Mundtlig gruppeprøvei matematik 2012                                       19-11-2012klaus.fink@uvm.dk   Mobil: 2041 0721 ...
Hvorfor en mundtlig prøve?• Der er trinmål, vi ikke kan prøve eleverne i ved en skriftlig prøve• Eller kun delvist kan prø...
Hvorfor en mundtlig prøve?                                       19-11-2012klaus.fink@uvm.dk   Mobil: 2041 0721        Sid...
Hvorfor en gruppeprøve?• 23. december 2011:• ”Det er vigtigt, at gruppeprøver igen kan bruges som en blandt mange prøve- o...
Hvorfor en gruppeprøve?     arbejde individuelt og sammen med andre om praktiske og teoretiske     problemstillinger, bl.a...
Hvilke prøver?• FSA til udtræk• Fs 10, prøveform A ligner FSA• Fs 10, prøveform B er også en gruppeprøve                  ...
Kan vi nå det?                    • Det skriftlige arbejde styrkes!                        • Et forsøg i Vestesjælland.   ...
Sådan er reglerne        10.1. Til den mundtlige prøve opgives et alsidigt sammensat stof inden for fagets         fire c...
 10.2. Prøven foregår i grupper bestående af to-tre elever. Prøven  tilrettelægges, så højst seks elever, der arbejder sa...
 10.3. Prøven tager udgangspunkt i et oplæg med tydelige problemstillinger,  som giver eleverne mulighed for at vise mate...
 10.4. Ved prøven må alle hjælpemidler anvendes. Der skal i prøvelokalet  være mulighed for at anvende computer.   Inter...
 10.5. Mens eleverne arbejder, taler lærer og censor med grupperne og den    enkelte elev om de faglige begreber, metoder...
 10.6. Der prøves i elevens matematiske kompetencer, som de kommer til  udtryk gennem elevens handlinger i matematikholdi...
Diskuter!•Hvad betyder disse begreber:       •Problembehandlingskompetence       •Modelleringskompetence       •Ræsonnemen...
Fra vejledningen• Oplægget kan have særligt fokus på en enkelt kompetence fx  modellerings- eller ræsonnementskompetencen ...
Vurdering• Vurdering af matematiske kompetencer og arbejdsmåder i  prøvesituationen kan foregå på baggrund af følgende spø...
Hvad med færdigheder?• “Begrebet “færdighed” kan forstås som nogens evne til at udføre en  given handling med utvetydige k...
Viden og færdigheder  Klaus.fink@uvm.dk   Mobil: 2041 0721   19-11-2012
Kompetencer  Klaus.fink@uvm.dk   Mobil: 2041 0721   19-11-2012
Problembehandlingskompetence erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske problemer og vurdere  løsningerne (slutmål)...
Eksempel 1:Problembehandling                    1• Kan du skrive 6 som summen af to stambrøker?  • Er der en løsning?  • E...
Problembehandlingskompetence erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske problemer og vurdere  løsningerne (slutmål)...
Modelleringskompetence udføre matematisk modellering og afkode, tolke, analysere og vurdere  matematiske modeller (slutmå...
Eksempel 2: Modellering•   Hvor mange tandbørstninger er der i en tube tandpasta?•   Hvorfor er tagrender runde?•   Hvad k...
Modelleringskompetence udføre matematisk modellering og afkode, tolke, analysere og vurdere  matematiske modeller (slutmå...
Ræsonnementskompetence udtænke og gennemføre egne ræsonnementer til begrundelse af matematiske  påstande og følge og vurd...
Eksempel 3: Ræsonnement• Hvorfor er der altid et tal fra 6-tabellen før eller efter et primtal?     Klaus.fink@uvm.dk   Mo...
Ræsonnementskompetence udtænke og gennemføre egne ræsonnementer til begrundelse af matematiske  påstande og følge og vurd...
Kommunikationskompetence udtrykke sig om matematiske spørgsmål og aktiviteter på forskellige måder,  indgå i dialog og fo...
Klaus.fink@skolekom.dk   Mobil: 2041 0721   19-11-2012
Gågaden i Vejle er dækket af fliser. De har en form, der kaldes drage-firkanter. En dragefirkant kan defineres som en firk...
Kommunikationskompetence udtrykke sig om matematiske spørgsmål og aktiviteter på forskellige måder,  indgå i dialog og fo...
Hjælpemiddelkompetence kende, vælge og anvende hjælpemidler i arbejdet med matematik, herunder  it, og have indblik i der...
Tankegangskompetence, Repræsentationskompetence,    Symbolbehandlingskompetence• stille spørgsmål, som er karakteristiske ...
Eksempel 5: Repræsentation  Klaus.fink@skolekom.dk   Mobil: 2041 0721   19-11-2012
Klaus.fink@skolekom.dk   Mobil: 2041 0721   19-11-2012
Eksempel 6: SymbolbehandlingMatematrix 7, s. 18: I en judoklub for børn er der D drenge, P piger, T trænere og L ledere. H...
Mere symbolbehandlingMatematrix 7, s. 18: Opskriv formler, som beskriver følgende     sammenhænge:   a) Der er en træner f...
Navn på skibskopierne            Skibenes længde      Skibenes bredde   SkibstypeEksempel 1: TankegangOttar               ...
Anvendelse af faglige begreber, metoder og arbejdsmåderDe tre områder indgår i de fleste prøveoplæg og knytter an til det ...
Vejledendekarakterbeskrivelse Fremragende - 12                      Godt - 7                  Tilstrækkeligt - 02 Eleven h...
Fremragende - 12                      Godt - 7                  Tilstrækkeligt - 02 Eleven benytter sikkert               ...
Fremragende - 12                      Godt - 7                Tilstrækkeligt - 02 Eleven viser sikkerhed i              El...
Fremragende - 12                      Godt - 7                    Tilstrækkeligt - 02 Eleven arbejder på en               ...
Fremragende - 12                      Godt - 7                  Tilstrækkeligt - 02 Eleven fremlægger                     ...
Fra Skovshoved Skole                                       19-11-2012klaus.fink@uvm.dk   Mobil: 2041 0721      Side 46
19-11-2012klaus.fink@uvm.dk   Mobil: 2041 0721      Side 47
19-11-2012klaus.fink@uvm.dk   Mobil: 2041 0721      Side 48
Fart og Tempo• Eleverne skal hjemme vælge to genstande, der bevæger sig - den ene  skal bevæge sig hurtigere end et mennes...
19-11-2012klaus.fink@uvm.dk   Mobil: 2041 0721      Side 50
Tankegangskompetence                                                              Anvende /                               ...
Kommunikationskompetencen                                                             Anvende /                           ...
Modelleringskompetencen                    At bringe det virkelige problem over i matematikkensMatematisere               ...
Fordele•Eleverne synes, det er sjovt•Der er stor grad af differentieringsmulighed•Alle bliver udfordret•De kommunikationss...
Diskussion!•Hvad ser vi af matematik i denne figur?•Hvilke problemstillinger kan vi formulere?                            ...
Vejledende prøveoplæg•Kan bruges i undervisningen.•Kan bruges af læreren som inspiration til egne prøveoplæg.•Viser en for...
Et eksempel: Tages kvadratDen danske matematiker, Tage Werner, fandt på figuren, som ses herunder. Figuren kan laves ved  ...
”Standby sheet” eller idesideIdeer: Konstruer Tages kvadrat ved hjælp af et it-værktøj. I kan fx lade sidelængden være 10...
 Er det rigtigt, at vinklen, der er markeret herunder, er ca. 27°? Kan I finde  vinklens størrelse på flere forskellige m...
Husk bilag                                       19-11-2012klaus.fink@uvm.dk   Mobil: 2041 0721      Side 60
Tages kvadrat - lærervejledning Forberedelse: Eleverne skal have et geometriprogram til  rådighed, fx ”GeoGebra” og fler...
Ideer til udfordringer og støtte: Det er oplagt, at eleverne indleder arbejdet med at konstruere Tages kvadrat i et geome...
Et andet eksempel:Skolevejen              Jernbaneoverskæring                                          Skolen             ...
 ”Hvor langt har du egentlig til skole?”  Maria stiller spørgsmålet til Emil, som lettere forpustet er ved at anbringe si...
Ideer til oplægget- I kan taste jeres egen skolevej ind i www.krak.dk og https://maps.google.com/ ogkommentere, hvordan de...
Kommentarer til SKOLEVEJENMaterialer:Eleverne skal have adgang til computer med adgang til internettet.Eleverne skal kunne...
God arbejdslyst!                                    Brug dit fagteam                    Brug det lokale Center for Undervi...
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Mundtlig gruppeprøve Matematik - Roadshow

3,621

Published on

Mundtlig gruppeprøve i matematik.
Præsentation af

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
3,621
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
4
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Mundtlig gruppeprøve Matematik - Roadshow

  1. 1. Mundtlig gruppeprøvei matematik 2012 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 1
  2. 2. Hvorfor en mundtlig prøve?• Der er trinmål, vi ikke kan prøve eleverne i ved en skriftlig prøve• Eller kun delvist kan prøve i.• § 1. Formålet med folkeskolens afsluttende prøver er at dokumentere, i hvilken grad eleven opfylder de mål og krav, der er fastsat for det enkelte fag.• Det er især målene i 1. CKF: Matematiske kompetencer, og det 4. CKF: Matematiske arbejdsmåder, der kun kan prøves delvist i skriftlige prøver. 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 2
  3. 3. Hvorfor en mundtlig prøve? 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 3
  4. 4. Hvorfor en gruppeprøve?• 23. december 2011:• ”Det er vigtigt, at gruppeprøver igen kan bruges som en blandt mange prøve- og eksamensformer. Prøve- og eksamensformerne skal afspejle virkelighedens arbejdsmetoder. Elever og studerende vil efter sommer igen kunne gå til gruppeprøve og gruppeeksamen i en række fag. Samtidig vil vi afprøve nye prøve- og eksamensformer i et udviklingsprogram, der dækker hele uddannelsesområdet.”• 10. maj 2012:• ”Evnen til at samarbejde og få det optimale ud af mødet mellem forskellige kompetencer er et naturligt krav i dagens virkelighed. Gruppearbejde, dialog og idéudveksling er derfor væsentlige elementer i en moderne og virkelighedsnær undervisning. Med genindførelse af gruppeprøver i blandt andet matematik og naturfag udvider vi nu paletten af prøveformer og elevernes mulighed for at bruge deres almene kompetencer. 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 4
  5. 5. Hvorfor en gruppeprøve? arbejde individuelt og sammen med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, bl.a. i projektorienterede forløb arbejde individuelt og sammen med andre om problemløsning i mundtligt og skriftligt arbejde give respons til andre i arbejdet med matematik, bl.a. ved at spørge aktivt. Fælles Mål 2009 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 5
  6. 6. Hvilke prøver?• FSA til udtræk• Fs 10, prøveform A ligner FSA• Fs 10, prøveform B er også en gruppeprøve 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 6
  7. 7. Kan vi nå det? • Det skriftlige arbejde styrkes! • Et forsøg i Vestesjælland. • Eleverne bliver engageret! • Udviklingsprojekter i Slagelse og Nordsjælland • Årsplanlægning i Nordjylland • Kan vi nå det uden mundtlighed? • Forskningen taler for mundtlighed. 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 7
  8. 8. Sådan er reglerne  10.1. Til den mundtlige prøve opgives et alsidigt sammensat stof inden for fagets fire centrale kundskabs- og færdighedsområder. Desuden opgives eventuelle temaer og projekter, som klassen har arbejdet med. Endvidere oplyses om de it- værktøjer, der er benyttet i undervisningen.  Undervisningsforløb, hvor der har været fokus på en matematisk kompetence fx problembehandlings-, modellerings- eller ræsonnementskompetencen.  Projekter med rapportskrivning, præsentationer, film eller anden form for fremlæggelse.  Kender eleverne kompetencerne som begreber eller kan de alene udøve dem?  Arbejds- og organisationsformer. 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 8
  9. 9.  10.2. Prøven foregår i grupper bestående af to-tre elever. Prøven tilrettelægges, så højst seks elever, der arbejder samtidigt, gennemfører prøven i løbet af 2 timer. Karakterfastsættelsen finder sted inden for samme tidsrum ved bedømmelsens afslutning. Skolens leder kan beslutte et andet antal af elever i grupperne. Kun individuelt hvis eleven har vanskeligt ved at indgå i en gruppebaseret prøve pga.:  sociale omstændigheder, sent skoleskift, sygeprøve, pjæk eller andre forhold.  fysisk eller psykisk funktionsnedsættelse. Undtagelsesvis 4 elever. Antal prøveoplæg: a=e:2:2+3. Prøveoplæggene skal dække det opgivne stof bredt. 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 9
  10. 10.  10.3. Prøven tager udgangspunkt i et oplæg med tydelige problemstillinger, som giver eleverne mulighed for at vise matematiske kompetencer, viden og kunnen. Oplægget, prøveforløbet og de materialer, der er til stede i prøvelokalet, skal give eleverne mulighed for at benytte matematiske arbejdsmåder i prøvesituationen. Det samlede antal prøveoplæg skal alsidigt repræsentere samtlige områder inden for det opgivne stof.Det gode prøveoplæg skal: Have en eller flere problemstillinger både ”rene” og ”praktiske”. Åbne problemstillinger med matematisk problemløsning. Give mulighed for matematiske undersøgelser. Kunne løses på flere niveauer. Være åbne for at vise de matematiske kompetencer. Have bilagsmateriale, konkrete materialer, filer til it-brug og links til egnede hjemmesider. Have det lokale islæt! 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 10
  11. 11.  10.4. Ved prøven må alle hjælpemidler anvendes. Der skal i prøvelokalet være mulighed for at anvende computer. Internet Et dynamisk geometriprogram fx GeoGebra Regneark Formelsamling Egne noter Bøger til opslag 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 11
  12. 12.  10.5. Mens eleverne arbejder, taler lærer og censor med grupperne og den enkelte elev om de faglige begreber, metoder, overvejelser og konklusioner, som prøveoplægget har givet anledning til. Der afsluttes med en uddybende samtale.• En runde varer 120 minutter.• Eleverne trækker deres prøveoplæg, ca. 5-10 minutter.• Cirka 90 minutter til elevernes arbejde i grupper.• 1. samtale: Har gruppen forstået opgaven? Evt. fremlæggelse af en disposition.• 2-3 samtaler, hvor grupperne fremlægger deres arbejde og er i dialog med lærer og eventuelt censor.• Den afsluttende samtale som runder prøven af og bl.a. skal give lærer og censor mulighed for at få opklaret en eventuel usikkerhed om vurdering af elevernes præstationer.• Votering ca. 15-20 minutter.• Eleverne får deres karakterer – eventuelt med en kort begrundelse. 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 12
  13. 13.  10.6. Der prøves i elevens matematiske kompetencer, som de kommer til udtryk gennem elevens handlinger i matematikholdige situationer. Ved bedømmelsen lægges hovedvægten på en eller flere af følgende matematiske kompetencer hos eleven: - problembehandlingskompetence - modelleringskompetence - ræsonnementskompetence - kommunikationskompetence - hjælpemiddelkompetence - anvendelse af faglige begreber, metoder og arbejdsmåder.• 10.7. Eleverne bedømmes individuelt. Der gives én karakter til hver elev. 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 13
  14. 14. Diskuter!•Hvad betyder disse begreber: •Problembehandlingskompetence •Modelleringskompetence •Ræsonnementskompetence 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 14
  15. 15. Fra vejledningen• Oplægget kan have særligt fokus på en enkelt kompetence fx modellerings- eller ræsonnementskompetencen eller knytte an til flere kompetencer. Et prøveoplæg med modelleringskompetencen i fokus kan have flere indgange fx • En fuldstændig modellering • En delvis modellering • Analyse og kritik af andre modeller med eventuelt opstilling af en ny model.• Problemløsning fordrer, at prøveoplægget lægger op til en matematisk undersøgelse. Det kan ikke forventes, at spørgsmål som ”Find rumfanget af…”, ”Hvor meget koster…” vil udgøre reelle matematiske problemer for alle elever i en klasse. Der vil i de vejledende prøveoplæg være eksempler på problemstillinger, der lægger op til problemløsning. 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 15
  16. 16. Vurdering• Vurdering af matematiske kompetencer og arbejdsmåder i prøvesituationen kan foregå på baggrund af følgende spørgsmål: • Viser eleven sine matematiske kompetencer ved at handle på en indsigtsfuld måde i forbindelse med problemstillingen? • Kan eleven benytte sin viden og sine færdigheder i forhold til problemstillingen? • Arbejder eleven undersøgende og systematisk, viser eleven initiativ, indgår i dialog og samarbejder med sin gruppe • Kan eleven kommunikere med og om matematik? 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 16
  17. 17. Hvad med færdigheder?• “Begrebet “færdighed” kan forstås som nogens evne til at udføre en given handling med utvetydige karakteristika.” Tomas Højgaard Jensen, phd 2008, s. 44• Viden kan være om begreber, definitioner og formler Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012
  18. 18. Viden og færdigheder Klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012
  19. 19. Kompetencer Klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012
  20. 20. Problembehandlingskompetence erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske problemer og vurdere løsningerne (slutmål) opstille, afgrænse og løse både rent faglige og anvendelsesorienterede matematiske problemer og vurdere løsningerne, bl.a. med henblik på at generalisere resultater (trinmål efter 9. klasse) 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 20
  21. 21. Eksempel 1:Problembehandling 1• Kan du skrive 6 som summen af to stambrøker? • Er der en løsning? • Er der flere løsninger? • Kan I finde dem alle? Klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012
  22. 22. Problembehandlingskompetence erkende, formulere, afgrænse og løse matematiske problemer og vurdere løsningerne (slutmål) opstille, afgrænse og løse både rent faglige og anvendelsesorienterede matematiske problemer og vurdere løsningerne, bl.a. med henblik på at generalisere resultater (trinmål efter 9. klasse)Kompetencen i prøvesammenhæng Da alle prøveoplæg skal have tydelige problemstillinger, vil denne kompetence eller dele af den som regel indgå i bedømmelsen af alle præstationer. Væsentlige opmærksomhedsfelter: Kan eleven forholde sig til de matematiske problemer? Har eleven en løsningsstrategi, og kan eleven løse problemet? Gennemfører eleven en matematisk undersøgelse? Opstiller eleven eventuelt selv et matematisk problem? 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 22
  23. 23. Modelleringskompetence udføre matematisk modellering og afkode, tolke, analysere og vurdere matematiske modeller (slutmål) opstille, behandle, afkode, analysere og forholde sig kritisk til modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af regneudtryk, tegning, diagrammer, ligninger, funktioner og formler (trinmål efter 9. klasse) 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 23
  24. 24. Eksempel 2: Modellering• Hvor mange tandbørstninger er der i en tube tandpasta?• Hvorfor er tagrender runde?• Hvad koster en bil?• Jeg vil gerne have et kegleformet kalenderlys til jul! Klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012
  25. 25. Modelleringskompetence udføre matematisk modellering og afkode, tolke, analysere og vurdere matematiske modeller (slutmål) opstille, behandle, afkode, analysere og forholde sig kritisk til modeller, der gengiver træk fra virkeligheden, bl.a. ved hjælp af regneudtryk, tegning, diagrammer, ligninger, funktioner og formler (trinmål efter 9. klasse)Kompetencen i prøvesammenhæng En af de centrale kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Det skal bemærkes, at andre kompetencer ofte kommer i spil, fx problembehandling, symbolbehandling og ræsonnement, og derfor kan indgå i bedømmelsen. Væsentlige opmærksomhedsfelter: Kan eleven opstille en matematisk model, der kan bruges i forbindelse med problemstillingen? Kan eleven udarbejde en matematisk løsning med brug af modellen? Kan eleven analysere sine resultater i forhold til problemstillingen? Kan eleven forholde sig kritisk til egne og andres modeller? 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 25
  26. 26. Ræsonnementskompetence udtænke og gennemføre egne ræsonnementer til begrundelse af matematiske påstande og følge og vurdere andres matematiske ræsonnementer (slutmål) udtænke, gennemføre, forstå og vurdere mundtlige og skriftlige matematiske ræsonnementer og arbejde med enkle beviser (trinmål efter 9. klasse) 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 26
  27. 27. Eksempel 3: Ræsonnement• Hvorfor er der altid et tal fra 6-tabellen før eller efter et primtal? Klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012
  28. 28. Ræsonnementskompetence udtænke og gennemføre egne ræsonnementer til begrundelse af matematiske påstande og følge og vurdere andres matematiske ræsonnementer (slutmål) udtænke, gennemføre, forstå og vurdere mundtlige og skriftlige matematiske ræsonnementer og arbejde med enkle beviser (trinmål efter 9. klasse)Kompetencen i prøvesammenhæng En af de centrale kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Det kan fx være i det faglige område geometri, hvor der generaliseres på baggrund af undersøgelser i et dynamisk geometriprogram. Det skal bemærkes, at andre kompetencer ofte kommer i spil, fx symbolbehandling og hjælpemiddel- kompetence, og derfor kan indgå i bedømmelsen. Væsentlige opmærksomhedsfelter: Kan eleven gennemføre ræsonnementer med præmisser  argumenter  konklusion Kan eleven forholde sig kritisk til egne og andres ræsonnementer? Bruger eleven ræsonnementer frem for påstande? Kan eleven gennemføre et enkelt matematisk bevis? 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 28
  29. 29. Kommunikationskompetence udtrykke sig om matematiske spørgsmål og aktiviteter på forskellige måder, indgå i dialog og fortolke andres matematiske kommunikation (slutmål) indgå i dialog samt udtrykke sig mundtligt og skriftligt om matematikholdige anliggender på forskellige måder og med en vis faglig præcision, samt fortolke andres matematiske kommunikation (trinmål efter 9. klasse) 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 29
  30. 30. Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012
  31. 31. Gågaden i Vejle er dækket af fliser. De har en form, der kaldes drage-firkanter. En dragefirkant kan defineres som en firkant, der er sat sammenaf to ligebenede trekanter med samme grundlinje. Når man skal arbejdemed dragefirkanter, kan det være praktisk at vide noget mere om fx areal.ProblemstillingJeres opgaver er i et dynamisk geometriprogram at undersøge, om arealet af endragefirkant kan findes med en af disse formler, hvor d1 og d2 er dragefirkantens diagonaler:A = d1 ∙ d 2A = d1 ∙ d2/2A = d1 ∙ d2/4Gennem ræsonnementer kan man bevise, at den rigtige formel altid gælder.Hvorfor står diagonalerne vinkelret på hinanden? Klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012
  32. 32. Kommunikationskompetence udtrykke sig om matematiske spørgsmål og aktiviteter på forskellige måder, indgå i dialog og fortolke andres matematiske kommunikation (slutmål) indgå i dialog samt udtrykke sig mundtligt og skriftligt om matematikholdige anliggender på forskellige måder og med en vis faglig præcision, samt fortolke andres matematiske kommunikation (trinmål efter 9. klasse)Kompetencen i prøvesammenhæng Denne kompetence indgår i bedømmelsen af alle prøveoplæg. Det er en underliggende kompetence, som er central for formidlingen af elevernes arbejde med matematikken. Dette og dialogen med censor og faglærer vil indgå i bedømmelsen af alle præstationer. Opmærksomhedsfelter: Kan eleven indgå i en faglig dialog med lærer/censor og med sin gruppe? Kan eleven fremlægge sit arbejde med præcision, brug af fagsprog, vekslen mellem dagligt og matematisk sprog? 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 32
  33. 33. Hjælpemiddelkompetence kende, vælge og anvende hjælpemidler i arbejdet med matematik, herunder it, og have indblik i deres muligheder og begrænsninger (Slutmål) kende forskellige hjælpemidler, herunder it, og deres muligheder og begrænsninger, samt anvende dem hensigtsmæssigt, bl.a. til eksperimenterende udforskning af matematiske sammenhænge, til beregninger og til præsentationer (trinmål efter 9. klasse)Kompetencen i prøvesammenhæng Denne kompetence kan spille en central rolle i bedømmelsen fx i prøveoplæg, hvor en undersøgende arbejdsmåde danner grundlag . Det er en underliggende kompetence i de fleste prøveoplæg. Kan eleven bruge relevante hjælpemidler og bruge dem på en hensigtsmæssig måde? 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 33
  34. 34. Tankegangskompetence, Repræsentationskompetence, Symbolbehandlingskompetence• stille spørgsmål, som er karakteristiske for matematik og have blik for hvilke typer af svar, som kan forventes (slutmål)• skelne mellem definitioner og sætninger, mellem enkelttilfælde og generaliseringer og anvende denne indsigt til at udforske og indgå i dialog om forskellige matematiske begrebers rækkevidde og begrænsning (trinmål efter 9. klasse)Kompetencen i prøvesammenhæng• Tankegangskompetencen er ikke med i de kompetencer, som hovedvægten kan lægges på. Den vil indirekte være med i de fleste prøveoplæg, da den nærmest afgør, om der er tale om matematisk virksomhed, og den kan derfor indgå i bedømmelsen med en mindre vægt.• danne, forstå og anvende forskellige repræsentationer af matematiske objekter, begreber, situationer eller problemer (slutmål)• afkode, bruge og vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationsformer og kunne se deres indbyrdes forbindelser (trinmål efter 9. klasse)Kompetencen i prøvesammenhæng• Spiller ikke en central rolle i den mundtlige prøve. I nogle prøveoplæg kan det blive en kompetence, der bør indgå i vurderingen. • Kan eleven vælge hensigtsmæssigt mellem forskellige repræsentationer og se deres indbyrdes forbindelse?• forstå og afkode symbolsprog og formler og oversætte mellem dagligsprog og matematisk symbolsprog (slutmål)• forstå og benytte variable og symboler, bl.a. når regler og sammenhænge skal vises, samt oversætte mellem dagligsprog og symbolsprog (trinmål efter 9. klasse)Kompetencen i prøvesammenhæng• Kompetencen er betydningsfuld fx i modellering. Men da den prøves en del i de skriftlige prøver, skal den ikke være i centrum. Det betyder, at man under elevernes arbejde med en matematisk model kan hjælpe eleverne med fx symbolsprog, uden at det skal betyde en lavere karakter. Det indgår i vurderingen, hvorvidt eleverne kan veksle mellem dagligdags sprog og matematikkens sprog, men i mindre omfang. • Kan eleven afkode symboler? • Kan eleven bruge symboler? • Kan eleven bearbejde symboler som formler, ligninger mv.
  35. 35. Eksempel 5: Repræsentation Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012
  36. 36. Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012
  37. 37. Eksempel 6: SymbolbehandlingMatematrix 7, s. 18: I en judoklub for børn er der D drenge, P piger, T trænere og L ledere. Hvad betyder følgende formler? D=P T<L D = 2P T>0 P = D + 10 ½(D + P) = 45 Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012
  38. 38. Mere symbolbehandlingMatematrix 7, s. 18: Opskriv formler, som beskriver følgende sammenhænge: a) Der er en træner flere, end der er ledere. b) Der er 10 drenge flere, end der er piger. c) Der er 10 gange så mange drenge som piger. d) Der er en træner for hver 10 drenge. e) Der er en træner for hver 10 medlemmer. f) Der er dobbelt så mange medlemmer, som der er voksne (trænere og ledere). Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012
  39. 39. Navn på skibskopierne Skibenes længde Skibenes bredde SkibstypeEksempel 1: TankegangOttar 16,5 m 4,5 m HandelsskibHavhingsten 29,4 m 3,8 m KrigsskibRoar Ege 14,1 m 3,4 m HandelsskibHelge Ask 17,5 m 2,5 m Krigsskib• Beregn forholdene mellem hvert skibs længde og bredde.• Svarene er 3,67 ; 7,74 ; 4,15 og 7• Brug forholdene til at beskrive forskellen på handelsskibe og krigsskibe.• ”Forholdene mellem længde og bredde er næsten dobbelt så store på krigsskibe som på handelsskibe”. Klaus.fink@skolekom.dk Mobil: 2041 0721 19-11-2012
  40. 40. Anvendelse af faglige begreber, metoder og arbejdsmåderDe tre områder indgår i de fleste prøveoplæg og knytter an til det 4. CKF-område, matematiske arbejdsmåder med følgende trinmål: Faglige begreber: - læse faglige tekster og kommunikere om fagets emner Metoder: - deltage i udvikling af strategier og metoder i forbindelse med de matematiske emner Arbejdsmåder: - undersøge, systematisere, ræsonnere og generalisere i arbejdet med matematiske problemstillinger - arbejde individuelt og sammen med andre om behandlingen af matematiske opgaver og problemstillinger• Bruger eleven faglige begreber hensigtsmæssigt og korrekt?• Kan eleven bruge forskellige metoder i arbejdet med problemstillingen?• Gennemfører eleven i sin gruppe matematiske undersøgelser?• Kan eleven bringe sin matematiske faglighed i spil i sin gruppe? 19-11-2012 klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 40
  41. 41. Vejledendekarakterbeskrivelse Fremragende - 12 Godt - 7 Tilstrækkeligt - 02 Eleven handler sikkert og Eleven handler Eleven handler usikkert i indsigtsfuldt i arbejdet hensigtsmæssig i arbejdet med de med de forelagte arbejdet med de forelagte problemstillinger og forelagte problemstillinger og viser bred dækning af en problemstillinger og viser svag dækning af en eller flere af de viser delvis dækning af eller flere af de matematiske en eller flere af de matematiske kompetencer: matematiske kompetencer: Modellerings-, kompetencer: Modellerings-, ræsonnements- og Modellerings-, ræsonnements- og problembehandlingskom ræsonnements- og problembehandlingskom petencen. problembehandlingskom petencen. petencen. 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 41
  42. 42. Fremragende - 12 Godt - 7 Tilstrækkeligt - 02 Eleven benytter sikkert Eleven benytter en del Eleven demonstrerer og indsigtsfuldt sin viden viden og færdigheder i nogen viden og enkle om og færdigheder i forhold til de forlagte færdigheder i forhold til matematik i forhold til problemstillinger. de forlagte de forlagte problemstillinger. problemstillinger. 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 42
  43. 43. Fremragende - 12 Godt - 7 Tilstrækkeligt - 02 Eleven viser sikkerhed i Eleven anvender Eleven viser usikkerhed i valg og anvendelse af hjælpemidler herunder valg og anvendelse af hjælpemidler herunder computer på en hjælpemidler. computer med hensigtsmæssig måde i hensigtsmæssige valg af flere sammenhænge. programmer. 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 43
  44. 44. Fremragende - 12 Godt - 7 Tilstrækkeligt - 02 Eleven arbejder på en Eleven arbejder Eleven viser usikkerhed i sikker måde undersøgende og delvist undersøgende arbejde undersøgende og systematisk med med problemstillinger. systematisk med problemstillinger. Eleven Eleven viser kun få problemstillinger. Eleven viser initiativ og kan initiativer og er usikker i viser initiativ og kan samarbejde fagligt med det faglige samarbejde samarbejde fagligt med sin gruppe. med sin gruppe. sin gruppe på en hensigtsmæssig måde. 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 44
  45. 45. Fremragende - 12 Godt - 7 Tilstrækkeligt - 02 Eleven fremlægger Eleven fremlægger Eleven fremlægger noget velstruktureret med sammenhængende med usammenhængende med sikker brug af faglige en del faglige få faglige begrundelser begrundelser og begrundelser og og med usikker udtrykker sig klart med udtrykker sig med anvendelse af sikker anvendelse af anvendelse af hverdagssprog i samspil hverdagssprog i samspil hverdagssprog i samspil med matematikkens med matematikkens med matematikkens sprog. sprog. Eleven indgår på sprog. Eleven indgår i en sikker måde i dialog dialog om forelagte om forelagte problemer. problemer. 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 45
  46. 46. Fra Skovshoved Skole 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 46
  47. 47. 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 47
  48. 48. 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 48
  49. 49. Fart og Tempo• Eleverne skal hjemme vælge to genstande, der bevæger sig - den ene skal bevæge sig hurtigere end et menneske, mens den anden skal bevæge sig langsommere.• De skal måle tid og afstand• I klassen skal eleverne i matematisk dialog om deres undersøgelser herunder lave udregninger• De skal lave en præsentation 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 49
  50. 50. 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 50
  51. 51. Tankegangskompetence Anvende / kompleksNavn: Kende / Forstå / middel enkelTegn på læring: Fart og tempoFart/måleenheder Begreb (længde, tid), (længde/tid) Enheder (m, km, t), (km/t)Undersøgelse Definerer problemstilling Overvejer tilrettelæggelse – Hvad og hvordan? Oversætter hverdags enhed til matematisk enhed Resonere over udregninger Sammenligner forskellige hastigheder 19-11-2012 klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 51
  52. 52. Kommunikationskompetencen Anvende / kompleks Kende / Forstå / middel enkelGør brug af forskellige hjælpemidler fx. papir og blyant ikommunikationenAnvender symbolerKobler hverdagssprog til regneudtrykKan beskrive matematisk problemstillingBruger matematiske termer/begreberArgumenterer for valg af: - målemetode - regnemetode - resultatangivelse 19-11-2012 klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 52
  53. 53. Modelleringskompetencen At bringe det virkelige problem over i matematikkensMatematisere verden Overvejer valg af: - målemetode - måleredskab - løsningsmulighederFærdigheder/ At kunne behandle problemet i matematikkens verdenAnalyse Anvender formler til beregning Måler længde og tid (uden gps) Beregner Oversætter mellem enhederFortolkning Af matematiske resultater til brug i den virkelige verden Evaluerer ideerne ift. kriterierne Vurderer om resultat er realistisk Sammenligner og forholder sig til resultater 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 53
  54. 54. Fordele•Eleverne synes, det er sjovt•Der er stor grad af differentieringsmulighed•Alle bliver udfordret•De kommunikationssvage elever, bliver ”tvunget” i dialog•Eleverne har stort ejerskab til opgave•Eleverne er nysgerrige efter nye matematisk løsninger•Elever bliver bedre til at vælge og anvende relevante hjælpemidler•De bliver bedre til den skriftlige prøve!•Men der er også udfordringer! 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 54
  55. 55. Diskussion!•Hvad ser vi af matematik i denne figur?•Hvilke problemstillinger kan vi formulere? 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 55
  56. 56. Vejledende prøveoplæg•Kan bruges i undervisningen.•Kan bruges af læreren som inspiration til egne prøveoplæg.•Viser en forskellighed i måder at fremstille prøveoplæg.•Har alle en vejledning til læreren.•Må ikke bruges til prøven. 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 56
  57. 57. Et eksempel: Tages kvadratDen danske matematiker, Tage Werner, fandt på figuren, som ses herunder. Figuren kan laves ved at tegne et kvadrat , markere midtpunkterne på kvadratets sider og tegne linjestykker som vist. I kan også se Tages kvadrat på bilag 1.Tage Werner påstod bl.a., at  de otte længste linjestykker i kvadratet er lige lange  der er kongruente og ligedannede figurer i kvadratet, og at disse figurers arealer kan beregnes  størrelsen på hver vinkel i kvadratets figurer kan findes ved at beregne. ProblemstillingJeres opgave er at undersøge Tage Werners tre påstande om kvadratet.I skal både bruge it-værktøjer, beregninger og matematiske forklaringer. 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 57
  58. 58. ”Standby sheet” eller idesideIdeer: Konstruer Tages kvadrat ved hjælp af et it-værktøj. I kan fx lade sidelængden være 10. Beskriv, hvordan Tages kvadrat kan konstrueres. Undersøg længderne af de længste linjestykker i Tages kvadrat. Kan I finde resultaterne på flere forskellige måder? Har Tage Werner ret i påstand 1)? Kan I forklare hvorfor/ hvorfor ikke uden at måle? Læg mærke til nogle af figurerne, der ”gemmer” sig i Tages kvadrat: Har disse figurer kongruente og/eller ligedannede ”makkere”? Hvis ja: Hvordan kan I være sikre på, at figurerne er kongruente og/eller ligedannede? Find - på flere forskellige måder - arealet af nogle kongruente og/eller ligedannede figurer. 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 58
  59. 59.  Er det rigtigt, at vinklen, der er markeret herunder, er ca. 27°? Kan I finde vinklens størrelse på flere forskellige måder? 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 59
  60. 60. Husk bilag 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 60
  61. 61. Tages kvadrat - lærervejledning Forberedelse: Eleverne skal have et geometriprogram til rådighed, fx ”GeoGebra” og flere kopier af bilag 1. Faglige fokuspunkter: Oplægget giver eleverne gode muligheder for at beskæftige sig med næsten alle de trinmål, som er knyttet til fagområdet geometri. Fra et kompetenceperspektiv er det især ræsonnementskompetencen, der er i fokus, men oplægget giver også eleverne gode muligheder for at vise problemløsningskompetence og hjælpemiddelkompetence. I forbindelse med ”arbejdsmåder” er det især trinmålet: ”undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere”, der er i spil. 19-11-2012 klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 61
  62. 62. Ideer til udfordringer og støtte: Det er oplagt, at eleverne indleder arbejdet med at konstruere Tages kvadrat i et geometriprogram. I den forbindelse skal det overvejes, hvor stor sidelængden skal gøres, da sidelængden vil have betydning for elevernes arbejde med arealberegning i forbindelse med oplægget. En mulighed er at vælge sidelængden 10. Dette tal giver ”rimelig runde tal” i beregningerne. Men eleverne kan også vælge sidelængden 1 (og forstørre tegningen), eller en tilfældig sidelængde, som evt. justeres senere i forløbet. Problemstillingerne er bygget op, så eleverne kan bruge programmet til at beregne løsningerne. Men det er vigtigt, at eleverne også udfordres til at bruge flere forskellige metoder i forbindelse med udfordringerne - de skal have mulighed for at vise, at de kan anvende deres viden og færdigheder i forbindelse med oplægget, og de skal have mulighed for at vise, hvor langt deres ræsonnementskompetence rækker i forbindelse med udfordringerne. For nogle elever kan det være en fordel at klippe ”delfigurer” ud af bilag 1 i forbindelse med deres arbejde med påstand 2). Bemærk, at når én af vinklerne i Tages kvadrat er kendt (fx den vinkel, som er markeret under ”ideer”), kan de øvrige vinkler beregnes ud fra viden om rette og lige vinklers størrelser, vinkelsummen i en trekant, ensliggende vinkler og topvinkler. 19-11-2012 klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 62
  63. 63. Et andet eksempel:Skolevejen Jernbaneoverskæring Skolen www.map.krak Høng Skole, 4270 Høng, Kalundborg Emil Agerkrogen 2 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 63
  64. 64.  ”Hvor langt har du egentlig til skole?” Maria stiller spørgsmålet til Emil, som lettere forpustet er ved at anbringe sin cykel i stativet lige uden for skolen. ”Min far havde lovet at køre mig, men jeg havde ikke tid til at vente på ham. Normalt kan jeg gøre det på under et kvarter, men i dag kom jeg lidt sent hjemmefra. Jeg måtte også vente ved jernbaneoverskæringen på Tranevej, så jeg måtte cykle hurtigere, end jeg plejer, så øv, se nu sveder jeg,” griner Emil, ”hvad med dig?” ”Jeg har ikke engang en kilometer, så for det meste går jeg”, svarer Maria. ”Vi må hellere skynde os - det ringer lige straks”, siger Emil og kigger på uret på sin mobil. Problemstilling Jeres opgave er at undersøge, hvornår Emil skal tage hjemmefra for at nå i skole til tiden. I skal give forslag til, hvor Maria kan bo, når hun har mindre en 1 kilometer til skole. I skal gøre rede for, hvordan forskellige måder at komme i skole på har indflydelse på den tid, det tager. I skal sammenligne rejsevejledninger på www.krak.dk og https://maps.google.com/ 19-11-2012 klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 64
  65. 65. Ideer til oplægget- I kan taste jeres egen skolevej ind i www.krak.dk og https://maps.google.com/ ogkommentere, hvordan de passer med jeres egen virkelighed. - I kan beskrive sammenhængene mellem afstand, tid og fart og taste sammenhængeneind i et koordinatsystem ved hjælp af et it-værktøj.- På USB-nøglen ligger et kort, der kan kopieres ind i et dynamisk geometriprogram, så derkan foretages beregninger.På USB-nøglen ligger et regneark med titlen SKOLEVEJEN.En elev har målt, hun har 650 meter til skole.I regnearket har hun skrevet det antal minutter, hun bruger på at komme i skole. Hun harforetaget turen på forskellige måder. 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 65
  66. 66. Kommentarer til SKOLEVEJENMaterialer:Eleverne skal have adgang til computer med adgang til internettet.Eleverne skal kunne få udleveret USB-nøgle med regneark og kort.Eleverne skal kunne få udleveret eksempler med rejsevejledninger fra både www.krak.dk oghttps://maps.google.com/ 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 66
  67. 67. God arbejdslyst! Brug dit fagteam Brug det lokale Center for Undervisningsmidler Brug Danmarks Matematiklærerforening Brug SkoleKom Brug men ikke misbrug fagkonsulenten 19-11-2012klaus.fink@uvm.dk Mobil: 2041 0721 Side 67
  1. A particular slide catching your eye?

    Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later.

×