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  • 1. Serie Desarrollo del pensamiento matemático Nº 1 El conocimiento matemático Martín Andonegui Zabala 1
  • 2. 372.7 And. Introducción al desarrollo del pensamiento matemático Federación Internacional Fe y Alegría, 2005. 30 p.; 21,5 x 19 cm. ISBN: 980 6418 69-7 Matemáticas, conocimiento matemático. 2
  • 3. “El maestro debe entender que el centro educativo no es tanto el lugar donde él va a enseñar, sino que es el lugar donde él va a aprender a enseñar. La práctica y la reflexión sobre ella es el elemento primordial para construir el proceso de la propia formación-transformación.” Antonio Pérez Esclarín 3
  • 4. Equipo editorial Antonio Pérez Esclarín, María Bethencourt Dimensión: Desarrollo del pensamiento matemático Serie: El conocimiento matemático, número 1 Autor: Martín Andonegui Zabala Este libro se ha elaborado con el propósito de apoyar la práctica edu- cativa de los cientos de educadores de Fe y Alegría. Su publicación se realizó en el marco del Programa Internacional de Formación de Educadores Populares desarrollado por la Federación Internacional Fe y Alegría desde el año 2001. Diseño y diagramación: Juan Bravo Portada e ilustraciones: Juan Bravo Corrección de textos: María Bethencourt, Margarita Arribas Edita y distribuye: Federación Internacional Fe y Alegría. Esquina de Luneta, Edif. Centro Valores, piso 7, Altagracia, Caracas 1010-A, Venezuela. Teléfonos: (58) (212) 5645624 / 5645013 / 5632048 Fax (58) (212) 5646159 web: www.feyalegria.org © Federación Internacional Fe y Alegría Depósito Legal: if 603 2005 100 182 Caracas, abril 2005 Publicación realizada con el apoyo de: Centro Magis Instituto Internacional para la Educación Superior en América Latina y el Caribe (IESALC) 4
  • 5. 1. Introducción los centros educativos comunitarios” (Fe En definitiva, con nuestra propuesta En las líneas que siguen, así como en y Alegría, 2002, p.23). –como trataremos de hacer ver a conti- los sucesivos Cuadernos, vamos a Nuestra propuesta formativa va nuación– pretendemos colaborar en la plantearnos algunas cuestiones relativas inserta en las líneas del Proyecto Latino- formación de “un educador capaz de al desarrollo del pensamiento matemático, americano de Educadores Populares. generar procesos de cambio y transfor- de nuestro pensamiento matemático. Pretendemos contribuir al desarrollo de mación social; reflexivo y con capacidad Pero no se trata de un proyecto abstracto. nuestro pensamiento matemático como para potenciar el diálogo de saberes y el Esta propuesta nace de las dificultades un modo de “potenciar un proyecto discernimiento creativo, indispensable detectadas en los procesos de formación educativo capaz de fortalecer la realiza- para inventar y seguir inventando de nuestros educadores, y va dirigida a ción autónoma de los educandos, de su nuevas ideas y formas de alcanzar la los maestros y maestras que vivimos con familia y de su comunidad, para que realización de esa sociedad y de ese ilusión y entrega los ideales educativos de puedan tomar decisiones propias y libres sujeto deseado” (ibid, p. 3). Fe y Alegría en el ámbito latinoamericano. acerca de su destino y el de los suyos; […] Es decir, a los que asumimos como misión de formar educadores con conocimientos, educativa “formar a los niños, niñas, destrezas y actitudes para formar al sujeto jóvenes y adultos de los sectores más persona, comunitario y ciudadano, capaz empobrecidos […], en valores humano- de superar la visión estrecha que cristianos y con el dominio de las presentan y ofrecen las empresas globa- competencias básicas fundamentales, en lizadas de producción de cultura y de el marco de la misión de Fe y Alegría valor” (Federación Internacional de Fe y como movimiento de Educación Popular, Alegría, 2002, p.2). desde la construcción y consolidación de 5
  • 6. Continuando con la referencia al la relación existente entre la matemática Pero esta transformación no se Proyecto Latinoamericano de Educa- y la sociedad actual. Y para iniciar este produce en un mundo equilibrado y dores Populares, digamos finalmente análisis debemos asomarnos a esta neutro. Los fenómenos de la globalización que nuestra propuesta se enmarca última. Castells (1994) la califica como esconden, tras su apariencia de alcance particularmente en dos de sus dimen- sociedad informacional, concepto que universal y pretendidamente igualitario, siones: asume e integra los calificativos de gérmenes de una nueva colonización. Los • En la formación de herramientas y sectores nuevamente colonizados –el actitudes para seguir aprendiendo, Cuarto Mundo, como lo califica Castells dentro del tema generador “Compe- (1994), que incluye al Tercero y tencias para el saber pensar”. también a vastos sectores de los • En la formación pedagógica del propios países desarrollados– son educador. aquellos irrelevantes para la producción y el consumo del Todas las consideraciones anteriores conocimiento y de la infor- están orientadas a hacernos ver que el mación. tema del desarrollo del pensamiento matemático no es algo extemporáneo ni Este desarrollo contradictorio ajeno o agregado a los proyectos y planes conduce así a la emergencia de de nuestra formación como educadores la paradoja de la inclusión, que populares. Nuestro tema está en el centro “se refiere al hecho de que el de tales proyectos y planes. actual modelo de globalización de la organización social, que esta- Y esto es lo que vamos a hacer a blece como principio el acceso y la continuación: reflexionar acerca del inclusión universal, también conduce porqué de esa centralidad, de esa a una marcada exclusión de ciertos pertinencia. Vamos a asomarnos, pues, sectores sociales”(Skovsmose y Valero, al papel que tiene el pensamiento mate- sociedad de la información y sociedad 2002, p.386). mático –y su construcción y desarrollo– del aprendizaje. Lo que se sostiene con en la sociedad, en nuestra formación tales precisiones es que el impacto de la ¿Qué papel tiene la matemática en como ciudadanos y docentes y en la tecnología –particularmente las de la este escenario? Davis y Hersh (1988) –en formación de nuestros alumnos. información y comunicación– ha inci- un texto de sugerente título, “El sueño dido en las estructuras culturales, econó- de Descartes: El mundo según las 2. La relación matemática - micas y políticas de nuestra sociedad. Matemáticas”– hablan de una matema- sociedad Se instauran, además, el conocimiento tización prescriptiva presente desde la La primera aproximación al tema se y la información como fuentes de valor y antigüedad en situaciones tales como la centra, indudablemente, en el análisis de de poder. medida de magnitudes físicas, el esta- 6
  • 7. blecimiento de calendarios cluye así su reporte acerca Para afrontar esta segunda paradoja, y relojes, los sistemas de las matemáticas ante el y so pena de convertirse en cómplice de monetarios, los planos para nuevo milenio: “Los mate- los desequilibrios que fomenta la actual construir máquinas y edi- máticos nos planteamos globalización, la educación debe adoptar ficaciones, etc. Pero esta dos objetivos ahora que una postura crítica. Esto significa que incidencia se ha incremen- entramos en un nuevo debe investigar las condiciones en las tado casi ilimitadamente milenio. El primero es el de que se adquiere el conocimiento, que hasta nuestros tiempos y ser capaces de mantener la debe estar atenta para identificar y ha penetrado numerosos tradicional fortaleza de evaluar los problemas que se presentan sistemas: de calificación nuestra investigación bá- en la sociedad, y que debe convertirse personal –cociente inte- sica, que es semillero de en una fuerza de reacción frente a tales lectual, calificaciones esco- nuevas ideas y nuevas situaciones problemáticas (Skovsmose, lares…–, de seguros, de aplicaciones. El segundo 1994a). comunicaciones, moneta- es ampliar nuestro con- rios, de consumo, de armamentos, de tacto con el mundo que está más allá de Este planteamiento coincide con el votación, de transporte… Son sistemas la ciencia” (Griffiths, 2000, p. 41). que ya ha sido sustentado por diversos que regulan y alteran nuestra vida y autores desde hace algún tiempo y ante caracterizan a nuestra civilización. Y 3. La educación matemática otros fenómenos de exclusión. Así, y en todos ellos reflejan una matematización De todo lo anterior, puede inferirse, nuestro medio latinoamericano, Paulo prescriptiva, desconocida para la gran pues, que la matemática está en el Freire considera a la educación como mayoría de personas. centro de la paradoja de la inclusión. práctica de la libertad (Freire, 1969, Ahora bien, ¿qué significa esto para 1970), es decir, como una acción de En esta misma línea, Skovsmose nosotros como docentes de matemática? conocer, una aproximación crítica a la (1994a) suscribe también la tesis de que la matemática tiene la capacidad de En primer lugar, debemos plantear- moldear –“formatear”– a la sociedad, por nos el papel que debe tener la educación ser el principio básico para el diseño de en un escenario como el descrito. Por- la tecnología, particularmente de aquella que, de entrada, se presenta una nueva que sustenta los sistemas de informa- paradoja, la paradoja de la ciudadanía, ción y comunicación. que alude a que “por un lado, la educa- ción parece dispuesta a preparar para el Que esta ingerencia fundamental de ejercicio de una ciudadanía activa, pero la matemática continuará en el futuro por el otro, parece garantizar la adap- queda claro, por ejemplo, en el testimonio tación de los individuos al orden social de P. Griffiths, Secretario de la Unión establecido” (Skovsmose y Valero, 2002, Matemática Internacional, quien con- p.386). 7
  • 8. realidad, pues sólo en su relación en las instituciones y en las acciones de dialéctica con la realidad puede la la sociedad, así como en las decisiones educación concebirse como un proceso de alcance público que nos afectan como transformador, de constante liberación ciudadanos. del hombre. Para ello, debe promover la concientización, proceso que permite La educación matemática que problematizar la realidad y percibir las planteamos se inscribe, pues, en un restricciones que impone, con el fin de proyecto educativo que tiende a formar dar paso a una acción transformadora. a las personas para que aprendan no sólo a analizar críticamente su entorno, La educación matemática debe sino también a participar en su transfor- situarse en este ámbito crítico. mación. Para que la declaración anterior basadas en la aplicación de conceptos y Skovsmose (1994b) –en una línea general no quede reducida a un mero discurso de procedimientos matemáticos. ya iniciada por Freire– le asigna como de relleno, debemos destacar las dimen- objetivo propiciar la alfabetización siones del conocer que se intenta cons- Lograr un conocimiento tecnológico matemática de los individuos. Esto truir en el ámbito de una educación significa, pues, descubrir la matemática significa atribuirle el propósito de formar matemática crítica. presente en los sistemas que rigen ciudadanos críticos, mediante un empo- nuestra vida como personas y como deramiento que permita a docentes y La primera dimensión de este grupos de ciudadanos. Sistemas que se alumnos reorganizar y reconstruir sus conocer podría calificarse como un refieren a situaciones que van desde lo interpretaciones relativas a las institu- conocer matemático. Nos estamos más cercano (la organización del trans- ciones sociales. Es decir, capacitarlos refiriendo al dominio de los conceptos y porte público, el contenido de los recibos para discutir críticamente la utilización procedimientos propios de la de servicios tales como luz, teléfono, de la matemática en el diseño tecnoló- matemática, así como a la adquisición agua…, la formación de los precios de gico y, por esta vía, las condiciones a que de los procesos, habilidades, destrezas las cosas, las transacciones comerciales, se ve sometida su vida por la aplicación y competencias propios de la disciplina. de esta tecnología. Alcanzar este conocimiento es algo En otras palabras, ubicarnos en el fundamental y absolutamente necesario, contexto de una educación matemática imprescindible. Pero –contra lo que crítica es recalcar su intencionalidad pudiera creerse– no es un fin en sí transformadora, su estar al servicio de un mismo, sino un requisito indispensable proyecto alfabetizador de la población, para una segunda dimensión: el conocer que le permita a ésta comprender y tecnológico. Este tipo de conocimiento analizar críticamente la realidad circun- se refiere al de las aplicaciones basadas dante, el trasfondo ideológico que impera en modelos matemáticos, es decir, 8
  • 9. la organización de los espacios públicos, conocimientos matemáticos construi- samiento matemático es la de lograr la toma de decisiones en situaciones dos previamente. desarrollar en nosotros, docentes, y en probabilísticas, etc.) hasta lo más nuestros alumnos –constituidos todos sofisticado. Skovsmose (1994b) insiste en este en comunidad–, ese conocer reflexivo tercer tipo de conocer como una especie asociado a la construcción del conoci- Pero todavía más allá de esta dimen- de metaconocimiento acerca de la tecno- miento matemático. sión existe una tercera, la del conocer logía, que nos permite verla en un con- reflexivo. Este conocer se refiere a los texto más amplio, es decir, en el contexto 4. Nuestra educación de las implicaciones sociales, ecológicas, matemática económicas y políticas. No puede haber Una reacción lógica ante los plantea- alfabetización matemática si no se mientos anteriores debe ser, sin duda, la alcanza este tercer nivel del conocer, ya de preguntarnos por dónde andamos que las competencias matemática y nosotros. Es decir, si la concepción que tecnológica no poseen de suyo la tenemos de la matemática, y la praxis de capacidad de predecir y de analizar los su enseñanza, se ajustan a la perspec- resultados de su propia producción. tiva de una educación matemática crítica concebida en los términos propuestos. Definitivamente, la consecución de Porque, ante el reto de exigirnos un esta dimensión del conocer reflexivo es desarrollo del pensamiento matemático la que de verdad nos posibilita, plena y dentro de los lineamientos presentados, acertadamente, la participación en la necesitamos tomar en cuenta la situación transformación de nuestro entorno, ya en que se halla la construcción del que es la que nos permite alcanzar un pensamiento matemático en nosotros, los nivel de concientización acerca de la docentes, y en nuestros alumnos. realidad –por la vía de su problematiza- ción, como lo sugería Freire–, paso Aunque sea difícil generalizar, se aspectos sociológicos y éticos inhe- previo y necesario para intentar su puede afirmar que todos tenemos una rentes a los objetivos y a la forma en que transformación. Pero, a su vez, el cono- idea bastante aproximada de la situa- se maneja esa tecnología basada en cer reflexivo no tiene ningún sentido si ción, recogida de diversas evaluaciones modelos matemáticos. Desarrollar el no puede referirse a los dos anteriores. hechas al respecto. He aquí algunos de conocer reflexivo significa fomentar la Simplemente, porque no puede cons- sus trazos más destacados: capacidad para descubrir y analizar truirse cabalmente sin los cimientos de críticamente las estructuras tecnológi- los conoceres matemático y tecnológico. • Una concepción negativa acerca de cas y formales que actúan dentro de la la matemática, considerada como un sociedad, utilizando, justamente para En resumen, la propuesta funda- área excluyente y discriminadora, ese descubrimiento y ese análisis, los mental de construir un verdadero pen- accesible a unos pocos privilegiados. 9
  • 10. • Un aprendizaje de la matemática caracterizado como mecánico, repe- titivo, memorístico, alejado del desarrollo de procesos y de la reso- lución de problemas, carente de significado y, en buena medida, desconectado de la vida. • Ausencia, en la planificación de la enseñanza de la matemática, de las dimensiones relativas a las aplica- ciones de la matemática y a la refle- xión acerca de su uso en la resolu- ción de los problemas humanos. • Una planificación por proyectos • Falta de comprensión de la eva- lezas que debilidades. Las situaciones e duc at ivo s – c u a ndo e x i s t e – luación como un acompañamiento concretas deben ser muy diversas. Pero insuficientemente desarrollada, y en el proceso de formación mate- lo que sí es cierto es que tales síntomas enfrentada a la profundización de los mática de los estudiantes. se hallan presentes en muchas de conocimientos matemáticos. nuestras escuelas. De todos modos, • Desconocimiento de suficientes queda abierta la reflexión y la discusión • Una falta de desarrollo, en docentes experiencias exitosas en el campo acerca de la situación que se presenta y alumnos, de factores afectivos y de la enseñanza de la matemática aquí, en mi escuela, y en las redes de actitudinales positivos hacia la que puedan servir como referentes escuelas afines a la mía… matemática y hacia su aprendizaje. para el trabajo propio. Pero la idea no es pintar un pano- • En el saber y hacer de los docentes, • Dotación insuficiente de recursos rama tan sombrío que sólo pueda una mecanización y falta de refle- bibliográficos y didácticos. llevarnos al desaliento y a la inacción. xión en relación con su trabajo en el Todo lo contrario. Se trata de tocar piso, área, así como poco dominio de los Es muy probable que no todos de saber de dónde arrancamos… y de contenidos y de la didáctica de la nuestros centros presenten la totalidad avanzar hacia la meta de una construc- matemática. de estos síntomas y que, incluso, en ción del pensamiento matemático que algunas de las áreas indicadas –apren- nos deje realmente satisfechos, a la luz • Ausencia de la resolución de proble- dizaje en el aula, motivación, praxis de los planteamientos de una educación mas como vía primordial para desa- docente, planificación, recursos docen- matemática crítica. rrollar el conocimiento matemático. tes, evaluación…– existan más forta- 10
  • 11. ¿Cuál puede ser el punto de partida Así que nos tomamos nuestro tiem- ¿Cuál de estos números es mayor: para el avance hacia esta meta? Antes po, y adelante. 266, 344, 533? de intentar contestar esta pregunta clave –y para que no todo sean caras serias en ¿Qué número es mayor: 14 decenas o ¿Cuántas centenas tiene el número plan de reflexión– vamos a proponer 1.395 décimas? 4.384,109? algunas cuestiones y preguntas acerca de temas matemáticos, junto con la ¿Un triángulo puede ser, simultánea- Cuando alguna(s) cifra(s) del minuen- invitación para intentar resolverlas. A lo mente, isósceles y obtusángulo? do es(son) menor(es) que su(s) corres- mejor, además de saber formular sus pondiente(s) del sustraendo, ¿hay alguna respuestas, podemos llegar a percibir qué ¿Por qué número se ha multiplicado 43,7 otra forma de realizar la resta que no relación tiene el hecho de saber resolver para obtener como resultado 0,437? sea la de “quitar prestada” una unidad a cuestiones matemáticas con la pregunta la cifra de la izquierda en el minuendo? relativa a cuál es el punto de partida para ¿Cómo se clasifican los paralelogra- mejorar nuestra situación en cuanto a la mos, tomando como criterio sus ¿Existe alguna fracción entre 7/9 y 8/9? construcción del pensamiento matemá- diagonales? tico en nuestros centros… ¿Por qué se llama numerador al número ¿Podemos sumar, restar y multiplicar de que se encuentra en la parte superior 5. Un poco de ejercitación izquierda a derecha? ¿Por qué? y denominador al que se encuentra en previa la parte inferior de una fracción? Y una sugerencia que consideramos ¿Cuál es el resto de dividir 2.003156 muy pertinente. No nos limitemos al entre 5? ¿Puedo construir un conjunto de 20 datos intento de resolver estas cuestiones enteros cuya media aritmética sea 13, aplicando nuestros conocimientos ¿Por qué, para obtener el m.c.d. o el m.c.m. su mediana 15 y su moda 9? matemáticos… y ya. Es muy importante de dos números, debemos descomponer que vayamos tomando conciencia del previamente cada uno de ellos en sus ¿Cuál es la probabilidad de que, al proceso que seguimos para su resolución, factores primos? ¿Será que no hay otro lanzar dos dados seguidos, la diferencia paso a paso, así como de los elementos procedimiento para obtenerlos? entre los puntos del primero menos –cognitivos, actitudinales, emociona- los del segundo sea al menos 2? les…– que se presenten en dicho proceso. ¿De cuántas maneras soy capaz de Como recalcaremos posteriormente, ésa realizar mentalmente la multiplicación ¿Por qué, al sumar dos fracciones, se es la forma de “estudiar matemática” 16 x 25? multiplican en cruz numeradores y propia de un docente, que siempre piensa denominadores, y luego se suman esos en cómo se desenvolverían sus alumnos a ¿Qué fracción de una cantidad total productos para obtener el numerador de la hora de afrontar estas mismas tareas…, es la mitad de los dos tercios de los la fracción suma? ¿Y cómo se hace si se para poder entenderlos a partir de la propia tres cuartos de dicha cantidad? trata de sumar tres o más fracciones? experiencia como “estudiante”. 11
  • 12. ¿Qué se obtiene cuando a la suma de dice, finalmente, nuestra recién vivida problematizador y creativo. Y también dos números se le agrega su diferen- experiencia de resolver los ejercicios su valor cultural, como disciplina clave cia? ¿Y si a esa suma se le resta su anteriores? en la aventura del desarrollo del conoci- diferencia? ¿Qué conclusiones pode- miento de la humanidad a lo largo de su mos sacar de estos dos resultados? Probablemente, la respuesta será historia. casi unánime: Necesito profundizar en ¿Soy capaz de estimar (dar el valor mis conocimientos matemáticos, nece- Pero una de las razones fundamen- aproximado de) el cociente de la división sito tener seguridad en mi desempeño tales que debe impulsarnos a su apren- 0,00125 : 391? matemático: no puedo dar lo que no dizaje es la percepción de su carácter tengo… esencial para constituirnos –nosotros y nuestros alumnos– en ciudadanos 6. ¡A estudiar matemática…! Tenemos que “estudiar” matemá- críticos y participativos en la transfor- Bien. Esperamos que la ejercitación tica, mantener permanentemente mación de nuestro entorno, por las anterior haya sido productiva, que nos abierta la puerta de la formación en razones esgrimidas anteriormente. haya hecho reflexionar acerca de nues- esta área del conocimiento, en esta tras fortalezas y debilidades en el forma de pensamiento. Este es el punto En este sentido, la construcción del terreno de nuestros conocimientos de partida. Insuficiente, como todo pensamiento matemático resulta matemáticos y acerca de cómo presen- punto de partida. Pero absolutamente insustituible para nosotros y para tamos estos temas a nuestros alumnos. necesario. nuestros alumnos. La ausencia de este Y que nos hayamos tomado un descan- pensamiento no puede ser llenada por sito antes de proseguir… Ahora, vamos Las razones que avalan este plan- ninguna otra presencia. Al igual que a intentar responder a la pregunta que teamiento son diversas y alcanzan tanto entendemos que la alfabetización nos quedó pendiente antes de la ejerci- el ámbito de lo estrictamente individual –referida al campo del manejo básico tación matemática. como de lo colectivo. Es decir, tienen de la lectura y de la escritura– es que ver con la esfera de la formación fundamento imprescindible para la ¿Cuál puede ser el punto de partida personal y con la que nos atañe como formación integral de una persona y para el avance hacia la meta de una educadores, como responsables de la para posibilitar su participación y su construcción del pensamiento matemá- formación de nuestros alumnos y de la aporte en la vida social y cultural, tico que nos deje realmente satisfechos, transformación de nuestro entorno debemos comprender que la alfabeti- a la luz de los planteamientos de una comunitario. zación matemática es igualmente educación matemática crítica? Para imprescindible. Y que ambas alfabeti- llegar a su respuesta, tratemos de En este orden de ideas, tenemos que zaciones –en el lenguaje y en lo mate- contestar a estas otras preguntas: ¿Qué recalcar el valor formativo que posee la mático– llaman a progresivas capaci- nos dice nuestra doble experiencia matemática, y su estudio, como forja- taciones a lo largo de la vida. como “estudiantes” de matemática y dora de un pensamiento racional, sis- como docentes de la misma? ¿Qué nos temático, lógico y, a la vez, indagador, 12
  • 13. 7. Pero, ¿cómo es la única forma posible de presentación es separada del contexto histórico y social matemática, el pensamiento mediante expresiones formalizadas, en que se elabora. Y, como construcción matemático, que hay que fruto de un razonamiento deductivo humana, también es falible. construir? impecable, y en la que sólo a los grandes matemáticos (cuyo trabajo casi nadie Verla de esta forma, como un proceso 7.1. La concepción conoce ni entiende) les es permitido y no como un producto elaborado y formal de la matemática inventar, ensayar y construir. que hay que transmitir, es determinante Pregunta muy pertinente, porque la para entender la matemática y para matemática es una vieja amiga –o trabajarla en el aula. Es considerarla como “enemiga”… – en el devenir de nuestra una forma de pensamiento abierto, con experiencia como estudiantes y como margen para la creatividad y el pensa- docentes. Por eso es muy importante miento divergente, que tiene su modo saber qué pensamos de la matemática peculiar de integrar valores, hábitos, como disciplina, porque este pensa- formas de razonamiento y expresión, y miento va a ser clave para determinar procesos tales como disciplina mental, lo que sentiremos acerca de su aprendi- racionalidad, habilidad para resolver zaje y de su enseñanza. Y sobre esto va problemas, desarrollo de la intuición, de a versar nuestra primera reflexión. la memoria, de la transferencia, de la solidaridad… Es ver la matemática como Probablemente tenemos catalogada Una matemática de esta natura- oficio y no como lección. Es entender que a la matemática como una de las áreas leza, ya hecha, intocable, lógicamente lo que hacemos con nuestros alumnos de estudio más desagradables y difíciles. debería transmitirse de la misma puede parecerse a ese proceso de Claro que éste es un juicio derivado de forma en que se recibe, so pena de construcción histórica de los conoci- la experiencia de haber sido (o de ser traicionarla y desfigurarla. La didác- mientos matemáticos. todavía) estudiantes de matemática y de tica de la matemática que se deriva ser (con mayor o menor éxito) docentes de aquí es simple: el docente debe ser Quizás esta reflexión de entrada nos de la misma; pero quizá no nos damos un expositor del contenido matemá- pueda resultar, en primer lugar, dolorosa, cuenta de que una de las barreras que tico; y el alumno, un sujeto repetidor al percibir la distancia a la que nos nos separan de esta disciplina, de su de lo recibido. encontramos, no sólo de la matemática, aprendizaje y de su enseñanza, es, sino también de esta forma de percibirla precisamente, este tipo de opinión Pues bien, este enfoque debe ser como oficio. Distancia hecha, probable- negativa. cuestionado. La matemática es fruto de mente, de muchas experiencias perso- un proceso de construcción humana nales negativas, de muchos desencuen- Quizá estamos viendo la matemática como respuesta a la tarea de resolver tros. No podemos eludir esta impresión: como una ciencia abstracta y estática, problemas y, como tal, fruto de un que éste sea nuestro punto de partida. basada en fundamentos absolutos, cuya proceso cultural, imposible de ser Pero tenemos que estar claros en que 13
  • 14. nuestra andadura como docentes en que me la están presentando ahora, Diversidad en los sistemas de arranca con la disposición para ver la necesito tener con ella un encuentro representación de un concepto matemática, para encontrarnos con ella, distinto. Necesito verla y que me la Sea el caso de las fracciones. Su para construirla, de otra manera. Porque presenten de otra forma, porque si no, concepto se refiere a que tomamos un así será la “manera” en que afrontaremos todo será de nuevo lo mismo y la frus- todo o unidad, lo dividimos en n partes su aprendizaje en lo personal y su tración será mayor. iguales, y de ellas consideramos m enseñanza en el aula. partes. Así, tenemos la fracción m/n. Para allá vamos (no hacia la frus- Algunas veces, esta conceptualización Pero, por otro lado y a pesar de todo, tración, sino a intentar mostrar la suele hacerse con representaciones probablemente seguimos pensando en matemática de otra forma…). distintas, tales como “tenemos un pastel, que las reflexiones anteriores no resuel- o una fruta, o una lámina de papel, que ven el problema de: 7.2. Matemática, dividimos en…”, proposición que suele unidad en la diversidad plasmarse gráficamente en algo que Generalmente, pensamos que en llamamos sistema “parte-todo continuo”: matemática hay caminos únicos para un rectángulo (u otra figura geométrica) hacer las cosas. Así nos lo han ense- dividido en n partes interiores congruen- ñado… y así lo enseñamos… y así lo tes, de las cuales rayamos m partes. aprenden nuestros alumnos: “La maes- tra nos dijo que esto se hace de esta Pero, habitualmente, para todas las forma” es argumento concluyente para tareas posteriores propuestas en el cerrar el paso a otra vía alternativa. campo de las fracciones –comparación u ordenamiento, equivalencia, operaciones Pero esto no es así. No lo ha sido aritméticas, pequeños problemas de nunca en la historia de la matemática. aplicación–, acudimos al sistema de Hay unidad en la disciplina, pero mu- representación m/n. De hecho, ¿alguna chas maneras de llegar. ¿Qué significa vez aprendimos –o enseñamos– a sumar esto en concreto? Significa que pueden fracciones en el sistema de representa- existir diversos sistemas para repre- ción parte-todo continuo? sentar un concepto, diversos procedi- mientos o algoritmos para hacer ope- Manejar un solo sistema de repre- raciones, diversas formas de resolver un sentación de las fracciones no es sólo mismo problema, diversas vías para un error didáctico; es, sobre todo, una demostrar una proposición matemática. carencia de conocimiento matemático. Veamos esto con algunos ejemplos. Porque resulta que el concepto de Y es verdad. Para que yo pueda ver fracción puede ser representado en la matemática y su estudio de la forma diversos sistemas: 14
  • 15. • como número de la forma m/n; por ran que una persona llega a dominar un Habitualmente, suele procederse a ejemplo: 2/5 concepto matemático sólo cuando es descomponer ambos números en sus capaz de: factores primos; luego se toman los • como número decimal; por ejemplo: factores comunes con su menor 0,4 • identificarlo en cualquiera de sus exponente. Esta es la “regla”, cuya posibles sistemas de representación; justificación rara vez se da, lo que genera • como expresión verbal; por ejemplo: • representarlo en todos ellos; que su soporte fundamental sea la “las dos quintas partes de” • saber pasarlo –“traducirlo”– de cada memoria, sometida al riesgo de no sistema a todos los demás. confundirse con el caso de la regla para • como un gráfico parte-todo continuo; el mínimo común múltiplo, “lamentable- por ejemplo: En el caso que nos ocupa, si una mente” tan parecida… persona no posee la capacidad de XXX XXX afrontar estas tareas con solvencia, no Pero, aun cuando se justifique el puede decirse que domine el concepto procedimiento anterior –y a ello • como un gráfico parte-todo discreto; de fracción. ¿Podemos asegurar que volveremos posteriormente–, no por ejemplo, la parte del total de dominamos el concepto de fracción? debemos obviar otras formas de proceder figuras que representa el número de ¿Esto es lo que aprendí de ese con- igualmente válidas. He aquí algunas. ▲ en el conjunto cepto? ¿Esto es lo que he enseñado posteriormente a mis alumnos? Si recurrimos al concepto de “máxi- mo común divisor” como el mayor de los ✵ ▲ Cerremos de momento este punto divisores comunes de ambos números, ▲ ✵ ratificando la importancia de conocer y encontramos en este breve enunciado un ✵ manejar con solvencia los distintos procedimiento sencillo y directo para su sistemas de representación de un búsqueda: • como un punto en la recta numérica; concepto matemático. Y reconociendo por ejemplo: que esta diversidad está inserta en la • hallamos los divisores de ambos misma matemática que intentamos números. aprender y enseñar. • detectamos los que son comunes. 0 1/5 2/5 3/5 4/5 1 • seleccionamos el mayor de estos Diversidad en los procedimientos divisores comunes. • como un porcentaje; por ejemplo: operacionales 40% Pasemos ahora al punto de la di- Por ejemplo, para hallar m.c.d. (36, 54): versidad en los procedimientos o al- Esta diversidad en los sistemas de goritmos operacionales. Vamos, por • D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} representación de un concepto es algo ejemplo, al caso del cálculo del máximo D(54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54} tan importante, que los autores conside- común divisor de dos números enteros. 15
  • 16. • Divisores comunes: 1, 2, 3, 6, 9, 18 alcance –y al de nuestros alumnos…– oportunidad de resolverlos de todas las para hallar el máximo común divisor de formas posibles a nuestro alcance. • El mayor de los divisores comunes: dos números enteros. Dominar este tema 18 supone, pues, conocer los diversos pro- Esta oportunidad puede presentarse cedimientos operativos y saber utili- en planteamientos muy sencillos. Por Este procedimiento puede ser muy zarlos, así como tener la capacidad de ejemplo, sea la siguiente situación: La útil y no requiere sino recordar el propio discernir cuál es el que mejor puede maestra da, a cada uno de los seis niños concepto de máximo común divisor de servirme en un caso concreto. de la primera fila del salón, un paquete dos números enteros. Y puede tener una que contiene tres libros de lectura. Los variante más sencilla para quienes Diversidad en las formas libros son diferentes, pero en cada están habituados a operar mentalmente de resolución de un problema paquete hay uno de 50 páginas, otro de (que deberíamos ser todos…). Veamos. 35 y otro de 30. ¿Cuántas páginas van a leer entre los seis niños de la primera fila? Basta con referirse a los divisores del menor de los dos números dados, 36 en Una forma de llegar a la respuesta el ejemplo anterior. Estos divisores se puede ser la de calcular el número de ordenan de mayor a menor: 36, 18, 12, páginas que va a leer cada niño, es 9,… Y se inicia una indagatoria pro- decir, que contiene cada paquete de gresiva con ellos, preguntando si cada libros (50 + 35 + 30 = 115), y luego divisor considerado divide al otro multiplicar por 6 el resultado anterior número, a 54 en este caso. Así, ¿36 (115 x 6 = 690). Pero también puede divide a 54? La respuesta es no, y se optarse por calcular cuántas páginas pasa al siguiente divisor: ¿18 divide a van a leer los 6 niños en cada tipo de 54? La respuesta es sí, con lo que ya libro (6 x 50 = 300; 6 x 35 = 210; 6 x 30 llegamos a obtener m.c.d. (36, 54). En Nos referimos aquí a problemas = 180), y luego sumar estos totales efecto, hemos hallado el mayor de los matemáticos similares a los que pueden parciales (300 + 210 + 180 = 690). divisores comunes. tener cabida en el aula. Muchos de ellos suelen ser muy sencillos y más bien Lo que importa, como actitud, es no Hay otro procedimiento, reconocido representan situaciones apropiadas para dar por concluida la actividad de resolver como el algoritmo de Euclides, que aplicar modelos matemáticos –opera- un problema sólo porque ya se llegó a la también puede utilizarse con el mismo ciones aritméticas, reglas, construc- respuesta. Obtenida ésta y verificado su propósito, sobre todo en el caso de ciones y fórmulas geométricas, algorit- carácter de correcta, la actividad de números enteros relativamente grandes. mos estadísticos…–, una vez discernido resolución del problema continúa con la No vamos a insistir en él ahora. Pero sí, el sentido del problema y justificada y búsqueda de otras posibles formas de dejar constancia de la existencia de al planificada la forma de buscar su resolverlo. Y si conseguimos alguna(s), menos cuatro procedimientos a nuestro solución. Pero no debemos dejar pasar la resulta interesante –e imprescindible– 16
  • 17. averiguar la razón de la convergencia de temporales planteadas en el enunciado, De donde se llega a la ecuación: esas diversas formas en la misma se identifican las dos incógnitas: respuesta. 4 (R – 5) = 2 (R + 1) Sea J la edad actual de Juan Por ejemplo, en el caso anterior, las Sea R la edad actual de Roberto Pero existe otro planteamiento (mo- dos formas de resolución del problema delo) de carácter aritmético, inducido convergen en la misma respuesta por- Se escriben las ecuaciones corres- por las características atribuidas en el que se ajustan a la siguiente identidad pondientes: enunciado a los números que represen- matemática: tan a ambas edades: La edad actual de J – 5 = 5 (R – 5) Juan es un múltiplo de 5 (¿por qué?) y la 6 x (50 + 35+ 30) = 6 x 50 + 6 x 35 + 6 J + 1 = 3 (R + 1) edad que tendrá dentro de 1 año será x 30 múltiplo de 3 (¿por qué?). De la conside- La resolución de este sistema nos ración conjunta de ambas condiciones Identidad que corresponde a la lleva al resultado solicitado. (J múltiplo de 5, y J + 1 múltiplo de 3) se propiedad distributiva de la multipli- obtiene un conjunto de posibles valores cación con respecto a la suma. La pri- Pero existe otra instancia de modeli- de J: {5, 20, 35, 50, 65,...}. El ensayo de mera vía de resolución llegaba a la zación, también de carácter algebraico. estos valores, uno por uno, conducirá a respuesta por la operación del miembro Si observamos que la diferencia entre las la respuesta deseada. izquierdo de la identidad, mientras que edades de Juan y Roberto es constante la segunda vía lo hacía por la operación en el tiempo, podemos igualar las Como puede apreciarse, el intento de su miembro derecho. expresiones que nos reflejan dicha de resolución de este problema nos ha diferencia en los dos instantes de tiempo llevado a encontrar modelos y vías A veces, esta diversidad de formas de a los que se alude en el enunciado: significativamente diferentes, dos en el afrontar y de resolver un problema tiene terreno de lo algebraico y uno en el de que ver, incluso, con modelos tomados de • Edad de Roberto hace 5 años: R – 5 lo aritmético. Cada uno de ellos tiene distintos campos de la matemática: • Edad de Juan hace 5 años sentido, y los tres nos llevan a la misma aritmética, álgebra, geometría… Véase (5 veces la de Roberto): 5 (R – 5) respuesta. el siguiente ejemplo, un poco más compli- • Diferencia hace 5 años: cado: Hace cinco años la edad de Juan 5 (R – 5) – (R – 5) = 4 (R – 5) En otras oportunidades, un ejercicio era cinco veces mayor que la de su hijo o problema bien definido y referido a un Roberto. El año que viene será el triple. • Edad de Roberto dentro de 1 año: contenido matemático preciso puede, ¿Cuántos años tienen actualmente? R+1 sin embargo, ser susceptible de más de • Edad de Juan dentro de 1 año una forma de resolución según sea el La resolución habitual de este pro- (3 veces la de Roberto): 3 (R + 1) sistema de representación que se adopte blema se plantea en el terreno alge- • Diferencia dentro de 1 año: para el concepto a que hace referencia braico: Considerando las dos situaciones 3 (R + 1) – (R + 1) = 2 (R + 1) el contenido en cuestión. Veamos, por 17
  • 18. ejemplo, esta cuestión, planteada en la Y con respecto a esta nueva tota- Seguramente nos estaremos pregun- ejercitación anterior: ¿Qué fracción de una lidad, sus dos tercios vienen repre- tando: ¿y cómo se hace en el sistema de cantidad total es la mitad de los dos ter- sentados así: siempre, en el de las fracciones de la cios de los tres cuartos de dicha cantidad? forma m/n? Obsérvese que aquí las fracciones actúan como operadores, Evidentemente, estamos en el como indicativos de lo que hay que terreno de las fracciones. El enunciado Finalmente, la mitad de esta tota- hacer. Por ejemplo, tomar los 3/4 de la relata un proceso temporal. Primero, lidad viene a ser la siguiente región: cantidad inicial significa que a la unidad tengo la cantidad total. De ella, consi- inicial hay que dividirla entre 4 y luego deramos sus tres cuartos. De esta nueva multiplicar ese resultado por 3. Esto totalidad, sus dos tercios. Y finalmente, equivale a multiplicar 1 por 3/4. Al la mitad de lo obtenido hasta aquí. ¿Qué De donde se puede inferir que la resultado de esta operación, 3/4, hay que fracción de la cantidad inicial representa porción final equivale a un cuarto de la multiplicarlo ahora por 2/3 (3/4 x 2/3 = esa porción final? Para obtenerla, vamos totalidad inicial. 6/12 = 1/2). Finalmente, este último a trabajar en el terreno de las fracciones. resultado debe multiplicarse por 1/2, con Ahora bien, si nos situamos en el lo que se llega (1/2 x 1/2 = 1/4) a la Pero, como ya dijimos, el concepto sistema parte-todo discreto, podemos relación final, 1/4 de la cantidad inicial. de fracción admite diversos sistemas de considerar un conjunto de determinado representación. Es muy probable, pues, número de elementos. Este número total La revisión de estos ejemplos nos está que haya más de una vía de resolución, de elementos puede ser cualquiera; pero, llevando seguramente a la conclusión en función del sistema considerado. en razón de que en el enunciado se habla planteada anteriormente: puede haber de mitades, cuartas y terceras partes, más de una manera de resolver un pro- Si nos ubicamos, por ejemplo, en el parece adecuado y preferible considerar blema matemático, bien sea porque sistema parte-todo continuo, la totalidad ese total como un múltiplo común de 2, podemos referirlo a modelos de distintos se nos presenta como una región que, 3 y 4; por ejemplo, 24. campos de la matemática, bien porque en atención a lo que sigue, mostramos podemos situarnos en diferentes siste- dividida en 4 partes congruentes: Sigamos ahora el proceso del pro- mas de representación de un concepto, blema. Las tres cuartas partes de 24 o bien porque podemos basarnos en son 18; los dos tercios de 18 son 12; y propiedades y relaciones que nos per- la mitad de 12 es 6. Este valor final miten una mayor libertad de acción. Lo Si tomamos las tres cuartas partes equivale a la cuarta parte de la importante es recordar que con la llegada de la totalidad inicial, llegamos a la cantidad inicial, 24. Puede tomarse a la respuesta del problema y su corres- siguiente región: cualquier otro valor inicial y, lógica- pondiente verificación no se termina la mente, cambiarán los valores interme- resolución del mismo: siempre tendre- dios, pero la relación final será siempre mos que hacer el esfuerzo de intentar la de 1/4. otras vías de solución. 18
  • 19. En conclusión: diversidad ciones. Todo en ella está relacionado de ca…–. Y es también muy probable que Ya hemos hablado de la diversidad algún modo. No hay cosas que queden hayamos trasladado este estereotipo de que ofrece la matemática, tanto en la re- aisladas, guindando solas. Así ocurre, aprendizaje a nuestra enseñanza de la presentación de los conceptos y en los por ejemplo, con las operaciones matemática en el aula. procedimientos operativos, como en la re- aritméticas definidas para los números solución de problemas. Igualmente po- enteros. Adición y sustracción son dos Ejemplos de esta situación son, entre dríamos hacerlo en lo relativo a la demos- operaciones opuestas. Lo mismo ocurre otros, las consignas de “ordena y suma” tración de proposiciones matemáticas, con la multiplicación y la división. Por para proceder a la adición de cantidades; aunque de momento obviaremos este otro lado, la multiplicación de enteros el “multiplicar en cruz” para sumar dos punto. puede considerarse como una suma fracciones, o para compararlas, o para repetida. Y análogamente, la división dividirlas; el “descomponer en factores Una cosa debe quedarnos clara: la como una sustracción repetida, en la primos y tomar los comunes con el menor matemática es fuente de diversidad en sí que el cociente indica el máximo núme- exponente” para calcular el máximo misma, y así debemos entenderla… y ro de veces que se puede restar el común divisor de dos números; la norma abordarla. Y, posteriormente, trabajarla divisor del dividendo, hasta que quede inefable de que “lo que está sumando con nuestros alumnos. El desarrollo de un resto menor que el divisor. pasa restando...” a la hora de resolver nuestro pensamiento matemático pasa ecuaciones. Y otros muchos ejemplos necesariamente por la adquisición de esa Esta es la forma de ir construyendo que todos podríamos agregar, en los que perspectiva de diversidad. De esta forma, el pensamiento matemático: relacionan- no se dice –o no se sabe– el porqué de podemos generar efectos transversales en do lo nuevo con lo anterior y no constru- tales reglas. nuestro aprendizaje: desarrollo del lengua- yendo compartimentos estancos, en los je, puesto que partimos de diversas repre- que los conocimientos matemáticos Retomando el ejemplo del cálculo del sentaciones conceptuales; desarrollo de queden aislados unos de otros. Sólo máximo común divisor de dos números procesos de pensamiento, tanto cogniti- mediante el establecimiento de estas enteros, sin duda nos debe llamar la vos como metacognitivos, pues –entre relaciones puede dotarse de pleno senti- atención la sencillez de los procedimien- otras cosas– la diversidad nos obliga a do a los conceptos y a los procedi- tos segundo y tercero –propuestos más establecer conjeturas, a tomar decisiones mientos operativos. arriba– en comparación con el habitual y a controlar los efectos de estas últimas; de descomponer en factores primos y desarrollo de múltiples valores, incluido el Un caso particular que nos interesa tomar los comunes con el menor expo- del ejercicio de la libertad, al presentár- destacar es, justamente, el de la relación nente. Esta disparidad se debe a que senos opciones concretas para elegir… necesaria entre conceptos y procedi- este último procedimiento está más mientos. Es muy probable que estemos “alejado” del concepto de máximo co- 7.3. Matemática, manejando algunos algoritmos de una mún divisor como el mayor de los di- ciencia de relaciones forma mecánica, memorística, cuya visores comunes, y a que habitualmente Se ha dicho que la matemática es explicación y justificación no domine- no suele explicarse el nexo existente fundamentalmente una ciencia de rela- mos –y que quizá no entendimos nun- entre ambos, concepto y procedimiento. 19
  • 20. De esta forma, ambos pierden su sig- porqué de los procedimientos matemá- propias de establecer relaciones y de nificado y quedan aislados, refugiados ticos que utilizamos personalmente y en resolver problemas en nuestra vida. en la sola memoria. el aula. Plantearse, así, una matemática en Para culminar este punto, no está de 7.4. Una matemática la vida, significa además reconocer y sobra añadir el efecto multiplicador –en inserta en la cultura legitimar aquellos conocimientos, par- cuanto a la comprensión de las ideas de cada sociedad ticularmente los procedimentales, que matemáticas y a su profundización– Es cierto que la matemática cons- a veces utilizamos aun cuando desco- que tiene el establecimiento de una tituye un campo disciplinar universal, nozcamos su fundamento matemático sólida relación entre conceptos y compartido por personas de todos los o no sepamos cómo explicarlo. Ejemplo procedimientos cuando esta relación se países y culturas. Este es un hecho de esta última situación puede ser el formula en un contexto de diversidad, innegable. Matemáticos de muy diver- efectuar las sustracciones, no por la vía tanto en la representación conceptual sas partes del mundo conocen sus tra- del “quitar prestado”, cuando se trata de como en la operatividad procedimental. bajos respectivos, a veces estudian los restas “con dificultad”, sino por la vía del En estas circunstancias, no es difícil mismos temas e, incluso en ocasiones, “dar un vuelto”, tal como lo hacen los imaginarse la potencia que adquiere la llegan simultáneamente a los mismos buhoneros, procedimiento que resulta construcción del pensamiento matemá- resultados. Aún más, es la comunidad más sencillo y práctico. Otro caso puede tico, tanto en nosotros como en nuestros matemática mundial la que sirve de juez ser el del cálculo mental, o el de la es- alumnos. para validar los trabajos y las conclusio- timación, con su diversidad de modos nes a las que llegan los colegas indivi- de hacer. En todos estos casos debemos Tenemos ya, pues, dos caracterís- dualmente o en grupo. valorar y develar la carga matemática ticas de este pensamiento matemático subyacente. que pretendemos construir en nosotros Pero este no es todo el campo de mismos: un pensamiento abierto a la existencia de la matemática. Porque ella Otro punto a destacar, en referencia diversidad, y en el que los procedimien- posee una vertiente de aplicación hacia a una matemática en la vida, es el del tos están íntimamente ligados a los otras ciencias y, en particular, hacia la lenguaje. La universalidad de la mate- conceptos y hallan en ellos su signifi- vida. Esto significa que, al abordarla mática como forma de pensamiento cado pleno. De esta forma podemos individualmente o con nuestros alum- exige la utilización de un lenguaje pre- lograr una construcción eficiente del nos, debemos tomar en cuenta los con- ciso, con una sintaxis rigurosa, que hay conocer matemático, requisito básico textos que nos son próximos, tanto para que conocer y asimilar. De hecho, –recordémoslo una vez más– e indis- buscar en ellos las situaciones a mode- muchos autores consideran la matemá- pensable para alcanzar las dimensiones lizar matemáticamente, como para en- tica como un lenguaje. tecnológica y reflexiva que constituyen, contrar aquellas que sirvan de aplica- escalonadamente, el objetivo de nuestra ción a los conocimientos adquiridos. Del Adquirir ese lenguaje formal es una propuesta. Entre otras cosas, porque mismo modo, significa aceptar en meta del aprendizaje de la matemática, nos habituaríamos a preguntarnos el nuestro aprendizaje nuestras formas a todos los niveles. Pero eso no significa 20
  • 21. que la rigurosidad de su uso deba ser la Muy bien. Hemos hablado de la ne- enseñamos en el aula, además de misma en todos los niveles, ni que el cesidad de construir el conocer mate- reflexionar acerca de cómo nuestro lenguaje formal deba ser necesaria- mático como punto de partida indispen- conocer limita y condiciona nuestro mente el lenguaje de partida. La impo- sable para desarrollar nuestro pensa- trabajo docente. De esta forma, sición desencarnada del lenguaje mate- miento matemático y el de nuestros integrar nuestra práctica docente en mático formal, sin ir acompañada por la alumnos, en el marco de una educación nuestro estudio. respectiva formación de significado, matemática crítica. Hemos planteado acentuaría nuestros niveles de depen- una matemática abierta a la diversidad, • Como complemento a lo anterior, dencia. que establece una red de relaciones construir el conocer de cada tópico entre conceptos y procedimientos, y que matemático pensando en cómo lo En consecuencia, es muy impor- también se manifiesta en cada cultura podemos llevar al aula. Para ello, tante poder utilizar nuestro lenguaje según formas propias… tomar conciencia del proceso que corriente, poder “dialogar” –entre seguimos para su construcción, nosotros o entre los propios alumnos– a Vamos a estudiar esta matemática. paso a paso, así como de los elemen- la hora de estudiar la matemática, Pero no lo vamos a hacer como si fué- tos –cognitivos, actitudinales, emo- hacerlo en pequeños grupos y permi- ramos simplemente unos alumnos que cionales…– que se presenten en tirnos expresar nuestras ideas matemá- posteriormente van a ser evaluados, y dicho proceso. Porque, a partir de ticas con nuestras propias palabras. Y ya. No. Nosotros somos docentes –do- esta experiencia reflexiva como hacia esta meta debe tender también la centes de matemática en su momento– estudiantes, podremos entender y exposición que hagamos de cualquier y este rasgo debe caracterizar la forma evaluar mejor el desempeño de contenido matemático. de construir nuestro pensamiento mate- nuestros alumnos –a su nivel– ante mático. ¿Qué significa esto? los mismos temas. 8. Estudiar la matemática… como docentes • La presencia constante de la meta de En definitiva, entender que la nuestro estudio: alcanzar unos ni- matemática es la base de su didáctica: veles de conocimiento tecnológico y la forma en que se construye el conoci- reflexivo, lo cual debe abrir ese estu- miento matemático es una fuente im- dio hacia la búsqueda de aplicacio- prescindible a la hora de planificar y nes de lo aprendido, hacia el análisis desarrollar su enseñanza. de los sistemas que dan forma a nues- tra vida y utilizan ese conocimiento matemático, y hacia criterios sociales y éticos para juzgarlos. • Construir el conocer de cada tópico matemático pensando en cómo lo 21
  • 22. NUESTRO PROYECTO La presentación y el tratamiento de - Fe y Alegría (2002). La Escuela Hasta aquí hemos presentado las lí- estos temas intentarán ajustarse a los Necesaria. Proyecto para la acción en Fe neas maestras de lo que entendemos co- criterios formulados en este Cuaderno y Alegría. Maracaibo: Centro de Forma- mo conocimiento matemático, paso pre- nº 1: se insistirá en la diversidad mate- ción Padre Joaquín. vio indispensable para lo que sigue. Lo mática (conceptos, procedimientos, - Federación Internacional de Fe y que nos planteamos como objetivo en resolución de problemas), en el esta- Alegría (2002). Proyecto Latinoame- nuestro proyecto es el desarrollo de blecimiento de relaciones entre con- ricano de Formación de Educadores nuestro pensamiento matemático como ceptos y procedimientos y en la incor- Populares. La propuesta formativa de Fe docentes. Para contribuir a su logro, pro- poración de elementos matemáticos y Alegría. Documento definitivo. Cara- ponemos un proceso de autoformación presentes en nuestra cultura. cas: Federación Internacional de Fe y –individual y en el colectivo de cada es- Alegría. cuela–, soportado por los Cuadernos que En cuanto al modo de uso de estos - Freire, P. (1969). La educación como constituirán la serie siguiente, referida a Cuadernos, sugerimos su estudio y asi- práctica de la libertad. Madrid: Siglo XXI. tópicos que se tratan en los primeros milación individual y colectiva “como do- - Freire, P. (1970). Pedagogía del grados de nuestros sistemas educativos: centes”. De todas formas, como los textos oprimido. Madrid: Siglo XXI. no son cerrados, esperamos nuevos apor- - Griffiths, P. (2000). Las Matemá- • El sistema numérico decimal tes, propuestas de tratamientos adiciona- ticas ante el cambio de milenio. En La • Adición les o alternativos, otros ejemplos, ejerci- Gaceta de la Real Sociedad Matemática • Sustracción cios y problemas, etc. La idea es ir eva- Española, Vol. 3, nº 1, 23-41. • Multiplicación luando los Cuadernos para enriquecerlos - Skovsmose, O. (1994a). Towards a • Potenciación permanentemente. Estamos empezando critical mathematics education. En • División una tarea, una tarea que es de todos. Educational Studies in Mathematics, 27, • Divisibilidad 35-57. • Fracciones I: Concepto Referencias - Skovsmose, O. (1994b). Towards a y representación bibliográficas philosophy of critical mathematics • Fracciones II: Orden y operaciones education. Dordrecht: Kluwer Acade- • Razones y proporciones mic. [Trad. por Paola Valero, Hacia una • Geometría: conceptos filosofía de la educación matemática y construcciones elementales - Castells, M. (1994). Flujos, redes e crítica. Bogotá: una empresa docente, • Polígonos identidades: Una teoría crítica de la 1999]. • Circunferencia y círculo sociedad informacional. En: M. Castells - Skovsmose, O., Valero, P. (2002). • Cuerpos geométricos et al., Nuevas perspectivas críticas en Democratic access to powerful mathe- • Estadística y probabilidad I educación, pp. 13-53. Barcelona: Paidós. matical ideas. En: L. D. English (Ed.), • Estadística y probabilidad II - Davis, P., Hersh, R. (1988). Descar- Handbook of international research in • Introducción al Álgebra. Ecuaciones tes’ dream: The world according to mathematics education, pp. 383-407. • Funciones matemáticas mathematics. London: Penguin Books. Mahwah: LEA. 22
  • 23. Índice 1. Introducción 5 2. La relación matemática-sociedad 6 3. La educación matemática 7 4. Nuestra educación matemática 9 5. Un poco de ejercitación previa 11 6. ¡A estudiar matemática...! 12 7. Pero, ¿cómo es la matemática, el pensamiento matemático, que hay que construir? 7.1. La concepción de la matemática 13 7.2. Matemática, unidad en la diversidad 14 Diversidad en los sistemas de representación de un concepto 14 Diversidad en los procedimientos operacionales 15 Diversidad en las formas de resolución de un problema 16 En conclusión: diversidad 19 7.3. Matemática, ciencia de relaciones 19 7.4. Una matemática inserta en la cultura de cada sociedad 20 8. Estudiar la matemática... como docentes 21 NUESTRO PROYECTO 22 23
  • 24. Este libro se terminó de imprimir en el mes de abril de 2005. 24

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