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Análisis numérico unidad 4 17784506
 

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    Análisis numérico unidad 4 17784506 Análisis numérico unidad 4 17784506 Presentation Transcript

    • UNIVERSIDAD FERMIN TORO VICE RECTORADO ACADEMICO DECANATO DE INGENIERÍAESCUELA DE INGENIERIA EN MANTENIMIENTO MECÁNICOAnálisis Numérico. Unidad 4 Raúl Piñango 17784506
    • Interpolación Polinómicasconsiste en construir una función que pase por losvalores conocidos (llamados polos) y utilizar éstacomo aproximación de la función primitiva. Si seutilizan polinomios como funciones deaproximación, hablamos de interpolaciónpolinómica.Si la abscisa para la que queremos encontrar unvalor aproximado de la función se encuentrafuera del mayor intervalo definido por las abscisasde los polos, se dice que estamos haciendoextrapolación.
    • Tabla De Diferencias• Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de x, ¿cuál es el comportamiento de la función?; el propósito es determinar dicho comportamiento, con las muestras de los pares de datos (x, f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (xi, f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la función se comportan casi de la misma manera, en el intervalo en cuestión.
    • Polinomio Interpolante de Newton- Gregory• Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (en avance y retroceso).
    • Polinomio Interpolante de Gauss• una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig-zag.• En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas de avance y retroceso del Polinomio Interpolante de Gauss.
    • Interpolación De Hermite• Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada subintervalo, y que interpole a f(x) y f(x) en los puntos . La función Hn(x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones.
    • Interpolación Usando Splines• Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora tienen la desventaja de que su segunda derivada no es continua en los puntos de interpolación. Se ha observado que en aplicaciones gráficas, el ojo humano es capaz de detectar discontinuidades en la segundas derivadas de una función, haciendo que los gráficos con este tipo de funciones no luscan uniformes. Esto motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continuas por pedazos con las siguientes propiedades:
    • s(x) es polinomio cúbico en .existen y son continuas en .s(x) interpola a la función f en los datos .s(x) es continua en el intervalo.
    • • Si escribimos , entonces tenemos un total de 4n desconocidas. Las condiciones 2) y 4) nos dan 3(n-1) ecuaciones mientras que de 3) obtenemos n+1 para un total de 4n-3(n- 1)-(n+1)=2 grados de libertad. Estos grados de libertad se fijan imponiendo condiciones de frontera adicionales en s(x).
    • Polinomio Interpolante De Lagrange• Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de Lagrange.• Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio
    • Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton• La forma general del polinomio interpolante de Newton para n+1 datos (x0, ƒ(x0)), (x1, ƒ(x1)), ..., (xn, ƒ(xn)) es:• Los coeficientes ai se obtienen calculando un conjunto de cantidades denominadas diferencias divididas.
    • Ejemplo.Halle el polinomio que interpola los datos : x 1 2 3 5 f(x) 4 3.5 4 5.6 Solución: El polinomio interpolante de Newton es de grado 3 ya que se tienen 4 puntos, usando la fórmula (2) el polinomio que resulta es: En este caso x0=1, x1=2, x2=3
    • Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En La Resolución De Problemas.• Para datos tabulados en forma equiespaciada o no esquiespaciada, a través de una serie de técnicas que antes de la llegada de las computadoras tenían gran utilidad para la interpolación, sin embargo, con fórmulas como las de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite, Newton, etc.
    • con computadoras y debido a las muchas funcionestabulares disponibles, como subrutinas de librerías;dichas fórmulas tienen relevancia en la solución deecuaciones diferenciales ordinarias.Una gran cantidad de problemas físicos están descritospor ecuaciones diferenciales en las que interviene unoperador Laplaciano (la ecuación de Laplace, la ecuaciónde onda, la ecuación de Schrödinger, etc.).Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden acasos particulares del problema de Sturm-Liouville, valedecir, ecuaciones de autovalores para un operadordiferencial autoadjunto. No entraremos en los detalles deesta discusión. Sólo diremos que los polinomios deHermite son un caso particular de soluciones a unproblema de Sturm-Liouville
    • . Dichassoluciones forman un conjunto completo yortogonal, con cierta función de peso. En el caso defamilias de polinomios ortogonales, existenrelaciones de recurrencia que vinculan cadapolinomio con los de grados inmediatamenteanterior y posterior, y típicamente poseen unafunción generatriz, así_ como operadores de subiday de bajada. En los capítulos siguientesencontraremos nuevas familias de polinomiosortogonales. Todos ellos provienen de sendosproblemas de Sturm-Liouville, y por tanto no seráextraño encontrar las mismas características quehemos identificado en los polinomios de Hermite.