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Dal caos-ai-sistemi-complessi

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  • 1. Dal caos ai sistemi complessi:Dal caos ai sistemi complessi: aspetti interdisciplinari della Fisicaaspetti interdisciplinari della Fisica Andrea RapisardaAndrea Rapisarda Dipartimento di Fisica e AstronomiaDipartimento di Fisica e Astronomia Istituto Nazionale di Fisica Nucleare SezioneIstituto Nazionale di Fisica Nucleare Sezione di Cataniadi Catania Lafisicaedilcittadino 11 maggio 2005
  • 2. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 22 SommarioSommario Cosa studia la FisicaCosa studia la Fisica Determinismo eDeterminismo e predicibilitpredicibilitàà CosCos’è’è il caosil caos deterministicodeterministico Esempi di caos intorno a noiEsempi di caos intorno a noi La geometria del caos: i frattaliLa geometria del caos: i frattali PerchPerchéé il caosil caos èè importanteimportante Sistemi alla soglia del caosSistemi alla soglia del caos CosCos’è’è un sistema complessoun sistema complesso Il nuovo paradigma delle retiIl nuovo paradigma delle reti ConclusioniConclusioni
  • 3. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 33 Cosa studia la FisicaCosa studia la Fisica La Fisica si occupa dello studio delle leggi che regolano i fenomeni naturali e le interazioni dei costituenti della materia. Generalmente l’approccio di un fisico è quello di rendere il problema il più semplice possibile, cercando di individuare le caratteristiche fondamentali del fenomeno in studio e trascurando il resto. Ad esempio: lo studio del moto di un grave o di un pendolo, trascurando l’attrito Questo metodo riduzionista ha portato a degli enormi successi, ma si basa sull’idea, non sempre valida, che basta scomporre un oggetto o un fenomeno in quelle che sono le sue parti fondamentali per spiegarne il suo comportamento complessivo
  • 4. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 44 Non è sempre realistico descrivere con semplici figure geometriche (coni,cerchi,cubi,triangoli, ecc.) gli oggetti che vogliamo studiare Le singole componenti di un sistema fisico non interagiscono sempre debolmente, ma sono spesso fortemente accoppiate con termini non lineari. Ad ad esempio a differenza della semplice forza elastica che contiene solo un termine lineare, è spesso più realistico considerare dei termini quadratici o di ordine superiore Il tutto non è sempre la semplice somma delle singole parti. I fenomeni naturali sono in generale più complessi di quanto a prima vista possa spesso sembrare….basta guardarsi intorno. F kx= −
  • 5. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 55 Le leggi della meccanica sono deterministiche…. …ovvero date le condizioni iniziali ad un tempo t e conoscendo la forma funzionale della legge che regola il fenomeno, posso conoscere l’evoluzione passata e futura del fenomeno. Come mai allora molti fenomeni naturali sembrano essere del tutto casuali? Nonostante la radicata convinzione di molti… Non sempre è necessario un modello complicato per spiegare un comportamento complicato: Leggi semplici con termini non lineari possono avere comportamenti molto complicati… ….e piccole differenze iniziali possono causare grandi ed imprevedibili effetti nell’evoluzione futura. DETERMINISMO PREDICIBILITA’ Determinismo eDeterminismo e predicibilitpredicibilitàà
  • 6. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 66 Determinismo eDeterminismo e predicibilitpredicibilitàà PerchPerchèè ilil motomoto delladella pallinapallina alla roulettealla roulette ilil motomoto didi unauna piumapiuma cheche cadecade ilil tempotempo cheche farfaràà frafra duedue settimanesettimane IlIl gocciolamentogocciolamento didi unun rubinettorubinetto ii terremotiterremoti sembranosembrano essereessere dominatidominati daldal casocaso ee sfidanosfidano la nostrala nostra possibilitpossibilitàà didi previsioneprevisione,, nonostantenonostante sianosiano tuttitutti fenomenifenomeni descrivibilidescrivibili concon leggileggi deterministichedeterministiche??
  • 7. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 77 Determinismo eDeterminismo e predicibilitpredicibilitàà PuntoPunto didi vistavista didi LaplaceLaplace Pierre Simon de Laplace (1749-1827) Essai philosophique sur les probabilitès “Un’intelligenza che, per un istante dato, potesse conoscere tutte le forze da cui la natura è animata, e la situazione rispettiva degli esseri che la compongono, e che inoltre fosse abbastanza grande da sottomettere questi dati all’analisi, abbraccerebbe nella stessa formula i movimenti dei più grandi corpi dell’universo e quelli dell’atomo più leggero: nulla le risulterebbe incerto, l’avvenire come il passato sarebbe presente ai suoi occhi. Lo spirito umano offre, nella perfezione che ha saputo dare all’astronomia, una debole parvenza di questa intelligenza.”
  • 8. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 88 Determinismo eDeterminismo e predicibilitpredicibilitàà PuntoPunto didi vistavista didi PoincarPoincarèè Henri Poincaré (1854-1912)
  • 9. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 99 CosCos’è’è il Caosil Caos deterministicodeterministico Diciamo che un fenomeno mostra un regime di caos deterministico quando: Abbiamo una dipendenza molto sensibile dalle condizioni iniziali Ovvero una incertezza iniziale che cresce esponenzialmente col tempo Questo determina una impredicibilità a lungo termine della sua evoluzione futura. 0( ) t t eλ ε ε= tempo Traiettoria 1 Traiettoria 2 t ( )tε 0ε 0λ >
  • 10. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 1010 Supponiamo di non volere un’incertezza maggiore di 1, e indichiamo questo tempo di previsione massimo con tmax , cioè sia ε(tmax)=1 . Allora dalla (1) prendendo i logaritmi di entrambi i membri si ottiene PerchPerchèè il Caosil Caos deterministicodeterministico implicaimplica impredicibilitimpredicibilitàà a lungo terminea lungo termine max 0 1 1 lnt λ ε ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Abbiamo visto che l’incertezza iniziale ε0 sempre presente si propaga nel tempo secondo la legge λ si chiama massimo esponente di Lyapunov. (1)0( ) t t eλ ε ε= Per quanto piccolo possa essere il nostro tasso di crescita esponenziale λ, se λ>0, per poter raddoppiare il tempo di previsione bisogna diminuire di molti ordini di grandezza l’incertezza iniziale, raggiungendo inevitabilmente dei limiti invalicabili
  • 11. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 1111 Per raddoppiare il tempo di previsione massimo tmax bisogna diminuire l’incertezza iniziale di parecchi ordini di grandezza… …questo ovviamente è possibile solo fino ad un certo punto. ImpredicibilitImpredicibilitàà a lungo terminea lungo termine max 0 1 1 lnt λ ε ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ max 0 1 1 lnt λ ε ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
  • 12. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 1212 Il CaosIl Caos è intorno a noiintorno a noi Si potrebbe pensare che essendo stato ignorato per così tanto tempo questo fenomeno sia raro… Invece si può tranquillamente affermare che Il caos deterministico è la regola più che l’eccezione.
  • 13. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 1313 Bisogna temere il caos? Il caos può essere studiato in maniera rigorosa e segue delle leggi universali. E’ fondamentale sapere se un sistema si trova in un regime caotico o regolare. Il caos può essere estremamente utile E’ indispensabile al mescolamento dei fluidi, ma anche alla evoluzione dei viventi ed alla loro sopravvivenza in un ambiente che varia nel tempo. Il caos può essere controllato Assolutamente No! Ecco alcune buone ragioni
  • 14. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 1414 Esempi di CaosEsempi di Caos deterministicodeterministico Il biliardoIl biliardo Gli ostacoli sferici per il potere defocalizzante delle superfici curve fanno sì che piccole differenze iniziali vengano amplificate ….dopo pochi rimbalzi due traiettorie inizialmente simili hanno una evoluzione completamente diversa
  • 15. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 1515 Il biliardo di SinaiIl biliardo di Sinai Il matematico russo Sinai ha provato in maniera rigorosa che questo tipo di biliardo è caotico
  • 16. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 1616 Esempi di CaosEsempi di Caos deterministicodeterministico Il biliardo a formaIl biliardo a forma di stadiodi stadio Anche una semplice deformazione dalla forma sferica può indurre una forte sensibilità alle condizioni iniziali. Per la simulazione vedi http://serendip.brynmawr.edu/chaos/javacode/stad/Stadium.html
  • 17. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 1717 Esempi di CaosEsempi di Caos deterministicodeterministico Il pendolo smorzato e forzatoIl pendolo smorzato e forzato Anche un semplice pendolo può mostrare un comportamento molto complicato ed impredicibile…se consideriamo lo smorzamento dovuto all’attrito ed una forza periodica esterna. Per le simulazioni vedi http://www.nottingham.ac.uk/~ppzpjm/computingII/chaos2.html http://www.phy.davidson.edu/StuHome/chgreene/Chaos/Pendulum/pendulum_content_frame.htm
  • 18. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 1818 Esempi di CaosEsempi di Caos deterministicodeterministico Il sistema solare nonIl sistema solare non èè coscosìì stabilestabile comecome sisi potrebbepotrebbe pensarepensare…… GiaGia’’ PoincarPoincarèè sisi reserese contoconto agliagli iniziinizi deldel secolosecolo cheche ilil problemaproblema deidei tretre corpicorpi nonnon èè integrabileintegrabile……..ovveroovvero nonnon ammetteammette unauna soluzionesoluzione analiticaanalitica…… e un piccoloe un piccolo corpocorpo didi provaprova sisi muovemuove inin manieramaniera erraticaerratica nelcamponelcampo gravitazionalegravitazionale didi duedue grossigrossi corpicorpi massivimassivi.. OggiOggi oltreoltre aa dettagliatidettagliati studistudi teoriciteorici (Wisdom,(Wisdom, LaskarLaskar ee altrialtri ) vi) vi sonosono diversediverse indicazioniindicazioni sperimentalisperimentali inin questaquesta direzionedirezione --IlIl motomoto irregolareirregolare didi IperioneIperione un satelliteun satellite moltomolto deformatodeformato didi SaturnoSaturno --lala distribuzionedistribuzione deidei periodiperiodi deglidegli asteroidiasteroidi,, cheche mostramostra deidei buchibuchi inin corrispondenzacorrispondenza didi valorivalori razionalirazionali concon ilil periodoperiodo delldell’’orbitaorbita didi GioveGiove
  • 19. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 1919 Esempi di CaosEsempi di Caos deterministicodeterministico LaLa mappamappa logisticalogistica May (1976)May (1976) xn+1=r xn (1-xn)
  • 20. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 2020 Esempi di CaosEsempi di Caos deterministicodeterministico LaLa mappamappa logisticalogistica May (1976)May (1976) xn+1=a xn (1-xn) SensibilitSensibilitàà allealle condizionicondizioni inizialiiniziali DiagrammaDiagramma didi biforcazionibiforcazioni http://www.sekinelab.ei.tuat.ac.jp/~kanamaru/Chaos/e/Logits/ http://www.sekinelab.ei.tuat.ac.jp/~kanamaru/Chaos/e/BifArea/
  • 21. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 2121 Biforcazioni nel pendoloBiforcazioni nel pendolo
  • 22. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 2222 AttrattoriAttrattori stranistrani IlIl modellomodello didi LorenzLorenz (1963)(1963) 10 8/3 28 b r σ= = = ( ) dx x y dt dy rx y xz dt dz xy bz dt σ= − − = − − = − Parametro che dipende dalla viscosita del fluido Parametro che dipende dalla geometria Parametro di controllo proporzionale alla differenza di temperatura x è legata alla velocità del fluido mente y e z sono collegate alla differenza di temperatura Convezione di Rayleigh-Bénard
  • 23. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 2323 AttrattoriAttrattori stranistrani LL’’attrattoreattrattore didi LorenzLorenz (1963)(1963) http://www.exploratorium.edu/complexity/java/lorenz.html
  • 24. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 2424 UniversalitUniversalitàà LaLa transizionetransizione dalldall’’ordineordine alal caoscaos seguesegue delledelle leggileggi universaliuniversali benben preciseprecise InfattiInfatti èè caratterizzatacaratterizzata dada duedue costanticostanti scopertescoperte dada FeigenbaumFeigenbaum nelnel 1978 e1978 e confermateconfermate sperimentalmentesperimentalmente concon diversidiversi dispositividispositivi
  • 25. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 2525 Conferme sperimentali delleConferme sperimentali delle costanti dicostanti di FeigenbaumFeigenbaum αα ee δδ
  • 26. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 2626 All’aumentare della velocità oltre una certa soglia il moto di un fluido passa da un regime laminare …. ad uno turbolento. Si formano strutture complesse che variano nello spazio e nel tempo. Si ha caos spazio-temporale. CaosCaos spaziospazio--temporaletemporale: La: La turbolenzaturbolenza
  • 27. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 2727 Caos e mescolamento di fluidiCaos e mescolamento di fluidi Il meccanismo dell’allungamento e del ripiegamento
  • 28. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 2828 Breve cronistoria del caosBreve cronistoria del caos deterministicodeterministico PoincarPoincarèè (1900) Il(1900) Il problemaproblema deidei tretre corpicorpi G. Birkhoff(1935)G. Birkhoff(1935) TeoremiTeoremi suisui sistemisistemi dinamicidinamici KolmogorovKolmogorov (1941)(1941) –– TurbolenzaTurbolenza,, EntropiaEntropia,, TeoremaTeorema KAMKAM Y. SinaiY. Sinai –– ErgodicitErgodicitàà deldel biliardobiliardo concon ostacoliostacoli sfericisferici E. Lorenz (1963)E. Lorenz (1963) –– EffettoEffetto farfallafarfalla nellenelle previsioniprevisioni meteorologichemeteorologiche B. Mandelbrot (1970)B. Mandelbrot (1970) -- II frattalifrattali D.D. RuelleRuelle (1971)(1971) -- AttrattoriAttrattori stranistrani M.M. FeigenbaumFeigenbaum (1980)(1980) –– UniversalitUniversalitàà delladella mappamappa logisticalogistica ……ee dada alloraallora tantitanti altrialtri finofino aiai giornigiorni nostrinostri
  • 29. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 2929 CosCos’è’è un frattaleun frattale “Perché la geometria viene spesso descritta come fredda e arida? Una ragione è l’inabilità di descrivere la forma di una nuvola o di una montagna una linea costiera o un albero. Le nuvole non sono delle sfere, le montagne non sono dei coni le linee costiere non sono dei cerchi, il sughero non è liscio ed i fulmini non si muovo lungo linee diritte.” -- Benoit B. Mandelbrot -- Così Mandelbrot nel suo libro The Fractal Geometry of Nature descrive l'inadeguatezza della geometria euclidea nella descrizione della natura. Mandelbrot è il padre fondatore della teoria dei frattali e inventore del famoso insieme che porta il suo nome.
  • 30. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 3030 CosCos’è’è un frattaleun frattale Il termine frattale fu coniato da Mandelbrot e ha origine nel termine latino fractus, poichè la dimensione di un frattale non è intera. Così per un punto è 0 per una linea è 1 per una superficie è 2 … La dimensione di un oggetto è data dal numero minimo di coordinate necessarie ad individuare i punti dell’oggetto stesso.
  • 31. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 3131 CosCos’è’è un frattaleun frattale Un frattale è un oggetto che mostra una invarianza di scala…ovvero ha la stessa struttura a tutte le scale e che possiede una dimensione non intera.
  • 32. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 3232 La dimensione frattaleLa dimensione frattale La dimensione frattale è una generalizzazione della definizione di dimensione euclidea ε ( ) L N ε ε ∝ L 0 ln ( ) lim ln(1/ ) F N D ε ε ε→ = Generalizzando si può definire la dimensione frattale DF come anche per valori non interi 1 ( ) D N ε ε ∝ Per cui ε 2 ( ) A N ε ε ∝ A
  • 33. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 3333 Un semplice frattale: La polvere di Cantor 2 20 ln(2) lim 0.63... ln(3) FD ε → = = Georg Cantor 1845-1918 nn(1/3)(1/3)nn 22nn 22(1/3)(1/3)22 2222 111/31/322 001111 iterazioneiterazione εεNN
  • 34. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 3434 La curva di Koch ln 4 1.26.. ln3 FD = =
  • 35. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 3535 Il tappeto diIl tappeto di SierpinskiSierpinski ln8 1.9 ln3 FD = =
  • 36. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 3636 Strutture frattali intorno noiStrutture frattali intorno noi
  • 37. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 3737 Strutture frattali intorno noiStrutture frattali intorno noi
  • 38. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 3838 Strutture frattali intorno noiStrutture frattali intorno noi
  • 39. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 3939 Strutture frattali intorno noiStrutture frattali intorno noi
  • 40. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 4040 strutture frattali intono a noistrutture frattali intono a noi
  • 41. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 4141 strutture frattali intono a noistrutture frattali intono a noi Una rete fluvialeUna rete fluviale
  • 42. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 4242 Frattali in economiaFrattali in economia L’andamento degli indici di Borsa ha una struttura irregolare ed autosimilare….ovvero è un frattale
  • 43. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 4343 NonNon èè difficiledifficile costruire uncostruire un albero o unaalbero o una foglia con unafoglia con una semplice regolasemplice regola iterativaiterativa
  • 44. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 4444 Caos e frattaliCaos e frattali I sistemi dinamici dissipativi hannoI sistemi dinamici dissipativi hanno degli attrattori con dimensionedegli attrattori con dimensione frattale, glifrattale, gli attrattori straniattrattori strani Gli esponenti diGli esponenti di LyapunovLyapunov sonosono correlati con le dimensioni frattalicorrelati con le dimensioni frattali
  • 45. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 4545 Passiamo adesso da semplici sistemiPassiamo adesso da semplici sistemi composti dacomposti da pochi elementipochi elementi inin interazione fra di loro, a sistemi cheinterazione fra di loro, a sistemi che sono costituiti dasono costituiti da molti elementimolti elementi: ad: ad esempio un gas, ma anche unesempio un gas, ma anche un insieme di componenti elettronici oinsieme di componenti elettronici o di cellule o di animali o di persone odi cellule o di animali o di persone o didi societsocietà…à…
  • 46. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 4646 Caos e meccanica statisticaCaos e meccanica statistica IlIl caoscaos,, ipotizzatoipotizzato gigiàà dada BoltzmannBoltzmann alla fine dellalla fine dell’’800800 perchperchèè un gasun gas potessepotesse raggiungereraggiungere lolo statostato didi equilibrioequilibrio termodinamicotermodinamico,, garantiscegarantisce cheche questoquesto equilibrioequilibrio vengavenga didi fattofatto e in tempie in tempi rapidirapidi raggiuntoraggiunto ee rappresentarappresenta unun meccanismomeccanismo didi crucialecruciale importanzaimportanza per iper i fondamentifondamenti delladella meccanicameccanica statisticastatistica.. L. Boltzmann (1844-1906)
  • 47. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 4747 Transizioni di fase e fenomeni criticiTransizioni di fase e fenomeni critici FornendoFornendo calorecalore adad unauna pentolapentola didi acquaacqua èè possibilepossibile portarlaportarla allaalla temperaturatemperatura didi ebollizioneebollizione facendofacendo passarepassare ll’’acquaacqua dallodallo statostato liquidoliquido alloallo statostato didi vaporevapore.. AvvieneAvviene coscosìì unauna transizionetransizione didi fasefase aa temperaturatemperatura ee pressionepressione costantecostante .. AlAl didi soprasopra didi unauna temperaturatemperatura criticacritica peròperò nonnon sarsaràà pipiùù possibilepossibile liquefareliquefare ilil vaporevapore AlAl puntopunto criticocritico tuttotutto ilil sistemasistema èè correlatocorrelato,, abbiamoabbiamo ciocioèè unauna invarianzainvarianza didi scalascala, con, con fluttuazionifluttuazioni didi densitdensitàà moltomolto grandigrandi e ae a tuttetutte le scale.le scale.
  • 48. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 4848 InvarianzaInvarianza didi scalascala ee correlazionecorrelazione AlAl puntopunto criticocritico ilil sistemasistema mostramostra invarianzainvarianza didi scalascala ee correlazionicorrelazioni susu tuttotutto ilil sistemasistema…… OvveroOvvero UnaUna piccolapiccola perturbazioneperturbazione sisi ripercuoteripercuote velocementevelocemente susu tuttotutto ilil sistemasistema……
  • 49. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 4949 Sistemi al punto criticoSistemi al punto critico Un esempio: La propagazione di un incendio in una foresta dove gli alberi sono distribuiti in maniera casuale con una certa densità. L’incendio si propaga da parte a parte e la foresta brucia tutta solo se la densità supera una soglia critica che è intorno ad una densità di alberi del 59%
  • 50. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 5050 Sistemi allaSistemi alla ““soglia del caossoglia del caos”” Ordine e caos sono due situazioni estreme ma tutto sommato facilmente trattabili. Molto più complicato è invece lo studio delle situazioni intermedie ovvero dei sistemi fuori equilibrio e alla soglia del caos in cui il sistema viola l’ipotesi di ergodicità, visitando regioni dello spazio delle fasi in maniera diseguale, muovendosi su di un attrattore frattale.
  • 51. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 5151 La criticitLa criticitàà autoauto--organizzataorganizzata •• EE’’ possibilepossibile avereavere ancheanche deidei sistemisistemi cheche sisi autoauto--organizzanoorganizzano versoverso unouno statostato criticocritico,, senzasenza doverdover variarevariare alcunalcun parametroparametro esternoesterno, come ad, come ad esempioesempio lala temperaturatemperatura.. QuestoQuesto fenomenofenomeno scopertoscoperto neglinegli annianni 8080 daldal fisicofisico danesedanese PerPer BakBak sisi chiamachiama criticitcriticitàà autoauto--organizzataorganizzata •• AdAd esempioesempio ilil modellomodello delladella pilapila didi sabbiasabbia •• I terremoti mostrano delleI terremoti mostrano delle caratteristiche compatibili con lacaratteristiche compatibili con la criticitcriticitàà autoauto--organizzataorganizzata
  • 52. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 5252 OrdineOrdine daldal caoscaos: come: come nascenasce lala sincroniasincronia IlIl modellomodello didi KuramotoKuramoto (1975)(1975) OscillatoriOscillatori accoppiatiaccoppiati possonopossono sincronizzarsisincronizzarsi sese ll’’accoppiamentoaccoppiamento èè forteforte abbastanzaabbastanza.. ImmaginateImmaginate deglidegli atletiatleti cheche corronocorrono in unin un circuitocircuito circolarecircolare concon velocitvelocitàà diverse ediverse e cheche ad unad un certocerto puntopunto in basein base allaalla loroloro vogliavoglia didi correrecorrere insiemeinsieme ((accoppiamentoaccoppiamento K)K) sisi sincronizzanosincronizzano sullasulla stessastessa velocitvelocitàà qualunquequalunque siasia lala loroloro velocitvelocitàà inizialeiniziale.. SiSi osservaosserva unauna transizionetransizione didi fasefase dada un regimeun regime disordinatodisordinato adad unouno sincronizzatosincronizzato 1 ( ) sin( ) , 1,.... N i i j i j d t K i N dt N ϑ ω ϑ ϑ = = + − =∑ Costante diCostante di accoppiamentoaccoppiamento FrequenzeFrequenze naturalinaturali Fasi degli oscillatoriFasi degli oscillatori
  • 53. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 5353 OrdineOrdine daldal caoscaos: come: come nascenasce lala sincroniasincronia UnUn esempioesempio didi sincroniasincronia dada unun motomoto inizialmenteinizialmente casualecasuale:: ilil casocaso delledelle lucciolelucciole Questa semplice simulazione dimostra come sia possibile con semplici regole che un gruppo di oscillatori (persone neuroni, lucciole,ecc.) composto da molti elementi possa sincronizzarsi senza un leader che le coordini.
  • 54. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 5454 Sebbene non esista una definizione generalmenteSebbene non esista una definizione generalmente accettata di sistema complesso si può però tentare diaccettata di sistema complesso si può però tentare di definire sistema complesso,definire sistema complesso, un sistema dinamicoun sistema dinamico composto da molte parti elementari interagenti fra di lorocomposto da molte parti elementari interagenti fra di loro in maniera non lineare, che al variare del tempo mostrain maniera non lineare, che al variare del tempo mostra un comportamentoun comportamento emergenteemergente non previsto dallenon previsto dalle interazioni delle singole componenti.interazioni delle singole componenti. InoltreInoltre un sistema complesso ha una suaun sistema complesso ha una sua strutturastruttura gerarchica internagerarchica interna che viene generalmente distrutta dache viene generalmente distrutta da modifiche del sistema stesso.modifiche del sistema stesso. I sistemi complessi sono sistemi che stanno alla sogliaI sistemi complessi sono sistemi che stanno alla soglia del caosdel caos CosCos’è’è un sistema complessoun sistema complesso
  • 55. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 5555 Esempi di Sistemi complessi sistemi fisici fuori equilibrio: Vetri di spin o sistemi con forze a lungo raggio: plasmi o sistemi gravitazionali) sistemi biologici: il cervello, il DNA, il sistema immunitario sistemi ecologici: ecosistemi, catene alimentari sistemi sociali: comunità di individui di vario genere sistemi economici: mercati finanziari, reti di commercio sistemi di comunicazione: reti di computers, il world wide web,reti elettriche e telefoniche
  • 56. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 5656 Il fenomeno dellIl fenomeno dell’’emergenzaemergenza La Ola I moti collettivi e sincronizzati Il caso dell’ameba Dictyostelium discoideum Per maggiori dettagli vedi http://angel.elte.hu/~vicsek/
  • 57. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 5757 Partendo da 2 tipi di popolazioni, basta indicare una minima richiesta di desiderare un 30% di individui simili come vicini, per creare agglomerati macroscopici di aree abitate da individui della stessa popolazione Il fenomeno dellIl fenomeno dell’’emergenzaemergenza Come può nascere la segregazione sociale T. Schelling (1978)
  • 58. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 5858 I 6 gradi di separazioneI 6 gradi di separazione L’esperimento di Stanley Milgram (Harvard, anni ’60) 160 persone prese a caso ad Omaha, Nebraska… … un agente di Borsa di Boston, Massachussets
  • 59. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 5959 Il nuovo paradigma delle retiIl nuovo paradigma delle reti Il numero di Kevin Bacon e la rete degli attori Ma Kevin Bacon non ha un ruolo più importante di altri… nella rete degli attori http://oracleofbacon.org/cgibin/oracle/movielinks?firstname=Kevin+Bacon&game=1& secondname=Fairbanks%2C+Douglas&using=1
  • 60. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 6060 Cosa sono le reti o i grafiCosa sono le reti o i grafi nodi links Un sistema sociale o in generale un sistema complesso si può rappresentare tramite una rete o un grafo
  • 61. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 6161 6 gradi di separazione6 gradi di separazione La rete degli attori così come altre reti sociali è un “piccolo mondo” o meglio uno small-world ! Cerchiamo di capire come si ottiene questo fenomeno e quanto sia generale.
  • 62. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 6262 Supponendo che ogni persona conosca 50 personeSupponendo che ogni persona conosca 50 persone diverse ecco quante persone posso raggiungere indiverse ecco quante persone posso raggiungere in soli 6 passaggisoli 6 passaggi 312,500,000312,500,00050505555 15,625,000,00015,625,000,00050506666 6,250,0006,250,00050504444 125,000125,00050503333 2,5002,50050502222 505011
  • 63. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 6363 I Grafi casualiI Grafi casuali Pál Erdös (1913-1996) I grafi casuali posseggono la proprietà di piccolo mondo… …ma manca loro un’altra essenziale proprietà delle reti sociali…
  • 64. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 6464 In una vera rete sociale i nostri amici sono spesso amici tra di loro! Quello che manca alle reti casuali è:
  • 65. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 6565 1998 - Watts e Strogatz (USA) Il segreto del “piccolo mondo” si trova nel limbo tra ordine e caos! Ha una forte aggregazione, …ma non è un ‘piccolo mondo’ …ma non ha aggregazione E’ un ‘piccolo mondo’.
  • 66. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 6666 Modello di Watts-Strogatz Le reti di un mondo a metà tra il casuale e l’ordinato hanno una caratteristica curiosa: pur essendo ‘piccoli mondi’ mostrano una forte aggregazione! Basta poco per passare da una rete ordinata a quella di un piccolo mondo, trasformando solo alcuni legami
  • 67. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 6767 Gaussiana Reti Egualitarie: hanno una scala caratteristica Legge di Potenza Reti Aristocratiche: sono prive di scala (scale free) Due tipi fondamentali di reti ‘piccolo mondo’ “hub”, nodi iperconnessi
  • 68. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 6868 NETWORK DEGLI ATTORI Nodi: attori Links: film comuni N = 212,250 actors 〈k〉 = 28.78 P(k) ~k-γ Days of Thunder (1990) Far and Away (1992) Eyes Wide Shut (1999) γ=2.3
  • 69. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 6969 Reti diReti di computerscomputers Anche internet o ilAnche internet o il worldworld--widewide--webweb sonosono retireti scalescale--freefree, ovvero, ovvero concon invarianzainvarianza didi scalascala
  • 70. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 7070 Moltissimi sistemi del mondo reale presentano la stessa struttura: sono reti prive di scala! Ma come si formano queste reti? Riassumendo…
  • 71. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 7171 Aggregazione preferenzialeAggregazione preferenziale ““I ricchi diventano sempre piI ricchi diventano sempre piùù ricchiricchi”” oppureoppure ““I famosi sempre piI famosi sempre piùù famosifamosi”” Con questa semplice regola si generano spontaneamente sia l’autosomiglianza che la legge di potenza! Una regola semplice è quella dell’aggregazione preferenziale, trovata da Barabasi
  • 72. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 7272 L’INEVITABILITA’ DELLA LEGGE DI PARETO E DELLA SPEREQUAZIONE DELLA RICCHEZZA Il ricco diventa veramente sempre più ricco! La sperequazione non dipende dalle capacità o dal talento nel “far soldi” dei singoli individui ma solo dall’irregolarità dei “ritorni di investimento” ed emerge spontaneamente come caratteristica organizzativa della rete! (Bouchaud-Mezard-2001) Esempio in campo economico RETE DELLA RICCHEZZA Vilfredo Pareto (1897)
  • 73. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 7373 La struttura topologica dei networks è molto importante ai fini della risposta della rete ad errori o guasti casuali e ad attacchi mirati. Le reti scale-free sono molto robuste rispetto ai guasti casuali in confronto a quelli con struttura casuale, ma sono molto più vulnerabili per attacchi mirati (hakers, ecc.) Anche la diffusione di virus e malattie dipende in maniera molto sensibile dalla struttura topologica delle reti. Per reti scale-free come il Web o internet non esiste una soglia critica per la diffusione. Questo spiega perché è molto difficile eliminare del tutto un virus dalla rete. Questi studi possono essere utili per la diffusione di malattie contagiose, ad esempio per cercare di arrestare la diffusione dell’Aids in Africa o anche per combattere reti terroristiche o per capire come funzionano i mercati finanziari ATTACCHI, GUASTI E CONTAGIO
  • 74. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 7474 COME PUTROPPO SAPPIAMO, ATTACCHI TERRORISTICI MIRATI AGLI HUB DELLE NOSTRE RETI SOCIALI, ECONOMICHE ED INFORMATICHE POSSONO PRODURRE GRAVISSIME CONSEGUENZE… D’altra parte la conoscenza delle proprietà strutturali delle reti potrebbe aiutarci nel tentativo di neutralizzare le reti di cellule terroristiche decentrate tipo Al Qaida. In questo senso eliminare Bin Laden potrebbe essere inutile, mentre per disgregare il sistema potrebbe essere più efficace agire sulle cellule ponte. Attacchi terroristici BIN LADEN? (HUB) LEGAMI DEBOLI RETI di CELLULE TERRORISTICHE CELLULA “PONTE”
  • 75. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 7575 ConclusioniConclusioni I fenomeni che abbiamo visto non si limitano solo ai sistemi fisici, ma in maniera interdisciplinare interessano pure altri campi quali la Biologia, L’Economia, La Geologia, L’Informatica, L’Ingegneria, Le Scienze sociali, La Psicologia. Il Fisico oggi trova lavoro un po’ ovunque per la flessibilita’ della sua forma mentis e per il rigore del metodo scientifico. L’uso dei moderni calcolatori elettronici ha poi reso fattibile quello che solo pochi decenni fa sembrava fantascienza. Tecniche statistico-matematiche rendono oggi possibile lo studio di enormi database o serie temporali (DNA, sequenze di terremoti, sequenze di dati finanziari) alla scoperta di ordine dove a prima vista regna solo un rumore di fondo. Capire queste strutture elusive e complesse, sfruttarle per carpire la semplicita’ nascosta dentro la complessita’ apparente e’ la sfida della fisica contemporanea che portera’ ad un nuovo modo di fare scienza, in maniera sempre piu’ interdisciplinare e consapevole ed allo stesso tempo con importanti ricadute applicative. Mentre Galileo studiava il pendolo considerandolo come un sistema isolato, oggi ci si rende sempre più conto che non è sempre possibile trascurare piccoli dettagli del problema. Piccole perturbazioni possono avere un ruolo cruciale se il nostro sistema e’ prossimo al valore critico. Basta poco per far mutare radicalmente il comportamento e portare il sistema verso un altro regime inaspettato e imprevedibile. Questo e’ tanto piu’ vero quanto piu’ il nostro sistema è composto da parti interconnesse che interagiscono con forze non linerari. Il mondo in cui viviamo è un universo dinamico composto da molti elementi, fortemente connessi e regolati da leggi non lineari. Al di là degli interessi scientifici, sarebbe bene che ogni singolo cittadino fosse profondamente consapevole di questo.
  • 76. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 7676 Dove si studia la ComplessitDove si studia la Complessitàà Il Santa Fe Institute for complex systems fondato nel 1984 a Santa Fe da un gruppo Di fisici dei Laboratori di Los Alamos nel New Mexico e diretto un comitato scientifico in cui figurano diversi premi Nobel da Murray Gell-Mann a Phil Anderson Qui a Catania esiste già da alcuni anni il gruppo CACTUS che collabora con altre realtà locali e con i maggiori centri nazionali ed internazionali www.ct.infn.it/~cactus In Europa vi sono diversi centri in Francia, in Germania, in Ungheria In Italia vi sono diversi gruppi in particolare a Firenze dove opera il CSDC e a Roma dove è stato recentemente creato l’Istituto dei Sistemi Complessi del CNR
  • 77. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 7777 Riferimenti per chi volesse saperne di piRiferimenti per chi volesse saperne di piùù J.J. Gleick, CAOS, LA NASCITA DI UNA NUOVA SCIENZACAOS, LA NASCITA DI UNA NUOVA SCIENZA,, RizzoliRizzoli, (2000), (2000) A.A. VulpianiVulpiani,, DeterminismoDeterminismo ee CaosCaos LaLa nuovanuova ItaliaItalia ScientificaScientifica (1994)(1994) S.S. StrogatzStrogatz,, SincroniaSincronia II ritmiritmi delladella naturanatura II nostrinostri ritmiritmi,, MondadoriMondadori (2003)(2003) M. BuchananM. Buchanan UbiquitUbiquitàà.. Dai terremoti al crollo dei mercati: la nuova leggeDai terremoti al crollo dei mercati: la nuova legge universale dei cambiamentiuniversale dei cambiamenti ,, MondadoriMondadori (2003)(2003) M.M. BuchananBuchanan,, NexusNexus.. PerchPerchéé la natura, la societla natura, la societàà, l'economia, la, l'economia, la comunicazione funzionano allo stesso modocomunicazione funzionano allo stesso modo MondadoriMondadori 20042004 T.A. Bass,T.A. Bass, SbancareSbancare WallWall Street. Ovvero in che modo una banda di fisiciStreet. Ovvero in che modo una banda di fisici indipendentiindipendenti èè riuscita a far fortuna in Borsa applicando la teoria del caosriuscita a far fortuna in Borsa applicando la teoria del caos ,, FeltrinelliFeltrinelli (2001)(2001) RR DevaneyDevaney,, Caos e frattaliCaos e frattali.. Matematica dei sistemi dinamici e applicazioniMatematica dei sistemi dinamici e applicazioni calcolatorecalcolatore PearsonPearson EducationEducation Italia (2001)Italia (2001) B.B. Mandelbrot,B.B. Mandelbrot, Gli oggetti frattali. Forma, caso e dimensioneGli oggetti frattali. Forma, caso e dimensione ,, EinaudiEinaudi (2000)(2000)
  • 78. Dal caos ai sistemi complessiDal caos ai sistemi complessi A. RapisardaA. Rapisarda 7878

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