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Implementação   mód4 - encontro 1-
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Implementação mód4 - encontro 1-

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  • 1. "Não é possível refazer este país, democratizá-lo, humanizá-lo, torná-lo sério, com adolescentes brincando de matar gente, ofendendo a vida, destruindo o sonho, inviabilizando o amor. Se a educação sozinha não transformar a sociedade, sem ela tampouco a sociedade muda." Paulo Freire
  • 2. ....DownloadsAcreditar na Vida.pps
  • 3. MatrizesQual o seu significado imediato?Uma tabela de dupla entrada contendo dados numéricos( na grande maioria das vezes)Matrizes são freqüentemente utilizadas para organizar dados.
  • 4. Ex: As notas finais dos alunos deuma série, podem formar umamatriz cujas colunas correspondemàs matérias lecionadas naquelasérie e cujas linhas representam osalunos.Na interseção de uma linha comuma coluna figura a nota daquelealuno naquela matéria.
  • 5. MATRIZES DIFERENTES SIGNIFICADOS
  • 6. Operações entre duas matrizesO polígono EFGH é uma translação do polígono ABCD em quantas unidades na horizontal e na vertical?
  • 7. Represente em uma matriz A(4x2) ascoordenadas dos vértices dopolígono ABCD, de maneira que cadalinha da matriz contenhacoordenadas de um ponto, comabscissa na primeira coluna e aordenada na segunda coluna .
  • 8. • Represente em uma matriz B(4x2) as coordenadas dos vértices do polígono EFGH, de maneira que cada linha da matriz contenha coordenadas de um ponto, com abscissa na primeira coluna e a ordenada na segunda coluna.
  • 9. Escreva uma matriz C(4x2) de tal forma que A + C = B
  • 10. Matriz de compensação37 62 4563 38 55 37 62 45
  • 11. a)Se forem ao ar simultaneamente A1 e B3, qual aporcentagem de audiência prevista para cadaprograma?b) Se forem ao ar simultaneamente A2 e B2, qual redeterá maior audiência? Quantos por cento a mais?c) Qual das combinações de dois programas, um de Ae outro de B, permite a maior diferença entre asaudiências das duas redes no horário? E qualcombinação permite a menor diferença entre asaudiências?
  • 12. MATRIZ DE CODIFICAÇÃO: DESENHANDO COM MATRIZES
  • 13. Um tipo de matriz é aquela em que seus elementos respeitam determinada relação matemática entre os índices que definem sua posição na matriz. Obter a matriz A assim definida:A= (aij)3x3, tal que aij = i + 2j
  • 14. Se o elemento cij= 0, não devemos unir i com jSe o elemento cij= 1, devemos unir i com j
  • 15. Em uma prova com 20 questões, cadaquestão respondida corretamenteganha-se 2 pontos, cada questão nãorespondida perde-se 1 ponto, e cadaquestão respondida erradamenteperde-se 2 ponto,Camila acertou 12, errou 6 e as outrasdeixou em branco.Pedro acertou 13, errou 7 e as outrasem branco.
  • 16. ACERTOS ERROS BRANCOCAMILAPEDRORESULTADO PONTOSACERTOSERROSEM BRANCO
  • 17. Calcule quantos pontos cada um feze coloque o resultado em umamatriz E2x1.
  • 18. Uma empresa, que possui duasconfeitarias, chamadas A e B fabrica3 tipos de bolos: 1, 2 e 3, os quaissão feitos de farinha, açúcar, leite emanteiga e ovos. Em cada semana,as vendas dessas duas confeitariassão estimadas conforme a matriz devenda semanal abaixo:
  • 19. Confeitaria Bolo tipo1 Bolo tipo2 Bolo tipo3 A 50 unidades 30 unidades 25 unidades B 29 unidades 20 unidades 40 unidadesPara a fabricação desses bolos, o material éusado de acordo com a matriz n seguinte: Bolo farinha açúcar leite manteiga ovos Tipo1 500g 200g 500ml 150g 4 Tipo2 400g 100g 300ml 250g 5 Tipo3 450g 150g 600ml 0 6
  • 20. A direção da empresa, a fim de atenderà demanda, quer saber a quantidadede cada uma das cinco matérias primasque deve alocar às suas duasconfeitarias. A resposta deve ser umamatriz P, do tipo 2x5, onde as linhasrepresentam as duas confeitarias e ascolunas correspondem aos cincomateriais usados.
  • 21. Matriz Transposta: Dada uma matrizA=(aij)mxn, chama-se transposta de A amatriz At=(aij)nxm tal que a’ji=aij, para todoi e todo j.Matriz Simétrica: Chama-se matrizsimétrica toda matriz quadrada A, deordem n, tal que At = A
  • 22. Matrizes Inversíveis: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que AB= BA= In. Se A não é inversível, temos que A é uma matriz singular
  • 23. Qual é a inversa da matriz A = ?Qual é a inversa da matriz A = ?
  • 24. DETERMINANTESA teoria dos determinantes teveorigem em meados do século XVII,quando eram estudados processospara resolução de sistemaslineares de equações.
  • 25. Determinante de uma matriz ordem 1O determinante da matriz de ordem , é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem temos que o determinante é o número real
  • 26. Determinante de matriz de ordem 2O determinante de uma matriz desegunda ordem é a diferença entre oproduto dos termos da diagonalprincipal e o produto dos termos dadiagonal secundária. Esses produtos sechamam, respectivamente, termoprincipal e termo secundário da matriz.
  • 27. Determinante de matriz de terceiraordemO determinante de uma matriz 3x3 écalculado através de suas diagonais.Para calcular o determinante de matrizesde terceira ordem, utilizamos a chamadaregra de Sarrus, que resulta no seguintecálculo:
  • 28. Calcular o determinante 3125
  • 29. Menor Complementar:Consideremos uma matriz M de ordem n≥2;Seja aij um elemento de M. Definimos menor complementar do elemento aij, e indicamos por Dij, como sendo o determinante da matriz que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j de M.
  • 30. Seja M= calculemos D11 e D32 , então D11= , então D32=
  • 31. Complemento algébrico do elemento aij - CofatorConsideremos uma matriz de ordem n≥2; seja aij um elemento de M. Definimos cofator de aij, e indicamos por Aij, como sendo o número (-1)i+j. Dij
  • 32. Seja M = calculemos A11, A12, A13A11= (-1) 1+1 =A12= (-1)1+2 =A13= (-1)1+3 =
  • 33. Teorema Fundamental (de Laplace)O determinante de uma matriz M, de ordem n≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
  • 34. Calcule o determinante da matriz abaixo 3 4 2 1 5 0 -1 -2 0 0 4 0 -1 0 3 3
  • 35. TrabalhoPropriedades dos determinantes
  • 36. Matriz de Vandermonde (ou das potências)São as matrizes de ordem n ≥2, . . . . . . . . . . . .
  • 37. As colunas das matrizes são formadas por potências de mesma base, com expoente inteiro, variando desde 0 até n -1 ( os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica cujo primeiro elemento é 1.
  • 38. O determinante V(a1,a2,a3,...,an) éigual ao produto de todas asdiferenças possíveis entre oselementos característicos, com acondição de que, nas diferenças, ominuendo tenha índice maior que osubtraendo.
  • 39. =(5-(-3)) . (5 -1) . ( 5 – 2) . ( -3 -1) . (-3 -2) . (1 – 2)= 8.4.3.(-4).(-5).(-1) = -1920
  • 40. Calcule os determinantes abaixo:
  • 41. Resolva a equação: 1 1 1 1 1 2 x -5 = 0 1 4 x2 25 1 8 x3 -125
  • 42. Processo de Cálculo da Inversa de uma Matriz Quadrada MTeorema: Se M é uma matriz quadradade ordem n e determinante M ≠0, entãoa inversa de M é: = M’ = matriz dos cofatores
  • 43. Qual a condição sobre a para que a matrizM= Seja inversível?
  • 44. Sistemas Lineares
  • 45. Vamos resolver: 2x - 3y = 11 x + 2y = 2Para um sistema linear qualquer, podemos associar uma matriz denominada completa, que é formada pelos coeficientes das incógnitas e também pelos termos independentes.
  • 46. • Dizemos que o sistema linear está escalonado quando realizarmos combinações lineares entre as linhas da matriz completa de modo a zerar todos os elementos aij da matriz em que i > j. 2 -3 11 Essa é a matriz completa 1 2 2
  • 47. 2 -3 11 L1 1 2 2 L2 2 -3 11L1-2L2 0 -7 7 Aqui está a combinação linear entre as linhas 1 e 2 da matriz,m gerando uma nova linha 2
  • 48. A matriz do sistema foi escalonada,.Na nova equação da linha2 da matriztemos:0x – 7y = 7 ou y = - 1Substituindo esse valor em uma dasequações iniciais, obtém-se x = 4
  • 49. Vamos escalonar? x+ y+ z=3 2x – y – 2z = 2 x + 2z = 4S= {(2, 0, 1)}
  • 50. No método de Cramer, o aluno segue uma rotina determinada- montagem e cálculo dos determinantes, e divisão entre eles.No método do escalonamento o aluno vê envolvido em avaliar possibilidades e escolher estratégias, adotando, dessa forma, uma postura que remete à mobilização de habilidades mais elaboradas e valorizadas na aprendizagem matemática.
  • 51. Escalonamento x CramerApesar de a regra de Cramer ser uma regra geral para a resolução de sistemas lineares, na prática ela requer uma quantidade de operações (adições, subtrações, multiplicações e divisões) muito superior ao método do escalonamento, além do fato de ela só servir para resolver sistemas possíveis e determinados. Vejamos o que ocorre com um sistema de vinte equações e vinte incógnitas:Pelo método do escalonamento serão necessárias até 16.000 operaçõesPela regra de Cramer serão necessárias até 1.021.818.843.434.190.000.000 operações.Muitos dos problemas práticos envolvem uma quantidade muito grande de operações, e mesmo utilizando programas de computadores, é nítida a vantagem do método do escalonamento, pois se deseja o máximo de eficiência e, portanto, o menor tempo de processamento.
  • 52. Resolver o sistema abaixo: x – 3y = -6 2x + y + z = 1 -x + 2y – 2z = 6S={(0, 2, -1)}
  • 53. Por Cramer o sistema será apenasidentificado como possível eindeterminado, mas não ajudaria naresolução. x+y+z=3 2x – y + 3z = 4 -x -4y = -5S={(5 – 4k, k, -2 + 3k), kϵ R}
  • 54. • O método de Sarrus para a obtenção de um determinante é bastante prático de ser utilizado em outra situações , que não envolvam resolução de sistemas lineares , por ex. em cálculo de áreas de polígonos representados no plano cartesiano.
  • 55. Conhecendo as coordenadas dosvértices de um triângulorepresentado no plano cartesiano, épossível calcularmos sua área porintermédio da composição e/ou decomposição de polígonos auxiliares.
  • 56. ..área de triângulo.ggb
  • 57. Área(ABC)= área(ADEF) –área(AFC) – área(ABD) – área(BCE)
  • 58. Área(DEFC)= (xB - xC).(yA - yC)Área(BFC) = [(xB - xC).(yB - yC)]/2Área(ABE) = [(xB - xA).(yA- yB)]/2Área(ADC) = [(xA - xC).(yA - yC)]/2Área do triângulo ABC=(xB - xC).(yA - yC)-{[(xB - xC).(yB - yC)]/2 + [(xB - xA).(yA- yB)]/2 + [(xA - xC).(yA - yC)]/2}Área do ABC = [xA.yB+xC.yA+xB.yC- (xC.yB+xA.yC+xB.yA)]/2
  • 59. • Por determinante ½xA.yB+xC.yA+xB.yC-(xC.yB+xA.yC+xB.yA)]/2
  • 60. Vamos determinar a área do polígono?
  • 61. De outra maneira, em uma extensãode regra de Sarrus, o cálculo da áreade um polígono de n lados,representado no plano cartesiano,pode ser feito como segue, sendo xi eyi as coordenadas de cada vértice dopolígono com n vértices.A=
  • 62. 1/2
  • 63. • Nos produtos indicados pelas setas, vale, seguindo o mesmo raciocínio do cálculo pelo método de Sarrus.• Metade do resultado final da soma, em módulo, é igual à área do polígono de n lados.• O ponto inicial pode ser qualquer um dos vértices do polígono e o sentido, horário ou anti-horário, não importa, dado que o valor final é tomado em módulo.
  • 64. Calcule a área do pentágono COISArepresentado abaixo
  • 65. Qual a área do polígono?
  • 66. Discussão de um Sistema Linear
  • 67. Se b= 5/6 S= {(5,-5)} Sist. possível e determinado – S.P.D. Sistema impossível – S.I.
  • 68. 1) Vamos discutir o sistema Em função dos parâmetros a e b
  • 69. 2)Encontre o valor de a para que osistema + Seja possível. Para o valor encontrado de a ache a solução geral do sistema,isto é, ache expressões que representem todas as soluções do sistema. Explicite duas dessas soluções.
  • 70. Sistemas Lineares homogêneosSe num sistema linear todos os termos independentes são nulos, o sistema é denominado sistema linear homogêneo.
  • 71. Como os sistemas homogêneos sãosempre possíveis, são os únicos quepodem ser classificados apenas apartir do cálculo do determinante.Como não há chance de o sistemahomogêneo ser SI, se o determinantefor nulo, o sistema homogêneo seráSPI
  • 72. D=0 SPIVamos determinar uma solução geral Fazendo y = k, S={(3k/2,k) , k ϵ R}
  • 73. D≠ 0 o sistema é homogêneo,então a única solução é a trivial, ouseja S= {(0, 0, 0)}
  • 74. Verifique se o sist. linearhomogêneo é determinado ou indeterminado
  • 75. Calcule o valor de a para os quais o sistemaAdmita outras soluções além de x = y = z = 0 a= 1 , a = -1
  • 76. Verifique se o sistema x y z x y t x z t y t z Admite soluções próprias
  • 77. Aplicações
  • 78. O latão é uma liga metálica compostabasicamente de cobre e zinco. Em geral aporcentagem de zinco na liga varia de20% a 35%, dependendo dascaracterísticas que se quer dar ao latão.Uma empresa possui em estoque doisgrandes lotes de latão, sendo um lote de4 toneladas de latão com 23% de zincona sua composição e um lote de 5toneladas de latão com 33% de zinco.
  • 79. Essa empresa foi consultada sobre a probabilidade de fazer uma entrega de certa quantidade de latão, de modo que no total a porcentagem de zinco fosse de 25%a) Para cada tonelada com 25% de zinco, quantos quilos de cada tipo de latão que a empresa tinha em estoque seria necessários?
  • 80. b)Qual é a quantidade máxima que ela poderia obter de latão com25% de zinco, com base em seus estoques atuais?
  • 81.  Joaquim pagou n reais por cada uma de m canetas e m reais por cada um de n lápis, tendo gastado em média R$7,50 por item comprado. Em seguida, Joaquim observou que se cada caneta tivesse custado 1 real a menos e cada lápis tivesse custado 1 real a mais ele teria pago em média R$7,75 por cada item comprado. Determine a quantidade de caneta que Joaquim comprou.
  • 82. Um grupo de amigos acabou de comer uma pizza. Se cada um der R$ 8,00 faltarão R$ 2,50 para pagar a pizza e se cada um der R$ 9,00 sobrarão R$ 3,50. Qual o preço da pizza?
  • 83. Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o quilo de castanha de caju,R$ 20,00, e o quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00.
  • 84. Cada lata deve conter meio quiloda mistura e o custo total dosingredientes de cada lata deve serde R$ 5,75. Além disso, aquantidade de castanha de caju emcada lata deve ser igual a um terçoda soma das outras duas
  • 85. a) Escreva o sistema linear que representa a situação descrita acima.b) Resolva o referido sistema, determinando as quantidades em gramas, de cada ingrediente por lata.
  • 86. Roberto gosta de fazer caminhada em uma pista próxima a sua casa. Ao longo da pista existem uma lanchonete, um posto médico e uma banca de revistas. Fazendo o mesmo caminho diariamente, Roberto constatou que , da lanchonete à banca de revistas, passando pelo posto médico, caminhou 1000 passos.
  • 87.  Do posto médico à lanchonete passando pela banca caminhou 800 passos e da banca ao posto passando pela lanchonete, caminhou 700 passos. Considerando que cada um dos passos de Roberto mede 80cm, qual é o comprimento da pista.
  • 88. Ao descontar um cheque, recebisomente notas de R$ 10,00 e R$ 50,00,em um total de 14 notas. Quando fuiconferir, descobri que o caixa havia seenganado, pois recebi tantas notas de R$50,00 quanto as de R$ 10,00 que deveriater recebido e vice-versa. Percebido oerro, verifiquei que, se gastasse R$240,00 da importância recebida, aindaficaria com o valor do meu cheque. Qualo valor do meu cheque?
  • 89. João contou os coelhos, os patos e osbois que havia em sua fazenda, obtendoum total de 340 animais. A seguir,verificou que o nº de coelhos era o triplodo de patos e que o número de boisexcedia em 20 unidades o total de coelhose patos. Determine o número de patosque havia na fazenda.
  • 90. Em uma mesa de lanchonete, oconsumo de 3 sanduíches, 7 xícarasde café e 1 pedaço de tortatotalizou R$ 31,50. Em outra mesa,o consumo de 4 sanduíches, 10xícaras de café e um pedaço detorta totalizou R$ 42,00. Quantodeve totalizar o consumo de 1sanduíche, 1 xícara de café e 1pedaço de torta nessa lanchonete?
  • 91.  Um estudante em férias observou que durante d dias:Choveu 7 vezes de manhã ou de tarde;Houve 5 manhãs sem chuva;Houve 6 tardes sem chuvaCalcule d
  • 92.  Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tiveres a idade que eu tenho, juntos teremos 135 anos. Qual é a minha idade?
  • 93. NÚMEROS COMPLEXOS
  • 94. Os números complexos apareceramno século XVI ao longo dasdescobertas de procedimentos geraispara resolução de equaçõesalgébricas de terceiro e quarto grau.No século XVII os complexos sãousados de maneira tímida parafacilitar os cálculos.
  • 95. No século XVIII são mais usadosna medida que se descobre queos complexos permitem aconexão de vários resultadosdispersos da Matemática noconjunto dos números reais.
  • 96. • No entanto, nada é feito para esclarecer o significado desses novos números. No século XIX, aparece a representação geométrica dos números complexos, motivada pela necessidade em Geometria, Topografia e Física, de se trabalhar com o conceito de vetor no plano.
  • 97. • Os números complexos passam a ser aplicados em várias áreas do conhecimento humano, dentro e fora da Matemática
  • 98. http://matmagias.blogspot.com/ 2009/06/ainda-proposito-dos- numeros-complexos.html
  • 99. • Introdução Em 1545, Jerônimo Cardano (1501-1576), em seu livro “A Grande Arte”, mostrou o método para resolver equações do terceiro grau que é hoje chamada de Fórmula de Cardano. Bombelli (1526- 1572), discípulo de Cardano, em sua “Álgebra”, aplicou a fórmula de Cardano à equação x3 -15x -4 = 0 obtendo X= +
  • 100. • Embora não se sentisse completamente a vontade em relação às raízes quadradas de números negativos (diziam que eram inúteis e sofísticas), Bombelli operava livremente com elas, aplicando-lhes as regras usuais da Álgebra. Bombelli mostrou que: = ... (vamos desenvolver)
  • 101. Portanto x = 2 + +2- =4. Bombelli trabalhava Sistematicamente com a quantidade ,que hoje chamamos de unidade imaginária e representamos por i.
  • 102. Apenas no séc. XIX, quandoGauss(1787-1855), o grandematemático da época e um dosmaiores de todos os tempos, divulgaa representação geométrica dosnúmeros complexos e a sensação dedesconforto desaparece (Mat. doE.M. vol3-SBM)
  • 103. Os números complexosconstituem um conjunto C, ondeestão definidas operações deadição e de multiplicação com aspropriedades (comutativas,associativas, distributiva , *)
  • 104. •*Existem e são únicos osnúmeros 0 e 1 satisfazendo àscondições a+0=a, a.1=a•*A todo real a corresponde umúnico número real (-a), e se a≠0um único nº real 1/a, tais que:•a+(-a)=0 e a.(1/a) =1
  • 105. Além disso, os números reais estão incluídos em C e:a) Existem um nº complexo i com i2 = -1b) Todo número complexo pode ser escrito de uma maneira única na forma a + bi, onde a e b são reais (a é chamado parte real e b é chamado parte imaginária do complexo a+bi). Usa-se a notação Re(a+bi)= a e Im(a +bi)=b
  • 106. Fixando um sistema de coordenadas no plano, o complexo z = x + yi é representado pelo ponto P(x, y) . O ponto P é chamado de imagem do complexo z.O plano no qual representamos os complexos é chamado de plano de Argand-Gauss (Argand 1768-1822, matemático francês).
  • 107. Os números representados no eixo x são da forma (x, 0)= x + 0i = x, isto é, são números reais, por esse motivo, o eixo dos x é chamado de eixo real.Os complexos representados no eixo y são da forma (0, y) = 0 + yi = yi, esses complexos são chamados de números imaginários puros.
  • 108. • Módulos e Conjugados• Dado um nº Complexo z = a +bi, e z≠0, temos z.(1/z) = 1. Convém definir o conjugado de um nº complexo =a - bi• Geometricamente o conjugado é representado pelo simétrico de z relativamente ao eixo z=(a,b) =(a,-b)
  • 109. • Chama-se módulo de z (|z|) ao número real não negativo |z|= .• Geometricamente |z| mede a distancia de Oaz z=(a, b) = =(a+bi)(a-bi) = = |z|
  • 110. • Corolário:Se um polinômio de coeficientes reais admite uma raiz complexa a +bi, a e b reais, então ele admite também a raiz a – bi.P(a + bi) = 0 = 0 + 0i, então, pelo teorema P(a –bi) = 0 – 0i = 0
  • 111. Vamos fazer exercícios?
  • 112. • Lista de classe nº 1• Lista para casa nº 1
  • 113. FORMA TRIGONOMÉTRICAz= a+ bi z=(a,b) |z| = r b= r sen Ѳ Ѳ a= r cos Ѳ z= a+bi = r cosѲ + r senѲ i = r (cosѲ + i senѲ)
  • 114. Encontrar a forma trigonométrica• z = 3 +3i|z|= =3 cosѲ= Ѳ= π/4 +2kπ, k ϵ Z argumentoz= 3 (cos(
  • 115. • 1+ i=• -8
  • 116. Multiplicação de ComplexosSendo
  • 117. Na figura P é afixo do número complexo z.Determine o complexo
  • 118. Na figura abaixo, o triângulo ABC éisósceles e está inscrito em umacircunferência de raio 3. Im(z) 2 Re(z) Qual a área do triângulo ABC ?
  • 119. • No plano de Argand-Gauss, as imagens dos complexos z, tais que |z + z| = 6 e z.z = 10, são vértices de um polígono regular.a) Qual é o perímetro desse polígono?b) Qual é a área desse polígono?
  • 120. RadiciaçãoDado um número complexo z, chama-se raízenésima de z, e denota-se , a um númerocomplexo , tal que =Exs: 1 é um valor de pois 13 = 1 - é um valor de pois =1 - é um valor de pois =1
  • 121. SEGUNDA FÓRMULA DE MOIVRETeorema:Dado o número complexo z = ƿ (cosѲ + i senѲ) e o número natural n (n ≥ 2), então existem n raízes enésimas de z que são da forma:em R+ e K ϵ Z
  • 122. Interpretação geométrica da multiplicação de complexosQuando multiplicamos um complexo zpor , o vetor que representa zsofre uma rotação de um ângulo em tornoda origem.Como tem módulo =1,z.[ ] tem o mesmo módulo que z.
  • 123. O argumento de z. [ ]éoargumento de z aumentado de Ѳ .Logo o vetor que representaz.[ ] é o resultado darotação do vetor que representa z deum ângulo Ѳ em torno da origem.
  • 124. • ABCD é um quadrado. Se A(1; 2) e B(2; 5), determine as coordenadas de C e D. D C A B D’ C’
  • 125. O vetor AD é obtido por uma rotação de+ 90°. Portanto (D – A) = (B – A) [cos90° +i sen 90°].D – ( 1 + 2i) = ( 1 + 3i). i eD = 1 + 2i + i + 3i2 = -2 + 3i = (-2; 3).Vetor AD = vetor BC. Daí D - A = C – B,C = B + D – A = ( -1; 6)A é o ponto médio de DD’.Logo D’= (4; 1) e C’= ( 5, 4)
  • 126. ABCD é um quadrado.Dados A= (1, 2) , e B= (3, 5),determine as coordenadas C e D. Dois vértices consecutivos de umoctógono regular convexo são (1, 2) e( 3, -2). Determine o centro dooctógono
  • 127. • No plano de Gauss, as imagens dos complexos z, tais que |z + z| = 6 e z. z = 10 são vértices de um polígono regular.a) Qual é o perímetro desse polígono?b) Qual a área desse polígono?

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