A continuación se presenta el desarrollo de las ecuaciones: Principio de Arquímedes, ecuación de continuidad y ecuación de Bernoulli, como parte esencial del estudio de la hidrostática de los fluidos.

1. FÍSICA PARA CIENCIAS:
PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES,
ECUACIONES DE CONTINUIDAD Y
BERNOULLI.
M.Sc. Edisson Paguatian

2. Presión de un fluido
Fuerza es proporcional al área donde se aplica la presión
𝑭 = 𝑷𝑨
𝑷 = 𝝆 𝒉 𝒈
Presión depende de la profundidad

3. Flotabilidad y principio de
Arquímedes

4. Empuje o fuerza de flotación es la
fuerza que ejerce el fluido sobre
el objeto hacia arriba
Su valor corresponde al peso
del volumen del fluido
desplazado por el objeto.
Flotabilidad y principio de
Arquímedes
Cuando un cuerpo está
completamente sumergido en
un fluido o flota de modo que
está parcialmente sumergido
la fuerza resultante que actúa
sobre el cuerpo se denomina
(Fuerza Boyante (de empuje,
de flotación o de presión hacia
arriba

5. Principio de Arquímedes

6. Flotabilidad y principio de
Arquímedes
¿Por qué flota un objeto?
La fuerza neta actúa hacia arriba. Ésta se llama empuje o fuerza
de flotación 𝑭 𝑩.
𝑭 𝒏 = 𝑭 𝟐 − 𝑭 𝟏
= 𝝆 𝒇 𝒈 𝒉 𝟐 − 𝒉 𝟏 𝑨
= 𝝆 𝒇 𝒈 𝑽

7. La fuerza de flotación sobre un cuerpo sumergido en
un fluido es igual al peso del fluido desplazado por
el objeto.
Arquímedes (287-212 aC)
Nota: si el objeto está parcialmente sumergido, lo que importa
no es el volumen total del objeto sino el volumen sumergido.
Densidad del fluido
Volumen del objeto
Flotabilidad y principio de
Arquímedes
𝑭 𝑩 = 𝝆 𝒇 𝒈 𝑽

8. Flotabilidad: Fuerza Neta
𝑭 = 𝑭 𝑩 − 𝑭 𝒈
= 𝝆 𝒇 𝒈 𝑽 𝒔 − 𝝆 𝒐 𝒈 𝑽 𝒐
𝝆 𝒇 − 𝝆 𝒐 𝑽 𝒐 𝒈 = 𝑴𝒂
Si el cuerpo está totalmente sumergido (𝑽 𝒔 = 𝑽 𝒐) y no ha llegado a su
posición de equilibrio
Con 𝑽 𝒔 siendo el volumen sumergido, 𝑽 𝒐 siendo el volumen del objeto, 𝝆 𝒇 la
densidad del fluido y 𝝆 𝒐 la densidad del objeto.
Si 𝝆 𝒇 > 𝝆 𝒐 el objeto tiene 𝒂 positiva (subirá).
Si 𝝆 𝒇 < 𝝆 𝒐 el objeto tiene 𝒂 negativa (bajará).

9. Flotabilidad: Fuerza Neta
𝑭 = 𝑭 𝑩 − 𝑭 𝒈
= 𝝆 𝒇 𝒈 𝑽 𝒔 − 𝝆 𝒐 𝒈 𝑽 𝒐
Si el cuerpo NO está totalmente
sumergido
𝑽 𝒔 ≠ 𝑽 𝒐
𝝆 𝒇 𝑽 𝒔 = 𝝆 𝒐 𝑽 𝒐
Como el cuerpo flota 𝑎 = 0.

11. Ejemplo N° 1:
1) Una esfera de hierro de 3 cm de radio se deja caer en
un estanque lleno de agua de 120 cm de profundidad.
Calcular:
a) Peso de la esfera
b) Empuje
c) Fuerza resultante
d) Aceleración de la esfera
e) Tiempo que tarda en llegar al fondo
Ejemplo N° 2:
Un bloque de madera de
densidad 0,6 g/cm3 y
dimensiones 80 cm por 10 cm
por 5 cm flota en agua.
Calcular la fracción de
volumen que permanece
sumergido.

12. Ejemplo: cuerpo sumergido
Sabiendo que la densidad del agua de mar es
de 1030 𝑘𝑔/𝑚3 determine cual debería ser
el volumen mínimo de un pez que tiene una
masa de 2 𝑘𝑔.

13. Ejemplo: cuerpo semi-sumergido
Determinar la fracción del volumen de un iceberg
que se encuentra sumergida bajo el agua. Un
iceberg tiene una densidad de 917 𝑘𝑔/𝑚3 y la
densidad del mar es de 1030 𝑘𝑔/𝑚3.

14. Fluidos en movimiento
Hasta ahora hemos considerado fluidos en reposo.
Ahora estudiamos fluidos en movimiento: hidrodinámica.
Hay dos tipos de flujo:
flujo laminar
flujo turbulento

15. Flujo Laminar
Flujo Laminar: es el flujo uniforme, donde capas vecinas del fluido se deslizan entre sí
suavemente.Todas las partículas de una capa siguen la misma trayectoria (línea de
flujo). Las trayectorias de dos capas no se cruzan.

16. Flujo Turbulento
FlujoTurbulento: es el flujo donde no existen capas definidas y el material se mezcla
continuamente. Las trayectorias de las partículas se encuentran formando pequeños
remolinos aperiódicos.

17. Fluido Ideal
 Fluido no viscoso: sin roce.
 Flujo estable: laminar (cada punto tiene una
velocidad definida).
 Fluido incompresible: densidad constante.
 Flujo irrotacional.

18. La Ecuación de Continuidad
Consideramos el flujo de un fluido por un tubo de
diámetro variable: la cantidad de masa que entra en el
tubo en un intervalo ∆𝒕 es:
La cantidad de masa que sale del tubo en un intervalo
∆𝒕 es:
Si el fluido es incompresible, 𝑚1 = 𝑚2, entonces,
𝒗 𝟏
𝑨 𝟏
∆𝒍 𝟏
𝒗 𝟐
𝑨 𝟐
∆𝒍 𝟐
𝒎 𝟏 = 𝝆𝑨 𝟏∆𝒍 𝟏 = 𝝆𝑨 𝟏 𝒗 𝟏∆𝒕
𝒎 𝟐 = 𝝆𝑨 𝟐∆𝒍 𝟐 = 𝝆𝑨 𝟐 𝒗 𝟐∆𝒕
𝑨 𝟏 𝒗 𝟏 = 𝑨 𝟐 𝒗 𝟐

19. Ecuación de Continuidad

20. Ejercicio: Continuidad
En los seres humanos, la sangre fluye del corazón a la
aorta que tiene un radio de ~1 𝑐𝑚. La sangre llega
finalmente a miríadas (104
) de pequeños capilares que
tienen radio de ~4 × 10−4
𝑐𝑚.
Si la velocidad de la sangre en la aorta es de 30 𝑐𝑚/𝑠 y
en los capilares es de 5 × 10−2
𝑐 𝑚/𝑠, estime cuántos
capilares hay en el cuerpo.

21. Ecuación de Bernoulli
1l 1l
2l 2l
2y2A 2P
Flujo Laminar, fluido incompresible.
El fluido pasa por un tubo de sección transversal no uniforme, que
varía de altura.
Consideramos la cantidad de fluido en el elemento de volumen (1) y
calculamos el trabajo efectuado sobre el fluido para que éste se
mueva desde la posición (1) a la posición (2).
El fluido del punto (1) se mueve una distancia ∆𝑙1 y empuja el
fluido del punto (2)
una distancia ∆𝑙2.

22. El fluido de la izquierda empuja y efectúa un trabajo de
En el punto (2),
Éste último es negativo porque estamos considerando el trabajo
efectuado sobre la sección (1) de fluido.
1l 1l
2l 2l
2y2A 2P
Flujo Laminar, fluido incompresible.
Ecuación de Bernoulli
𝑾 𝟏 = 𝑭 𝟏∆𝒍 𝟏 = 𝑷 𝟏 𝑨 𝟏∆𝒍 𝟏
𝑾 𝟐 = −𝑭 𝟐∆𝒍 𝟐 = −𝑷 𝟐 𝑨 𝟐∆𝒍 𝟐

23. También la fuerza de gravedad efectúa trabajo sobre el fluido:
El efecto neto del proceso es mover una masa 𝑚 de volumen 𝐴1∆𝑙1 (= 𝐴
desde el punto (1) hasta el punto (2). El trabajo efectuado por la
1l 1l
2l 2l
2y2A 2P
Flujo Laminar, fluido incompresible.
Ecuación de Bernoulli
𝑾 𝒈 = −𝒎𝒈 (𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏)

24. El trabajo neto es entonces,
De acuerdo con el teorema de trabajo-energía, esto es igual
al cambio de su Energía Cinética:
Sustituyendo
Ecuación de Bernoulli
𝑾 = 𝑾 𝟏 + 𝑾 𝟐 + 𝑾 𝒈
= 𝑷 𝟏 𝑨 𝟏∆𝒍 𝟏 − 𝑷 𝟐 𝑨 𝟐∆𝒍 𝟐 − 𝒎𝒈𝒚 𝟐 + 𝒎𝒈𝒚 𝟏
𝟏
𝟐
𝒎𝒗 𝟐
𝟐
−
𝟏
𝟐
𝒎𝒗 𝟏
𝟐
= 𝑷 𝟏 𝑨 𝟏∆𝒍 𝟏 − 𝑷 𝟐 𝑨 𝟐∆𝒍 𝟐 − 𝒎𝒈𝒚 𝟐 + 𝒎𝒈𝒚 𝟏
𝒎 = 𝝆𝑨 𝟏∆𝒍 𝟏 = 𝝆𝑨 𝟐∆𝒍 𝟐
𝟏
𝟐
𝝆𝒗 𝟐
𝟐
−
𝟏
𝟐
𝝆𝒗 𝟏
𝟐
= 𝑷 𝟏 − 𝑷 𝟐 − 𝝆𝒈𝒚 𝟐 + 𝝆𝒈𝒚 𝟏

25. Finalmente, reordenando,
Ésta es la ecuación de Bernoulli y es una expresión de
conservación de energía:
O
Observaciones:
Si no hay flujo
𝑷 𝟏 +
𝟏
𝟐
𝝆𝒗 𝟏
𝟐
+ 𝝆𝒈𝒚 𝟏 = 𝑷 𝟐 +
𝟏
𝟐
𝝆𝒗 𝟏
𝟐
+ 𝝆𝒈𝒚 𝟐
𝑷 +
𝟏
𝟐
𝝆𝒗 𝟐
+ 𝝆𝒈𝒚 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
∆𝑷 = −𝝆𝒈∆𝒚 = 𝝆𝒈∆𝒉
Ecuación de Bernoulli

26. Ecuación de Bernoulli
El avión
La trayectoria curva
El atomizador

27. Ejercicio: Bernoulli
¿Cuál es la fuerza de levantamiento
sobre el ala de un avión de área 86 𝑚2
si el aire pasa sobre las superficies
superior e inferior a 340 𝑚/𝑠 y 290 𝑚/𝑠
respectivamente? La densidad del aire
es 1.29 𝑘𝑔/𝑚3.

28. Resumen
 Flotabilidad y Principio de Arquímedes
 Fluidos en movimiento (hidrodinámica)
 Ecuación de Continuidad
 Ecuación de Bernoulli 𝑷 +
𝟏
𝟐
𝝆𝒗 𝟐
+ 𝝆𝒈𝒚 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
𝑨 𝟏 𝒗 𝟏 = 𝑨 𝟐 𝒗 𝟐
𝑭 𝑩 = 𝝆 𝒇 𝒈 𝑽