El conjunto de numeros reales pa vero

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  • 1. 1. El conjunto de números reales (IR) 1. Número decimal Los números racionales se representan de dos maneras: como a/b con b distinto de cero o como número decimal. Un número decimal es la representación de un racional que se obtiene al dividir el numerador por el denominador y está conformado por una parte entera y por una decimal, separadas una de la otra por una coma. Ejemplos: (decimal infinito periódico puro) Parte decimal Parte decimal Parte entera Parte entera 2. Fracción generatriz de un número decimal Sabemos que todo decimal, ya sea limitado o ilimitado periódico, procede de una fracción. La fracción irreductible la que procede dicho decimal se llama fracción generatriz del número decimal o simplemente generatriz. En el estudio de la generatriz de una expresión decimal, nos encontramos con tres casos: 1er. caso: Cuando el número decimal es finito o limitado Se convierte a fracción decimal donde el numerador es el número entero que resulta al quitar al número decimal de la coma, y el denominador es la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. Luego se simplifica hasta obtener una fracción irreductible. Ejemplos:  Una fracción decimal es aquella donde el denominador es una potencia . de 10. Ejemplos: .  Toda fracción común cuyo denominador es 2;5 o u producto combinados de ellos, se pueden convertir por amplificación a fracción . decimal. Ejemplos: Fracciones Decimales .
  • 2. 2do. caso cuando el numero decimal es infinito periódico puroEjemplo:Para hallar la fracción generatriz de seguimos estos pasos:  Sea x la fracción generatriz. x = 0,181818… =  Multiplicamos ambos miembros por 100. 100 x =  Restamos de la segunda igualdad la primera: 100 x = x = 100x – x = 99x = 18  De donde : x= que simplificando resulta x=
  • 3. 3er. caso: cuando el numero decimal es infinito periodo mixto Ejemplo: Entonces: Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal periódica mixta se pone por numerador la parte no periódica seguida del primer periodo, menos la parte no periódica; y por denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica, simplificando después hasta hallar la equivalente irreductible. Ejm:3. Números irracionales ¿Existen número decimales ilimitados que no son racionales? Veamos un ejemplo: Al extraer la raíz cuadrada al número 2 se obtiene: = 1,41421356237309…. Observamos que: . El resultado es un decimal ilimitado, pues, normas que se prolongue su cálculo, nunca termina. . Este decimal ilimitado no es periódico, pues, por mucho que prolonguemos su cálculo, nunca habrá periodo de cifras que se vayan repitiendo. .este decimal no se puede expresar mediante la división de dos números enteros (como consecuencia de ser ilimitado no periódico). Luego al resultado de , decimal ilimitado no periódico, no es un número racional. A estos números que no podemos expresar mediante la forma con de les llama irracionales.
  • 4. Luego podemos definir los números irracionales como numero de infinitas cifras decimales, no periódicas y que en consecuencia, no pueden representarse mediante la razón de dos números enteros.4. El conjunto de los números irracionales ( II ) Así como, al no ser posibles todas las restas en el conjunto IN, hubo necesidad de construir el conjunto ZI, y así como también, al no ser posibles todas las divisiones en el conjunto ZI, hubo necesidad de construir el conjunto Q, de la misma manera hay necesidad de construir un nuevo conjunto, distinto de Q, para expresar las raíces cuadradas de números que no son cuadrados perfectos. Dicho conjunto es el conjunto de los números irracionales (II). El conjunto II de los números irracionales tiene como elemento a todos los números decimales ilimitados no periódicos.5. El conjunto de los números reales (IR) El conjunto Q de los números racionales y el conjunto II de los números irracionales constituyen reunidos, el conjunto de los números reales que se representa con la letra: IR. Todos los conjuntos numéricos estudiados hasta el momento (IN, IZ, Q, II) están incluidos en IR, como se verá en la siguiente clasificación.
  • 5. PROPIEDADES DE IREl conjunto de los números reales es INFINITO (no tiene primer ni últimoelemento)El conjunto de los números reales es DENSO (entre dos números reales siempreexiste otro número real)El conjunto de los números reales se representa gráficamente mediante la RECTAREAL.Ejercicio 1 Escribe en la forma de número decimal, los siguientes númerosracionales: Numero Numero Racional Decimal
  • 6. Ejercicio 2 Escribe la fracción generatriz de los siguientes números decimales: Numero Fracción Decimal Generatriz Ejercicio 3 Completa la siguiente tabla escribiendo Si o No, según pertenezca o no el numero dado a los conjuntos IN, ZI, Q, II y IR. Numero IN ZI Q II IR Decimal 6. ORDEN EN IRDados los números reales a y b: se dice que a>b si la diferencia a-b es un numero positivoDados los números reales a y b: se dice que a<b si la diferencia a-b es un numero negativo
  • 7. También se puede establecer un orden entre dos números reales, primero expresándolos en laforma de número decimal y luego comparando los números cifra a cifra. Veamos los siguientescasos:1er. Caso: Cuando tienen partes enteras diferentesSi dos números decimales tienen partes enteras diferentes, es mayor la que posee mayor parteentera.Ejemplos:2do. Caso: Para decimales positivos que tienen parte entera igual.Si dos números decimales positivos tienen la misma entera y diferentes partes decimales, esmayor el que tiene mayor la primera cifra decimal en la que se diferencian los dos númerosdecimales. Ejemplos:3er. Caso: Para decimales negativos que tienen parte entera igual.Si dos números decimales negativos tienen la misma entera y diferentes partes decimales, esmayor el que tiene menor la primera cifra decimal en la que se diferencian los dos númerosdecimales. Ejemplos: 7. DESIGUALDADES EN IR 8. INTERVALOSReciben el nombre de intervalos los subconjuntos de IR definidos del siguiente modo a, b sonNúmeros Reales que satisfacen ciertas desigualdades.• Intervalo acotado y abierto en sus extremos a y b: <a, b> = {x ∈ R / a < x < b}• Intervalo acotado, cerrado por la izquierda y abierto por la derecha: [a, b> = {x ∈ R / a ≤ x < b}• Intervalo acotado, abierto por la izquierda y cerrado por la derecha: <a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}• Intervalo acotado y cerrado en sus extremos a y b: [a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b};Intervalos Ilimitados
  • 8. • Intervalo abierto, acotado inferiormente pero no superiormente: <a,+∞> = {x ∈ IR / x > a}• Intervalo cerrado, acotado inferiormente pero no superiormente: [a,+∞> = {x ∈ IR / x ≥ a}• Intervalo abierto, acotado superiormente pero no inferiormente: <−∞, b> = {x ∈ IR / x < b}• Intervalo cerrado, acotado superiormente pero no inferiormente: <−∞, b] = {x ∈ IR / x ≤ b}• Intervalo no acotado inferior ni superiormente: <−∞,+∞> = IR.