Fracciones II Orden Y Operaciones

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Fracciones II Orden Y Operaciones

  1. 1. a c Serie Desarrollo del pensamiento matemático Nº 10 b d Fracciones II Orden y operaciones Martín Andonegui Zabala
  2. 2. 372.7 And. Fracciones Federación Internacional Fe y Alegría, 2006. 32 p.; 21,5 x 19 cm. ISBN: 980-6418-81-6 Matemáticas, Fracciones. 2
  3. 3. “Asumir la diversidad en los centros educativos pasa por reconocer al otro que tengo enfrente, que es diferente, con capacidades, deseos, inquietudes, intereses distintos; por tanto, la propuesta educativa nuestra debe asumir esa diversidad y estar en función de que cada uno alcance el desarrollo integral desde la propia identidad”. Beatriz García
  4. 4. Equipo editorial Beatriz Borjas Dimensión: Desarrollo del pensamiento matemático A modo de Serie: Fracciones II, número 10 Autor: Martín Andonegui Zabala Este libro se ha elaborado con el propósito de apoyar la práctica educativa de los cientos de educadores de Fe y Alegría. Su publicación se realizó en el marco del Programa Internacional de Formación de Educadores Popula- res desarrollado por la Federación Internacional Fe y Alegría desde el año 2001. Diseño y diagramación: Juan Bravo Portada e ilustraciones: Juan Bravo Corrección de textos: Beatriz Borjas, Carlos Guédez, Margarita Arribas Edita y distribuye: Federación Internacional Fe y Alegría. Esquina de Luneta, Edif. Centro Valores, piso 7, Altagracia, Caracas 1010-A,Venezuela. Teléfonos: (58) (212) 5631776 / 5632048 / 5647423 Fax (58) (212) 5645096 web: www.feyalegria.org © Federación Internacional Fe y Alegría Depósito Legal: lf 603-2006-510-1754 Caracas, mayo 2006 Publicación realizada con el apoyo de: Centro Magis Instituto Internacional para la Educación Superior en América Latina y el Caribe (IESALC) - Corporación Andina de Fomento (CAF)
  5. 5. introducción... ...y para desperezarnos un poco, ahí sos. Al cabo ¿Existe alguna fracción entre 9 y 8 ? 7 9 van unas cuestiones sencillas para en- de un mes, trar en materia y en calor. Tratemos de el vendedor 1. Indique cuáles de las siguientes expre- resolverlas antes de seguir adelante. le aplicó un siones no representan a la fracción 4/3: 30% de des- a) 1,333… b) 3 x 4 1 c) 1 + 3 1 Después de gastar 1/5 del sueldo en cuento; pero d) 1 3 e) 3 : 2 1 2 f) 3 : 2 g) 2 - 6 2 1 3 1 ropa, 1/4 en comida, 1/3 en alquiler y como seguía h) 133% 1/6 en otros gastos, me quedaron 120 sin venderse, pesos. ¿Cuál es mi sueldo? (*) decidió re- 2. ¿Cuántos libros hay en una bibliote- matarlo con ca, si al intentar sumar la mitad más Dada la suma de fracciones 1 + 1 + 1 2 4 6 un descuento la tercera y la cuarta parte de los + 1 + 10 + 12 , ¿cuáles sumandos deben 8 1 1 adicional del mismos nos excederíamos en 3 del suprimirse para que la suma de los 20% sobre el último precio. ¿Cuál fue total de los libros? restantes sea igual a 1? el precio definitivo de venta? Bien, ya tenemos nuestras respues- Interpole tres fracciones entre 1/4 y ¿Cuál de las siguientes cinco frac- tas, que iremos contrastando con las 1/2. ciones tiene el mayor valor: 7/8 indicaciones y ejercicios que planteare- 66/77 555/666 4444/5555 mos a lo largo de las siguientes líneas. En una tienda de ropa, un vestido 33333/44444? de señora se vendía por 1.200 pe- (*) Aviso a los navegantes: Las respuestas a los ejercicios precedidos por un número en negrita aparecen al final del Cuaderno. Las respuestas a los ejercicios que no se encuentran precedidos por un número son para que las construyas y las valides con tu grupo de trabajo. Para referirnos a las fracciones en su forma numérica habitual, utilizaremos los símbolos 7/8 ó bien 7 . 8 5
  6. 6. Y un segundo recordatorio: matemático pensando en cómo lo po- 4. Si el subconjunto de los 3/7 de un La sugerencia que proponíamos en demos llevar al aula. Para ello, tomar conjunto discreto está formado por el Cuaderno nº 1 y que siempre presidirá conciencia del proceso que seguimos 21 objetos, ¿cuántos objetos tiene los demás Cuadernos: vamos a estudiar para su construcción, paso a paso, así todo el conjunto? matemática, pero no lo vamos a hacer como de los elementos –cognitivos, como si fuéramos simplemente unos actitudinales, emocionales...– que se 5. Represente las siguientes fracciones alumnos que posteriormente van a ser presenten en dicho proceso. Porque en forma decimal: 19 ,15 , 22 4 7 27 evaluados, y ya. No. Nosotros somos a partir de esta experiencia reflexiva docentes –docentes de matemática como estudiantes, podremos enten- 6. Obtenga la fracción generatriz en su momento– y este rasgo debe ca- der y evaluar mejor el desempeño de irreducible de las siguientes expre- racterizar la forma de construir nuestro nuestros alumnos –a su nivel– ante los siones decimales: 2,0118 3,75 pensamiento matemático. ¿Qué signi- mismos temas. 0,48 0,53 fica esto? • En definitiva, entender que la 7. Resuelva los siguientes ejercicios de matemática es la base de su didáctica: conversión de fracciones entre los siste- • La presencia constante de la meta la forma en que se construye el cono- mas de representación que se indican: última de nuestro estudio: alcanzar unos cimiento matemático es una fuente a) 20/4 a decimal b) 250% a fracción niveles de conocimiento tecnológico y imprescindible a la hora de planificar y numérica c) 100% a decimal d) 20/5 reflexivo, lo cual debe abrir ese estudio desarrollar su enseñanza. a porcentaje e) 10 a porcentaje f) 3/5 hacia la búsqueda de aplicaciones de a porcentaje lo aprendido, hacia el análisis de los Y ahora, vamos al tema de este Cua- sistemas que dan forma a nuestra vida derno, el orden de las fracciones y las 8. Halle la fracción irreducible en cada y utilizan ese conocimiento matemático, posibles operaciones entre ellas. caso: 56 , 120 , 12 32 168 8 y hacia criterios sociales y éticos para juzgarlos. 1. Un repaso al Cuaderno nº 9... 9. Determine si los siguientes pares de En razón de la continuidad temática fracciones son equivalentes: • Construir el conocer de cada tópico con el Cuaderno anterior, empezaremos y 55 9 90 15 y 42 128 112 48 matemático pensando en cómo lo ense- por proponer unos ejercicios como ñamos en el aula, además de reflexionar recordatorio de algunas cuestiones úti- Calcule mentalmente las expresiones acerca de cómo nuestro conocer limita les para el contenido que se expondrá decimales correspondientes a las frac- y condiciona nuestro trabajo docente. después. ciones siguientes: 5 , 20 , 18 , 11 , 9 , 13 , 0 6 9 10 4 2 20 5 De esta forma, integrar nuestra práctica docente en nuestro estudio. 3. Escriba las fracciones mixtas corres- Calcule mentalmente las fracciones pondientes a las fracciones impropias: numéricas irreducibles correspondientes • Como complemento de lo anterior, , , 7 19 21 5 6 2 a las expresiones decimales siguientes: construir el conocer de cada tópico 0,35; 2,2; 1,25; 2,5; 2,8; 0,15 6
  7. 7. Estime el valor de las siguientes frac- Tomemos el ejemplo de las fracciones ciones, aproximándolas a fracciones 1 4 y 11. En principio no sabemos “dónde 3 numéricas más sencillas: 100 ; 1,48; 119 ; 29 19 hay más”, pero la vía de averiguación 76 31 ; 0,31 luce evidente: llevemos las dos fraccio- nes a un denominador común. 2. El orden de las fracciones Ordenar fracciones de acuerdo con su valor no es algo complicado. Si éstas La magia del denominador común vienen dadas en los sistemas de repre- sentación decimal, porcentual o punto Reducir dos fracciones a un denomina- En el ejemplo anterior ( 11 y 4 ), para buscar 3 1 sobre la recta, el asunto está resuelto: dor común consiste en hallar un par de las fracciones equivalentes hallamos prime- sólo hay que saber ver (puntos sobre fracciones respectivamente equivalentes a ro el denominador común: m.m.c.(11, 4) = la recta) o comparar números enteros cada una de ellas y que posean el mismo 44. El factor de amplificación para la primera (porcentajes) o decimales. denominador. La prioridad está, pues, en la fracción es 44 : 11 = 4, y para la segunda, 44 búsqueda de ese denominador. Por lo que : 4 = 11. Los respectivos numeradores serán: Si las fracciones vienen expresadas dijimos en el Cuaderno anterior acerca de 4 x 3 = 12, y 11 x 1 = 11. Las dos fracciones en cualquier otro sistema, la manera más las fracciones equivalentes, ese denominador equivalentes son, respectivamente, 12 y 44. 44 11 sencilla de determinar cuál es la mayor común debe ser fruto de una amplificación Ahora se “ve” que 3/11 es mayor que 1/4. de dos dadas es –como ya lo decíamos de los dos dados (o, al menos, de uno de en el Cuaderno anterior– traducirlas a ellos), lo que significa que ha de ser múltiplo No siempre el m.m.c. de los dos deno- su expresión decimal y decidir en con- de ambos. Es decir, común. El primero que minadores coincide con su producto (ya secuencia. De todas formas, vamos a satisface la condición de ser múltiplo común sabemos que esto sólo ocurre cuando los explorar algún otro procedimiento –den- es, precisamente, el mínimo múltiplo común. dos números son primos relativos, como tro del propio sistema de representación Por consiguiente, el denominador común vimos en el Cuaderno nº 8). Por ejemplo, numérico– para el caso de fracciones más pequeño es el mínimo múltiplo común para el caso de 12 y 15, se tiene: m.m.c.(12, 7 28 expresadas en este sistema. de los dos denominadores dados. 28) = 84. El factor de amplificación para la primera fracción es 84 : 12 = 7, y para Si las fracciones poseen el mismo Al dividir ese denominador común entre la segunda, 84 : 28 = 3. Los respectivos denominador, tampoco hay problema cada uno de los denominadores iniciales numeradores serán: 7 x 7 = 49, y 3 x 15 alguno: basta comparar los numeradores logramos descubrir cuál es el factor de = 45. Las dos fracciones equivalentes son, y decidir en consecuencia. Así, 6/13 es amplificación que se va a utilizar en cada respectivamente, 84 y 45 .Y “se ve” que 7/12 49 84 mayor que 5/13 porque en la primera fracción. Si ahora lo aplicamos a los respec- es mayor que 15/28. se consideran más partes congruentes tivos numeradores, conseguiremos las dos del todo que en la segunda. El problema fracciones equivalentes a las dos iniciales, y También puede darse el caso de que uno puede presentarse cuando las fraccio- con un denominador común. de los denominadores sea múltiplo del nes poseen denominadores distintos. 7
  8. 8. otro, con lo cual el primero pasa a ser el suficiente. Si se utilizan denominadores más denominador común. Por ejemplo, para el “amplios” (múltiplos del m.m.c.), llegaremos caso de 4 y 23 se tiene: m.m.c.(4, 32) = 32. 3 32 a fracciones equivalentes más abultadas, más El factor de amplificación para la primera “molestas” para manejar... fracción es 32 : 4 = 8, y para la segunda, 1. Los respectivos numeradores serán: 8 x Por ejemplo, en el caso de 4 y 23 , si se toma 3 32 3 = 24, y 1 x 23 = 23. Las dos fracciones por denominador común el producto 4 x equivalentes son, respectivamente, 24 y 23 . 32 32 32 = 128, el factor de amplificación para la “Se ve” que 3/4 es mayor que 23/32. primera fracción sería 128 : 4 = 32, y para la segunda, 128 : 32 = 4. Los respectivos La búsqueda de fracciones equivalentes a numeradores serían: 32 x 3 = 96, y 4 x 23 dos (o más) dadas es una actividad muy = 92. Las dos fracciones equivalentes serían, útil para tareas como comparar (la que nos ni exclusivamente, sin otra explicación. Esta respectivamente,128 y128. Se sigue viendo que 96 92 ocupa ahora), sumar o restar fracciones o presentación sólo memorística y formulista 3/4 es mayor que 23/32, pero los cálculos resolver problemas que impliquen el uso de no lleva al encuentro con la verdadera han sido algo más engorrosos y las fraccio- fracciones (como veremos más adelante); matemática... nes finales más abultadas. Imaginemos si se debe, pues, convertirse en algo muy familiar, tratara de denominadores aún mayores... casi rutinario, pero sin que esto implique Una última consideración acerca de la ra- perder el sentido de lo que se hace. zón por la que se sugiere acudir siempre al Y ya que hablamos de economía, tampoco mecanismo de la búsqueda del m.m.c. de está de sobra advertir que si las fracciones Por ello se sugiere utilizar el mecanismo de los denominadores, y no conformarse con que se desea ordenar no vienen en for- la búsqueda del m.m.c. de los denominado- (y tener que “cargar”) múltiplos mayores: mato irreducible, conviene llevarlas a tal res dados, y de los respectivos factores de por economía. Por ejemplo, cuando se trata formato. Así, por ejemplo, para comparar 2016 amplificación, y no reglas memorísticas (por de mangos y de naranjas, el denominador y 36, lo primero que hacemos es observar 27 ejemplo,“para comparar b y d , se multiplican a c común inmediato es “frutas”; otro denomina- que ambas son reducibles, simplificables: la a x d y b x c y se comparan ambos produc- dor más “amplio”, que incluye al anterior, sería primera se reduce a 4/5, y la segunda a 3/4. tos: si a x d > b x c, entonces ab > d ; si a x d c “productos vegetales”; y otro, todavía más Ahora sí se puede buscar el denominador < b x c, entonces b < d ; y si a x d = b x c, a c amplio, sería “objetos de la naturaleza”. Si no común, que será 20 (y no 180, como se entonces b y d son equivalentes”). Reglas a c hay requerimientos agregados, es suficiente y hubiera obtenido al calcular m.m.c.(20, como éstas deben aparecer posteriormen- más preciso el denominador frutas. 36)...), y continuar. Sin olvidar nunca que te, al ser descubiertas y dotadas de signi- disponemos del recurso de comparación ficado por los que aprenden una vez que Lo mismo ocurre con el denominador de los decimales correspondientes, que en entiendan el porqué de los procedimientos; obtenido por la vía del m.m.c. de los este caso nos dice que 27/36 (3/4 = 0,75) pero no deben ser enseñadas al comienzo, denominadores dados: es más preciso y es menor que 16/20 (4/5 = 0,8). 8
  9. 9. Justifique la regla mencionada anteriormen- Quizá la resolución del último ejer- El hecho de que siempre existan te: “Para comparar a y d , se multiplican a x b c cicio nos está llevando a preguntarnos infinitas fracciones entre dos dadas, por d y b x c y se comparan ambos productos: si las fracciones pueden estar tan “pe- muy próximas que parezcan –es decir, si a x d > b x c, entonces b > d ; si a x d a c gadas” unas de otras como uno pudiera que no haya “huecos” entre cualquier < b x c, entonces b < d ; y si a x d = b x c, a c imaginar; en otras palabras, que si doy par de fracciones–, es una propiedad entonces a y d son equivalentes”. Ayúdese b c dos fracciones muy próximas, siempre que recibe el nombre de densidad del con el recurso de reducir las fracciones b y a puedo ubicar otra en medio de ambas. conjunto de las fracciones. Esto, evi- c d al denominador común b x d. Esto es lo que planteaba uno de los ejer- dentemente, no existía en el conjunto cicios propuestos al comienzo: de los números naturales. 10. En cada par de fracciones decida cuál es la mayor: 13 y 3 ; 21 y 10 ; 0,45 y 11. 20 2 8 26 5 A veces se desea introducir un nú- Utilice el procedimiento que desee. ¿Existe alguna fracción entre y ?7 9 8 9 mero determinado de fracciones entre dos dadas, pero, además, que queden a Aparentemente, pareciera que no. Pero ya “distancias” iguales unas de otras. Esta ¿Cuál de las siguientes fracciones tiene sabemos que tenemos el recurso de los actividad recibe el nombre de interpola- mayor valor: 8 , 77 , 666 , 5555 , 44444 ? 7 66 555 4444 33333 otros sistemas de representación para ver ción de fracciones. En el último ejercicio más allá de las limitaciones de cada sistema hemos visto la forma de resolver este Este es un caso típico en el que, antes de en particular. Así, llevadas a su expresión problema si las dos fracciones extremas proceder, hay que llevar todas las fraccio- decimal, estamos preguntando si existe se presentan con el mismo denomina- nes a irreducibles. Así transformadas, las alguna fracción entre 0,7 y 0,8. Y vemos dor. Vamos a uno de los casos propues- fracciones son, respectivamente: 8 , 6 , 6 ,4 y 7 5 7 5 que hay… infinitas. Por ejemplo: 0,78; 0,78; tos al comienzo del Cuaderno: 3 . El recurso a los decimales nos permite 4 0,79; 0,791; 0,8; 0,83; 0,85; etc. Y si lo de- asegurar que la fracción mayor es 7/8. seamos, podemos expresarlas también en Ordene de menor a mayor las siguien- la forma numérica; así, por ejemplo, las tres Interpole tres fracciones entre 1/4 tes fracciones: 1 ; 0,31; 14 ; 31 y 3 3 45 99 10 últimas: 4 , 5 , 17 . 5 6 20 y 1/2. Otra forma de visualizarlo es amplificando La presencia de tantas fracciones y de algu- ambas fracciones; por ejemplo, llegando a Primero, trataremos de llevar las dos frac- nos denominadores tan altos, nos sugiere 14 18 y 18 , lo que nos permite ubicar en me- 16 ciones a expresiones equivalentes con un la utilización de las expresiones decimales dio la fracción 18 (justamente 5 ). Pero si el 15 6 denominador común. Aquí la tarea es sen- para todas las fracciones, antes que la bús- factor de amplificación hubiera sido 5 ( 35 y 45 cilla: 1/4 y 2/4. Como nos solicitan interpolar queda de un denominador común. Estas 40 45 ), contaríamos a la vista con 4 fracciones tres fracciones, utilizaremos 4 como factor expresiones decimales son: 1/3 = 0,3; 0,31; intermedias: 36 (justamente 4 ), 37 , 38 y 45 . Es 45 5 45 45 39 de amplificación de ambas fracciones, que 14/45 = 0,31; 31/99 = 0,31; 3/10 = 0,3. Y otra manera de ver que existen infinitas pasan a ser: 16 y 16 . Las fracciones a inter- 4 8 ordenadas de menor a mayor: 3/10 < 0,31 fracciones intermedias. polar son, pues: 16 , 16 , (ó 8 ) y 16 . 5 6 3 7 < 14/45 < 31/99 < 1/3. 9
  10. 10. Para culminar esta parte, vamos a 1. Situaciones de agrupar, reunir, 3.2. Sumar fracciones dejar establecido que entre dos frac- juntar... lo que aportan varios en siete sistemas ciones cualesquiera siempre existe simultáneamente. de representación... una relación de orden: cualquiera de 2. Situaciones de agregar, añadir... De nuevo la diversidad. Es decir, la ellas siempre es menor, igual o mayor algo a lo que ya existe. posibilidad de efectuar la operación en que la otra. cualquier sistema y, en particular, en el Estas situaciones suelen venir que resulte más cómodo en cada caso. 3. La suma de fracciones caracterizadas –en la interpretación Pero primero veamos cómo se suma al De entrada digamos que como la verbal que de ellas hace el sujeto– por interior de cada sistema de represen- fracción se presenta como “número verbos tales como recibir, agregar, ga- tación. que mide el número de veces que la nar, reunir, adquirir, obtener, acumular, parte está contenida en el todo, con- guardar... y otros similares. En estas a) Decimal: Simplemente se su- siderado éste como la unidad”, resulta circunstancias, la operación aritméti- man las cantidades decimales. Es un bastante espontáneo establecer una ca de la adición nos ayuda a llegar al método muy sencillo y directo para el aritmética de las fracciones, es decir, resultado de calcular el total de las can- caso de expresiones decimales exac- considerar las operaciones aritméticas tidades recibidas, agregadas, ganadas, tas; por ejemplo, 0,5 + 0,208 + 1,25 aplicadas a las fracciones. En este sen- reunidas, etc.” = 1,958. En el caso de expresiones tido y como en el caso de los números periódicas, hay que sumar con más naturales, antes de establecer los pro- Hasta aquí un extracto de lo expre- cuidado, porque el resultado será cedimientos o algoritmos operativos sado en el Cuaderno nº 3; todo ello es probablemente otra expresión decimal necesitaremos dotar de sentido a cada válido también en el caso de las frac- periódica. operación. ciones, con la salvedad de que lo que ahora se agrega o reúne son partes de Por ejemplo: 0,3 + 0,83 = 0,3333… 3.1. ¿Qué significa un todo. Así, 2 + 1 es la operación que 3 5 + 0,8333… = 1,1666… = 1,16. Es sumar fracciones? sirve de modelo para una situación en decir, se trata de extender suficiente- la que, por ejemplo, estamos reunien- mente los decimales de los períodos, ¿Qué significa una expresión como do 2/3 de una pieza de tela con 1/5 sumar, y tratar de ver qué nueva frac- 2 3 + ? Evidentemente, no podemos ha- 1 5 de la misma pieza (u otra similar), y ción periódica se genera. Así: 0,127 + blar del “cardinal del conjunto unión...” deseamos tener una “medida” del total 2,1534 = 0,1272727… + 2,153434…= tal como lo hacíamos para la adición reunido, medida expresada también 2,280707… = 2,2807. Pero si se encuen- de números naturales en el Cuader- en términos de fracción de la pieza tran dificultades para ello, es preferible no nº 3. Pero sí podemos recoger el completa de tela. pasar los sumandos a la forma numérica sentido de la suma “como un modelo y proceder como se dirá luego. de situaciones de la vida diaria, o de situaciones lúdicas, o de otras áreas b) Porcentual: Se suman los porcen- del saber: tajes. Por ejemplo, 40% + 35% = 75%. 10
  11. 11. c) Punto sobre la recta: Se toman cisieteavos (porciones obtenidas al di- El problema consiste en encontrar los segmentos que van del origen a cada vidir un todo en 17 partes congruentes) una cuadrícula de tamaño menor a las uno de los puntos señalados, se conca- con otros 15 diecisieteavos, lo que me correspondientes a 1/3 y 1/5, que en- tenan sobre la recta a partir del origen y produce un total de 20 de éstos. Pero caje un número de veces exacto en 1/3 se marca el punto extremo del segmento para el caso de la suma 2 + 5 , primero 1 3 y otro número de veces exacto en 1/5. suma. No es recomendable trabajar en debo reducir ambas fracciones a un Esto se consigue si la cuadrícula 1/3 este sistema por el riesgo de imprecisión denominador común –tal como se hizo se divide en 5 partes congruentes y la al manejar los segmentos (al medirlos y antes– y luego proceder a sumar los cuadrícula 1/5 en 3 partes congruentes: transportarlos). numeradores: 1 + 5 = 10 + 10 = 11 . Análo- 2 3 5 6 10 en ambos casos se conseguirá una cua- gamente, 16 + 36 = 5 + 3 = 20 + 15 = 31 (111 , 20 27 4 4 16 20 20 20 drícula del tamaño 1/15 del todo: Obsérvese que en los tres sistemas como fracción mixta). anteriores la suma es directa, ya que en 1/3 dividido en 5 partes congruentes: ellos no existe la equivalencia interna de Buscar el denominador común de fracciones y, por consiguiente, los su- dos fracciones para proceder a su suma mandos no admiten transformaciones. no es, pues, solamente una técnica o 1/5 dividido en 3 partes congruentes: método para sumar, sino prioritariamen- d) Numérico (y verbal asociado): te una necesidad teórica: si no existe Este es el caso que habitualmente (y un denominador común, la suma no casi siempre, únicamente) se presenta es posible en el sistema numérico de Y como puede observarse, las cua- en los textos. Vamos a trabajarlo con representación de las fracciones. drículas de tamaño menor coinciden más detalle. En primer lugar –y puesto en ambos casos y representan 1/15 de que ahora aparecen denominadores–, e) Gráfico continuo: En este sis- la figura total. Ahora los sumandos se recordemos lo expresado para tal situa- tema también hay que contar con un transforman en: ción al hablar de la suma de números mismo tipo de división del todo (un naturales (Cuaderno nº 3): puedo sumar mismo número de partes congruentes) 3 piñas con 5 piñas para tener 8 piñas, en cada una de las fracciones. Si éstas porque ambos sumandos poseen el mis- no lo tienen inicialmente, hay que pasar mo denominador. Pero si quiero sumar 3 a expresiones gráficas equivalentes. piñas con 5 naranjas, no puedo llegar Y la suma, agrupada sobre el gráfico a un resultado único a no ser que halle Por ejemplo, para sumar 1 3 + 1 5 , la de una sola unidad, es 8/15: un denominador común para ambos situación gráfica sería: sumandos, que puede ser frutas: tengo, en total, 8 frutas. Como puede observarse, el procedi- miento “dibuja” lo que hacemos cuando Así, la suma 17+ 15 da como resultado 5 17 sumamos en el sistema numérico a/b 20/17, ya que estoy agrupando 5 die- y tiene esa virtud visualizadora. Pero 11
  12. 12. –una vez asimilado el procedimiento Esta ambigüedad de la suma en el Y ahora veamos algunas situaciones y su significado– también se pueden sistema de representación gráfico dis- particulares: pasar las fracciones gráficas a la forma creto se debe al manejo de cantidades a/b, sumar en este sistema y devolver discretas, las cuales “arrastran” hacia la la respuesta en forma gráfica, si así nos aplicación de la suma de números natu- La suma de un entero más una fracción interesa. rales, perdiéndose de vista la situación puede facilitarse si nos familiarizamos con de fracciones. Por eso es preferible, si los las diversas formas que pueden adoptar los f) Gráfico discreto: Este sistema sumandos se presentan en este sistema, enteros como fracciones cuyo numerador no se presta con tanta claridad para pasarlos al sistema numérico, sumarlos es múltiplo del denominador. Así, 1 + 12 pue- 5 representar la suma de fracciones y dentro de éste y, si así se requiere, pasar de pasarse inmediatamente a 12 +12, es decir, 12 5 puede conducir a resultados erróneos. la respuesta de nuevo al sistema gráfico 17 12 . Análogamente, 5 + 4 = 35 + 4 = 39 . 7 7 7 7 En efecto, en la suma 1 + 1 , los suman- 3 5 discreto. dos (el número de • respecto al total de Las fracciones mixtas pueden verse como objetos) vendrían representados, por En resumen, vemos cómo se suma la suma de la parte entera y de la fracción ejemplo y respectivamente, por: en cinco de los siete sistemas de repre- propia. Así, 3 5 equivale a 3 + 5 ó a 15 + 2 2 5 sentación (excluimos el verbal, por su 2 5 = 5 . Esta es la manera de pasar de una 17 • ✺ ✺ • ✺ ✺ dependencia inmediata del numérico, y fracción mixta a una impropia. ✺ • ✺ ✺ ✺ el gráfico discreto por su ambigüedad). El de uso más sencillo, aunque limitado Efectúe la suma: 13 + 23 5 6 Al efectuar la suma –entendida como en su aplicación, es el porcentual. Entre agrupación– uno tendería a reunir todos los cuatro restantes –aplicables a cual- En el sistema numérico se tiene: denomi- los objetos en un solo conjunto: quier tipo de fracciones–, el de acceso nador común = m.m.c.(5, 6) = 30. El factor más rápido a la respuesta es el decimal; de amplificación para la primera fracción • ✺ ✺ • ✺ ✺ y el que más se ha promocionado tra- es 6, y para la segunda, 5. Los respectivos ✺ ✺ ✺ • ✺ dicionalmente, el numérico. En el caso numeradores serán: 6 x 13 = 78, y 5 x 23 de los dos sistemas restantes (gráfico = 115. Las dos fracciones equivalentes son, lo que ofrecería la visualización enga- continuo y punto sobre la recta), es respectivamente, 78/30 y 115/30. Así: 13 + 5 ñosa de la fracción 3/11 como resultado preferible llevarlos a la forma numérica 23 6 = 30 + 115 = 193 . Si hubiéramos llevado las 78 30 30 de la “suma”. Obsérvese además, que si y proceder a sumar en ella. fracciones a la forma decimal, tendríamos: para designar 1/3 hubiéramos dibujado 13/5 = 2,6 y 23/6 = 3,83, cuya suma es un • y dos ✺, tendríamos en la agrupa- 11. Efectúe las siguientes sumas de 6,43. La expresión numérica de 6,43 es: ción final la fracción correspondiente a fracciones (hágalo como lo desee): 643 - 64 90 = 579 = 193 . 90 30 2/8, de modo que la suma dependería de a) 3 + 5 b) 1,5 + 2,3 c) 3 + 16 2 4 5 9 las diversas representaciones de cada d) 7 + 0,08 e) 2 + 3 + 6 3 1 1 1 Pero hay todavía otra forma de efectuar la sumando, con lo que no se garantizaría f) 5 + 4 +20 1 3 1 suma, llevando los sumandos a la forma de un único resultado final. 12
  13. 13. última suma y como denominador, el fracción mixta: 2 5 + 3 5 = 2 + 3 + 3 + 5 = 5 3 6 5 6 ¿Cuál es el resultado de la suma 0,3 denominador común hallado. + 3 + 5 . Ahora se trata de sumar estas dos 5 6 + 0,6? fracciones ( 3 + 5 = 18 + 25 = 43 = 1 + 13 ) y 5 6 30 30 30 30 Como hemos dicho en otras opor- agregar 5 unidades. El resultado final es 6 + Sumadas como expresiones decimales, el tunidades, esta regla (o alguna otra 13 30 = 180 + 30 = 193. Como vemos, se presen- 30 13 30 resultado es: 0,3 + 0,6 = 0,333… + 0,666… similar, como aquella de “se multiplica tan tres formas de efectuar la suma: ¿cuál = 0,999… = 0,9. Ahora bien, si al inicio hu- en cruz, etc.”) no debe darse inicial- considera como la mejor para usted? biéramos pasado a la forma numérica (0,3 mente, y menos sin explicación alguna. = 3/9 = 1/3 y 0,6 = 6/9 = 2/3) tendríamos: Lo ideal es proceder como lo hemos Es importante familiarizarse con los resul- 0,3 + 0,6 = 1 + 3 = 3 = 1. Ambas respuestas 3 2 3 hecho aquí, ofreciendo las alternativas tados de las sumas de las fracciones más (0,9 y 1) son válidas pues, como vimos en de los sistemas de representación y, en habituales. Por ejemplo, 2 + 4 = 4 ó 1 + 1 + 1 1 3 2 4 el Cuaderno anterior, representan el mismo el caso del sistema numérico, justifi- 1 8 = 8 , resultados a los que se puede llegar 7 valor: la unidad. cando la absoluta necesidad de sumar mediante un cálculo mental, bien sea mane- fracciones con igual denominador. La jando los decimales asociados o buscando el regla, en todo caso, debe ser descubier- denominador común. Así, para el segundo Llegue al mismo resultado del ejer- ta después por los mismos aprendices, ejemplo, 2 + 4 + 8 = 0,5 + 0,25 + 0,125 = 1 1 1 cicio anterior sumando 3/11 y 8/11 expresada con sus propias palabras y 0,875 = 7/8; o también: 1 + 1 + 8 = 8 + 8 + 2 4 1 4 2 como fracciones numéricas y como dotada de significado por ellos mismos. 1 8 = 7 . El ejercicio de este cálculo mental 8 fracciones decimales.Y análogamente, Sólo así se justifica su formulación y con fracciones debe ser uno de nuestros con 2/7 y 5/7. su uso. objetivos de aprendizaje y debe ponerse en práctica en lo posible. 3.3. ¿Y la regla para sumar A partir de los contenidos desarro- fracciones? llados hasta ahora, justifique todas Algún(a) lector(a) debe estar pen- las “reglas para sumar fracciones” Realice mentalmente las sumas de las sando que se nos está olvidando lo más que pueda encontrar en diversos siguientes fracciones: “importante”, lo que no debe faltar: el libros de texto. Formule ahora, 1 2 + 1 + 6 ; 5 + 4 + 20 ; 1 + 8 ; 1 + 4 + 20 ; 2 3 1 3 1 3 2 3 5 3 1 1 algoritmo para sumar fracciones, el además, una regla para el caso de + 4 + 6 + 12 ; 3 + 6 ; 5 + 3 + 15 1 1 1 2 1 3 1 1 que aparece en todos los libros, el que la suma de tres o más fracciones y aprendimos desde siempre: Para sumar justifíquela. a b + d se busca como denominador común c el m.m.c.(b, d); se divide este número 3.4. Las propiedades de la suma entre b y el resultado se multiplica por a; de fracciones se divide después entre d y el resultado Son similares a las que posee la suma se multiplica por c; se suman los dos de números naturales (ver Cuaderno productos anteriores. Así, a + d es una b c nº 3), sólo que los sumandos son ahora fracción que tiene como numerador la fracciones: 13
  14. 14. a) Conmutativa: El orden en que sumando 1/2 + 1/4 llegamos a 3/4. Nos 2. Situaciones de averiguar cuánto se consideran dos sumandos no falta 1/4 para completar la unidad. Pero 1 + 8 falta para llegar a determinada modifica su suma. 1 10 no da ese valor. En cambio, 1 + 12 es igual 6 1 cantidad. a 12 + 12 = 12 = 4 . Por consiguiente, deben 2 1 3 1 3. Situaciones de comparar dos can- b) Asociativa: Si hay más de dos suprimirse 8 y 10 . 1 1 tidades, en el sentido de calcular sumandos, el orden progresivo cuánto tiene una de más o de en que “entran” en la suma es De más está decir que todo este proceso es menos con respecto a la otra. indiferente: el resultado siempre fruto de la observación y del ensayo... Evi- es el mismo. dentemente, siempre queda el recurso de Estas situaciones suelen venir ca- efectuar la suma buscando un denominador racterizadas –en la interpretación verbal c) Existencia de elemento neutro: común y decidiendo después los sumandos que de ellas hace el sujeto– por verbos Es decir, la fracción 0; cuando que deben eliminarse. Pero también vemos tales como quitar, sacar, reducir, elimi- se suma a una fracción, ésta no cómo la intuición, el ensayo y la familiaridad nar, quedar, sustraer, perder, pagar, re- varía. con las fracciones y el cálculo mental, resul- galar, faltar, exceder... y otros similares. tan exitosos... y económicos. En estas circunstancias, la operación Y es válido el comentario que ha- aritmética de la sustracción nos ayuda cíamos entonces: “Las propiedades a llegar al resultado de calcular lo que de la suma no son simplemente para 12. Si m n + 6 8 = 4 , ¿cuánto vale m? ¿Y 3 queda después de quitar, lo que falta aprenderlas –porque forman parte de n? para llegar al total, en cuánto una can- lo que hay que saber–, sino sobre todo tidad excede a otra, etc.”. para utilizarlas. Porque las propiedades 13. Utilice su capacidad de observación y están ahí para facilitarnos la operación las propiedades de la suma de fracciones Hasta aquí la cita del Cuaderno nº 4, de la suma, para darnos mayor libertad para calcular mentalmente el valor de: 13 cita cuyo contenido sigue siendo válido, a la hora de sumar” (Cuaderno nº 3). + 10 + 1 + 2 + 5 + 4 + 2 + 1 + 1 . 4 5 8 2 1 6 2 3 con la salvedad de que lo que ahora se quita o compara son partes de un todo. Así, 3 – 1 es la operación que sirve de 2 5 Dada la suma de fracciones 2 + 4 + 1 + 1 1 1 6 8 4. La sustracción modelo para una situación en la que, + 10 + 12 , ¿cuáles sumandos deben supri- 1 1 de fracciones por ejemplo, tenemos 2/3 de una pieza mirse para que la suma de los restantes Al igual que la suma, la sustracción de tela y estamos cortando de ese retal sea igual a 1? también puede ser vista “como un mo- el equivalente a 1/5 de la pieza total, y delo de situaciones de la vida diaria, o deseamos tener una “medida” de la par- Vamos a apoyarnos en las facilidades que de situaciones lúdicas, o de otras áreas te restante en forma de fracción. O para nos dan las propiedades conmutativa y del saber: la situación en la que disponemos de asociativa –en cuanto que podemos sumar dos retales, cuyas magnitudes son 2/3 en el orden que mejor nos convenga– y 1. Situaciones de quitar de una can- y 1/5 de una pieza de tela, y queremos en la familiaridad con las fracciones. Así, tidad dada y ver cuánto queda. saber cuánta tela de más –medida en 14
  15. 15. términos de “parte del todo”– tiene el Si la altura primer retal respecto al segundo. Lo que Efectúe la resta 3 2 – 2 6 5 5 total de la sí debe tomarse en cuenta es que, de casa es de manera análoga al caso de los números Como ya sabemos, las fracciones mixtas im- 7 4 m, ¿cuál 3 naturales, la fracción que actúe como plican una suma de un entero y una fracción es la altura minuendo no puede ser menor que la propia: 3 2 = 3 + 5 , y 2 6 = 2 + 5 . Alguien 5 2 5 6 del tercer piso? que se considere como sustraendo. pudiera pensar que la operación solicitada se resuelve restando las partes enteras 16. ¿Cuál es la diferencia, expresada La resta de fracciones puede ope- entre sí, e igualmente las fracciones propias. en kg, entre 3/4 y 4/5 de una tonelada rarse también en cualquiera de los Esta vía es válida cuando esta última resta métrica? sistemas de representación, con las (la de las fracciones propias) queda definida, mismas consideraciones que hacíamos cosa que no ocurre ahora: no podemos 17. Diana tiene al referirnos a la suma de fracciones. restar 5 – 6 , ya que 2 < 6 . 2 5 5 5 17 1/4 años de Para consolidar nuestros conoci- Una de las salidas sería pasar ambas frac- edad. ¿Cuántos mientos, tratemos de resolver estos ciones a su forma impropia ( 3 2 = 17 y 2 5 5 años tiene su ejercicios: 5 6 = 17 ) y restar 17 – 17 . Otra vía puede ser 6 5 6 hermana, si es 2 llevar ambas fracciones a decimales (17/5 3/4 años más joven que Diana? 14. Efectúe las siguientes restas de frac- = 3,4 y 17/6 = 2,83) y restar 3,4 – 2,83. ciones (hágalo como lo desee): Finalmente, otro camino puede consistir 18. ¿Qué fracción debe añadirse a 5/6 a) 2 – 5 b) 6 – 3 c) 16 – 3 3 1 7 2 9 5 en que, en la fracción 3 2 , el entero ceda 5 para llegar a 15/16? ¿Será 10/10? d) 2,3 – 1,45 e) 4 – 2 f) 10 – 15 27 13 6 9 una unidad (en forma de 5/5) a 2/5 y la fracción 3 2 se convierta en 2 5 ; ahora 5 7 Como en el caso de la suma, la sería posible restar 2 5 – 2 6 : la diferencia 7 5 5. La multiplicación resta de un entero menos una fracción de los enteros es 0, y toda la resta queda de fracciones (y viceversa) puede facilitarse si nos reducida a 7 – 6 = 42 – 25 = 17 . ¿Cuál de 5 5 30 30 30 ¿Qué puede significar ahora una familiarizamos con las diversas formas las tres vías le parece más sencilla para expresión como 2 x 1 ? Evidentemente, 5 3 que pueden adoptar los enteros como su uso? no podemos hablar del “cardinal del fracciones cuyo numerador es múltiplo conjunto producto cartesiano de dos del denominador. Así, 1 – 12 puede pa- 5 conjuntos...” tal como lo hacíamos para sarse inmediatamente a 12 –12 , es decir, 12 5 Efectúe mentalmente las siguientes res- la multiplicación de números naturales 7/12. Análogamente, 5 – 7 = 7 – 7 = 31 . O 4 35 4 7 tas de fracciones: en el Cuaderno nº 5. En realidad, son bien, 23 – 2 = 23 – 16 = 8 . A este respecto, 8 8 8 7 1 4 – 12 ; 2 – 8 ; 6 – 2 ; 3 – 1 ; 8 – 4 ; 12 – 3 ; 1 1 3 5 3 1 5 9 3 11 2 pocas las cosas del ámbito de la multi- conviene también habituarse a ver las 5 5 – 3 10 3 1 plicación de esos números que podemos fracciones como próximas a números mantener ahora. Quizá, la referencia a la enteros. Así, por ejemplo, 3/4 = 1 – 1/4; 15. En una casa de tres pisos, los dos idea de que multiplicar es “reiterar una 7 9 = 1 – 9 ; 15 = 2 – 1 , etc. 2 8 8 primeros juntos miden 5 1 m de altura. 8 cantidad un determinado número de 15
  16. 16. veces”, pero con ciertas limitaciones, manales de una determinada materia se 2 x 7 puede entenderse como “el como veremos. han dado en clase (cinco días), a razón de doble de 7”, que es 14 3/4 de hora diarios (Llinares y Sánchez, 1/2 x 5 puede entenderse como “la Otra de las restricciones que impo- 1988). Su resolución lleva –según estos mitad de 5”, que es 5/2 ne este tema es la de los sistemas de autores– a la suma 3/4 + 3/4 + 3/4 + 1 3 x 12 puede entenderse como “el representación en los que cabe efectuar 3/4 + 3/4 = 3 + 3 + 4 + 3 + 3 = 5 x 3 = 15 , que 3 4 4 tercio (la tercera parte) de 12”, que la multiplicación de fracciones. Una re- equivale a haber multiplicado 5 x 3 es 4 visión reduce tales sistemas al decimal, para llegar al numerador de la nueva 2 3 x 12 puede entenderse como “el al numérico y al gráfico continuo. No hay fracción, en la que el denominador se doble de 1 de 12”, es decir, “el doble 3 dificultades para la multiplicación de ex- mantiene. Esto significa que puede de 4”, que es 8 presiones decimales exactas (sí para las entenderse directamente la multipli- periódicas...), así que nos centraremos cación como “5 veces 3 cuartos”, al Lo que nos interesa recalcar por en el sistema numérico, sistema en el modo de “5 veces 3 sillas”, lo que nos ahora es que –como en el caso de los que habitualmente –por no decir casi lleva a “15 cuartos”: simplemente enteros– también las fracciones pueden exclusivamente– suele presentarse esta “debe” multiplicarse el factor 5 por el actuar como operadores (operadores operación. También nos referiremos al numerador 3 y dejar intacto el sustan- que fraccionan, que “introducen” la gráfico continuo, como oportunidad de tivo-denominador. fracción al otro factor...), y que éste es el visualizar lo que ocurre en el sistema sentido de una fracción a/b como factor numérico. En esta interpretación de la multi- en una multiplicación por un entero. Es plicación el 5 actúa como un operador, decir, que el factor entero considerado 5.1. La multiplicación es decir, como la cantidad que “opera” como un todo se divide en b partes, de de enteros por fracciones (trabaja, procede, funciona) multiplicati- las que se van a considerar a de ellas. y viceversa vamente con el numerador de la fracción. Así, por ejemplo, en el caso 3 x 12, el 2 ¿Qué significado puede tener una Esta forma de ver las cosas ratifica nues- conjunto de 12 objetos se divide en tres operación como 2 x 1 ? Para tratar de 5 3 tra percepción anterior de las fracciones partes, cada una de las cuales contiene llegar al mismo, veamos primero esta que no son unitarias como “múltiplos” de 4 objetos, y se consideran dos de esas breve secuencia: las fracciones unitarias: 7/8 como “7 ve- partes, con 8 objetos en total. ces 1 octavo” (7 x 1/8). Percepción que La multiplicación 5 x 3 puede enten- puede extenderse a otros casos como, Por otro lado, tanto en la situación de derse como “5 veces 3” por ejemplo, ver en 15 “4 veces15 ” (4 x15 ) 8 2 2 entero por fracción (n x b ) como en la de a ó “2 veces 15 ” (2 x 15 )… Veamos ahora la 4 4 fracción por entero ( b x n), el resultado a La multiplicación 5 x 4 puede enten- 3 siguiente secuencia de significados de es el mismo, es decir, una fracción que derse como “5 veces 3/4” multiplicaciones: tiene como numerador el producto del entero por el numerador de la fracción Esta última pudiera representar la 3 x 6 puede entenderse como “el factor, y como denominador, el denomi- situación de calcular cuántas horas se- triple de 6”, que es 18 nador de la fracción factor: n b a . x 16
  17. 17. quinto de 1 tercio” equivale a conside- ¿Cuántas horas son los 5/6 de un día? rar de una sola vez “1 quinceavo” del todo. En otras palabras: 1 x 1 = 15 . Y por 5 3 1 La lógica de resolución del problema sugiere considerar las 24 horas del lo tanto, 5 x 3 será el doble de lo anterior: 2 1 día como un todo, que es “operado” por el factor 5/6; es decir, las 24 2 5 x 1 = 2 x 15 = 15 . 3 1 2 horas se dividen en 6 lotes de 4 horas cada uno, de los que se consideran 5; lo que nos da un total de 20 horas. Este resultado se obtiene directa- Las mismas consideraciones pueden mente por la multiplicación 5 x 24 = 5 x6 24 = 20 horas. Queremos insistir en la importancia 6 hacerse para la multiplicación 3 x 2 . Lo 1 5 de habituarnos a considerar la multiplicación de una fracción por un entero como el modelo que cabe destacar es que en ambas de operación que responde directamente a situaciones similares a la dada. multiplicaciones ( 2 x 1 y 1 x 2 ) se ob- 5 3 3 5 tiene el mismo resultado: 2/15; es decir, Llevo recorridos 2/3 de un trayecto que tiene 72 km de longitud. ¿Cuánto me falta para una fracción que tiene como numerador llegar? el producto de ambos numeradores, y como denominador el producto de am- Puedo aplicar el operador 2 a 72 km para saber lo que llevo recorrido ( 3 x 72 = 2 x3 72 = 48 3 2 bos denominadores. km) y luego efectuar la resta 72 – 48 = 24 km. Pero también puedo aplicar directamente el operador 1/3 (lo que falta es 1 – 2 = 1 ) a 72: 1 x 72 = 72 = 24 km. 3 3 3 3 b) Las dos fracciones representan las longitudes de los lados de un rectángulo, y su producto, el área de dicho rectán- gulo. Por ejemplo, al multiplicar 4 x 2 5 3 19. ¿Cuánto es el doble de 1/2, más Veamos tres posibles versiones de esta podemos pensar en un rectángulo que la mitad de 1/2? operación. tenga tales factores como medida de sus lados; si suponemos que 4/5 se refiere 20. ¿Cuántos litros tiene a) La primera fracción actúa como a la base y 2/3 a la altura, su respectiva un recipiente que se ha operador de la segunda. Así, podemos representación sería: llenado con los 5/6 de leer esa multiplicación como “los dos 12 botellas de 1/2 litro quintos de un tercio”. Considerando Base: 4/5 cada una? 2/5 (2 x 1/5) como el doble de 1/5, podemos entender “los 2 quintos de 1 tercio” como el doble de “1 quinto de 1 tercio”. Ahora bien, “1 quinto de 1 5.2. La multiplicación tercio” significa que la tercera parte de de dos fracciones un todo se fracciona a su vez en 5 partes, Altura: 2/3 Entremos ahora a la multiplicación con lo que cada una de estas nuevas genérica de dos fracciones. ¿Cuál es el fracciones unitarias representa 1/15 sentido de una expresión como 5 x 1 ? 2 3 del todo inicial. Es decir, considerar “1 17
  18. 18. Y la de su producto, la del área con Estado 1er Estado rayado intersectado: inicial operador parcial 1 4/5 Como puede verse, el área de inter- sección contiene 8 de las 15 cuadrículas 2° Estado que se generaron al superponer los gráfi- operador final cos iniciales, lo que significa una región que representa los 8/15 de la unidad. Es decir, 4 x 2 = 15 . 5 3 8 2/3 c) La multiplicación de fracciones como composición de operadores: Des- Estado 1er Estado de esta perspectiva, una multiplicación inicial operador final como 3 x 4 significaría el resultado final 2 5 de aplicar, en primer lugar, el operador 4/5 sobre la unidad, con lo que se llega- 1 8/15 ría al estado parcial 4/5 (4/5 x 1 = 4/5); = y en segundo lugar, aplicar sobre esta 2 3 x45 fracción el operador 2/3, con lo que se Al terminar de revisar los diversos significados atribuibles a la multiplicación de llegaría –de acuerdo con lo expresado fracciones, podemos establecer dos grandes conclusiones: en a)– al estado final 15 ( 2 x 5 = 15). Pues 8 3 4 8 bien, como partiendo de la unidad se puede llegar al estado final 8/15 por la 1) En cualquiera de sus campos de signifi- rador (Dienes, 1972). En el primer caso se aplicación de un solo operador, 8/15 cado, el producto de dos fracciones es una resalta su sentido estático: indica la relación (8/15 x 1 = 8/15), se deduce que el fracción que tiene como numerador el producto entre el número a de partes que se con- producto de dos fracciones puede de ambos numeradores y como denominador sideran de un todo dividido en b partes considerarse como la composición el producto de ambos denominadores. congruentes, y el número total b de estas (aplicación sucesiva) de dos operadores partes. En el segundo, su sentido dinámico, fraccionarios sobre la unidad. Veamos 2) A partir de sus versiones primera y operativo: indica que el otro factor (entero esto en el contexto gráfico: última se desprende que la fracción a/b o fraccionario), considerado como un todo, posee dos posibles significados funcionales: se divide en b partes, de las que se van a “funciona” como un estado y como un ope- considerar a de ellas. 18
  19. 19. ¿Cuántos días son los 2/3 de los 3/4 solución del problema a cualquier número n (70% ó 7/10 en la primera fase, y 80% ó 4/5 de un lapso de 360 días? de rebotes y a cualquier factor de rebote r. en la segunda fase), y aplicándolos sucesiva- Así, si la altura inicial es a, la altura alcanzada mente como operadores multiplicativos. Así, Puede procederse por pasos, llevando las en el rebote n será: a x r n ]. el precio en el primer descuento sería:10 x 7 respuestas a días (3/4 de 360 días son 270 1.200 = 840 pesos; y en el segundo: 5 x 840 4 días; 2/3 de 270 días son 180 días). Pero En una tienda de ropa, un vestido de = 672 pesos. O bien, finalmente, podríamos también puede aplicarse el operador com- señora se vendía por 1.200 pesos. Al haber aplicado un solo operador multipli- puesto o producto: 2 x 4 = 2 x 3 = 1/2. Así, 3 3 3 x 4 cabo de un mes, el vendedor le aplicó cativo, el producto de los dos operadores: 1/2 x 360 días = 180 días. un 30% de descuento; pero como 7 10 x 4 = 50 , lo que nos lleva directamente a: 5 28 seguía sin venderse, decidió rematarlo 28 50 x 1.200 = 672 pesos. Una pequeña con un descuento adicional del 20% bola de goma sobre el último precio. ¿Cuál fue el En el problema anterior, ¿cuál es el tiene la propie- precio definitivo de venta? descuento definitivo que se aplica al dad de rebotar precio del vestido en relación con el hasta los 9/10 Si consideramos precio inicial? de su altura de estos porcentajes caída. Si se suelta desde 1 metro de al- como expresiones Desde luego, hay que rechazar como tura, ¿qué altura alcanzará en su tercer de fracciones (30/100 respuesta la suma de los descuentos pro- rebote? ó 3/10, y 20/100 ó gresivos (30% + 20% = 50%)... Tampoco se 1/5, respectivamente), resuelve aplicando los descuentos como Una manera sencilla de resolver el problema podemos calcular el operadores progresivos (como se acaba es proceder por pasos, es decir, por rebotes primer descuento: 10 3 de hacer con los precios progresivos en de la bola de goma: el primer rebote llega x 1.200 = 360 pesos, cada fase de descuento), porque en este hasta una altura de 10 x 1 m = 0,9 m. El 9 y de ahí el precio co- caso se tendría un descuento total de 10 x 3 segundo, hasta una altura de 10 x 0,9 m = 9 rrespondiente: 1.200 2 = 6 , es decir, del 6%, que contradice el 10 100 0,81 m. Y el tercero, hasta la altura de 10 x 9 – 360 = 840 pesos. sentido común. 0,81 m = 0, 729 m. Ahora procedemos igual para el segundo descuento: 1 x 840 = 168 pesos, y para el 5 Una forma de resolver el problema es la Otra forma de plantearse la solución es precio definitivo: 840 – 168 = 672 pesos. que utilizamos en la parte final del pro- pensando en 9/10 como operador que se blema anterior: aplicar el producto de los aplica tres veces a la altura inicial de 1 m. Así, Pero como nos piden el precio final, podía- dos operadores referidos a los precios la respuesta se obtiene mediante el produc- mos haber abreviado el proceso averiguan- progresivos, 10 x 4 = 50 ó su equivalente 100 . 7 5 28 56 to 10 x 10 x 10 x 1 m = 93/103 x 1 m = 0,729 m. 9 9 9 do los porcentajes de precios que conser- Esto nos indica que ésa es la relación entre [Este procedimiento permite generalizar la vaba el vestido en cada fase de descuento el precio final y el inicial. Por consiguiente, 19

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