Este documento describe los métodos numéricos para resolver ecuaciones no lineales, incluyendo el método de Newton-Raphson. Explica que las soluciones de ecuaciones no lineales se llaman raíces y que los métodos numéricos son necesarios cuando no hay solución exacta. Luego clasifica los métodos en de intervalos e "abiertos" y procede a explicar detalladamente el método de Newton-Raphson, ilustrando con ejemplos resueltos manualmente y con software. Finalmente asigna una tarea para aplicar el método.

1. 3 Unidad TRABAJO FINAL MATEMATICA II DOCENTE: MSC ING. EDISON COIMBRA Por Tema: Germán Rodríguez P. Resolución numérica de ecuaciones no lineales Santa Cruz de la Sierra – Bolivia, Año 2011

2. Métodos numéricos Aplicación en la ciencia 0. Sabias que… Esfuerzo Velocidad La simulación de piezas a través de métodos de simulación (métodos numéricos), con ayuda de software, permite predecir como funcionará y reaccionará determinado elemento bajo un entorno real. Temperatura

3. Unidad 3 Resolución numérica de ecuaciones no lineales Definición de raíces de ecuaciones Las soluciones de una ecuación no lineal se llaman raíces o ceros. La razón principal para resolver ecuaciones no lineales por métodos computacionales es que esas ecuaciones carecen, en la mayoría de los casos, de solución exacta.

5. Método de la bisección

6. Método de la falsa posición

8. Método de Newton-Raphson

9. Método de Newton-Raphson modificado

10. Método de la secante

12. Es el método más ampliamente utilizado.

14. Unidad 3 Resolución numérica de ecuaciones no lineales Método de Newton – Raphson (primera derivada) PROCEDIMIENTO: Definir la función F(x) Definir un valor inicial Xk Hallar la primera derivada de la función F(x) Evaluar la expresión F(Xk) y F’(Xk) para el punto Xk Encontrar X con la fórmula anteriormente definida. Si:  X Xk tolerancia, se ha encontrado la raíz aproximada y es igual a Xk  X Xk > tolerancia, se hace Xk = X y volvemos al paso 4.

15. Unidad 3 Resolución numérica de ecuaciones no lineales Método de Newton – Raphson (primera derivada) EJEMPLO 1: Encuentre la solución para la ecuación f(x) = x3 + x  1, para una tolerancia tol = 0.02 y Xk = 2 SOLUCION: Derivando: Tabla auxiliar: Se ha satisfecho la tolerancia, la raíz aproximada es x = 0.68319

16. Unidad 3 Resolución numérica de ecuaciones no lineales Método de Newton – Raphson (primera derivada) EJEMPLO 2: Encuentre el punto de intersección de las funciones: Use el método de Newton Raphson, donde la aproximación inicial es Xk = 1 y Tol = 0.010 SOLUCION: Tabla auxiliar: Simplificando la ecuación p(x) Igualando las ecuaciones: El punto da intersección se da en la abscisa X = 0.567 aprox. Derivando:

17. Unidad 3 Resolución numérica de ecuaciones no lineales Método de Newton – Raphson (primera derivada) EJEMPLO 1: Encuentre la solución para la ecuación f(x) = x3 + x  1, para una tolerancia tol = 0.02 y Xk = 2 SOLUCION CON SOFTWARE:

18. Método de Newton – Raphson (primera derivada) SOLUCION CON SOFTWARE – PASO 1 Ubique y abra el programa NumSol

19. Método de Newton – Raphson (primera derivada) SOLUCION CON SOFTWARE – PASO 2 Seleccione el tipo de método usar

20. Unidad 3 Resolución numérica de ecuaciones no lineales Método de Newton – Raphson (primera derivada) SOLUCION CON SOFTWARE – PASO 3 Seleccione método Escriba la ecuación Introduzca valor inicial Introduzca error

21. Unidad 3 Resolución numérica de ecuaciones no lineales Método de Newton – Raphson (primera derivada) TAREA: Encuentre la solución positiva para la ecuación: f(x) = x4 3x2 +6x25. Para tol = 0.01 y Xk = 0 Resuelva de forma manual, con software y muestre la solución en una gráfica