4. 372.7
And.
Cuaderno N° 17
Introducción a la Estadística
Federación Internacional Fe y Alegría,
junio 2007
32 p.; 21,5 x 19 cm.
ISBN: 978-980-6418-94-3
Matemáticas, Estadística
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5. “La base educativa que debemos
consolidar, pensando siempre en el
influjo político que alcanzarán un
día nuestros alumnos, debe ser de
plenitud humana, de fortalecimien-
to de su personal identidad, de do-
tación instrumental de los recursos
culturales, tecnológicos y creativos
que hacen a un hombre más fuerte,
más digno y más generoso.”
Padre José María Vélaz
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7. introducción
A modo de introducción...,
nuestro recordatorio
L a sugerencia que proponíamos en
el Cuaderno No 1 y que siempre
presidirá los demás Cuadernos: Vamos a
diciona nuestro trabajo docente. De esta
forma, integrar nuestra práctica docente en
nuestro estudio.
estudiar matemática, pero no lo vamos a
hacer como si fuéramos simplemente unos • Como complemento a lo anterior,
alumnos que posteriormente van a ser eva- construir el conocer de cada tópico mate-
luados, y ya. No. Nosotros somos docentes mático pensando en cómo lo podemos lle-
–docentes de matemática en su momento- var al aula. Para ello, tomar conciencia del
y este rasgo debe caracterizar la forma de proceso que seguimos para su construcción,
construir nuestro pensamiento matemático. paso a paso, así como de los elementos
¿Qué significa esto? –cognitivos, actitudinales, emocionales...-
que se presenten en dicho proceso. Porque
• La presencia constante de la meta a partir de esta experiencia reflexiva como
última de nuestro estudio: alcanzar unos estudiantes, podremos entender y evaluar
niveles de conocimiento tecnológico y re- mejor el desempeño de nuestros alumnos
flexivo, lo cual debe abrir ese estudio hacia –a su nivel- ante los mismos temas.
la búsqueda de aplicaciones de lo aprendi-
do, hacia el análisis de los sistemas que dan • En definitiva, entender que la mate-
forma a nuestra vida y utilizan ese conoci- mática es la base de su didáctica: la forma
miento matemático, y hacia criterios socia- en que se construye el conocimiento ma-
les y éticos para juzgarlos. temático es una fuente imprescindible a la
hora de planificar y desarrollar su enseñan-
• Construir el conocer de cada tópico za.
matemático pensando en cómo lo enseña-
mos en el aula, además de reflexionar acer- Y ahora, vamos al tema de este Cuader-
ca de cómo nuestro conocer limita y con- no, la Estadística.
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8. vivienda de cada uno de nuestros alumnos.
Este tipo de variables que se miden contan-
1. El significado de la Estadística do recibe el nombre de discretas. Como se
ve, estas variables sólo pueden tomar valo-
Vivimos bombardeados de información por todas partes; a veces, hasta en exceso. Los res enteros.
medios de comunicación, los libros, lo que nos dicen los demás, lo que observamos en
nuestro caminar por la ciudad o el pueblo, lo que recordamos, lo que leemos o estudia- La segunda manera de medir se refiere
mos... Hay información permanente, abundante; quizás, hasta excesiva... y aplica a las variables que se denominan
continuas porque, entre dos valores fijos,
Los elementos que componen esta información son de naturaleza muy diversa: noti- pueden tomar todos los valores interme-
cias puntuales, ideas, descripciones de objetos y acontecimientos, comentarios, aprecia- dios (decimales). Tal es el caso, por ejem-
ciones, rumores... También hay otros que se refieren a ciertas características de personas plo, del peso o la estatura de las personas,
u objetos, características que son susceptibles de clasificación; por ejemplo, el género o la velocidad de un carro...
(sexo) de las personas, su color de piel, su nacionalidad, su lugar de residencia, sus creen-
cias religiosas, sus inclinaciones políticas...; o las clases de animales, de plantas..., los tipos Claro que, para estas variables, los ins-
de viviendas... trumentos de medición tienen sus limitacio-
nes y siempre se termina por fijar la preci-
Finalmente, hay otros elementos que nos proporcionan información y que son sus- sión de las medidas hasta cierto punto. Por
ceptibles de algún tipo de medición cuantitativa, es decir, que pueden presentarse como ejemplo, en la estatura se llega hasta los
números que se refieren a múltiples aspectos o fenómenos: costos de los alimentos, de los centímetros: 1 m y 52 cm, ó 152 cm; y en el
servicios, de las medicinas...; temperaturas ambientes a lo largo de un día o de un año, o peso, hasta los hectogramos: 37,5 Kg; rara
niveles de humedad en las distintas regiones del país; calificaciones de nuestros alumnos; vez se detallan con más precisión...
distribución de la población nacional de acuerdo a su género, a sus edades, o a su ubica-
ción por departamentos, provincias o estados; porcentajes anuales de mortalidad infantil; 1. Identifique cada una de las siguien-
resultados de encuestas de opinión sobre innumerables temas... tes variables como cualitativa o cuantita-
tiva; en este último caso, determine si es
Las características de los objetos o personas que son susceptibles de clasificación o discreta o continua:
de medición cuantitativa suelen presentar rasgos de variabilidad; por ejemplo, existen
diversos colores de la piel o de los ojos, diversas nacionalidades, diversos precios de las a) Estado civil
cosas y de los servicios, diversas calificaciones escolares, diversas estaturas y pesos en las b) Ingresos mensuales familiares
personas, etc. En razón de esta variabilidad, tales características se denominan variables. c) Número del documento de identi-
dad
Por lo que acabamos de decir, ya vemos que las variables pueden ser de dos tipos: d) Peso de una persona
e) Número de páginas de un libro
• Cualitativas (también llamadas atributos): sólo susceptibles de clasificación. f) Profesión u ocupación
• Cuantitativas: susceptibles de medición numérica. g) Estatura de una persona
h) Simpatía por un movimiento políti-
Entre estas últimas encontramos dos maneras de medir. La primera se refiere y aplica co
a las características que se miden por medio del conteo. Por ejemplo, las inasistencias i) Temperatura ambiente
diarias de los alumnos de nuestra escuela; o el número de personas que habitan en la j) Precio del transporte público
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9. k) Número de personas del grupo fa- de características ambientales..., que portan son las estadísticas propias de esa variable
miliar alguna información relativa a la variable que poblacional. Esta expresión se deriva del
l) Número de calzado se estudia: el género, la edad, la ubicación término Estadística, utilizado para designar
m) Mascota o animal preferido geográfica, o las opiniones de las perso- a la ciencia que se ocupa del tratamiento
nas; la tasa de mortalidad de los niños; los de la información; es decir, de estudiar los
Conviene diferenciar a las variables precios de los objetos y de los servicios; la fenómenos de cualquier tipo por medio de
cualitativas y cuantitativas por otro rasgo. temperatura o grado de humedad de nues- datos observados y cuantificados, que son
Las primeras manifiestan su variabilidad tro ambiente; las calificaciones de nuestros recogidos, organizados, representados y
en el abanico de categorías en que se cla- alumnos... Cada uno de los elementos de analizados con el fin de precisar su signi-
sifican, categorías que no mantienen una una población (sean personas, objetos, etc.) ficado e inferir, en lo posible, predicciones
relación de orden entre sí. recibe el nombre de individuo. de cara al futuro. Para todas estas tareas
contamos, pues, con métodos estadísticos.
Por ejemplo, no es posible establecer Los resultados de la medición de una
cuál de los colores está por encima de los variable en el seno de una población reci- El nombre de Estadística se atribuye al
otros, o cómo se ordenan las diversas na- ben el nombre de datos. Los datos –sean economista alemán Gottfried Achenwall
cionalidades u ocupaciones... (claro que categorías o clases de un atributo, o núme- (siglo XVIII), quien lo derivó del término
hay quien lo hace, pero por razones exter- ros- reflejan la variabilidad de la caracte- “estadistas” aplicado a los empleados del
nas a las propias variables: gustos, razones rística estudiada en esa población. En este Estado dedicados a elaborar los censos po-
subjetivas, ansias de poder y dominio...). sentido, los datos son mediciones en un blacionales, (censos de los que se tienen
contexto específico, condición indispensa- registros históricos mucho más antiguos).
En cambio, entre los valores que pue- ble para que puedan transmitir información Los campos de aplicación iniciales fueron
den tomar las variables cuantitativas sí (Moore, 1998). los demográficos y los económicos.
existe un cierto orden. Por ejemplo, es po-
sible ordenar los valores de las estaturas, Por ejemplo, el número 3,2 no nos Pero volvamos al hilo conductor de
de las edades de las personas, de los nú- aporta información alguna; pero si decimos nuestra reflexión. Tenemos que aprender a
meros de páginas de los libros, etc. que una niña pesó 3,2 Kg al nacer, sí po- convivir con la información, a seleccionar-
demos establecer algunas interpretaciones la, a quedarnos con la que nos puede ser
Por esta razón se dice que las variables acerca de su estado saludable en el mo- útil. Porque esa lluvia de información debe
cualitativas se miden en una escala nomi- mento de su nacimiento. Y si disponemos tener un objetivo para nosotros; en otras
nal (sus valores se reducen a los “nom- de una colección de datos similares como, palabras, debemos estar en condiciones de
bres” de las categorías en que se clasifica por ejemplo, los pesos de los niños nacidos responder a la pregunta: ¿Para qué nos sir-
el atributo) y que las variables cuantitati- en la población en estudio durante un lapso ve la información?
vas se miden en una escala ordinal (tiene de tiempo determinado, tendremos nuevos
sentido ordenar sus valores). elementos informativos para interpretar el Probablemente ya tenemos alguna res-
peso de nuestra recién nacida; por ejemplo, puesta a esa cuestión. Primero, para man-
Dentro de toda esta diversidad, hay al- si está dentro de lo normal, o no. tenernos en conexión con nuestro mundo
gunos rasgos comunes a destacar. En primer y con quienes lo comparten con nosotros,
lugar, las variables y los resultados de las Todos sabemos el nombre de estas lis- familiares, colegas, alumnos, personas de
mediciones se refieren a poblaciones, que tas o colecciones de datos referidos a una nuestra comunidad, compatriotas... Nece-
son los conjuntos de personas, de objetos, variable de una determinada población: sitamos compartir un saber, un conocer; es
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10. preciso estar enterados, no descolgarnos de su desarrollo físico y a su salud, características familiares, condiciones socioeconómicas,
los demás ni del mundo. anotaciones acerca del rendimiento escolar...).
Pero también –y sobre todo- necesita- Si nos limitásemos al simple registro y posterior archivo de esos datos, la información
mos la información para tomar decisiones. recolectada no tendría ninguna relevancia ni trascendencia. Pero si, por el contrario, or-
Y esto, en todos los niveles de nuestra vida: ganizamos y analizamos las diversas relaciones entre ellos, podremos establecer conclu-
familiar, profesional, social, política, cultu- siones interesantes en relación con los grupos estudiados, así como compararlos entre
ral... Si no disponemos de la información sí. E, incluso, podremos llegar a ver que las regularidades que presentan algunas de esas
adecuada, podemos errar en nuestras de- características nos permitirán inferir conclusiones acerca de los rasgos que tendrán las
cisiones. poblaciones de estudiantes futuros.
De modo que manejar oportunamen- Por otro lado, resulta muy importante la tarea de lograr que nuestros alumnos com-
te la información se ha convertido en una prendan y sepan utilizar las herramientas estadísticas, con el fin de facilitarles la interpreta-
competencia imprescindible en nuestra ción de la información que les llega, la organización y presentación de la que ellos pueden
vida. Para alcanzar esa competencia, para producir, y la correcta toma de decisiones.
saber procesar la información, es muy con-
veniente que ésta venga expresada de una Estamos, pues, a las puertas de un campo bien interesante, bien útil, bien sencillo... y
manera organizada. Así se nos facilitará la asequible desde los primeros niveles de escolaridad. No pensemos, de entrada, en cosas
tarea de interpretarla como es debido y to- complicadas. El requisito básico para adentrarnos en la Estadística es tener hábitos de
mar las decisiones del caso. organización. Con esta predisposición no nos debe costar ir adquiriendo las técnicas co-
rrespondientes que, por lo demás, son muy lógicas y asequibles.
Pero no siempre la información circula
del entorno hacia nosotros. También ca-
mina en sentido inverso, también nosotros
somos productores de información. Y en 2. ¿Qué hacemos con los datos?
este caso, sigue siendo válida la necesidad
de expresarla de manera organizada, para
que sus receptores puedan interpretarla sin 2.1. En primer lugar, reconocer su necesidad
dificultad y sentirse apoyados en su toma
de decisiones. Quizá la proposición de –antes que nada- reconocer la necesidad de los datos puede
llamar la atención de más de un(a) lector(a). Porque estamos acostumbrados a la idea de
De las consideraciones anteriores po- que las tareas estadísticas significan exclusivamente la recolección de datos, la elabora-
demos derivar las razones del interés que ción de tablas, de gráficos, el cálculo de la media, la determinación de la moda...; es decir,
la Estadística puede tener para nosotros, no en Estadística hay que “hacer cosas” con los datos y para ello existen una serie de fórmulas
sólo como ciudadanos sino, particularmen- y procedimientos a utilizar correctamente.
te, como docentes. A este respecto, recor-
demos todos los registros que anualmente Sin embargo, si queremos hacer “nuestra” la Estadística, tenemos que empezar por
efectuamos en la escuela, referidos a di- indagar nuestra actitud ante las situaciones de la vida real; tenemos que preguntarnos
versas características de nuestros alumnos si deseamos comprenderlas para manejarlas adecuadamente y tomar las decisiones más
(grado, género, edad, aspectos referidos a pertinentes frente a ellas.
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11. Sobre esta base se apoya la Estadística; ción, aunque sin negar ni agotar su riqueza estadísticos nos permite, no sólo asimilar la
y, en particular, sobre la hipótesis de que y su originalidad. Dentro de ciertos límites, información que contienen sino, además,
muchas situaciones de la vida real sólo pue- los métodos estadísticos nos permiten bus- observar la forma en que se presentan.
den ser comprendidas a partir del análisis car explicaciones y causas de la variación y,
de un conjunto de datos de carácter cuan- sobre todo, aprender del contexto. Pero, como hemos dicho antes, noso-
titativo que hayan sido recogidos en forma tros mismos podemos señalar alguna va-
adecuada. Reúnase con sus compañeros(as) y tra- riable que nos interesa en nuestro desem-
te de hacer una lista de aquellas variables peño profesional y, seguramente, también
Así, como decíamos en el ejemplo ante- de su entorno cuyos datos pueden resultar podemos recolectar datos referentes a esa
rior, el peso de 3,2 kg de una niña al nacer de interés para su desempeño profesio- variable. Tomemos, por ejemplo, el núme-
cobra todo su sentido cuando “disponemos nal. ro de inasistencias diarias de alumnos a
de una colección de datos similares como, nuestra escuela durante un mes (20 días).
por ejemplo, los pesos de los niños nacidos 2.2. En segundo lugar, recolectarlos Estos datos pueden proporcionarnos cierta
en la población en estudio durante un lapso información acerca de la vida escolar, sobre
de tiempo determinado”. Lo mismo pode- ¿Dónde recolectamos los datos? Bueno, todo si se comparan con los de otros meses
mos decir de la consideración del peso y la hay muchos datos que se producen regu- del año escolar; es decir, tienen interés para
estatura, o de las calificaciones escolares, larmente, con una periodicidad al menos nosotros.
de uno solo de nuestros alumnos. anual. En cada uno de nuestros países,
todos los ministerios y despachos guber- Supongamos que estos son los datos,
Ahora bien, tenemos que reconocer que namentales elaboran sus Anuarios, con los día a día, empezando por el primer lunes:
la observación de un caso aislado, o recu- datos y tablas referentes a sus actividades {15, 19, 18, 18, 17, 17, 11, 13, 19, 18, 20, 21,
rrir a la experiencia de una sola persona, o y a las variables poblacionales que son de 23, 26, 24, 21, 20, 17, 15, 12}.
intentar encontrar evidencias determinantes su incumbencia. En todos ellos existen tam-
en un suceso anecdótico, puede confundir- bién instituciones nacionales de Estadística, 2.3. En tercer lugar, organizar su
nos y llevarnos a una toma de decisiones encargadas de recopilar los datos estadísti- presentación
equivocada (Batanero, 2002). cos de interés para estudiosos y curiosos...
En el campo educativo, desde cada escuela ¿Qué hacemos con esos 20 datos (N
Por ello, resulta muy importante percibir y desde cada instancia municipal, regional = 20)? Podemos hacer muchas cosas; por
y valorar la variación que afecta a esas ca- y nacional, se producen cantidades de da- ejemplo:
racterísticas (variables) que se manifiestan tos propios de este ámbito educativo.
en una forma cuantitativa en nuestro entor- 1. Ordenarlos de menor a mayor: {11,
no. Los datos nos hablan de la presencia de Incluso, son muchos los bancos de datos 12, 13, 15, 15, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 19, 19,
la variabilidad en muchas de las situaciones que son publicados por organismos interna- 20, 20, 21, 21, 23, 24, 25}. O, también, de
que conforman nuestra vida. De entrada, cionales, en los cuales se recogen y compa- mayor a menor. Eso nos permite observar
percibimos que no todo es uniforme, hecho ran los que se producen en cada uno de los y anotar los valores mayor y menor: 26 y
con una sola medida (afortunadamente). países involucrados. En lo que a Latinoamé- 11, respectivamente. O el valor (los dos va-
rica se refiere, tenemos a la mano los ban- lores, en este caso) que se encuentra(n) en
Ante este panorama, la Estadística nos cos de datos presentados por la UNESCO, el medio de los datos. O el (los) que más
ofrece algunos métodos para intentar com- la OEA, la CEPAL-ECLAC (2005), etc., entre veces se repite(n)...
prender y analizar, en lo posible, esta varia- otros muchos. La lectura de estos cuadros
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12. 2. Presentarlos en una tabla en la que se Datos agrupados Frecuencias ción de ciertos valores más representativos
señale cada número de inasistencias (dato) (N = 20) de la misma.
con el número de veces (frecuencia) con el
11 al 14 3
que aparece (distribución de frecuencias): La segunda forma de representar los da-
15 al 18 8 tos (distribución de frecuencias) es la que
Datos Frecuencias (N = 20) mejor y con más detalle nos permite resu-
19 al 22 6 mir todos los datos y volverlos a “leer” orga-
11 1 nizadamente. La tercera forma (distribución
23 al 26 3 de frecuencias para datos agrupados) es, a
12 1 su vez, un resumen de la anterior, y es muy
Quizás al (a la) lector(a) se le puedan útil cuando los datos son muy numerosos y
13 1 ocurrir otras formas de representar los datos están muy dispersos o presentan frecuen-
anteriores, o algunas particularidades de los cias muy bajas. Se pierde algo del detalle
15 2 mismos; pero vamos a quedarnos con las que ofrece la forma de representación ante-
tres señaladas. Veamos algunas caracterís- rior, pero nos permite una lectura más sin-
17 3 ticas de algunas de ellas. tetizada de la distribución de los datos.
18 3 La primera nos permite determinar el Suponga que en el siguiente mes, que
rango o recorrido de la distribución, es tiene 23 días lectivos, se recolectan estos
19 2 decir, determinar la amplitud del intervalo datos de inasistencia diaria de alumnos a
en que se mueven los valores. La forma de la escuela: {12, 11, 12, 13, 14, 13, 15, 16,
20 2 calcularlo es restar los valores extremos; en 14, 15, 18, 16, 19, 15, 21, 20, 24, 23, 22,
nuestro ejemplo, el rango de los datos es: 23, 23, 23, 22}.
21 2 26 – 11 = 15.
a) Determine los valores extremos de
23 1 Ese resultado no coincide con el nú- la distribución
mero de valores diferentes que podrían b) Calcule el rango de la distribución
24 1 aparecer entre los valores extremos de la c) Ordene los datos de mayor a me-
colección de datos. Para obtener este últi- nor
26 1 mo número volvemos a restar estos valores d) Elabore la tabla de distribución de
extremos... y sumamos 1 unidad; en nues- frecuencias correspondiente
tro ejemplo es: 26 – 11 + 1 = 16. Si alguien e) Forme intervalos o clases de am-
3. Como en la tabla anterior aparecen duda por qué se debe sumar 1 unidad, pón- plitud 4 (de 10 a 13, etc.) y elabore la
muchos datos diferentes (12), podemos gase a contar cuántos valores seguidos hay correspondiente tabla de distribución de
pensar en agruparlos un poco y presen- desde 11 hasta 26, ambos incluidos. frecuencias
tarlos en otra tabla en la que se señalen
las inasistencias agrupadas por intervalos Esa primera forma de representación or- La representación de los datos, particu-
o clases, con el número de veces en que denada de los datos va a tener utilidad más larmente las referentes a la distribución de
se presentan (distribución de frecuencias adelante, a la hora de analizar la distribu- frecuencias y a la distribución de frecuen-
para datos agrupados): ción de los mismos, mediante la determina- cias de datos agrupados, puede hacerse
10
13. también de forma gráfica y no sólo mediante las tablas del tipo que acabamos de presen- También puede construirse una gráfica
tar (forma tabular). de barras correspondiente a la tabla que re-
coge la distribución de los datos agrupados
Tomemos el ejemplo de la distribución de frecuencias antes presentada. Para llevarla en clases. Para nuestro ejemplo:
a una gráfica, vamos a trazar dos segmentos perpendiculares (ejes), con sus marcas o
medidas correspondientes; en el horizontal vamos a colocar, ordenados, los valores de 8
la variable (número de inasistencias diarias) y en el segmento vertical, las frecuencias de 7
esos valores.
6
Marcados así esos dos segmentos, vamos a levantar, en cada punto del eje horizontal, 5
un segmento perpendicular cuya medida sea exactamente la de la frecuencia correspon- 4
diente a ese valor de la variable. Haciendo esta tarea para cada uno de los valores de la
variable, llegamos a esta gráfica: 3
2
1
11 14 15 18 19 22 23 26
Tome ahora los datos y las tablas co-
rrespondientes a las inasistencias del se-
gundo mes, y elabore:
a) la gráfica de barras
Esta representación recibe el nombre de gráfica de barras. Obsérvese que para con- b) el polígono de frecuencias
servar la secuencia de los valores de la variable, desde 11 hasta 26, se han marcado los c) la gráfica de barras para los datos
valores 14, 16, 22 y 25, cuya frecuencia es 0. También puede “invertirse” la gráfica, es agrupados en clases (10 a 13, etc.)
decir, colocar en el eje vertical los valores de la variable y en el eje horizontal, las frecuen-
cias de esos valores. Hasta ahora hemos trabajado con una
variable (inasistencias diarias de los alum-
Si se toman solamente los vértices superiores de los segmentos o barras verticales co- nos a la escuela) discreta. Veamos un ejem-
rrespondientes a las frecuencias, se construye una nueva gráfica, conocida como polígono plo para una variable continua, como el
de frecuencias. Para nuestro ejemplo: peso o la estatura de las personas.
En nuestro medio escolar, el conoci-
miento (y seguimiento) del peso y de la
estatura de nuestros alumnos tiene su im-
portancia, ya que éstos se encuentran en
pleno proceso de desarrollo; vale la pena,
pues, recolectar los datos correspondientes
e, incluso, hacerlo periódicamente.
11
14. En cuanto a la organización de su pre- cuarto, en 38,1 + 3,1 = 41,2. A partir de estos valores deducimos cuáles son los valores
sentación, que es lo que ahora nos ocupa, mayores de cada intervalo: 34,9; 38; 41,1 y 44,2 (observe que la diferencia entre dos de
enseguida percibimos que lo más práctico estos valores seguidos es también 3,1.
es distribuir los datos individuales en clases
o intervalos ya que, con seguridad, habrá Ahora podemos construir la tabla que representa la distribución de datos agrupados:
muchos datos diferentes. De aquí se sigue
que las representaciones más apropiadas
Datos agrupados Frecuencias (N = 31)
para estos datos serán la tabla y la gráfica
correspondientes a la distribución de datos
agrupados. De 31,9 a 34,9 8
Supongamos que los pesos de 31 alum-
nos de una clase son (en Kg): {37,8; 35,6; De 35 a 38 15
34; 31,9; 40,5; 34,2; 35,6; 38,7; 32,8; 35,4;
41,6; 39,8; 34,5; 37; 42; 36,6; 31,9; 36,5;
35,7; 36; 38; 44,1; 37,2; 36,8; 35; 33,5; De 38,1 a 41,1 4
38,9; 37,5; 34; 36,5; 42,5}.
De 41,2 a 44,2 4
La primera actividad de observación nos
lleva a buscar los valores extremos; éstos
son: 31,9 y 44,1 Kg. Ahora podemos deci- y la gráfica correspondiente, que en el caso de las variables continuas, se denomina
dir en cuantas clases o intervalos dividimos histograma (histos [tejido] + gramma [gráfico]):
el grupo, tomando en cuenta que tampoco
nos conviene tener un número excesivo de Obsérvese que en el histograma los rec-
clases; para nuestro caso, un número apro- tángulos se adosan unos a otros, ya que la
piado puede ser 4 ó 5 clases. variable es continua. Por esta razón, en el
eje horizontal se colocan valores divisorios
Supongamos que optamos por 4 clases. de las sucesivas clases o intervalos. ¿Cómo
Esto significa que el gran intervalo entre los se obtiene cada uno de ellos? Se toman dos
valores extremos (de 31,9 a 44,1), cuya di- valores sucesivos, el final de una clase y el
ferencia es 12,2, debe repartirse en cuatro inicial de la clase siguiente, y se busca el
lotes de igual tamaño. El tamaño de cada valor intermedio.
intervalo debe ser, pues, el cociente de 12,2
/ 4, que es 3,05, que puede redondearse a Por ejemplo, 34,95 es el valor intermedio entre 34,9 (valor final del primer intervalo)
3,1. y 35 (valor inicial del segundo intervalo). Calculado uno de estos valores divisorios, los
demás pueden obtenerse agregando o restando el valor de la amplitud del intervalo (3,1).
Esto significa que si el primer intervalo Así se llega, en particular, a los valores divisorios extremos (31,85 y 44,25).
empieza en el valor menor (31,9), el segun-
do debe empezar en 31,9 + 3,1 = 35; el ter- Recolecte los datos de peso y de estatura de los alumnos de su clase y elabore, para
cero debe empezar en 35 + 3,1 = 38,1; y el cada variable, la tabla y la gráfica de la distribución de datos agrupados correspondiente.
12
15. 2.4. En cuarto lugar, analizarlos La tabla de distribución de frecuencias Datos Frecuencias Frecuencias
nos permite volver a encontrar y, además, agrupados (N = 20) acumuladas
Los dos puntos anteriores, referidos ampliar la información anterior. Por ejem-
a la recolección de datos y a la orga- plo, nos permite averiguar en cuántos días 11 1 1
nización de su presentación, no tienen del mes se contaron 20 ó más inasistencias
ningún sentido si no desembocan en un (este dato puede ser de interés si, por ejem- 12 1 2
análisis de los mismos. Porque recorde- plo, 20 es un número crítico para la escue- 13 1 3
mos que los datos –y la información que la, en el sentido de que cuando se alcanzan
se deriva de ellos- tienen como objetivo o superan las 20 inasistencias diarias, se de- 15 2 5
facilitar nuestra toma de decisiones. termina una emergencia escolar...).
17 3 8
El análisis de los datos es un campo ¿Cómo calcular ese número de días 18 3 11
muy complejo, cuyo desarrollo ocupa el del mes en que se contaron 20 ó más in-
espacio más extenso e importante de la asistencias diarias? A partir de la tabla de 19 2 13
Estadística (lo que se llama la Estadística distribución de frecuencias, basta con su-
Inferencial). En este Cuaderno no vamos mar las frecuencias correspondientes a los 20 2 15
a entrar en él. Pero sí vamos a propo- datos 20, 21, 23, 24 y 26 (2 + 2 + 1 + 1
21 2 17
nernos analizar y sacar conclusiones de + 1 = 7): durante 7 días las inasistencias
estas primeras formas sencillas de orga- llegaron a 20 o estuvieron por encima de 23 1 18
nizar los datos (Estadística Descriptiva), ese número.
con el fin de percibir cómo la informa- 24 1 19
ción ya fluye realmente de ellos. Como se ve, la tabla de distribución de
26 1 20
frecuencias puede servirnos para obtener
Volvamos a nuestro primer ejem- información nueva referida a la acumula-
plo, el de las inasistencias diarias de los ción de frecuencias entre ciertos valores de Como se puede observar, la frecuen-
alumnos a la escuela, y las tres formas la variable. Por ejemplo, podemos pregun- cia acumulada correspondiente al valor
en que organizamos su presentación (or- tar cuántos datos estuvieron por debajo de más alto debe coincidir con el total de
denados de menor a mayor, la tabla de tal valor, o entre dos valores dados, o fue- la población estudiada (20). Si queremos
distribución de frecuencias, y la tabla de ron superiores a determinado valor. saber durante cuántos días el número de
distribución de frecuencias para datos inasistencias diarias estuvo por debajo de
agrupados). Para responder más directamente a 18, basta con leer la frecuencia acumula-
este tipo de tareas, podemos construir una da correspondiente a 17: durante 8 días.
La primera forma de organización nueva tabla de distribución de frecuencias Y para saber durante cuántos días estuvo
nos sugiere que el número de inasisten- en la que aparece una nueva columna, la por encima de 19 (la pregunta inicial),
cias diarias, durante el mes estudiado, referente a las frecuencias acumuladas; basta restar de 20 la frecuencia acumula-
oscila entre una y dos docenas, aproxi- es decir, para cada dato, además de su da correspondiente a 19: 20 – 13 = 7.
madamente; que es irregular, es decir, frecuencia propia, vamos a anotar la suma
que varía de día en día; y que el número de las frecuencias correspondientes a los 2. ¿Tiene algún sentido elaborar una ta-
más frecuente de inasistencias ha sido datos inferiores, más la suya propia. En bla con frecuencias acumuladas cuando se
de 17 y 18 (3 veces cada uno). nuestro ejemplo sería: trata de una variable cualitativa? ¿Por qué?
13
16. Siguiendo con el análisis de las inasis- La organización de los datos en esta ta- • Comparar los mismos días de cada se-
tencias diarias, nos damos cuenta de que bla de doble entrada nos permite otro tipo mana: Por ejemplo, los lunes no han sido,
la tabla de distribución de frecuencias para de análisis: durante este mes, los días críticos para la
datos agrupados no nos aporta mayor infor- inasistencia escolar; tampoco los viernes.
mación adicional: solamente que la mayoría • Comparar las semanas: Desde el final No se manifiestan hábitos de ausencia alre-
de los datos (8 de 20) está en el intervalo de de la 2a semana y, particularmente, durante dedor del fin de semana...
15 a 18 inasistencias diarias [Notemos que la 3a, hubo un notable incremento de inasis-
también es posible elaborar la columna de tencias; esto nos dice que la tercera sema- Como se puede apreciar, ninguna de
frecuencias acumuladas para el caso en que na ocurrió algo particular, actuó una causa estas informaciones nos ha sido propor-
los datos vengan agrupados en clases]. especial (alguna enfermedad, inclemencias cionada por las herramientas estadísticas
climáticas...) cuyo efecto posiblemente fue de organización de los datos que hemos
Hemos utilizado tres de las herramien- menguando durante la última semana.... manejado con anterioridad. Esta afirmación
tas habituales de organización de los datos nos reafirma en el convencimiento de que
para analizar los datos relativos a una va- el último tipo de organización de los datos
riable (también podíamos habernos servido que hemos manejado es pertinente para su
de las representaciones gráficas correspon- registro y análisis, ya que se trata de una
dientes...). Sin embargo, esto no significa secuencia de datos en el tiempo y, en este
que hayamos agotado todas las posibles caso, es de suma importancia no perder el
vías de su representación y análisis subse- carácter temporal de la información.
cuente.
De todo lo anterior queremos extraer
Por ejemplo, podíamos haber separado algunas conclusiones importantes:
los datos de inasistencias en lotes de a cin-
co días, con el fin de destacar lo que ocu- • Hay que saber seleccionar, en cada
rrió cada semana, de lunes a viernes: (15, caso, los instrumentos estadísticos de or-
19, 18, 18, 17), (17, 11, 13, 19, 18), (20, 21, ganización de los datos que nos puedan
23, 26, 24), (21, 20, 17, 15, 12). O también aportar información pertinente. En nuestro
de esta manera: ejemplo, no nos interesa la distribución de
frecuencias para los datos agrupados en cla-
No de inasistencias ses, ya que no aporta nada adicional.
Semana
Lun Mar Mié Jue Vie • No debemos cerrarnos a la posibilidad
de construir y utilizar otras formas adiciona-
1a 15 19 18 18 17 les de organización de los datos, con el fin
de extraer información valiosa. En nuestro
2a 17 11 13 19 18 ejemplo, la tabla de doble entrada resultó
ser un instrumento de registro que permitió
3a 20 21 23 26 24 obtener información adicional muy perti-
nente.
4a 21 20 17 15 12
14
17. Tome el ejemplo de los pesos de los 31 alumnos antes considerado, analice los datos • El ahorro prácticamente no cuenta
presentes en la tabla correspondiente y llegue a algunas conclusiones. para las familias; puede presumirse que
no hay cultura de ahorro o que, con más
He aquí una gráfica de barras relativa a la distribución porcentual del ingreso familiar seguridad, las necesidades básicas son tan
para atender a los gastos correspondientes a los rubros indicados (datos de uno de nues- perentorias que no existe la posibilidad de
tros países latinoamericanos, año 2003): ahorrar.
• En resumen, se trata de la distribución
propia de un país en el que la población
destina el ingreso familiar prácticamente
para intentar garantizar la supervivencia
del día a día...
La información contenida en esta gráfica
puede ser todavía mayor si, por ejemplo, los
datos se recolectan periódicamente, lo que
permitiría un seguimiento temporal con el
fin de analizar las variaciones poblacionales
en la distribución de su ingreso familiar.
Cuando se trata de una variable cuali-
tativa cuya distribución en categorías viene
cuantificada en porcentajes, puede utili-
zarse también otro tipo de representación,
denominada gráfica circular o de pastel.
Veamos un ejemplo similar al anterior, en el
que se muestra la distribución de los gastos
mensuales de un estudiante universitario
fuera de su casa (Shadian, 1998):
8%
Obsérvese que la variable distribución porcentual del ingreso familiar es cualitativa, y 38%
que sus categorías son, precisamente los rubros o áreas de necesidad indicadas. Por otro
10%
lado, las barras son horizontales y, en lugar de las frecuencias de cada valor de la variable,
aparecen los porcentajes correspondientes. 14%
¿Qué información podemos inferir de esta gráfica? Pues, entre otras cosas:
30%
• Un poco más de la tercera parte del ingreso (35,4 %) se dedica a alimentación; este
rubro aparece como prioritario. Alimentación
• Los rubros de alimentación, vivienda y servicios, y transporte son los que absorben Renta Libros
casi las dos terceras partes (63,6 %) del ingreso familiar. Ropa Otros
15
18. Como se ve, los porcentajes no se representan como barras de diferente longitud, sino Y saquen sus conclusiones acerca de
como sectores circulares de diferente área (ver Cuaderno 15). Las áreas de estos sectores las posibilidades que tiene la escuela para
son proporcionales a los números que indican los porcentajes; a mayor (menor) porcen- satisfacer los deseos de los niños y niñas;
taje, mayor (menor) área del sector, es decir, mayor (menor) abertura del ángulo central por ejemplo, ¿existen las instalaciones, los
correspondiente. preparadores y los implementos que esos
deportes requieren?; ¿se organizan periódi-
Para determinar la medida de este ángulo central podemos utilizar una regla de tres camente competiciones o campeonatos de
muy sencilla: esas disciplinas deportivas?; ¿se valoran y
estimulan los logros de los alumnos y alum-
Porcentaje (%) Medida del ángulo central del sector circular nas en sus prácticas deportivas?...¿cómo
100 360o mejorar las situaciones deficientes?
p a
De esta forma, si conocemos el porcentaje correspondiente a una categoría de la varia-
ble, obtendremos el ángulo del sector circular así: a = px 360 . En caso de que conozcamos
100
ax100
3. Las medidas de
este ángulo, podemos calcular el porcentaje correspondiente de esta forma: p = .
360 tendencia central
En el ejemplo, verificamos primero que la suma de los porcentajes sea 100 (hágalo). A
partir de ahí, al porcentaje del 38 % le corresponde un ángulo central cuya medida es a =
(38 x 360)/100 = 136,8o; y así se calculan todas las demás medidas. Luego, se traza una Ya hemos visto lo que podemos hacer
circunferencia y, con ayuda de un transportador, se van montando los sucesivos ángulos con los datos: valorarlos, recolectarlos,
centrales adosando cada uno al anterior. organizar su presentación y analizarlos.
Vamos a verlos ahora desde otra perspec-
3. a) Si el estudiante del ejemplo anterior necesita 20.000 pesos en un mes dado, tiva. Por ejemplo, podemos preguntarnos si
¿cuánto gasta en alimentación durante ese mes? existe(n) algún(os) dato(s) que sea(n) como
b) Si durante otro mes mantiene sus porcentajes de gastos y compra ropa por 2.100 especial(es), que pueda(n) mostrarnos algu-
pesos, ¿a cuánto ascienden sus gastos de ese mes en libros? na característica muy particular de nuestra
colección de datos o que pueda(n), incluso,
Hagan una pequeña encuesta en su escuela pidiendo por separado, a los niños y a las representar a la colección completa.
niñas, que indiquen cuál es el deporte de su preferencia. En cada uno de los dos casos,
tomen los cuatro deportes más destacados y agrupen los demás como “Otros”. Conviertan En el punto 2.3., al presentar los datos
las frecuencias de selección en porcentajes (la suma de éstos debe ser igual a 100). ordenados de menor a mayor (o viceversa),
decíamos que tal orden nos permite obser-
Con esta información, construyan las dos gráficas circulares correspondientes. A partir var y anotar los valores mayor y menor,
de ellas, analicen las preferencias manifestadas por los alumnos (niños y niñas), por separa- o el valor que se encuentra en el medio
do y comparativamente; valoren los pros y contras (si existen) de la práctica de cada uno de de los datos, o el (los) que más veces se
los deportes señalados (individualismo vs. labor de equipo; posibilidades de inclusión o de repite(n)... A estos valores particulares po-
exclusión de una porción significativa de alumnos; propensión o no hacia la violencia o ha- demos agregar otro, de uso muy frecuente:
cia la tolerancia; excesiva o moderada competitividad; habilidades que se desarrollan...). el valor promedio de todos los datos.
16
19. 3.1. La media 5. Calcule la media de inasistencias para
los datos del ejemplo inicial: {15, 19, 18, 18,
El valor promedio de todos los datos 17, 17, 11, 13, 19, 18, 20, 21, 23, 26, 24, 21,
poblacionales recibe el nombre de media. 20, 17, 15, 12}.
Existen diversos tipos de valores promedio,
pero aquí nos vamos a referir a la media 6. Calcule la media de los pesos (en Kg)
aritmética. Para obtenerla, se suman todos de los niños del ejemplo dado anteriormen-
los datos y esta suma se divide entre el nú- te: {37,8; 35,6; 34; 31,9; 40,5; 34,2; 35,6;
mero de datos considerados. 38,7; 32,8; 35,4; 41,6; 39,8; 34,5; 37; 42;
36,6; 31,9; 36,5; 35,7; 36; 38; 44,1; 37,2;
4. ¿Tiene sentido calcular la media de 36,8; 35; 33,5; 38,9; 37,5; 34; 36,5; 42,5}.
los datos cuando la variable es cualitativa?
¿Por qué? Con el fin de presentar una fórmula ge-
neralizada para calcular la media de cual-
En realidad, la media es el valor que quier conjunto de datos, procedemos así:
cada sujeto de la población tendría si se
repartiera “equitativamente” entre todos el • Denotamos con n el número de datos
valor de la suma total de los datos de la po- del conjunto (31, en el último ejercicio).
blación. La media puede coincidir o no con • Denotamos los n datos del conjunto
alguno de los datos del conjunto. con los símbolos x1, x2,..., xn, donde, por
ejemplo, x3 representa el tercer dato (34
a) Sea el conjunto de datos: {11, 7, 10, Kg, en el último ejercicio) y x18 es el que
9, 10, 8, 7, 10} ocupa la posición 18 (36,5 Kg, en el último
La media es: (11+7+10+9+8+7+10) / 8 ejercicio).
= 72 / 8 = 9 • Si denotamos la media con el símbolo
La media coincide con uno de los da- x, la fórmula que permite calcular su valor
tos del conjunto se expresa así: Para calcular la media efectuaríamos la
suma: 11 + 12 + 13 + 15 + 15 + 17 + 17 +
b) Sea el conjunto de datos: {11, 8, 10, 17 + ...; está claro que podemos abreviar la
8, 10, 8, 7, 10} x=
x1 + x 2 + x 3 + ... + x n [1] suma si los sumandos que se repiten se co-
La media es: 72 / 8 = 9 n locan en forma de producto; por ejemplo:
La media no coincide con ninguno de 11 + 12 + 13 + (2 x 15) + (3 x 17) + ... Estos
los datos del conjunto Como se ve, para calcular la media no paréntesis recogen el producto del dato por
hace falta que los datos estén ordenados, ya la frecuencia con que aparece; incluso 11
c) Sea el conjunto de datos: {10, 11, 12, que la suma es conmutativa. puede verse como uno de esos productos,
13, 14, 15, 16, 17, 18, 19} ya que la frecuencia de aparición del dato
La media es: 145 / 10 = 14,5 Por otro lado, veamos el caso en que los 11 es 1.
La media no coincide con ninguno de datos se presentan en una tabla de distri-
los datos del conjunto bución de frecuencias, como la del primer De modo que la suma de todos los da-
ejemplo de inasistencias a la escuela: tos, uno por uno, puede sustituirse por la
17
20. suma de los productos de cada dato por la Finalmente, nos queda el caso de hallar la media de un conjunto de datos cuando éstos
frecuencia correspondiente. Evidentemente, se presentan en una tabla de frecuencias para datos agrupados en clases. Para nuestro
ahora habrá menos sumandos; si antes eran primer ejemplo de inasistencias:
20 datos sueltos a sumar, ahora serán 12,
de los cuales 6 serán pequeños productos Datos agrupados Frecuencias (N = 20)
(15x2, 17x3, 18x3, 19x2, 20x2, 21x2). De
esta forma, la expresión adecuada para el De 11 a 14 3
cálculo de la media es:
De 15 a 18 8
x=
x1 . f 1 + x 2 . f 2 + ... + x k . f k [2]
n De 19 a 22 6
Obsérvese que en el numerador, el su- De 23 a 26 3
bíndice del último sumando es k y no n ya
que, como acabamos de decir, ahora habrá No podemos utilizar la fórmula [1], ya que desconocemos los datos sueltos; en prin-
menos sumandos, porque algunos datos es- cipio, tampoco la fórmula [2], por la misma razón. Pero esta última fórmula sí nos brinda
tán repetidos (tienen una frecuencia mayor un camino para utilizarla en el caso de datos agrupados en clases, ya que en su cálculo
que 1). Es decir, los x1, x2, ..., xk, representan intervienen frecuencias.
ahora cada uno de los valores distintos de
los datos. Pues bien, ahora también conocemos frecuencias, las de cada clase; la pregunta es:
¿por qué valor se va a multiplicar la frecuencia 3, correspondiente a la clase (11, 14) y, así,
Esta fórmula es, en realidad, una expre- las demás frecuencias? Hay que seleccionar un valor en cada clase. ¿Qué nos dice la ló-
sión muy relacionada con la [1]; de hecho, gica, a falta de mayores precisiones? Que seleccionemos el valor que queda exactamente
si todos los datos de una colección fueran en la mitad del intervalo. ¿Cómo se calcula este valor? Sencillamente, sumando los dos
distintos, sus frecuencias valdrían 1, k se- extremos de la clase y dividiendo la suma entre 2. Por ejemplo, el valor intermedio en la
ría igual a n (¿por qué?), y la fórmula [2] se clase (11, 14) es: (11 + 14)/2 = 25/2 = 12,5; este valor equidista de 11 y de 14.
convertiría en la [1].
Este nuevo valor va a representar a la clase (11, 14) a la hora de calcular la media de
7. Calcule la media de los datos que todos los datos; y no importa si pertenece o no al conjunto inicial de datos. A este valor
aparecen en la tabla anterior, aplicando la intermedio de cada clase se le denomina marca de la clase; vamos a representarlo por
fórmula [2]. Ahora, compare este valor con m1, m2, ... hasta mj, donde j indica el número de clases que tenemos en la distribución de
el obtenido en el ejercicio 5. ¿Son iguales? datos agrupados (en nuestro ejemplo, j = 4).
8. Considere ahora el segundo conjunto Con todas estas precisiones, la expresión de la media para el caso de datos agrupados
de datos de inasistencias a la escuela pre- en clases es:
sentado anteriormente: {12, 11, 12, 13, 14,
m . f + m2 . f 2 + ... + m j . f j [3]
x= 1 1
13, 15, 16, 14, 15, 18, 16, 19, 15, 21, 20, 24, n
23, 22, 23, 23, 23, 22}. Obtenga el prome-
dio de inasistencias de la forma que usted Para facilitar este cálculo, podemos ayudarnos con una tabla más completa que la
desee. anterior:
18
21. Marcas de clase Frecuencias Marcas x Frecuencias 2. Tomar de entrada un valor imagina-
Clases rio para la media y luego ajustarlo con los
(mj) (fj) (mj x fj)
datos. Veamos qué significa esto. Supon-
(11, 14) 12,5 3 37,5
gamos que las edades de un grupo de 20
(15, 18) 16,5 8 132 niños son las siguientes: 8, 7, 8, 6, 9, 7, 8, 6,
(19, 22) 20,5 6 123 7, 7, 8, 8, 6, 10, 9, 10, 7, 8, 7 y 10 años. En
este caso, tomemos 8 como valor de entra-
(23, 26) 24,5 3 73,5
da de la media de edades de los 20 niños.
Totales: n = 20 366 Ahora recorremos ese conjunto de datos y
anotamos la diferencia de cada uno de ellos
Ahora basta con dividir entre sí los tota- con respecto a 8:
les de las columnas 4a y 3a: = 366 / 20 =
18,3. Este es el promedio de inasisten- Datos 8 7 8 6 9 7 8 6 7 7
cias diarias durante el mes considera-
do. Como debe ser un número entero, dif + 1
podemos aproximarlo a 18. dif - 1 2 1 2 1 1
Al comparar este valor con el obtenido en
los ejercicios 5. y 6. (hágalo), quizá descubra- 8 8 6 10 9 10 7 8 7 10 Total
mos una pequeña diferencia; y es que cuando 2 1 2 2 8
los datos están agrupados en clases, se pierde
un poco de precisión (aunque se gana en otros 2 1 1 12
aspectos, como ya dijimos anteriormente).
La suma de las diferencias positivas es
Hay otras formas prácticas de obtener la me- 8; y la de las negativas, 12. Al compensar-
dia o el promedio de un conjunto de datos. Vea- se entre ambas, nos queda una diferencia
mos estas dos: negativa de 4. ¿Diferencia respecto a qué?
A la suma total de los 20 datos, si todos hu-
1. Utilizar la calculadora. Si ésta posee funcio- bieran tenido el valor de la media, 8. Esta
nes estadísticas, basta con introducir los datos y pulsar suma total hubiera sido: 20 x 8 = 160. Por
luego la tecla correspondiente a la media. Si la calcu- consiguiente, la suma total verdadera de los
ladora no posee tales funciones, podemos efectuar la 20 datos es: 160 – 4 = 156. Ahora se divide
suma progresiva de todos los datos (directamente o en el entre 20 y obtenemos la media: 7,8 años.
registro de memoria M+) y dividir el resultado final entre
el número de datos. También podemos proceder dividiendo
esa diferencia negativa final, 4, entre 20, lo
Este es uno de los casos en que la calculadora puede servirnos como herramienta, que nos da el valor de 0,2; basta restar ahora
aliviándonos del tedioso trabajo de efectuar sumas tan largas. Lo importante es conocer este valor de la supuesta media inicial 8, con
el significado de lo que estamos haciendo y su por qué; garantizado este conocimiento lo que obtendremos la media verdadera: 8
conceptual, bienvenida sea la calculadora (una vez más). – 0,2 = 7,8 años.
19
22. En principio, este procedimiento puede b) Sea el conjunto de datos: {10, 13, 12,
parecer engorroso, pero la verdad es que 19, 17, 11, 15, 14, 16, 18}
puede hacerse mentalmente, recorriendo Ordenado de mayor a menor: {19, 18,
los datos uno por uno y compensando su- 17, 16, 15, 14, 13, 12, 11, 10}
cesivamente las diferencias positivas y ne- Valores centrales: 15 y 14
gativas sobre la marcha: “7 me da 1 negati- Mediana: (15 + 14) / 2 = 14,5
vo; 6 me da 2 negativos, llevo 3 negativos; La mediana no coincide con ninguno de
9 me da 1 positivo, llevo 2 negativos; 7 me los datos del conjunto
da 1 negativo, llevo 3 negativos; etc.”.
c) Sea la distribución de datos:
Como puede verse, este procedimiento
nos da mayor soltura en el cálculo, más que Datos Frecuencias
si utilizáramos los datos reales, que siempre (N = 20)
son más “pesados” de manejar. Además, 12 4
tenemos libertad para elegir el valor inicial
15 6
para la media que, incluso, puede no coin-
cidir con ninguno de los datos. 17 8
20 2
Por ejemplo, podríamos haber tomado
7 como valor inicial; o incluso, 7,5... En es- Los datos centrales son el 10° (15) y el
tos casos, ¿cómo hubieran sido los cálculos 11° (17)
de las diferencias? ¿Cómo hubieran sido La mediana es: (15 + 17) / 2 = 16
las sumas finales de las diferencias? ¿Y la La mediana no coincide con ninguno de
media verdadera? Verifíquelo, para salir de los datos de la distribución
dudas... y saque sus propias conclusiones.
Y trate de justificarlas. Digamos, finalmen- Cuando los datos se presentan en una
te, que el procedimiento que acabamos de centro de la distribu- tabla de frecuencias para datos agrupados
describir es ideal para estimar (dar un valor ción ordenada. en clases, es suficiente con indicar la cla-
aproximado de) la media de una distribu- se mediana, es decir, la clase en la que se
ción de datos. a) Sea el conjunto encuentra el dato que ocupa el lugar cen-
de datos: {11, 7, 10, 9, tral de la distribución. Por ejemplo, para el
3.2. La mediana 10, 8, 7, 10, 9} caso:
Ordenado de menor a
La mediana es el valor que, una vez or- mayor: {7, 7, 8, 9, 9, 10, 10, Datos agrupados Frecuencias (N = 20)
denados todos los datos, se encuentra en 10, 11}
De 11 a 14 3
el “medio”, en la mitad de la distribución. Valor central (en la quin-
Si el número de datos es impar, coincidirá ta posición): 9 De 15 a 18 8
con uno de los datos; si es par, puede que 9 es la mediana del conjunto
De 19 a 22 6
no ocurra esa coincidencia: hay que pro- La mediana coincide con uno de los da-
mediar los dos valores que se hallen en el tos del conjunto De 23 a 26 3
20
23. la clase mediana es la que va de 15 a Datos agrupados Frecuencias (N = 20)
18 (ahí se encuentran los datos 10o y 11o
de la distribución) [puede obtenerse con
De 11 a 14 3
más precisión un valor para la mediana,
pero esto sólo nos llenaría de fórmulas más
complejas que pueden verse en cualquier
De 15 a 18 8
tratado de Estadística].
9. Calcule la mediana de las inasisten- De 19 a 22 6
cias para los datos del ejemplo inicial: {15,
19, 18, 18, 17, 17, 11, 13, 19, 18, 20, 21, 23,
26, 24, 21, 20, 17, 15, 12}. De 23 a 26 3
10. Calcule la mediana de los pesos (en
Kg) de los niños del ejemplo dado anterior- la clase modal es la que va de 15 a 18
mente: {37,8; 35,6; 34; 31,9; 40,5; 34,2; (presenta la mayor frecuencia, 8).
35,6; 38,7; 32,8; 35,4; 41,6; 39,8; 34,5; 37;
42; 36,6; 31,9; 36,5; 35,7; 36; 38; 44,1; 37,2; 12. Indique la moda de las inasisten-
36,8; 35; 33,5; 38,9; 37,5; 34; 36,5; 42,5}. cias para los datos del ejemplo inicial: {15,
19, 18, 18, 17, 17, 11, 13, 19, 18, 20, 21, 23,
11. ¿Tiene sentido calcular la mediana 26, 24, 21, 20, 17, 15, 12}.
de los datos cuando la variable es cualitati-
va? ¿Por qué? 13. Indique la moda de los pesos (en
Kg) de los niños del ejemplo dado ante-
a) Sea el conjunto de datos: {7, 12, 8, 7, riormente: {37,8; 35,6; 34; 31,9; 40,5;
3.3. La moda 10, 10, 8, 9, 12, 10} 34,2; 35,6; 38,7; 32,8; 35,4; 41,6; 39,8;
La moda es 10 (se repite 3 veces) 34,5; 37; 42; 36,6; 31,9; 36,5; 35,7; 36;
La moda es, sencillamente, el La distribución es unimodal 38; 44,1; 37,2; 36,8; 35; 33,5; 38,9; 37,5;
valor que más se repite (el que 34; 36,5; 42,5}.
está más “de moda”); por lo tanto, b) Sea el conjunto de datos: {8, 7, 15, 13,
puede haber una o más modas en 7, 10, 13, 15, 9, 11} Ya tenemos los conceptos de media,
la distribución de los datos. Lo que La moda corresponde a los valores 7, 13 mediana y moda de una distribución de
sí es cierto –a diferencia de lo que y 15 (se repiten dos veces cada uno) datos, así como la forma de calcularlos o
ocurre con la media y la mediana- La distribución es trimodal descubrirlos. Al hallar sus valores en los
es que la moda siempre coincide con ejercicios anteriores nos habremos dado
un dato de la distribución. Y que es Cuando los datos se presentan en una cuenta de que, habitualmente, estos valores
la única medida que puede obtenerse tabla de frecuencias para datos agrupados se ubican entre los valores del centro de la
cuando los datos son cualitativos; por en clases, sólo se puede indicar la clase distribución, cuando están ordenados los
ejemplo, si se trata de la distribución modal, es decir, la clase que presenta ma- datos. De ahí viene su calificativo de me-
por lugares de origen, etc. yor frecuencia. Por ejemplo, para el caso: didas de tendencia central –o valores cen-
21
24. trales, o medidas centrales- de un conjunto decirse que el grupo, en promedio, apro- cada pregunta con alguno de los siguien-
de datos. bó? ¿Por qué? tes códigos: 1. aumenta; 2. disminuye; 3.
permanece igual; 4. no se puede asegurar
3.4. Otros aspectos matemáticos de Veamos ahora el siguiente cuadro de nada].
las medidas de tendencia central posibles casos de calificaciones (en la es-
cala de 1 a 20): 15. ¿Qué le ocurre a la media de una
Con el fin de reforzar algunos aspectos distribución de datos si el número de da-
relativos al cálculo de la media y a la de- tos es par y:
terminación de la mediana y de la moda, a) todos los datos aumentan en 2 uni-
Caso Media Mediana Moda
así como para destacar las relaciones entre dades?
ellas, vamos a proponer la resolución de al- b) todos los datos disminuyen en 3
gunos ejercicios. 1 12 12 12
unidades?
c) la mitad de los datos aumenta en 2
¿Pueden coincidir las tres medidas cen- unidades y la otra mitad queda igual?
trales en una misma distribución de datos? d) la mitad de los datos aumenta en 3
Si su respuesta es positiva, construya un 2 15 13 18 unidades y la otra mitad disminuye en 1?
ejemplo de tal distribución. Si es negativa,
explique por qué. 16. ¿Qué le ocurre a la mediana en los
cuatro casos anteriores?
a) Construya ahora, si es posible, una 3 11 10 08
distribución en la que no coincida ningu- Se ha calculado la media de un grupo
na de las tres medidas. de 20 calificaciones. Pero posteriormen-
b) Ídem, en la que coincidan la media te, 7 calificaciones suben en 2 puntos, 5
y la mediana, pero no así la moda. 4 12 16 11 quedan igual, 3 disminuyen en 2 puntos,
c) Ídem, en la que coincidan la moda y 2 disminuyen en 3, 1 disminuye en 4, y 1
la mediana, pero no así la media. disminuye en 5 puntos. ¿Qué le ha ocu-
d) Ídem, en la que coincidan la media Suponga que el curso está integrado rrido a la nueva media con respecto a su
y la moda, pero no así la mediana. por 20 alumnos. Para cada uno de los 4 valor anterior?
casos construya, si es posible, una distri-
En una clase de 6° grado hay un grupo bución de datos que se ajuste a los valores No conocemos los datos, ni tampoco
numeroso de alumnos muy capaces. Si las dados de las medidas de tendencia cen- el valor de la media; tampoco nos piden el
calificaciones en Matemática se dan en la tral. valor de la nueva media, sino su variación
escala de 1 a 20, ¿qué media de califica- con respecto a la anterior. Esto significa
ciones puede esperarse? ¿Y qué mediana? 14. ¿Qué le ocurre (o le puede ocurrir) que tenemos que centrarnos en la varia-
¿Y qué moda? ¿Es probable que la moda a la media de un conjunto de datos no to- ción que han experimentado los datos y,
sea alta? dos iguales, si se elimina de dicho con- particularmente, el resultado final de las
junto: a) el dato mayor; b) el dato menor; variaciones de todos los datos.
Si la mediana de un grupo de califica- c) un dato de valor igual a la media; d)
ciones de Historia es 7 (en la escala de 1 un dato de valor igual a la mediana; e) un Calculamos los aumentos que han ex-
a 10) y la nota aprobatoria es 5, ¿puede dato de valor igual a la moda? [Responda perimentado los datos: 7 x 2 = 14 puntos.
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25. Y las disminuciones que han experimen- más representativo(s) en cada caso. Para En cuanto a la segunda restricción, en el
tado: 3 x 2 + 2 x 3 + 1 x 4 + 1 x 5 = 21 ello, comenzaremos por precisar las poten- conjunto de datos: {7, 5, 3, 8, 4, 5, 3, 61}, la
puntos. cialidades y las limitaciones de cada una de media es: 96 / 8 = 12, valor que está afec-
Variación total final: La suma de los da- las tres medidas centrales. tado por el último dato (61) ya que la media
tos ha disminuido en 7 puntos. de los siete primeros datos sería 35 / 7 = 5.
Por consiguiente, la media habrá dismi- La media es la medida de tendencia Como se ve, el valor 12 no representa real-
nuido en 7/20 = 0,35 puntos. central de mayor uso, puesto que: mente al conjunto de los ocho datos.
Obsérvese que la media depende di- • su cálculo es sencillo;
rectamente de la suma de todos los datos; • nos da una idea resumida y más Por su parte, la mediana también se ob-
y que su variación depende de la variación consistente del conjunto de datos (el tiene fácilmente y no está influida por los
de esta suma. promedio de sus valores); valores extremos, aunque tampoco nos dice
• varía en concordancia con los nada de cómo son en realidad los datos de
17. Un conjunto de 300 niños se reparte datos, en el sentido de que si todos ambas mitades de la distribución, ni acerca
en lotes de 10 niños. En cada lote, los niños los datos aumentan o disminuyen en de su variación con respecto a la mediana.
tienen exactamente las siguientes edades: 8 la misma cantidad, o se multiplican o
años (3 niños); 9 años (2 niños); 10 años (1 dividen por la misma cantidad, la me- Así, por ejemplo, observe que estos dos
niño); y 11 años (4 niños). ¿Cuál es la media dia queda afectada por la misma va- conjuntos ordenados de datos: {1, 3, 3, 3,
de las edades de los 300 niños? ¿Y la me- riación; 4, 14, 21, 27, 27, 27, 27} y {12, 12, 13, 14,
diana? ¿Y la moda? • suele decirse que es más estable 14, 15, 15, 16, 16} tienen la misma mediana
que la mediana; esto significa que si ex- (14), pero difieren significativamente entre
3.5. Las medidas de tendencia traemos diversas muestras de la misma sí.
central como representativas del población, las medias de estas diversas
conjunto de datos muestras se parecen más entre sí que las Finalmente, de la moda no hay mucho
medianas de las mismas muestras. más que decir, salvo insistir en su ambigüe-
Los ejercicios anteriores son, sin duda, dad: puede darse incluso el caso de que no
útiles para desarrollar destrezas en la apli- Pero, por otro lado, la media: represente a un valor del centro de la dis-
cación de los conceptos de las medidas de • no nos dice cuán variables son los tribución, sino extremo. Por ejemplo, en el
tendencia central, así como de los procesos datos, cómo difieren unos de otros; siguiente conjunto de datos: {11, 13, 16, 17,
para su obtención o transformación. Pero •corre el riesgo de dejarse influir por 18, 20, 20, 20}, la moda es 20, que repre-
podemos formularnos otra pregunta de ma- los valores extremos de la distribución, si senta al mayor de los datos.
yor interés: ¿Para qué se obtienen las medi- hay alguno(s) de ellos muy distante(s) de
das de tendencia central? los demás. Conocer las potencialidades y limitacio-
nes de cada uno de los valores centrales es
En principio, hemos dicho que son Así, por ejemplo, estos tres conjuntos de un prerrequisito necesario para poder res-
como representativas de todo el conjunto datos: {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}, {14, 14, 14, ponder a la pregunta del para qué se ob-
de datos, aun cuando cada una lo hace a 14, 14, 14, 14} y {2, 2, 2, 14, 26, 26, 26} tie- tienen las medidas de tendencia central, o
su manera. Lo que nos interesa es tener cri- nen la misma media (verifíquelo), pero son de su equivalente, cuál de los valores re-
terio para que, a la vista de cada variable completamente diferentes en la estructura presenta mejor al conjunto de datos. Pero
y de la distribución de sus datos, podamos de sus datos; la media no puede darnos una el condicionante principal de la respuesta
decidir cuál(es) de los tres valores resulta(n) idea de la variabilidad de los datos. está en el análisis de los requerimientos
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26. propios de cada situación, de la variable en tenemos un carro” (Gilbert Chesterton,
juego y de los datos recolectados. novelista inglés, 1874-1936)
4. Las medidas de
Supongamos que tenemos la distri-
bución de las edades de los alumnos del dispersión
salón de clase y que calculamos los valo-
res de sus medidas de tendencia central. Ya hemos visto que las medidas de
¿Qué significa la media de tales edades? tendencia central nos aportan información
¿Y la mediana? ¿Y la moda? ¿Alguna de acerca de la distribución de los datos de
estas medidas es más representativa del una variable; información importante y ne-
conjunto de edades que las demás? ¿O to- cesaria, pero no suficiente. Como dijimos y
das ellas tienen algo peculiar que aportar? pudimos verlo en algunos ejemplos y ejer-
cicios, ninguna de las medidas de tendencia
18. Para poder proceder a su posterior central, ni siquiera las tres juntas, pueden
dotación, acabamos de obtener la distri- ofrecernos el detalle de los datos, la varia-
bución de datos referentes a las tallas de bilidad presente en ellos.
zapatos, camisetas, pantalones y faldas de
todos los niños y niñas de la escuela. En En efecto, consideremos estos dos con-
cada una de estas cuatro distribuciones, juntos de datos ordenados, referentes a las
¿qué sentido tiene obtener la media de las calificaciones escolares de dos grupos de 20
tallas? ¿Y la mediana? ¿Y la moda? ¿Algu- alumnos (en una escala de 1 a 20 puntos):
na de estas medidas es más representativa
que las demás? ¿Podemos prescindir de Conjunto 1: {3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 10,
alguna(s) de estas medidas, tomando en 10, 10, 10, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18}
cuenta el objetivo de su recolección? Conjunto 2: {9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10,
10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12}
Invente una situación en la que Ud. va
a recabar unos datos y en la que la moda La media, la mediana y la moda de am-
sea el valor más representativo del con- bos conjuntos es la misma (10 puntos); y sin
junto. Análogamente para la mediana. Y, embargo, las distribuciones son muy dife-
finalmente, para la media. rentes. El segundo grupo de calificaciones
se presenta más homogéneo, las notas es-
Para concluir este punto, permítasenos tán más agrupadas; cosa que no ocurre en
presentar dos interpretaciones referentes al el primer conjunto, en el que la dispersión
promedio, una de carácter irónico y la otra, de las notas es muy marcada.
graciosamente distorsionada:
De modo que no basta con que intente-
“La Estadística es la ciencia que esta- mos caracterizar o resumir una distribución
blece que si mi vecino tiene dos carros de datos aportando sus medidas de tenden-
y yo no tengo ninguno, entonces los dos cia central; necesitamos también decir algo
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