MECCANICAMECCANICA
QUANTISTICAQUANTISTICA
Una particella è descritta mediante una
funzione d’onda Ψ (posizione, tempo)
1o
POSTULATO
Esempi:
Per una singola particel...
Ψ(x,y,z,t) è soluzione dell’equazione di SCHRÖDINGER
Ψ=Ψ EHˆ
Ψ non è un’onda fisica.
Ψ è un’entità matematica astratta che...
Soluzione:
x=x(t) Ψ(x)
p=p(t)
Newton Schrödinger
Ψ=Ψ





+−−=
Ψ=Ψ==
EV
dx
d
mdx
dV
F
EH
dt
xd
mmaF
2
22
2
2
2
ˆ

O
X
Particella libera in moto lungo l’asse x
Meccanica Classica
Sia una particella di massa m che si muove in
assenza di p...
Particella libera in moto lungo l’asse x
Meccanica Quantistica
)()(
2 2
22
xExV
dx
d
m
Ψ=Ψ





+−

)(
2
)( 22
2
xE...
)()( 2
2
2
xkx
dx
d
Ψ−=Ψ
ikxikx
eke
dx
d 2
2
2
−=
Ψ(x) = eikx
è una soluzione
ma anche Ψ(x) = e-ikx
è soluzione.
La soluzi...
Qualunque valore di k è accettabile
Qualunque valore di E è accettabile
Energia NON quantizzata
m
p
m
k
E
22
222
==

Ener...
Ψ(x) = eikx
= cos kx + i sin kx
cos kx : onda di lunghezza d’onda λ = 2π/k → k=2π/ λ
p = k ħ = 2π/λ ħ = 2π/λ h/2π = h/λ
λ ...
funzioned’ondaΨ
1. HA UNA INTERPRETAZIONE
2. HA DEI VINCOLI
3. CONTIENE TUTTE LE
INFORMAZIONI DINAMICHE
SUL SISTEMA
Ψ
INTERPRETAZIONE
DELLA FUNZIONE D’ONDA
• Secondo la teoria ondulatoria della luce, il quadrato
dell’ampiezza di un’onda ele...
INTERPRETAZIONE DI BORN DELLA Ψ
Se la funzione d’onda ha valore
Ψ(x) nel punto x, la probabilità di
trovare una particella...
dxxxxP *
)()()( ΨΨ= 22
22
**
ba
b+iab+iab-a=
ib)-a(ib)+a(
ib)+ib)(a+a(cc
realeba,
ib+a=c
+=
=
=
Interpretazione della funz...
Ψ = Ψr + i Ψi
Ψ* = Ψr - i Ψi
|Ψ|2
= Ψr
2
+ Ψi
2
Ψ(x)
positiva
e negativa
|Ψ(x)|2
= Ψ(x)Ψ(x)*
→ sempre positiva
e reale
Den...
dy
dz
dx
Probabilità
Elemento di
volume
Densità di probabilità =
probabilità per unità di
volume
Interpretazione della fun...
Voi siete probabilmente qui
Meccanica classica : deterministica
Meccanica quantistica: probabilistica
PARTICELLA LIBERA
ikx
e±
=Ψ
Tutte le energie
sono permesse
posizione x
Re(Ψ)
Proprietà matematica dell’equazione di Schrödinger
Se Ψ è una soluzione
x)(x)()(
x)(
2 2
22
ψψ
ψ
ExV
dx
d
m
=+−

allora N...
Interpretazione di Born e normalizzazione della Ψ
– Deve valere la condizione:
∫
∞
∞−
=ΨΨ 1)()(*
dxxx
∫
∞
∞−
=ΨΨ 1*2
τdN
L...
1. HA UNA INTERPRETAZIONE
2. HA DEI VINCOLI
3. CONTIENE TUTTE LE
INFORMAZIONI DINAMICHE
SUL SISTEMA
Ψ
V
X
L’interpretazione di Born introduce dei vincoli sulla Ψ
In corrispondenza al punto X ci sia
una variazione di potenzia...
Ψ non è continua
dΨ/dx e d2
Ψ/dx2
non sono definite
L’eq. di Schrödinger non è definita
dΨ/dx non è continua
Quindi d2
Ψ/dx2
non è definita
L’eq. di Schrödinger non è definita
P(x) = Ψ(x) Ψ*(x) non può assumere valori multipli
∞=ΨΨ∫ dxxxN
b
a
*2
)()(
VINCOLI SULLA FORMA DELLA Ψ LEGATI
ALL’INTERPRETAZIONE DI BOHR
1. Ψ deve essere continua
2. La derivata seconda della Ψ de...
L’ INTERPRETAZIONE DI BORN
E I VINCOLI SULLA Ψ
Una particella può avere solo certi valori
dell’Energia, altrimenti la Ψ sa...
1. HA UNA INTERPRETAZIONE
2. HA DEI VINCOLI
3. CONTIENE TUTTE LE
INFORMAZIONI DINAMICHE
SUL SISTEMA
Ψ
COME OTTENIAMO
ALTRE INFORMAZIONI
(OLTRE ALLA POSIZIONE)
DALLA Ψ
?
• Le proprietà misurabili di un sistema fisico
sono dette “osservabili”
• Un’osservabile può essere una proprietà
statica:...
Ad ogni osservabile della meccanica classica
corrisponde un operatore in meccanica quantistica
2o
POSTULATO
)()(ˆ xgxfA = ...
 La nuova funzione g(x) può essere diversa dalla
funzione originale f(x).
)cos()sin( kxkkx
dx
d
=
 Se la nuova funzione ...
OSSERVABILE OPERATORE
POSIZIONE x
MOMENTO px
ECINETICA
EPOTENZIALE V(x)
m
p
T x
2
2
=
xˆ
xpˆ
Tˆ
Vˆ
Hˆ
x
dx
d
i−
2
22
2 dx...
COME SI OTTENGONO LE INFORMAZIONI
(OLTRE LA POSIZIONE) DALLA Ψ ?
3
3o
POSTULATO
iii Ψ=ΨΩ ωˆ
In ogni osservazione dell’osse...
ωψψ =Ω
Autovalori ed autofunzioni
(operatore)(autofunzione) = (autovalore)(autofunzione)
(operatore)(funzione) = (costante...
Risolvere l’equazione di Schrödinger
vuol dire trovare gli autovalori e le autofunzioni
dell’operatore Hamiltoniano per il...
xd
d
ipx −=ˆ
ikx
ikx
ikx
ke
dx
de
iep  =−=ˆ
OPERATORE MOMENTO LINEARE
La componente px del momento lineare della partic...
sin(x) sin(2x)
ORTOGONALITA’ DELLE FUNZIONI DI STATI DIVERSI
∫ =
π2
0
0)2sin()sin( dxxx
0=ΨΨ∫ τdji
sin(x) e sin(2x) sono
a...
OPERATORE ENERGIA CINETICA
E
CURVATURA DELLA Ψ
ALTA CURVATURA
ALTA ENERGIA CINETICA
BASSA CURVATURA
BASSA ENERGIA CINETICA...
Ψ
REGIONE CON
ALTO CONTRIBUTO A T
REGIONE CON
BASSO CONTRIBUTO
A T
POSIZIONE x
Ψ
ENERGIA
ENERGIA
CINETICA T
PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE
A
B
DESCRIZIONE
CLASSICA QUANTISTICA
PA ΨA PA=|ΨA|2
PB ΨB PB=|ΨB|2
1 FENDITURA
2 FENDITURE
B
A
A
B
DESCRIZIONE CLASSICA
PAB = PA + PB
DESCRIZIONE QUANTISTICA
ΨAB = ΨA + ΨB
PAB = |ΨA + ΨB|2
=
|ΨA|2
+ |Ψ...
Importante :
in nessun modo possiamo predire dove
un elettrone colpirà lo schermo.
Possiamo solo predire probabilità.
PARTICELLA LIBERA
• MOTO PER x CRESCENTI Ψ+ = exp(ikx)
• DECRESCENTI Ψ- = exp(-ikx)
Una misura del momento lineare della p...
Una misura del momento lineare della particella dà o +kħ o –kħ, ma
non sappiamo quale.
Possiamo soltanto predire che la pr...
Un sistema quantistico è descritto da una sovrapposizione di stati
Solo dopo la misura il sistema assume uno stato definit...
4o
POSTULATO
∫=>< dτΨΩΨΩ *
Il valore atteso è la media pesata di un gran
numero di osservazioni della proprietà eseguite s...
Se uno fa un gran numero di misure di Ω su un
insieme di sistemi preparati in modo identico,
ottiene un insieme di valori ...
ii
*
ii
ii
*
ii
*
i
ωdτΨΨω
dτΨωΨdτΨΩΨΩ
=
==>=<
∫
∫∫
 Se Ψ è un’autofunzione di Ω
iii
i
ΨωΨΩ
ΨΨ
=
=
ˆ
Ogni osservazione di...
 Se Ψ non è un’autofunzione di Ω 2211 ΨcΨcΨ +=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
dτΨΨωccdτΨΨωcc
dτΨΨωccdτΨΨωcc
dτΨωcΨωc*ΨcΨc
dτΨcΨc...
1. Quando Ω è misurato su un singolo membro di
un insieme, il risultato è uno degli autovalori di
Ω, ma non può essere pre...
∫=>< dτΨΩΨΩ * ˆ
iii Ψ=ΨΩ ωˆ
Postulato 1: una particella è descritta mediante
una funzione d’onda Ψ (r,t)
Postulato 2: ad o...
H(ri)ψ(ri)= Eψ(ri)
i=1,3N
"The underlying physical laws necessary for
the mathematical theory of..the whole of
chemistry a...
Un elettrone in moto attorno al nucleo
Moto circolare : l’elettrone accelera
Cariche accelerate emettono radiazione
L’elet...
Alla particella è associata un’onda
(a) Solo onde di lunghezza d’onda λ
opportuna possono generare onde
stazionarie (chiud...
Supponiamo di conoscere esattamente
il momento della particella
Ψ(x) = Aeikx
la particella si muove verso destra con momen...
Supponiamo di conoscere esattamente
la posizione della particella
Posizione
della particella
• Per ottenere una Ψ localizzata
occorre fare una combinazione
lineare di funzioni sin(kx) o cos(kx)
(oppure eikx
e e-ikx
...
Fotone
Fotone
Microscopio
Microscopio
Elettrone
Elettrone
PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE DI
HEISENBERG
Illuminiamo l’elettr...
E = hν =hc/λ, un fotone con lunghezza d’onda corta ha
energia grande
Quindi tramette un ‘impulso’ grande all’elettrone
Ma ...
Misura della posizione di un elettrone
L’azione di misurare influenza l’elettrone, viene trasmesso un
impulso e viene dist...
Misure della posizione
L’esperimento assume che, mentre prima
dell’osservazione abbiamo valori ben definiti, è l’atto di
misurare che introduce l...
Ruolo dell’Osservatore in Meccanica Quantistica
• L’osservatore non è obiettivo e passivo
• L’atto di osservare cambia il ...
PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE DI
HEISENBERG
• E’ impossibile specificare
SIMULTANEAMENTE sia la
posizione che il momento d...
/ 2
/ 2
/ 2
x
y
z
x p
y p
z p
∆ ∆ ≥
∆ ∆ ≥
∆ ∆ ≥



Non possiamo determinare esattamente e simultaneamente
variabili ‘co...
Implicazioni
 E’ impossibile conoscere simultaneamente ed
esattamente sia la posizione che il momento,
cioè Δx=0 e Δp=0
...
Il tempo e l’energia
Se un sistema permane in uno stato per un tempo ∆t,
l’energia di questo sistema non può essere determ...
Un elettrone in n = 3 decade spontaneamente
ad un livello inferiore dopo una vita media
τ½ ~ 10-8
s
Le transizioni fra i l...
Se la costante di Planck fosse molto più grande...
Schro
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Schro

255 views
172 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
255
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
9
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Schro

  1. 1. MECCANICAMECCANICA QUANTISTICAQUANTISTICA
  2. 2. Una particella è descritta mediante una funzione d’onda Ψ (posizione, tempo) 1o POSTULATO Esempi: Per una singola particella che si muove in una dimensione: Per una singola particella che si muove in tre dimensioni: Per due particelle che si muovono in tre dimensioni: ( ),x tΨ ( ) ( )tzyxt ,,,, Ψ=Ψ r ( ) ( )tzyxzyxt ,,,,,,,, 22211121 Ψ=Ψ rr Se abbiamo la funzione d’onda di un sistema, possiamo ottenere tutto ciò che è possibile conoscere di quel sistema.
  3. 3. Ψ(x,y,z,t) è soluzione dell’equazione di SCHRÖDINGER Ψ=Ψ EHˆ Ψ non è un’onda fisica. Ψ è un’entità matematica astratta che contiene le informazioni sullo stato del sistema.
  4. 4. Soluzione: x=x(t) Ψ(x) p=p(t) Newton Schrödinger Ψ=Ψ      +−−= Ψ=Ψ== EV dx d mdx dV F EH dt xd mmaF 2 22 2 2 2 ˆ 
  5. 5. O X Particella libera in moto lungo l’asse x Meccanica Classica Sia una particella di massa m che si muove in assenza di potenziale. La sua posizione è data da x. L’espressione dell’energia totale, cioè dell’energia cinetica in funzione del momento lineare: HxV m p EEE potcin =+=+= )( 2 2 m p EH cin 2 2 == V = 0
  6. 6. Particella libera in moto lungo l’asse x Meccanica Quantistica )()( 2 2 22 xExV dx d m Ψ=Ψ      +−  )( 2 )( 22 2 xE m x dx d Ψ−=Ψ  V = 0 )()( 2 2 22 xEx dx d m Ψ=Ψ−  m k EkE m 2 2 22 2 2   =−=− )()( 2 2 2 xkx dx d Ψ−=Ψ
  7. 7. )()( 2 2 2 xkx dx d Ψ−=Ψ ikxikx eke dx d 2 2 2 −= Ψ(x) = eikx è una soluzione ma anche Ψ(x) = e-ikx è soluzione. La soluzione generale è Ψ(x) = A eikx + B e-ikx ( ) ( )ikxikx ikxikxikxikx BeAek e dx d Be dx d ABeAe dx d − −− +− =+=+ 2 2 2 2 2 2 2
  8. 8. Qualunque valore di k è accettabile Qualunque valore di E è accettabile Energia NON quantizzata m p m k E 22 222 ==  Energia è solo Ecin p = ± k ħ m k E 2 22  =
  9. 9. Ψ(x) = eikx = cos kx + i sin kx cos kx : onda di lunghezza d’onda λ = 2π/k → k=2π/ λ p = k ħ = 2π/λ ħ = 2π/λ h/2π = h/λ λ = h/p ipotesi di de Broglie Per una particella libera l’equazione di Schrödinger implica la relazione di de Broglie. PLAUSIBILITA’ dell’equazione di Schrödinger E’ comunque un POSTULATO
  10. 10. funzioned’ondaΨ
  11. 11. 1. HA UNA INTERPRETAZIONE 2. HA DEI VINCOLI 3. CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA Ψ
  12. 12. INTERPRETAZIONE DELLA FUNZIONE D’ONDA • Secondo la teoria ondulatoria della luce, il quadrato dell’ampiezza di un’onda elettromagnetica è proporzionale all’intensità della luce – Poiché la luce si comporta come una particella (fotone), l’intensità deve essere una misura della probabilità di trovare un fotone in un volume dello spazio • Se applichiamo questa idea alle particelle, il valore di |Ψ|2 in un punto è proporzionale alla probabilità di trovare la particella in quel punto • La quantità fisicamente significativa è |Ψ|2 INTERPRETAZIONE DI BORN DELLA Ψ 1
  13. 13. INTERPRETAZIONE DI BORN DELLA Ψ Se la funzione d’onda ha valore Ψ(x) nel punto x, la probabilità di trovare una particella tra x e x+dx è proporzionale a |Ψ(x)|2 dx Max Born
  14. 14. dxxxxP * )()()( ΨΨ= 22 22 ** ba b+iab+iab-a= ib)-a(ib)+a( ib)+ib)(a+a(cc realeba, ib+a=c += = = Interpretazione della funzione d’onda in 1-D Ψ(x) → ampiezza di probabilità: positiva, negativa, complessa Probabilità *2 )()(|)(| xxx ΨΨ=Ψ sempre positiva e reale densità di probabilità Probabilità
  15. 15. Ψ = Ψr + i Ψi Ψ* = Ψr - i Ψi |Ψ|2 = Ψr 2 + Ψi 2 Ψ(x) positiva e negativa |Ψ(x)|2 = Ψ(x)Ψ(x)* → sempre positiva e reale Densità di probabilità Funzione d’onda Ψ
  16. 16. dy dz dx Probabilità Elemento di volume Densità di probabilità = probabilità per unità di volume Interpretazione della funzione d’onda in 3-D Se la funzione d’onda di una particella vale Ψ(x,y,z) nel punto (x,y,z), allora la probabilità di trovare particella tra x e x+dx, y e y+dy, z e z+dz, cioè nel volume infinitesimo dτ = dx dy dz è proporzionale a |Ψ(x,y,z)|2 dτ P(x,y,z)=Ψ(x,y,z)Ψ(x,y,z)* dx dy dz
  17. 17. Voi siete probabilmente qui Meccanica classica : deterministica Meccanica quantistica: probabilistica
  18. 18. PARTICELLA LIBERA ikx e± =Ψ
  19. 19. Tutte le energie sono permesse posizione x Re(Ψ)
  20. 20. Proprietà matematica dell’equazione di Schrödinger Se Ψ è una soluzione x)(x)()( x)( 2 2 22 ψψ ψ ExV dx d m =+−  allora N Ψ è pure una soluzione x)(x)()( x))(( 2 2 22 ψψ ψ ENNxV dx Nd m =+−  Prova: NORMALIZZAZIONE x)(x)()( x)( 2 2 22 ψψ ψ NExNV dx d N m =+− 
  21. 21. Interpretazione di Born e normalizzazione della Ψ – Deve valere la condizione: ∫ ∞ ∞− =ΨΨ 1)()(* dxxx ∫ ∞ ∞− =ΨΨ 1*2 τdN La probabilità che la particella sia da qualche parte deve essere 1 – Se la Ψ soddisfa questa condizione viene detta normalizzata. – Se la Ψ non soddisfa questa condizione, viene moltiplicata per un fattore costante N per normalizzarla ∫ ∞ ∞− ΨΨ ±= τd N * 1
  22. 22. 1. HA UNA INTERPRETAZIONE 2. HA DEI VINCOLI 3. CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA Ψ
  23. 23. V X L’interpretazione di Born introduce dei vincoli sulla Ψ In corrispondenza al punto X ci sia una variazione di potenziale. X Ψ |Ψ|2 La Ψ deve essere continua in tutto lo spazio, inclusi i punti in cui si ha variazione del potenziale Se la Ψ avesse una discontinuità in X, la probabilità di trovare la particella in X avrebbe due diversi valori se tendiamo ad X da differenti direzioni
  24. 24. Ψ non è continua dΨ/dx e d2 Ψ/dx2 non sono definite L’eq. di Schrödinger non è definita
  25. 25. dΨ/dx non è continua Quindi d2 Ψ/dx2 non è definita L’eq. di Schrödinger non è definita
  26. 26. P(x) = Ψ(x) Ψ*(x) non può assumere valori multipli
  27. 27. ∞=ΨΨ∫ dxxxN b a *2 )()(
  28. 28. VINCOLI SULLA FORMA DELLA Ψ LEGATI ALL’INTERPRETAZIONE DI BOHR 1. Ψ deve essere continua 2. La derivata seconda della Ψ deve essere definita 3. Ψ deve essere a valore singolo 4. Ψ deve essere ovunque finita; altrimenti non potrebbe essere normalizzata 2
  29. 29. L’ INTERPRETAZIONE DI BORN E I VINCOLI SULLA Ψ Una particella può avere solo certi valori dell’Energia, altrimenti la Ψ sarebbe fisicamente inaccettabile ENERGIA QUANTIZZATA I vincoli impediscono di trovare soluzioni accettabili dell’equazione di Schrödinger per valori arbitrari dell’Energia
  30. 30. 1. HA UNA INTERPRETAZIONE 2. HA DEI VINCOLI 3. CONTIENE TUTTE LE INFORMAZIONI DINAMICHE SUL SISTEMA Ψ
  31. 31. COME OTTENIAMO ALTRE INFORMAZIONI (OLTRE ALLA POSIZIONE) DALLA Ψ ?
  32. 32. • Le proprietà misurabili di un sistema fisico sono dette “osservabili” • Un’osservabile può essere una proprietà statica: massa, durezza, colore, … • Un’osservabile può essere una variabile dinamica: posizione, momento lineare, … che caratterizza i cambiamenti di stato di un sistema
  33. 33. Ad ogni osservabile della meccanica classica corrisponde un operatore in meccanica quantistica 2o POSTULATO )()(ˆ xgxfA = Definizione generale di operatore Un operatore è una regola che trasforma una funzione in un’altra funzione xx cosxxcos() 3ff3 (x)f'f dx d f(x)AˆfFunzioneAˆOperatore
  34. 34.  La nuova funzione g(x) può essere diversa dalla funzione originale f(x). )cos()sin( kxkkx dx d =  Se la nuova funzione è un multiplo della funzione originale:  f(x) = λ f(x) f(x) è detta essere un’autofunzione dell’operatore  con associato autovalore λ kxkx kee dx d = Operatore d/dx sin(kx) non è un’autofunzione ekx è un’autofunzione e l’autovalore associato è k
  35. 35. OSSERVABILE OPERATORE POSIZIONE x MOMENTO px ECINETICA EPOTENZIALE V(x) m p T x 2 2 = xˆ xpˆ Tˆ Vˆ Hˆ x dx d i− 2 22 2 dx d m  − )( 2 2 22 xV dx d m +−  V(x)
  36. 36. COME SI OTTENGONO LE INFORMAZIONI (OLTRE LA POSIZIONE) DALLA Ψ ? 3 3o POSTULATO iii Ψ=ΨΩ ωˆ In ogni osservazione dell’osservabile associata all’operatore Ω, i soli valori che si possono misurare sono gli autovalori ωi che soddisfano all’equazione agli autovalori
  37. 37. ωψψ =Ω Autovalori ed autofunzioni (operatore)(autofunzione) = (autovalore)(autofunzione) (operatore)(funzione) = (costante)(stessa funzione)
  38. 38. Risolvere l’equazione di Schrödinger vuol dire trovare gli autovalori e le autofunzioni dell’operatore Hamiltoniano per il sistema Se l’operatore è l’operatore Hamiltoniano, l’equazione agli autovalori è l’equazione di Schrödinger Ψ=Ψ EHˆ OPERATORE HAMILTONIANO
  39. 39. xd d ipx −=ˆ ikx ikx ikx ke dx de iep  =−=ˆ OPERATORE MOMENTO LINEARE La componente px del momento lineare della particella è data da: V=0 particella libera. 1) Autofunzione Ψ+(x)=eikx 2) Autofunzione Ψ-(x)=e-ikx ikx ikx ikx ke dx de iep − − − −=  -=ˆ Autovalore px = kħ Particella si muove per x crescenti Autovalore px = -kħ Particella si muove per x decrescenti
  40. 40. sin(x) sin(2x) ORTOGONALITA’ DELLE FUNZIONI DI STATI DIVERSI ∫ = π2 0 0)2sin()sin( dxxx 0=ΨΨ∫ τdji sin(x) e sin(2x) sono autofunzioni di d2 /dx2 con autovalori -1 e -4
  41. 41. OPERATORE ENERGIA CINETICA E CURVATURA DELLA Ψ ALTA CURVATURA ALTA ENERGIA CINETICA BASSA CURVATURA BASSA ENERGIA CINETICA In matematica la derivata seconda di una funzione è una misura della sua curvatura 2 22 2 ˆ dx d m T  −=
  42. 42. Ψ REGIONE CON ALTO CONTRIBUTO A T REGIONE CON BASSO CONTRIBUTO A T POSIZIONE x
  43. 43. Ψ ENERGIA ENERGIA CINETICA T
  44. 44. PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE A B DESCRIZIONE CLASSICA QUANTISTICA PA ΨA PA=|ΨA|2 PB ΨB PB=|ΨB|2 1 FENDITURA
  45. 45. 2 FENDITURE B A A B DESCRIZIONE CLASSICA PAB = PA + PB DESCRIZIONE QUANTISTICA ΨAB = ΨA + ΨB PAB = |ΨA + ΨB|2 = |ΨA|2 + |ΨB|2 + ΨA * ΨB+ΨB * ΨA PA PB interferenza
  46. 46. Importante : in nessun modo possiamo predire dove un elettrone colpirà lo schermo. Possiamo solo predire probabilità.
  47. 47. PARTICELLA LIBERA • MOTO PER x CRESCENTI Ψ+ = exp(ikx) • DECRESCENTI Ψ- = exp(-ikx) Una misura del momento lineare della particella dà +kħ se Ψ = Ψ+ = exp(ikx) oppure -kħ se Ψ = Ψ- = exp(-ikx). Inizialmente non conosciamo se la particella si muove per x crescenti o decrescenti. Poiché entrambe le direzioni sono ugualmente probabili, non possiamo predire in che direzione la particella si muove. La funzione che la descrive non è quindi un’autofunzione. Una funzione d’onda arbitraria può essere espressa come combinazione lineare delle autofunzioni. Ψ = c Ψ + c Ψ ikx ikx ikx ke dx de iep  =−=ˆ
  48. 48. Una misura del momento lineare della particella dà o +kħ o –kħ, ma non sappiamo quale. Possiamo soltanto predire che la probabilità che dia +kħ è |c+|2 Non conosciamo in che stato è il sistema finché non lo osserviamo Immediatamente dopo la misura, la funzione d’onda è una delle autofunzioni dell’operatore. La misura cambia la funzione d’onda Ψ del sistema nell’autofunzione Ψ+ (o Ψ-) dell’operatore momento lineare con autovalore +kħ (o -kħ) Ψ+ Ψ misura Ψ- COLLASSO DELLA FUNZIONE D’ONDA
  49. 49. Un sistema quantistico è descritto da una sovrapposizione di stati Solo dopo la misura il sistema assume uno stato definito. SHUT UP AND CALCULATE R. Feynman Gatto di Schrödinger
  50. 50. 4o POSTULATO ∫=>< dτΨΩΨΩ * Il valore atteso è la media pesata di un gran numero di osservazioni della proprietà eseguite su un insieme di sistemi preparati in modo identico. Se il sistema è descritto da un’autofunzione Ψ che non è un’autofunzione dell’operatore Ω, il valore medio o valore atteso dell’osservabile è dato da
  51. 51. Se uno fa un gran numero di misure di Ω su un insieme di sistemi preparati in modo identico, ottiene un insieme di valori ω1, ω2, …, ωN. La media di Ω è data dalla regola: Il 4o postulato della meccanica quantistica afferma che l’integrale e la sommatoria danno lo stesso valore, che è il valore atteso. ∑= =Ω N i i N 1 1 ω
  52. 52. ii * ii ii * ii * i ωdτΨΨω dτΨωΨdτΨΩΨΩ = ==>=< ∫ ∫∫  Se Ψ è un’autofunzione di Ω iii i ΨωΨΩ ΨΨ = = ˆ Ogni osservazione di Ω da come risultato ωi <Ω> = ωi
  53. 53.  Se Ψ non è un’autofunzione di Ω 2211 ΨcΨcΨ += ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dτΨΨωccdτΨΨωcc dτΨΨωccdτΨΨωcc dτΨωcΨωc*ΨcΨc dτΨcΨc*ΨcΨc dτΨcΨcΩ*ΨcΨc ∫+∫ +∫+∫ =∫ ++ =∫ Ω+Ω+ =∫ ++=Ω 2 * 122 * 11 * 211 * 2 2 * 222 * 21 * 111 * 1 2221112211 22112211 22112211 2 2 21 2 1 ωcωc +=Ω 1 0
  54. 54. 1. Quando Ω è misurato su un singolo membro di un insieme, il risultato è uno degli autovalori di Ω, ma non può essere predetto in anticipo. 2. L’autovalore ωi sarà ottenuto in una singola misura con probabilità ci 2 . 3. Per singole misure ci sono specifici valori di Ω che sono possibili, ω1, ω2, …, ωN, ma su un insieme il valore atteso di < Ω > può essere un valore continuo. ∑ Ψ=Ψ iic
  55. 55. ∫=>< dτΨΩΨΩ * ˆ iii Ψ=ΨΩ ωˆ Postulato 1: una particella è descritta mediante una funzione d’onda Ψ (r,t) Postulato 2: ad ogni osservabile della meccanica classica corrisponde un operatore in meccanica quantistica Postulato 3: Postulato 4: POSTULATI
  56. 56. H(ri)ψ(ri)= Eψ(ri) i=1,3N "The underlying physical laws necessary for the mathematical theory of..the whole of chemistry are thus completely known, and the difficulty is only that the exact application of these laws leads to equations muchto complicated to solve. " `P.A.M. Dirac (1929)
  57. 57. Un elettrone in moto attorno al nucleo Moto circolare : l’elettrone accelera Cariche accelerate emettono radiazione L’elettrone perde energia Cade sul nucleo in circa 10-9 secondi Variando il moto la frequenza emessa varia con continuità Il modello planetario non conduce ad atomi stabili +Ze -e F ATOMO e FISICA CLASSICA
  58. 58. Alla particella è associata un’onda (a) Solo onde di lunghezza d’onda λ opportuna possono generare onde stazionarie (chiudendosi su se stesse danno interferenza positiva) (b) Altrimenti le onde danno interferenza negativa e si annullano λ= h/mv solo certi valori di energia esistono ATOMO e MECCANICA QUANTISTICA
  59. 59. Supponiamo di conoscere esattamente il momento della particella Ψ(x) = Aeikx la particella si muove verso destra con momento px = +kħ. Quale è la posizione della particella? Ψ* Ψ = A2 e-ikx eikx = A2 C’è una ugual probabilità di trovare la particella in qualunque punto dell’asse x CONCLUSIONE: Conosciamo il momento della particella esattamente Ma non sappiamo NULLA sulla sua posizione
  60. 60. Supponiamo di conoscere esattamente la posizione della particella Posizione della particella
  61. 61. • Per ottenere una Ψ localizzata occorre fare una combinazione lineare di funzioni sin(kx) o cos(kx) (oppure eikx e e-ikx ) con diversi k • Ogni funzione eikx corrisponde ad un diverso momento lineare • Più localizziamo la particella meno conosciamo il suo momento CONCLUSIONE: Conosciamo la posizione della particella esattamente Ma non sappiamo NULLA del suo momento
  62. 62. Fotone Fotone Microscopio Microscopio Elettrone Elettrone PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE DI HEISENBERG Illuminiamo l’elettrone e riveliamo la luce riflessa con un microscopio L’incertezza minima sulla posizione è determinata dalla lunghezza d’onda della luce Per determinare la posizione accuratamente, è necessario usare luce di lunghezza d’onda corta
  63. 63. E = hν =hc/λ, un fotone con lunghezza d’onda corta ha energia grande Quindi tramette un ‘impulso’ grande all’elettrone Ma per determinare il suo momento accuratamente, l’elettrone deve ricevere un ‘impulso’ debole Questo vuol dire usare luce di lunghezza d’onda lunga  Luce di lunghezza d’onda corta: misura accurata della posizione, ma non del momento  Luce di lunghezza d’onda lunga: misura accurata del momento, ma non della posizione
  64. 64. Misura della posizione di un elettrone L’azione di misurare influenza l’elettrone, viene trasmesso un impulso e viene disturbata la posizione ed il momento della particella. Essenza del principio di indeterminazione.
  65. 65. Misure della posizione
  66. 66. L’esperimento assume che, mentre prima dell’osservazione abbiamo valori ben definiti, è l’atto di misurare che introduce l’incertezza disturbando la posizione e il momento della particella. Oggigiorno l’opinione prevalente è che l’incertezza quantistica (la mancanza di determinismo) sia intrinseca alla teoria.
  67. 67. Ruolo dell’Osservatore in Meccanica Quantistica • L’osservatore non è obiettivo e passivo • L’atto di osservare cambia il sistema fisico irrevocabilmente • Questo è noto come realtà soggettiva
  68. 68. PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE DI HEISENBERG • E’ impossibile specificare SIMULTANEAMENTE sia la posizione che il momento di una particella • L’ interpretazione quantitativa del principio di indeterminazione è: 2≥∆∆ xpx Indeterminazione nel momento Indeterminazione nella posizione posizione momento Se ∆x oppure ∆px tendono a zero, l’altra osservabile deve tendere ad infinito.
  69. 69. / 2 / 2 / 2 x y z x p y p z p ∆ ∆ ≥ ∆ ∆ ≥ ∆ ∆ ≥    Non possiamo determinare esattamente e simultaneamente variabili ‘coniugate’ come posizione e momento. 0yx p∆ ∆ ≥Tuttavia Una precisione arbitraria è possibile in linea di principio per la posizione in una direzione e il momento in un’altra …
  70. 70. Implicazioni  E’ impossibile conoscere simultaneamente ed esattamente sia la posizione che il momento, cioè Δx=0 e Δp=0  Queste incertezze sono inerenti nel mondo fisico e non hanno nulla a che fare con l’abilità dell’osservatore  Poiché h è così piccolo, queste incertezze non sono osservabili nelle normali situazioni di ogni giorno
  71. 71. Il tempo e l’energia Se un sistema permane in uno stato per un tempo ∆t, l’energia di questo sistema non può essere determinata più accuratamente di un errore ∆E. 2  ≥∆∆ tE Questa indeterminazione è di importanza fondamentale in spettroscopia
  72. 72. Un elettrone in n = 3 decade spontaneamente ad un livello inferiore dopo una vita media τ½ ~ 10-8 s Le transizioni fra i livelli energetici degli atomi non sono linee perfettamente sottili in frequenza. n = 3 n = 2 n = 1 32E hν= 32ν Intensità Frequenza 32ν∆ Esiste una corrispondente ‘dispersione’ nelle frequenza emesse. Larghezza naturale della linea
  73. 73. Se la costante di Planck fosse molto più grande...

×