3. Aritmetica e numero
- Le basi delle abilità di calcolo
- Lo sviluppo delle abilità di
conteggio
- Cosa può fare la scuola
- Analisi degli errori
- I fatti aritmetici
- Il metodo analogico
- Gli strumenti di valutazione
- La discalculia e i compensativi
Il problem solving matematico
- Matematica con le storie
- Lavorare sul problem solving nei
primi anni
- Lavorare sul problem solving dal
terzo anno di scuola primaria
- Valutare le capacità di soluzione
dei problemi matematici
Geometria
- Lo stato della ricerca
- La geometria con i regoli
- Conoscere le forme
- Piegare la carta per spiegare la
geometria
Aspetti emotivi e motivazionali
- Perché insegnare la matematica
- Matematica e differenze di
genere
- L’ansia in matematica
3
4. Quanti bambini con difficoltà in
matematica nella scuola italiana?
• Nella scuola primaria (3°anno)
– 5 bambini per classe con difficoltà di calcolo
– 5-7 bambini per classe con difficoltà di
soluzione dei problemi
(Classi di 25 alunni circa)
Lucangeli D. (A cura di) 2006 Osservatorio per l’infanzia
Ca. 20% della popolazione scolastica
fine scuola superiore
solo il 20% ritiene di avere buone
competenze matematiche
4
5. Perché un bambino non ce la fa?
• Livello socioculturale?
• Aspetti affettivi e relazionali? aspetti legati
alla famiglia?
• Problemi di socializzazione?
Cosa sembrano più capaci di
spiegare?
Disturbo o difficoltà?
5
6. Emerge in età evolutiva
È strutturale
MA
Discalculia evolutiva
(disturbo specifico
del calcolo)
6
7. Disturbo a patogenesi organica,
geneticamente determinato,
espressione di disfunzione
cerebrale
(OMS)
7
8. IARLD
(International Academy for Research in Learning Disabilities)
2,5 % della popolazione scolastica presenta
difficoltà in matematica in comorbilità con
altri disturbi
Discalculia: 2 bambini su 1000
8
9. L’intervento riabilitativo normalizza(?)
DISTURBO DEL CALCOLO
Basi neurologiche
• Comorbilità
– Dislessia
– Difficoltà nella soluzione
di problemi
• Specificità
– in adeguate abilità
generali e adeguato
apprendimento in altri
ambiti
9
10. DIFFICOLTA’ DI CALCOLO
Il profilo appare simile al disturbo
L’INTERVENTO RIABILITATIVO OTTIENE BUONI RISULTATI IN
BREVE TEMPO
10
11. Discalculia e sviluppo tipico:
Come si spiegano i falsi positivi?
Difficoltà
Meccanismi di
apprendimento?
Insegnamento?
Sviluppo
dell’intelligenza
numerica11
12. Scuola potenzia la zona di sviluppo
prossimale (Vigotskij)
Siamo potenzialmente in grado di apprendere,
ma qualcuno deve insegnare.
L’incontro tra insegnamento e processo
biologico genera la conoscenza
12
13. Quale rapporto tra insegnamento e
apprendimento?
Cervello esercitato
attraverso un
apprendimento
passivo poco
pertinente
Cervello esercitato
attraverso un
apprendimento attivo
pertinente per
dominio
Fa esattamente ciò di cui il
cervello ha bisogno
Consente di sviluppare il massimo delle
potenzialità fino ad arrivare al massimo
consentito dalla soglia biologica13
14. L’intelligenza numerica
È innata e molto potente, ma ha bisogno del
potenziamento di competenza, del
Potenziamento dello sviluppo prossimale
tramite istruzione dei processi dominio specifici
La capacità di “intelligere”, cognizionare, capire,
pensare al mondo in termini di numeri e quantità
Come il linguaggio, il sistema
motorio, etc., se non si sviluppa
decade
15. • Non c’è differenza in termini di cognizione
di quantità. Differenza dovuta al
potenziamento di capacità.
– Linguaggio non rende possibile che non mi si
parli per l’apprendimento della lingua
altrimenti lo sviluppo del linguaggio non
avviene.
• Neurobiologia plasticità cerebrale: il
cervello evolve ciò che è potenziato bene,
altrimenti va in standby .
15
16. Così avviene per l’intelligenza numerica.
Le mamme, gli insegnanti fin dall’inizio devono
maturare la consapevolezza che va potenziato il
meccanismo di cognizione di quantità oppure
queste competenze biologicamente vanno in
standby di funzione, cioè c’è una perdita di
competenze.
Non servono particolari artefatti matematici:
abbiamo le mani.
Un’attività semplice come fare le scale avanti e
indietro aiuta a costruire i meccanismi.16
17. Principali meccanismi innati
(V. Gelman e Gallistel; Fuson; Karmilov Smith; Butterworth)
• Span numerico
– 1 -3 (anche nel ritardo lieve?)
– 1- 4
• N + 1 a partire da 1
• N – 1
• Corrispondenza biunivoca
• Ordine stabile
• Meccanismi specifici di lettura e scrittura (?)
• Accesso semantico preverbale precede accesso
verbale
– Età critica tra i 4,5 e i 5,5
17
18. COMPETEN
ZE /
ETA’
Competenze
numeriche pre-
verbali
Abilità di
conteggio
Scrittura dei
numeri
Strategie del calcolo
0 – 2 ANNI
(0,0)Subitizing
(0,4) n ± 1
(0,11)sequenze
cresc./decresc.
2 – 4 ANNI
Acquisizione
delle parole-
numero
Corrispondenza
biunivoca
Ordine stabile
Notazione nulla
4 – 6 ANNI
Cardinalità
(5,6)
conta fino a 40
Corrispondenza
biunivoca
Notazione
convenzionale
(4,0)addizione con dita
(5,0)+ piccoli numeri, no
somma
(5,6) propr.Commutativa
/ Conta da addendo >
DAI 6 ANNI
Strategie di conteggio
Strategie di recupero
18
19. Meccanismi Semantici
(regolano la comprensione della quantità)
(3 = )
Meccanismi Lessicali
(regolano il nome del numero)
(1-11)
Meccanismi Sintattici
(Grammatica Interna = Valore Posizionale delle Cifre)
Come funziona?
19
20. Regolano il nome del numero. Nella codifica
verbale di un numero ciascuna cifra, a seconda
della sua posizione, assume un “nome” diverso.
Meccanismi lessicali
Il numero 50 è rappresentato all’interno del
“livello” decine, dove occupa la quinta
posizione.
20
21. Meccanismi sintattici
Relativi al rapporto tra i singoli elementi in
termini di posizione spaziale all’interno della
struttura del numero. A seconda della posizione
che occupa all’interno del numero, ogni cifra non
solo assume un nome diverso, ma anche un
differente valore.
45 è diverso da 54 per posizione e per
valore, infatti 54>45
21
22. Meccanismi semantici
Regolano la comprensione della quantità. Ci
danno il significato di un numero secondo un
codice astratto, amodale
3 =
22
24. I meccanismi dell’apprendimento sono
dominio specifici
Il cervello organizza
fonologicamente la
parola APE
Il numero 123 ha una
struttura basata sul
meccanismo posizionale
24
123
25. Zona di sviluppo prossimale
• Compiti al di sotto: non producono
apprendimento il soggetto è già capace
• Compiti al di sopra: non producono
apprendimento il soggetto non è in
grado di elaborarli
L’unico spazio in cui l’insegnante determina
apprendimento è lo spazio di sviluppo prossimale, cioè
il differenziale tra quello che il ragazzo saprebbe fare
senza di voi e quello che riesce a fare con voi.
Quello è lo spazio che determina cognizione.
25
26. Quando insegniamo modifichiamo la struttura.
Importante capire quando questo
avviene davvero, altrimenti si continua a
fare una grande fatica e il ragazzo non
evolve, non matura cognitivamente
26
27. Agganciare il sistema
di cognizione
Principio del potenziamento
basale, del potenziamento delle
funzioni
Sapere come si sviluppa quella
particolare competenza
27
28. Il cervello ha dei domini specifici per i
diversi apprendimenti.
La matematica è un linguaggio, ma
non funziona con il meccanismo
del linguaggio
28
29. Qual è l’azione di elaborazione del
meccanismo dei numeri?
È un meccanismo innato di quantificazione a base
visuospaziale, innato analogico, indipendente dalle
funzioni del linguaggio, che si sviluppa per suo
cammino e ha determinate caratteristiche che se non
vengono esercitate non si impara ad intelligere i
numeri.
La soluzione dei problemi ha processi che non
c’entrano nulla. Geometria qualcosa in interazione
con entrambi e qualcosa che non c’entra con
nessuno, qualcosa in più.
29
30. L’analisi degli errori ci consente di identificare il processo.:
Fissità funzionali sui fatti algebrici
Applicazioni di formule
Applicazioni di procedure
Scelta di strategie
Errori di updating: pezzo di conoscenza nuova appresa, ma rimane in memoria
la conoscenza vecchia, si verifica una mescolanza di errore.
Errori di comprensione
30
31. Alleanza
Siccome apprendere è difficile, in un contesto con
l’età adolescenziale, l’insegnante non ha gratuito un
atteggiamento di fiducia completa e totale
nell’insegnante come i piccoli. La modalità vincente,
l’atteggiamento migliore è quello dell’adulto alleato
del ragazzo contro l’errore. Non il contrario.
31
32. • Errore indicatore di una disfunzione, unito ad altri elementi che
ci aiutano a capire il processo che lo causa allora ci permette di
aiutare il ragazzo.
• Rilevarlo subito
• Intervistare il ragazzo non inibendolo subito, andando a fondo
individuare il processo carente.
• Il processo carente ci fornisce il punto di partenza. Se siamo
sotto non serve, se sopra neanche.
Come fare?
32
33. Analisi degli errori
Sistema dei numeri
(comprensione e produzione)
Sistema del calcolo
lessicali sintattici
Applicazione
Di strategie
Mantenimento
E recupero di
procedure
Recupero
scorretto di
fatti aritmetici
Abilità
visuospaziali
Quando il bambino sbaglia è fondamentale capire
dove, perché ha sbagliato
33
34. Errori lessicali
• Meccanismi lessicali selezionano correttamente i nomi
delle cifre per riconoscere quello del numero intero
Numeri primitivi:
-unità (1-9)
-teens (10-19)
-decine (20-90)
Elementi miscellanei:
-cento
-mila
-milioni
etc.
Ogni numero è caratterizzato dalla classe a cui appartiene e dalla posizione
occupata all’interno della classe stessa.
Gli elementi miscellanei si aggiungono ai numeri primitivi a seconda della loro
posizione all’interno di un numero.
Il bambino che sbaglia a dire “il nome” dei numeri commette ERRORI LESSICALI.
È incapace di trovare l’etichetta verbale adeguata alla cifra pur “pescando” nel
livello giusto, ossia individuando correttamente la posizione all’interno del numero
(classe)
34
35. Errori sintattici
• Compromessa la capacità di stabilire
rapporti tra le cifre in una struttura
sintattica corretta, pur mantenendo integra
la capacità di codificare le singole cifre
• La maggior parte degli errori dei bambini in
comprensione e produzione
• Sembrano nascondere anche un
apprendimento carente o non consolidato
35
36. Errori di conteggio dovuti al mancato controllo della struttura sintattica
1,2,3,14,15,16…. (rispetto dell’incremento, confusione della categoria lessicale)
12,13,14,40,41,42… (mancato incremento della posizione, confusione del livello
Mancato riconoscimento del valore dello “0” nella transcodifica tra codice
verbale e codice arabo.
Centoventitre 1023 Ventiduemilanove 2209
Elementi miscellanei uniti ai numeri primitivi come potenze di 10 o con relazioni
additive
Duecento 102 (relazioni moltiplicative rese additive)
Tremilasettanta 1073
Centocinque 500 (relazioni additive rese moltiplicative)
Si tratta essenzialmente di errori di transcodifica, ossia relativi al passaggio
dal Codice arabico a quello verbale e viceversa
36
37. Errori nel recupero scorretto di fatti numerici
• Modelli a rete in presenza di una moltiplicazione
viene attivata non solo la risposta corretta, ma anche
quelle vicine nella “rete” mentale
• Legame operatori-risultato si rafforza in memoria ad
ogni risposta, anche errata errore si consolida ed è
riconducibile all’immagazzinamento
– Con l’esercizio rischio automatizzazione dell’errore!!
• Errori di “confine” (6x3=21)
• Errori di “slittamento” (4x3=11)
37
38. Errori nel mantenimento e recupero di
procedure
• Confusione di procedure facilitanti
– N+0=N e Nx0=0 può portare a Nx0=N
• Incapacità di usufruire delle più semplici
regole di accesso sovraccarico
cognitivo incapacità di tenere in
memoria risultati parziali per poi
recuperarli nella soluzione finale
38
39. Scorretta applicazione delle procedure
• Scelta delle prime cose da fare per
affrontare un’operazione
• Condotta da seguire e suo mantenimento
• Applicazione delle regole di prestito e
riporto
• Passaggio a una nuova operazione
• Progettazione e verifica
39
40. Abilità visuospaziale
• Problemi percettivi nel “dettaglio visivo”
influenzano
– Riconoscimento di segni delle operazioni
– Organizzazione dei dati implicati nella scrittura di
un’operazione
• Incolonnamento
• Seguire la direzione procedurale
• Facilmente riconoscibile: porta ad iniziare
operazioni a caso, a scrivere
indifferentemente a sinistra e a destra i
risultati parziali, a sorvolare sulle regole di
prestito e riporto
40
41. Cosa fare con gli errori intelligenti
• Quando il bambino fa errori:
– Attenzione a esercitare esercizio stabilizza
l’errore
– Meglio oblio di qualche giorno, poi riproporre
analizzando l’errore
41
42. Approccio metacognitivo: favorire la riflessione del gruppo classe sui
Compiti che vengono proposti, privilegiando una atteggiamento
Critico, non passivo
Didattica consapevole delle competenze cognitive necessarie agli
Allievi per imparare a pensare attraverso il sistema dei numeri
Schede come esempi
42
43. Una teoria dell’educazione può
essere derivata solamente dalla
comprensione della mente che
deve essere educata (D. e A.
Premack)
43
44. Razionalizzare l’insegnamento della
matematica
• ottimizzare le esperienze di apprendimento
dei bambini tenendo conto delle
potenzialità e dei limiti della loro struttura
cerebrale, valutando quale impatto hanno
l’educazione e la maturazione cerebrale
sull’organizzazione delle rappresentazioni
mentali
44
