Metodo Simplex

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Metodo simplex en la materia de investigacion de operaciones.

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  • Buen día, acabo de encontrar tú trabajo y me parece muy interesante; creo que con este material va a ser posible comprender el método. Todavía voy a revisar los ejercicios y opino que (por los comentarios que se realizan) a veces se nos pasa un signo o aclarar algún cálculo. Muchas gracias
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  • (4M-1)X2, es por cuestion de signos, al realizar las respectivas operaciones de los parentesis y luego obtener factor comun se deben respetar los signos - (4M-1)x2 = -4MX2+X2
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  • No entiendo como obtiene (4M-1)X2, ¿Puede alguien explicarme por favor?
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Metodo Simplex

  1. 1. Solución de Modelos de Programación Lineal El Metodo Simplex Juan José Bravo B, M.Sc. © Juan José Bravo B., M.Sc.
  2. 2. EL MÉTODO SIMPLEX Es un método genérico de solución de problemas lineales, desarrollado por George Dantzig en 1947. Como tal, el método simplex es un procedimiento algebraico, pero puede entenderse más fácilmente como un método geométrico. Antes de explicar los aspectos geométricos del Simplex, veremos el tratamiento que debe hacerse a cualquier modelo de PL antes de aplicar el Método Simplex sobre él para solucionarlo. Juan José Bravo B., M.Sc.
  3. 3. Conversión de modelos de PL a la /1 Forma Estándar Todo modelo de PL, para efectos de resolverse con el Método Simplex, debe llevarse a una Forma Estándar con las siguientes características: 1. El lado derecho de las ecuaciones debe ser no-negativo 2. Todas las restricciones deben convertirse a Ecuaciones 3. Todas las variables deben ser no-negativas EJEMPLO: Maximizar Z = 2x1 + 3x2 + x3 Sujeto a: x1 + x2 + x3 = 10 -2x1 + 3x2 + 2x3 ≤ -5 7x1 - 4x2 + 5x3 ≤ 6 x1 + 4x2 + 3x3 ≥ 8 x1 no restringida, x2 ≤ 0, x3 ≥0 Juan José Bravo B., M.Sc.
  4. 4. Conversión de modelos de PL a la /2 Forma Estándar Maximizar Z = 2x1 + 3x2 + x3 Maximizar Z = 2x1 + 3x2 + x3 1 Sujeto a: x1 + x2 + x3 = 10 Sujeto a: x1 + x2 + x3 = 10 -2x1 + 3x2 + 2x3 ≤ -5 2x1 - 3x2 - 2x3 ≥ 5 7x1 - 4x2 + 5x3 ≤ 6 7x1 - 4x2 + 5x3 ≤ 6 x1 + 4x2 + 3x3 ≥ 8 x1 + 4x2 + 3x3 ≥ 8 x1 no restringida, x2 ≤ 0, x3 ≥0 x1 no restringida, x2 ≤ 0, x3 ≥0 2 Maximizar Z = 2x1 – 3x’2 + x3 Maximizar Z = 2x1 + 3x2 + x3 3a Sujeto a: x1 – x’2 + x3 = 10 Sujeto a: x1 + x2 + x3 = 10 2x1 + 3x’2 - 2x3 – S1 = 5 2x1 - 3x2 - 2x3 – S1 = 5 7x1 + 4x’2 + 5x3 + S2 = 6 7x1 - 4x2 + 5x3 + S2 = 6 x2=-x’2 x1 - 4x’2 + 3x3 – S3 = 8 x1 + 4x2 + 3x3 – S3 = 8 x1 no restringida, x’2 ≥ 0, x3 ≥ 0, S1≥0, x1 no restringida, x2 ≤ 0, x3 ≥0, S1≥0, S2≥0, S3≥0 S2≥0, S3≥0 Juan José Bravo B., M.Sc.
  5. 5. Conversión de modelos de PL a la /3 Forma Estándar Maximizar Z = 2x1 – 3x’2 + x3 Sujeto a: x1 – x’2 + x3 = 10 3b 2x1 + 3x’2 - 2x3 – S1 = 5 7x1 + 4x’2 + 5x3 + S2 = 6 x1= x’1 - x’’1 x1 - 4x’2 + 3x3 – S3 = 8 x1 no restringida, x’2 ≥ 0, x3 ≥ 0, S1≥0, S2≥0, S3≥0 Maximizar Z = 2x’1 – 2x’’1 - 3x’2 + x3 Sujeto a: x’1 – x’’1 – x’2 + x3 = 10 Forma Estándar donde: 2x’1 – 2x’’1 + 3x’2 - 2x3 – S1 = 5 S1 y S3  Variables de Exceso 7x’1 – 7x’’1 + 4x’2 + 5x3 + S2 = 6 S2  Variable de Holgura x’1 – x’’1 - 4x’2 + 3x3 – S3 = 8 x’1≥ 0, x’’1 ≥ 0, x’2 ≥ 0, x3 ≥ 0, S1≥0, S2≥0, S3≥0 Juan José Bravo B., M.Sc.
  6. 6. Soluciones Básicas EJEMPLO: Minimizar Z = -3x1 - 5x2 Minimizar Z = -3x1 - 5x2 Forma Sujeto a: x1 ≤ 4 Sujeto a: x1 + S1 = 4 Estándar 2x2 ≤ 12 2x2 + S2 = 12 3x1 + 2x2 ≤ 18 3x1 + 2x2 + S3 = 18 x1 , x2 ≥ 0 x1 , x2 , S1, S2, S3 ≥ 0 x1 x2 s1 s2 s3 0 0 4 12 18 El Método Simplex observa el conjunto de ecuaciones resultantes 0 6 4 0 6 en la forma estándar, y dado que 0 9 4 -9 0 hayan “m” ecuaciones y ”n” incognitas (en este caso m = 3 y n 4 6 0 0 -6 = 5) le corresponde hacer (n-m) 2 6 2 0 0 variables iguales a “cero” para 4 3 0 6 0 poder tener soluciones consistentes. Las soluciones que 6 0 -2 12 0 logra de esta manera se llaman 4 0 0 12 6 Soluciones Básicas. Juan José Bravo B., M.Sc.
  7. 7. Soluciones Básicas Factibles (SBF) x1 x2 s1 s2 s3 P1 0 0 4 12 18 Fact P2 0 6 4 0 6 Fact P3 0 9 4 -9 0 NO P4 4 6 0 0 -6 NO P5 2 6 2 0 0 Fact P6 4 3 0 6 0 Fact P7 6 0 -2 12 0 NO P8 4 0 0 12 6 Fact Los puntos resaltados con verde representan Soluciones Básicas Factibles ya que cumplen con Las SBF son los vértices todas las restricciones. Los demás puntos violan de la Región Factible y restricciones de no-negatividad. El Método por tanto allí estará el Simplex únicamente considera para su análisis las óptimo. SBF. Juan José Bravo B., M.Sc.
  8. 8. Búsqueda Geométrica del Optimo Punto Puntos Valor Z en Valor Z en los Adyacentes Factibles Adyacente el Punto s P5 P1 P2 y P8 Z=0 P2 (Z = -30) y P8 (Z = -12) P2 P2 P1 y P5 Z = -30 P1 (Z = 0) y P5 (Z = -36) P5 P2 y P6 Z = -36 P2 (Z = -30) y P6 (Z = -27) P6 P6 P5 y P8 Z = - 27 P5 (Z = -36) y P8 (Z = -12) P8 P1 y P6 Z = -12 P1 (Z = 0) y P6 (Z = -27) P8 P1 El Método Simplex inicia explorando uno de los puntos, usualmente el origen (en este caso P1), y saltará a un punto adyacente sólo si éste salto mejora el valor de Z. Si estando en un punto se determina que ninguno de los adyacentes a él mejora el valor de Z, entonces se ha encontrado el óptimo. En este caso el óptimo es el punto P5, y se encuentra en 3 iteraciones (P1  P2  P5). Juan José Bravo B., M.Sc.
  9. 9. Simplex Tabular /1 Minimizar Z = -3x1 - 5x2 El Método Simplex inicia en el punto P1, que corresponde a la Tabla 1. Sujeto a: x1 + S1 = 4 2x2 + S2 = 12 x1 x2 s1 s2 s3 3x1 + 2x2 + S3 = 18 P1 0 0 4 12 18 x1 , x2 , S1, S2, S3 ≥ 0 Variables Variables No Básicas Básicas Tabla 1 x1 x2 S1 S2 S3 Solución Variables Coeficientes en la (R.H.S.) Básicas Función Objetivo (Cj) S1 0 1 0 1 0 0 4 S2 0 0 2 0 1 0 12 S3 0 3 2 0 0 1 18 5 0 Zj - Cj 3 0 0 0 Coeficientes de Valor Objetivo las restricciones Juan José Bravo B., M.Sc.
  10. 10. Simplex Tabular /2 Ya obtenida la Tabla 1, el Método Para ello observamos el Simplex se pregunta: ¿La Tabla renglón (Zj – Cj), que da 1 es óptima? (es decir, ¿el sólo informacion de las punto P1 es óptimo?). Variables No Basicas Criterio de Parada Si todos los valores del Para Minimización renglón (Zj – Cj) ≤ 0 • Si un valor del renglón (Zj – Cj) es positivo, entonces la Tabla es indica que al darle valores a la variable no basica óptima respectiva, mejora la funcion objetivo. ó • Si un valor del renglón (Zj – Cj) es negativo, indica que al darle valores a la variable no basica respectiva empeora la funcion objetivo. Debe ingresar a la solución la Variable No •Si un valor del renglón (Zj – Cj) es cero, indica Basica que tenga el que al darle valores a la variable no basica mayor valor positivo en respectiva, no hay cambio en la funcion objetivo. el renglón (Zj – Cj) Criterio de Entrada Juan José Bravo B., M.Sc.
  11. 11. Simplex Tabular /3 Columna entrante Tabla 1 x1 x2 S1 S2 S3 Solución Variables Coeficientes en la Razón (R.H.S.) Básicas Función Objetivo Mínima (Cj) (θ) S1 0 1 0 1 0 0 4 - S2 0 0 2 0 1 0 12 12/2 = 6 S3 0 3 2 0 0 1 18 18/2 = 9 5 0 Zj - Cj 3 0 0 0 sale S2 Para darle valores a la Para saber cual Se calcula dividiendo el variable X2 (es decir, variable básica elemento de la columna volver básica a X2), debe actual sale, el R.H.S con el elemento salir de la solución actual Criterio de Salida de la columna entrante, una de las variables es con base en la siempre que el básicas (es decir, una de Razón Mínima elemento de esta última ellas deberá volverse no (θ) columna sea positivo. basica ó “cero”). Juan José Bravo B., M.Sc.
  12. 12. Simplex Tabular /4 Tabla 1 x1 x2 S1 S2 S3 Solución Variables Coeficientes en la (R.H.S.) Básicas Función Objetivo (Cj) S1 0 1 0 1 0 0 4 S2 0 0 2 0 1 0 12 S3 0 3 2 0 0 1 18 5 0 Zj - Cj 3 0 0 0 1 0 1 0 0 4 1 0 1 0 0 4 1 0 1 0 0 4 r4 -5r2 r2 / 2 0 1 0 1/ 2 0 6 0 2 0 1 0 12 0 1 0 1/ 2 0 6 r3 -2r2 3 2 0 0 1 18 3 2 0 0 1 18 3 0 0 1 1 6 3 5 0 0 0 0 3 5 0 0 0 0 3 0 0 5/2 0 30 Tabla 2 x1 X2 S1 S2 S3 Solución Variables Coeficientes en la (R.H.S.) Básicas Función Objetivo (Cj) S1 0 1 0 1 0 0 4 x2 -5 0 1 0 1/2 0 6 S3 0 3 0 0 -1 1 6 0 -5/2 Zj - Cj 3 0 0 -30 Juan José Bravo B., M.Sc.
  13. 13. Simplex Tabular /5 Tabla 2 x1 X2 S1 S2 S3 Solución Variables Coeficientes en la Razón (R.H.S.) Básicas Función Objetivo (Cj) θ S1 0 1 0 1 0 0 4 4/1 =4 x2 -5 0 1 0 1/2 0 6 - S3 0 3 0 0 -1 1 6 6/3 =2 0 -5/2 Zj - Cj 3 0 0 -30 x1 x2 s1 s2 s3 P2 0 6 4 0 6 Fact Tabla 3 x1 X2 S1 S2 S3 Solución Variables Coeficientes en la Tabla (R.H.S.) Básicas Función Objetivo (Cj) OPTIMA S1 0 0 0 1 1/3 -1/3 2 x2 -5 0 1 0 1/2 0 6 x1 -3 1 0 0 -1/3 1-3 2 0 0 -3/2 -1 Zj - Cj 0 -36 x1 x2 s1 s2 s3 P5 2 6 2 0 0 Fact Juan José Bravo B., M.Sc.
  14. 14. El Simplex y las Variables Artificiales /1 Minimizar Z = 4x1 + x2 Estandarizacion Minimizar Z = 4x1 + x2 Tradicional Sujeto a: 3x1 + x2 = 3 Sujeto a: 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 ≥ 6 4x1 + 3x2 – S2 = 6 x1 + 2x2 ≤ 4 x1 + 2x2 + S3 = 4 x1 , x2 ≥ 0 x1 , x2,S2, S3 ≥ 0 ¿Puede Lograrlo con este Como n=4 y m=3, el Simplex ejemplo? hace n-m variables “cero” (en este caso una) para crear un sistema de ecuaciones En general, las restricciones de “=“ y consistente que arroje una de “≥” generan problemas al Simplex al Solucion Inicial Inmediata y momento de construir la tabla inicial Factible . que arranca el procedimiento. En cambio cuando las restricciones son de El Simplex soluciona estos “≤” no existen estos inconvenientes y inconvenientes de arranque creando el metodo puede iniciar sin problemas Variables Artificiales. con las variables de holgura. Juan José Bravo B., M.Sc.
  15. 15. El Simplex y las Variables Artificiales /2 Min Z = 4x1 + x2 + MR1+ MR2 Min Z = 4x1 + x2 Min Z = 4x1 + x2 Sujeto a: Sujeto a: 3x1 + x2 = 3 Sujeto a: 3x1 + x2 + R1 = 3 4x1 + 3x2 ≥ 6 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 – S2 + R2 = 6 4x1 + 3x2 – S2 = 6 x1 + 2x2 ≤ 4 x1 + 2x2 + S3 = 4 x1 , x2 ≥ 0 x1 + 2x2 + S3 = 4 x1 , x2, S2, S3, R1, R2 ≥ 0 x1 , x2,S2, S3 ≥ 0 La Tabla Simplex Inicial se construye teniendo en cuenta que en el renglón (Zj – Cj) las Aquí n = 6 y m = 3, variables básicas tienen necesariamente valores siendo (n-m) = 3. Es decir, de “cero”. al hacer 3 variables iguales a “cero” sale una Solucion Inicial Inmediata Factible. [Puede observar Tenga en cuenta que en la Tabla 1: que estas 3 variables no básicas iniciales deben ser - Variables No Básicas: x1, x2, s2 x1, x2, s2]. - Variables Básicas: R1, R2, S3 Juan José Bravo B., M.Sc.
  16. 16. El Simplex y las Variables Artificiales /3 De la primera y segunda restricción: Min Z = 4x1 + x2 + MR1+ MR2 R1 = 3 - 3x1 - x2 Sujeto a: R2 = 6 - 4x1 - 3x2 + S2 3x1 + x2 + R1 = 3 4x1 + 3x2 – S2 + R2 = 6 Transformación necesaria en la Función Objetivo: x1 + 2x2 + S3 = 4 x1 , x2, S2, S3, R1, R2 ≥ 0 Min Z = 4x1 + x2 + M(3 - 3x1 - x2) + M(6 - 4x1 - 3x2 + S2) Min Z = (4 - 7M) x1 - (4M - 1)x2 + MS2 + 9M Tabla 1 x1 x2 S2 S3 R1 R2 Solución Variables Coeficientes en la (R.H.S.) Básicas Función Objetivo (Cj) R1 0 3 1 0 0 1 0 3 R2 0 4 3 -1 0 0 1 6 S3 0 1 2 0 1 0 0 4 (4M -1) 0 0 Zj - Cj - (4-7M) -M 0 9M Juan José Bravo B., M.Sc.
  17. 17. El Simplex y las Variables Artificiales /4 Tabla 1 x1 x2 S2 S3 R1 R2 Solución Variables Coeficientes en la (R.H.S.) Básicas Función Objetivo (Cj) R1 0 3 1 0 0 1 0 3 R2 0 4 3 -1 0 0 1 6 S3 0 1 2 0 1 0 0 4 (4M -1) 0 0 Zj - Cj - (4-7M) -M 0 9M Tabla OPTIMA Tabla 4 X1 x2 S2 S3 R1 R2 Solución Variables Coeficientes en la (R.H.S.) Básicas Función Objetivo (Cj) X1 4 1 0 0 -1/5 2/5 0 2/5 X2 1 0 1 0 3/5 -1/5 0 9/5 S2 0 0 0 1 1 1 -1 1 0 0 0 -1/5 7/5-M -M Zj - Cj 17/5 NOTA: Las variables artificiales siempre deben ser al final No Básicas, o tener valor de “cero”, ya que solo fueron creadas para arrancar el procedimiento. Juan José Bravo B., M.Sc.
  18. 18. El Método Simplex _ CASOS ESPECIALES Observe que una Tabla Problema de Optima de MAXIMIZACION múltiples soluciones tiene todos los valores del Maximice Z = (5/2)X1 + X2 renglón (Zj – Cj) ≥ 0. Es Sujeto a: 3X1 + 5X2 ≤ 15 decir, el criterio funciona a la 5X1 + 2X2 ≤ 10 inversa de la Minimizacion. Xj > 0 ; j = 1, 2 Tabla Final OPTIMA x1 X2 S1 S2 Solución Variables Coeficientes en la (R.H.S.) Básicas Función Objetivo (Cj) S1 0 0 3.8 1 -0.6 9 X1 5/2 1 0.4 0 0.2 2 0 0 0 0.5 Zj - Cj 5 Entonces aquí la variable que entra es la que variable no-básica que tenga el valor (Zj - Cj) más negativo. Observe la variable No Básica x2 con un valor de “0”. Si esta variable entra, la funcion objetivo permanece inmodificable. Múltiples Soluciones Puede encontrarse otra solución Juan José Bravo B., M.Sc. con el mismo valor de Z!
  19. 19. Problema de solución infinita (ó No Acotada) Minimice Z = - X1 + X2 Sujeto a: - X1 + X2 ≤ 0 - 0,5X1 + X2 ≤ 1 Xj > 0 ; j = 1, 2 Tabla Inicial x1 X2 S1 S2 Solución Variables Coeficientes en la (R.H.S.) Básicas Función Objetivo (Cj) S1 0 -1 1 1 0 0 S2 5/2 -0.5 1 0 1 1 1 -1 0 0 0 Zj - Cj Entra x1 pero: ¿Cuál variable sale? Problema sin solución Cuando en la Tabla Final existe como solución una Variable Artificial con valor mayor que cero. Juan José Bravo B., M.Sc.

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