8. Risposta in frequenza degli amplificatori8.1    Considerazioni generali sulla risposta in frequenza   I calcoli che abb...
VO (s ) a 0 + a 1s + ... + a m s m N(s )   A( s) =          =                           =                                 ...
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Il relativo diagramma di Bode delle ampiezze ha però sicuramente pendenza nulla per frequenzeabbastanza alte, alle quali t...
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Risposta in frequenza amplificatori

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Risposta in frequenza amplificatori

  1. 1. 8. Risposta in frequenza degli amplificatori8.1 Considerazioni generali sulla risposta in frequenza I calcoli che abbiamo svolto finora sui circuiti equivalenti per piccoli segnali degli amplificatori,volti a valutare i guadagni e le resistenze ai terminali dei vari stadi considerati, sono sempre staticondotti considerando segnali di ingresso aventi frequenza abbastanza alta da poter considerare icondensatori di disaccoppiamento e di bypass come dei cortocircuiti. In tal modo il circuitoequivalente degli amplificatori considerati non contiene elementi reattivi e risulta essere puramentestatico, per cui, in particolare, il guadagno dell’amplificatore risulta essere del tutto indipendentedalla frequenza. In realtà, proprio a causa della presenza dei condensatori esterni didisaccoppiamento e di bypass, il guadagno dell’amplificatore comincia a diminuire se si riduce lafrequenza del segnale di ingresso al di sotto di un certo limite inferiore, laddove i condensatoristessi non possono più essere considerati dei cortocircuiti. Il guadagno si riduce a zero se siconsiderano le eventuali componenti continue del segnale di ingresso, in quanto questo era propriolo scopo dell’inserzione dei condensatori di disaccoppiamento e cioè evitare che il segnale potesseavere qualche inluenza sul punto di lavoro scelto per i transistori del circuito, come nel caso di Ci infig. 8.1. In altre parole il guadagno si riduce a zero a frequenza nulla. VCC R1 RC vo RS Ci vS R2 RE VEE Figura 8.1: Condensatore di disaccoppiamento Ci La variazione del comportamento del circuito in fig. 8.1 al variare della frequenza di un segnalesinusoidale applicato in ingresso si può descrivere considerando il circuito equivalente lineare perpiccoli segnali dell’amplificatore, includendo però gli effetti della capacità Ci. In generale il comportamento dinamico di un circuito lineare contenente dei condensatori sipuò studiare facilmente nel dominio della trasformata di Laplace. In pratica ogni condensatore è 1rappresentato tramite la sua impedenza complessa Z (s)=c : applicando le leggi di Kirchhoff al sCcircuito equivalente si ottiene quindi il rapporto tra le trasformate di Laplace rispettivamente deisegnali di uscita e di ingresso, che si presenta nella forma del rappporto tra due polinomi nellavariabile s. Si ottiene così la funzione di trasferimento del circuito A(s):
  2. 2. VO (s ) a 0 + a 1s + ... + a m s m N(s ) A( s) = = = (8.1) VS (s ) b 0 + b1 s + ... + b n s n D(s ) In particolare il grado del denominatore rappresenta l’ordine del circuito, che risulta essere parial numero di condensatori indipendenti del circuito, ottenuto sottraendo al numero totale dicondensatori presenti nella rete il numero di maglie indipendenti formate solo da condensatorioppure da condensatori e generatori di tensione ideali. Se si considerano gli zeri del polinomio al numeratore, cioè le radici dell’equazione N(s)=0, e glizeri del denominatore (soluzioni dell’equazione D(s)=0), si può riscrivere l’equazione (8.1) nellaseguente forma:  s  s   s  1 +  ω 1 + ω ...1 + ω      = A0  z1  z2    V (s ) A( s) = O zm (8.2) VS (s )      1 + s 1 + s ... 1 + s   ω  ω   ω   p1  p2   pn  Le soluzioni dell’equazione N(s)=0, e cioè –ωz1, -ωz2, …, -ωzm, si chiamano zeri del circuito,mentre le soluzioni di D(s)=0, cioè –ωp1 , -ωp2 , …, -ωpn , sono i poli del circuito. Si può dimostrareche, se il circuito è costituito da stadi elementari del tipo studiato nei capitoli precedenti oppuredalla cascata di tali stadi, i poli del circuito sono tutti reali negativi, cioè che ωp1 , ωp2 , …, ωpnnell’equazione (8.2) sono numeri positivi. In questa situazione, se si considera la funzione A(jω), ottenuta sostituendo nella (8.2) oppurenella (8.1) la variabile s con la variabile jω, essa ha delle proprietà notevoli:  jω  jω   jω  1 +  ω  1 + ω ... 1 + ω       z1  z2   zm  A( jω) = A 0 (8.3)       1 + j ω  1 + j ω ...1 + j ω   ω  ω   ω   p 1  p2   pn Se si applica in ingresso al circuito una sinusoide a frequenza ω, quando il circuito è a regime(regime sinusoidale), si ha che, essendo il circuito lineare, l’uscita è una sinusoide alla stessafrequenza ω. La funzione A(jω) possiede le seguenti proprietà: a) Il modulo della funzione, |A(jω)|, è pari al rapporto tra l’ampiezza della sinusoide di uscita e l’ampiezza della sinusoide in ingresso b) La fase della funzione, ∠A( j ω) , è pari alla differenza tra la fase della sinusoide in uscita e la fase della sinusoide in ingresso. La funzione A(jω) si chiama funzione di risposta armonica o funzione di risposta infrequenza del circuito e in particolare siamo interessati al suo modulo, in quanto ci interessal’ampiezza del segnale sinusoidale che si ottiene all’uscita dell’amplificatore al variare dellafrequenza, più che la sua fase.
  3. 3. 8.2 Diagramma di Bode delle ampiezze. Il modulo della funzione di risposta armonica |A(jω)| viene rappresentato in funzione dellafrequenza in un diagramma logaritmico, detto diagramma di Bode delle ampiezze . Esso riporta ilvalore di |A(jω)| espresso in decibel in funzione della frequenza in scala logaritmica. Il valore indecibel di |A(jω)| è il seguente: AdB(jω)=20log10 |A(jω)| (8.4) A questo punto i singoli termini prodotto che compongono la funzione di risposta armonica nellaforma che evidenzia poli e zeri (8.3) daranno un loro contributo nel diagramma di Bode delleampiezze. I vari contributi dei termini prodotto associati ai singoli poli e ai singoli zeri si sommano,dato che il logaritmo di un prodotto è pari alla somma dei logaritmi dei singoli fattori. Esaminiamo quindi il contributo al diagramma di Bode associato a uno zero, cioè fornito da un ωtermine del tipo |1+ j |. Notiamo che, pensando in termini asintotici, per frequenze molto piccole ωzrispetto a quella dello zero, cioè ω<<ωz, il termine si riduce a un valore unitario, che, espresso indecibel, corrisponde a zero. Se invece consideriamo frequenze alte rispetto a quella dello zero, cioè ωω>>ωz, otteniamo che l’unità è trascurabile rispetto a , per cui il modulo del nostro termine è ωz ωpari appunto a , cioè è direttamente proporzionale alla frequenza. Se si esprime questo in ωzdecibel, si ottiene un andamento nel diagramma di Bode delle ampiezze di tipo rettilineo, conpendenza pari a 20dB/decade, come nella seguente figura (8.2). AdB(jω) 20dB/decade ω=1 ω=10 ω=ωz ω=100 ω=1000 ω Figura 8.1: Contributo di uno zero, piazzato alla frequenza ω z, al diagramma di Bode delle ampiezze E’ importante osservare che in corrispondenza della frequenza dello zero, cioè per ω=ωz, ilmodulo del termine che stiamo considerando vale esattamente 2 , che, espresso in decibel, fornisceun guadagno pari a 3dB, per cui il diagramma asintotico in fig. 8.2 va raccordato in modo da fornireappunto un valore pari a 3dB in ω=ωz.
  4. 4. Se passiamo a considerare il contributo al diagramma di Bode delle ampiezze fornito da un ωtermine associato a un polo nella (8.3), cioè a un termine del tipo 1/|(1+ j )|, notiamo che per ωpvalori di frequenza ω<<ωp , il contributo è ancora una volta pari a zero decibel (cioè un valore ωpunitario), mentre per frequenze ω>>ωp , si ottiene un contributo pari a in quanto l’unità diventa ωtrascurabile. Ciò significa che a frequenze sufficientemente alte rispetto a quella del polo il modulodel guadagno e la frequenza sono inversamente proporzionali. Ciò corrisponde , nel diagramma diBode delle ampiezze, in cui i moduli sono espressi in dB, a una retta con pendenza pari a–20dB/decade. Il tutto è raffigurato nella seguente fig. 8.3. AdB(jω) ω=ωp ω=100 ω=1000 ω ω=1 ω=10 -20dB/decade Figura 8.2: Contributo di un polo, piazzato alla frequenza ω p, al diagramma di Bode delle ampiezze Anche qui notiamo che in corrispondenza della frequenza del polo il valore del modulo deltermine che stiamo considerando vale 1/ 2 =0.707, il che corrisponde a –3dB, per cui il diagrammaasintotico riportato in fig. 8.3 andrebbe corretto in tal senso.8.3 Diagramma di Bode tipico di un amplificatore alle basse frequenze Tornando al caso di un amplificatore che contiene condensatori di disaccoppiamento e di bypass,come quello rappresentato nella seguente figura, il suo equivalente per piccolo segnale contiene trecondensatori indipendenti (non esistono maglie formate da condensatori o da condensatori egeneratori di tensione ideali), per cui la funzione di risposta armonica A(jω) dell’amplificatore ècaratterizzata dalla presenza di tre poli. VCC R1 RC CE RS Ci vS vo CL RL R2 RE
  5. 5. Il relativo diagramma di Bode delle ampiezze ha però sicuramente pendenza nulla per frequenzeabbastanza alte, alle quali tutti e tre i condensatori possono essere considerati dei cortocircuiti equindi il guadagno diventa costante al variare della frequenza. Di conseguenza sicuramente devonoessere presenti, oltre ai tre poli, anche tre zeri alle basse frequenze nella funzione di rispostaarmonica dell’amplificatore, i quali, con il loro contributo totale alla pendenza del diagramma diBode che è pari a +60dB/decade, equilibrano il contributo totale alla stessa pendenza dei tre poli,che è pari a –60dB/decade. Abbiamo quindi tre poli e tre zeri e un diagramma di Bode delle ampiezze che è moltocomplicato. Per semplificare le cose, considereremo, al posto del diagramma di Bode verodell’amplificatore, una sua approssimazione a un solo polo e un solo zero.

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