (B, C,....) de la primera experiencia: B S A S C SSi sabemos que finalmente ha ocurrido el suceso S,¿cuál es la probabilidad deque haya ocurrido así, pasando previamente por el suceso A?O sea,de las distintas causas que han podido provocar como efecto el suceso S,¿en qué proporción del total de veces que sucede S,la causa ha sido A?Este es el significado de P(A|S), llamada probabilidad “a posteriori” de A,sabiendo que ha ocurrido S. (También llamada probabilidad de las causas)Intuitivamente,dicha proporción es:
  • P(S | A1 ) S P(A1 ∩ S) . A1 . . P(A1 ) . . . A2 P(Ai ) P(S | Ai ) Ai S P(Ai ∩ S) P(S) . . . . . . . . . . . . P(An ) . . P(S | An ) An P(An ∩ S) . S .Y expresando P(S) como probabilidad total, se tiene la fórmula de Bayes :
  • La probabilidad de que un autobús que va de Madrid a Burgos sufra un accidente en un día lluvioso es del 9% y en día seco del 5‰. Durante un período de 10 días ha habido 7 días secos y 3 lluviosos. Sabiendo que se ha producido un accidente en esos días,¿cuál será la probabilidad de que haya ocurrido: a) en día lluvioso? b) en día soleado? 0,09 A A∩L E Lluvioso L 0,3 L A 0,91 Ᾱ A∩ L A∩L 0,005 A A∩S A∩ S A∩S 0,7 S 0,995 Ᾱ Seco S 0,3 . 0,09 P(A ∩ L) 0,3 . 0,09P(L | A) = = = P(A) . . 0,005 0,0305 0,3 0,09 + 0,7 P(A ∩ S) 0,7 . 0,005 0,7 . 0,005P(S | A) = = = P(A) . . 0,005 0,0305 0,3 0,09 + 0,7
  • Supongamos,siguiendo con el ejercicio anterior,que vemos al gato perseguir al ratón.Al poco rato llega con él en la boca. ¿En cuál de los tres caminos es más probable que lo haya cazado? Según el ejercicio anterior: P(cazado) = P(A)·P(cazadoIA)+P(B)·P(cazadoIB)+P(C)·P(cazadoIC) = = 0,3 • 0,4 + 0,5 • 0,6 + 0,2 • 0,1 = 0,44 Calculamos la probabilidad de que el ratón estuviera en cada uno de los caminos, sabiendo que ha sido cazado,aplicando el teorema de Bayes: P(A∩cazado) 0,3 • 0,4 6P(AIcazado)= = = P(cazado) 0,3 • 0,4 + 0,5 • 0,6 + 0,2 • 0,1 22 P(B∩cazado) 0,5 • 0,6 15P(BIcazado)=P(AIcazado)= = = P(cazado) 0,3 • 0,4 + 0,5 • 0,6 + 0,2 • 0,1 22 P(C∩cazado) 0,2 • 0,1 1P(CIcazado)=P(AIcazado)= = = P(cazado) 0,3 • 0,4 + 0,5 • 0,6 + 0,2 • 0,1 22
  • EJERCICIOS
  • De los 39 alumnos de una clase,16 escogieron francés y 27 inglés,9 alumnos eligieron ambos idiomas y el resto no escogió ninguno de ellos.Elegido un alumno al azar, halla la probabilidad de que escogiera: a)francés b)inglés c)ambos d)alguno de los dos idiomas e)francés pero no inglés f)inglés pero no francés g)sólo un idioma h)ninguno de ellos 5 E E = 39 P(F) = 16/39 F = 16 18 I = 27 P(I) = 27/39 7F 9 F∩ I=9 P(F∩ I) = 9/39 P(FU I) = P(F) + P(I) - P(F∩ I) = 34/39 P(F - I) = 7/39 P(I - F) = 18/39 P[(I - F)U(F - I) ] = P(I - F) + P(F – I) = 18/39 +7/39 = 25/39 P(F∩ I) = P(FUI) = 1 - P(FU I) = 5/39
  • Sean A y B tales que: P(A) = 0,4 ; P(B) = 0,5 ; P(A∩B) = 0,3. Halla P(AUB) y P(A∩B).Partimos de: P(A∩B) = 0,3Por las leyes de Morgan: A∩B = AUB ⇒ P(A∩B) = P(AUB) = 0,3Por T1.,hallamos la probabilidad del suceso contrario: P(AUB) = 1 - P( AUB) = 1 - 0,3 = 0,7 A B 0,2 0,3 0,2 0,3Por T6. tenemos que: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 0,7 = 0,4 + 0,5 – P(A∩B) ⇒ P(A∩B) = 0,2
  • Sabemos que P(A) = 0,4 , P(B) = 0,3 y P(A∩B) = 0,1 . Halla razonadamente : P(AUB) P(AUB) P(A|B) P(A∩B) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0,4 + 0,3 – 0,1 = 0,6Por las leyes de Morgan: AUB = A∩B ⇒ P(AUB) = P(A∩B) =Y usando la probabilidad delsuceso contrario: = 1 - P(A∩B) = 1 - 0,1 = 0,9 P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = 0,1 / 0,3 = 1/3 = 0,3333....usando la otra ley de Morgan: A∩B = AUB A B ⇒ P(A∩B) = P(AUB) = 0,3 0,1 0,2 0,4 = 1 - P(AUB) = 1 - 0,6 = 0,4
  • En una empresa hay 200 empleados:100 hombres y 100 mujeres.Los fumadores son 40 hombres y 35 mujeres.Haz la tabla de contingenciacorrespondiente y determina sobre ella probabilidades. Hombres Mujeres Fumadores 40 35 75 No Fumadores 60 65 125 100 100 200 P(M) = P(H) = 100/200 = 0,5 P(M) ≠ P(M|F) P(H∩NF) = 60/200 = 0,3 ser mujer y ser fumador P(M∩F) = 35/200 = 0,175 son sucesos dependientes P(M|F) = 35/75 = 0,467 P(F|M) = 35/100 = 0,35
  • El 20 % de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20 %son economistas.El 75 % de los ingenieros ocupan un puesto directivoy el 50 % de los economistas también,mientras que de los no ingenierosy no economistas solamente el 20 % ocupan un puesto directivo.¿Cuál es la probabilidad de que un directivo elegido al azar sea ingeniero? 0,75 Directivos Ingenieros Ingenieros 0,2 0,25 No Directivos 0,5 Ingenieros Directivos P(D) 0,2 Economistas 0,5 No Directivos 0,6 0,2 Directivos Ingenieros Sin titulaciónTeorema de Bayes: 0,8 No Directivos 0,2·0,75 = = 0,405 0,2·0,75+0,2·0,5+0,6·0,2
  • Un jugador de baloncesto suele acertar el 75 % de sus tiros desde el puntode lanzamiento de personales.Si acierta el primer tiro,puede tirar de nuevoa canasta.Calcula la probabilidad de que: a) haga dos puntos b) haga un punto c) no haga ningún punto 0,75 ACERTAR ACERTAR 0,75 0,25 FALLAR 0,25 FALLAR P(dos puntos) = P(A1∩A2) = P(A1).P(A2|A1) = 0,75 . 0,75 = 0,56 P(un punto) = P(A1∩F2) = P(A1).P(F2|A1) = 0,75 . 0,25 = 0,19 P(ningún punto) = P(F1) = 0,25
  • GRACIAS PORVUESTRAATENCIÓN FIN ©: Inmaculada Leiva Tapia