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Geometria descriptiva de Ing Alberto M. Perez

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    Geometria descriptiva Geometria descriptiva Document Transcript

    • . v v f PGEOMETRÍAA v v r =t EOMETRÍA v DESCRIPTIVA v h ESCRIPTIVA B v A r P h h r h t B M g α B h d f h h P M h h h APérez G. Ing. Alberto M. Ing. Alberto M. Pérez G.
    • GEOMETRÍA EOMETRÍA DESCRIPTIVA ESCRIPTIVA Universidad de los Andes Núcleo Universitario “Rafael Rangel” Departamento de Ingeniería Trujillo-Venezuela Trabajo presentado con fines de ascenso a la categoría de Asistente en el escalafón de la Universidad de los Andes Trujillo; 1.997 Ing. Alberto M. Pérez G.
    • Geometría Descriptiva TABLA DE CONTENIDO Ing. Alberto M. Pérez G.TABLA DE CONTENIDO.INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................................................................................... xiJUSTIFICACIÓN ............................................................................................................................................................................................... xiiOBJETIVOS....................................................................................................................................................................................................... xiiiMETODOLOGÍA .............................................................................................................................................................................................. xivcapítulo 1. marco teórico. ......................................................................................................................................................................... 1 conceptos básicos. ...................................................................................................................................................................... 2 PUNTO.......................................................................................................................................................................................... 2 LÍNEA............................................................................................................................................................................................ 2 RECTA.......................................................................................................................................................................................... 2 ÁNGULO....................................................................................................................................................................................... 2 POLIGONAL ................................................................................................................................................................................. 3 POLÍGONO ................................................................................................................................................................................... 3 CURVA.......................................................................................................................................................................................... 4 CÍRCULO...................................................................................................................................................................................... 5 SUPERFICIE................................................................................................................................................................................. 5 SÓLIDO ........................................................................................................................................................................................ 7 TRAZADO. ......................................................................................................................................................................................8 EL JUEGO DE ESCUADRAS ...................................................................................................................................................... 9 TRAZADO DE RECTAS CON LAS ESCUADRAS....................................................................................................................... 9 TRAZADO DE UNA RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA....................................................................................... 9 DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES ............................................................................................................ 10 TRAZADO DE POLÍGONOS REGULARES...............................................................................................................................10 MÉTODOS GENERALES DE TRAZADO DE POLÍGONOS REGULARES .............................................................................. 12 ESCALA.........................................................................................................................................................................................13 ESCALÍMETRO .......................................................................................................................................................................... 13capítulo 2. sistemas de proyección. ................................................................................................................................................ 14 sistemas de proyección. .......................................................................................................................................................... 15 a) PROYECCIÓN CILÍNDRICA .................................................................................................................................................. 15 1) PROYECCIÓN ORTOGONAL ......................................................................................................................................... 15 i) Proyección en vistas múltiples .................................................................................................................................... 15 ii) Proyección Acotada ................................................................................................................................................... 16 iii) Proyección Axonométrica ......................................................................................................................................... 16 A) Proyección Isométrica ......................................................................................................................................... 16 B) Proyección Dimétrica .......................................................................................................................................... 16 C) Proyección Trimétrica ......................................................................................................................................... 17 iii
    • Geometría Descriptiva TABLA DE CONTENIDO Ing. Alberto M. Pérez G. 2) PROYECCIÓN OBLICUA ................................................................................................................................................17 i) Proyección Caballera ..................................................................................................................................................18 ii) Proyección de Gabinete .............................................................................................................................................18 iii) Proyección Oblicua Aérea .........................................................................................................................................18 b) PROYECCIÓN CÓNICA.........................................................................................................................................................18 1) Perspectiva de un punto de fuga ......................................................................................................................................18 2) Perspectiva de dos puntos de fuga ..................................................................................................................................18 3) Perspectiva de tres puntos de fuga ..................................................................................................................................18capítulo 3. Proyección DIÉDRICA. ..................................................................................................................................................21 Proyección DE PUNTOS. ........................................................................................................................................................22 DOBLE PROYECCIÓN ORTOGONAL ......................................................................................................................................22 PLANO LATERAL DE PROYECCIÓN .......................................................................................................................................22 DIEDROS ....................................................................................................................................................................................22 DIBUJO EN PROYECCIÓN DIÉDRICA .....................................................................................................................................22 COORDENADAS DE UN PUNTO ..............................................................................................................................................22 POSICIONES PARTICULARES DE UN PUNTO .......................................................................................................................23 a) Punto en un cuadrante .....................................................................................................................................................23 b) Punto en un plano principal de proyección.......................................................................................................................23 c) Punto en el plano lateral ...................................................................................................................................................23 d) Punto en el origen ............................................................................................................................................................24 e) Punto en un eje de coordenadas......................................................................................................................................24 PROYECCIÓN LATERAL DE UN PUNTO .................................................................................................................................24 REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN PROYECCIÓN LATERAL ............................................................................................25 OBTENCIÓN DE LA PROYECCIÓN LATERAL DE UN PUNTO A PARTIR DE SU PROYECCIÓN DIÉDRICA......................25 POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS PUNTOS ..........................................................................................................................26 Proyección DE RECTAS. ........................................................................................................................................................27 PUNTO CONTENIDO EN UNA RECTA .....................................................................................................................................27 TRAZAS DE UNA RECTA ..........................................................................................................................................................27 DETERMINACIÓN DE LAS TRAZAS DE UNA RECTA.............................................................................................................27 VISIBILIDAD ...............................................................................................................................................................................27 CUADRANTES QUE ATRAVIESA UNA RECTA .......................................................................................................................27 DETERMINACIÓN DE LOS CUADRANTES QUE ATRAVIESA UNA RECTA..........................................................................28 DIFERENCIA DE COTA ENTRE DOS PUNTOS / TRIÁNGULO DE REBATIMIENTO HORIZONTAL.....................................28 DIFERENCIA DE VUELO ENTRE DOS PUNTOS / TRIÁNGULO DE REBATIMIENTO VERTICAL........................................28 ARCOCAPAZ..............................................................................................................................................................................29 MEDICIÓN DE DISTANCIAS EN RECTAS ................................................................................................................................29 RECTAS EN POSICIONES PARTICULARES ...........................................................................................................................30 a) Recta horizontal................................................................................................................................................................30 1) Recta contenida en el plano horizontal de proyección...............................................................................................30 b) Recta frontal .....................................................................................................................................................................30 iv
    • Geometría Descriptiva TABLA DE CONTENIDO Ing. Alberto M. Pérez G. 1) Recta contenida en el plano vertical de proyección................................................................................................... 30 c) Recta paralela a la línea de tierra..................................................................................................................................... 30 1) Recta contenida la línea de tierra .............................................................................................................................. 30 d) Recta vertical.................................................................................................................................................................... 31 e) Recta de punta ................................................................................................................................................................. 31 f) Recta de perfil ................................................................................................................................................................... 31 CONSTRUCCIÓN DE RECTAS ................................................................................................................................................. 31 o a) Conocida la proyección vertical y el ángulo (β )............................................................................................................... 31 o b) Conocida la proyección horizontal y el ángulo (α ) .......................................................................................................... 31 o c) Conocida la proyección vertical y el ángulo (α )............................................................................................................... 32 o d) Conocida la proyección horizontal y el ángulo (β ) .......................................................................................................... 32 e) Conocida la proyección horizontal y el verdadero tamaño............................................................................................... 32 f) Conocida la proyección vertical y el verdadero tamaño.................................................................................................... 33 o o g) Conocido el verdadero tamaño y los ángulos (α ) y (β ) .................................................................................................. 33 Proyección DE planos. ............................................................................................................................................................. 35 TEOREMAS DE PLANOS .......................................................................................................................................................... 36 RECTA QUE PERTENECE A UN PLANO ................................................................................................................................. 36 PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO................................................................................................................................. 37 TRAZAS DE UN PLANO ............................................................................................................................................................ 37 DETERMINACIÓN DE LAS TRAZAS DE UN PLANO ............................................................................................................... 38 RECTAS CARACTERÍSTICAS DE UN PLANO......................................................................................................................... 38 a) Rectas características frontales ....................................................................................................................................... 38 b) Rectas características horizontales.................................................................................................................................. 38 PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO DEFINIDO POR RECTAS CARACTERÍSTICAS ................................................... 39 PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO DEFINIDO POR TRAZAS ...................................................................................... 39 NOTACIÓN CONVENIDA DE PLANOS DEFINIDOS POR TRAZAS ........................................................................................ 39 PLANOS EN POSICIONES PARTICULARES ........................................................................................................................... 39 a) Plano frontal ..................................................................................................................................................................... 40 b) Plano horizontal................................................................................................................................................................ 40 c) Plano vertical .................................................................................................................................................................... 40 d) Plano de punta ................................................................................................................................................................. 40 e) Plano de perfil................................................................................................................................................................... 40 f) Plano paralelo a la línea de tierra...................................................................................................................................... 40 g) Plano que pasa por la línea de tierra ............................................................................................................................... 40 1) Plano primer bisector ................................................................................................................................................. 40 2) Plano segundo bisector.............................................................................................................................................. 40capítulo 4. intersección; paralelismo; y perpendicularidad. ..........................................................................................41 intersección. ................................................................................................................................................................................. 42 INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO.............................................................................................................................. 42 ANÁLISIS DE VISIBILIDAD EN LA INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UN PLANO....................................................... 43 v
    • Geometría Descriptiva TABLA DE CONTENIDO Ing. Alberto M. Pérez G. INTERSECCIÓN ENTRE DOS PLANOS ...................................................................................................................................44 ANÁLISIS DE VISIBILIDAD EN LA INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS .................................................................................45 INTERSECCIÓN DE TRES PLANOS.........................................................................................................................................46 PARALELISMO. ..........................................................................................................................................................................47 PARALELISMO ENTRE RECTAS..............................................................................................................................................47 PARALELISMO ENTRE RECTA Y PLANO ...............................................................................................................................47 RECTA PARALELA A UN PLANO.............................................................................................................................................47 PLANO PARALELO A UNA RECTA ..........................................................................................................................................48 RECTA PARALELA A DOS PLANOS........................................................................................................................................48 PARALELISMO ENTRE PLANOS .............................................................................................................................................48 PERPENDICULARIDAD. ........................................................................................................................................................49 PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS ................................................................................................................................49 RECTAS PERPENDICULARES Y RECTAS ORTOGONALES .................................................................................................50 PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO..................................................................................................................50 PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA...............................................................................................................................50 RECTA PERPENDICULAR A OTRA RECTA.............................................................................................................................51 RECTAS DE MÁXIMA PENDIENTE DE UN PLANO .................................................................................................................51 RECTAS DE MÁXIMA INCLINACIÓN DE UN PLANO ..............................................................................................................51 PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS................................................................................................................................52 PLANO PERPENDICULAR A OTROS DOS ..............................................................................................................................52capítulo 5. PROBLEMAS MÉTRICOS. .........................................................................................................................................53 PROBLEMAS MÉTRICOS. ....................................................................................................................................................54 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ...........................................................................................................................................54 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO .........................................................................................................................54 DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA.......................................................................................................................54 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.............................................................................................................54 PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN ............................................................................................55 ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS QUE SE CORTAN ................................................................................................................56 ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.................................................................................................................56 ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO...........................................................................................................................56 ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS ...............................................................................................................................................57capítulo 6. LUGARES GEOMÉTRICOS. ....................................................................................................................................58 LUGARES GEOMÉTRICOS. .................................................................................................................................................59 PUNTO QUE EQUIDISTA DE DOS PUNTOS DADOS ..............................................................................................................59 PUNTO QUE EQUIDISTA DE DOS PUNTOS DADOS Y SE ENCUENTRA EN UNA RECTA DADA ......................................59 RECTA QUE SE CORTA CON DOS RECTAS DADAS Y PASA POR UN PUNTO DADO.......................................................59 RECTA QUE CONTIENE A UN PUNTO DADO Y FORMA UN ÁNGULO DADO CON EL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIÓN ..............60 RECTA QUE CONTIENE A UN PUNTO DADO Y FORMA UN ÁNGULO DADO CON EL PLANO VERTICAL vi
    • Geometría Descriptiva TABLA DE CONTENIDO Ing. Alberto M. Pérez G. DE PROYECCIÓN .............. 60 PLANO QUE CONTIENE A UNA RECTA DADA Y FORMA UN ÁNGULO DADO CON EL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIÓN .............. 61 PLANO QUE CONTIENE A UNA RECTA DADA Y FORMA UN ÁNGULO DADO CON EL PLANO VERTICAL DE PROYECCIÓN .............. 62 RECTA CONTENIDA EN UN PLANO DADO Y QUE FORMA UN ÁNGULO DADO CON EL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCIÓN .............. 62 RECTA CONTENIDA EN UN PLANO DADO Y QUE FORMA UN ÁNGULO DADO CON EL PLANO VERTICAL DE PROYECCIÓN .............. 63capítulo 7. MÉTODOS PARA OBTENER PROYECCIONES EN VERDADERO TAMAÑO. ............... 65 REBATIMIENTO DE PLANOS. ............................................................................................................................................ 66 GENERALIDADES DEL REBATIMIENTO DE PLANOS ........................................................................................................... 66 REBATIMIENTO DIRECTO Y REBATIMIENTO INVERSO ....................................................................................................... 66 REBATIMIENTO A TRAVÉS DE LA TRAZA HORIZONTAL DE UN PLANO ........................................................................... 67 REBATIMIENTO DE VARIOS PUNTOS .................................................................................................................................... 68 REBATIMIENTO DE LA TRAZA VERTICAL DE UN PLANO.................................................................................................... 68 REBATIMIENTO DE UN PUNTO DE UN PLANO, POR MEDIO DEL REBATIMIENTO PREVIO DE LA TRAZA VERTICAL DEL PLANO .............. 68 REBATIMIENTO A TRAVÉS DE LA TRAZA VERTICAL DE UN PLANO................................................................................. 69 REBATIMIENTO DE VARIOS PUNTOS .................................................................................................................................... 69 REBATIMIENTO DE LA TRAZA HORIZONTAL DE UN PLANO .............................................................................................. 70 REBATIMIENTO DE UN PUNTO DE UN PLANO, POR MEDIO DEL REBATIMIENTO PREVIO DE LA TRAZA HORIZONTAL DEL PLANO .............. 70 REBATIMIENTO A TRAVÉS DE UNA RECTA CARACTERÍSTICA HORIZONTAL DE UN PLANO ....................................... 71 REBATIMIENTO DE VARIOS PUNTOS .................................................................................................................................... 71 REBATIMIENTO DE UNA RECTA CARACTERÍSTICA FRONTAL DE UN PLANO................................................................. 72 REBATIMIENTO A TRAVÉS DE UNA RECTA CARACTERÍSTICA FRONTAL DE UN PLANO.............................................. 72 REBATIMIENTO DE VARIOS PUNTOS .................................................................................................................................... 73 REBATIMIENTO DE UNA RECTA CARACTERÍSTICA HORIZONTAL DE UN PLANO .......................................................... 74 ROTACIÓN. ................................................................................................................................................................................. 77 ROTACIÓN DE UN PUNTO ALREDEDOR DE UN EJE DE PUNTA......................................................................................... 77 ROTACIÓN DE VARIOS PUNTOS............................................................................................................................................. 77 ROTACIÓN DE UNA RECTA ..................................................................................................................................................... 77 ROTACIÓN DE UN PLANO A UNA POSICIÓN VERTICAL ...................................................................................................... 78 ROTACIÓN DE UN PLANO EN POSICIÓN VERTICAL HASTA UNA POSICIÓN FRONTAL.................................................. 79 ROTACIÓN DE UN PLANO CUALQUIERA A UNA POSICIÓN FRONTAL .............................................................................. 79 ROTACIÓN DE UN PLANO A UNA POSICIÓN DE PUNTA...................................................................................................... 80 ROTACIÓN DE UN PLANO EN POSICIÓN DE PUNTA HASTA UNA POSICIÓN HORIZONTAL ........................................... 82 ROTACIÓN DE UN PLANO CUALQUIERA A UNA POSICIÓN HORIZONTAL........................................................................ 83 CAMBIO DE PLANOS DE Proyección. .............................................................................................................................85 vii
    • Geometría Descriptiva TABLA DE CONTENIDO Ing. Alberto M. Pérez G. CAMBIO DEL PLANO VERTICAL DE PROYECCÍON PARA OBSERVAR EN POSICIÓN DE PUNTA A UN PLANO CUALQUIERA ..............85 CAMBIO DEL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCÍON PARA OBSERVAR EN POSICIÓN HORIZONTAL A UN PLANO DE PUNTA ..............86 OBSERVACIÓN EN POSICIÓN HORIZONTAL DE UN PLANO CUALQUIERA POR MEDIO DE DOS CAMBIOS DE PLANO DE PROYECCIÓN SUCESIVOS ..............87 CAMBIO DEL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCÍON PARA OBSERVAR EN POSICIÓN VERTICAL A UN PLANO CUALQUIERA ..............88 CAMBIO DEL PLANO VERTICAL DE PROYECCÍON PARA OBSERVAR EN POSICIÓN FRONTAL A UN PLANO QUE SE ENCUENTRA EN POSICIÓN VERTICAL ..............88 OBSERVACIÓN EN POSICIÓN FRONTAL DE UN PLANO CUALQUIERA POR MEDIO DE DOS CAMBIOS DE PLANO DE PROYECCIÓN SUCESIVOS ..............89capítulo 8. POLIEDROS. .........................................................................................................................................................................91 POLIEDROS. ...............................................................................................................................................................................92 DETERMINACIÓN DE LA VISIBILIDAD EN LAS PROYECCIONES DE POLIEDROS ............................................................92 TETRAEDRO REGULAR........................................................................................................................................................94 CONSTRUCCIÓN DE UN TETRAEDRO REGULAR CONOCIDO UN VÉRTICE Y UNA RECTA QUE CONTIENE AL EJE ..............95 CONSTRUCCIÓN DE UN TETRAEDRO REGULAR CONOCIDO UN VÉRTICE Y UNA RECTA QUE CONTIENE A UNA ARISTA ..............96 CONSTRUCCIÓN DE UN TETRAEDRO REGULAR CONOCIDO EL PLANO QUE CONTIENE A UNA CARA Y EL VÉRTICE NO CONTENIDO EN ESE PLANO ..............97 CUBO..............................................................................................................................................................................................99 CONSTRUCCIÓN DE UN CUBO CONOCIDO UN VÉRTICE Y EL EJE .................................................................................100 CONSTRUCCIÓN DE UN CUBO CONOCIDO UN VÉRTICE Y UNA RECTA QUE CONTIENE A UNA DIAGONAL MAYOR ............101 PIRÁMIDE REGULAR RECTA. ..........................................................................................................................................103 CONSTRUCCIÓN DE UNA PIRÁMIDE REGULAR RECTA CONOCIDA LA ALTURA; EL EJE; Y UN VÉRTICE DE LA BASE ............103 CONSTRUCCIÓN DE UNA PIRÁMIDE REGULAR RECTA CONOCIDO EL PLANO DE LA BASE; UNA RECTA QUE CONTIENE A UNA ARISTA PRINCIPAL; Y LA LONGITUD DE LAS ARISTAS DE LA BASE ............104 CONSTRUCCIÓN DE UNA PIRÁMIDE REGULAR RECTA CONOCIDO EL VÉRTICE PRINCIPAL; Y EL PLANO BASE CON UNA RECTA QUE CONTIENE A UNA DE LAS ARISTAS DE LA BASE ............106 PRISMA REGULAR RECTO. ..............................................................................................................................................107 CONSTRUCCIÓN DE UN PRISMA REGULAR RECTO CONOCIDO UN PLANO BASE CON UNO DE LOS VÉRTICES DE LA MISMA; Y EL CENTRO DE LA OTRA BASE ............107 CONSTRUCCIÓN DE UN PRISMA REGULAR RECTO CONOCIDO EL EJE; LA ALTURA; Y UN VÉRTICE ..........108 CONSTRUCCIÓN DE UN PRISMA REGULAR RECTO CONOCIDA LA ALTURA; UN VÉRTICE; Y UNA RECTA QUE CONTIENE A UNA ARISTA PRINCIPAL ............109 viii
    • Geometría Descriptiva TABLA DE CONTENIDO Ing. Alberto M. Pérez G.BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................................................................................. 111 ix
    • Geometría Descriptiva INTRODUCCIÓN Ing. Alberto M. Pérez G. no está muy claro que haya hecho dibujos en los queintroducción. aparecieran vistas ortográficas, aunque es muy probable que los hubiera hecho. El tratado de Leonardo da VinciAunque los hombres no han podido ponerse de acuerdo sobre pintura, publicado en 1.651, se considera como elpara llegar a un lenguaje mundial de palabras y frases, ha primer libro impreso sobre la teoría de dibujo deexistido un lenguaje realmente universal desde los tiempos proyecciones; pero esta enfocado a la perspectiva, no a lamas remotos: el lenguaje gráfico. La idea de comunicar los proyección ortográfica.pensamientos de una persona a otra por medio de figurasexistió desde la antiguedad. Los hombres primitivos En cuanto a la Geometría (parte de la matemática que seregistraban sus ideas por medio de figuras hechas sobre ocupa de las propiedades, medidas y relaciones entrepieles, piedras, paredes de cavernas, etc. Las formas mas puntos, líneas, ángulos, superficies y cuerpos), tuvo su origenantiguas de escritura se realizaron con figuras, como lo en Egipto hacia el año 1.700 a. C., y su desarrollo se debió aprueban los jeroglíficos egipcios. Mas adelante, estas figuras la necesidad práctica de la medición de terrenos. Hacia elfueron simplificadas, y transformadas en los símbolos año 600 a. C. Tales de Mileto la introdujo en Grecia y fundóabstractos que dieron origen a la escritura actual, la cual la escuela jónica. Su discípulo Pitágoras fundó la escuelatiene por lo tanto su fundamento en el dibujo. pitagórica que dio gran avance a la geometría demostrando, entre otros su famoso teorema para losEn la figura siguiente se muestra un ejemplo de como a triángulos rectángulos (a2 + b2 = h2). Otros personajespartir de los jeroglíficos egipcios: Aleph (buey) y Nahas destacados en este campo fueron: Zenón, Hippias, Platón,(serpiente) pueden haber evolucionado los caracteres Hipócrates, Eudoxio, Arquímides, etc.latinos (A y N) respectivamente. En el siglo tres a. C. Euclides en su obra Elementos culmina una prolongada evolución de las ideas y establece de Aleph (buey) forma sistemática los fundamentos de la geometría elemental. Durante la edad media se observó poco avance en el campo de la geometría, contrariamente al desarrollo Nahas extraordinario que se observó en la edad moderna, en la(serpiente) cual Desargues estableció los fundamentos de la Geometría Proyectiva y Monge los de la Geometría Descriptiva, la cual es la gramática del lenguaje gráfico.La representación gráfica se desarrolló básicamente en dosdirecciones distintas: a) la artística y b) la técnica. Con respecto a la Geometría Descriptiva, sus comienzos están asociados en los problemas que se encontraron en el diseñoEn la antiguedad prácticamente todo el mundo era iletrado, de edificios y fortificaciones militares en Francia en el siglono existía la imprenta, por lo tanto no había periódicos ni dieciocho. Se considera a Gaspar Monge (1.746 - 1.818), yalibros, y los pocos que había eran manuscritos realizados en citado, como el "inventor" de la geometría descriptiva,papiro o pergamino y no eran asequibles al público. En aunque precedieron a sus esfuerzos varias publicacionesgeneral la gente aprendía escuchando, mirando esculturas, sobre Estereotomía (arte y técnica de tallar la madera odibujos, cuadros, expuestos en lugares públicos. El artista no piedra con fines constructivos), arquitectura, y perspectivaera simplemente un artista, era también un maestro, un donde ya se aplicaban muchos de los conceptos de lafilósofo, un medio de expresión y comunicación. geometría descriptiva. Fue a finales del siglo dieciocho cuando Monge, siendo profesor de la Escuela TecnológicaEn cuanto a la representación técnica, se desarrolló desde de Francia, desarrolló los principios de la proyección quelos comienzos de la historia registrada ante la necesidad de constituyen la base del dibujo técnico de hoy en día. Prontorepresentar los objetos diseñados para su posterior se reconoció que estos principios de la geometríaconstrucción o fabricación. descriptiva tenían tan gran importancia militar que se obligóDe las ruinas de antiguos edificios, acueductos, puentes, y a Monge a mantenerlos en secreto hasta 1.795, año a partirotras estructuras de buena construcción se deduce que no del cual se convirtieron en parte importante de lapudieron haberse levantado sin la previa elaboración de educación técnica en Francia y Alemania; y posteriormentedibujos cuidadosamente preparados que sirvieran de guía a en los Estados Unidos. Su libro La Géométrie Descriptive, sesus constructores. considera aun como el primer texto para exponer los principios básicos del dibujo de proyectistas.El dibujo técnico mas antiguo que se conoce es un grabadorealizado sobre una loseta de piedra que representa el Los principios de Monge llegaron a los Estados Unidos endiseño en planta de una fortaleza, realizado alrededor del 1.816, procedentes de Francia, y los trajo el Sr. Claudeaño 4.000 a.C. por el Ingeniero caldeo Gudea. Crozet, profesor de la Academia Militar de West Point. El profesor Crozet publico en 1.821 el primer texto en inglésEn el año 30 a. C., el Arquitecto romano Vitruvius escribió un sobre geometría descriptiva. En los años siguientes setratado sobre Arquitectura. convirtieron estos principios en parte regular del plan deSe atribuye a los Arquitectos italianos Alberti, Brunelleschi y estudios de los primeros años de ingeniería en el Institutootros el desarrollo, a principios de siglo quince, de la teoría Politécnico Rensselaer, en la Universidad de Harvard, en lade las proyecciones de objetos sobre planos imaginarios de Universidad de Yale, y en otras, convirtiéndose de esta formaproyección (proyección en vistas). hoy en día la geometría descriptiva en materia de estudio en los primeros años de las carreras de Ingeniería yY aunque Leonardo da Vinci usaba dibujos para transmitir a Arquitectura en la gran mayoría de las universidades dellos demás sus ideas y diseños de construcciones mecánicas, mundo. xi
    • Geometría Descriptiva JUSTIFICACIÓN Ing. Alberto M. Pérez G.JUSTIFICACIÓN.Es muy común que el estudiante de Ingeniería, Arquitectura,ú otras carreras afines, inicie sus estudios con la impresión deque el trabajo en la mesa de dibujo será una actividad deimportancia secundaria en su vida profesional, y por lo tantocarece de sentido dedicar tiempo y esfuerzo en adquirir el responsabilidad neta del proyectista y lo que determinarádominio de una actividad tan rutinaria como la elaboración que el aspecto final del proyecto sea o nó el que él hade dibujos, propia netamente de los dibujantes. Esta forma concebido inicialmente. Es por esta razón necesario que elde pensar es completamente errónea, pues es el dominio proyectista domine las técnicas de dibujo y expresiónde la expresión gráfica de sus ideas lo que lo hará mas y gráfica, pues deben hacerse muchos esquemas antes demejor profesional. Y lejos de concebirla como una actividad concebir una idea definitiva, y estos no los va a realizar elsin importancia debe asimilarla como lo que realmente es: dibujante, pues el no es quien esta desarrollando la idea. Sila base ó piedra de fundamento sobre la que edificará toda bien es cierto que al momento de realizar un proyecto sesu vida profesional. Es precisamente en este inicio de sus elaboran muchos esquemas a mano alzada, también esestudios, el momento en el cual el futuro profesional debe frecuente, en esta fase de diseño, la realización de dibujostomar una decisión que afectará toda su vida, pues debe técnicos aunque no definitivos para fijar detalleselegir, paradójicamente hablando, si fundará su edificio constructivos que sería imposible definir en un esquemasobre roca ó arena. impreciso, y estos en la mayoría de los casos tampoco los realiza el dibujante. Por esta razón, el Ingeniero ó ArquitectoEl profesional de la Ingeniería, Arquitectura, o cualquier otra debe dominar el dibujo a mano alzada y el Dibujo Técnico ycarrera afín, debe ser capaz de expresar gráficamente y estar consciente que el aspecto expresivo de un dibujo escon toda claridad sus ideas. Todo proyecto consta de: algo muy personal que el debe desarrollar y transmitir a suscálculos de esfuerzos, análisis de movimientos, diseño y dibujantes, para que sus dibujos expresen lo que el quieredimensionamiento de partes, especificación de materiales, decir y en la forma en que él lo quiere decir. Quizás pues unproceso de ensamblaje y/o construcción, entre otros profesional de la Ingeniería ó Arquitectura que no domine elaspectos, estas características no se expresan con palabras, dibujo y sus técnicas es comparable a un ser que carezcaaunque son utilizadas en un breve porcentaje, deben de habla; y en base a esta misma comparación puedeelaborarse planos que sirvan de guía para la construcción decirse que un Ingeniero o Arquitecto que dibuje mal esde todo proyecto, y la expresividad de estos planos equivalente a un ser que hable mal, y ambos correrán eles riesgo de que sus ideas sean rechazadas, aún siendo grandes ideas, por no haber sido expuestas en forma clara y precisa, causando de esta forma la incomprensión de las mismas. Es aquí donde tiene gran vigencia el adagio popular que dice: No importa sólo lo que se dice; sino también como se dice. xii
    • Geometría Descriptiva OBJETIVOS Ing. Alberto M. Pérez G.OBJETIVOS. Otra de las dificultades con que se encuentra el estudiante de Geometría Descriptiva es el grado de sintetización que se alcanza al representar objetos tridimensionales medianteLa Geometría Descriptiva es de las materias que se esquemas bidimensionales. Esto también ha sidoaprenden "haciendo" y no solo "viendo". Y es quizás este descuidado o cubierto de manera insatisfactoria en unaaspecto lo que dificulta su aprendizaje, siendo necesario por gran cantidad de textos de Geometría Descriptiva, por loparte del estudiante la realización constante de ejercicios tanto en la elaboración de la presente obra han sidoprácticos que le permitan consolidar los conocimientos incluidas una gran variedad de ilustraciones tridimensionalesteóricos previamente expuestos. Este aspecto de la realizadas en perspectivas diversas, y presentadasGeometría Descriptiva, aunque es considerado en la paralelamente junto a su correspondiente representación enenseñanza en aula de la misma, ha sido descuidado en la Doble Proyección Ortogonal.elaboración de la mayoría de los textos. Siendo por estarazón uno de los objetivos de la presente obra subsanar esta Se pretende asimismo que la presente obra sirva comocarencia, colocando al alcance de los estudiantes de material de apoyo y consulta para los estudiantes deGeometría Descriptiva, así como de los profesionales de la Geometría Descriptiva, quienes durante el transcurso de suIngeniería y/o Arquitectura que así lo requieran, un texto asistencia diaria a clases se encuentran con la dificultad deteórico en el cual puedan revisar los conceptos la toma de apuntes, en algunos casos de difícil elaboración,fundamentales de la misma. y que por lo tanto son copiados en forma imprecisa en sus cuadernos, trayendo posteriormente resultados desastrosos en el momento de pretender consolidar los conocimientos adquiridos. El contenido de la presente obra esta basado en el programa vigente de la materia Sistemas de Representación 10 dictado en la Universidad de Los Andes. xiii
    • Geometría Descriptiva METODOLOGÍA Ing. Alberto M. Pérez G.METODOLOGÍA. 1) Se expone, mediante un breve comentario teórico, elCon la finalidad de alcanzar los objetivos propuestos, la concepto que se quiere emitir. Este debe ser leídopresente obra se desarrolla de la siguiente manera: por el estudiante, las veces que lo considere necesario hasta lograr su comprensión.a) En su comienzo se presenta un marco teórico en el cual se exponen los conceptos básicos de la Geometría 2) Acompaña al concepto teórico en estudio un Elemental; tales como: punto; línea; recta; plano; etc. gráfico en perspectiva que lo ilustra, el cual, al ser Continuando esta sección se exponen, en forma observado paralelamente con la lectura, facilitará netamente práctica, los procedimientos de trazado con grandemente la comprensión de la idea que se las escuadras, y de dibujo de polígonos regulares de quiere expresar. hasta ocho lados por métodos particulares y generales. Los conceptos expuestos en esta sección se supone que 3) Se incluye, en forma simultánea con el gráfico en son del conocimiento previo por parte del estudiante de perspectiva, una segunda ilustración del mismo Geometría Descriptiva, por lo tanto son mostrados en concepto, pero elaborada en doble proyección forma netamente gráfica, por medio de ilustraciones ortogonal. Esto se hace con la finalidad de capacitar sencillas y de fácil interpretación, no obstante si se al estudiante en la resolución práctica de problemas dificulta su comprensión deben estudiarse estos métodos de Geometría Descriptiva. Estas dos ilustraciones por medio de cualquier texto básico de Geometría. deben compararse minuciosamente para lograr la comprensión total de las mismas. Todos los conceptos teóricos aquí expuestos son de gran importancia para la comprensión del resto de esta obra 4) Seguidamente se desarrolla, a manera de ejemplo, y y el estudiante no debe pasar esta sección si no netamente en Doble Proyección Ortogonal, un comprende y/o ejecuta sin dificultad los procedimientos ejercicio relacionado con el concepto recién prácticos aquí mostrados, ya que son la base del trabajo expuesto, explicando con detalle la elaboración del en Doble Proyección Ortogonal. mismo. Por medio de estos ejercicios el estudiante podrá darse cuenta si ha adquirido la comprensiónb) Sigue a esta exposición de conceptos básicos una de lo explicado y se encuentra en condiciones de introducción a los Sistemas de Proyección, presentando continuar el estudio de los siguientes conceptos. una breve descripción de los mas comunes. Esto es con la finalidad de que el estudiante conozca y diferencie En general, esta obra debe ser estudiada inicialmente en el las distintas formas de representación de los objetos. orden expuesto y en la forma descrita, ya que cada uno de los conceptos emitidos inicialmente tiene relación con losc) A continuación se describe detalladamente el sistema que serán presentados posteriormente. No obstante, una vez de Doble Proyección Ortogonal, también denominado conocido todo el contenido de esta obra, el estudiante sistema de Proyección Diédrica, el cual es el objeto podrá darse cuenta que logrará repasar fácilmente principal de esta obra. En adelante se definirán con cualquier tema en particular por medio de la simple exactitud los métodos de representación de puntos, observación de los gráficos que lo acompañan, sin que sea rectas, planos, poliedros, determinación de necesario leer nuevamente todo el contenido teórico intersecciones, trazado de rectas y planos paralelos y expuesto. perpendiculares, procedimientos de observación de elementos geométricos en verdadero tamaño, Con respecto a la nomenclatura utilizada en la elaboración visibilidad, etc. de la presente obra, su significado se explica en el momento en que es introducida por primera vez, por considerar que A partir de esta sección, todos los conceptos son este es el momento mas propicio para su comprensión. expuestos de la siguiente manera: Finalmente, el estudiante debe ejercitarse en la resolución de problemas, resolviendo para ello los ejercicios que podrá encontrar en cualquier problemario ó guía de ejercicios de Geometría Descriptiva. xiv
    • Geometría Descriptiva Ing. Alberto M. Pérez G. define las reglas que rigen la elaboración de estascapítulo 1 proyecciones.marco teórico. Se logra definir gráficamente cualquier objeto, mediante la sintetización del mismo a sus elementos geométricos mas simples, como lo son: puntos; líneas; superficies; ángulos; etc.Todos los objetos creados por el hombre, desde un simple Es por lo tanto necesario que el estudiante de Geometríaalfiler hasta la más compleja maquinaria, planta industrial, Descriptiva domine y exprese estos conceptos en formaobra civil, etc, son concebidos inicialmente en forma correcta, razón por la cual se inicia la presente obra conmental, y antes de su fabricación deben ser descritos con este primer capítulo, en el cual se describen en forma simpletoda precisión para resolver con exactitud cualquier los conceptos geométricos básicos de mayor uso en elproblema relacionado con su forma, tamaño y estudio de la Geometría Descriptiva.funcionalidad. Además, pensando en la ejercitación práctica delEs el estudio de la Geometría Descriptiva, lo que permite estudiante en la resolución de problemas de Geometríadefinir correctamente la representación plana (proyección) Descriptiva, se incluyen en este marco teórico las formasde los objetos tridimensionales antes ó después de su elementales de: trazado; manejo de escuadras y compás; yexistencia real. se incluye una breve descripción del concepto de escala.Estudiar Geometría Descriptiva es estudiar el mundo que nos Se supone que todo el contenido de este primer capítulo esrodea, es describir la forma de: tornillos; resortes; engranajes; del conocimiento previo del estudiante de Geometríarelojes; sillas; mesas; televisores; carros; casas; Descriptiva, razón por la cual se presenta en forma concisa yurbanizaciones; carreteras; represas; planetas; galaxias; en con carácter principalmente informativo.fin, todos los objetos físicos que nos rodean pueden serconcebidos por el hombre mediante representacionesplanas de los mismos, y es la Geometría Descriptiva la que
    • Geometría Descriptiva CONCEPTOS BÁSICOS Ing. Alberto M. Pérez G. SEGÚN LA POSICIÓN RELATIVA EN QUE SE ENCUENTREN DOS RECTAS,CONCEPTOS BÁSICOS. SE DEFINEN COMO: a) Rectas que se cortan. Si las rectas poseen un punto enPUNTO. común. En este caso las rectas están contenidas en un mismo plano fig.4a.Es la representación de una posición fija del espacio. No esun objeto físico, por lo tanto carece de forma y dimensiones. b) Rectas paralelas. Si mantienen indefinidamente laEn la fig.1, se muestran algunas formas de representar a un distancia entre ellas. En este caso las rectas estánpunto. contenidas en un mismo plano fig.4b. c) Rectas que se cruzan. Son dos rectas que no se cortan ni son paralelas. En este caso las rectas no están contenidas en un mismo plano fig.4c. A A A a a b a b b P Cortando líneas Con un círculo Con un cuadrado a) Rectas que se cortan b) Rectas paralelas c) Rectas que se cruzan fig.1. Representación de un Punto. fig.4. Posición relativa entre rectas.LÍNEA. ÁNGULO.Es una sucesión infinita de puntos. Una línea puede ser: a)recta, b) poligonal (quebrada), ó c) curva fig.2. Porción de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen común. c) Curva UN ÁNGULO, SEGÚN SU MEDIDA ANGULAR EN GRADOS 1 SEXAGESIMALES , SE DEFINE COMO: a) Cóncavo. Si mide entre 1800 y 3600 fig.5a. b) Llano. Si mide 1800 fig.5b. a) Recta b) Poligonal (Quebrada) c) Curva c) Completo. Si mide 3600 fig.5c. fig.2. Líneas. d) Convexo. Si miden menos de 1800. Se definen a su vez fig.5d:RECTA. 1) Agudo. Si mide menos de 900.Línea de dirección constante. Una recta puede ser definidapor dos puntos, a los que une recorriendo su menor 2) Recto. Si mide 900.distancia. 3) Obtuso. Si mide entre 900 y 1800.ALGUNAS PARTES DE UNA RECTA SON: DOS ÁNGULOS SE DEFINEN COMO:a) Semirrecta. Cada una de las dos partes en que divide a Ángulos consecutivos. Si se ubican uno a continuación del una recta, uno cualquiera de sus puntos fig.3a. otro. A su vez se denominan fig.5e:b) Segmento. Porción de una recta comprendida entre dos a) Complementarios. Si la suma de sus medidas angulares de sus puntos fig.3b. es igual a 900.Las semirrectas son de longitud infinita, mientras que los b) Suplementarios. Si la suma de sus medidas angulares essegmentos son de longitud finita. igual a 1800. DOS RECTAS QUE SE CORTAN DEFINEN CUATRO ÁNGULOS, LOS b CUALES, TOMADOS EN PARES, SE DEFINEN COMO: B a) Opuestos. Si no poseen ninguna semirrecta común. En a A A este caso sus medidas angulares son iguales fig.5f. A-B a) Semirrectas (a) y (b) b) Segmento (A-B) b) Adyacentes. Si poseen una semirrecta común. En este caso son ángulos suplementarios fig.5g. fig.3. Partes de una Recta. 1 Un grado sexagesimal es la 90va. parte del ángulo recto. 2
    • Geometría Descriptiva CONCEPTOS BÁSICOS Ing. Alberto M. Pérez G.SI DOS RECTAS PARALELAS SON CORTADAS POR UNA TERCERA RECTA, a) Polígonos regulares. Polígonos en los cuales todos susSE FORMAN OCHO ÁNGULOS, LOS CUALES, CONSIDERADOS EN PARES lados son de igual longitud, y todos sus vértices estánDE IGUAL MEDIDA ANGULAR, SE DEFINEN COMO: circunscritos en una circunferencia. De acuerdo al número de sus lados, los polígonos regulares sea) Ángulos alternos. Los cuales se agrupan en fig.5h: denominan fig.7a: 1) Ángulos alternos internos. 1) Triángulo equilátero. Polígono regular de tres lados. 2) Ángulos alternos externos. 2) Cuadrado. Polígono regular de cuatro lados.b) Ángulos correspondientes, fig.5i. 3) Pentágono, hexágono, heptágono u octágono regular. Polígono regular de cinco, seis, siete u ocho lados respectivamente. α α α α α α b) Polígonos irregulares. Son polígonos en los cuales sus lados no son de igual longitud, y/o sus vértices no están Agudo 0 Recto 0 Obtuso contenidos en una circunferencia. Se clasifican a su vez, α<90 α=90 90o <α<1800 a) Cóncavo b) Llano c) Completo 0 según el número de sus lados en fig.7b:180o <α<3600 α=180 0 α=360 0 d) Convexo α<180 1) Triángulo. Polígono de tres lados. Los triángulos se denominan fig.7c: β β β α α α i) Triángulo equilátero. Si sus tres ángulos son Complementarios Suplementarios iguales. e) Ángulos consecutivos α+β=900. α+β=1800. ii) Triángulo isósceles. Si solo dos de sus ángulos son α α α iguales. β α β β α β β β α iii) Triángulo escaleno. Si sus tres ángulos son diferentes. f) Ángulos opuestos g) Ángulos adyacentes iv) Triángulo rectángulo. Si tienen un ángulo recto. α α α α v) Triángulo obtusángulo. Si tienen un ángulo β α α β α α β β obtuso. β β β β Alternos internos Alternos externos. vi) Triángulo acutángulo. Si sus tres ángulos son h) Ángulos alternos i) Ángulos correspondientes agudos. 2) Cuadrilátero. Polígono de cuatro lados. Los fig.5. Ángulos. cuadriláteros se clasifican en fig.7d: i) Paralelogramo. Cuadrilátero en el que los ladosPOLIGONAL. opuestos son paralelos. Se denominan a su vez:Línea formada por segmentos rectos consecutivos no A) Cuadrado. Paralelogramo en el cual los cuatroalineados. Una poligonal puede ser fig.6: ángulos son rectos y los cuatro lados son dea) Poligonal abierta. Si el primer y último segmentos no están igual longitud. unidos fig.6a. B) Rectángulo. Paralelogramo en el cual losb) Poligonal cerrada. Si cada segmento esta unido a otros cuatro ángulos son rectos, pero los lados dos fig.6b. adyacentes no son de igual longitud. C) Rombo. Paralelogramo que no tiene ángulos rectos, pero sus lados son de igual longitud. D) Romboide. Paralelogramo que no tiene ángulos rectos y sus lados adyacentes no son de igual longitud. ii) Trapecio. Cuadrilátero que tiene solo dos lados paralelos. Se definen a su vez como: a) Poligonal abierta b) Poligonal cerrada A) Trapecio rectángulo. Trapecio que tiene dos ángulos rectos. fig.6. Poligonal. B) Trapecio isósceles. Trapecio en el que sus lados no paralelos son de igual longitud.POLÍGONO. iii) Trapezoide. Cuadrilátero que no tiene ladosFigura geométrica plana limitada por una poligonal cerrada paralelos.que no se corta a sí misma. Los polígonos se clasifican enfig.7: 3
    • Geometría Descriptiva CONCEPTOS BÁSICOS Ing. Alberto M. Pérez G. 3) Pentágono, hexágono, heptágono, octágono. Polígono 1) Circunferencia. Cónica generada cuando el plano de cinco, seis, siete u ocho lados respectivamente (α) seccionante y el plano base del cono son fig.7b. paralelos; (α0=00). 2) Elipse. Cónica generada cuando el ángulo (α0) es menor que el ángulo (β0); (α0 < β0). 3) Parábola. Cónica generada cuando los ángulos (α0) y Triángulo Pentágono Hexágono Heptágono Octágono (β0) son iguales; (α0 = β0). equilátero Cuadrado regular regular regular regular 4) Hipérbola. Cónica generada cuando el ángulo (α0) a) Polígono regular es mayor que el ángulo (β0); (α0 > β0). El estudio de las cónicas es de gran importancia en los campos de la Óptica, Astronomía, Física, Biología, Informática, Ingeniería, entre otras, ya que son la base del diseño y construcción de lentes, espejos, y Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono superficies: elípticas, circulares parabólicas e b) Polígono irregular hiperbólicas, los cuales son componentes esenciales de: microscopios, telescopios, radares, antenas Tres ángulos Dos ángulos Tres ángulos Un ángulo Un ángulo Tres ángulos iguales iguales diferentes recto obtuso agudos parabólicas, teodolitos, distanciómetros, etc, de gran uso en estas ciencias. α β γ b) Curvas Matemáticas, Físicas, Estadísticas, etc. Estas α α α α β α curvas son generadas por ecuaciones propias de cada una de estas ciencias, y su estudio es de gran utilidad en Triángulo Triángulo Triángulo Triángulo Triángulo Triángulo la solución de problemas relacionados con las mismas. equilátero isósceles escaleno rectángulo obtusángulo acutángulo En la fig.8b se muestra una curva trigonométrica. c) Triángulo. Polígono de tres lados c) Espiral de Arquímides. Curva del plano, generada por un a b a punto (P) que se mueve con velocidad lineal constante b α (v), a lo largo de una recta (a); mientras esta gira, con a β a β α a a a a α β velocidad angular uniforme (ϖ), alrededor de un punto α β a b fijo contenido en ella fig.8c. b a a Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide d) Involuta ó Envolvente. Curva del plano, generada por un Paralelogramo. Cuadrilátero con lados opuestos paralelos punto fijo (P) de un hilo, mientras este se desenrolla a partir de un segmento, polígono regular ó circunferencia fig.8d. a a La involuta de un círculo se utiliza en la construcción de los α α dientes de engranajes. Trapecio Trapecio rectángulo Trapecio isósceles Trapezoide. e) Cicloide. Curva del plano, generada por un punto fijo (P) Trapecio. Cuadrilátero con Cuadrilátero sin de una circunferencia que ruede sin deslizarse a lo largo solo dos lados paralelos lados paralelos de una recta (a) fig.8e. d) Cuadrilátero. Polígono de cuatro lados Las cicloides tienen aplicación en la construcción de los dientes de engranajes. fig.7. Polígono. f) Catenaria. Curva plana que forma, por la acción de su propio peso, un hilo, completamente homogéneo,CURVA. flexible e inextensible, cuando se fijan dos de sus puntos fig.9a.Línea del plano o del espacio que no tiene segmentosrectos. Las curvas se clasifican en: La catenaria, tiene gran aplicación en la Ingeniería Eléctrica para el diseño y colocación de líneasa) Cónica. Curva que se genera al seccionar un cono recto eléctricas, ya que los cables, al ser suspendidos, generan de revolución con un plano fig.8a. este tipo de curvas y su estudio permite determinar los esfuerzos a que serán sometidos por la acción de suDEPENDIENDO DE LA RELACIÓN ENTRE LOS ÁNGULOS: propio peso. En la Ingeniería Civil se aplican en el diseño o α : Ángulo que forma el plano (α) seccionante con el plano base y construcción de puentes colgantes. del cono. g) Helice. Curva del espacio, generada por un punto (P), o β : Ángulo que forman las generatrices (g) del cono con el 2 de una recta (a), la cual se desplaza, con velocidad plano base del mismo. constante (v), y rota, con velocidad constante (ϖ), sobre otra recta (e), con la que se corta (fig.9b). Una hélice LAS CÓNICAS SE DENOMINAN fig.8a: puede ser: 1) Hélice cilíndrica. Si el punto (P) que la genera es un2 Rectas que contienen al vértice (V) del cono y a un punto (P) de su circunferencia punto fijo de la recta (a) fig.9b1.base. 4
    • Geometría Descriptiva CONCEPTOS BÁSICOS Ing. Alberto M. Pérez G. V aplican también en la Industria Publicitaria para la α construcción de avisos publicitarios. α α α ο a) Catenaria αο βο αο β g βο ο β P αο Circunferencia Elipse Parábola Hiperbola α0 = 00 α0 < β 0 α0 = β 0 α0 > β 0 a) Cónica b) Hélice 1,0 f(x)=seno α0 0,5 e e vp 0 α0 P a P a 00 900 1800 2700 3600 -0,5 v v ϖ ϖ -1,0 1) Hélice Cilíndrica 2) Hélice Cónica b) Curva trigonométrica fig.9. Catenaria - Hélice. v a CÍRCULO. Figura geométrica plana limitada por una circunferencia. En P la fig.10. Se muestran el círculo y sus partes. ϖ Tangente Circunferencia Arco Radio Radio Diámetro Círculo Cuerda Secante c) Espiral de Arquímides A B Círculos P Sector Cuadrante Concéntricos D C P A B P Segmento Involuta de una Recta. Involuta de un Polígono. Involuta de un Círculo. Círculos d) Involuta ó (envolvente) Semicírculo Excéntricos fig.10. Círculo y sus partes. P SUPERFICIE. a Configuración geométrica que posee solo dos dimensiones. e) Cicloide Los principales tipos de superficie son: fig.8. Curva. a) Superficie reglada. Superficie generada por el movimiento de una recta, denominada generatriz (g), 2) Hélice cónica. Si el punto (P) que la genera, se manteniéndose en contacto con otra ú otras líneas, mueve, con velocidad lineal constante (vp), a lo denominadas directrices (d), y cumpliendo además largo de la recta (a) fig.9b2. ciertas condiciones particulares. Entre las superficies Las hélices tienen aplicación en la Ingeniería regladas se pueden mencionar fig.11: Mecánica para la construcción de roscas de tornillos 1) Plano. Superficie reglada generada por el y tornillos sin fín para engranajes transportadores; movimiento de una generatriz (g), que se mantiene también en la Ingeniería Civil y Arquitectura las en contacto con una directriz (d) recta, siendo hélices se utilizan para el diseño y construcción de paralelas todas las posiciones de la generatriz escaleras en espiral (escaleras de caracol); se fig.11a. 5
    • Geometría Descriptiva CONCEPTOS BÁSICOS Ing. Alberto M. Pérez G.b) Superficie de curvatura simple. Superficie reglada en la a) Plano cual cada dos posiciones adyacentes de la generatriz g (g) son coplanares (son paralelas o se cortan) fig.11b. d Las superficies de curvatura simple son superficies desarrollables, es decir que pueden extenderse sobre un plano. Ejemplos de estas superficies son: e 1) Superficie cilindrica. Superficie generada por el movimiento de una generatriz (g) que se mantiene g en contacto con una directriz (d) curva, siendo además paralelas todas las posiciones de la g d generatriz. Las superficies cilíndricas pueden ser fig.11b1: d i) Superficie cilindrica de revolución. Superficie cilíndrica en la cual todas las posiciones de la Superficie cilindrica de revolución Superficie cilindrica de nó revolución generatriz (g) equidistan de un eje (e), paralelo a 1) Superficie cilindrica ella. ii) Superficie cilindrica de nó revolución. Superficie V V cilíndrica en la cual no es posible definir un eje (e) que equidiste de todas las posiciones de la g generatriz (g). g d 2) Superficie cónica. Superficie reglada generada por el movimiento de una generatriz (g), manteniéndose en e contacto con una directriz (d) curva, teniendo, todas d las posiciones de la generatriz (g), un punto común Superficie cónica de revolución. Superficie cónica de nó revolución. (V), denominado vértice. Se clasifican fig.11b2: 2) Superficie cónica i) Superficie cónica de revolución. Superficie cónica b) Superficies de curvatura simple en la cual, todas las posiciones de la generatriz (g), forman el mismo ángulo con un eje (e), que d1 pasa por el vértice (V). d1 δ δ ii) Superficie cónica de nó revolución. Superficie Plano Plano Director g Director g cónica en la cual no es posible definir un eje (e), d2 que forme el mismo ángulo con todas las posiciones de la generatriz. d2c) Superficie alabeada. Es una superficie reglada nó Plano Plano Director 1) Cilindroide Director 2) Conoide desarrollable, es decir, en la cual, dos posiciones sucesivas de la generatriz no son coplanares. Entre este g2 d1 tipo de superficies, se puede citar fig.11c: g2 δ 1) Cilindroide. La generatriz (g) se desplaza Plano manteniéndose paralela a un plano director (δ) y Director P apoyada sobre dos directrices (d1 y d2) curvas P fig.11c1. d1 α0 2) Conoide. La generatriz (g) se desplaza d2 d2 g1 g1 manteniéndose paralela a un plano director (δ) y Paraboloide Hiperbólico. Hiperboloide de Revolución. apoyada sobre dos directrices, siendo una de ellas recta (d1) y la otra curva (d2) fig.11c2. 3) Superficie doblemente reglada c) Superficies alabeadas 3) Superficie doblemente reglada. Superficie reglada en la cual por cada uno de sus puntos pasan dos fig.11. Superficies Regladas. generatrices (g1 y g2). Entre ellas se pueden citar fig.11c3: d) Superficie de doble curvatura. Son superficies generadas por el movimiento de una generatriz (g) curva. Estas i) Paraboloide hiperbólico. La generatriz (g) se superficies no contienen líneas rectas y por lo tanto no desplaza manteniéndose paralela a un plano son desarrollables. Entre ellas son muy conocidas las director (δ) y apoyada sobre dos directrices cuádricas, las cuales son superficies generadas por la rectas (d1 y d2) que se cruzan. rotación de una curva cónica alrededor de uno de sus ejes. Las cuádricas son fig.12: ii) Hiperboloide de revolución. La generatriz (g) se apoya sobre dos directrices (d1 y d2) circulares, 1) Esfera. La generatriz (g) es una circunferencia. paralelas, y se mueve manteniendo constante el 2) Elipsoide. La generatriz (g) es una elipse. ángulo (α0) que forma ellas. 6
    • Geometría Descriptiva CONCEPTOS BÁSICOS Ing. Alberto M. Pérez G. 3) Paraboloide. La generatriz (g) es una parábola. A) Prisma regular recto. Prisma regular cuyo eje (e), es perpendicular a las bases; en cuyo 4) Hiperboloide. La generatriz (g) es una hipérbola. caso todas sus caras laterales son rectángulos iguales. B) Prisma regular oblicuo. Prisma regular cuyo e e e eje (e), no es perpendicular a las bases. g g g g iv) Paralelepípedo. Prisma cuyas bases son paralelogramos. Pueden ser a su vez rectos u oblicuos. g e 4) Pirámide. Poliedro definido por un polígono base, y cuyas caras laterales son triángulos que poseen un Esfera Elipsoide Paraboloide Hiperboloide vértice común (V), denominado vértice de la pirámide, no contenido en el plano base. La recta que pasa fig.12. Superficies de doble curvatura. por el vértice de la pirámide y el centro geométrico de la base se denomina eje de la pirámide (e). Las pirámides se denominan fig.13d:SÓLIDO. i) Pirámide recta. Si el eje (e), es perpendicular a laEspacio limitado por superficies. Se clasifican en: base.a) Poliedro. Sólido limitado por superficies planas ii) Pirámide oblicua. Si el eje (e), no es perpendicular (polígonos). Los polígonos que limitan al sólido se a la base. denominan caras; los lados de estos polígonos aristas; y los puntos donde concurren varias aristas vértices. Los iii) Pirámide regular. Pirámide cuya base es un poliedros se denominan fig.13: polígono regular. Pueden a su vez ser: 1) Poliedro irregular. Poliedro que posee caras A) Pirámide regular recta. Pirámide regular cuyo diferentes y/o aristas de longitudes distintas. Según el eje (e), es perpendicular a la base; en cuyo número de sus caras, se denominan: caso, todas sus caras laterales son triángulos isósceles iguales. Tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro ú octaedro. Poliedro de cuatro, cinco, seis, siete, u ocho caras B) Pirámide regular oblicua. Pirámide regular respectivamente fig.13a. cuyo eje (e), no es perpendicular a la base. 2) Poliedro regular. Poliedro cuyas caras son polígonos b) Cuerpo redondo. Sólido que contiene superficies curvas. regulares iguales, y todas sus aristas son de igual Entre ellos se pueden mencionar fig.14: longitud; en consecuencia, todos sus vértices están 1) Cilindro. Sólido limitado por una superficie cilíndrica y contenidos en una esfera. Los poliedros regulares son por dos bases planas paralelas. La recta que pasa cinco y se denominan fig.13b: por los centros geométricos de las bases se i) Tetraedro regular. Poliedro definido por cuatro denomina eje del cilindro (e), y es paralela a la triángulos equiláteros iguales. generatriz (g) de la superficie cilíndrica. Los cilindros pueden ser fig.14a: ii) Hexaedro regular (cubo). Poliedro definido por seis cuadrados iguales. i) Cilindro recto. Si el eje (e), es perpendicular a las bases. iii) Octaedro regular. Poliedro definido por ocho triángulos equiláteros iguales. ii) Cilindro oblicuo. Si el eje (e), no es perpendicular a las bases. iv) Dodecaedro regular. Poliedro definido por doce pentágonos regulares iguales. iii) Cilindro de revolución. Cilindro limitado por una superficie cilíndrica de revolución. Pueden a su v) Icosaedro regular. Poliedro definido por veinte vez ser: triángulos equiláteros iguales. A) Cilindro de revolución recto. Cilindro de 3) Prisma. Poliedro definido por dos polígonos iguales y revolución cuyo eje (e), es perpendicular a las paralelos (bases) y cuyas caras laterales son bases. paralelogramos. La recta que une los centros geométricos de las bases se denomina eje del prisma B) Cilindro de revolución oblicuo. Cilindro de (e). Los prismas se denominan fig.13c: revolución cuyo eje (e), no es perpendicular a las bases. i) Prisma recto. Si el eje (e), es perpendicular a las bases; en cuyo caso todas sus caras laterales son 2) Cono. Sólido limitado por una superficie cónica y por rectángulos. una base plana. La recta que pasa por el vértice (V), de la superficie cónica y el centro geométrico de la ii) Prisma oblicuo. Si el eje (e),no es perpendicular a base se denomina eje del cono (e). Los conos pueden las bases. ser fig.14b: iii) Prisma regular. Prisma cuyas bases son polígonos regulares. Pueden a su vez ser: 7
    • Geometría Descriptiva CONCEPTOS BÁSICOS Ing. Alberto M. Pérez G. i) Cono recto. Si el eje (e), es perpendicular a la ii) Toro (anillo). Su superficie la genera una base. circunferencia ó una elipse, que gira alrededor de un eje (e), coplanar con ella, y situado fuera ii) Cono oblicuo. Si el eje (e), no es perpendicular a de ella. la base. iii) Cono de revolución. Cono limitado por una superficie cónica de revolución. Pueden a su vez e e e e ser: A) Cono de revolución recto. Cono de revolución cuyo eje (e), es perpendicular a la base. B) Cono de revolución oblicuo. Cono de Cilindro recto Cilindro de revolución cuyo eje (e), no es perpendicular a Cilindro recto Cilindro oblicuo de revolución revolución oblicuo la base. Cilindro de nó revolución Cilindro de revolución a) Cilindro e e e e V V V V Tetraedro Pentaedro Hexaedro Heptaedro Octaedro. Cono recto Cono oblicuo Cono recto de Cono de a) Poliedros irregulares revolución revolución oblicuo Cono de nó revolución Cono de revolución b) Cono e Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro regular regular (cubo) regular regular regular b) Poliedros regulares Esfera Elipsoide Paraboloide Hiperboloide Toro Sólidos limitados por superficies cuádricas e e e e c) Sólidos de revolución fig.14. Cuerpos redondos. Prisma recto Prisma oblicuo Prisma regular recto Prisma regular oblicuo TRAZADO. Prisma irregular Prisma regular c) Prismas En la fig.15, se muestran los tipos básicos de trazado, utilizados en la elaboración de un dibujo. e e e e Contorno visible Procedimiento Contorno invisible Pirámide regular Pirámide regular Eje Pirámide recta Pirámide oblicua recta oblicua Verdadero tamaño Pirámide irregular Pirámide regular d) Pirámides Cota fig.13. Poliedros. fig.15. Líneas de trazado. 3) Sólido de revolución. Sólido limitado por una generatriz curva que rota alrededor de un eje. Entre ellos se pueden mencionar fig.14c: i) Esfera, elipsoide, paraboloide e hiperboloide. Espacios limitados por estos tipos de superficie ya descritas. 8
    • Geometría Descriptiva TRAZADO Ing. Alberto M. Pérez G. 0 0 a) Rectas a 45 b b) Rectas a 75EL JUEGO DE ESCUADRAS. bUn juego de escuadras, se compone de una escuadra y uncartabón. Siendo la hipotenusa de la escuadra, de iguallongitud que el cateto mayor del cartabón fig.16. a 0 45 Cartabón 0 Escuadra 30 1 2 b a a 0 45 0 60 fig.16. Juego de escuadras.TRAZADO DE RECTAS CON LAS ESCUADRAS. 0 c) Rectas a 15Por medio de las escuadras, pueden trazarse rectasparalelas, rectas perpendiculares y rectas que se corten a 0 fig.19. Trazado de rectas a 45 ; 75 y 15 . 0 0cualquier ángulo que sea múltiplo de 150, según puedeobservarse en las fig.17 a fig.19: TRAZADO DE UNA RECTA (t) TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA. b // a b⊥a a) Por un punto (T), contenido en la circunferencia. fig.20. a) b) t a a T T O O t a) Rectas paralelas b) Rectas perpendiculares fig.17. Trazado de rectas paralelas; y perpendiculares. fig.20. Recta (t), tangente a una circunferencia, en un punto (T) de ella. b b b) Por un punto (A), no contenido en ella. Ejemplo: Trazar una recta (t), tangente a una circunferencia, y que pase por un punto (A) externo a ella fig.21a: Solución: a a a) Se traza el segmento (A-O), y se define su punto medio (M) fig.21b. a) Rectas a 30 0 b) Rectas a 60 0 b) Con centro en (M), se dibuja el arco que pase por el centro (O) de la circunferencia, determinando sus puntos fig.18. Trazado de rectas a 30 ; y 60 . 0 0 de corte (T1 y T2) con la misma. c) Las rectas (t1 y t2), que parten del punto (A) y pasan por los puntos (T1 y T2), son tangentes a la circunferencia. 9
    • Geometría Descriptiva TRAZADO Ing. Alberto M. Pérez G. a b T1 t1 a A b A O M O A A 0 0 r 60 60 r T2 t2 B C fig.24. Dibujo de un triángulo equilátero (ABC), conocido el fig.21. Recta (t), tangente a una circunferencia, y que pase vértice (A) y la recta (r) que contiene al lado (B-C). por un punto (A), externo a ella.DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES a b CIGUALES.Ejemplo: Dividir el segmento (A-B) en cinco partes igualesfig.22a. O O A ASolución:a) Se traza una recta (r) cualquiera, que pase por uno de los extremos del segmento; en el ejemplo se trazó por el B punto (A) fig.22b.b) Se marcan en la recta (r), y a partir del punto (A), cinco fig.25. Dibujo de un triángulo equilátero (ABC), conocido el divisiones iguales. vértice (A) y la circunferencia que lo circunscribe.c) Se transportan, mediante rectas paralelas, las cinco divisiones de la recta (r), al segmento (A-B). b) CUADRADO ver fig.26; y fig.27. a b 5 r 4 D C D C 3 2 1 0 0 0 45 45 A A A B A B A B B B a) Trazando b) Trazando perpendiculares y perpendiculares y diagonales. arcos. fig.22. División de un segmento en cinco partes iguales. fig.26. Dibujo de un cuadrado (ABCD), conocido el lado (AB).TRAZADO DE POLÍGONOS REGULARES.a) TRIÁNGULO EQUILÁTERO ver fig.23; fig.24; y fig.25. a b B C C O A O A C 0 0 60 60 A B A B A B D a) Por medio de b) Cortando los ángulos. arcos. fig.27. Dibujo de un cuadrado (ABCD), conocido el vértice (A), y la circunferencia que lo circunscribe. fig.23. Dibujo de un triángulo equilátero (ABC), conocido el lado (AB) . 10
    • Geometría Descriptiva TRAZADO Ing. Alberto M. Pérez G. d) HEXÁGONO REGULAR ver fig.30; y fig.31.c) PENTÁGONO REGULAR ver fig.28; y fig.29. a b E D 600 600 F C 1 C r=A-2 0 60 A B A B fig.30. Dibujo de un hexágono regular (ABCDEF), conocido el A B A M B 2 lado (AB). Punto medio de (A-B) a b) Se define el vértice (C) a b D E D r r=A-2 O O C E C E C F r A A B A M B A M B fig.31. Dibujo de un hexágono regular (ABCDEF), conocido el c) Se define el vértice (E) d) Se define el vértice (D) vértice (A) y la circunferencia que lo circunscribe.fig.28. Dibujo de un pentágono regular (ABCDE), conocido el lado (AB). e) HEPTÁGONO REGULAR ver fig.32; y fig.33. a b E F D A A O G C 0 30 r=AB O A B A B O fig.32. Dibujo de un heptágono regular (ABCDEFG), conocido el lado (AB). a b A c A d 1a A b A G r B E B E B O O r=A-B O O F r C D C E Dfig.29. Dibujo de un pentágono regular (ABCDE), conocido el vértice (A) y la circunferencia que lo circunscribe. fig.33. Dibujo de un heptágono regular (ABCDEFG), conocido el vértice (A) y la circunferencia que lo circunscribe. f) OCTÁGONO REGULAR ver fig.34; y fig.35. 11
    • Geometría Descriptiva TRAZADO Ing. Alberto M. Pérez G. El método general mostrado en la fig.36, se basa en dividir la a b D circunferencia que circunscribe al polígono, en tantas partes iguales, como el número de lados que tendrá el polígono a C dibujar. El método general mostrado en la fig.37, se basa en dividir el 0 diámetro de la circunferencia que circunscribe al polígono, A B A B 45 en tantas partes iguales, como el número de lados que F E tendrá el polígono a dibujar. c d D G D 1 A 1 1 C H C a) Se divide el 2 2 450 diámetro en siete 3 3 1 partes iguales. V O V 4 4 0 Y se definen los A B 45 A B 1 5 vértices (V y V ). 5 6fig.34. Dibujo de un octágono regular (ABCDEFGH), conocido 6 el lado (AB). 7 7 A a A b A b) Se trazan, desde los vértices 1 H B 1 G B (V y V ), y 2 pasando por las 3 divisiones pares, V 1 V 450 450 las rectas que 4 O G C O contienen a los F 5 C vértices del 6 polígono. F D E 7 D E fig.37. Dibujo de un heptágono regular, (Método general).fig.35. Dibujo de un octágono regular (ABCDEFGH), conocido el vértice (A) y la circunferencia que lo circunscribe.MÉTODOS GENERALES DE TRAZADO DE b) CONOCIDO UN LADO.POLÍGONOS REGULARES. El método mostrado en la fig.38, se basa en dividir elPor medio de los métodos generales mostrados en las fig.36, semicírculo de radio (A-B), dibujado sobre el lado (A-B)a fig.38, se pueden dibujar polígonos regulares de cualquier dado, en tantas partes iguales, como lados tendrá elnúmero de lados. polígono a dibujar.a) CONOCIDO UN VÉRTICE (A) Y LA CIRCUNFERENCIA QUE LACIRCUNSCRIBE. 0 180 0 b = 25,714 0 0 7 O =360 E 102,90 77,10 0 360 51,40 D = 51,428 0 308,6 0 A 51,4 0 128,6 0 7 F1 E1 F G D1 G B 154,30 25,70 0 o F1 E1 51,428 x 1 = 51,4 C1 D1 51,4280 x 2 = 102,9o G C 51,4280 x 3 = 154,3o O 1800 00 51,4280 x 4 = 205,7o A B C1 51,4280 x 5 = 257,1o 257,10 F C 102,90 51,4280 x 6 = 308,6o a) Se divide el semicírculo 51,4280 x 7 = 360,0o de radio (A-B) en siete A B partes iguales. E D 205,70 154,30 fig.38. Dibujo de un heptágono regular, (Método general). fig.36. Dibujo de un heptágono regular, (Método general). 12
    • Geometría Descriptiva ESCALA Ing. Alberto M. Pérez G. esc: 2/1ESCALA. 0 1 cm 2 3Es la proporción de aumento o disminución que existe entre escala naturallas dimensiones reales y las dimensiones representadas de esc: 1/1un objeto. En efecto, para representar un objeto de grandes 0 1 cm 2 3 4 5 6 7dimensiones, deben dividirse todas sus medidas por unfactor mayor que uno, en este caso denominado escala dereducción; y para representar objetos de pequeñasdimensiones, todas sus medidas se multiplican por un factor esc: 1/1,25mayor que uno, denominado escala de ampliación. La escala 0 1 cm 2 3 4 5 6 7 8 9a utilizar se determina entonces en función de las medidasdel objeto y las medidas del papel en el cual serárepresentado. El dibujo hecho a escala mantendrá de estaforma todas las proporciones del objeto representado, y esc: 1/2mostrará una imagen de la apariencia real del mismo. 0 5 10 cm 15Finalmente, deben indicarse sobre el dibujo las dimensionesdel objeto real, y la escala en que ha sido elaborado.En la fig.39a, se muestra un cuadrado de 1 cm. de lado esc: 1/2,5dibujado en sus dimensiones reales (dibujado a escala 0 5 10 cm 15natural ó escala 1/1). En la fig.39b, se muestra el mismocuadrado representado en escala 2/1 (multiplicadas susmedidas por dos). Y en la fig.39c, se muestra el mismo esc: 1/5cuadrado representado en escala 1/2 (divididas sus 0 10 cm 20 30 5 15 25 35medidas por dos). esc: 1/7,5 esc: 1/1 a esc: 2/1 b esc: 1/2 c 0 5 10 cm 15 20 25 30 35 40 45 50 55 1 cm esc: 1/75 1 cm 0 1m 2 3 4 5 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm esc: 1/750 0 10 m 20 30 40 50 fig.39. Representaciones a escala de un cuadrado.En la fig.40, se muestran algunos factores de escalas de fig.41. Escalas.reducción y ampliación. escalas de reducción escalas de ampliación factor de longitud de factor de longitud de ESCALÍMETRO. escala reducción representación escala aumento representación de 1 metro de 1 cm. Es una regla ó un juego de reglas que contiene simultáneamente varias escalas diferentes. 1/1 1 100 cms. 1/1 1 1 cms. 1/1,25 1,25 80 cms. 1,33/1 1,33 1,33 cms. 1/2 2 50 cms. 2/1 2 2 cms. Son muy comunes los escalímetros de forma triangular que 1/2,5 2,5 40 cms. 4/1 4 4 cms. contienen seis escalas como el mostrado en la fig.42. 1/5 5 20 cms. 5/1 5 5 cms. 1/7,5 7,5 13,33 cms. 8/1 8 8 cms. 1/10 10 10 cms. 10/1 10 10 cms. fig.40. Factores de escalas de reducción y ampliación.Para evitar la realización de multiplicaciones ó divisiones enla elaboración de un dibujo a escala, se trabaja con reglasgraduadas denominadas escalas, las cuales son construidas fig.42. Escalímetro.en base a los factores de reducción ó ampliación de lasrespectivas escalas. En la fig.41, se muestran algunas deestas escalas. 13
    • Geometría Descriptiva Ing. Alberto M. Pérez G.capítulo 2SISTEMAS DE El objetivo principal del capítulo es que el estudiante conozca estos sistemas de proyección, y sepa identificarPROYECCIÓN. cuando un objeto esta representado en cada uno de ellos. Al igual que el capítulo anterior, el carácter del presente capitulo es básicamente informativo por lo tanto seEn este capítulo se hace una breve descripción de los presentan las características mas esenciales de estossistemas de proyección mas utilizados en Ingeniería y sistemas de proyección sin entrar en descripcionesArquitectura, describiendo el fundamento básico de la profundas de sus métodos de trabajo.ejecución de proyecciones en estos sistemas.
    • Geometría Descriptiva SISTEMAS DE PROYECCIÓN Ing. Alberto M. Pérez G. También denominadaSISTEMAS DE 1) Proyección ortogonal. proyección ortográfica. Se obtiene cuando las proyectantes son perpendiculares al plano dePROYECCIÓN. proyección. La proyección ortogonal es muy utilizada en el diseño de piezas mecánicas yUn sistema de proyección es un sistema por medio del cual maquinarias fig.44a.puede ser definida la proyección de un objeto sobre unasuperficie. En todo sistema de proyección intervienen cuatro Los principales tipos de proyección ortogonal son:elementos denominados: fig.43: i) Proyección en vistas múltiples. Cada vista es unaa) Objeto. Es el objeto que se desea representar. Puede ser proyección ortográfica. Para obtener una vista se un punto, recta, plano, superficie, sólido, etc; en fin coloca el plano de proyección preferentemente cualquier elemento geométrico ú objeto en si. paralelo a una de las caras principales del objeto fig.45.b) Punto de observación. Punto desde el cual se observa el objeto que se quiere representar. Es un punto cualquiera del espacio.c) Superficie de proyección. Es la superficie sobre la cual se proyectará el objeto. Generalmente es un plano; aunque también puede ser una superficie esférica, cilíndrica, cónica, etc.d) Proyectantes. Son rectas imaginarias que unen los puntos del objeto con el punto de observación. Punto de observación La proyección (P) de cualquier punto (P) del objeto se muy lejano obtiene interceptando su proyectante con el plano de proyección. fig.45. Vista ortográfica. Superficie de Proyección Los objetos se representan generalmente en tres Proyectante vistas ortográficas. Los métodos utilizados para P determinar estas vistas son: P’ Objeto A) Proyección en el séptimo triedro (séptimo Punto de octante). Usado en los Estados Unidos y Observación Canadá. fig.46. Proyección fig.43. Sistema de proyección. Séptimo triedroLOS SISTEMAS DE PROYECCIÓN MAS USADOS SON:a) Proyección cilíndrica. Se obtiene cuando el punto de observación se encuentra a una distancia tan grande del objeto, que permita considerar que las proyectantes son paralelas al interceptarse con el plano de proyección (fig.44). Los principales tipos de proyección cilíndrica son: A A A’ A’ C C Planta C’ C’ B B B’ B’ a) Proyección ortogonal b) Proyección oblicua fig.44. Proyección cilíndrica. Frontal Derecha fig.46. Proyección en vistas múltiples en el séptimo triedro. 15
    • Geometría Descriptiva SISTEMAS DE PROYECCIÓN Ing. Alberto M. Pérez G. B) Proyección en el primer triedro (primer iii) Proyección axonométrica. Se obtiene cuando el octante). Usado en todo el mundo, excepto plano de proyección no es paralelo a ninguno de en los Estados Unidos y Canadá. fig.47. los tres ejes principales del objeto fig.49. Punto de Primer triedro observación muy lejano fig.49. Proyección axonométrica. Derecha Frontal La proyección axonométrica, dependiendo de los ángulos que forman entre sí los ejes axonométricos (proyecciones de los ejes principales del objeto), se denomina: A) Proyección isométrica. Se obtiene cuando los Planta tres ángulos que forman los ejes axonométricos son iguales. Al representar fig.47. Proyección en vistas múltiples en el primer triedro. objetos en proyección isométrica se mide en una misma escala sobre los tres ejes ii) Proyección acotada. Es una proyección ortogonal isométricos. fig.50 sobre la que se acotan en cada punto, línea, u objeto representado la altura (cota) del mismo con respecto a cualquier plano de referencia que sea paralelo al plano de proyección fig.48. La proyección acotada es muy práctica cuando es necesario representar gráficamente objetos 1 120 0 1 irregulares; razón por la cual se usa frecuentemente para el diseño de techos de viviendas; construcción de puentes, represas, 0 0 120 120 acueductos, gasoductos, carreteras, determinación de áreas de parcelas, trazado de linderos, y dibujos topográficos de plantas y perfiles de terrenos, entre otros. 1 0 0 30 30 Punto de observación muy lejano fig.50. Proyección isométrica. 4 2 0 B) Proyección dimétrica. Se obtiene cuando solo dos de los tres ángulos que forman los ejes 4 axonométricos son iguales. Al representar un 2 objeto en proyección dimétrica debe medirse en dos de los ejes axonométricos con una misma escala y con una escala diferente en el tercer eje axonométrico. La forma gráfica de determinar la relación entre las escalas sobre los tres ejes axonométricos para cualquier distribución de los mismos, se muestra en la fig.52. No obstante, en la fig.51, se muestran tres distribuciones muy usadas de fig.48. Proyección acotada. ejes dimétricos con sus respectivas escalas, estas proporciones difieren muy poco de los 16
    • Geometría Descriptiva SISTEMAS DE PROYECCIÓN Ing. Alberto M. Pérez G. valores teóricos reales, los cuales de ser Al definir una proyección oblicua el eje recedente (eje usados difucultarián grandemente la de profundidad del objeto) se puede proyectar o ejecución de la dimetría. formando cualquier ángulo (α ) con respecto a los o otros dos; e independientemente de este ángulo (α ), la profundidad del objeto se puede proyectar también en cualquier longitud (teóricamente hasta una longitud infinita). Por lo tanto, al dibujar en proyección oblicua, se traza el eje recedente a cualquier ángulo, y se miden las profundidades sobre el en cualquier escala fig.54. 3 3 /4 /4 1 0 1 0 7 /2 7 /2 α 0 eX eY 1 0 β 0 γ 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 2,5 2,5 0 eZ 1 1 5 5 1 0 1 0 37 /2 37 /2 0 3 /4 2 4 5 1 0 2 4 3 1 5 /2 1 0 45 1 0 7 /2 fig.52. Proyección trimétrica. 1 fig.51. Proyecciones dimétricas. C) Proyección trimétrica. Se obtiene cuando los tres ángulos que forman los ejes axonométricos son diferentes. En la proyección trimétrica cada eje axonométrico posee su propia escala diferente a la de los Punto de otros dos. fig.52 observación muy lejano 2) Proyección oblicua. Se obtiene cuando las proyectantes no son perpendiculares al plano de proyección (fig.44b). Preferentemente al dibujar en proyección oblicua se coloca el plano de fig.53. Proyección oblicua. proyección paralelo a una de las caras principales del objeto; ya que de esta forma dicha cara se proyectará en verdadero tamaño fig.53. 17
    • Geometría Descriptiva SISTEMAS DE PROYECCIÓN Ing. Alberto M. Pérez G. cualquier eje escala recedente 1 cualquier ángulo 1 fig.54. Proyección oblicua. Sin embargo, la escala a utilizar para el eje fig.57. Proyección oblicua aérea. recedente debe elegirse en forma intuitiva, en función del ángulo en que se dibuje, de modo que la representación del objeto muestre una apreciación real de su forma y proporciones. Entre las proyecciones oblicuas mas utilizadas se pueden mencionar: b) Proyección cónica. Denominada también perspectiva. Se i) Proyección caballera Se originó en el dibujo de obtiene cuando el punto de observación y el objeto se las fortificaciones medievales. fig.55 encuentran relativamente cercanos fig.58. Geométricamente, una fotografía es una perspectiva; razón por la cual la proyección cónica sobrepasa en 1 excelencia a los demás sistemas de proyección por ser la que mas se acerca a la vista real obtenida por el observador. 1 El dibujo en perspectiva es muy utilizado en el diseño 0 135 arquitectónico, civil, industrial, publicitario, etc. 45 0 las perspectivas pueden ser: 1) Perspectiva de un punto de fuga. Se obtiene cuando 1 el plano de proyección es paralelo a una de las caras principales del objeto (el plano de proyección fig.55. Proyección caballera. es paralelo a dos de los tres ejes principales del objeto) fig.59. 2) Perspectiva de dos puntos de fuga. Se obtiene ii) Proyección de gabinete Recibe este nombre cuando el plano de proyección es paralelo a debido a que se usó grandemente en la industria solamente uno de los tres ejes principales del objeto del mueble. fig.56 fig.60. 3) Perspectiva de tres puntos de fuga. Se obtiene cuando ninguno de los tres ejes principales del 1 /2 objeto es paralelo al plano de proyección fig.61. 1 Plano de A 135 0 Proyección Proyectantes 0 A’ 45 Objeto C’ C 1 Punto de B B’ Observación fig.56. Proyección de gabinete. Proyección fig.58. Proyección cónica. iii) Proyección oblicua aérea. Es una proyección oblicua realizada sobre un dibujo en planta de una edificación, urbanismo, etc. con la finalidad de apreciar su forma tridimensional fig.57. 18
    • Geometría Descriptiva SISTEMAS DE PROYECCIÓN Ing. Alberto M. Pérez G. Punto de observación Planta Plano de proyección Horizonte Punto de fuga Punto de fig.59. Perspectiva de un punto fuga. observación Perspectiva Frontal fig.62. Dibujo de una perspectiva de un punto de fuga. Punto de observación Planta Plano de proyección fig.60. Perspectiva de dos puntos de fuga. Punto de observación Punto de observación Horizonte Punto de fuga Punto de fuga fig.61. Perspectiva de tres puntos de fuga. Frontal fig.63. Dibujo de una perspectiva de dos puntos de fuga. Las perspectivas de uno, dos, y tres puntos de fuga, pueden dibujarse en forma sencilla a partir de las proyecciones en vistas múltiples, como se muestra en las fig.62; fig.63; y fig.64, respectivamente. 19
    • Geometría Descriptiva SISTEMAS DE PROYECCIÓN Ing. Alberto M. Pérez G. 0 α Planta 0 0 β γ M1 Punto Punto de M2 de fuga fuga M3 Frontal Punto de fuga fig.64. Dibujo de una perspectiva de tres puntos de fuga. 20
    • Geometría Descriptiva Ing. Alberto M. Pérez G.capítulo 3 Una vez que el estudiante comprenda los fundamentos delPROYECCIÓN DIÉDRICA. sistema de Doble Proyección Ortogonal, será capaz de representar objetos, y podrá resolver cualquier problemaComienza en este capítulo el estudio del sistema de Doble relacionado con la forma tridimensional de los mismos, sinProyección Ortogonal ó Proyección Diédrica, el cual es el necesidad de elaborar complicadas perspectivas oobjetivo de estudio principal de esta obra. Se inicia con una representaciones en otros sistemas de proyección masdescripción de este sistema de proyección, que se basa laboriosos.definir la proyección ortogonal de los objetos en forma Después de la descripción de este importante sistema desimultánea sobre dos planos de proyección perpendiculares proyección, comenzamos en este capítulo a ejercitarnos enentre sí. De esta forma se obtiene dos proyecciones la elaboración de la doble proyección ortogonal delortogonales del objeto en estudio, por medio de las cuales, "objeto" mas simple que puede ser considerado "el punto".se puede concebir la forma tridimensional del mismo. Para continuar después con el estudio de la proyección diédrica de la recta y el plano.
    • Geometría Descriptiva PROYECCIÓN DE PUNTOS Ing. Alberto M. Pérez G. DIEDROS.PROYECCIÓN DE PUNTOS. También denominados cuadrantes, son las cuatro zonas en que los planos principales de proyección, al considerarse laDOBLE PROYECCIÓN ORTOGONAL. extensión infinita de ellos, dividen todo el espacio que los rodea fig.66b.También llamada proyección diédrica. Es la proyecciónortogonal simultánea de un objeto sobre dos planos de Zproyección perpendiculares entre sí, llamados: planos II Cprincipales de proyección; y en forma particular denominados: PVplano vertical de proyección (PV); y plano horizontal de proyección PV IC(PH). En la fig.65a, se muestra la proyección diédrica de un PLpunto (A). La nomenclatura utilizada representa: PLANO LATERALa) PV :Plano vertical de proyección. PH III Cb) PH :Plano horizontal de proyección. Y PH IV Cc) A :Posición real del punto (A). a) Plano lateral b) Cuadrantes (Diedros) vd) A :Proyección ortogonal del punto (A) sobre el plano vertical de Proyección. fig.66. Plano lateral / Cuadrantes. he) A :Proyección ortogonal del punto (A) sobre el plano horizontal de proyección. DIBUJO EN PROYECCIÓN DIÉDRICA. En la fig.65b se muestra un esquema en perspectiva del sistema de proyección diédrica; no obstante, la proyección Z diédrica en sí, no se ejecuta en perspectiva, si no que se PV facilita su elaboración rotando el plano horizontal de v A proyección alrededor de la línea de tierra, hasta hacerlo PV A coincidir con el plano vertical de proyección, como lo muestra la fig.67a. En la fig.67b se muestra el mismo esquema O LT X en proyección frontal. Y finalmente, la fig.67c, muestra el Y esquema de trabajo en proyección diédrica; este se obtiene PH A h PH sustituyendo los ejes de coordenadas por una recta horizontal (línea de tierra, ó eje (X)), en la cual se señala el a) Proyección diédrica b) El sistema de doble origen por un pequeño segmento vertical que la corta. del punto (A) proyección ortogonal Es muy importante tener presente que en la representación definitiva (fig.67c), los ejes de coordenadas y el origen no fig.65. La doble proyección ortogonal (proyección diédrica). dejan de existir; si no que han sido substraídos de la representación, y aunque no se vean dibujados ellos existen en las posiciones que indica la fig.67b.En la fig.65b, se muestra el sistema de proyección diédricacon la siguiente nomenclatura adicional. Z Za) LT :Línea de tierra. Es la intersección entre los planos vertical y horizontal de proyección. PV O PVb) O :Origen. Punto común a los tres ejes de coordenadas, O X Y a partir del cual se miden las coordenadas de los puntos. X PHc) X :Eje de coordenadas (X). Eje sobre el cual se miden las Y PH Y coordenadas (X) de los puntos; coincide con la línea de Y tierra.d) Y :Eje de coordenadas (Y). Eje sobre el cual se miden las a) Giro del plano b) Representación frontal c) Representación horizontal de proyección después del giro del PH definitiva utilizada coordenadas (Y) de los puntos.e) Z :Eje de coordenadas (Z). Eje sobre el cual se miden las fig.67. Dibujo en proyección diédrica. coordenadas (Z) de los puntos. COORDENADAS DE UN PUNTO.PLANO LATERAL DE PROYECCIÓN. Son las distancias, expresadas en milímetros, que al medirseEs un plano auxiliar de proyección que esta definido por los sobre los ejes de coordenadas, a partir del origen, permitenejes de coordenadas (Y) y (Z) fig.66a. Sobre este plano, definir con exactitud la ubicación de un punto en el espaciocuando sea necesario, se proyectan ortogonalmente los que lo rodea (fig.68). En proyección diédrica, lasobjetos, denominándose estas proyecciones: proyecciones coordenadas se denominan:laterales. X : Distancia al plano lateral. 22
    • Geometría Descriptiva PROYECCIÓN DE PUNTOS Ing. Alberto M. Pérez G.Y : Vuelo ó alejamiento. Av Av Bh B BhZ : Cota ó altura. A Bv Bh BvLas coordenadas de un punto se expresan siempre en orden h Ay separadas por punto y coma (;), y el nombre del punto es Ahsiempre una letra mayúscula ó un número. Por ejemplo, la Ahnotación P(08; 16; 10), identifica a un punto (P) con lassiguientes coordenadas: A(AX ; +AY ; +AZ) B(BX ; -BY ; +BZ) a) Punto en el primer cuadrante b) Punto en el segundo cuadrantePX : Distancia del punto (P) al plano lateral ... : 08 mms.PY : Vuelo del punto (P) ..................................... : 16 mms. Ch ChPZ : Cota del punto (P)....................................... : 10 mms. Ch DhLas coordenadas de un punto, también representan las Dv Dv Cv Cdistancias desde el punto a los planos principales de Cv D Dh Dhproyección y al plano lateral. El punto P(08 ; 16; 10), yamencionado se encuentra a distancias de: C(CX ; -CY ; -CZ) D(DX ; +DY ; -DZ)08 mms. : Del plano lateral. c) Punto en el tercer cuadrante c) Punto en el cuarto cuadrante16 mms. : Del plano vertical de proyección. fig.69. Ubicación de un punto en un cuadrante.10 mms. : Del plano horizontal de proyección. b) Punto en un plano principal de proyección fig.70: v v 1) Plano vertical de proyección: ......... E(+EX ; 00 ; +EZ). P P v P F(+FX ; 00 ; -FZ). PV (PZ=10) (PX=08) 2) Plano horizontal de proyección: ..... G(+GX ; +GY ; 00). P (PZ=10) (PX=08) H(+HX ; -HY ; 00). (Py=16) (Py=16) h h h P P P PH E=Ev Ev PV 1) Esquema 2) Esquema Fh teórico definitivo Eh Fh a) Esquema en perspectiva b) Proyección diédrica Eh PV F=Fv Fv fig.68. Representación diédrica del punto P(08 ; 16 ; 10). E(EX ; 00 ; +EZ) F(FX ; 00 ; -FZ)En la fig.68a se muestra un esquema en perspectiva de la a) Punto en el plano vertical de proyecciónproyección diédrica de este punto (P), y en la fig.68b1, laproyección diédrica propiamente dicha del mismo; las cifrasanotadas entre paréntesis indican las medidas reales que PH Hhdeben tener esos respectivos segmentos, estos valores no se Gv Gv H=Hh Hhescriben en la lámina, de forma que la representación h G=Gdefinitiva es la mostrada en la fig.68b2. v H PH Gh Gh HvPOSICIONES PARTICULARES DE UN PUNTO. G(GX ; +GY ; 00) H(HX ; -HY ; 00)Las coordenadas de un punto, pueden tener valor: positivo, b) Punto en el plano horizontal de proyeccióncero, ó negativo, dependiendo la posición que este ocupecon respecto al origen; aunque generalmente se evita fig.70. Ubicación de un punto en un plano principal deasignar valores negativos a la coordenada (X). proyección.Con respecto a un sistema de proyección diédrica, las c) Punto en el plano lateral fig.71: Puede además estar en:posiciones que puede ocupar un punto en el espacio son: 1) PL y primer cuadrante: ................... Ι(00 ; +ΙY ; +ΙZ).a) Punto en un cuadrante fig.69: 2) PL y segundo cuadrante: ................ J(00 ; -JY ; +JZ). 1) Primer cuadrante: ............................ A(+AX ; +AY ; +AZ). 3) PL y tercer cuadrante: .................... K(00 ; -KY ; -KZ). 2) Segundo cuadrante: ........................ B(+BX ; -BY ; +BZ). 4) PL y cuarto cuadrante: ................... L(00 ; +LY ; -LZ). 3) Tercer cuadrante: ............................ C(+CX ; -CY ; -CZ). 4) Cuarto cuadrante: ........................... D(+DX ; +DY ; -DZ). 23
    • Geometría Descriptiva PROYECCIÓN DE PUNTOS Ing. Alberto M. Pérez G. Z Z PL v v Ι Ι J h J R=Rv Ι Jh Jv Jv h Rh Sh Ι Jh h Ι h Rv Sh PL Ι v S=S Ι(00 ; +IY ; +IZ) J(00 ; -JY ; +JZ) Rh Sv a) Punto en el PL y primer b) Punto en el PL y segundo R(00 ; 00; +RZ) S(00 ; 00; -SZ) cuadrante cuadrante fig.74. Punto en el eje (Z). PL PL Kh K h h PROYECCIÓN LATERAL DE UN PUNTO. L Kh Se llama así a la proyección ortogonal de un punto sobre el Lh Lh plano lateral fig.75. K Kv Lv Lv En este sistema de proyección, el punto de observación se Kv L encuentra a una distancia infinita del plano lateral, en K(00 ; -KY ; -KZ) L(00 ; +LY ; -LZ) dirección del eje (X), el cual se proyecta en su totalidad en el punto de origen (O). c) Punto en el PL y tercer b) Punto en el PL y cuarto cuadrante cuadrante fig.71. Ubicación de un punto en el plano lateral. Z PL Zd) Punto en el origen fig.72a: ....................M(00 ; 00 ; 00). l v A A l AY A AY A O AZ M=Mv=Mh Y N=Nv=Nh AZ X h X Origen A v M =M h Y eje X Nv=Nh fig.75. Proyección lateral. M(00 ; 00; 00) N(NX ; 00; 00) a) Punto en el origen b) Punto en el eje (X) El punto de observación, puede también ubicarse enfig.72. Punto en el origen; punto en el eje (X) (línea de tierra). sentido opuesto al eje (X), resultando en esta caso, la proyección lateral, como se muestra en la fig.76.e) Punto en un eje de coordenadas: Z 1) Eje (X): fig.72b..................................N(+NX ; 00 ; 00). PL Z 2) Eje (Y): fig.73....................................P(00 ; +PY ; 00). v l Q(00 ; -QY ; 00). A AY A l A AY A 3) Eje (Z): fig.74....................................R(00 ; 00 ; +RZ). AZ O S(00 ; 00 ; -SZ). AZ h X Origen Y A h Y eje X Q Pv Qv Q=Qh fig.76. Proyección lateral. P=Ph v h P Q Y Ph Y En el sistema de proyección lateral, los planos vertical (PV) y Ph Qv horizontal (PH) de proyección, se encuentran totalmente proyectados sobre los ejes (Z) e (Y) respectivamente, los P(00 ; +PY; 00) Q(00 ; -QY; 00) cuales se observan cortándose a 900, como puede observarse en las fig.75 y fig.76. fig.73. Punto en el eje (Y). 24
    • Geometría Descriptiva PROYECCIÓN DE PUNTOS Ing. Alberto M. Pérez G.REPRESENTACIÓN DE PUNTOS EN EJE (Y): Coincide con la línea de tierra, y se dirigePROYECCIÓN LATERAL. hacia la derecha ó izquierda (en el ejemplo hacia la derecha).En la fig.77a, se representan las proyecciones laterales de lospuntos (A,B,C y D), ubicados en los cuadrantes (I; II; III y IV), b) Se trasladan la cota (AZ) y el vuelo (AY) del punto (A)respectivamente, y en la fig.77b se representan las hacia el eje (Z) fig.78c.proyecciones laterales de los mismos puntos, cambiando el c) Se rota, mediante un arco con centro en el punto (O) ysentido del eje (Y). recorriendo un cuadrante par (en el ejemplo el IV C), el vuelo (AY) del punto (A), desde el eje (Z) hasta el eje (Y) l (fig.78d); y se define la proyección lateral (A ) del punto a Z b Z (A) por medio de rectas paralelas a los ejes (Z e Y). l A +AY +AY Al l l -BY B B -BY +AZ +AZ +BZ +BZ Y Y Ejemplo1: Definir las proyecciones laterales de los puntos (A;B;C; -DZ -DZ +DY -CZ -CZ +DY y D) fig.79a. l l D -CY -CY D l l Solución: C C A(AX; +AY; +AZ) B(BX; -BY; +BZ) C(CX; -CY; -CZ) D(DX; +DY; -DZ) En la fig.79b, se muestra como obtener las proyecciones laterales de estos puntos; ubicando el eje (Z) a igual fig.77. Proyección lateral ejemplos. distancia al plano lateral que el punto (B), y dirigiendo el eje (Y) hacia la derecha. Puede observarse en la fig.79b, que los arcos han sído trazados recorriendo sólo los cuadrantes pares (II C ó IV C).OBTENCIÓN DE LA PROYECCIÓN LATERAL DE La razón de esto es mantener el signo del vuelo de losUN PUNTO, A PARTIR DE SU PROYECCIÓN respectivos puntos en ambos sistemas, ubicando susDIÉDRICA. proyecciones laterales en el cuadrante correcto.Generalmente la proyección lateral de un punto se obtienea partir de su doble proyección ortogonal. En la fig.78, semuestra, a manera de ejemplo, el procedimiento a seguir a B h l hpara determinar la proyección lateral (A ) de un punto (A), a D v vpartir de sus proyecciones vertical (A ) y horizontal (A ) h v A B(fig.78a) siguiendo para ello el procedimiento siguiente: v h D C a b v Z v v A C A h A O b Z Y II C h IC B h D l A h A v A h l v A B B c Z d Z Y v v l l v A A A h D D C l AZ AZ II C AZ v C O O C IV C AY III C h A Y Y AY AY AY h h VI C fig.79. Obtención de las proyecciones laterales a partir de la A A doble proyección ortogonal ejemplo.fig.78. Determinación de la proyección lateral de un punto (A), a partir de su doble proyección ortogonal. Ejemplo2; Definir la proyección lateral del triángulo de vértices (A;B;C) fig.80a.a) Se definen los ejes de proyección fig.78b: Solución: fig.80b. EJE (Z): Perpendicular a la línea de tierra, y por cualquier punto (O) de ella. 25
    • Geometría Descriptiva PROYECCIÓN DE PUNTOS Ing. Alberto M. Pérez G. v a B v A Z: Hacia arriba h (mas alto) Bv B v A PV O v C PH Bh h X: Hacia la C Y: Hacia derecha. h A adelante. h A a) Expresión de los sentidos b) Doble proyección ortogonal de de los ejes de coordenadas los puntos (A y B) b v Z B l B l A fig.81. Posición relativa entre dos puntos. v A h B Y Ejemplo: Definir las proyecciones de los puntos: (La solución se presenta en la fig.82) v C A (45; -20; 05) l C h C B ( ?; 25; ?) A 10 mms del plano lateral; y 5 mms por encima de (A). h A C ( ?; ?; ?) 15 mms a la derecha de (B); 30 mms delante de (A); y 15 mms por encima del plano horizontal fig.80. Proyección lateral de un triángulo (A;B;C). de proyección. D (60; ?; ?) En el IV cuadrante; a 15 mms del plano horizontal de proyección; y a 20 mms del plano vertical de proyección.POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS PUNTOS. E ( ?; ?; ?) Contenido en el plano vertical de proyección; 25 mms a la izquierda de (D); y 15 mms debajo delEn la fig.81a, se señalan los nombres dados a los sentidos de plano horizontal de proyección.avance de cada uno de los ejes de coordenadas. En basea estos sentidos, se puede expresar, en forma relativa, la F ( ?; ?; ?) En el eje (Z); y 35 mms por debajo de (C).posición de un punto con respecto a otro. G (65; ?; ?) 05 mms delante de (A); y 30 mms mas alto que (D). H ( ?; 10; 20) En el plano lateral.Ejemplo: Expresar la posición relativa entre los puntos (A y B) Ι ( ?; ?; ?) En la línea de tierra; a 15 mms del origen.fig.81b.Solución. v h H ALa posición relativa entre los puntos (A y B) puede v hexpresarse, entre otras, de las siguientes maneras: C v G =G va) El punto (A) se encuentra a la izquierda (tiene menos B distancia al plano lateral); por debajo (tiene menos cota); A v y por delante (tiene mayor vuelo) del punto (B). v h F h Ι =Ι h Eb) El punto (B) se encuentra a la derecha (tiene mas distancia al plano lateral); mas alto (tiene mayor cota); y h por detrás (tiene menor vuelo) del punto (A). H C h v vEn resumen: Comparando las distancias al plano lateral de E Ddos puntos, puede decirse cual de ellos está a la izquierda ó F v D ha la derecha del otro; comparando los vuelos de dos B h escalapuntos, se define cual de ellos está por delante ó por detrásdel otro; y, comparando las cotas de dos puntos, puede 0 5 10 15 mmsdeterminarse cual de ellos está por encima o por debajo delotro. fig.82. Proyección de puntos ejemplo. 26
    • Geometría Descriptiva PROYECCIÓN DE RECTAS Ing. Alberto M. Pérez G. TRAZAS DE UNA RECTA.PROYECCIÓN DE RECTAS. Son los puntos donde la recta se intercepta con los planosLas rectas se designan con letras minúsculas (a; b; c;...). principales de proyección; se denominan fig.86:Una recta (r) puede ser definida por medio de dos puntos (A a) Traza Vertical. Punto donde la recta se intercepta con ely B) fig.83. plano vertical de proyección. Generalmente se designa con la letra (V). b) Traza Horizontal. Punto donde la recta se intercepta con v A v el plano horizontal de proyección. Generalmente se A v designa con la letra (H). v r r r B v A v B DETERMINACIÓN DE LAS TRAZAS DE UNA B RECTA. r h Las trazas de una recta se determinan, en doble proyección A h r h B h B h ortogonal, interceptando sus proyecciones con la línea de h A tierra fig.86b. fig.83. Proyección diédrica de una recta. VISIBILIDAD. Solamente pueden ser visibles al observador los elementos geométricos que se encuentren en el primer cuadrante,PUNTO CONTENIDO EN UNA RECTA. debido a que los planos principales de proyección tapan a los objetos contenidos en los otros tres cuadrantes, comoSi un punto (P) esta contenido en una recta (r), entonces las puede observarse en la fig.86. v hproyecciones vertical (P ) y horizontal (P ) del punto están v hcontenidas en las proyecciones vertical (r ) y horizontal (r ) Las partes invisibles se representan con líneas de contornode la recta, respectivamente fig.84. De esta forma, es invisible, como lo muestra la fig.86b; aunque también esposible determinar las proyecciones de un punto conocida frecuente, en el desarrollo de problemas en proyecciónuna sola de sus tres coordenadas, si se establece que esta diédrica, representarlas con líneas de procedimiento)contenido en una recta dada fig.85. fig.88. a b v P V v v v P r v V=V r v P r r v v r r V h H v v V h H h h h r h r P r h h P r H h h H=H fig.84. Punto contenido en una recta. fig.86. Trazas de una recta. v v v A A A AX r v r v r v CUADRANTES QUE ATRAVIESA UNA RECTA. AZ Considerando la extensión infinita de una recta, ella puede: AY A h A h A h a) Mantenerse en un cuadrante. Si es paralela a la línea de h h h tierra; en este caso la recta no posee trazas fig.87a. r r r A( AX ; ? ; ? ) A( ? ; AY ; ? ) A( ? ; ? ; AZ ) b) Atravesar dos cuadrantes. Si es paralela a solo uno de los a) Conocida la distancia planos principales de proyección, o si se corta con la al plano lateral b) Conocido el vuelo c) Conocida la cota línea de tierra; en este caso la recta tiene una sola traza fig.87c. fig.85. Ubicación de un punto (A) en una recta (r). c) Atravesar tres cuadrantes. Si no cumple con ninguna de las condiciones anteriores; en este caso la recta tiene dos trazas fig.87b. 27
    • Geometría Descriptiva PROYECCIÓN DE RECTAS Ing. Alberto M. Pérez G. r DIFERENCIA DE COTA ENTRE DOS PUNTOS / v TRIÁNGULO DE REBATIMIENTO HORIZONTAL. r r r v A-B La diferencia de cota (∆Z ) entre dos puntos (A y B) es, h matemáticamente, el valor absoluto de la resta de las cotas r de ambos puntos (∆Z A-B = AZ-BZ). Gráficamente, se h r determina trazando, por uno de los puntos (A), una recta (a) perpendicular al plano horizontal de proyección, y por el a) Se mantiene en un cuadrante b) Atraviesa tres cuadrantes otro (B), una recta (b) paralela al mismo plano, que se corte con la primera. Estas dos rectas, son en consecuencia perpendiculares y junto con la proyección real de la recta v r v r r (r) forman un triángulo rectángulo denominado: Triángulo de r rebatimiento horizontal fig.89. h h El triángulo de rebatimiento horizontal de un segmento (A-B) r r generalmente se dibuja, en doble proyección ortogonal, h h sobre la proyección horizontal (A -B )del mismo. fig.91a. c) Atraviesa dos cuadrantes La nomenclatura utilizada en las fig.89, fig.90, y fig.91. representa: fig.87. Recta que atraviesa 1, 2 ó 3 cuadrantes. ∆Z A-B : Diferencia de cota entre los puntos (A y B). A-B ∆Y : Diferencia de vuelo entre los puntos (A y B).DETERMINACIÓN DE LOS CUADRANTES QUE 0ATRAVIESA UNA RECTA. α : Ángulo que forma el segmento (A-B) (la recta (r)) con el plano horizontal de proyección.Las trazas de una recta son también los puntos donde larecta cambia de cuadrante, por lo tanto, para determinar β0 : Ángulo que forma el segmento (A-B) (la recta (r))que cuadrantes atraviesa una recta (r) (fig.88a), puede con el plano vertical de proyección.seguirse el siguiente procedimiento: A r : Proyección rebatida del punto (A).a) Se definen las trazas vertical (V) y horizontal (H) de la B r : Proyección rebatida del punto (B). recta (r). Y se acotan las dos semirrectas y el segmento en que la misma queda dividida fig.88b. dA-B : Longitud real (verdadero tamaño) del segmento (A- B) (distancia entre los puntos (A y B).b) Se ubican tres puntos (1; 2 y 3) arbitrarios, cada uno de ellos situado en una de estas tres partes de la recta a fig.88c. rv vc) Se determina en que cuadrante se encuentra ubicado A r PV cada uno de los puntos anteriores, los cuales se corresponden al cuadrante en que se encuentra la ∆Z A-B A parte de la recta que lo contiene fig.88d. A-B ∆Z v B dA-B rv b rv v α0 V Hh rh B A-B ∆Z A h r Vh Hv A α0 b rh rh PH dA-B h r a) Definir los cuadrantes B =B que atraviesa la recta (r) c rv 1v d rv 1v V v 3 h Vv 3h fig.89. Triángulo de rebatimiento horizontal. v h Hh v h Hh 2 =2 2 =2 DIFERENCIA DE VUELO ENTRE DOS PUNTOS / 1 h Vh Hv 1 h Vh Hv TRIÁNGULO DE REBATIMIENTO VERTICAL. rh 3v rh 3v A-B La diferencia de vuelo (∆Y ) entre dos puntos (A y B) es, I C. II C. III C. matemáticamente, el valor absoluto de la resta de los A-B vuelos de ambos puntos (∆Y = AY-BY). Gráficamente, se fig.88. Determinación de los cuadrantes que atraviesa una determina trazando, por uno de los puntos (B) una recta (b) recta. perpendicular al plano vertical de proyección, y por el otro (A), una recta (a) paralela al mismo plano, que se corte con la primera. Estas dos rectas, son en consecuencia 28
    • Geometría Descriptiva PROYECCIÓN DE RECTAS Ing. Alberto M. Pérez G.perpendiculares y junto con la proyección real de la recta En la fig.92a, se muestra el dibujo de los triángulos de(r) forman un triángulo rectángulo denominado: Triángulo de rebatimiento del segmento (A-B) y en fig.92b la construcciónrebatimiento vertical. fig.90 del arcocapaz del mismo segmento.El triángulo de rebatimiento vertical de un segmento (A-B)generalmente se dibuja, en doble proyección ortogonal, dA-B B v v vsobre la proyección vertical (A -B ) del mismo fig.91b. 0 β A-B r v ∆Z v ∆Y A-B A-B r ∆Y v β0 A A B α 0 dA-B v r A =A r dA-B r B h r h ∆Z A-B β0 B h ∆Y A-B r A ∆Z A-B A-B ∆Y A h α0 β0 B v dA-B b) Arcocapaz dA-B a) Triángulos de rebatimiento rv rh A-B B ∆Y fig.92. Arcocapaz. h a A ∆Y A-B MEDICIÓN DE DISTANCIAS EN RECTAS. b h B Como puede observarse en las fig.89 y fig.90, la longitud real (dA-B) de un segmento (A-B) es deformada cuando este es proyectado ortogonalmente. Por lo tanto, en doble proyección ortogonal la longitud real (dA-B) de un segmento fig.90. Triángulo de rebatimiento vertical. (A-B), debe medirse en la hipotenusa de uno de sus triángulos de rebatimiento (fig.91a ó fig.91b). v v v A v A v v dA-B r r A A v 1 A-B r v β0 A-B v ∆Y ∆Z A-B ∆Y B v 1 v v r v v B B B h h B B A-B dA-B ∆Y h h h h α0 B B 1 1 A-B ∆Y h d1-2 h h h A-B r h r h r A r A ∆Z h A h A a) Ubicar sobre la recta (r), el punto (2), a la distancia (d1-2) b) Se dibuja un triángulo de a) Triángulo de b) Triángulo de del punto (1) y a su derecha rebatimiento del segmento (A-B) rebatimiento horizontal rebatimiento vertical r r r d1-2 2 r d1-2 2 v A 1 A v 1 fig.91. Dibujo de los triángulos de rebatimiento. r v r v A-B A-B ∆Y ∆Y v v 1 1Por medio del dibujo de los triángulos de rebatimiento de un B v vsegmento (A-B), puede determinarse el verdadero tamaño B 2 v(dA-B) del mismo; así como también los ángulos (αο y β0) queforma con los planos horizontal y vertical de proyección h 2respectivamente, como puede observarse en las fig.89 a h h B Bfig.92. ∆Y A-B ∆Y A-B h h 1 1 h h h h r A r AARCOCAPAZ. c) Se ubica, sobre la hipotenusaSe denomina arcocapaz a la construcción geométrica de del triángulo de rebatimiento, ellos triángulos de rebatimiento de un segmento (A-B), unidos punto (2) a la distancia (d1-2) del d) Se definen las proyeccionespor sus hipotenusas, y circunscritos en una circunferencia; punto (1) del punto (2)cuyo diámetro es igual al verdadero tamaño (dA-B) delmismo. fig.93. Medición de distancias en rectas. 29
    • Geometría Descriptiva PROYECCIÓN DE RECTAS Ing. Alberto M. Pérez G.De igual forma, para ubicar a un punto (2) a una distancia 1) Recta contenida en el plano vertical de proyección. Es(d1-2) determinada de otro punto (1) dado, estando ambos un caso particular del anterior. Su proyecciónpuntos contenidos en una misma recta; debe también horizontal coincide con la línea de tierra, por quedibujarse un triángulo de rebatimiento de la recta como se todos sus puntos tienen vuelo igual a cero (Y=0)indica en la fig.93. fig.97.RECTAS EN POSICIONES PARTICULARES. v v r r β0=0 v 0Si una recta es paralela a uno de los planos principales de A v Aproyección, se proyecta sobre el en verdadero tamaño, y r dA-B dA-Bpor lo tanto no es necesario dibujar los triángulos de B v A α0rebatimiento para medir distancias sobre ella, o determinar dA-B αΟ B v H vlos ángulos que forma con los planos principales de v Hproyección. Por lo tanto el conocimiento de este tipo de h Y=cte. r α Ο Brectas permite resolver ciertos problemas con mayor rapidez. r h hA continuación se describen estas posiciones particulares: A h B H=Hh h A B h H ha) Recta horizontal. Es una recta paralela al plano horizontal de proyección; por lo tanto, se proyecta sobre fig.96. Recta frontal. este plano en verdadero tamaño; su proyección vertical es paralela a la línea de tierra, por que todos sus puntos tienen igual cota (Z=cte.), y por lo tanto forma un ángulo de cero grados con el plano horizontal de proyección 0 (α0=0 ) fig.94. v A=A v r β0=0 v 0 v A 1) Recta contenida en el plano horizontal de proyección. r=r dA-B Es un caso particular del anterior. Su proyección h αΟ B=B v B v vertical coincide con la línea de tierra, por que todos r α0 v h sus puntos tienen cota igual a cero (Z=0) fig.95. h H=H =H v h h H =H A h r B A h B h v v v v v A B V A v r fig.97. Recta contenida en el plano vertical de proyección. r B v 0 V=Vv Z=cte β A r dA-B B h β0 V β0 B h r h dA-B B h h V dA-B c) Recta paralela a la línea de tierra. Es una recta paralela h A h simultáneamente a los planos vertical y horizontal de α0=0 0 r h A proyección; por lo tanto, es una recta horizontal y frontal, y en consecuencia tiene las propiedades de ambas; es fig.94. Recta horizontal. decir, su cota es constante (Z=cte) y su vuelo también (Y=cte). Sus proyecciones horizontal y vertical son paralelas a línea de tierra; están en verdadero tamaño; y forman ángulos de cero grados con los planos vertical y horizontal de proyección (α0=β0=00) fig.98. v v A r v B 1) Recta contenida en la línea de tierra. Es un caso 0 V =V v h particular del anterior. Sus proyecciones están β r v A v v B h contenidas en línea de tierra fig.99. B V=Vv=Vh β0 dA-B h r=r h r h A h α0=0 0 h dA-B B=B A=A v v A dA-B B v v v r r A dA-B v B Z=cte.fig.95. Recta contenida en el plano horizontal de proyección. A r dA-B Bb) Recta frontal. Es una recta paralela al plano vertical de r h Y=cte proyección; por lo tanto, se proyecta sobre este plano h dA-B r h en verdadero tamaño; su proyección horizontal es A α0=β0=0 0 B h h A dA-B B h paralela a la línea de tierra, por que todos sus puntos tienen igual vuelo (Y=cte.), y por lo tanto forma un ángulo de cero grados con el plano vertical de fig.98. Recta paralela a la línea de tierra. 0 proyección (βο=0 ) fig.96. 30
    • Geometría Descriptiva PROYECCIÓN DE RECTAS Ing. Alberto M. Pérez G. PV Z α0 + β0 = 90 0 dA-B v h V=Vv=Vl rl β 0 r =r v h r =r l v l v h v r=r =r h A=A =A v h A =A v h B =B r=r V =V v l dA-B A v A l A A=A v dA-B r v h PL l α =β0=0 0 B=B =B 0 v B B dA-B β 0 B v Vh=Hv l H =H h Y 0 h h α H =V v h h A B α0 l A fig.99. Recta contenida en la línea de tierra. B=B h A h h r B h PH B h ld) Recta vertical. Es una recta perpendicular al plano H=H =H H h horizontal de proyección; por lo tanto, su proyección horizontal es un punto, y su proyección vertical se fig.102. Recta de perfil. observa en verdadero tamaño y perpendicular a línea de tierra; forma ángulos de noventa grados con el plano 0 horizontal de proyección (α0=90 ) y cero grados con el 0 plano vertical de proyección (β0=0 ) fig.100. CONSTRUCCIÓN DE RECTAS. r v r v La posición relativa entre los elementos que forman los v v triángulos de rebatimiento de una recta no varía; por A 0 A r α=90 ejemplo: el cateto (∆Z) es siempre opuesto al ángulo (α) y dA-B β=0 0 dA-B h perpendicular al cateto (r ) fig.92. Por lo tanto es posible A v dA-B B B v definir las proyecciones incompletas de una recta, si se v H v posee información adicional que permita dibujar sus H B triángulos de rebatimiento. A continuación se analizan algunos de estos casos. h h h h H=Hh=Ah=Bh=rh H =A =B =r V a) SE CONOCE LA PROYECCIÓN VERTICAL (r ) DE LA RECTA (r) Y EL 0 ÁNGULO (β ) QUE ESTA FORMA CON EL PLANO VERTICAL DE fig.100. Recta vertical. PROYECCIÓN. h Ejemplo: Definir la proyección horizontal (r ) de la recta (r) 0e) Recta de punta. Es una recta perpendicular al plano que contiene al segmento (A-B) que forma el ángulo (β ) con vertical de proyección; por lo tanto, su proyección el plano vertical de proyección; estando (B) por detrás de (A) vertical es un punto, y su proyección horizontal se fig.103a. observa en verdadero tamaño y perpendicular a línea Solución: de tierra; forma ángulos de cero grados con el plano h 0 horizontal de proyección (α0=0 ) y noventa grados con el La proyección horizontal (r ) de la recta (r), puede 0 plano vertical de proyección (β0=90 ) fig.101. definirse dibujando el triángulo de rebatimiento vertical del segmento (A-B) a partir de su proyección vertical fig.103b. v v V =A =B =r v v v B V=Vv=Av=Bv=rv r v A-B β0 v v ∆Y B B A r v h dA-B V A v A h h B V r 0 dA-B α=0 h B dA-B β=90 0 A-B B h A h β0 ∆Y h h h r A r h r h A h a b A fig.101. Recta de punta. fig.103. Construcción de rectas (PV + β0). h b) SE CONOCE LA PROYECCIÓN HORIZONTAL (r ) DE LA RECTA (r) Yf) Recta de perfil. Es una recta perpendicular a la línea de 0 EL ÁNGULO (α ) QUE ESTA FORMA CON EL PLANO HORIZONTAL DE tierra (paralela al plano lateral); sus proyecciones son PROYECCIÓN. perpendiculares a línea de tierra. Su verdadero tamaño, así como los ángulos que forma con los planos Ejemplo: Definir la proyección vertical del segmento (A-B) que 0 principales de proyección, pueden determinarse en una forma el ángulo (α ) con el plano horizontal de proyección; proyección lateral de la misma fig.102. estando (B) por debajo de (A) fig.104a. Solución: 31
    • Geometría Descriptiva PROYECCIÓN DE RECTAS Ing. Alberto M. Pérez G. h La proyección vertical del segmento (A-B) puede d) SE CONOCE LA PROYECCIÓN HORIZONTAL (r ) DE LA RECTA (r) Y 0 definirse dibujando el triángulo de rebatimiento EL ÁNGULO (β ) QUE ESTA FORMA CON EL PLANO VERTICAL DE horizontal del mismo a partir de su proyección PROYECCIÓN. horizontal fig.104b. Ejemplo: Definir la proyección vertical del segmento (A-B) que 0 v sube hacia atrás formando el ángulo (β ) con el plano vertical v A A de proyección fig.107a. v A-B r α0 ∆Z Solución: v B La proyección vertical del segmento (A-B) puede A-B definirse determinando la diferencia de vuelo (∆Y ) del A h mismo, y dibujando a partir de ella, su triángulo de A h A-B r h rebatimiento vertical fig.107b. h h ∆Z 0 B r α h a B b a b v B fig.104. Construcción de rectas (PH + α). vC) SE CONOCE LA PROYECCIÓN VERTICAL (r ) DE LA RECTA (r) Y EL r v 0 ÁNGULO (α ) QUE ESTA FORMA CON EL PLANO HORIZONTAL DE β0 v r PROYECCIÓN. v A A v Ejemplo: Definir la proyección horizontal del segmento (A-B) 0 v h que baja hacia adelante formando el ángulo (α ) con el plano r B horizontal de proyección fig.105a. B h β0 ∆Y A-B (900−β 0) h Solución: r h h A r A h La proyección horizontal del segmento (A-B) puede A-B definirse determinando la diferencia de cota (∆Z ) del mismo, y dibujando, a partir de ella, su triángulo de fig.107. Construcción de rectas (PH + β0). rebatimiento horizontal fig.105b. A v v A v En la fig.108, se muestra como, para el mismo ejercicio, si se r 0 varía el valor del ángulo (β ) dado, puede ser que la v r solución sea una recta horizontal fig.108a; o que el ejercicio ∆Z A-B (900−α0) B v α0 no tenga solución fig.108b. h v r B h h h A A r a) La solución es una recta b) No hay solución horizontal No se cortan α0 r h Son v tangentes v r r v v v a b h B A B v A r v v r r fig.105. Construcción de rectas (PV + α0). β 0 h B β0 B h A-B ∆Y (900−β 0) ∆Y A-BEn la fig.106, se muestra como, para el mismo ejercicio, si se h 0varía el valor del ángulo (α ) dado, puede ser que la r β0 β0 h (900−β 0)solución sea: una recta frontal fig.106a; o que el ejercicio h A r A hno tenga solución fig.106b. fig.108. Construcción de rectas (PH + β0) casos particulares. v A v r v A (900−α0) v α0 α0 r A-B A-B ∆Z (900−α0) ∆Z v h α0 B v α0 B e) SE CONOCE LA PROYECCIÓN HORIZONTAL (r ) DE LA RECTA (r) Y r h r h EL VERDADERO TAMAÑO (dA-B) DE UN SEGMENTO. r h h Ejemplo: Definir la proyección vertical del segmento (A-B), de A h B h A h longitud (dA-B), sabiendo que baja hacia la derecha fig.109a. r h r Solución: Son tangentes No se cortan La proyección vertical del segmento (A-B) puede a) La solución es una recta frontal b) No hay solución definirse dibujando el triángulo de rebatimiento horizontal del mismo a partir de su proyecciónfig.106. Construcción de rectas (PV + α0) casos particulares. horizontal fig.109b. 32
    • Geometría Descriptiva PROYECCIÓN DE RECTAS Ing. Alberto M. Pérez G. v En la fig.112 se muestra como, para el mismo ejercicio, si se v A A varía el valor del verdadero tamaño (dA-B) del segmento v A-B r dado, puede ser que la solución sea una recta frontal dA-B ∆Z B v fig.112a; o que el ejercicio no tenga solución fig.112b. dA-B No se cortan A h dA-B r h dA-B h A A-B A-B r h ∆Z B h ∆Y =0 B v dA-B h v v v B A r B v v A r dA-B a b fig.109. Construcción de rectas (PH + VT). Son tangentes h h h A r B A hEn la fig.110, se muestra como, para el mismo ejercicio, si se a) La solución es unavaría el valor del verdadero tamaño (dA-B) del segmento recta frontal b) No hay solucióndado, puede ser que la solución sea una recta horizontalfig.110a; o que el ejercicio no tenga solución fig.110b. fig.112. Construcción de rectas (PV + VT) casos particulares. v v v v A r B A Son tangentes g) SE CONOCE EL VERDADERO TAMAÑO (dA-B) DE UN SEGMENTO (A- 0 0 B), Y LOS ÁNGULOS (α ) Y (β ) QUE ESTE FORMA CON LOS LOS PLANOS PRINCIPALES DE PROYECCIÓN. h h h A h r Ejemplo: Definir las proyecciones del segmento (A-B), de A r h longitud (dA-B), sabiendo que baja hacia atrás ((B) a la derecha h B A-B ∆Z =0 B 0 0 dA-B y por debajo de (A)), formando los ángulos (α ) y (β ) con los dA-B planos vertical y horizontal de proyección respectivamente fig.113a. dA-B No se cortan dA-B Solución: a) La solución es una recta horizontal b) No hay solución Las proyecciones horizontal y vertical pueden dibujarse construyendo, generalmente aparte, el arcocapaz del fig.110. Construcción de rectas (PH + VT) casos segmento (A-B) dado, en base a una circunferencia particulares. cuyo diámetro sea el verdadero tamaño (dA-B) del mismo fig.113b. vf) SE CONOCE LA PROYECCIÓN VERTICAL (r ) DE LA RECTA (r), Y EL VERDADERO TAMAÑO (dA-B) DE UN SEGMENTO. dA-B A v v A-B r Ejemplo: Definir la proyección horizontal del segmento (A-B), v ∆Y A-B ∆z B v A v r de longitud (dA-B), sabiendo que sube hacia atrás fig.111a. β 0 dA-B Solución: β0 α0 A-B h ∆z r La proyección horizontal del segmento (A-B) puede h h B definirse dibujando el triángulo de rebatimiento vertical ∆Y A-B r del mismo a partir de su proyección vertical fig.111b. α0 1) Se dibuja el h ARCOCAPAZ h r A h A (α+β < 90 ) 0 2) Se definen las dA-B proyecciones del B v a b segmento (A-B) v v r A-B B A v ∆Y r v fig.113. Construcción de rectas (VT + α0 + β0). v A Este tipo de ejercicio tiene solución cuando la suma de los 0 0 0 0 0 0 ángulos (α ) y (β ) es inferior a 90 (α +β <90 ), como es el h caso del ejemplo mostrado en la fig.113; o si la suma de los B 0 0 0 0 0 0 dA-B ∆Y A-B ángulos (α ) y (β ) es igual a 90 (α +β =90 ), en cuyo caso la h r solución es una recta de perfil fig.114. Si la suma de los h 0 0 0 0 0 0 a A b A h ángulos (α ) y (β ) es mayor que 90 (α +β >90 ), el ejercicio no tiene solución fig.115. fig.111. Construcción de rectas (PV + VT). 33
    • Geometría Descriptiva PROYECCIÓN DE RECTAS Ing. Alberto M. Pérez G. dA-B dA-B 2) Se definen las 2) No hay solución v r v A-B proyecciones del v A ∆Y A r v ∆Y A-B segmento (A-B) A v β 0 dA-B v β 0 dA-B A β0 β0 α0 r h α0 A-B h ∆z A-B V r ∆z A-B ∆z =r 1) Se dibuja el v 1) Se dibuja el B Son ARCOCAPAZ tangentes ARCOCAPAZ h 0 α No se α0 B 0 cortan (α+β = 90 ) 0 (α0+β 0 > 90 ) h h A-B A h r = ∆Y A-B r < ∆Y A-B v r = ∆Z A-B A-B h h v r < ∆Z A-B ∆Y ∆Y =r A h h h r h r A Datos Solución A Datos Soluciónfig.114. Construcción de rectas (VT + α0 + β0) La solución es fig.115. Construcción de rectas (VT + α0 + β0) No hay una recta de perfil. solución. 34
    • Geometría Descriptiva PROYECCIÓN DE PLANOS Ing. Alberto M. Pérez G.PROYECCIÓN DE PLANOS. α a P V v P v a v b a V αPara designar los planos se utilizan letras minúsculas del b α valfabeto griego (Fig.116). P b v a α V b h a Α α Alfa Ι ι Ιota Ρ ρ Ro a h Β β Beta Κ κ Kapa Σ σ Sigma h P h α α h Γ γ Gamma Λ λ Lambda Τ τ Tau h b h ∆ δ Delta Μ µ Mu Υ υ Ípsilon P b h Ε ε Épsilon Ν ν Nu Φ φ Fi Ζ ζ Zeta Ξ ξ Xi Χ χ Ji Η η Eta Ο ο Ómicron Ψ ψ Psi Fig.119. Plano (α) definido por dos rectas (a y b) que se Θ θ Teta Π π Pi Ω ω Omega cortan. Fig.116. Alfabeto griego. a v a α a b // a v a α vUN PLANO (α) PUEDE DEFINIRSE POR MEDIO DE: v α b v ba) Tres puntos (A; B; y C) Fig.117. α vb) Una recta (a) y un punto (P) Fig.118. b h ac) Dos rectas (a y b) que se cortan Fig.119. h b h a h h α h b αd) Dos rectas (a y b) paralelas Fig.120.Dos rectas que se cruzan no definen un plano Fig.121. Fig.120. Plano (α) definido por dos rectas (a y b) paralelas. v B A v v V A V B A α v α B a C α v v V C a A B V C b α v b V h a b C B h h h h B h h a A α h A α a h C C h h b b h Fig.117. Plano (α) definido por tres puntos (A; B; y C). Fig.121. Dos rectas (a y b) que se cruzan no definen un plano. Un plano, inicialmente definido por tres puntos (Fig.122a), puede posteriormente ser definido por: una recta (a) y un punto (A) (Fig.122b1); dos rectas (a y b) que se cortan a P v (Fig.122b2); o dos rectas (a y b) paralelas (Fig.122b3). α a V v P V α P v v a Bv av Bv av Bv bv av Bv α Av Av Av P C v C v Cv v Cv A α bv a h P bh Ah Ah Ah Ah h bh h P h C h Ch α α h C ah ah Ch ah h a Bh Bh Bh Bh h a a) Plano definido 1) Una recta (a) y 2) Dos rectas 3) Dos rectas un punto (A) (a y b) que se cortan (a y b) paralelas por tres puntos Fig.118. Plano (α) definido por una recta (a) y un punto (P). (A; B; y C) b) Definición del mismo plano por medio de: Fig.122. Cambio de la definición original de un plano. 35
    • Geometría Descriptiva PROYECCIÓN DE PLANOS Ing. Alberto M. Pérez G.TEOREMAS DE PLANOS.a) Si dos puntos (A y B) pertenecen a un plano (α), la recta B v v v B v r 2 v r (r) que los une también pertenece a él Fig.123a. A v A v v 1 v v C Cb) Todas la rectas coplanares se cortan entre si; excepto si a v son paralelas Fig.123b. v bEstos dos teoremas son de gran aplicación en la resoluciónde problemas de geometría descriptiva relacionados con la h h A A b hproyección de planos. 1 h h h A C B h h C a h 2 α B h B r h C h α d 1) Datos 2) Determinación de r r∈α b a a) Plano definido por tres puntos (A; B y C) B∈α A∈α α c v v a v a v r v Ι v r a) Si dos puntos (A y B) están b) Todas las rectas (a; b; c; d...) A v A 2 v v contenidos en un plano (α), la contenidas en un plano (α) se 1 v recta (r) que los une también lo cortan entre sí; excepto si son b está paralelas Fig.123. Teoremas de planos. A h h A h 2 h h 1 b A a h a h Ι h α r hRECTA QUE PERTENECE A UN PLANO. a h 1) Datos 2) Determinación de rSe puede determinar la pertenencia o nó de una recta (r) a b) Plano definido por un punto (A) y una recta (a)un plano (α), por medio de la verificación del cumplimientode los dos teoremas mostrados en la Fig.123. v v h a aEjemplo: Definir la proyección horizontal (r ) de la recta (r), v r v v 1 v r v b b 2 vsabiendo que esta contenida en el plano (α) definido por:a) Tres puntos (A; B y C) Fig.124a1. Solución Fig.124a2. 1) Se definen las proyecciones de la recta (a) por medio b h b h h de los puntos (A y C). 2 h 2) Se definen las proyecciones de la recta (b) por medio a a h 1 h h α a r de los puntos (B y C). b h 1) Datos 2) Determinación de r Las rectas (a y b) están contenidas en el plano (α), por que los puntos (A; B; y C) que las definen son puntos ese c) Plano definido por dos rectas que se cortan (a y b) plano. v v a a 3) Se definen las proyecciones de los puntos (1 y 2) de b v r v b v 1 v r v corte de la recta (r) con las rectas (a y b) 2 v respectivamente. Las rectas (a; b; y r) se cortan por que todas pertenecen a un mismo plano (α). h 4) La proyección horizontal (r ) de la recta (r) queda b h h 2 h h definida por las proyecciones horizontales (1 y 2 ) de b h los puntos (1 y 2). a h a h a 1 h h α rb) Una recta (a) y un punto (A) Fig.124b1. b h 1) Datos 2) Determinación de r Solución Fig.124b2. d) Plano definido por dos rectas paralelas (a y b) 1) Se definen las proyecciones del punto de corte (Ι) entre las rectas (a y r). Fig.124. Recta que pertenece a un plano. 2) Se definen las proyecciones de un punto (1) cualquiera de la recta (a). 36
    • Geometría Descriptiva PROYECCIÓN DE PLANOS Ing. Alberto M. Pérez G. 3) Se definen las proyecciones de la recta (b), que contiene a los puntos (A y 1). v v B v B P v A v P A v 4) Se definen las proyecciones del punto de corte (2) C v entre las rectas (b y r). v m C v h 5) La proyección horizontal (r ) de la recta (r) queda h h definida por las proyecciones horizontales (2 e Ι ) de los puntos (2 e Ι). h h A A c) Dos rectas (a y b) que se cortan Fig.124c1. h h B h C h B C Solución Fig.124c2. A P h 1) Se definen las proyecciones de los puntos (1 y 2) de α B h 1) Datos 2) Determinación de P m h corte de la recta (r) con las rectas (a y b) C a) Plano definido por tres puntos (A; B y C) respectivamente. h 2) La proyección horizontal (r ) de la recta (r) queda h h a v v v a v definida por las proyecciones horizontales (1 y 2 ) de P v P los puntos (1 y 2). v A A m v d) Dos rectas (a y b) paralelas Fig.124d1. Solución Fig.124d2. Se procede de igual forma que el caso anterior. h A A h PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO. A a h a h α P h Ejemplo: Fig.125. a h 1) Datos 2) Determinación de P h h Definir la proyección horizontal (P ) del punto (P) sabiendo m b) Plano definido por un punto (A) y una recta (a) que está contenido en el plano (α) definido por: a) Tres puntos (A; B y C) Fig.125a1. v v v v a P a P v b b v b) Una recta (a) y un punto (A) Fig.125b1. m v c) Dos rectas (a y b) que se cortan Fig.125c1. d) Dos rectas (a y b) paralelas Fig.125d1. h h Solución: Fig.125a2; Fig.125b2; Fig.125c2; y Fig.125d2, b b respectivamente. h h h Para definir la proyección horizontal (P ) del punto (P), en a a a todos los casos, se aplica el siguiente procedimiento: α P h b v 1) Datos 2) Determinación de P h m h a) Se define la proyección vertical (m ) de una recta (m) cualquiera que contenga al punto (P). c) Plano definido por dos rectas que se cortan (a y b) h b) Se define la proyección horizontal (m ) de la recta (m) a v v v a v haciéndola pertenecer al plano (α). v P v P b b h c) Se define la proyección horizontal (P ) del punto (P), h m v sobre la proyección horizontal (m ) de la recta (m). TRAZAS DE UN PLANO. h h b b Son las rectas donde el plano se intercepta con los planos principales de proyección. Se denominan Fig.126: h h a a a h a) Traza vertical. Es la intersección (f) del plano (α) con el P α plano vertical de proyecciónFig.126a. b h h 1) Datos 2) Determinación de P m b) Traza horizontal. Es la intersección (h) del plano (α) con el d) Plano definido por dos rectas paralelas (a y b) plano horizontal de proyección Fig.126b. Fig.125. Punto que pertenece a un plano. Las trazas (f y h) de un plano (α) se cortan en la línea de tierra (excepto si el plano (α) es paralelo a ella). 37
    • Geometría Descriptiva PROYECCIÓN DE PLANOS Ing. Alberto M. Pérez G. v RECTAS CARACTERÍSTICAS DE UN PLANO. v f f=f h v Se llaman rectas características de un plano (α) a las rectas α h f f α h v h del plano que son paralelas a uno de los planos principales de proyección; se denominan fig.129: h h h=h h 1 a) Rectas características frontales. Son las rectas (f ) del a) Traza vertical (f) b) Traza horizontal (h) plano (α) paralelas al plano vertical de proyección; en consecuencia son paralelas a la traza vertical (f) del Fig.126. Trazas de un plano. plano α fig.129a. 1 2 Todas las rectas frontales (f; f ; f ; ...) de un plano (α) sonDETERMINACIÓN DE LAS TRAZAS DE UN paralelas entre sí fig.130.PLANO. b) Rectas características horizontales. Son las rectas (h ) del 1Si una recta (r) está contenida en un plano (α); las trazas plano (α) paralelas al plano horizontal de proyección; envertical (V) y horizontal (H) de la recta (r), están contenidas consecuencia son paralelas a la traza horizontal (h) delen las trazas vertical (f) y horizontal (h) del plano (α), plano (α) fig.129b.respectivamente (fig.127). Además, como ya se mencionó, Todas las rectas horizontales (h; h ; h ; ...) de un plano (α) 1 2las trazas de un plano se cortan en la línea de tierra son paralelas entre sí fig.131.(Excepto si el plano es paralelo a ella). Por lo tanto, puedendefinirse las trazas de un plano (α), definiendo previamentelas trazas de dos rectas (a y b) contenidas en el, como semuestra en los ejemplos (a) y (b) de la fig.128. v f v f=f 1v r rv f 1 f V=V v Vv 1v f α f =h h v H v α v f v f 1h 1h f h v v f f =h r v Hv h f =h v H h h H h V h h=h h V h r h h h h H=H h H a) Recta característica frontal (f ) 1 h h rh v f v f=f fig.127. Trazas de una recta (r) contenida en un plano (α). α h 1v V V 1v h h v h v f =h V C v a fv C v v b 1 h v A v V A v h 1h 1h V 1v h v v h B B h=h h V h H v fh=hv h h 1h h A V A b) Recta característica horizontal (h ) 1 h h B h C B h C h h b fig.129. Rectas características de un plano. 1) Datos 2) Solución H Ejemplo (a) a h hh 1v v a fv f 2v v v v v v v f f C b // a C 1 f f=f 2 v v v f f 3v v A B A B 3 fh=hv f h v A h h A h h f =h C C f 4 1h a h f 2h h B h α f 1) Datos B 2) Solución h b // a h h h h=h f 3h h hh Ejemplo (b) 1 2 3 f // f // f // f // f ... 4 fig.128. Determinación de las trazas de un plano ejemplos. fig.130. Paralelismo entre rectas características frontales. 38
    • Geometría Descriptiva PROYECCIÓN DE PLANOS Ing. Alberto M. Pérez G. v v 1v v v f f f r v f f f 3v α v h v f h α f=f v v P v 1v 2v P P v h 4 h P h 1v f h=hv 3 h h v h f =h h P h h P P h h 2 h h 1h f h 1h h 1 3h h h h h h h h h a) Definir (P ), r h 2h 1 1 h=h h 1h estando (P) 1) cualquiera (r) 2) frontal (f ) 3) horizontal (h ) h 1 4 2 3 h h contenido (α) h b) Determinación de (P ) por medio de una recta h // h // h // h // h ...fig.131. Paralelismo entre rectas características horizontales. fig.134. Punto contenido en un plano definido por trazas.Un plano (α) puede ser definido por dos rectas 1 1características (f y h ), como se muestra en la fig.132a. Y las NOTACIÓN CONVENIDA DE PLANOS DEFINIDOStrazas (f y h) de este plano (α), pueden determinarse a partir POR TRAZAS. 1 1de sus rectas características (f y h ), como se muestra en lafig.132b. Una forma convencional de designar, en doble proyección ortogonal, a un plano (α), definido por sus trazas (f y h), 1v 1v v f // f 1v consiste en cambiar su nomenclatura teórica, mostrada en f f la fig.135a, por la nomenclatura convencional mostrada en v 1v v 1v 1 P h P h la fig.135b f 1 P v v h h f =h v f α α f α h 1h 1h 1 f f f P h P h f =h h v α 1h 1h h 1 h h h 1h h // h a) Plano definido por rectas características b) Trazas del plano h h h α 1 1 a) Notación teórica b) Notación fig.132. Plano (α) definido por rectas (f y h ) características. del plano (α) convencional del plano (α)PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO fig.135. Notación teórica y convencional de un plano (α).DEFINIDO POR RECTAS CARACTERÍSTICAS. En la fig.136, se muestra la comparación entre la notación teórica (fig.136a) y la notación convencional (fig.136b)Siguiendo el método ya descrito en el ejemplo de la Fig.125, usadas en la representación de los planos (α; β; y γ),se muestra, en la fig.133b, como hacer pertenecer un punto pudiéndose apreciar en la misma, la conveniencia de utilizar(P) a un plano (α) definido por rectas características (f y h) esta última, la cual será usada en adelante.(fig.133a); utilizando para ello una recta: (r) cualquiera 1 1(fig.133b1); (f ) frontal (fig.133b2); ú (h ) horizontal (fig.133b3). 1v v 2v v v f f f f β α v γ α v h v f r 1v f f v v f 1v 1 v P P v f v P v h f P v β 1 v v v v h h h h h h v 1h 1v f =h =f =h = h 2h 2v h h r h h =f =h f f f f h h 1h h P h h 1h 1h P h β h h h P f h h h h h 2h h h h h h γ α h a) Definir (P ), 2 estando (P) 1) cualquiera (r) 2) frontal (f ) 3) horizontal (h ) 1 1 f a) Notación teórica de b) Notación convencional γ contenido (α) h h 2 los planos (α; β y γ) de los planos (α; β y γ) b) Determinación de (P ) por medio de una recta fig.133. Punto que pertenece a un plano definido por rectas fig.136. Notación teórica y convencional características. de los planos (α; β y γ).PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO PLANOS EN POSICIONES PARTICULARES.DEFINIDO POR TRAZAS. Los planos, al igual que las rectas, pueden ocupar ciertasSiguiendo el método ya descrito en el ejemplo de la Fig.125, posiciones particulares con respecto a los planos principalesse muestra, en la fig.134, como hacer pertenecer un punto de proyección. El estudio de estas posiciones es muy(P) a un plano (α) definido por trazas (f y h) (fig.134a), importante; ya que poseen propiedades proyectivas propias 1 que permiten simplificar la resolución de problemasutilizando para ello una recta: (r) cualquiera (fig.134b1); (f ) 1 relacionados con este tipo de planos.frontal (fig.134b2); ú (h ) horizontal (fig.134b3). 39
    • Geometría Descriptiva PROYECCIÓN DE PLANOS Ing. Alberto M. Pérez G.En las fig.137 a fig.139, se muestran estas posiciones es frecuente en estos planos determinar su proyecciónparticulares. Los puntos (A; B; y C) representados en cada lateral fig.137e.caso están contenidos en el plano (α) mostrado, y se indican 0además los ángulos (α0 y β ) que el plano (α) forma en cada f) Plano paralelo a la línea de tierra. Sus trazas son paralelascaso con los planos horizontal y vertical de proyección a la línea de tierra fig.137f.respectivamente. A continuación, se hace una breve g) Plano que pasa por la línea de tierra. Sus trazas sedescripción de estas posiciones particulares: encuentran en la línea de tierra, la cual es una recta del plano fig.138. Todas las rectas contenidas en estos Ch Bv α v planos se cortan con la línea de tierra (excepto si son α v α A v B v Cv paralelas a ella). Existen además dos planos muy h Av α particulares de este tipo denominados: α h α Ah A h B h C h 1) Plano primer bisector. Es un plano que pasa por la α0=900 α0=00 Bh línea de tierra y forma 450 con el plano horizontal de Cv β 0=00 β 0=900 proyección, dividiendo en partes iguales a los a) Plano (α) frontal b) Plano (α) horizontal cuadrantes uno (Ι C) y tres (ΙΙΙ C). Las proyecciones v β0 α v α Av Ch de cualquier figura geométrica contenida en el Bv v α α v α Bv primer bisector son simétricas; debido a que para β0 α Ah Cv todos sus puntos: la cota, es igual al vuelo fig.139a. h Av Ch α0 α 0 α h α 2) Plano segundo bisector. Es un plano que pasa por la Bh 0 α =90 0 h v 0 β =90 0 Bh línea de tierra y forma 450 con el plano horizontal de α A C h h α proyección. dividiendo en partes iguales a los c) Plano (α) vertical d) Plano (α) de punta cuadrantes dos (ΙΙ C) y cuatro (IV C). Las v h proyecciones de cualquier figura geométrica α =α v Cv v α v α contenida en el segundo bisector son coincidentes; α v PL α A α Av Ch debido a que para todos sus puntos: la cota y el v vuelo son iguales en magnitud pero diferentes en h Bh B α α h Ah h signo fig.139b. α h A α0=900 Bv α0+β 0=900 Bh A v β 0=900 e) Plano (α) de perfil f) Plano (α) paralelo a L.T. r v α v β0 h B α0+β 0=900 C v h fig.137. Planos en posiciones particulares. α0 α =α v h α =α ha) Plano frontal. Es un plano paralelo al plano vertical de B h r proyección; por lo tanto todos sus puntos tienen el mismo h A C v Todas sus rectas vuelo. Su traza horizontal, sobre la cual se proyecta se cortan con L.T. horizontalmente todo el plano, es paralela a la línea de tierra. El plano se proyecta verticalmente en verdadero fig.138. Plano que pasa por la la línea de tierra. tamaño fig.137a.b) Plano horizontal. Es un plano paralelo al plano horizontal de proyección; por lo tanto todos sus puntos tienen la A v misma cota. Su traza vertical, sobre la cual se proyecta C h v r verticalmente todo el plano es paralela a la línea de α β 0=45 0 B v tierra. El plano se proyecta horizontalmente en 0 v α =α h verdadero tamaño fig.137b. α0=45 v h α =αc) Plano vertical. Es un plano perpendicular al plano h B h v r horizontal de proyección; por lo tanto su traza vertical es C Proyecciones perpendicular a la línea de tierra, todo el plano se A h a) Primer bisector simétricas proyecta horizontalmente sobre su traza horizontal fig.137c. v h A =Ad) Plano de punta. Es un plano perpendicular al plano α vertical de proyección; por lo tanto su traza horizontal es v r =r h 0 perpendicular a la línea de tierra, todo el plano se α0=45 C =C v h proyecta verticalmente sobre su traza vertical fig.137d. v h v α =α h α =αe) Plano de perfil. Es un plano perpendicular a la línea de v h tierra; por lo tanto es paralelo al plano lateral y en B =B Proyecciones consecuencia todos sus puntos tienen igual distancia a coincidentes este plano. Sus trazas horizontal y vertical son b) Segundo bisector perpendiculares a la línea de tierra, y todo el plano se proyecta horizontal y verticalmente sobre ellas. El plano fig.139. Planos bisectores. se proyecta lateralmente en verdadero tamaño, por eso 40
    • Geometría Descriptiva Ing. Alberto M. Pérez G.capítulo 4INTERSECCIÓN; En este capítulo se estudia como definir, en Doble Proyección Ortogonal, la intersección, paralelismo y/oPARALELISMO; perpendicularidad que puede producirse entre rectas y planos debido a las posiciones relativas que estos ocupenPERPENDICULARIDAD. entre sí en el espacio que los rodea. Los procedimientos aquí descritos son de gran importanciaEn el capítulo tres se estudió como definir la Proyección para la resolución de problemas en doble proyecciónDiédrica de los elementos geométricos básicos: punto; recta ortogonal, y representan una herramienta básica de trabajoy plano. que capacitará al estudiante para la determinación de la Proyección Diédrica de objetos tridimensionales, tales comoSin embargo, estos elementos geométricos no deben pirámides, prismas, conos, esferas, etc., así como para laconsiderarse como algo independiente, debido a que se definición de las intersecciones producidas entre estospresentan juntos en cualquier objeto real que se represente cuerpos.o en cualquier problema de Geometría Descriptiva que sequiera resolver. Por otra parte, la comprensión de estas relaciones básicas de intersección, paralelismo y perpendicularidad, esPor ejemplo, un punto puede originarse de la intersección necesaria para la resolución de problemas métricos y laentre una recta y un plano; o una recta puede ser definida determinación de lugares geométricos, que se analiza en lospor la intersección entre dos planos, etc. Las rectas y los capítulos cinco y seis; así como para la comprensión deplanos por su parte pueden ubicarse en el espacio que los otros procedimientos prácticos de Geometría Descriptivarodea en diferentes posiciones relativas; pudiendo ser como lo son: el rebatimiento de planos; rotación; y cambio deparalelos; perpendiculares, cortarse, cruzarse, etc. planos de proyección, descritos en el capítulo siete, y que representan también procedimientos de trabajo esenciales para la determinación de la proyección diédrica de objetos geométricos complejos.
    • Geometría Descriptiva INTERSECCIÓN Ing. Alberto M. Pérez G. h c) La proyección horizontal (Ι ) del punto (Ι), se obtieneINTERSECCIÓN. h h proyectivamente, sobre la proyección horizontal (r =t ) de las rectas (r y t).INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO. También es posible definir la intersección (Ι) entre una recta v v (r) y un plano (α) tapando las proyecciones verticales (r y t )La intersección entre una recta (r) y un plano (α) es un punto de las rectas (r y t) y siguiendo un procedimiento análogo al(Ι) fig.140. anterior fig.142. r Ιv 1v=2v Ι rv=tv 1 α t∈α α Ι 2 fig.140. Intersección (Ι) entre una recta (r) y un plano (α). rDETERMINACIÓN DE LA INTERSECCIÓN ENTREUNA RECTA Y UN PLANO (recta tapada). th 1hPara definir, en Doble Proyección Ortogonal, el punto de rhintersección (Ι) entre una recta (r) y un plano (α), se aplica Ιh 2hun procedimiento denominado recta tapada, el cual consisteen: fig.141: fig.142. Determinación de la intersección (Ι) entre una recta (r) v v α tv y un plano (α), tapando las proyecciones verticales (r y t ) de las rectas (r y t). Ι v 2v rv t∈α Ejemplo: Definir la intersección (Ι) entre la recta (r) y el plano (α) Ι 2 1v para los siguientes casos: a) El plano (α) está definido por sus trazas fig.143a. r 1 Solución: En la fig.143b, se muestra la solución tapando las h h proyecciones horizontales (r =t ) de las rectas (r y t) y en v v rh=th la fig.143c, tapando sus proyecciones verticales (r =t ). Ι h 1h=2h v v t α v a α b c α v v v v v r r r =t v Ι v Ι fig.141. Determinación de la intersección (Ι), entre recta (r) y h h plano (α), tapando las proyecciones horizontales (r y t ) de h las rectas (r y t) . Ι h Ι h h h h r =t h α r α h α h r ha) Definir en el plano (α) una recta (t), cuya proyección t h horizontal (t ) coincide (se tapa) con la proyección h horizontal (r ) de la recta (r); por esta razón la recta (t) se fig.143. Intersección (Ι) de la recta (r) con el plano (α) definido 1 denomina recta tapada . Las rectas (r y t) se cortan en el por trazas. punto de intersección (Ι) buscado. vb) La proyección vertical (Ι ) del punto (Ι) queda definida b) El plano (α) está definido por las rectas (f y h) características v v por el corte de las proyecciones verticales (r y t ) de las fig.144a. rectas (r y t). Solución: En la fig.144b, se muestra la solución tapando las h h proyecciones horizontales (r =t ) de las rectas (r y t) y en v v la fig.144c, tapando sus proyecciones verticales (r =t ).1 La designación de recta tapada asignada a la recta (t) no debe interpretarseliteralmente, ya que ambas rectas (r y t) se tapan mutuamente. 42
    • Geometría Descriptiva INTERSECCIÓN Ing. Alberto M. Pérez G. f v f a b v f v c f v r =t v v ANÁLISIS DE LA VISIBILIDAD EN LA α r h r v INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON UN Ιv h v h v Ιv h v PLANO. t v La representación de la intersección de una recta (r) con un h h h plano (α), siempre presenta dos posibilidades de visibilidad, h r h r =t r h h h h h como se muestra en las fig.147a y fig.147b, en las cuales Ιh puede observarse que un segmento de la recta (r), definido f h h h Ιh f f por el punto de intersección (Ι) y un punto del contorno del h t plano (α), permanece invisible al observador, siendo tapado por el plano.fig.144. Intersección (Ι) de la recta (r) con el plano (α) definido por rectas características (f y h). a r b rc) El plano (α) está definido por sus trazas y la recta (r) es una Ι Ι recta de perfil fig.145a. α α Solución: El punto de intersección (Ι), puede definirse en una fig.147. Intersección entre una recta y un plano VISIBILIDAD. proyección lateral del sistema fig.145b. En Doble Proyección Ortogonal, debe analizarse la v Z=rv=rh=tv=th α v rl visibilidad en las proyecciones horizontal y vertical en forma 1 α r 1 v 1 v l independiente, debido a que los segmentos visibles en una 1 2 v V =V l de las proyecciones no son necesariamente visibles en la r =r v h otra proyección. Ιv Ιl 2 v 2 v Por medio del siguiente ejemplo se describe la forma de 2 l H l Y analizar la visibilidad en la intersección de una recta (r) con 2 h V =H h v 2 h un plano (α). tl Ιh Ejemplo: Definir la intersección (Ι) y visibilidad entre la recta (r) y 1 h 1 h el triángulo de vértices (A;B; y C) fig.148a. h α h H h Solución: a b α a) Se determina el punto de intersección (Ι) entre la recta fig.145. Intersección (Ι) de un plano (α) definido por trazas, (r) y el triángulo (A;B;C) fig.148b. con una recta (r) de perfil. b) Para determinar la visibilidad en proyección vertical fig.148c:d) Definir la intersección (Ι) de la recta (r) con los planos 1) Se define el segmento de punta (1-2) cuya bisectores fig.146a. v v proyección vertical (1 =2 ) es el punto de corte entre Solución: las proyecciones verticales de la recta (r) y del lado (A-B). Estando los puntos (1 y 2) contenidos en: En la fig.146b, se muestra como definir la intersección (Ι) de la recta (r) con el primer bisector, en el cual las punto 1: En el lado (A-B). proyecciones de la recta (t) son simétricas. punto 2: En la recta (r). En la fig.146c, se muestra como definir la intersección (Ι) 2) De estos dos puntos, solo uno es visible en proyección de la recta (r) con el segundo bisector, en el cual las vertical, y será aquel de los dos que posea mayor proyecciones de la recta (t) coinciden. vuelo. Por lo tanto se define la proyección horizontal del segmento de punta (1-2), y se determina en ella cual de estos dos puntos tiene mayor vuelo; a Ι v b rv c resultando ser el punto (2). rv r v v h Ι =Ι Se define entonces, que el segmento (2-Ι) de la recta 0 (r) es visible en proyección vertical, porque el punto α (2) que esta contenido en el es visible en esta α0 tv proyección. r h rh=th c) Para determinar la visibilidad en proyección horizontal h rh=tv=th Ι fig.148d: fig.146. Intersección (Ι) de una recta (r) con los planos 1) Se define el segmento vertical (3-4) cuya proyección h h bisectores. horizontal (3 =4 ) es el punto de corte entre las proyecciones horizontales de la recta (r) y del lado (B-C). Estando los puntos (3 y 4) contenidos en: 43
    • Geometría Descriptiva INTERSECCIÓN Ing. Alberto M. Pérez G. punto 3: En el lado (B-C). α i α i punto 4: En la recta (r). a Ι 2) De estos dos puntos, solo uno es visible en proyección Ι a b β β horizontal, y será aquel de los dos que posea mayor J b cota. Por lo tanto se define la proyección vertical del J segmento vertical (3-4), y se determina en ella cual de estos dos puntos tiene mayor cota; resultando ser el punto (4). a b Se define entonces, que el segmento (4-Ι) de la recta fig.149. Intersección (i) entre dos planos (α y β). (r) es visible en proyección horizontal, porque el punto (4) que esta contenido en el es visible en esta proyección. Ejemplo: Definir la intersección (i) entre los planos (α y β) para los siguientes casos: v v v a) Los planos (α y β) están definidos por sus trazas fig.150a. A v r a A v r =t b Solución: v v v C Ι C Se definen dos rectas (a y b) frontales del plano (α), y se determinan sus intersecciones (Ι y J) con el plano (β). La recta de intersección (i) entre los planos (α y β) queda v B v B definida por los puntos (Ι y J) fig.150b. iv h h B t h B a b v v 1v t v t a b h h v r r v β v I h α Ι v v A h h α β A J v h h C C h h h a =t v J h I A v r c A v v d b =t h 1h 4 h h α h α h Ι v C v Ι v C v β β ih v v 1 =2 v 3 fig.150. Intersección (i), entre dos planos (α y β) definidos por v v trazas. v B r B h h B B h 1 b) El plano (α) está definido por sus trazas, y el plano (β) por las h h rectas (a y b) paralelas fig.151a. h r r Ι Ι h 2 h 3 =4 h h Solución: h h A A h h La intersección (Ι) entre los planos (α y β), queda definida C C por los puntos de intersección (Ι y J) de las rectas (a y b) con el plano (α) fig.151b. fig.148. Intersección entre recta y plano VISIBILIDAD. v v a a =t β b//aINTERSECCIÓN ENTRE DOS PLANOS. v b iv v v b =t 1v v Ι α a v vLa intersección entre dos planos (α y β) es una recta (i), para α J vdeterminarla fig.149a: iha) Se elige, cualquier recta (a) en el plano (α), y se h h h Ι determina su intersección (Ι) con el plano (β). a α h a h J h αb) Se repite el paso anterior eligiendo una segunda recta, h b b h (b) en el plano (α), y determinando su intersección (J) h 1h a b t t con el plano (β).c) Los puntos de intersección (Ι y J) definen la recta de fig.151. Intersección (i), entre un plano (α) definido por trazas, intersección (i) entre los planos (α y β). y un plano (β) definido por rectas (a y b) paralelas.Las rectas (a y b) también pueden ser elegidas en el plano(β) y ser interceptadas con el plano (α) fig.149b. c) El plano (α) está definido por las rectas (f y h) características, y el plano (β) por las rectas (a y b) paralelas fig.152a. 44
    • Geometría Descriptiva INTERSECCIÓN Ing. Alberto M. Pérez G. Solución: ANÁLISIS DE LA VISIBILIDAD EN LA La intersección (Ι) entre los planos (α y β), queda definida INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS. por los puntos de intersección (Ι y J) de las rectas (a y b) con el plano (α) fig.152b. Ejemplo: Definir la intersección y visibilidad entre el triángulo (A;B;C) y el cuadrilátero (1;2;3;4) contenido en el plano (1;2;3) v v v 1v v fig.154a. a v b v a =t b =t f f α v iv h J Solución: v v Ι f h v h h v a) Se define la proyección horizontal (1 ) del vértice (1), haciéndolo pertenecer al plano (1;2;3) fig.154b. h f ih b) Se definen las intersecciones: (Ι) de la recta (A-B) con el h f h Ι h h cuadrilátero (1;2;3;4); y (J) de la recta (2-3) con el a h J β b//a triángulo (A;B;C). El segmento (Ι-J) pertenece a los dos h planos, y si está contenido en el primer cuadrante h h a a h h h siempre es visible en ambas proyecciones fig.154c. a b b b h 1h t t c) Se define la visibilidad de la intersección entre las dosfig.152. Intersección (i), entre un plano (α) definido por rectas figuras planas, por medio del análisis de visibilidad de la(f y h) características, y un plano (β) definido por rectas (a y b) intersección de las rectas: (A-B) con el cuadrilátero paralelas. (1;2;3;4); y (2-3) con el triángulo (A;B;C) fig.154d. v v a v 4 B b v 4 Bd) El plano (α) está definido por trazas, y el plano (β) es un plano v v que pasa por la línea de tierra y contiene al punto (A) 3 3 fig.153a. v v 1 1 Solución: v v A A 1) Se traza, por el punto (A), una recta (r) cualquiera del v v plano (α); es decir, cualquier recta (r) que pase por el C C v v punto (A) y se corte con la línea de tierra fig.153b. 2 2 2) Se define la intersección (Ι) de la recta (r) con el B h h B h 4 h 4 plano (α). h 1 3) Se define la intersección (J) del plano (α) con la línea h 3 h 3 de tierra. h h A A 4) Los puntos (Ι y J) están contenidos simultáneamente h C h h C h 2 2 en los planos (α y β), por lo tanto definen a la recta de intersección (Ι) entre ambos planos. c v B v d v v B 4 4 v v 3 3 v v v Ι v Ι v a b α 1 1 v A αv A v iv v v v A v J A v J Ι v v r =t C v C v v h J =J v v 2 2 h h h Ι h B h B 4 4 h h h t ih A r h A h h h αh αh 1 Ι 1 Ι h h 3 h 3 h h A h A J fig.153. Intersección (i) de un plano (α) definido por trazas, J h h hcon un plano (β) que pasa por la línea de tierra y contiene a un 2 h C 2 h C punto (A). fig.154. Intersección y visibilidad de dos planos ejemplo. 45
    • Geometría Descriptiva INTERSECCIÓN Ing. Alberto M. Pérez G.INTERSECCIÓN DE TRES PLANOS. Solución:La intersección de tres planos (α; β; y γ) es un punto (Ι). El a) Se determina la intersección (i) entre los planos (α y β)cual se define interceptando, con el plano (γ), la recta de fig.156b.intersección (i) entre los planos (α y β) fig.155. b) Se determina la intersección (Ι) de la recta (i) con el plano (γ) fig.156c. γ a β v v α v b β v v α v c β v α v v γ γ γ Ι α v i v Ι v v i β th i h I =t h h h β i h β β h h h α α α h Ι h h h γ γ γ fig.155. Intersección (Ι) entre tres planos (α, β y γ). fig.156. Intersección (Ι) de tres planos ejemplo.Ejemplo: Definir la intersección (Ι) entre los planos (α; β; y γ)fig.156a. 46
    • Geometría Descriptiva PARALELISMO Ing. Alberto M. Pérez G. v Ejemplo 2) Definir la proyección vertical (r ) de la recta (r), quePARALELISMO. contiene al punto (A) y es paralela al plano (α) de punta fig.159b1.PARALELISMO ENTRE RECTAS. Solución: vEl paralelismo entre rectas, en Doble Proyección Ortogonal, La proyección vertical (t ) de cualquier recta (t) del plano (α) vtiene propiedad proyectiva. Por lo tanto si dos rectas (a y b) de punta coincide con la proyección vertical (α ) de su traza v v vson paralelas, sus proyecciones verticales son paralelas vertical (α =t ). Por lo tanto la proyección vertical (r ) de la v v v(a //b ) y sus proyecciones horizontales también son recta (r), pasa por la proyección vertical (A ) del punto (A) y v h hparalelas (a //b ). es paralela a la proyección vertical (α ) de la traza vertical del plano (α) fig.159b2.Ejemplo: Definir las proyecciones de la recta (a) que contiene al hpunto (A) y es paralela a la recta (r) fig.157a. Ejemplo 3) Definir la proyección horizontal (r ) de la recta (r), que contiene al punto (A) y es paralela al primer bisector fig.159c1.Solución: fig.157b. Solución: v h Las proyecciones vertical (t ) y horizontal (t ) de la recta (t) v a b contenida en el Primer Bisector, cuya proyección vertical (t ) v A v A v coincide con la proyección vertical (r ) de la recta (r) son v v r r simétricas con respecto a la línea de tierra. Por lo tanto la h v v proyección horizontal (r ) de la recta (r), pasa por la a // r h proyección horizontal (A ) del punto (A) y ambas proyecciones de la recta (r) forman con la línea de tierra el h h A A h h mismo ángulo (αο) fig.159c2. h h r r a // r h Ejemplo 4) Definir la proyección horizontal (r ) de la recta (r), que contiene al punto (A) y es paralela al segundo bisector fig.159d1. fig.157. Recta (a), paralela a otra recta (r). Solución: Las proyecciones de la recta (t) que esta contenida en elPARALELISMO ENTRE RECTA Y PLANO. v Segundo Bisector y cuya proyección vertical (t ) coincide vSi una recta (r) es paralela a un plano (α), entonces existen con la proyección vertical (r ) de la recta (r) son v v hen el plano (α) infinidad de rectas (a; b; c; d...) paralelas a la coincidentes (r =t =t ). Por lo tanto la proyección horizontal h hrecta (r) fig.158a. (r ) de la recta (r), pasa por la proyección horizontal (A ) del v punto (A) y es paralela a la proyección vertical (r ) de laPara verificar el paralelismo entre una recta (r) y un plano (α) recta (r) fig.159d2.es suficiente comprobar la existencia de una recta (a) delplano (α) que sea paralela a la recta (r) fig.158b. v A v v α v A α v v A v α A v v v v r //α v v v α =t a r // α b r // α r r =t h h h t h r r //t a α h b A h α h α h A h A h A c a∈α h h d h r //t h α α a // r α 1) Datos 2) Solución 1) Datos 2) Solución a) Recta (r) paralela a un b) Recta (r) paralela a un fig.158. Paralelismo entre recta (r) y un plano (α). plano (α) definido por trazas plano (α) de punta v v v v A A A ARECTA PARALELA A UN PLANO. v r =t v v v v r =t =t v h r r hEjemplo 1) Definir la proyección horizontal (r ) de la recta (r), que α 0contiene al punto (A) y es paralela al plano (α) fig.159a1. 0 0 αSolución: h α h t h h h A A A A h r //r v h h1) Se define la proyección horizontal (t ) de la recta (t) que r esta contenida en el plano (α), cuya proyección vertical 1) Datos 2) Solución 1) Datos 2) Solución v v (t ) se tapa con la proyección vertical (r ) de la recta (r). c) Recta (r) paralela al d) Recta (r) paralela al primer bisector segundo bisector h2) Se traza, por la proyección horizontal (A ) del punto (A), y h paralela a la proyección horizontal (t ) de la recta (t), la h fig.159. Recta (r) paralela a un plano (α) ejemplos. proyección horizontal (r ) de la recta (r) fig.159a2. 47
    • Geometría Descriptiva PARALELISMO Ing. Alberto M. Pérez G.PLANO PARALELO A UNA RECTA. PARALELISMO ENTRE PLANOS.Ejemplo: Definir el plano (α), que contiene a la recta (a) y es Si dos planos (α y β) son paralelos, entonces todas las rectasparalelo a la recta (r) fig.160a. (a; b; c;...) del plano (α) son paralelas al plano (β), y todas las 1 1 1 rectas (a ; b ; c ;...) del plano (β) son paralelas al plano (α)Solución: fig.163a.Para definir este plano (α) debe trazarse, por cualquier Para verificar el paralelismo entre dos planos (α y β) espunto (P) de la recta (a), una recta (b) paralela a la recta (r), suficiente comprobar que dos rectas (a y b) no paralelas, dequedando el plano (α) definido por las rectas (a y b) que se uno de ellos (α) sean paralelas al otro (β) fig.163b.cortan fig.160b. a b α a α b // β b v r v a r v P v v v v a a b //r b // β a // β a // β α c // β b h h β 1 a // α 1 a P b // α h h a h β // α r r 1 h h c // α b //r fig.163. Paralelismo entre planos. fig.160. Plano (α), paralelo a una recta (r) ejemplo. Ejemplo 1) Definir el plano (β) que contiene al punto (A) y es paralelo al plano (α) definido por las rectas (a y b) fig.164a.RECTA PARALELA A DOS PLANOS. Solución:Una recta (r) es paralela a dos planos (α y β) si es paralela a 1 1la intersección (i) entre ambos planos fig.161. El plano (β) se define por medio de las rectas (a y b ) que pasan por el punto (A) y son paralelas a las rectas (a y b) respectivamente fig.164b. β // r r // i v v a a a 1v v b b //b v b v v v b A i A 1v v a //a α // r h h b b h 1h h A b //b h a h h A fig.161. Recta (r) paralela a dos planos (α y β). a 1 a a //a a //a 1h h α β 1 b b //bEjemplo: Definir las proyecciones de la recta (r) que pasa por elpunto (A) y es paralela a los planos (α y β) fig.162a. fig.164. Paralelismo entre planos ejemplo 1.Solución: Ejemplo 2) Definir las trazas del plano (β) que contiene al punto (A) y es paralelo al plano (α) fig.165a.Se define la intersección (i) entre los planos (α y β), y se traza,por el punto (A) la recta (r) paralela a la recta (i) fig.162b. Solución: Se define inicialmente el plano (β) por medio de las rectas características (f y h), que pasan por el punto (A) y son paralelas a las trazas vertical y horizontal del plano (α) respectivamente. Y luego se definen las trazas del plano (β) v v v α v α por medio de sus rectas características (f y h) fig.165b. β β rv// iv v v Av Av a v b v β //α v f //α v α α h i iv v v A v A h h h α α Ah Ah h A h f h A a h β b h β rh// ih h h h //α h α α h h β //α h fig.162. Recta (r) paralela a dos planos (α y β) ejemplo. fig.165. Paralelismo entre planos ejemplo 2. 48
    • Geometría Descriptiva PERPENDICULARIDAD Ing. Alberto M. Pérez G. En Proyección Diédrica, para que el ángulo recto sePERPENDICULARIDAD. proyecte sin deformación, por lo menos una de la rectas que lo definen debe ser: a) frontal (f) (paralela al plano vertical de proyección). En este caso se proyecta el ángulo recto sin deformaciónPERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS. sobre el plano vertical de proyección (véase el ejemplo de la fig.167a).El ángulo recto, en proyección ortogonal, tiene propiedadproyectiva cuando por lo menos una de las rectas que lo b) horizontal (h) (paralela al plano horizontal de proyección).definen es paralela al plano de proyección. En este caso se proyecta el ángulo recto sin deformación sobre el plano horizontal de proyección)En la fig.166a, se muestra una escuadra paralela a un plano (véase el ejemplo de la fig.167b).(α) de proyección, los catetos (a y b) definen un ángulorecto, el cual se proyecta ortogonalmente sin deformación Ejemplo 1: Definir las proyecciones de la recta (r) que contiene alsobre el plano (α) por ser ambos catetos paralelos a este punto (A) y es perpendicular a la recta frontal (f). fig.167a1.plano. Solución:Si esta escuadra se gira a través de su cateto (a) (fig.166b), elcateto (b) deja de ser paralelo al plano (α), pero el ángulo a) Las proyecciones verticales de las rectas (f y r) son v vrecto sigue proyectándose sin deformación, por que el perpendiculares (f ⊥ r ), ya que la recta frontal (f) escateto (a) sigue siendo paralelo al plano de proyección (α). paralela al plano vertical de proyección. Por lo tanto se v traza, por la proyección vertical (A ) del punto (A), yEn la fig.166c, donde la escuadra se gira a través de su v perpendicular a la proyección vertical (f ) de la recta (f),hipotenusa (h), puede observarse que el ángulo recto es v la proyección vertical (r ) de la recta (r) fig.167a2.deformado al proyectarse, debido a que las dos rectas (a y v hb) que lo definen dejan de ser paralelas al plano (α) de b) Se definen las proyecciones vertical (P ) y horizontal (P )proyección. del punto (P) de corte entre las rectas (f y r). h c) La proyección horizontal (r ) de la recta (r) queda h h definida por las proyecciones horizontales (A y P ) de los puntos (A y P). a) La escuadra es α paralela al plano (α). rv v rv v v h α v f h P h El ángulo recto se α v f proyecta sin a P v A v v deformación sobre el v A h A v A plano (α) por que los catetos (a y b) que lo a bα definen son paralelos a h h h ese plano h h A h A h A h A h b h f h f P h h r h P r α 1) Datos 2) Solución 1) Datos 2) Solución b) La escuadra se gira a través del cateto (a). α a) frontal (f) b) horizontal (h) h El ángulo recto sigue aα proyectandose sin deformación sobre el fig.167. Definir las proyecciones de la recta (r) que contiene al plano (α) por que uno α punto (A) y es perpendicular a la recta... de los catetos (a) que a b lo definen es paralelo a h ese plano Ejemplo 2: Definir las proyecciones de la recta (r) que contiene al b punto (A) y es perpendicular a la recta horizontal (h). fig.167b1. Solución: c) La escuadra se gira α a) Las proyecciones horizontales de las rectas (h y r) son a través de la h h hipotenusa (h). aα α h perpendiculares (h ⊥ r ), ya que la recta horizontal (h) es El ángulo recto se paralela al plano horizontal de proyección. Por lo tanto deforma al ser 0 0 h proyectado sobre el α ≠90 se traza, por la proyección horizontal (A ) del punto (A), y h plano (α), por que h bα perpendicular a la proyección horizontal (h ) de la recta ninguno de los catetos a h (h), la proyección horizontal (r ) de la recta (r) fig.167b2. (a ó b) que lo definen h v es paralelo a ese plano b) Se definen las proyecciones horizontal (P ) y vertical (P ) b del punto (P) de corte entre las rectas (h y r). v fig.166. Propiedad proyectiva del ángulo recto. c) La proyección vertical (r ) de la recta (r) queda definida v v por las proyecciones verticales (A y P ) de los puntos (A y P). 49
    • Geometría Descriptiva PERPENDICULARIDAD Ing. Alberto M. Pérez G.RECTAS PERPENDICULARES Y RECTAS b) La recta (r) es también ortogonal a la traza horizontal (h)ORTOGONALES. del plano (α), y por estar esta última contenida en el plano horizontal de proyección, el ángulo recto entreDos rectas se denominan perpendiculares si se cortan ambas rectas se proyecta horizontalmente sin h hformando un ángulo recto y ortogonales si forman un ángulo deformación, por lo tanto se dibuja (r ⊥ α ) fig.170c.recto pero no se cortan.Para mayor comprensión, obsérvese el paralelepípedo v v v vmostrado en la fig.168a, en el cual sus aristas (a y b) son α A v α (f ) A v α A vperpendiculares; mientras que las aristas (a y c) sonortogonales al igual que las aristas (b y c). r v r v v f h hEn la fig.168b1, se muestra, la doble proyección ortogonal,de una recta (r) ortogonal a una recta frontal (f). Y en la r hfig.168b2, de una recta (r) ortogonal a una recta horizontal h h h A(h). h A h A h h a α b α c α (h ) v v v a r f r v fig.170. Recta (r), que contiene a un punto (A) y es a b h perpendicular a un plano (α), definido por trazas. h h h r Ejemplo 2: Definir las proyecciones de la recta (r) que contiene al f h punto (A) y es perpendicular al plano (α) fig.171a. c r h Solución: (a y b) son perpendiculares (a y c) son ortogonales 1) frontal (f) 2) horizontal (h) a) La recta (r) es ortogonal a la recta característica frontal (b y c) son ortogonales b) Recta (r) ortogonal a una recta: (f) del plano (α), y por ser esta última paralela al plano vertical de proyección, el ángulo recto entre ambas fig.168. Perpendicularidad y ortogonalidad. rectas se proyecta verticalmente sin deformación, por lo v v tanto se dibuja (r ⊥ f ) fig.171b.PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTA Y PLANO. b) La recta (r) es también ortogonal a la recta característica horizontal (h) del plano (α), y por ser estaSi una recta (r) es perpendicular a un plano (α), entonces última paralela al plano horizontal de proyección, eltodas las rectas del plano (α) son perpendiculares, ú ángulo recto entre ambas rectas se proyectaortogonales, a la recta (r) fig.169. horizontalmente sin deformación, por lo tanto se dibuja h hPara verificar la perpendicularidad entre una recta (r) y un (r ⊥ h ) fig.171c.plano (α),es suficiente comprobar que dos rectas (a y b) noparalelas del plano (α) sean perpendiculares, ú ortogonales,a la recta (r). v v v v v f A f v A v f v A v v r v r h h h r⊥α Si la recta (r) es h h h h h h c perpendicular al plano h r (α), entonces todas las h h h b A A A rectas (a; b; c; d; e;...) h h h del plano (α) son f f f a a b c d perpendiculares, ú e α ortogonales a la recta (r) fig.171. Recta (r), que contiene a un punto (A) y es perpendicular a un plano (α), definido por rectas características fig.169. Recta (r) perpendicular a un plano (α). PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA.Ejemplo 1: Definir las proyecciones de la recta (r) que contiene alpunto (A) y es perpendicular al plano (α) fig.170a. Ejemplo: Definir el plano (α) que contiene al punto (A) y es perpendicular a la recta (r) fig.172a.Solución: Solución:a) La recta (r) es ortogonal a la traza vertical (f) del plano (α), y por estar esta última contenida en el plano vertical a) Se traza, por el punto (A) y ortogonal a la recta (r), la de proyección, el ángulo recto entre ambas rectas se recta característica frontal (f) del plano (α) fig.172b. proyecta verticalmente sin deformación, por lo tanto se b) Se traza, por el punto (A) y ortogonal a la recta (r), la v v dibuja (r ⊥ α ) fig.170b. recta característica horizontal (h) del plano (α) fig.172c. 50
    • Geometría Descriptiva PERPENDICULARIDAD Ing. Alberto M. Pérez G.El plano (α) queda definido por sus rectas características RECTAS DE MÁXIMA PENDIENTE DE UN PLANO.frontal (f) y horizontal (h), que se cortan en el punto (A) y sonortogonales a la recta (r); siendo en consecuencia el plano Son las rectas (p) de un plano (α) perpendiculares a todas(α) perpendicular a la recta (r). las rectas horizontales del mismo, y en consecuencia perpendiculares a su traza horizontal (h) fig.175. v v v v v f r f v r o El ángulo (α ) que forman con el plano horizontal de A v r v A A v h proyección las rectas (p) de máxima pendiente de un plano o (α), es igual al ángulo (α ) que forma el plano (α) con el h plano horizontal de proyección. h h h r r h h r h h A p α α v A h f h f a A b c v α 0 0 p α fig.172. Plano (α), que contiene a un punto (A) y es perpendicular a una recta (r). h h PH p hRECTA PERPENDICULAR A OTRA RECTA. αPara definir las proyecciones de una recta (b) que pase por fig.175. Recta (p) de máxima pendiente de un plano (α).un punto (P) y sea perpendicular a otra recta (a) fig.173a:a) Se traza por el punto (P) un plano (α) perpendicular a la RECTAS DE MÁXIMA INCLINACIÓN DE UN recta (a) y se determina la intersección (Ι) entre la recta PLANO. (a) y el plano (α) fig.173b. Son las rectas (i) de un plano (α) perpendiculares a todas lasb) La recta (b) queda definida por los puntos (P) e (Ι) rectas frontales del mismo, y en consecuencia son fig.173c. perpendiculares a su traza vertical (f) fig.176. o a a a b a c El ángulo (β ) que forman con el plano vertical de proyección las rectas de máxima inclinación (i) de un plano o P Ι P Ι b P (α), es igual al ángulo (β ) que el plano (α) forma con el plano vertical de proyección. α α v α PV fig.173. Recta (b), que contiene a un punto (P), y es i v perpendicular a otra recta (a). 0 i β 0 α i h f βEjemplo: Definir las proyecciones de la recta (b), que contiene al h αpunto (P) y es perpendicular a la recta (a) fig.174a.Solución:a) Se define, por medio de las rectas características (f y h), fig.176. Recta (i) de máxima inclinación de un plano (α). el plano (α), que contiene al punto (P) y es Un plano (α) puede ser definido por una sola recta, si esta es perpendicular a la recta (a); y se determina la de máxima pendiente (p); o de máxima inclinación (i). intersección (Ι) entre el plano (α) y la recta (a) fig.174b.b) La recta (b) queda definida por los puntos (P e Ι) fig.174c. Ejemplo 1: Definir las trazas del plano (α), sabiendo que la recta (p) es una de sus rectas de máxima pendientefig.177a1. v v v v a =t a =t P v h v P v h v P v Solución: a v Ι v v f b v Ι v v a) Se definen las trazas vertical (V) y horizontal (H) de la f recta (p) fig.177a2. h h a a h h h b) Se traza, por el punto (H ), y perpendicular a la recta (p ), f h t h f h la proyección horizontal (α ) de la traza horizontal del a h P h v h P h P plano (α). Ι b h Ι v h a h t b h c v c) La proyección vertical (α ) de la traza vertical del plano h h v (α), pasa por el punto (V ) y se corta en la línea de tierra h fig.174. Recta (b), que contiene a un punto (P), y es con la recta (α ). perpendicular a otra recta (a) ejemplo. 51
    • Geometría Descriptiva PERPENDICULARIDAD Ing. Alberto M. Pérez G. 1) Datos 2) Solución v v V v α a v b v v b v p α v α A v a p v v H a h V h h p h p b h a H β h a) de máxima pendiente (p) h h b a α a h α h A α h v 1) Datos 2) Solución V v α v i i v fig.179. Plano (β), que contiene a una recta (a), y es paralelo a v H otro plano (α). h V h i i h h α H h PLANO PERPENDICULAR A OTROS DOS. b) de máxima inclinación (i) Un plano (γ) es perpendicular a otros dos planos (α y β) si es fig.177. Determinar las trazas del plano (α) definido por la perpendicular a la intersección (i) entre ellos fig.180. recta...Ejemplo 2: Definir las trazas del plano (α), sabiendo que la recta γ Si la recta de(i) es una de sus rectas de máxima inclinaciónfig.177b1. intersección (i) entre los planos (α y β) esSolución: α perpendicular al planoa) Se definen las trazas vertical (V) y horizontal (H) de la (γ), entonces el plano β (γ) es perpendicular a recta (i) fig.177b2. los planos (α y β) vb) Se traza, por el punto (V ), y perpendicular a la recta (i ), v simultaneamente v la proyección vertical (α ) de la traza vertical del plano i (α). hc) La proyección horizontal (α ) de la traza horizontal del fig.180. Plano (γ) perpendicular a los planos (α y β). h plano (α), pasa por el punto (H ) y se corta en la línea de v tierra con la recta (α ).PERPENDICULARIDAD ENTRE PLANOS. Ejemplo: Definir el plano (γ) que contiene al punto (A) y es perpendicular a los planos (α y β) fig.181a.Para verificar la perpendicularidad entre dos planos (α y β) Solución:es suficiente comprobar la existencia en uno de ellos (α) deuna recta (r) que sea perpendicular al otro (β) a) Se define la intersección (i) entre los planos (α y β) fig.181b. b) Se define el plano (β) por medio de sus rectas características (f y h) que pasan por el punto (A) y son Si se determina que α r∈β ortogonales a la recta de intersección (i) entre los planos una recta (r) del plano (α) es perpendicular (α y β) fig.181c. al plano (β), entonces los planos (α y β) son perpendiculares v v v v β ⊥α β A β v A v β h v v A α v v α v α f v fig.178. Perpendicularidad entre planos. i i v h h i i h h A h h A h β h A f β h h β hEjemplo: Definir el plano (β) que contiene a la recta (a) y es α α h α h h fperpendicular al plano (α) fig.179a. γ a b c hSolución: fig.181. Plano (γ), que contiene a un punto (A), y esSe traza, por cualquier punto (A) de la recta (a), una recta perpendicular a los planos (α y β).(b) perpendicular al plano (α), y el plano (β) queda definidopor las rectas (a y b) que se cortan fig.179b. 52
    • Geometría Descriptiva Ing. Alberto M. Pérez G.capítulo 5 La comprensión de los problemas métricos básicos aquíproblemas métricos. analizados capacitará al estudiante para resolver cualquier problema relacionado con las dimensiones de los objetosEn este capítulo se analizan los procedimientos por medio que esté proyectando.de los cuales pueden determinarse, en Doble Proyección No debe iniciarse el estudio de este capítulo sin comprenderOrtogonal, distancias lineales ó angulares entre puntos el anterior, pues la resolución de los problemas métricos aquírectas y planos. planteados requiere de la aplicación de los conceptos de intersección, paralelismo y perpendicularidad ya expuestos.
    • Geometría Descriptiva PROBLEMAS MÉTRICOS Ing. Alberto M. Pérez G. b) Se determina la distancia (dA-Ι) entre los puntos (A e Ι); laPROBLEMAS MÉTRICOS. cual es igual a la distancia (dA-α) entre el punto (A) y el plano (α) fig.184c.DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA.La distancia (dA-B) entre dos puntos (A y B), se determina pormedio de un triángulo de rebatimiento vertical (fig.182a) ú Para determinar la distancia (dA-r) entre un punto (A) y unahorizontal (fig.182b). recta (r) (fig.185a): se traza, por el punto (A), un plano (α) perpendicular a la recta (r), y se determina la intersección A v (Ι) entre ambos. La distancia (dA-Ι) entre los puntos (A e Ι), es a dA-B v b A igual a la distancia (dA-r) entre el punto (A) y la recta (r) A-B ∆Z fig.185b. v ∆Y A-B B v B A A r h A dA-I = dA-r A-B h r ∆Y A h B ∆Z A-B h B dA-B Ι fig.182. Distancia (dA-B) entre dos puntos (A y B). αDISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO. fig.185. Distancia (dA-r) entre un punto (A) y una recta (r).Para determinar la distancia (dA-α) entre un punto (A) y unplano (α) (fig.183a), se traza por el punto (A) una recta (p) Ejemplo: Definir la distancia entre el punto (A) y la recta (r)perpendicular al plano (α) y se determina la intersección (Ι) fig.186a:entre ambos. La distancia (dA-Ι) entre los puntos (A e Ι) es Solución:igual a la distancia (dA-α) entre el punto (A) y el plano (α)fig.183b. a) Se define, por medio de las rectas características (f y h), el plano (α), que contiene al punto (A) y es a b A perpendicular a la recta (r), y se determina la A intersección (Ι), entre la recta (r) y el plano (α) fig.186b. dA-Ι = dA-α b) Se determina la distancia (dA-Ι) entre los puntos (A e Ι); la Ι cual es igual a la distancia (dA-r) entre el punto (A) y la recta (r) fig.186c. p a b Ι v v f c Ι v f v α α v v v v r v r A h v r A h v ∆Z v A fig.183. Distancia (dA-α) entre un punto (A) y un plano (α). h h h A f f h A A h ∆Z hEjemplo: Definir la distancia entre el punto (A) y el plano (α) Ι Ι h dA-Ι=dA-r hfig.184a: r h h h r h h r hSolución: A v v A v v A v fig.186. Distancia (dA-r) entre un punto (A) y una recta (r) a v b α c α α A-Ι ejemplo. v v ∆Z Ι Ι v v p =t p v DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE Ι h ∆Z A-Ι Ι h CRUZAN. h h t p h p α h α h Para determinar la distancia (da-b) entre dos rectas (a y b) h h α dA-Ι=dA-α A h que se cruzan fig.187a: A h A a) Se define un plano (α) que contenga a una de ellas (b) y fig.184. Distancia (dA-α) entre un punto (A) y un plano (α) se paralelo a la otra (a); para ello se traza por cualquier 1 ejemplo. punto (1) de la recta (b) una recta (a ) paralela a la recta (a). De esta forma el plano (α) queda definido pora) Se traza, por el punto (A), la recta (p) perpendicular al 1 las rectas (a y b) que se cortan y es paralelo a la recta plano (α), y se determina la intersección (Ι), entre la (a) fig.187b recta (p) y el plano (α) fig.184b. 54
    • Geometría Descriptiva PROBLEMAS MÉTRICOS Ing. Alberto M. Pérez G.b) Por cualquier punto (2) de la recta (a) se traza una recta ii) Se dibuja, por la traza horizontal (H) de la recta (p) perpendicular al plano (α) y se determina su (b), y paralela a la recta horizontal (h), la traza intersección (Ι) con este plano. La distancia (d2-Ι) entre los horizontal del plano (α). puntos (2 e Ι) es igual a la distancia (da-b) entre las rectas (a y b) fig.187c. iii) Se dibuja, por la traza vertical (V) de de la recta (h) y cortándose en la línea de tierra con la traza 2 horizontal del plano (α), la traza vertical del plano a d2-Ι = da-b a a (α). α p b) Por un punto (2) cualquiera de la recta (a) se traza una Ι recta (p) perpendicular al plano (α) y se determina su b b b intersección (Ι) con el mismo fig.188c. 1 1 1 a //a 1 a //a c) Se determina la distancia (d2-Ι) entre los puntos (2 e Ι) la cual es igual a la distancia (da-b) entre las rectas (a y b) a b c α fig.188d.fig.187. Distancia (da-b) entre dos rectas (a y b) que se cruzan. PERPENDICULAR COMÚN A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN.Ejemplo: Determinar la distancia (da-b) entre las rectas (a y b) quese cruzan fig.188a. Para trazar la recta (c) que sea perpendicular a dos rectas (a y b) que se cruzan fig.187a:Solución: a) Se realiza, solo hasta la determinación del punto (Ι), el v b v a b v v b procedimiento descrito anteriormente (ver fig.187b y a a 1v v v 1 fig.187c) para medir la distancia entre las rectas (a y b) a //a α v que se cruzan. v v V 2 h v b) Se traza, por el punto (Ι), la recta (a ) paralela a la recta X (a), y se determina el punto (3) de corte entre las rectas 2 v (a y b) fig.189a. H V h b h b h 1 h c) Se traza, por el punto (3) la recta (c) paralela a la recta h α (p). Esta recta (c) es perpendicular a las rectas (a y b) 1h h h a //a h X h h simultáneamente fig.189b. a h H a h 2 2 a a p p c v v d v v a p a p 2 v α v v 2 a //a a //a v 2 d2-Ι 2 Ι Ι c v b α b v b b Ι v ∆Y 3 3 v 1 1 Ι 1 1 a //a a //a a α b α h h Ι h Ι h b b ∆Y fig.189. Perpendicular común (c) a dos rectas (a y b) que se h p h h p h cruzan. h 2 2 h h α a α h afig.188. Distancia (da-b) entre dos rectas (a y b) que se cruzan Ejemplo: Definir la perpendicular común (c) a las rectas (a y b), ejemplo. del ejemplo mostrado en la fig.188a:a) Se define el plano (α) que contiene a la recta (b) y es Solución: paralelo a la recta (a); para ello fig.188b: a) Se realizan los pasos a y b, del mismo ejemplo (fig.188b y 1) Por cualquier punto (1) de la recta (b) se traza una fig.188c) determinando igualmente las proyecciones del 1 1 recta (a ) paralela a la recta (a). Las rectas (a y b) punto (Ι). definen al plano (α); pero este plano debe definirse 2 b) Se traza, por el punto (Ι), la recta (a ) paralela a la r