• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Smp9mat belajar mataktifdanmenyenangkan
 

Smp9mat belajar mataktifdanmenyenangkan

on

  • 2,320 views

9

9

Statistics

Views

Total Views
2,320
Views on SlideShare
2,308
Embed Views
12

Actions

Likes
1
Downloads
30
Comments
0

1 Embed 12

http://gudangmtk.blogspot.com 12

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Smp9mat belajar mataktifdanmenyenangkan Smp9mat belajar mataktifdanmenyenangkan Document Transcript

    • Hak Cipta pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-undangHak Cipta Buku ini dibeli oleh Departemen PendidikanNasional dari Penerbit PT. Setia Purna InvestBelajar Matematika Aktif dan MenyenangkanUntuk SMP/MTs Kelas IXSPI 03-01-20-02-036Penulis : Wahyudin Djumanta Dwi SusantiEditor : Tim Setia Purna InvesPerancang Kulit : Tim Setia Purna InvesLayouter : Tim Setia Purna InvesIlustrator : Tim Setia Purna InvesUkuran Buku : 17,6 × 25 cm 510.71 DJU DJUMANTA, Wahyudin b Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk SMP/MTs Kelas IX/oleh Wahyudin Djumanta dan Dwi Susanti. –Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, 2008. vi, 162 hal. : tab.; ilus.; foto., 25 cm indeks, hlm. 160-161 ISBN 979-462-974-4 1. Matematika Studi dan Pembelajaran I. Judul II. Wahyudin Djumanta III. Susanti, DwiDiterbitkan oleh Pusat PerbukuanDepartemen Pendidikan NasionalTahun 2008Diperbanyak oleh ...
    • Kata Sambutan Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dankarunia-Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, padatahun 2008, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbituntuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet (website) JaringanPendidikan Nasional. Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pendidikandan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakanuntuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri PendidikanNasional Nomor 34 Tahun 2008. Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada parapenulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepadaDepartemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa danguru di seluruh Indonesia. Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepadaDepartemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), digandakan, dicetak,dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yangbersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkanoleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diaksessehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang beradadi luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada parasiswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaik-baiknya.Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu,saran dan kritik sangat kami harapkan.Jakarta, Juli 2008Kepala Pusat Perbukuan iii
    • Kata Pengantar Pendidikan adalah modal dasar bagi peningkatan kualitas sumber dayamanusia sehingga manusia dituntut untuk terus berupaya mempelajari, memahami,dan menguasai berbagai macam disiplin ilmu untuk kemudian diaplikasikan dalamsegala aspek kehidupan. Matematika sebagai ibu dari segala ilmu pengetahuanmemegang peranan penting dalam dunia pendidikan. Oleh karena itu, Matematikamemiliki tingkat urgensitas yang tinggi karena merupakan landasan awal bagiterciptanya sumber daya manusia yang cerdas dan berkualitas. Sesuai dengan misi penerbit untuk menciptakan inovasi baru dalam duniapendidikan maka penulis dan penerbit merealisasikan tanggungjawab tersebutdengan menyediakan bahan ajar Matematika yang berkualitas dan sesuai dengankurikulum yang berlaku saat ini. Buku ini disusun dengan mengutamakan pendekatan secara inkuiri(eksperimen) dan disajikan secara sistematis, komunikatif, dan integratif, sertaadanya keruntutan rangkaian (bab dengan subbab, antarsubbab dalam bab,antaralinea dalam subbab). Sebelum mempelajari materi, sebaiknya terlebihdahulu membaca bagian Advanced Organizer yang terdapat pada halaman awalsetiap bab agar dapat mengetahui isi bab secara umum, Diagram Alur sebagaipeta jalan pemahaman materi pada setiap bab, dan Tes Apersepsi Awal sebagaievaluasi materi prasyarat untuk mempelajari bab yang bersangkutan. Di akhirsetiap bab, terdapat Ringkasan dan Refleksi yang bertujuan lebih meningkatkanpemahaman kamu tentang materi yang telah dipelajari dengan memunculkan umpanbalik untuk evaluasi diri. Buku ini dilengkapi juga dengan beberapa materi, tugas, dansoal pengayaan, diantaranya Infomatika, InfoNet, Siapa Berani?, TechnoMath, Tugasuntukmu, MatematikaRia, dan Uji Kecerdikan yang dapat memperluas wawasan danpengetahuanmu tentang materi yang sedang dipelajari. Untuk menguji pemahamanmu terhadap materi yang telah dipelajari, diberikanTes Kompetensi Subbab pada setiap akhir subbab, Tes Kompetensi Bab pada setiapakhir bab, dan Tes Kompetensi Semester pada setiap untuk menguji pemahamanmateri selama satu tahun ajaran. Semua tes kompetensi tersebut merupakan saranamengevaluasi pemahaman dan melatih kemampuan menerapkan konsep/prinsipyang berkaitan dengan materi yang telah dipelajari. Adapun Kunci Jawaban(nomor ganjil) kami sajikan untuk memudahkan Anda dalam mengevaluasi hasiljawaban. Untuk menumbuhkan daya nalar, kreativitas, dan pola berpikir matematis,kami sajikan Aktivitas yang menuntut peran aktif kamu dalam melakukan kegiatantersebut. Demikianlah persembahan kami untuk dunia pendidikan. Bandung, Juli 2008 Penulis iv
    • Daftar IsiKata Sambutan • iii Tes Kompetensi Bab 3 • 86Kata Pengantar • ivDaftar Simbol • vi Bab 4 Peluang • 89Bab 1Kesebangunan dan Diagram Alur • 90Kekongruenan • 1 A. Pengertian Peluang • 91Diagram Alur • 2 B. Frekuensi Harapan • 102A. Bangun-Bangun yang Sebangun dan Ringkasan • 104 Kongruen • 3 Refleksi • 104B. Segitiga-Segitiga yang Sebangun • 10 Tes Kompetensi Bab 4 • 105C. Dua Segitiga yang Kongruen • 17 Tes Kompetensi Semester 1 • 108Ringkasan • 26 Bab 5Refleksi • 27 Pangkat Tak Sebenarnya • 111Tes Kompetensi Bab 1 • 27 Diagram Alur • 112Bab 2 A. Bilangan Rasional BerpangkatBangun Ruang Sisi Lengkung • 31 Bilangan Bulat • 113Diagram Alur • 32 B. Bentuk Akar dan PangkatA. Unsur-Unsur dan Luas Permukaan Pecahan • 123 Bangun Ruang Sisi Lengkung • 33 Ringkasan • 132B. Volume Bangun Ruang Sisi Refleksi • 133 Lengkung • 43 Tes Kompetensi Bab 5 • 133Ringkasan • 52 Bab 6Refleksi • 53 Barisan dan Deret Bilangan • 135Tes Kompetensi Bab 2 • 53 Diagram Alur • 136Bab 3 A. Pola Bilangan • 136Statistika • 57 B. Barisan dan Deret Bilangan • 141Diagram Alur • 58 Ringkasan • 151A. Pengumpulan dan Penyajian Refleksi • 152 Data • 59 Tes Kompetensi Bab 6 • 152B. Ukuran Pemusatan Data • 69 Tes Kompetensi Semester 2 • 154C. Ukuran Penyebaran Data • 79 Tes Kompetensi Akhir Tahun • 156D. Distribusi Frekuensi • 83 Kunci Jawaban • 158Ringkasan • 85 Glosarium • 159Refleksi • 86 v
    • Daftar Simbol sudut alpha+ tambah; plus; positif beta– kurang; minus; negatif gamma kali // r sejajar u: bagi ABr ruas garis sebanding dengan u | AB | panjang ruas garis∆ segitiga kongruen= sama dengan tegak lurus≠ tidak sama dengan π phi (3,141592 ...) sedemikian hingga; maka ° derajat akar kuadrat sebangun vi
    • Bab 1 Sumber: i160.photobucket.comKesebangunandan Kekongruenan Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami kesebangunan bangun datar dan penggunaannya dalam pemecahan masalah dengan cara mengidentifikasi bangun-bangun datar yang sebangun dan kongruen, mengidentifikasi sifat-sifat dua segitiga sebangun dan kongruen, serta menggunakan konsep kesebangunan segitiga dalam pemecahan masalah.Kamu telah mempelajari perbandingan di Kelas VII. A. Bangun-BangunPerbandingan merupakan sifat dasar dalam konsep yang Sebangunkesebangunan dan kekongruenan. dan Kongruen Kesebangunan sangat penting peranannya dalam B. Segitiga-Segitigakehidupan sehari-hari seperti uraian berikut. yang Sebangun Lima orang anak ingin mengukur lebar sungai. Oleh C. Dua Segitiga yangkarena secara langsung tidak memungkinkan, kegiatan Kongruenpengukuran dilakukan secara tidak langsung. Mereka berhasilmenandai tempat-tempat A, B, C, D, dan E seperti tampakpada gambar berikut. D B A Setelah dilakukan pengukuran,diperoleh AB = 4 m, BC = 3 m, dan CDE = BF = 12 m. Berapa meter lebarsungai itu? Untuk menjawabnya,pelajarilah bab ini dengan baik. E F 1
    • Diagram Alur Kesebangunan dan Kekongruenan perbedaan Sebangun Kongruen syarat syarat Bentuk dan ukurannya sama besar.Panjang sisi yang Sudut yangbersesuaian memiliki bersesuaian sifatperbandingan sama besar.senilai. Sisi-sisi yang Dua sisi yang Dua sudut yang Dua sudut yang bersesuaian bersesuaian bersesuaian bersesuaian aplikasi sama panjang sama panjang sama besar sama besar (s.s.s) dan sudut yang dan sisi yang dan sisi yang Segitiga yang diapitnya sama berada di berada di Sebangun besar (s.sd.s). antaranya hadapannya sama panjang sama panjang aplikasi (sd.s.sd). (sd.sd.s). Menentukan perbandingan aplikasi ruas garis pada segitiga. Menentukan garis dan besar sudut dari bangun geometri. Tes Apersepsi AwalSebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di bukulatihanmu.1. Suatu peta digambar dengan skala 4. Perhatikan gambar segitiga berikut ini. 1 : 500.000. Berapakah jarak pada Tentukan nilai . peta jika jarak sesungguhnya 25 km?2. Jika harga 6 buah penggaris adalah Rp2.700,00, berapakah harga 9 buah 38° 75° penggaris tersebut? 5. Perhatikan gambar berikut ini. D3. Sebutkan dan gambarkan jenis-jenis a. Tentukan besar DEC segitiga ditinjau dari: b. Tentukan besar BEC. 110° a. panjang sisinya; c. Tentukan sudut yang A E C b. besar sudutnya. saling bertolak belakang. B2 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • A. Bangun-Bangun yang Sebangun dan Kongruen D C1. Foto BerskalaContoh kesebangunan yang sering kamu jumpai dalam 24 mmkehidupan sehari-hari adalah foto berskala, seperti terlihat A 36 mm Bpada Gambar 1.1. Sumber: Dokumentasi Penerbit Gambar 1.1(a) memperlihatkan sebuah film negatif aABCD berukuran panjang 36 mm dan lebar 24 mm. Setelah D Cdicetak, film negatif tersebut menjadi foto A B C Dberukuran panjang 180 mm dan lebar 120 mm. Pada dasarnya, pengertian skala pada foto sama dengan 120 mmskala pada peta. Hanya saja, perbandingan antara ukuranpada foto dan ukuran sebenarnya tidak sebesar perbandingan A 180 mm Bantara ukuran pada peta dan ukuran sebenarnya. Satu Sumber: i160.photobucket.comsentimeter pada peta mewakili beberapa kilometer pada bukuran sebenarnya, sedangkan satu sentimeter pada fotobiasanya mewakili beberapa sentimeter atau beberapa meter Gambar 1.1saja dari ukuran sebenarnya. Skala pada peta ialah perbandingan antara ukuran pada peta dan ukuran sebenarnya. 7 cmContoh 1.1 2,5 cm Sumber: www.tuningnews.netAmati gambar dari foto sebuah mobil seperti dalam Gambar1.2. Jika panjang mobil sebenarnya 3,5 m, berapa tinggi mobil Gambar 1.2sebenarnya?Penyelesaian: SiapaUntuk menentukan tinggi mobil sebenarnya, langkah pertama Berani?yang harus kamu lakukan adalah menentukan skala fototersebut. 1. Seorang anak yang tingginya 1,5 m difoto.Perbandingan antara panjang dalam foto dan panjang sebenar- Jika skala foto tersebutnya adalah 7 cm : 3,5 m adalah 1 : 20, berapa sentimeter tinggi anak 7 cm : 350 cm dalam foto? 1 cm : 50 cm. 2. Lebar sebuah rumahJadi, skala dari foto tersebut adalah 1 : 50. Oleh karena tinggi dalam foto adalah 5 cm. Jika skala fotomobil dalam foto 2,5 cm maka tinggi mobil sebenarnya adalah tersebut 1 : 160,2,5 cm 50 = 125 cm. berapa meter lebarJadi, tinggi mobil sebenarnya adalah 1,25 m. rumah sebenarnya? Kesebangunan dan Kekongruenan 3
    • 2. Pengertian Kesebangunan Pada Gambar 1.3 diperlihatkan tiga bangun persegipanjang yang masing-masing berukuran 36 mm 24 mm, 180 mm 120 mm, dan 58 mm 38 mm. D‘ C‘ S R D C 120 mm 38 mm 24 mm Gambar 1.3 A 36 mm B A‘ 180 mm B‘ P 58 mm Q Perbandingan antara panjang persegipanjang ABCD dan panjang persegipanjang ABCD adalah 36 : 180 atau 1 : 5. Demikian pula dengan lebarnya, perbandingannya 24 : 120 atau 1 : 5. Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu memiliki perbandingan senilai (sebanding). Perbandingan sisi yang bersesuaian dari kedua persegi- Tugas panjang tersebut, yaitu sebagai berikut. untukmu AB BC DC AD 1Amatilah persegipanjang AB B C D C A D 5ABCD dan persegipanjangPQRS pada Gambar 1.3. Oleh karena semua sudut persegipanjang besarnyaCoba kamu selidiki 90° (siku-siku) maka sudut-sudut yang bersesuaian daribersama kelompokbelajarmu, apakah kedua persegipanjang itu besarnya sama. Dalam hal ini,persegipanjang ABCD persegipanjang ABCD dan persegipanjang ABCD memilikisebangun denganpersegipanjang PQRS? sisi-sisi bersesuaian yang sebanding dan sudut-sudut bersesuaianPresentasikan hasil yang sama besar. Selanjutnya, kedua persegipanjang tersebutpenyelidikanmu di depankelas bergantian dengan dikatakan sebangun. Jadi, persegipanjang ABCD sebangunkelompok lain. dengan persegipanjang ABCD. Selanjutnya lakukan Tugas untukmu di samping. Sekarang amati Gambar 1.4. G Z M L E X Gambar 1.4 F K a b Y c Ukurlah panjang sisi dan besar sudut-sudut EFG dan XYZ. Jika kamu melakukan pengukuran dengan benar, akan diperoleh hubungan berikut. (i) EF FG EG ; XY YZ XZ (ii) E = X, F = Y, dan G = Z.4 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Oleh karena sisi-sisi yang bersesuaian sebanding dan Tugassudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka EFG untukmusebangun dengan XYZ. Amatilah ∆EFG dan Pengertian kesebangunan seperti ini berlaku umum ∆KLM pada Gambar 1.4. Coba kamu selidikiuntuk setiap bangun datar. bersama kelompok belajarmu, apakah ∆EFG Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi sebangun dengan ∆KLM? dua syarat berikut. Presentasikan hasil penyelidikanmu di depan 1) Panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun kelas bergantian dengan itu memiliki perbandingan senilai. kelompok lain. 2) Sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun itu sama besar.Contoh 1.2 D CAmati Gambar 1.5.a. Selidikilah apakah persegi ABCD sebangun dengan persegi EFGH?b. Selidikilah apakah persegi ABCD dan belahketupat PQRS A 4 cm B sebangun? H Gc. Selidikilah apakah persegi EFGH sebangun dengan belahketupat PQRS? Jelaskan hasil penyelidikanmu.Penyelesaian:a. Amati persegi ABCD dan persegi EFGH. E 5 cm F (i) Perbandingan panjang sisi-sisinya adalah S AB BC DC AD 4 EF FG HG EH 5 Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi ABCD dan P R persegi EFGH sebanding. 4 cm (ii) Bangun ABCD dan EFGH keduanya persegi sehingga Q besar setiap sudutnya 90°. Dengan demikian, sudut- Gambar 1.5 sudut yang bersesuaian sama besar. Berdasarkan (i) dan (ii), persegi ABCD dan persegi EFGH sebangun. Catatanb. Amati persegi ABCD dan belahketupat PQRS. Salah satu syarat (i) Perbandingan panjang sisi-sisinya adalah kesebangunan adalah AB BC DC AD 4 sudut-sudut yang PQ QR SR PS 4 bersesuaian sama besar. Maksud dari kata sama Jadi, panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari persegi besar adalah ukuran ABCD dan belahketupat PQRS sebanding. sudutnya sebanding, (ii) Besar sudut-sudut yang bersesuaian adalah sebagai sehingga pada Gambar 1.5 dapat dituliskan: berikut. A = E, B = F, A ≠ P, B ≠ Q, C ≠ R, dan D ≠ S. C = G = D = H. Kesebangunan dan Kekongruenan 5
    • Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian tidak sama besar. Berdasarkan (i) dan (ii), persegi ABCD dan belahketupat PQRS tidak sebangun. c. Telah diketahui bahwa persegi ABCD sebangun dengan persegi EFGH, sedangkan persegi ABCD tidak sebangun D C dengan belahketupat PQRS. Dengan demikian, persegi EFGH tidak sebangun dengan belahketupat PQRS. 5 cm A 2 cm B Contoh 1.3 R Q 1. Amati Gambar 1.6. 6 cm Jika persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS, hitung panjang QR. S P Penyelesaian: Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah Gambar 1.6 sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. Oleh karena itu, K AB BC 2 5 2QR = 30 QR = 15 PQ QR 6 QR 125° Jadi, panjang QR adalah 15 cm. L 80° N 2. Jika layang-layang KLMN dan layang-layang PQRS pada Gambar 1.7 sebangun, tentukan besar R dan S. M Penyelesaian: P Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar sehingga P = S Q 125° dan Q = 80°. PQRS. Menurut sifat layang-layang, sepasang sudut yang ber- R hadapan sama besar sehingga R = P = 125°. Gambar 1.7 360° maka P + Q + R + S = 360° 125° + 80° + 125° + S = 360° S = 360° – 330° = 30° a 3. Pengertian KekongruenanD C F Pernahkah kamu melihat seorang tukang bangunan yang sedang memasang ubin? Sebelum ubin-ubin itu dipasang, biasanya tukang tersebut memasang benang-benang sebagaiA B E tanda agar pemasangan ubin tersebut terlihat rapi, seperti tampak pada Gambar 1.8(a). b Cara pemasangan ubin tersebut dapat diterangkan secara Gambar 1.8 geometri seperti berikut. 6 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Gambar 1.8(b) adalah gambar permukaan lantai yang Siapaakan dipasang ubin persegipanjang. Pada permukaannya diberi Berani?garis-garis sejajar. Jika ubin ABCD digeser searah AB (tanpa Berikut ini adalah sketsadibalik), diperoleh A B, B E, D C, dan C F sehingga tambak udang milik Pakubin ABCD akan menempati ubin BEFC. Akibatnya, Budi 100 mAB BE sehingga AB = BEBC EF sehingga BC = EF 100 mDC CF sehingga DC = CF 200 m 45°AD BC sehingga AD = BC Pak Budi akan membagi tambaknya menjadi 4 DAB CBE sehingga DAB = CBE bagian yang sama dan ABC BEF sehingga ABC = BEF berbentuk trapesium juga, seperti bentuk BCD EFC sehingga BCD = EFC asalnya. Gambarlah ADC BCF sehingga ADC = BCF olehmu tambak udang yang telah dibagi empatBerdasarkan uraian tersebut, diperoleh tersebut.a. sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama panjang, danb. sudut-sudut yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama besar. Hal tersebut menunjukkan bahwa persegipanjang ABCDdan persegipanjang BEFC memiliki bentuk dan ukuranyang sama. Dua persegipanjang yang demikian dikatakankongruen. Sekarang amati Gambar 1.9. Ukurlah panjang sisidan besar sudut-sudut segienam ABCDEF dan segienam E DPQRSTU. Jika kamu melakukan pengukuran dengan benar,diperoleh hubungan F C(i) AB = BC = CD = DE = EF = FA = PQ = QR = RS = ST = TU = UP A B(ii) A = B = C = D = E = F = P = Q = R T S = S = T = U. R Oleh karena itu, segienam ABCDEF kongruen dengan Usegienam PQRSTU. P Q Sekarang, ukurlah panjang sisi dan besar sudut-sudut K Jsegienam GHIJKL. Kemudian, bandingkan dengan unsur-unsur segienam ABCDEF. Dari hasil pengukuran tersebut, L Idiperoleh hubungan G H(i) A = B = C = D = E = F = G = H = I = J= K= L Gambar 1.9(ii) AB ≠ GH, BC ≠ HI, CD ≠ IJ, DE ≠ JK, EF ≠ KL, FA ≠ LG. Kesebangunan dan Kekongruenan 7
    • Berdasarkan (i) dan (ii), dapat disimpulkan bahwa segienam ABCDEF tidak kongruen dengan segienam GHIJKL. Sekarang lakukan Tugas untukmu di samping. Berdasarkan uraian dan tugas tersebut diperoleh gambaran bahwa dua bangun yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua bangun yang sebangun belum tentu kongruen. Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen. Pengertian kekongruenan tersebut berlaku juga untuk setiap bangun datar. Contoh 1.4 Amati Gambar 1.10. a. Selidiki apakah persegipanjang ABCD D C kongruen dengan persegipanjang 6 cm PQRS? InfoNet b. Selidiki apakah persegipanjang ABCD A B 8 cm sebangun dengan persegipanjang S RKamu dapat menambah PQRS?wawasanmu tentang materi 10 cm Jelaskan hasil penyelidikanmu. 6 cmdalam bab ini denganmengunjungi alamat: Penyelesaian:bicarisme.files.wordpress. Q Unsur-unsur persegipanjang ABCD Pcom/2008/03/soal-bangun- Gambar 1.10datar.doc adalah AB = DC = 8 cm, AD = BC = 6 cm, dan A = B = C = D = 90°. Amati persegipanjang PQRS dengan diagonal PR. Panjang PQ dapat ditentukan dengan menggunakan Dalil Pythagoras seperti berikut. PQ = ( )2 (Q )2 102 62 64 = 8 Jadi, unsur-unsur persegipanjang PQRS adalah PQ = SR = 8 cm, PS = QR = 6 cm, dan P = Q = R = S = 90°. a. Dari uraian tersebut tampak bahwa sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sama panjang. Selain itu, sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu sama besar. Jadi, persegipanjang ABCD kongruen dengan persegipanjang PQRS. b. Dua bangun datar yang kongruen pasti sebangun. Jadi, persegipanjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS.8 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Tes Kompetensi 1.1Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.1. Ukuran lebar dan tinggi sebuah slide a. Selidiki apakah belahketupat EFGH (film negatif) berturut-turut 36 mm dan sebangun dengan belahketupat PQRS? 24 mm. Jika lebar pada layar 2,16 m, b. Selidiki apakah belahketupat EFGH tentukan tinggi pada layar. kongruen dengan belahketupat PQRS?2. Amati gambar berikut. Jelaskan hasil penyelidikanmu. C Q 3 cm P 6. Pasangan bangun-bangun berikut adalah 10 cm sebangun, tentukan nilai x. 4 cm a. x 3 cm A 8 cm B R a. Tentukan panjang AC dan QR. 8 cm 6 cm b. Apakah ABC sebangun dengan b. PQR? Jelaskan jawabanmu. x 5 cm3. Amati gambar berikut. U T N M 14 cm 8 cm 7. Perhatikan gambar berikut. N M H G R S K L 110° 4 cm 6 cm Pada gambar tersebut, jajargenjang RSTU 70° sebangun dengan jajargenjang KLMN. E 6 cm F K 9 cm L Jika KL = 6 cm, LM = 4 cm, dan RS = 15 Trapesium EFGH dan trapesium KLMN cm, tentukan: adalah trapesium sama kaki. Tunjukkan a. panjang KN dan MN; bahwa trapesium EFGH sebangun dengan b. panjang ST, TU, dan RU. trapesium KLMN.4. Amati gambar berikut. D 3 cm 8. Amati foto berikut. Jika layang-layang ABCD A Foto tersebut mempunyai skala C sebangun dengan layang- 1 : 65. Tentukan tinggi sebenarnya layang BEFC, tentukan: 6 cm orang yang ada di foto tersebut. B F a. panjang CF; b. panjang EF.5. Amati gambar berikut. Sumber: Dokumentasi Penerbit G E 9. Trapesium ABCD sebangun dengan tra- Q 13 cm pesium PQRS. 12 cm P 12 cm Q 5 cm A 9 cm B H 5 cm F P R 18 cm S 85° D C S R E Kesebangunan dan Kekongruenan 9
    • a. Tentukan panjang PS. 11. Diketahui tinggi b. Tentukan besar PQR. Monas pada gambar c. Tentukan besar BCD. di samping 4,4 cm. d. Tentukan besar BAD. Jika skalanya 1 : 4,4 cm D 3.000, tentukanlah10. Segilima ABCDE R C tinggi Monas sebangun dengan sesungguhnya. segilima PQCRS. S Q Panjang AB = 7,5 E P B 12. Bagilah bangun berikut menjadi dua cm, BC = 4,2 cm, bagian yang sama dan sebangun. CD = 3 cm, A PS = 1 cm, SR = 2,5 cm, dan RC = 2 cm. Tentukan panjang: a. AE; b. QC; Selanjutnya, susunlah kembali kedua c. DE; bagian tersebut sehingga membentuk d. PQ. bermacam-macam bangun. Cobalah, bangun-bangun apa saja yang dapat kamu peroleh? T R B. Segitiga-Segitiga yang Sebangun P 1. Syarat Dua Segitiga Sebangun Amati Gambar 1.11. S Q Pada gambar tersebut, QR sejajar dengan ST (QR // ST). Gambar 1.11 Ukurlah panjang PS, PQ, PT, PR, ST, dan QR. Ukur C pula besar TPS, RPQ, PTS, PRQ, PST, dan a b a PQR. Berdasarkan hasil pengukuran tersebut, kamu akan memperoleh hubungan berikut: A B c (i) PS PT ST ; b M PQ PR QR 2b 2a (ii) TPS = RPQ, PTS = PRQ, PST = PQR. Jadi, PST sebangun dengan PQR. Selanjutnya, amati K 2c L Gambar 1.12(a). Pada gambar tersebut, ABC adalah segi- R tiga dengan c AB = c; BC = a; AC = b A= ; B= ; C= . Jika kamu buat segitiga lain yang panjang sisi-sisi P Q bersesuaiannya dua kali panjang sisi-sisi ABC maka Gambar 1.12 diperoleh KLM seperti pada Gambar 1.12(b).10 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Dengan demikian, KL = 2AB = 2c, LM = 2BC = 2a, dan InfoMatika AB BC AC 1KM = 2AC = 2b. Sehingga . KL LM KM 2 Selanjutnya, ukurlah sudut-sudut KLM. Daripengukuran tersebut, akan diperoleh hubungan berikut: A= K= B= L= C= M=Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.Jadi, ABC dan KLM sebangun. Pada Gambar 1.12(c), PQR dibuat sedemikian rupa Thales (624 S.M.–546 S.M.)sehingga P = A = , Q = B = , dan R = C = . Kira-kira 2.500 tahun Ukurlah panjang sisi-sisi PQR. Dari pengukuran yang lalu, seorang ahlitersebut, kamu akan memperoleh hubungan berikut. Matematika Yunani, Thales, mengungkapkanAB BC AC gagasan yang fenomenal.PQ QR PR Ia dapat menghitung tinggi piramida dariSisi-sisi yang bersesuaian sebanding. panjang bayangan suatuJadi, ABC dan PQR sebangun. tongkat. A Uraian tersebut menunjukkan bahwa dua segitiga yangsisi-sisi bersesuaiannya sebanding maka sudut-sudut yang Dbersesuaiannya sama besar. Hal ini berarti bahwa dua segitiga B C Eyang sisi-sisi bersesuaiannya sebanding adalah sebangun. Thales menggunakan kenyataan bahwa Sebaliknya, jika dua segitiga memiliki sudut-sudut segitiga besar ABC yangbersesuaian yang sama besar maka sisi-sisi yang bersesuaiannya dibentuk oleh piramida dan bayangannya,sebanding. Hal ini berarti bahwa dua segitiga yang memiliki sebangun dengansudut-sudut bersesuaian sama besar adalah sebangun. segitiga kecil DCE yang dibentuk oleh tongkat Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menerka dan bayangannya. Olehsuatu syarat dua segitiga sebangun? Cobalah nyatakan syarat karena itu, diperoleh persamaandua segitiga sebangun dengan kata-katamu sendiri. AB DC Dua segitiga dikatakan sebangun jika sisi-sisi yang ber- BC CE Thales dapat mengukur sesuaian sebanding atau sudut-sudut yang bersesuaian panjang BC, CD, dan sama besar. CE. Dengan demikian, ia dapat menghitung AB (tinggi piramida)Contoh 1.5 menggunakan persamaan tersebut. A Sumber: Matematika, Khazanah1. Coba kamu selidiki apakah Pengetahuan bagi Anak-Anak, A ABC dan ABC pada gambar 1979 di samping sebangun? Jelaskan 8 5 hasil penyelidikanmu. B 6 C B 3 C Kesebangunan dan Kekongruenan 11
    • Penyelesaian: InfoNet Amati ABC. (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 (AC)2 = 82 + 62Kamu dapat menemukaninformasi lebih lanjut (AC)2 = 100 AC = 100 = 10tentang materi ini Jadi, AC = 10.dari internet denganmengunjungi alamat Amati ABCartofmathematics. (AB)2 = (AC)2 – (BC)2 (AB)2 = 52 – 32wordpress.com (AB)2 = 25 – 9 (AB)2 = 16 AB = 16 = 4 Oleh karena itu, AB = 8 = 2; BC = 6 = 2; AC = 10 = 2. C AB 4 B C 3 A C 5 E Berarti, AB = BC = AC . AB B C A C Jadi, ABC sebangun dengan ABC.A D B 2. Amati Gambar 1.13. Gambar 1.13 a. Jika DE // BC, apakah ADE sebangun dengan ABC? b. Jika BC = 6 cm, CE = 3 cm, dan AE = 6 cm, tentukan panjang DE. Penyelesaian: a. Pada DE dan ABC tampak bahwa DAE = BAC (berimpit) Siapa Berani? ADE = ABC (sehadap) AED = ACB (sehadap) Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian dari ABC dan 1. Diketahui PQR dan XYZ dengan unsur- ADE sama besar sehingga ABC sebangun dengan unsur sebagai berikut. ADE. PQR = 40°, PRQ = 65°, b. ADE sebangun dengan ABC. Oleh karena itu, YXZ = 75°, DE = AE DE = AE XYZ = 35°. BC AC BC AE CE Selidikilah apakah PQR dan XYZ DE = 6 sebangun? Jelaskan. 6 6 3 2. Amati gambar berikut. P DE = 4 4 cm 10 cm Jadi, DE = 4 cm. S xxcm cm 3 cm T (x + 30) cm 30) 7,5 cm Q R Aktivitas 1.1 a. Apakah PQR sebangun dengan Tujuan: Mengukur tinggi pohon menggunakan konsep PST? Jelaskan. b. Jika PQR kesebangunan. sebangun dengan Cara Kerja: PST tentukan nilai x. 1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 4 sampai dengan 6 orang. 2. Carilah sebuah pohon di sekitar rumah atau sekolah.12 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • 3. Ambil sebuah tongkat yang telah diukur panjangnya. E4. Tancapkan tongkat tersebut di ujung bayangan pohon. Amati Gambar 1.14.5. Hitung panjang bayangan tongkat dan bayangan pohon. Kemudian, jawab pertanyaan berikut. D a. Apakah ABE sebangun dengan BCD? b. Dengan menggunakan perhitungan, tentukan tinggi pohon tersebut. A B C Presentasikanlah hasil kegiatanmu di depan kelas. Gambar 1.14Petunjuk: Kegiatan dilakukan sekitar pukul 09.00 atau pukul 16.00 pada saat cuaca sedang cerah.2. Perbandingan Ruas Garis pada SegitigaAmati Gambar 1.15. Pada gambar tersebut, diketahui bahwa R rST // PR. Oleh karena itu, T t1) SQT = PQR (berimpit) s u2) TSQ = RPQ (sehadap) p q3) STQ = PRQ (sehadap) P S Q Berdasarkan (1), (2), dan (3), diperoleh SQT sebangun Gambar 1.15dengan PQR sehingga SQ TQ ST ... (*) PQ RQ PR Jika PS = p, SQ = q, RT = r, TQ = s, PR = t, dan ST = u,dengan p ≠ 0, q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0, t ≠ 0, u ≠ 0, seperti tampak Tugaspada Gambar 1.15 maka persamaan (*) menjadi untukmu q s u Coba kamu selidiki. p q r s t Jelaskan mengapa p ≠ 0, q s . q ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0, t ≠ 0,Sekarang, amati perbandingan senilai dan u ≠ 0? p q r sJika kamu kalikan kedua ruas dengan (p + q)(r + s),diperoleh q (p + q) (r + s) = s (p + q) (r + s) p q r s q (r + s) = s (p + q) qr + qs = ps + qs qr + qs – qs = ps + qs – qs qr = ps q s p r Kesebangunan dan Kekongruenan 13
    • Jadi, perbandingan ruas garis pada segitiga seperti tampak pada Gambar 1.15 adalah sebagai berikut. q s p r R q s dapat dikatakan bahwa Berdasarkan perbandingan p r S jika dalam suatu segitiga terdapat garis yang sejajar dengan salah satu sisi segitiga maka garis tersebut akan membagi sisi lainnya dengan perbandingan yang sama. Selanjutnya, amati Gambar 1.16. P Q Coba kamu selidiki, apakah PQR sebangun dengan QSR? Gambar 1.16 Pada gambar tersebut tampak bahwa: 1) PQR = QSR (siku-siku); 2) QRP = QRS (berimpit). Berdasarkan (1) dan (2), diperoleh QPR = RQS. Mengapa? Coba kamu jelaskan. Oleh karena itu, PQR sebangun dengan QSR sehingga berlaku hubungan QR = SR atau QR 2 = SR · PR. PR QR Contoh 1.6 1. Amati Gambar 1.17. Tentukan panjang OM. O Penyelesaian: MPO sebangun dengan MON sehingga OM = MP MN OM M 3 cm 9 cm N (OM)2 = MP · MN P (OM)2 = 3 · 12 Gambar 1.17 (OM)2 = 36 OM = 6 cm Jadi, panjang OM = 6 cm.D B A 2. Lima orang anak ingin mengukur lebar sungai. Oleh karena secara langsung tidak memungkinkan, kegiatan pengukuran C dilakukan secara tidak langsung. Mereka berhasil menandai tempat-tempat A, B, C, D, dan E seperti tampak pada Gambar 1.18. Setelah dilakukan pengukuran, diperoleh AB = 4 m, BC = 3E F m, dan DE = 12 m. Jika BF sejajar DE, berapa meter lebar sungai itu? Gambar 1.1814 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Penyelesaian: Langkah 1 Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan pada soal. Diketahui : AB = 4 m, BC = 3 m, dan DE = BF = 12 m. Ditanyakan : Lebar sungai (BD)? Langkah 2 Menentukan konsep apa yang akan digunakan untuk menjawab soal. Konsep yang digunakan adalah segitiga-segitiga yang sebangun. Siapa Langkah 3 Berani? Melakukan perhitungan dengan menggunakan konsep kese- bangunan, sebagai berikut. Amati Gambar 1.18 pada soal. Amati gambar berikut. P Dari pengamatan yang teliti, diperoleh ABC sebangun A Q dengan ADE, sehingga B R AB = BC C Titik P, Q, dan R AD DE berturut-turut terletak 4 pada perpanjangan AC, = 3 AB, dan BC suatu ABC. AB BD 12 Jika P, Q, dan R segaris, 4 12 = 3(AB + BD) kedua ruas kalikan 12 (AB + BD) buktikan bahwa 48 = 3(4 + BD) substitusikan AB = 4 AQ BR CP =1 4 + BD = 16 kedua ruas bagi dengan 3 QB RC PA BD = 12 Jadi, lebar sungai itu adalah 12 meter. Tes Kompetensi 1.2Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.1. Amati gambar berikut. 2. Amati gambar berikut. M C T R 9 cm 50° 6 cm 15 cm 10 cm K R 12 cm 8 cm 65° P Q S A B L a. Buktikan bahwa KLM sebangun a. Buktikan bahwa ABC sebangun dengan RST. dengan PQR. b. Tentukan pasangan-pasangan sudut b. Tentukan pasangan sisi-sisi yang yang sama besar. bersesuaian. Kesebangunan dan Kekongruenan 15
    • 3. Amati gambar berikut. 8. Diketahui ABC sebangun dengan PQR. A P Jika BAC = 50° dan ABC = 68°, tentukan besar QPR, PQR, dan PRQ. R O 9. Q q p t B a. Buktikan bahwa AOB sebangun P S Q dengan POQ. r b. Jika AB = 12 cm, PQ = 8 cm, dan Pada gambar berikut, PRQ siku-siku, AQ = 24 cm, tentukan panjang OA begitu juga dengan PSR. Nyatakan t dan OQ. dalam p, q, dan r. A4. Amati gambar berikut. 10. Amati gambar berikut. Diketahui BC // ED. A D a. Buktikan bahwa E D E ABC sebangun 6m dengan AED. B C b. Jika EB = 6 cm, BC = 10 cm, dan F DE = 4 cm, tentukan panjang AE. B C5. Jika ABC dan PQR pada soal berikut 8m sebangun, tentukan nilai x dan y. Berdasarkan gambar di atas, tentukan: a. A P a. panjang AC; c. panjang AE; b. panjang CF; d. luas ADF. y 11. Pak Amir akan membuat dua buah papan 118° x reklame berbentuk segitiga samasisi. 28° B C Q R Menurut pemesannya, perbandingan sisi b. C kedua papan itu 3 : 7 dan selisih kedua R 6 cm y cm sisinya 16 dm. Tentukanlah panjang sisi x cm 8 cm dari setiap segitiga itu. A 15 cm BP 10 cm Q 12. Amati gambar berikut. H6. Diketahui ABC sebangun dengan PQR. G F Jika AB = 6 cm, AC = 8 cm, BAC = 60°, dan PR = 10 cm, tentukan besar QRP D C dan panjang PQ. E 3 cm7. Amati gambar berikut. I C Q A B 4 cm A Dari gambar tersebut, buktikan: B 3 cm P x cm a. DCG sebangun dengan IBC, a. Selidiki apakah ABC sebangun b. DCG sebangun dengan HGF. dengan APQ? Jelaskan. Kemudian, tentukan panjang CI, b. Jika ABC sebangun dengan APQ IB, HG, dan HF. tentukan nilai x.16 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • 13. Diketahui ABC dan PQR kedua- a. Sketsalah beberapa kemungkinan duanya samakaki. Jika besar salah satu bentuk geometri kedua segitiga itu sudut dari ABC adalah 80° dan besar dan tentukan besar semua sudutnya. salah satu sudut dari PQR adalah 50°, b. Apakah ABC dan PQR sebangun? jawablah pertanyaan berikut. Jelaskan.C. Dua Segitiga yang KongruenPerhatikan Gambar 1.19. Ukurlah panjang sisi dan besar sudut segitiga ABC dan Csegitiga PQR. Jika kamu melakukan pengukuran denganbenar, diperoleh hubungan: (i) AB = PQ, BC = QR, dan AC = PR. (ii) A = P, B = Q, dan C = R. A B Oleh karena itu, ABC kongruen dengan PQR. R Sekarang, ukurlah panjang sisi dan besar sudut KLM.Kemudian, bandingkan dengan unsur-unsur ABC. Darihasil pengukuran tersebut, diperoleh hubungan berikut. (iii) AB ≠ KL, BC ≠ LM, dan AC ≠ KM. P Q (iv) A = K, B = L, dan C = M. M Berdasarkan (iii) dan (iv) dapat diketahui bahwa BCtidak kongruen dengan KLM. Akan tetapi, AB BC AC KL LM KM K L Dengan demikian, ABC sebangun dengan KLM. Gambar 1.19 Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menerkapengertian dua segitiga yang kongruen? Cobalah nyatakanpengertian dua segitiga yang kongruen dengan kata-katamusendiri. Dua segitiga yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua segitiga yang sebangun belum tentu kongruen. G H I1. Sifat Dua Segitiga yang KongruenGambar 1.20 menunjukkan sebagian dari pola pengubinan D E Fsegitiga-segitiga yang kongruen.Apabila ABD digeser ke kanan tanpa memutar dengan arah A B C ur uuu AB maka diperoleh Gambar 1.20 Kesebangunan dan Kekongruenan 17
    • A B (A menempati B) B C (B menempati C) Siapa D E (D menempati E) Berani? AB BC sehingga AB = BC BD CE sehingga BD = CE Amati gambar berikut. AD BE sehingga AD = BE E C Hal ini menunjukkan bahwa dua segitiga yang kongruen memenuhi sifat umum berikut. B Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. A D ur uuu AE diputar setengah putaran dengan pusat B Dalam penggeseran ABE dengan arah AB , diperoleh pula sehingga bayangannya DAB EBC sehingga EAB = FBC CD. Akibatnya, ABE kongruen dengan CBD. DBA ECB sehingga DBA = ECB Jika BE = 6 cm, ADB BEC sehingga ADB = BEC AE = 8 cm, BC = 5 cm, BAE = 60°, dan Hal ini menunjukkan bahwa dua segitiga yang kongruen ABE = 70°, tentukan: memenuhi sifat umum berikut. a. panjang BD dan AB; b. besar BDC, CBD, Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. dan BCD. Contoh 1.7 1. Pada gambar di samping, PQ diputar setengah putaran dengan pusat O (titik O di luar PQ) sehingga bayangannya P Q P’Q’. Selidiki apakah POQ kongruen dengan POQ ? Jelaskan hasil penyelidikanmu. O Penyelesaian: Q PQ diputar setengah putaran terhadap pusat O, diperoleh P a. PQ PQ sehingga PQ = PQ C P Q PO PO sehingga PO = PO QO QO sehingga QO = QO 18 cm b. QPO QPO sehingga QPO = QPO 54° 62° PQO PQO sehingga PQO = PQOA 20 cm B R POQ POQ sehingga POQ = POQ Dari penjelasan (a) dan (b) maka POQ kongruen dengan POQ , ditulis POQ POQ. 2. Pada gambar di samping, ABC kongruen dengan PQR. Tentukan: a. besar ACB dan PQR; b. panjang sisi QR. Penyelesaian: a. ABC kongruen dengan PQR maka ACB = PRQ = 62° ABC = 180° – ( BAC + ACB) 18 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • = 180° – (54° + 62°) = 64° Siapa PQR = ABC = 64°. Berani? b. ABC kongruen dengan PQR maka Coba kamu selidiki QR = BC = 18 cm. persamaan dan perbedaan antara dua segitiga yang sebangun dan dua segitiga yang2. Syarat Dua Segitiga Kongruen kongruen.Pada bagian sebelumnya, kamu sudah mengetahui bahwa dua C Rsegitiga akan kongruen jika sisi-sisi yang bersesuaian samapanjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Dengandemikian, kamu harus menghitung setiap panjang sisi danbesar sudut kedua segitiga untuk membuktikan kekongruenandua segitiga tersebut. Tentunya hal ini akan menyita waktu. A B P QApakah kamu tahu cara lain yang lebih efektif? Gambar 1.21a. Sisi-Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang (s.s.s) Tugas untukmuAmati Gambar 1.21. Pada gambar tersebut, AB = PQ, BC= QR, dan AC = PR. Ukurlah besar sudut-sudut dari kedua Gambarlah lima pasang segitiga sebarang yangsegitiga tersebut. Dari hasil pengukuran tersebut, kamu akan sisi-sisi bersesuaiannyamemperoleh hubungan A = P; B = Q; C = R. sama panjang (s.s.s). Ukurlah besar sudut- Dengan demikian, ABC dan PQR memenuhi sifat sudut yang bersesuaiandua segitiga yang kongruen, yaitu sisi-sisi yang bersesuaian dari setiap pasang segitiga. Selidikilahsama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. apakah besar sudut yangJadi, ABC kongruen dengan PQR. bersesuaian dari setiap pasang segitiga tersebut Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa jika sisi-sisi yang sama besar? Dapatkahbersesuaian dari dua segitiga sama panjang maka dua segitiga dinyatakan bahwa jika sisi-sisi yang bersesuaiantersebut kongruen. Apakah hal itu berlaku secara umum? Untuk dari dua segitigamengetahuinya, lakukanlah Tugas untukmu di samping. sama panjang maka dua segitiga tersebut Hasil yang benar dari tugas tersebut memperjelas sifat kongruen? Tuliskanberikut. hasil penyelidikanmu pada selembar kertas, Jika sisi-sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama kemudian kumpulkan pada gurumu. panjang (s.s.s) maka dua segitiga tersebut kongruen. F Mb. Dua Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang dan Sudut yang Diapitnya Sama Besar (s.sd.s)Amati Gambar 1.22. Pada gambar tersebut, DE = KL, D =K, dan DF = KM. Ukurlah panjang EF dan LM, besar E D ° K °dan L, serta besar F dan M. Berdasarkan hasil pengukuran E L Gambar 1.22 Kesebangunan dan Kekongruenan 19
    • Tugas tersebut, kamu akan memperoleh hubungan EF = LM, E = untukmu L, dan F = M. Buatlah 3 pasang segitiga Dengan demikian, pada DEF dan KLM berlaku sebarang. Setiap pasang (i) DE = KL, EF = LM, DF = KM; segitiga memiliki sudut- sudut yang bersesuaian (ii) D = K, E = L, F = M. sama besar. Ukurlah Hal ini menunjukkan bahwa DEF dan KLM memenuhi panjang sisi yang bersesuaian. Apakah sifat dua segitiga yang kongruen. Jadi, DEF KLM. dapat disimpulkan Uraian tersebut memperjelas sifat berikut. bahwa jika sudut-sudut yang bersesuaian sama Jika dua sisi yang bersesuaian dari dua segitiga sama besar maka dua segitiga tersebut kongruen? panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s.sd.s) maka Coba selidiki adakah kedua segitiga itu kongruen. syarat yang lain agar dua segitiga tersebut kongruen? Tuliskan c. Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar hasil penyelidikanmu dan Sisi yang Berada di Antaranya Sama pada kertas terpisah. Panjang (sd.s.sd) Kemudian, kumpulkan pada gurumu. Amati Gambar 1.23. Pada gambar tersebut G = X, H = Y, dan GH = XY. Ukurlah besar I dan Z, panjang GI dan XZ, serta panjang HI dan YZ. Dari hasil pengukuran I Z tersebut, kamu akan memperoleh hubungan I = Z, GI = XZ, dan HI = YZ. Dengan demikian, pada GHI dan XYZ berlaku (i) G = X, H = Y, dan I = Z;G° H X° Y (ii) GH = XY, HI = YZ, dan GI = XZ. Hal ini menunjukkan bahwa GHI dan XYZ Gambar 1.23 memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen. Jadi, GHI XYZ. C Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menemukan sifat berikut? Jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama besar dan sisi yang berada di antaranya sama panjangA B (sd.s.sd) maka kedua segitiga itu kongruen. X Y d. Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Sisi yang Berada di Hadapannya Sama Panjang (sd.sd.s) Z Amati Gambar 1.24. Pada gambar tersebut, A = X, B = Gambar 1.24 Y, dan BC = YZ. Ukurlah besar C dan Z, panjang AB dan XY, serta panjang AC dan XZ. Dari hasil pengukuran tersebut, kamu akan memperoleh hubungan C = Z, AB = XY, dan AC = XZ. 20 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Dengan demikian, pada ABC dan XYZ berlaku(i) A = X, B = Y, dan C = Z;(ii) AB = XY, BC = YZ, dan AC = XZ. Hal ini menunjukkan bahwa ABC dan XYZ memenuhisifat dua segitiga yang kongruen. Jadi, ABC XYZ. Berdasarkan uraian tersebut, dapatkah kamu menemukansifat berikut? Jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga sama besar dan satu sisi sekutu kedua sudutnya sama panjang (sd.sd.s) maka kedua segitiga tersebut kongruen.Contoh 1.81. Amati Gambar 1.25. R Selidikilah apakah ABC kongruen dengan PQR? Jelaskan. 8 cm 50° Penyelesaian: Kedua segitiga tersebut memenuhi sd.s.sd sehingga ABC B P 70° kongruen dengan PQR.2. Amati gambar di samping. S R PQRS adalah jajargenjang dengan Q salah satu diagonalnya QS. 70° 50° Selidikilah apakah PQS dan RSQ A C 8 cm kongruen? Jelaskan. P Q Penyelesaian: Gambar 1.25 Pada jajargenjang, sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar sehingga PQ = SR, PQ // SR, dan PS = QR, PS // QR. Selanjutnya, QS adalah diagonal sehingga QS = SQ. Dengan demikian, sisi-sisi yang bersesuaian dari PQS dan RSQ sama panjang (s.s.s). Tugas Jadi, PQS dan RSQ kongruen. untukmu3. Amati trapesium siku-siku PQRS pada gambar berikut. PQ = 5 cm, SR = 3 cm, S R Lukislah masing-masing dan PS = 3 cm. dua segitiga yang memenuhi syarat: Selidikilah apakah PSR a. s. s. s kongruen dengan PRQ? b. s. sd. s c. sd. s. sd Penyelesaian: P Q d. sd. sd. s Jika PSR dan PRQ kongruen Selidikilah apakah setiap maka haruslah PS = PR dan SR = RQ karena PSR = PRQ pasangan segitiga yang kamu buat kongruen? (siku-siku). Presentasikan hasil PR = ( )2 ( )2 = 32 32 = 3 2 penyelidikanmu di depan kelas. Jadi, PR ≠ PS. Oleh karena PQ = 5 cm maka PQ ≠ PR. Dengan demikian, Kesebangunan dan Kekongruenan 21
    • sisi-sisi yang bersesuaian dari PSR dan PRQ tidak sama Hal Penting panjang. Jadi, PSR dan PRQ tidak kongruen.Istilah-istilah penting yangkamu temui pada bab iniadalah 3. Panjang Garis dan Besar Sudut dari• kesebangunan Bangun Geometri• kekongruenan• skala Konsep segitiga kongruen dapat digunakan untuk menghitung• perbandingan sisi• perbandingan sudut panjang garis dan besar sudut dari bangun datar, seperti jajargenjang, belahketupat, dan layang-layang. Sebelum menghitung panjang garis dan besar sudut dari bangun A geometri, pelajarilah uraian berikut. 30° Gambar 1.26 memperlihatkan segitiga siku-siku ABC. Jika dibuat garis dari titik sudut B ke hipotenusa AC T sedemikian rupa sehingga ABT = 30°, diperoleh ATB = 180° – (30° + 30°) = 120° 30° BTC = 180° – ATB = 180° – 120° = 60° BCT = 180° – ( BAT + ABC) B C = 180° – (30° + 90°) = 60° Gambar 1.26 CBT = ABC – ABT = 90° – 30° = 60° Amati bahwa: BAT = ABT = 30° sehingga ABT samakaki, dalam Catatan hal ini AT = BT; CBT = BCT = BTC = 60° sehingga BTC samasisi, Garis berat segitiga adalah garis yang melalui dalam hal ini BT = BC = CT. salah satu titik tengah Dengan demikian, AT = BT = BC = CT. Amati bahwa AT = sisi segitiga dan titik sudut di hadapan sisi itu. CT sehingga BT merupakan garis berat ABC. Oleh karena AC = AT + CT maka AC = BC + BC = 2BC atau AC = BT + BT = 2 BT.Siapa Uraian tersebut memperjelas Sifat 1 dan Sifat 2 dariBerani? segitiga siku-siku bersudut 30° seperti berikut. Perhatikan gambar Sifat 1 berikut. D Panjang garis berat segitiga siku-siku bersudut 30° yang ditarik dari titik sudut siku-siku sama dengan I H panjang setengah hipotenusanya. E C J G Sifat 2 F Panjang sisi terpendek dari segitiga siku-siku bersudut 30° sama dengan panjang setengah A B Tentukan bangun-bangun hipotenusanya. datar yang kongruen.22 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Contoh 1.91. Amati Gambar 1.27(a). Jajargenjang ABCD terbentuk D C dari dua segitiga siku-siku yang kongruen, yaitu ADC 12 cm dan CBA. Jika AC = 12 cm, tentukan panjang semua sisi 60° jajargenjang tersebut. A B Penyelesaian: a C Pelajarilah Gambar 1.33(b). 12 cm BA = 2 CB sifat 2 CBA siku-siku di C sehingga berlaku hubungan 30° 60° A B (BA)2 = (AC)2 + (CB)2 b (2CB)2 = 122 + (CB)2 4(CB)2 = 144 + (CB)2 Gambar 1.27 3(CB)2 = 144 CB = 4 3 Dengan demikian, BA = 2CB = 2 4 3 = 8 3 . Matematika Oleh karena ADC CBA maka Ria AD = CB = 4 3 cm dan DC = BA = 8 3 cm. 1. Dari selembar2. Amati Gambar 1.28(a). Pada gambar tersebut, AB = 6 cm, karton, buatlah dua BC = 3 cm, DC = 4 cm, DBC = 53°, dan DB = DA = 5 model bangun yang kongruen dengan cm. Tentukanlah besar DAB. ukuran bebas seperti D D pada gambar berikut. 5 cm A 4 cm A 3 cm C E C 53° A 3 cm 3 cm B B Penyelesaian: ABD adalah segitiga samakaki. B Tarik garis tinggi ABD yang melalui titik D hingga 2. Guntinglah bangun B memotong AB di E seperti pada Gambar 1.28(b). menurut garis putus- ABD segitiga samakaki dan DE garis putus. 3. Acaklah potongan- tingginya maka AE = EB. Adapun DEB siku-siku di E, potongan bangun B. EB = 3 cm, dan DB = 5 cm. 4. Susun dan tempelkan potongan-potongan (DE)2 = (DB)2 – (EB)2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16 tersebut hingga DE = 4 cm. menutupi bangun A. DEB dan DCB. 5. Pertanyaan: a. Apakah potongan- DC = DE = 4 cm potongan bangun CB = EB = 3 cm B dapat disusun DB = DB = 5 cm (berimpit) menyerupai bangun A? Oleh karena itu, DEB kongruen dengan DCB, b. Apa yang dapat akibatnya kamu simpulkan? DBC = DBE = 53°. Kesebangunan dan Kekongruenan 23
    • DEB kongruen dengan DEA karena ED = ED = 4 cm (berimpit) DB = DA = 5 cm EB = EA = 3 cm Jadi, DAB = DBE = 53°. Tes Kompetensi 1.3Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.1. Pada gambar berikut, KLM diputar 3. Amati gambar berikut. S setengah putaran pada titik tengah MK, yaitu titik O. Akibatnya, KLM dan bayangannya, yaitu MNK kongruen. P R K N O Q L M PQRS adalah layang-layang dengan a. Tentukan pasangan sisi yang sama sumbu simetrinya QS. Dari gambar panjang. tersebut diperoleh PQS kongruen b. Tentukan pasangan sudut yang sama dengan RQS. besar. a. Tentukanlah pasangan sisi yang c. Berbentuk apakah bangun KLMN? sama panjang.2. Amati gambar berikut. b. Tentukanlah pasangan sudut yang B sama besar. 4. Pada gambar berikut, PQ dan RS sama panjang dan sejajar. R A C P O S D ABCD adalah belahketupat dengan salah satu diagonalnya BD. Dari gambar tersebut Q diperoleh ABD kongruen dengan CBD. Buktikan bahwa POQ kongruen dengan a. Tentukanlah pasangan sisi yang SOR. sama panjang. 5. Pada gambar berikut, KLMN adalah b. Tentukanlah pasangan sudut yang persegipanjang dengan kedua diagonal- sama besar. nya berpotongan di titik O.24 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • N M 9. Tentukan panjang: O a. AE; b. EB; d. AD; K L e. BC. a. Buktikan bahwa KLM kongruen c. ED; dengan MNK. 10. Amati gambar berikut. b. Tentukan pasangan segitiga lain yang C kongruen dari gambar tersebut.6. Pada gambar berikut, ABCD adalah tra- D pesium samakaki dengan kedua garis dia- gonalnya berpotongan di titik O. D C A B E O Diketahui: AB = BD, = , dan AE BC. A B a. Buktikan bahwa ABC kongruen a. Buktikan bahwa DAC kongruen dengan BED. dengan CBD. b. Jika BC = 10 cm dan CD = 1 BD, b. Tentukan pasangan segitiga lain yang 3 kongruen dari gambar tersebut. tentukanlah panjang garis DE dan luas BED.7. Pada gambar berikut, BC = CD = CE, 11. Amati gambar berikut. ABF = 50°, dan BF // CE. D C Tentukan besar: F 100° a. BCE; E b. CDE c. CED; A E B d. CBE; A ABCD adalah trapesium samakaki. B e. BEC. C D Jika BC // ED dan AE = ED, tentukanUntuk soal nomor 8 dan 9, perhatikan gambar besar:berikut dengan DC = 8 cm dan ED = EB. a. EBC; D C b. EDC; 30º c. BED; d. AED; 60º 30º e. EAD; A E B f. ADE.8. Tentukan besar: 12. Amati gambar berikut. a. BED; D b. AED; c. DBC; d. BDC; E O F A C e. ADE; f. BCD. B Kesebangunan dan Kekongruenan 25
    • a. Tentukan pasangan-pasangan segitiga Selidikilah apakah ABE kongruen dengan kongruen yang terdapat dalam belah- CDE. ketupat ABCD. 14. Amati gambar berikut. b. Jika BD = 32 cm, DC = 20 cm, dan T FC = 1 OF, tentukan luas BDF. 313. Amati gambar berikut dengan saksama. C D P Q R S E Pada gambar berikut, QT = RT dan PQ = RS. B A Buktikan bahwa PQT Diketahui BCD = BAD dan AB = CD. kongruen dengan SRT. RingkasanBerikut ini contoh rangkuman dari sebagian materi pada bab ini.1. Dua bangun dikatakan sebangun jika 4. Syarat dua segitiga kongruen: a. panjang sisi-sisi yang bersesuaian a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama dari kedua bangun tersebut memiliki panjang (s.s.s); atau perbandingan senilai, dan b. Dua sisi yang bersesuaian sama b. sudut-sudut yang bersesuaian dari panjang dan sudut yang diapitnya kedua bangun tersebut sama besar. sama besar (s.sd.s); atau2. Bangun-bangun yang memiliki bentuk c. Dua sudut yang bersesuaian sama dan ukuran yang sama dikatakan bangun- besar dan sisi yang berada di antaranya bangun yang kongruen. sama panjang (sd.s.sd); atau3. Syarat dua segitiga sebangun adalah d. Dua sudut yang bersesuaian sama sisi-sisi yang bersesuaian sebanding atau besar dan sisi yang berada di sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. hadapannya sama panjang (sd.sd.s).Coba kamu buat rangkuman dari materi yang telah kamu pelajari pada bab ini dengan kata-katamu sendiri. Tuliskan rangkuman tersebut pada buku latihanmu.26 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Refleksi1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 sampai 8 orang atau disesuaikan dengan kondisi kelasmu.2. Setiap anggota kelompok menceritakan tentang kesulitan-kesulitan yang dihadapi saat mempelajari bab ini.3. Tuliskan hasilnya, kemudian presentasikan di depan kelas bergantian dengan kelompok lain. Tes Kompetensi Bab 1Kerjakanlah pada buku tugasmu.Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.1. Pada sebuah peta, jarak 3,2 cm mewakili P A 288 km. Skala peta tersebut adalah .... a. 1 : 4.500.000 4,5 cm 3 cm b. 1 : 6.000.000 C Q R B 4 cm c. 1 : 7.500.000 d. 1 : 9.000.000 a. 6 cm b. 7,5 cm2. Diketahui sebuah kolam berbentuk c. 8,5 cm lingkaran. Pada denah berskala 1 : 200, d. 9 cm kolam itu digambar dengan diameter 4 cm. Jika π = 3,14 maka luas tanah yang 5. Amati gambar berikut. Diketahui digunakan untuk kolam adalah .... layang-layang ABCD sebangun dengan a. 200,96 m2 layang-layang PQRS. Besar sudut PSR adalah .... Q b. 50,24 m2 a. 59° B c. 25,12 m2 91º P R d. 12,56 m2 b. 61° A 105º C c. 78°3. Pasangan bangun datar berikut ini d. 91° pasti sebangun, kecuali .... a. dua segitiga samasisi D S b. dua persegi 6. Sebuah penampung air yang panjang- c. dua segienam beraturan nya 10 m sebangun dengan kotak d. dua belahketupat korek api yang panjang, lebar, dan4. Diketahui ABC sebangun dengan tingginya berturut-turut 4 cm; 3,5 cm; PQR. Panjang PR adalah .... dan 1,5 cm. Volume penampung air tersebut adalah .... Kesebangunan dan Kekongruenan 27
    • a. 328.125 liter Jika OA = 4 cm, OB = 8 cm, dan OD = b. 287.135 liter 10 cm, maka panjang OC adalah .... c. 210.000 liter a. 2 cm d. 184.250 liter b. 6,5 cm 7. Panjang bayangan tugu karena sinar c. 7 cm Matahari adalah 15 m. Pada tempat d. 5 cm dan saat yang sama, tongkat sepanjang 11. Pada gambar berikut, nilai x sama 1,5 m yang ditancapkan tegak lurus dengan .... terhadap tanah mempunyai bayangan 3 m. Tinggi tugu adalah .... 9 cm a. 6 m b. 7,5 m x 10 cm c. 8,5 m a. 6,7 cm d. 9 m b. 5,0 cm 8. Pada segitiga siku-siku ABC, DE // AB. c. 4,0 cm Jika AB = 18 cm, BE = 20 cm, dan EC d. 3,0 cm = 10 cm, luas CDE adalah .... Ebtanas 1995 A 2 a. 7,5 cm 12. Amati gambar berikut. b. 15 cm2 D D c. 30 cm2 d. 270 cm2 C 17 cm B E 25 cm E cm 9. Pada segitiga ABC berikut, DE // BC. 25 7 cm A 74º x A C 24 cm B y D E Pada gambar berikut, besar sudut x dan panjang y adalah .... B C a. 16° dan 7 cm Perbandingan Luas ADE : luas b. 16° dan 24 cm trapesium BCED adalah 4 : 5. Luas c. 74° dan 7 cm ADE : luas ABC adalah .... d. 74° dan 24 cm a. 4 : 3 13. Pada gambar berikut, layang-layang b. 5 : 9 PQRS terbentuk dari dua segitiga c. 4 : 9 siku-siku yang kongruen, yaitu PQR d. 9 : 4 dan PSR. S10. Pada gambar berikut, AC // DB. A C 60º 30º O P R T D B Q28 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Jika SQ = 24 cm maka panjang QR c. 9 cm dan 30° adalah .... d. 3 cm dan 80° a. 16 cm 16. Benda yang sebangun dengan persegi b. 20 cm berikut adalah .... c. 24 cm d. 28 cm14. Amati gambar berikut. E B C D a. ubin berukuran 30 cm × 20 cm b. buku berukuran 40 cm × 30 cm A c. sapu tangan berukuran 20 cm × Pada gambar di atas, ABC kongruen 20 cm dengan EDC, AC = 10 cm, dan DE d. permukaan meja berukuran 15 dm × 10 dm = 5 3 cm. Keliling EDC adalah .... 17. Amati gambar berikut. a. 2 3 cm A b. 18 2 cm c. (15 + 5 3 ) cm d. (15 + 3 5 ) cm D E15. Pada gambar berikut, layang-layang F ABCD sebangun dengan layang- B C layang EFGD. Jika diketahui BAC = 60°; AD = AE D = 5 cm; dan EC = DB = 4 cm maka E G 125º panjang BE adalah .... A C a. 7 cm b. 8 cm F c. 9 cm 30º d. 10 cm B 18. Besar sudut-sudut suatu segitiga Jika AB = 18 cm, CD = 12 cm, DG adalah 3x°, 5x°, dan 7x°. Sudut yang = 3 DC, ABC = 30°, dan DEF = terkecil dari segitiga itu besarnya .... 4 a. 9° 125°, panjang ED dan besar DAB b. 12° adalah .... c. 15° a. 9 cm dan 125° d. 18° b. 3 cm dan 125° Kesebangunan dan Kekongruenan 29
    • 19. Amati gambar berikut. 20. Pada gambar berikut, E B D A C A B C D Pada gambar tersebut, ΔACE sebangun ΔABC ΔADC. Jika DC = 6,5 cm, dengan ΔBCD. Jika AC = 6 cm, AO = 4 cm, dan DAC = 140° maka panjang AB adalah .... panjang AB adalah .... a. 1,6 cm a. 4 cm b. 2,4 cm b. 5,5 cm c. 3,6 cm c. 6,5 cm d. 4,8 cm d. 8 cm30 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Bab 2 Sumber: www.3dnworld.comBangun RuangSisi Lengkung Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami sifat-sifat tabung, kerucut, dan bola serta menentukan ukurannya dengan cara mengidentifikasi unsur-unsur tabung, kerucut, dan bola, menghitung luas selimut dan volume tabung, kerucut, dan bola, serta memecahkan masalah yang berkaitan dengan tabung, kerucut, dan bola.Di Kelas VIII, kamu telah mempelajari bangun ruang sisi A. Unsur-Unsur dandatar, yaitu balok, kubus, prisma tegak, dan limas tegak. Luas PermukaanPada bab ini, konsep yang telah kamu pelajari tersebut akan Bangun Ruang Sisi Lengkungdigunakan untuk memahami bangun ruang sisi lengkung,yaitu tabung, kerucut, dan bola. B. Volume Bangun Ruang Sisi Konsep bangun ruang sisi lengkung banyak diguna- Lengkungkan untuk menyelesaikan permasalah seperti pada uraianberikut. Bumi yang kita diami mempunyai bentuk yang hampirmenyerupai bola. Jika diketahui jari-jari Bumi 6.370 km dan = 22 , dapatkah kamu mencari volume Bumi? 7 Jika kamu menguasai konsep volume bola, tentu kamu akandapat menjawabnya dengan mudah. Oleh karena itu, pelajarilahbab ini dengan baik. 31
    • Diagram Alur Bangun Ruang Sisi Lengkung (BRSL) membahas Unsur-unsur dan Luas BRSL Volume BRSL misalnya misalnya Tabung Kerucut Bola Tabung Kerucut Bola unsur-unsurnya unsur- rumus rumus rumus unsurnya unsurnya volume volume volume • Sisi alas tabung • Bidang alas Selimut bola • Sisi atas tabung kerucut V = r2t 1 2 4 3 • Selimut tabung • Selimut kerucut rumus luas V= rt V= r 3 3 permukaannya rumus luas rumus luas permukaannya permukaannya L = 2 r (t + r) L = r (s + r) L = 4 r2 Tes Apersepsi AwalSebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di bukulatihanmu.1. Jika diketahui luas alas dan tingginya, 4. Tentukan luas juring lingkaran pada tentukan: gambar berikut. a. Volume prisma tegak; r = 14 cm b. Volume limas tegak. 80°2. Diketahui lingkaran dengan jari-jari 7 cm. Tentukan keliling dan luas daerah lingkaran tersebut. 5. Tentukan volume dan luas permukaan3. Tentukan luas permukaan balok yang kubus yang panjang rusuknya 10 cm. berukuran panjang 8 cm, lebar 2 cm, dan tinggi 2 cm.32 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • A. Unsur-Unsur dan Luas Permukaan Bangun Ruang Sisi Lengkung Kaleng Nasi Tumpeng Bola Takraw SardenKamu tentu pernah menjumpai bangun-bangun seperti Gambar 2.1kaleng sarden, nasi tumpeng, dan bola takraw. Bangun-bangun pada Gambar 2.1 merupakan bangunruang sisi lengkung. Adapun bentuk geometri dari benda-benda tersebut berturut-turut tampak pada Gambar 2.2. Dapatkah kamu menyebutkan nama-nama bangunruang pada Gambar 2.2? Gambar 2.21. TabungAmati Gambar 2.3. Bangun tersebut dibatasi oleh dua sisiyang sejajar dan kongruen berbentuk lingkaran (ditunjukkanoleh daerah yang diarsir) serta sisi lengkung (daerah yang tidakdiarsir). Bangun ruang seperti ini dinamakan tabung.a. Unsur-Unsur Tabung Gambar 2.3Amatilah Gambar 2.4. Unsur-unsur tabung tersebut dapat T2 C Ddiuraikan sebagai berikut.a. Sisi yang diarsir (lingkaran T1) dinamakan sisi alas tabung. Dinamakan sisi apakah lingkaran T2? tb. Titik T1 dan T2 masing-masing dinamakan pusat lingkaran (pusat sisi alas dan sisi atas tabung). Pusat lingkaran A T1 B merupakan titik tertentu yang mempunyai jarak yang Gambar 2.4 sama terhadap semua titik pada lingkaran itu.c. Titik A dan B pada lingkaran alas tabung, sedangkan titik C dan D pada lingkaran atas. Ruas garis T1A dan T1B dinamakan jari-jari lingkaran (jari-jari bidang alas tabung). Jari-jari lingkaran merupakan jarak pusat lingkaran ke titik pada lingkaran. Sebutkanlah jari-jari bidang atas tabung.d. Ruas garis AB dinamakan diameter atau garis tengah lingkaran (diameter bidang alas). Diameter lingkaran merupakan ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran yang melalui titik pusat lingkaran. Sebutkanlah diameter bidang atas tabung.e. Ruas garis yang menghubungkan titik T1 dan T2 dinamakan tinggi tabung, biasa dinotasikan dengan t. Tinggi tabung disebut juga sumbu simetri putar tabung. Bangun Ruang Sisi Lengkung 33
    • f. Sisi lengkung tabung, yaitu sisi yang tidak diarsir r dinamakan selimut tabung. Adapun garis-garis pada sisi C1 C2 lengkung yang sejajar dengan sumbu tabung (ruas garis T1T2) dinamakan garis pelukis tabung. b. Luas Permukaan Tabungt Amati kembali Gambar 2.4 dengan saksama. Jika tabung pada Gambar 2.4 direbahkan dengan cara memotong A1 A2 sepanjang ruas garis AC, keliling alas, dan keliling atasnya r ditempatkan pada bidang datar maka diperoleh jaring-jaring tabung, seperti pada Gambar 2.5. Daerah yang tidak diarsir (selimut tabung) pada Gambar Gambar 2.5 2.5 berbentuk persegipanjang dengan ukuran sebagai berikut. Catatan Panjang = keliling alas tabung = 2 r Lebar = tinggi tabung = t Oleh karena tidak dapat sehingga luas selimut tabung = panjang × lebar dinyatakan secara tepat dalam bentuk desimal =2r×t maupun pecahan, = 2 rt biasanya 3,14 atau 22 Luas permukaan tabung sama dengan luas jaring- . Tanda me- 7 jaringnya, yaitu nyatakan nilai hampiran. L = luas selimut tabung + 2 × luas alas. Akibatnya, luas permukaan tabung Dengan demikian, luas permukaan tabung adalah merupakan nilai hampiran. Selanjutnya, L = 2 rt + 2 r2 untuk memudahkan = 2 r (t + r) pembahasan, nilai 22 adalah 3,14 atau . Contoh 2.1 7 1. Sebuah tabung berjari-jari 10 cm. Jika tingginya 30 cm dan Siapa = 3,14, hitunglah luas permukaannya. Berani? Penyelesaian: Diketahui r = 10 cm, t = 30 cm, dan = 3, 14, diperoleh Seorang pengrajin akan membuat 100 kaleng L = 2 r (t + r) berbentuk tabung yang = 2 × 3,14 × 10 × (30 + 10) = 2.512 terbuat dari seng. Tinggi dan diameter Jadi, luas permukaannya adalah 2.512 cm2. tabung yang akan dibuat 2. Diketahui luas selimut tabung 1.256 cm2. Jika = 3.14, dan berturut-turut 20 cm dan jari-jari alas tabung 10 cm, tentukan: 15 cm serta = 3,14. Jika harga 1 m2 seng a. Tinggi tabung; adalah Rp12.000,00, b. Luas permukaan tabung. berapa rupiah uang yang Penyelesaian: harus disediakan peng- rajin untuk membuat luas selimut tabung = 2 rt = 1.256 cm2 seluruh kaleng? = 3,14 r = 10 cm 34 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • a. 2 rt = 1.256 2 (3,14) × 10 × t = 1.256 62,8 t = 1.256 t = 20 Jadi, tinggi tabung tersebut adalah 20 cm. b. L = 2 rt + 2 r2 = 1.256 + 2 (3,14) × 102 = 1.256 + 628 = 1.884 Jadi, luas permukaan tabung tersebut adalah 1.884 cm2.2. KerucutAmati Gambar 2.6 dengan saksama. Gambar 2.6(a),memperlihatkan segitiga samakaki ATB dengan alas AB dan A O B A O Btinggi OT. Jika ATB diputar pada sumbu OT, diperolehbangun ruang seperti pada Gambar 2.6(b). Bangun ruangtersebut dinamakan kerucut.a. Unsur-Unsur KerucutAmati kerucut pada Gambar 2.7. Unsur-unsur kerucut dapat T Tdiuraikan sebagai berikut. a ba. Sisi yang diarsir dinamakan bidang alas kerucut.b. Titik O dinamakan pusat lingkaran (pusat bidang alas Gambar 2.6 kerucut), sedangkan titik T dinamakan puncak kerucut. Tc. Ruas garis OA dinamakan jari-jari bidang alas kerucut. Sebutkan jari-jari bidang alas kerucut lainnya.d. Ruas garis AB dinamakan diameter bidang alas kerucut. se. Ruas garis yang menghubungkan titik T dan O dinama- t kan tinggi kerucut (t).f. Ruas garis BC dinamakan tali busur bidang alas kerucut. O Sebutkan tali busur bidang alas kerucut lainnya. A Bg. Sisi yang tidak diarsir dinamakan selimut kerucut. C Gambar 2.7 Adapun ruas-ruas garis pada selimut kerucut yang meng- hubungkan titik puncak T dan titik-titik pada lingkaran (misalnya TA) dinamakan garis pelukis kerucut (s).b. Luas Permukaan KerucutGambar 2.8(a) menunjukkan kerucut dengan titik puncakT dan jari-jari bidang alasnya adalah r. Jika kerucut itukamu potong sepanjang ruas garis TB dan seputar lingkaranalasnya, serta diletakan pada bidang datar maka diperolehjaring-jaring kerucut, seperti pada Gambar 2.8(b). Bangun Ruang Sisi Lengkung 35
    • Amati Gambar 2.8(b). Daerah yang diarsir merupakan T alas kerucut (berbentuk lingkaran). Adapun daerah yang a tidak diarsir merupakan selimut kerucut yang berbentuk juring lingkaran. Berapakah luas juring TB1B2? Untuk s s menjawabnya, pelajarilah uraian berikut. s s t Panjang busur B1B2 = keliling alas kerucut = 2 r. Keliling lingkaran yang berjari-jari s adalah 2 s. A r D Luas lingkaran yang berjari-jari s adalah s2. B C Oleh karena luas juring TB1B2 = panjang busur B1B2 B a T luas lingkaran aa keliling lingkaran aa b maka luas juring TB1B2 = 2 r × s2 = rs. s s 2 s Jadi, luas selimut kerucut adalah rs.B1 B2 Dengan demikian, luas permukaan kerucut adalah L = luas selimut kerucut + luas alas kerucut L = rs + r2 = r(s + r) r Jadi, rumus luas permukaan kerucut adalah L = r (s+r) Gambar 2.8 Contoh 2.2 1. Sebuah kerucut berdiameter 12 cm. Jika tingginya 8 cm dan = 3,14, hitunglah: a. Luas selimutnya; Uji Kecerdikan b. Luas alasnya; s c. Luas permukaan kerucut. 8 Azis akan membuat dua Penyelesaian: buah kerucut dari bahan karton. Luas permukaan Amati gambar berikut. 6 6 kerucut kesatu dua kali r = 6 cm dan t = 8 cm luas permukaan kerucut yang kedua. Adapun s = r 2 t 2 = 62 82 = 100 = 10 panjang garis pelukis Jadi, panjang garis pelukisnya 10 cm. kerucut yang kesatu juga dua kali panjang a. Luas selimut kerucut garis pelukis yang L1 = rs = 3,14 × 6 × 10 = 188,4 kedua. Akan tetapi, ia Jadi, luas selimutnya 188,4 cm2. kebingungan menentukan panjang jari-jari kedua b. Luas alas kerucut kerucut itu. Dapatkah L2 = r2 = 3,14 × 62= 113,04 kamu membantunya Jadi, luas alas kerucut adalah 113,04 cm2. untuk menghitung perbandingan jari-jari c. Luas permukaan kerucut kedua kerucut itu? L = L1 + L2 = 188,4 + 113,04 = 301,44 Jadi, luas permukaannya adalah 301,44 cm2.36 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • 2. Gambar berikut memperlihatkan skema tutup lampu. Jika r1 = 7 cm, r2 = 14 cm, s = 30 cm, dan r1 InfoNet = 22 , berapa meter persegi kain yang Kamu dapat menambah 7 s’ wawasanmu tentang materi digunakan untuk membuat tutup lampu r2 dalam bab ini dari internet tersebut? dengan mengunjungi alamat: Penyelesaian: learning-with-me. Langkah 1 blogspot.com/2006/09/ geometry_11.html Lengkapi gambar pada soal sehingga membentuk bangun kerucut, kemudian tentukan variabel-variabelnya. Gambar kerucut dari permasalahan ini diperlihatkan pada Gambar 2.9. Langkah 2 s1 Menentukan nilai s1 dengan menggunakan perbandingan. Diketahui r1 = 7 cm, r2 = 14 cm, dan s = 30 cm r1 Untuk menentukan s1, caranya sebagai berikut. s r1 s 7 = s1 = 1 r2 r2 s1 s 14 s1 30 1 s1 = 2 s1 30 Gambar 2.9 s1 = 30 Langkah 3 Menghitung luas selimut kerucut. Tugas untukmu Luas selimutnya = r1s1 Coba kamu selidiki konsep geometri apakah = 22 × 7 × 30 = 660 cm2 yang digunakan dalam 7 r1 s1 perbandingan . r2 s1 s Luas selimutnya = r2 (s1 + s) = 22 × 14 (30 + 30) Jelaskan hasil penyelidi- 7 kanmu di depan kelas. 2 = 2.640 cm Langkah 4 Menghitung luas kain yang dibutuhkan. luas kain = luas selimut kerucut besar – luas selimut kerucut kecil = 2.640 cm2 – 660 cm2 = 1.980 cm2 = 0, 198 m2 Jadi, kain yang dibutuhkan seluas 1.980 cm2.3. Pak Buyung akan membuat model kerucut dari selembar s t aluminium seperti pada Gambar 2.10. Jika luas permukaan model kerucut itu 75,36 cm2 dan = 3,14, tentukan jari-jari, P r panjang garis pelukis, dan tinggi kerucut yang mungkin. Gambar 2.10 Bangun Ruang Sisi Lengkung 37
    • Siapa Penyelesaian: Berani? Langkah 1 Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal. Sebuah model kerucut Diketahui: Luas permukaan kerucut, L = 75,36 cm2 dan akan dibuat dari aluminium. Jika luas = 3,14. permukaan model Ditanyakan: Panjang jari-jari, panjang garis pelukis, dan kerucut itu 360 cm2, tinggi kerucut yang mungkin. jawablah pertanyaan berikut. Langkah 2 a. Selidiki apakah Masukkan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus luas mungkin diameter alas model kerucut itu permukaan kerucut sebagai berikut. panjangnya L = 75,36 75,36 = r (s + r) 40 cm? Jelaskan hasil 75,36 = 3,14r (s + r) penyelidikanmu. b. Berapa panjang 24 = r (s + r) ... (*) diameter kerucut Langkah 3 yang mungkin? Menghitung panjang jari-jari, panjang garis pelukis, dan tinggi kerucut yang mungkin dengan menggunakan persamaan (*) pada langkah ke-2 sebagai berikut. Kemungkinan ke-1 Untuk r = 1 maka 1(s + 1) = 24 s = 23 t = s 2 r 2 = 232 12 = 528 Jadi, jika jari-jari model kerucut 1 cm maka panjang garis pelukis dan tinggi kerucut berturut-turut adalah 23 cm dan 528 cm. Kemungkinan ke-2 Untuk r = 2 maka 2(s + 2) = 24 s = 10 t = s 2 r 2 = 102 22 = 96 = 4 6 Jadi, jika jari-jari model kerucut 2 cm maka panjang garis pelukis dan tinggi kerucut berturut-turut adalah 10 cm dan 4 6 cm. Kemungkinan ke-3 Untuk r = 3 maka s = 5 dan t = 4. Jadi, jika jari-jari model kerucut 3 cm maka panjang garis pelukis dan tingginya berturut-turut adalah 5 cm dan 4 cm. Adakah cara menentukan model kerucut yang lainnya? Jelaskan alasannya. A A 3. BolaC D C D o Gambar 2.11(a) memperlihatkan lingkaran dengan diameter AB atau CD. Jika lingkaran pada Gambar 2.11(a) diputar B B terhadap titik O (AOB sebagai sumbu putar), diperoleh a b bangun ruang seperti pada Gambar 2.11(b). Bangun ruang Gambar 2.11 seperti ini dinamakan bola. 38 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • a. Unsur-Unsur BolaBola adalah bangun ruang yang hanya memiliki satu sisidan tidak memiliki rusuk. Amati kembali Gambar 2.11(b).Unsur-unsur bola dapat diuraikan sebagai berikut.1) Titik O dinamakan titik pusat bola.2) Ruas garis OA dinamakan jari-jari bola. Sebutkan jari- jari bola lainnya.3) Ruas garis CD dinamakan diameter bola. Jika kamu amati, ruas garis AB juga merupakan diameter bola. AB dapat pula disebut tinggi bola.4) Sisi bola adalah kumpulan titik yang mempunyai jarak sama terhadap titik O. Sisi tersebut dinamakan selimut atau kulit bola.5) Ruas garis ACB dinamakan tali busur bola. Sebutkan tali busur bola lainnya.6) Ruas-ruas garis pada selimut bola yaitu ACBDA dinamakan garis pelukis bola.b. Luas Permukaan BolaAmati kembali bahasan mengenai luas permukaan tabungdan kerucut. Dari pembahasan tersebut, kamu dapat melihatcara mencari luas permukaan bangun ruang yang secaraumum adalah sebagai berikut.a. Membuat jaring-jaring bangun tersebut.b. Menghitung luas jaring-jaring bangun tersebut.c. Luas permukaan bangun sama dengan luas jaring- jaringnya. InfoMatika Akan tetapi, cara seperti itu tidak dapat diterapkanpada bola karena kamu tidak bisa membuat jaring-jaring Menurut Archimedes,dari sebuah bola. Untuk menentukan nilai hampiran luas jika bola dan tabungpermukaan bola, lakukan aktivitas berikut. memiliki jari-jari yang sama dan tinggi tabung sama dengan diameter Aktivitas 2.1 bola, luas permukaan bola sama dengan luasTujuan: Menentukan nilai hampiran luas permukaan bola. selimut tabung.1. Sediakan bola plastik kecil, gunting, karton, penggaris, dan dua buku tebal.2. Letakkan bola plastik seperti pada gambar (a). Kemudian, ukurlah jarak antarbuku. Panjang jari-jari bola tersebut adalah 1 kali jarak antarbuku. 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung 39
    • bola 3. Buatlah model persegipanjang dari karton dengan panjang 4 kali panjang jari-jari bola (4r) dan lebar 3,14 kali panjang jari-jari bola seperti gambar (b). Berapa cm2 luas model persegipanjang itu? 4. Potong-potong bola plastik sehingga menjadi potongan- potongan yang sangat kecil. Kemudian, potongan-potongan buku buku bola plastik itu diletakkan pada model persegipanjang itu. a 5. Apakah seluruh kulit bola itu persis menutupi seluruh 4r permukaan model persegipanjang tersebut? 6. Ulangi langkah ke-3 sampai dengan langkah ke-5 dengan 3,14r membuat model persegipanjang dengan ukuran sebagai berikut. a. panjang 4r dan lebar 3,5r b b. panjang 4r dan lebar 2,5r c. panjang 4r dan lebar 2r 7. Perkirakan berapa cm2 luas permukaan bola plastik itu. 8. Apa yang dapat kamu simpulkan dari kegiatan ini? Presentasikan hasil kegiatanmu di depan kelas. Petunjuk: Kedua buku diletakkan vertikal dan sejajar. Misalkan, Gambar 2.12(a) adalah bola plastik berjari-jari r, sedangkan Gambar 2.12(b) adalah sehelai kertas berbentuk persegipanjang dengan luas daerah 4 r2. Jika bola plastik dikuliti, kemudian kulitnya diletakkan pada sehelai kertas yang berbentuk persegipanjang dengan luas 4 r2 (seperti Gambar 2.12(b)) maka kulit bola itu akan persis menutupi seluruh permukaan kertas itu. Hal tersebut menggambarkan bahwa rumus luas permukaan a bola adalah 4r L = 4 r2 dengan r L = luas permukaan bola r = jari-jari bola = 3,14 atau = 22 b 7 Contoh 2.3 Gambar 2.12 1. Sebuah bola diketahui jari-jarinya 10 cm. Jika = 3,14, hitunglah luas permukaan bola itu. Penyelesaian: Diketahui: jari-jari bola r =10 cm dan40 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Ditanyakan: Luas permukaan bola L? L = 4 r2 = 4 × 3,14 × 102 = 1.256. Catatan Jadi, luas permukaan bola adalah 1.256 cm2.2. Tangki penyimpanan gas alam cair berbentuk bola dengan Bukti dari rumus L = 4 r2 diameter 70 m. Supaya tangki itu dapat menyimpan gas tidak diberikan di buku alam cair sampai –160°C tanpa membeku, lapisan luar ini. Pembuktian rumus tersebut akan kamu tangki tersebut diisolasi. pelajari di tingkat a. Berapa meter persegi isolasi yang diperlukan untuk pendidikan yang lebih tinggi. melapisi tangki itu? b. Jika biaya isolasi per meter persegi adalah Rp75.000,00, berapa besar biaya yang diperlukan untuk mengisolasi tangki tersebut? Penyelesaian: Langkah 1 Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal. Diketahui: Diameter tangki, d = 70 m Biaya isolasi per meter persegi = Rp75.000,00 Ditanyakan: a. Berapa m2 isolasi yang diperlukan? Sumber: The World Book b. Berapa besar biaya yang diperlukan untuk mengisolasi Encyclopedia Volume 8, 1996 tangki itu? Gambar 2.13 Langkah 2 Menentukan rumus yang digunakan untuk menjawab soal. Siapa Rumus yang digunakan adalah luas permukaan bola, yaitu Berani? L = 4 r2. Langkah 3 Gambar berikut Menentukan panjang jari-jari tangki, kemudian menghitung memperlihatkan sebuah monumen yang dibentuk luas permukaan tangki, sebagai berikut. dari sebuah kerucut dan 1 1 setengah bola. d = × 70 = 35 m Jari-jari r = 2 2 L=4r =4× 2 22 × (35)2 = 15.400 7 8m Jadi, isolasi yang diperlukan adalah seluas permukaan bola, 6m yaitu 15.400 m2. Langkah 4 Menghitung biaya untuk mengisolasi tangki, yaitu sebagai tanah berikut. Monumen tersebut menempel pada tanah Biaya per meter persegi adalah Rp75.000,00 seluas 1 m2. Jika sehingga biaya seluruhnya adalah monumen itu akan dicat dan setiap m2 memerlukan 15.400 × Rp75.000,00 = Rp1.155.000.000,00. biaya Rp35.000,00, Jadi, biaya untuk mengisolasi tangki tersebut adalah berapa rupiah biaya Rp1.155.000.000,00. pengecatan tugu tersebut? (ambil = 3,14) Bangun Ruang Sisi Lengkung 41
    • Tes Kompetensi 2.1Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.1. Hitunglah luas permukaan bangun ruang a. Tinggi kerucut; berikut. b. Luas selimut kerucut; a. c. Luas alas kerucut; d. Luas permukaan kerucut. 100 cm 7. Bulan hampir menyerupai bola dengan diameter 3.476 km. Hitunglah luas b. permukaan bulan jika 12 cm = 22 . 7 9 cm 8. Kubah sebuah gedung berbentuk setengah P bola. Kubah tersebut mempunyai diameter c. 6 cm 16 m. Jika permukaan kubah bagian dalam akan dicat dan setiap meter persegi memerlukan biaya sebesar Rp40.000,00, 1,5 cm berapa biaya yang dibutuhkan untuk mengecat kubah itu?2. Sebuah tabung diketahui luas permukaan- nya 4.396 cm2. Jika tingginya 15 cm dan = 3,14, hitunglah tinggi tabung itu.3. Sebuah kerucut berdiameter 10 cm. Jika tingginya 12 cm dan = 3,14, hitunglah: a. luas selimutnya; Sumber: Majalah Orbit, 2002 b. luas alasnya; 9. Gambar berikut merupakan c. luas permukaan kerucut. tabung dengan bagian atas dan4. Hitunglah diameter bola jika = 3,14 bawah berupa setengah bola. dan luas permukaannya: 2 a. 200,96 cm2 Jika diameter tabung 8 cm 5 b. 452,16 cm2 dan tinggi tabung 20 cm, c. 1.256 cm2 tentukanlah luas permukaan bangun d. 5.024 cm2 225. Hitunglah luas permukaan bola yang tersebut . 7 memiliki ketentuan berikut. 10. Hitunglah luas permukaan bangun ruang a. Jari-jari 45 cm dan = 22 . berikut. 7 a. b. Diameter 80 cm dan = 3,14. 12 cm6. Sebuah kerucut jari-jari alasnya 10 cm. Jika panjang garis pelukisnya 24 cm dan = 3,14 hitunglah: 18 cm 10 cm42 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • b. Rp80.000,00, berapa biaya yang harus disediakan untuk membuat sebuah tenda? 24 cm 13. Ukuran garis pelukis kerucut lebih panjang 15 cm daripada panjang jari-jari alasnya. Jika luas selimut kerucut adalah 7 cm 2.198 cm2 dan = 3,14, hitunglah: a. panjang jari-jari dan panjang garis c. pelukis kerucut dan 5 cm b. luas permukaan kerucut. 14. Sebuah bola plastik dimasukkan ke dalam 16 cm tabung sehingga bola itu menyinggung sisi alas, sisi atas, dan sisi lengkung tabung, seperti gambar berikut. Diketahui luas permukaan tabung 924 cm2 dan = 22 . 8 cm 7 Tentukanlah luas kulit bola itu.11. Sebuah penampung minyak berbentuk tabung dengan keliling alasnya 50,24 m dan tingginya 10 m. Sisi atas dan sisi lengkung- nya akan dicat. Jika untuk mengecat 1 m2 memerlukan biaya Rp30.000,00, berapa biaya yang dibutuhkan untuk mengecat penampung minyak itu? 16. Sebuah model kerucut akan dibuat dari12. Sebuah pabrik akan membuat tenda ber- aluminium. Jika luas permukaannya bentuk kerucut tanpa alas dari kain parasut. 200 cm2, jawablah pertanyaan berikut. Tenda yang akan dibuat memiliki diameter a. Mungkinkah diameter model kerucut 20 m dan panjang garis pelukis 5 m. Jika tersebut 30 cm? Jelaskan jawabanmu. biaya pembuatan tenda tiap m2 adalah b. Berapa panjang diameter kerucut yang mungkin?B. Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung P O C D T2Volume bangun ruang menyatakan ukuran atau kemampuan T2 K Nmenampung suatu benda cair. Misalnya, volume sebuah L Mdrum adalah 100 liter, artinya apabila drum itu diisi minyak J Isampai penuh maka dapat menampung 100 liter minyak. T1 E H T1 A B1. Volume Tabung F G a bAmatilah Gambar 2.14 dengan saksama. Apabila kamu amatidengan teliti (Gambar 2.14(a) dan (b)), antara tabung dan Gambar 2.14 (a) tabungprisma tegak mempunyai kesamaan, yaitu mempunyai dua (b) prisma tegaksisi (bidang) sejajar dan kongruen (bidang atas kongruen Bangun Ruang Sisi Lengkung 43
    • dengan bidang alas). Hal tersebut menggambarkan kesamaan dalam cara mencari volumenya, yaitu luas alas × tinggi. Di Kelas VIII, kamu telah mengetahui bahwa volume prisma bergantung pada bentuk alasnya. Jika alas prisma berbentuk segitiga, volume prisma segitiga adalah 1 ( × alas × tinggi) × tinggi. 2 Hal tersebut berlaku pula pada prisma segiempat, prisma segilima, dan seterusnya hingga prisma segi-n. Bagaimana jika alas prisma berbentuk lingkaran? Prisma yang alasnya berbentuk lingkaran disebut tabung. Akibatnya, cara menentukan volume tabung sama dengan cara menentukan volume prisma, yaitu V = luas alas × tinggi dalam hal ini, Tugas V = luas lingkaran × tinggi untukmu Kamu juga telah mengetahui rumus luas lingkaran, yaitu r2. Jadi, rumus volume tabung adalah Kerjakan tugas ini secara berkelompok yang terdiri V = luas alas × tinggi = r2t atas 4 atau 5 orang (disesuaikan dengan Dalam hal ini, kondisi di kelas). 1. Dengan mengevaluasi V = volume tabung Contoh 2.4 nomor 2a, 22 cobalah kamu terka = 3,14 atau = suatu ketentuan umum 7 mengenai rumus r = jari-jari alas tabung perubahan volume t = tinggi tabung tabung jika tingginya berubah, sedangkan Contoh 2.4 jari-jarinya tetap. 2. Dengan mengevaluasi Contoh 2.4 nomor 1. Sebuah tabung diketahui jari-jarinya 6 cm, tingginya 7 cm, 2b, cobalah kamu terka suatu ketentuan 22 dan = . Hitunglah volume tabung tersebut. umum mengenai 7 perubahan volume Penyelesaian: tabung jika jari-jarinya berubah, sedangkan 22 V = r2t = × 62 × 7 = 792 tingginya tetap. 7 Nyatakan ketentuan- Jadi, volumenya 792 cm3. ketentuan tersebut dengan kata-katamu 2. Tentukan volume tabung pada soal nomor 1, jika sendiri. a. tingginya menjadi 2 kali lebih panjang dari tinggi (Petunjuk: misalkan, semula (jari-jari tetap); volume tabung mula- mula adalah b. jari-jarinya menjadi 3 kali lebih panjang dari jari-jari V = r2t dan volume semula (tinggi tetap). tabung setelah perubahan n kali adalah Vn).44 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Penyelesaian: InfoMatika a. t1 = 2t = 2 × 7 cm 22 22 2 V1 = r2t1 = × 62 × 2 × 7 = 2 × 6 7 7 7 = 2 × 792 = 1.584 Jadi, volumenya 1.584 cm3. b. r2 = 3r = 3 × 6 cm 22 V2 = r22t = 22 × (3 × 6)2 × 7 = × 32 × 62 × 7 7 7 =3 ×2 22 2 2 6 7 = 3 × 792 = 9 × 792 = 7.128 7 Jadi, volumenya 7.128 cm3. Archimedes (Yunani, 287–212 SM) Selidikilah penyelesaian Contoh 2.4. Archimedes lebih dikenal karena ide sainsnya mengenai Jika tinggi tabung menjadi 2 kali lebih panjang daripada teori mengambang dan tenggelam. Menurut tinggi semula (t1 = 2t) maka cerita, suatu hari ia V1 = r2t1 = r2 (2t) = 2( r2t) = 2V. pernah berlari tanpa busana dari kamar Uraian tersebut memperjelas ketentuan berikut. mandinya sambil berteriak "Eureka!", yang Misalnya, volume sebuah tabung adalah V. Jika tingginya artinya "Saya berhasil menjadi n kali lebih panjang dari tinggi semula (jari-jari tetap), menemukannya!". Ia berhasil menemukan volumenya menjadi n kali volume semula (Vn = n × V). cara mengetahui volume suatu benda dengan memasukkannya ke dalam air. Kemudian, Jika jari-jari tabung menjadi 3 kali lebih panjang mengukur berapa daripada jari-jari semula (r2 = 3r) maka banyak air yang didorong oleh benda tersebut. V2 = r22t = (3r)2t = 32( r2t) = 32V. Archimedes juga dikenal Uraian tersebut memperjelas ketentuan berikut. sebagai matematikawan yang sangat hebat. Ia Misalnya, volume sebuah tabung adalah V. Jika jari-jarinya menemukan rumus luas bangun datar dan volume menjadi n kali lebih panjang daripada jari-jari semula bangun ruang. (tinggi tetap), volumenya menjadi n2 kali volume semula Sumber: Ensiklopedia Matematika, 1998 (Vn = n2 × V). MatematikaContoh 2.5 RiaDiketahui sebuah tangki air berbentuk tabung yang tingginya Seseorang akan mengukur 4 liter air200 cm. Tabung tersebut dapat menampung air sampai penuh secara tepat. Akan tetapi,sebanyak 1.570 liter. Jika = 3,14, hitunglah: ia hanya mempunyai 2a. luas alas tangki tersebut; tabung berukuran 5 liter dan 3 liter. Bagaimanab. panjang jari-jari alasnya; orang tersebut harusc. luas selimut tangki. mengukurnya? Bangun Ruang Sisi Lengkung 45
    • Penyelesaian: a. Volume tangki = 1.570 liter = 1.570 dm3 = 1.570.000 cm3. Tinggi tangki = 200 cm. V = luas alas × tinggi tangki 1.570.000 = luas alas × 200 luas alas = 1.570.000 = 7.850 200 Jadi, luas alasnya 7.850 cm2. t t b. L = r2 7.850 = 3,14r2 r2 = 2.500 r = 50 r Jadi, panjang jari-jari alas tangki adalah 50 cm. c. Luas selimut tangki = 2 rt = 2 (3,14) × 50 × 200 = 62.800 a b Jadi, luas selimutnya 62.800 cm2. Gambar 2.16 (a) limas tegak (b) kerucut 2. Volume Kerucut Untuk mengetahui rumus volume kerucut, pelajarilah uraian Tugas berikut dengan saksama. untukmu Di Kelas VIII, kamu telah mengetahui cara menentukan Nyatakanlah volume volume limas tegak, yaitu 1 × luas alas × tinggi. Sekarang, kerucut dalam , d, dan t. 3 Dalam hal ini, = 3,14, amatilah Gambar 2.16 di samping. d = diameter alas kerucut, dan t = tinggi Jika kamu amati dengan baik, volume limas bergantung kerucut. pada bentuk alasnya. Jika luas alasnya berbentuk segitiga maka volume limas segitiga adalah 1 × ( 1 alas × tinggi) × tinggi Uji Kecerdikan 3 2 Demikian pula dengan limas segiempat, limas segilima, dan D seterusnya. Bagaimana jika alas limas berbentuk lingkaran? Limas yang alasnya berbentuk lingkaran disebut kerucut. Akibatnya, cara menentukan volume kerucut sama dengan cara menentukan limas, yaitu Sumber: Majalah Orbit, 2002 V = 1 × luas alas × tinggi 3 Museum Purna Bakti dalam hal ini, Pertiwi yang terletak di Taman Mini Indonesia V = 1 × luas lingkaran × tinggi Indah memiliki bentuk 3 bangunan yang unik. Di Kelas VIII, kamu juga telah mengetahui rumus luas Setiap bangunannya berbentuk kerucut. Jika lingkaran, yaitu r2. jari-jari kerucut yang Jadi, volume kerucut adalah besar adalah 14 m dan tinggi 20 m, hitunglah volume kerucut tersebut. V = 1 × r2 × t 346 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Dalam hal ini, V = volume kerucut Tugas r = jari-jari alas kerucut untukmu t = tinggi kerucut Kerjakan tugas ini secara = 3,14 atau 22 berkelompok yang terdiri atas 4 atau 5 orang 7 (disesuaikan denganContoh 2.6 kondisi di kelas). 1. Amatilah Contoh 2.6 nomor 2. Jika tinggi1. Diketahui sebuah kerucut berdiameter 12 cm dan tingginya kerucut pada soal itu 8 cm. Jika = 3,14, hitunglah volume kerucut tersebut. 1 menjadi kali, 1 Penyelesaian: 2 3 kali, 3 kali, 4 kali, dan Diameter kerucut d = 12 cm sehingga jari-jarinya 5 kali tinggi semula 1 (jari-jari tetap), r= 12 cm = 6 cm hitunglah volume 2 kerucut itu setelah 1 1 V = r2t = 3,14 62 8 = 301,44 perubahan. Coba 3 3 kamu terka suatu Jadi, volumenya adalah 301,44 cm3. ketentuan umum mengenai rumus2. Volume sebuah kerucut adalah 594 cm3. Jika tinggi kerucut perubahan volume itu menjadi 2 kali tinggi semula (jari-jari tetap), berapa kerucut jika tingginya volume kerucut itu setelah perubahan? berubah, sedangkan jari-jarinya tetap. Penyelesaian: 2. Amati kembali Contoh Misalkan, volume kerucut semula = V1, 2.6 nomor 2. Jika tinggi kerucut semula = t1, panjang jari-jari kerucut pada soal itu volume kerucut setelah perubahan = V2, 1 1 menjadi kali, kali, dan tinggi kerucut setelah perubahan = t2 2 3 2 kali, 3 kali, dan 4 kali maka t2 = 2t1. semula (tinggi tetap), 1 2 hitunglah volume V1 = r t1 kerucut itu setelah 3 perubahan. Coba kamu 1 2 r t1 = 594 terka suatu ketentuan 3 umum mengenai 1 1 rumus perubahan V2 = r2t2= r2 (2t1) volume kerucut jika 3 3 panjang jari-jarinya 1 2 berubah, sedangkan =2 r t1 = 2 V1 tingginya tetap. 3 = 2 594 = 1.188 Jadi, volume kerucut setelah mengalami perubahan adalah dua kali volume semula, yaitu 1.188 cm3.3. Garam halus ditumpuk sehingga membentuk kerucut seperti Gambar 2.17. Tinggi tumpukan garam itu 15 m dan diameter alasnya 56 m. Tumpukan garam tersebut akan diangkut oleh truk yang kapasitas angkutnya 70 meter kubik. Tentukan berapa truk yang diperlukan untuk mengangkut tumpukan garam itu (ambil = 22 ). 7 Bangun Ruang Sisi Lengkung 47
    • Penyelesaian: Langkah 1 Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal. Diketahui: Tinggi t = 15 m. Diameter d = 56 m. Daya angkut truk = 70 m3. Sumber: The World Book Ditanyakan: Banyak truk yang diperlukan untuk mengangkut Encyclopedia Volume 17, 1995 tumpukan garam. Gambar 2.17 Langkah 2 Menentukan rumus apa yang digunakan untuk menjawab soal. Rumus yang digunakan adalah rumus volume kerucut, yaitu 1 2 V= r t. 3 Langkah 3 Menentukan panjang jari-jari alas tumpukan garam, kemudian menghitung volume tumpukan garam tersebut, yaitu sebagai berikut. Jari-jari alasnya r = 1 d 2 = 1 56 2 = 28 m 1 2 V = rt 3 Hal Penting 1 22 = (28)2 15 3 7Istilah-istilah penting yang = 12.320kamu temui pada bab iniadalah Jadi, volume tumpukan garam itu adalah 12.320 m3.• sisi alas• selimut Langkah 4• garis pelukis Menentukan berapa truk yang diperlukan untuk mengangkut• luas permukaan• volume garam adalah sebagai berikut. Banyak truk yang diperlukan adalah 12.320 = 176. 70 Dengan demikian, diperlukan 176 truk untuk mengangkut tumpukan garam tersebut. 3. Volume Bola Untuk menentukan nilai hampiran volume bola, lakukanlah aktivitas berikut.48 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Tugas Aktivitas 1.1 untukmuTujuan: Menentukan nilai hampiran volume bola. Kerjakan tugas ini1. Sediakan corong bola plastik yang dilubangi, dan model secara berkelompok terdiri atas 4 atau 5 kerucut dari seng atau plastik dengan ukuran jari-jari dan orang (disesuaikan tinggi kerucut sama dengan ukuran jari-jari bola. (Alat ini dengan kondisi di kelas). disediakan oleh sekolah sebagai alat peraga). Misalkan, volume sebuah bola V. Jika panjang2. Isilah model kerucut dengan air sampai penuh. Kemudian jari-jari bola menjadi dengan menggunakan corong, tuangkan seluruh air dalam 1 kali, 2 kali, dan 3 model kerucut itu ke dalam bola plastik. 2 kali semula, tentukan3. Lakukan langkah ke-2 beberapa kali sampai bola plastik volume bola itu setelah penuh berisi air. perubahan. Coba kamu4. Berapa kali kamu dapat mengisi bola plastik sehingga bola terka suatu ketentuan umum mengenai rumus itu penuh berisi air? perubahan volume bola5. Dari aktivitas ini, apa yang dapat kamu simpulkan? Buatlah jika panjang jari-jarinya laporannya. berubah? Amati Gambar 2.18 dengan saksama. Gambar 2.18(a)menunjukkan sebuah kerucut dengan ukuran jari-jari dantingginya sama dengan ukuran jari-jari bola pada Gambar2.18(b). r r P r Gambar 2.18 a b Jika kerucut pada Gambar 2.18(a) diisi air sampaipenuh, kemudian seluruh air dalam kerucut itu dituangkan Catatanke dalam bola pada Gambar 2.18(b) maka akan didapatbahwa volume bola sama dengan empat kali volume kerucut. Pembuktian dari rumus 4 3Peragaan tersebut menggambarkan bahwa V= 3 r tidak diberikan 1 2 di buku ini. Pembuktianvolume bola = 4 volume kerucut = 4 r t. rumus tersebut akan 3 kamu pelajari di tingkat Ukuran tinggi kerucut sama dengan ukuran jari-jari pendidikan yang lebih tinggi.bola sehingga t = r. 1 4Dengan demikian, volume bola = 4 r2 r = r3. 3 3Jadi, rumus volume bola adalah V = 4 r3 3 Bangun Ruang Sisi Lengkung 49
    • Siapa Dalam hal ini, V = volume bolaBerani? r = jari-jari bola 1. Sebuah wadah = 3,14 atau = 22 berbentuk kerucut 7 diisi es krim, seperti Contoh 2.7 gambar berikut. 5 cm 1. Diketahui jari-jari sebuah bola adalah 21 cm. Jika = 22 , tentukanlah volume bola itu. 7 13 cm Penyelesaian: 4 3 4 22 4 22 Es krim bagian atas V= r = 213 = 9.261 = 38.808 3 3 7 3 7 membentuk setengah bola. Jika semua Jadi, volume bola itu adalah 38.808 cm3. ruang wadah itu terisi 1 22 es krim, berapa mL es 2. Volume sebuah bola adalah 1.437 cm3. Jika = , tentu- 3 7 krim yang ditampung kanlah panjang jari-jarinya. wadah itu? Petunjuk:1 cm3 = 1 mL Penyelesaian: 2. Gambar berikut 1 memperlihatkan Diketahui V = 1.437 dan = 22 . 3 7 sebuah bandul yang 4 3 1 4 22 dibentuk dari sebuah V= r 1.437 = r3 kerucut dan setengah 3 3 3 7 bola. 1 1.437 = 88 r3 3 21 s r3 = 343 t r3 = 73 r = 7 Jadi, panjang jari-jari bola itu adalah 7 cm. Diketahui jari-jari 3. Sebuah bola besi berjari-jari 3 cm, dimasukkan ke dalam kerucut panjangnya tabung berisi air sehingga permukaan air dalam tabung naik. 3,5 cm. Jika volume Jika jari-jari alas tabung 10 cm, berapa sentimeter kenaikan kerucut sama dengan air dalam tabung tersebut? 1 1 kali volume 5 Penyelesaian: setengah bola, tentukan: Amati Gambar 2.19. Misalkan, jari-jari bola r1 = 3 cm dan a. tinggi kerucut; b. volume bandul. jari-jari tabung r2 = 10 cm maka volume bola = 4 r13. 3 Bentuk air yang naik mengikuti bentuk tabung sehingga volume air yang naik = r22t. Volume air yang naik = volume bola 4 3 4 3 r22t = r r22t = r 3 1 3 1 4 t 102t = (3)3 3 t = 36 = 0,36 Gambar 2.19 100 Jadi, tinggi air yang naik adalah 0,36 cm.50 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Tes Kompetensi 2.2Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.1. Sebuah tabung diketahui mempunyai volume 7.850 cm3 sehingga diameter panjang diameter 20 cm dan tinggi 50 cm. kerucut sama dengan diameter tabung. Jika = 3,14, hitunglah volumenya. Jika = 3,14 dan diameter tabung 10 cm,2. Volume sebuah bola 113,04 liter. Hitunglah hitunglah: panjang diameternya jika = 3,14. a. volume kerucut dan3. Amati gambar berikut. b. panjang garis pelukis kerucut. 9. Selembar seng berbentuk juring lingkaran, 25 cm seperti gambar berikut. P Jika diameter alas kerucut adalah 30 cm 22 150° dan = , tentukan volume kerucut 7 tersebut. 10 cm4. Volume sebuah tabung 88.704 cm3. Jika tingginya 36 cm, hitunglah: Lembaran seng tersebut akan dibuat a. panjang jari-jari tabung dan kerucut tanpa alas. b. luas selimutnya. a. Hitunglah panjang jari-jari dan tinggi5. Diameter bola sama dengan diameter kerucut. tabung, yaitu 7 cm. Jika tinggi tabung b. Jika kerucut tanpa alas itu diisi air 7 cm, hitunglah perbandingan volume sampai penuh, berapa mL air yang bola dan tabung itu. dapat ditampung?6. Sebuah drum berbentuk tabung, di- 10. Untuk soal ini, gunakan = 3,14. ketahui volumenya 3.388 liter dan 7 cm diameternya 14 dm. 10 cm h cm dipotong 8 dm a b Diketahui sebuah mangkuk berbentuk setengah bola dengan jari-jari 10 cm Jika drum itu dipotong 8 dm (seperti seperti pada gambar (a). gambar di atas), berapa literkah volume a. Hitunglah volume mangkuk tersebut. drum setelah dipotong? b. Jika tabung pada gambar (b) mem-7. Sebanyak 165 liter oli dituangkan ke punyai volume yang sama dengan dalam tangki berbentuk tabung ber- mangkuk, hitunglah nilai h. diameter 60 cm. Berapa cm kedalaman 11. Dari hasil yang kamu peroleh pada soal oli dalam tabung? nomor 10, tentukan ukuran jari-jari8. Sebuah kerucut dimasukkan tepat ke dan tinggi tabung yang membuat luas dalam sebuah tabung yang mempunyai permukaan tabung paling kecil. Bangun Ruang Sisi Lengkung 51
    • 12. Amati gambar berikut dengan saksama. b. volume air dalam pipa (dalam satuan300 mL 300 mL 300 mL liter). 14. Sebuah bola besi dimasukkan ke dalam200 mL 200 mL 200 mL bejana berbentuk tabung yang berisi air.100 mL 100 mL 100 mL Diketahui jari-jari bola dan jari-jari alas kubus bola besi bejana sama panjang, yaitu 4 cm, tinggi bejana 10 cm, dan = 3,14. Tentukan volume kubus dan bola besi. Kemudian, tentukan jari-jari bola dan rusuk kubus.13. Sebuah pipa dengan diameter 84 cm dan panjang 2,4 m dapat menampung air hujan dengan tinggi air 68 cm seperti terlihat pada gambar. 1 Jika volume air semula adalah volume 2,4 m 3 68 cm bejana, berapakah volume air setelah bola dimasukkan ke dalam bejana?84 cm 15. Diketahui volume tabung adalah 3.600 cm3. Tentukan panjang jari-jari dan tinggi Hitunglah: tabung yang mungkin. a. luas seluruh permukaan pipa yang berisi air; dan RingkasanBerikut ini contoh rangkuman dari sebagian materi pada bab ini.1. Tabung 3. Bola Luas permukaan: Luas permukaan: L = 2 r (t + r) L = 4 r2 r t Volume: Volume: r V = r2t 4 3 V= r 32. Kerucut Luas permukaan: s L = r (s + r) t Volume: r 1 2 P V= rt 3Coba kamu buat rangkuman dari materi yang telah kamu pelajari pada bab ini dengan kata-katamu sendiri. Tuliskan rangkuman tersebut pada buku latihanmu.52 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Refleksi1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 sampai dengan 8 orang atau disesuaikan dengan kondisi kelasmu.2. Setiap anggota kelompok menceritakan tentang materi-materi yang sudah dan yang belum dipahami pada bab ini.3. Tuliskan hasilnya, kemudian presentasikan di depan kelas bergantian dengan kelompok lain. Tes Kompetensi Bab 2Kerjakanlah pada buku tugasmu.Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.1. Di antara bangun ruang berikut, yang c. tabung memiliki dua sisi, dan satu titik sudut d. limas adalah .... 5. Sebuah tabung terbuka terbuat dari a. kerucut seng dengan jari-jari alasnya 14 cm, b. tabung tinggi 20 cm. Jika = 22 , luas seng c. bola 7 d. prisma tegak yang diperlukan untuk membuat2. Bangun ruang yang mempunyai sisi tabung itu adalah .... lebih dari empat adalah .... a. 1.232 cm2 a. bola b. 1.496 cm2 b. tabung c. 1.760 cm2 c. kerucut d. 2.992 cm2 d. limas segi empat Ebtanas 19973. Bangun ruang berikut yang tidak 6. Sebuah tangki berbentuk tabung ter- mempunyai sisi lengkung adalah .... tutup mempunyai volume 2.156 cm3. a. kerucut Jika panjang tangki 14 cm dan = 22 7 b. tabung maka luas permukaan tangki tersebut c. bola adalah .... d. prisma tegak a. 4.312 cm24. Bangun ruang berikut yang tidak b. 924 cm2 mempunyai titik sudut adalah .... c. 3.696 cm2 a. kerucut d. 776 cm2 b. kubus Ebtanas 2000 Bangun Ruang Sisi Lengkung 53
    • 7. Pak guru akan membuat satu model a. 21,195 cm2 kerucut dari karton. Jika panjang garis b. 25,905 cm2 pelukisnya 12 cm, jari-jarinya 6 cm, c. 31,793 cm2 dan = 3,14, sedangkan karton yang d. 32,970 cm2 tersedia 400 cm2, sisa karton yang Ebtanas 1999 tidak terpakai adalah .... 11. Gambar berikut memperlihatkan se- a. 63,50 cm2 potong pipa berbentuk tabung ber- b. 339,12 cm2 lubang. c. 400 cm2 2 cm 2 cm d. 60,88 cm2 8. Luas permukaan bola yang berdiameter 21 cm dengan = 22 adalah .... 14 cm 7 a. 264 cm2 b. 462 cm2 c. 1.386 cm2 d. 4.814 cm2 Jika = 22 , volume pipa tersebut Ebtanas 2001 adalah .... 7 9. Sebuah pabrik akan memproduksi 250 a. 268 cm3 buah bola pingpong. Bola pingpong b. 294 cm3 tersebut berdiameter 4 cm ( = 3,14) c. 352 cm3 dan memerlukan biaya produksi se- d. 528 cm3 besar Rp18.840.000,00, harga bahan 12. Sebuah kerucut memiliki tinggi 30 bola pingpong tersebut per cm2-nya cm dan keliling alasnya 66 cm. Jika adalah .... a. Rp1.000,00 diketahui = 22 , volume kerucut 7 b. Rp1.500,00 tersebut adalah .... c. Rp2.000,00 a. 13.860 cm3 d. Rp2.500,00 b. 10.395 cm310. Gambar berikut menunjukkan sebuah c. 6.930 cm3 bandul padat yang terdiri atas belahan d. 3.465 cm3 bola dan kerucut. Ebtanas 2001 13. Sebuah corong berbentuk kerucut yang penuh berisi pasir diameternya 2 cm 6 m dan tingginya 3 m. Jika pasir 1,5 cm tersebut dipindahkan ke dalam se- buah wadah berbentuk kubus dan pasir yang tersisa 1.260 liter, panjang Alas kerucut berimpit dengan belahan rusuk kubus adalah .... bola. Jika = 3,14, luas permukaan bandul adalah ....54 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • a. 5 m a. 5 cm b. 3 m b. 10 cm c. 2 m c. 15 cm d. 7 m d. 20 cm14. Sebuah bola besi dimasukkan ke 18. Sebuah tabung yang mempunyai dalam air. Jika volume air 1.000 cm3 volume 9.240 cm3 penuh berisi air. Ke serta panjang jari-jari bola 5 cm, dalam tabung tersebut dimasukkan volume air sekarang adalah .... kerucut pejal. a. 476,67 cm3 b. 1.000 cm3 c. 1.523,33 cm3 d. 523,33 cm315. Sebuah kerucut berada di dalam setengah bola, seperti tampak pada gambar. Jika jari-jari dan tinggi kerucut sama dengan panjang jari-jari dan tinggi tabung maka sisa air dalam tabung adalah .... a. 2.310 cm3 Jika volume kerucut tersebut 4 liter, b. 3.080 cm3 sisa volume setengah bola (pada c. 4.620 cm3 gambar yang ditunjukkan oleh daerah d. 6.160 cm3 yang diarsir) adalah .... a. 2 liter 19. Amati gambar berikut. b. 3 liter 7m c. 4 liter d. 5 liter16. Sebatang pipa berbentuk tabung 14 m dengan panjang 14 m. Jika keliling 1 22 alasnya 25 m dan π = , volume 7 7 7m pipa tersebut adalah .... a. 0,0704 m3 b. 0,704 m3 Gambar tersebut memperlihatkan c. 0,1408 m3 sebuah tugu berbentuk tabung dan d. 1,408 m3 setengah bola yang akan dicat. Jika17. Jika luas permukaan sebuah bola 78 setiap m2 memerlukan cat sebanyak 1 22 4 22 kg dan π = maka banyak cat cm2 dan π = , panjang diameter 4 7 7 7 yang diperlukan adalah .... bola tersebut adalah .... Bangun Ruang Sisi Lengkung 55
    • a. 154 kg Jika π = 3,14 maka volume benda b. 231 kg pejal tersebut adalah .... c. 462 kg a. 37,68 cm3 d. 539 kg b. 50,24 cm320. Sebuah benda berbentuk kerucut pejal c. 113,04 cm3 keliling alasnya 18,84 cm, panjang d. 150,72 cm3 garis pelukisnya 5 cm. 5 cm t P r56 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Bab 3 Sumber: www.suarapembaruan.comStatistika Pada bab ini, kamu akan diajak untuk melakukan pengolahan dan penyajian data dengan cara menentukan rata-rata, median, dan modus data tunggal serta penafsirannya, serta menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, dan lingkaran.Kamu telah mempelajari cara menyajikan data dengan diagram A. Pengumpulan danbatang, garis, dan lingkaran di Sekolah Dasar. Pada bab ini, Penyajian Datakamu akan mempelajari statistika, yaitu pengembangan dari B. Ukuranmateri tersebut. Konsep statistika banyak digunakan dalam Pemusatan Datakehidupan sehari-hari, seperti uraian berikut. C. Ukuran Tabel berikut adalah gambaran pendidikan di Kabupaten Penyebaran DataTabalong tahun 2005. D. Distribusi Frekuensi Jumlah Jumlah JumlahNo. Jenjang Sekolah Siswa Guru (buah) (orang) (orang) 1. TK 129 3.870 317 2. SD/SDLB 229 25.747 2.098 3. SMP/SMPLB 37 4.693 462 4. SMP Terbuka 7 432 68 5. SMA/SMALB 10 2.275 194 6. SMK 4 1.862 76 Sumber: www.disdik.tabalong.go.id Berdasarkan tabel, dapatkah kamu mencari mean darijumlah guru dan siswa di tiap jenjang? Jika kamu menguasaikonsep statistika, kamu akan dapat mengatasi kesulitan ini.Oleh karena itu, pelajarilah bab ini dengan baik. 57
    • Diagram Alur Statistika berhubungan dengan Pengukuran Data Pengolahan Data di antaranya di antaranya Ukuran Ukuran Pengumpulan Pemeriksaan Penyajian Penyebaran Data Pemusatan Data Data Data Data dalam bentuk terdiri atas terdiri atas diambil dari • Jangkauan • Mean • Populasi • Kuartil • Median • Sampel • Jangkauan • Modus Interkuartil Diagram Tabel • Simpangan Kuartil terdiri atas • Batang • Garis • Piktogram • Lingkaran Tes Apersepsi AwalSebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di bukulatihanmu.1. Urutkan data berikut dari yang 3. Hitunglah nilai x pada terkecil. diagram lingkaran 98° a. 21, 6, 17, 9, 15 di samping. 100° b. –9, –12, 2, –5, 1 x°2. Hitunglah: 70° a. 7 360° 11 3 4. Pada pemilihan ketua kelas, Firdaus b. 360° 18 memperoleh 21% suara, Agus 47% suara, dan Dadi 30% suara. Hitung berapa persen suara yang tidak memilih.58 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • A. Pengumpulan dan Penyajian Data1. Pengertian Datum dan DataSeorang guru ingin mengetahui berat badan dan tingkatkesehatan lima siswanya. Hasil pengukuran berat badankelima siswa tersebut berturut-turut 42 kg, 45 kg, 40 kg,50 kg, dan 44 kg. Adapun hasil pemeriksaan kesehatanterhadap kelima siswa tersebut berturut-turut baik, buruk,baik, baik, dan buruk. Hasil pengukuran berat badan kelima siswa tersebut,yaitu 42 kg, 45 kg, 40 kg, 50 kg, dan 44 kg disebut fakta Gambar 3.1dalam bentuk angka, sedangkan hasil pemeriksaan kesehatan, Hasil pengukuran berat badan merupakan contohyaitu baik dan buruk disebut fakta dalam bentuk kategori. data dalam bentuk angka.Fakta dalam bentuk kategori yang lain, misalnya kurang,sedang, rusak, dan puas. Selanjutnya, fakta tunggal disebutdatum, sedangkan kumpulan datum disebut data.Contoh 3.1Hasil ulangan Matematika 10 siswa Kelas IX A SMP Budikaryaadalah sebagai berikut. 7 9 6 8 5 8 7 9 5 10 datum datum datum datum datum dataData tersebut terdiri atas 10 datum. Datum terbesar adalah 10,sedangkan datum terkecil adalah 5.2. Pengertian Statistika, Populasi, dan SampelSelama tiga minggu, seorang pedagang pakaian jadi mencatatjumlah pakaian yang terjual. Berdasarkan data tersebutdiketahui bahwa penjualan pada minggu pertama sebanyak100 kodi, minggu kedua sebanyak 105 kodi, dan mingguketiga sebanyak 110 kodi. Pedagang tersebut memperkirakanpenjualan pada minggu keempat sebanyak 115 kodi. Pedagang itu sebenarnya telah menggunakan statistikauntuk menilai hasil pekerjaan di masa yang telah lewat dan Gambar 3.2membuat perkiraan hasil pekerjaan pada masa yang akandatang. Statistika 59
    • Apakah yang dimaksud dengan statistika? Statistika adalah ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan cara- cara pengumpulan data, pengolahan data, dan penarikan kesimpulan berdasarkan data tersebut. Kadang-kadang, kesimpulan diambil tidak berdasarkan keseluruhan data, tetapi hanya sebagian. Misalkan, Pak Alan akan membeli 25 kg anggur. Sebelum membeli, ia cukup mengambil beberapa anggur secara acak dari setiap keranjang untuk dicicipi rasanya. Jika rasanya manis, Pak Alan akan menganggap bahwa anggur yang akan dibeli manis, kemudian segera membelinya. Anggur yang diambil Sumber: Dokumentasi Penerbit Gambar 3.3 Pak Alan untuk dicicipi merupakan sampel dari seluruhAnggur yang dibeli merupa- anggur yang ada dalam keranjang-keranjang itu, sedangkan kan sampel dari seluruh seluruh anggur yang ada dalam keranjang-keranjang itu anggur yang ada di toko buah-buahan tersebut. merupakan populasi. Uraian tersebut menggambarkan pengertian populasi dan sampel, yaitu sebagai berikut. Populasi adalah semua objek yang menjadi sasaran pengamatan. untuk dijadikan objek pengamatan langsung dan dijadikan dasar dalam penarikan kesimpulan mengenai populasi. Contoh 3.2 populasi Tentukan populasi dan sampel dari uraian berikut. Seorang peneliti ingin mengetahui tingkat kecerdasan siswa-siswa sampel SMP di suatu provinsi. Untuk itu, ia mengambil beberapa siswa SMP di provinsi itu untuk dites. Penyelesaian: Seluruh siswa yang ada di provinsi itu merupakan populasi, sedangkan sebagian siswa SMP yang mengikuti tes merupakan sampel dari seluruh siswa yang ada di provinsi itu. Hubungan antara populasi dan sampel dapat kamu lihat pada Gambar 3.4. Semakin besar ukuran populasi, sampel sampel semakin sulit mengamati seluruh populasi. Jika hal itu terjadi, biasanya dipilih pengamatan pada beberapa sampel Gambar 3.4 dalam populasi.60 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • 3. Jenis Data dan Pengumpulan Data InfoMatikaMenurut sifatnya, data dibagi menjadi dua golongan, yaitusebagai berikut.a. Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau bilangan. Data kuantitatif terbagi atas dua bagian, yaitu data cacahan dan data ukuran. 1) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh dengan cara menghitung. Misalnya, data jumlah anak dalam keluarga. 2) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur. Misalnya, data tinggi badan siswa. Coba kamu cari lagi contoh data kontinu lainnya. Gregor Mendelb. Data kualitatif adalah data yang tidak berbentuk angka (1822–1884) atau bilangan. Misalnya, data warna dan mutu barang. Gregor Mendel adalah seorang ahli botani Dapatkah kamu memberikan contohnya? dari Austria. Mendel Cara untuk mengumpulkan data, antara lain wawancara, merumuskan dasar- dasar hukum mengenaipengisian lembar pertanyaan (questionnaire), pengamatan sifat-sifat keturunan.(observation), dan mengolah atau menggunakan data yang Percobaannya dalam perkawinan silangsudah ada. tumbuhan memberikan Seringkali data yang dikumpulkan berupa bilangan pengaruh terhadap perkembangan ilmudesimal. Sesuai ketelitian yang dikehendaki, bilangan genetika. Ternyata,tersebut dapat dibulatkan. Aturan pembulatannya sebagai Mendel menggunakan statistika untukberikut. mengetahui sifat-sifata. Jika angka yang mengalami pembulatan lebih dari atau kacang polong yang diturunkan dari satu sama dengan 5, angka yang di depannya ditambah satu. generasi ke generasib. Jika angka yang mengalami pembulatan kurang dari 5, lainnya. angka tersebut dihilangkan. Sumber: media.isnet.org Misalnya, diketahui hasil pengukuran kadar garam airlaut sebesar 0,36205. Angka tersebut jika dibulatkan sampaidengan empat angka di belakang koma menjadi 0,3621,sedangkan jika dibulatkan sampai dengan dua angka dibelakang koma menjadi 0,36.4. Pemeriksaan DataMisalkan, seorang guru mencatat hasil ulangan Matematikaseluruh siswanya. Sebelum mencari nilai rata-ratanya, ia perlumemeriksa untuk memastikan data yang diperolehnya tidaksalah catat. Ia juga perlu memeriksa apakah ada nilai-nilaiyang harus dibulatkan atau tidak. Kesalahan pencatatan Statistika 61
    • Tugas dan pembulatan data ini akan menyebabkan nilai rata-rata untukmu ulangan Matematika di kelas tersebut tidak sesuai dengan Berikut ini adalah data data yang sebenarnya. jumlah sekolah untuk berbagai jenjang di 5. Penyajian Data Statistik provinsi Kalimantan Timur, Jawa Barat, dan Ada dua cara penyajian data yang sering dilakukan, yaitu: Maluku pada tahun 2000. a. daftar atau tabel; a. Kaltim: SD (2.047), SMP (333), SMA b. grafik atau diagram. (145), SMK (64) b. Jawa Barat: SD a. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel (25.445), SMP (2.602), SMA (984), Misalkan, hasil ulangan Matematika 30 siswa Kelas IX A SMK (424) SMP X disajikan dalam tabel berikut. c. Maluku: SD (2.679), SMP (451), SMA Tabel 3.1 Nilai Ulangan Matematika Siswa Kelas IX A SMP X (156), SMK (26). (Tidak Alfabetis) Buatlah diagram batang 3 komponen dari data tersebut. Nama Nilai Nama Nilai Nama Nilai Sumber: Statistik Indonesia, Vonny 8 Dodi 10 Tedi 7 2000 Popi 6 Uken 7 Yeni 8 Budhi 3 Iwan 5 Olga 5 Gilang 5 Cucu 4 Fera 5 Susi 7 Dani 4 Hedi 5 Lela 6 Adang 8 Wida 8 Qori 7 Bian 9 Mia 6 Andi 2 Cici 9 Kiki 6 Eko 6 Janu 5 Rudi 7 Zaid 8 Nani 6 Made 8 Untuk mengetahui berapa nilai ulangan yang diperoleh Made, kamu harus membaca data tersebut satu per satu. Untuk data pada Tabel 3.1 (30 datum), kamu masih dapat mencarinya dengan mudah walaupun memerlukan waktu yang cukup lama. Akan tetapi, bagaimana jika data yang ada terdiri atas 1.000 datum? Jika data pada Tabel 3.1 disajikan sesuai nama siswa yang disusun secara alfabet maka akan tampak seperti Tabel 3.2. Tabel 3.2 Nilai Ulangan Matematika Siswa Kelas IX A SMP X (Alfabetis) No Nama Nilai No Nama Nilai 1. Adang 8 7. Dani 4 2. Andi 2 8. Dodi 10 3. Bian 9 9. Eko 6 4. Budhi 3 10. Fera 5 5. Cici 9 11. Gilang 5 6. Cucu 4 12. Hedi 562 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • 13. Iwan 5 22. Qori 7 14. Janu 5 23. Rudi 7 15. Kiki 6 24. Susi 7 16. Lela 6 25. Tedi 7 17. Made 8 26. Uken 7 18. Mia 6 27. Vony 8 19. Nani 6 28. Wida 8 20. Olga 5 29. Yeni 8 21. Popi 6 30. Zaid 8 Dengan melihat Tabel 3.2, kamu dapat menentukan Tabel 3.3 Tabel Frekuensidengan mudah nilai ulangan Matematika yang diperoleh Nilai FrekuensiMade, yaitu 8. 2 1 3 1 Jika ingin mengetahui berapa orang yang memperoleh 4 2nilai 8, kamu harus menyajikan data tersebut dengan 5 6 6 6mencatat banyak nilai tertentu (frekuensi) yang muncul, 7 5seperti diperlihatkan pada Tabel 3.3. Dengan demikian, 8 6kamu dapat menentukan banyak siswa yang mendapat nilai 9 2 10 18 dengan sekali pandang, yaitu 6 orang. Jumlah 30 Ketiga cara penyajian data pada Tabel 3.1, Tabel 3.2, danTabel 3.3 dinamakan penyajian data sederhana. Jika data hasil ulangan Matematika itu disajikan dengancara mengelompokkan data nilai siswa, diperoleh tabel Tabel 3.4 Tabel Distribusi Frekuensifrekuensi data berkelompok seperti Tabel 3.4. Tabel seperti Nilai Turus/Tally Frekuensiini dinamakan tabel distribusi frekuensi. 1–2 | 1 3–4 ||| 3b. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram 5–6 |||| |||| || 12 7–8 |||| |||| | 11Di Sekolah Dasar, kamu telah mengenal diagram batang, 9 – 10 ||| 3garis, dan lingkaran. Pada bagian ini, materi penyajian data Jumlah 30dengan diagram-diagram tersebut akan diulas kembali.Selain itu, akan dikenalkan cara penyajian data denganpiktogram. Banyak1) Diagram Batang SiswaDiagram batang merupakan salah satu bentuk diagram yang 2.500dapat digunakan untuk menyajikan data. Untuk meng- 2.250gambar diagram batang, diperlukan sumbu mendatar dan 2.000sumbu tegak yang berpotongan tegak lurus, seperti tampak 1.750 1.500pada Gambar 3.5. 1.250a. Sumbu mendatar digunakan untuk menunjukkan jenis 1.000 kategori, misalnya SD, SMP, SMA, dan SMK. Tingkatb. Sumbu tegak digunakan untuk menunjukkan frekuensi, SD SMP SMA SMK Sekolah misalnya banyak siswa. Gambar 3.5 Statistika 63
    • Sumbu mendatar dibagi menjadi beberapa bagian untuk menunjukkan kategori tingkat sekolah. Demikian Tabel 3.5 Tabel Banyak Siswa pula sumbu tegaknya dibagi menjadi beberapa bagian untuk Tingkat Banyaknya Siswa menunjukkan banyak siswa pada setiap kategori tingkat Sekolah (Frekuensi) sekolah. Skala pada sumbu mendatar dan sumbu tegak tidak SD 2.550 perlu sama. SMP 2.250 Misalnya, diagram batang pada Gambar 3.5 menunjuk- SMA 1.500 kan data banyak siswa tingkat SD, SMP, SMA, dan SMK di SMK 1.350 suatu daerah. Dari diagram batang tersebut dapat diperoleh Jumlah 7.650 data seperti pada Tabel 3.5. Contoh 3.3 Berdasarkan dari hasil pengamatan banyak siswa sesuai tingkatan sekolah di suatu daerah, diperoleh data seperti pada Tabel 3.6. Gambarlah diagram batang dari data tersebut. Tabel 3.6 Tabel Banyak Siswa Banyak Siswa Tingkat Sekolah Jumlah Laki-Laki Perempuan SD 1.700 1.300 3.000 SMP 1.700 1.050 2.750 SMA 750 650 1.400 SMK 825 700 1.525 Jumlah 4.975 3.700 8.675 Penyelesaian: Diagram batang dari data pada Tabel 3.6 tersebut tampak pada Gambar 3.4. Karena setiap kategori tingkat sekolah dibagi Banyak menjadi dua komponen, yaitu laki-laki dan perempuan maka Siswa diagram ini dinamakan diagram batang dua komponen. 1.700 1.700 Laki-laki1.500 Perempuan 2) Diagram Garis 1.300 Diagram garis biasanya digunakan untuk menggambarkan 1.050 keadaan yang berkesinambungan. Misalnya, jumlah penduduk1.000 825 tiap tahun, perkembangan berat badan bayi tiap bulan, suhu 750 700 badan pasien tiap jam di rumah sakit, dan curah hujan di 650 500 suatu daerah. Seperti halnya diagram batang, diagram garis pun memerlukan sistem sumbu datar dan sumbu tegak yang Tingkat saling berpotongan tegak lurus. Pada umumnya, sumbu datar SD SMP SMA SMK Sekolah menunjukkan waktu, sedangkan sumbu tegak menunjukkan Gambar 3.6 data yang berubah menurut waktu. 64 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Langkah-langkah untuk menggambar diagram garis 800adalah sebagai berikut. 600a. Buatlah sumbu mendatar untuk menunjukkan waktu 400 dan sumbu tegak untuk menunjukkan data yang 200 berubah menurut waktu pada kertas grafik. Januari Maret Mei Julib. Gambarkan titik-titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan pada waktu tertentu. Curah Hujan (mm)c. Hubungkan titik-titik tadi secara berurutan dengan ruas garis. Sumber: Ensiklopedi Matematika & Peradaban Manusia, 2002Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh berikut. Gambar 3.7Contoh 3.4 Contoh diagram garis dari curah hujan di Kota Bandung pada tahun 1996.Berikut ini adalah tabel berat badan seorang bayi yang dipantausejak lahir sampai berusia 9 bulan. Berat (kg)Tabel 3.7 Tabel Berat Badan Seorang Bayi 10 Usia (Bulan) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9Berat Badan (kg) 3,5 4 5,2 6,4 6,8 7,5 7,5 8 8,8 8,6 8 7a. Buatlah diagram garisnya. 6 5b. Pada usia berapa bulan berat badannya menurun? 4c. Pada usia berapa bulan berat badannya tetap? 3 2Penyelesaian: 1a. Dengan melakukan langkah-langkah yang telah dijelaskan Usia 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sebelumnya, diagram garis dari data pada Tabel 3.7 tampak (bulan) seperti pada gambar di samping.b. Berdasarkan diagram tersebut, dapat dilihat bahwa berat Uji Kecerdikan badan bayi menurun pada usia 8 sampai dengan 9 bulan.c. Berat badan bayi yang tetap (tidak berubah) ditunjukkan Kegiatan ekstrakurikuler oleh ruas garis mendatar. Terlihat bahwa berat badan bayi yang diikuti oleh sebagian siswa Kelas IX A SMP tetap pada usia 5 sampai dengan 6 bulan. Pelita adalah sebagai berikut. 15 orang mengikuti3) Piktogram dan Diagram Lingkaran Paskibra, 10 orang mengikuti Pramuka,Salah satu cara yang sederhana dan jelas untuk menyajikan 20 orang mengikuti Olahraga, dan 5 orangsuatu data adalah dengan menggunakan piktogram, yaitu tidak mengikuti kegiatansuatu bagan yang menampilkan data dengan menggunakan ekstrakurikuler. a. Gambarlah diagramgambar-gambar. Jika di suatu daerah tercatat data banyak lingkaran dari datasiswa SD maka banyak siswa SD tersebut dapat ditampilkan tersebut. b. Bagaimanadalam bentuk gambar orang. Misalnya, satu gambar orang sikapmu terhadapmelambangkan 1.000 siswa SD. Jika di daerah itu terdapat siswa yang tidak mengikuti kegiatan500 siswa SD, data tersebut ditampilkan sebagai setengah ekstrakurikuler?gambar orang. Bagaimana jika terdapat 2.500 siswa SD?Coba kamu perkirakan piktogramnya. Statistika 65
    • Contoh 3.5 Banyak siswa di Kecamatan Sukajaya menurut tingkat sekolah pada tahun 2006 adalah sebagai berikut. SD sebanyak 10.000 siswa, SMP sebanyak 7.500 siswa, SMA sebanyak 5.000 siswa, dan SMK sebanyak 2.500 siswa. Gambarlah piktogram dari data tersebut. Penyelesaian: Misalkan, satu gambar orang mewakili 1.000 orang maka piktogram dari data tersebut tampak pada Gambar 3.8. SMK Gambar 3.8 SD SMP SMA Salah satu kekurangan menyajikan data dengan Pangsa Pasar Semen Domestik (%) piktogram adalah sulitnya membedakan setengah gambar Holcim dengan dua pertiga gambar. Oleh karena itu, penggunaan Indonesia 12,7 lain-lain piktogram sangat terbatas. 10,3 Dalam hal seperti ini, penggunaan diagram lingkaran akan lebih jelas daripada piktogram, terutama dalam mem- bandingan suatu data terhadap keseluruhan. Contoh diagram lingkaran diperlihatkan pada Gambar 3.9.PT. Indocement TP PT. Semen Gresik 30,5 46,5 Langkah-langkah membuat diagram lingkaran adalah Sumber: Koran Tempo, Maret 2007 sebagai berikut. Gambar 3.9 a. Buatlah sebuah lingkaran pada kertas. Contoh diagram lingkaran b. Bagilah lingkaran tersebut menjadi beberapa juring lingkaran untuk menggambarkan kategori yang datanya telah diubah ke dalam derajat. Tugas Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh berikut. untukmu Contoh 3.6 Buatlah kelompok yang terdiri atas lima siswa. Carilah informasi tentang Gambarlah diagram lingkaran dari data yang terdapat pada cara menggunakan Contoh 3.5. program Microsoft Excel untuk menyajikan data ke Penyelesaian: dalam diagram batang, Perbandingan banyak siswa SD, SMP, SMA, dan SMK adalah garis, dan lingkaran. Tuliskan informasi yang 10.000 : 7.500 : 5.000 : 2.500 = 4 : 3 : 2 : 1. diperoleh kelompokmu Jumlah perbandingan = 4 + 3 + 2 + 1 = 10. dalam bentuk laporan. Ukuran sudut pusat juring dari setiap kategori adalah sebagai Presentasikan hasilnya di depan kelas. berikut. 66 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • 4 2SD = 360° = 144° SMA = 360° = 72° 10 10 SD 40% 3 1 SMKSMP = 360° = 108° SMK = 360° = 36° 144° 10 10 10% 36°Jika kamu ingin mengetahui persentase dari setiap kategori, 72° 108°caranya sebagai berikut. SMA SMP 20% 4 2 30%SD = 100% = 40% SMA = 100% = 20% 10 10 3 1SMP = 100% = 30% SMK = 100% = 10% Gambar 3.10 10 10Dengan menggunakan ukuran sudut pusat yang diperoleh,diagram lingkaran yang dihasilkan tampak pada Gambar 3.10. Tes Kompetensi 3.1Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.1. Seseorang ingin mengetahui kadar garam 5. Hasil penjualan buku pelajaran di sebuah dalam sebuah kolam ikan. Tentukan toko buku menurut tingkat sekolah pada populasi dan sampel yang mungkin. tahun 2006 adalah sebagai berikut.2. Jelaskan cara-cara pengumpulan data dan Buku SD = 70.000 eksemplar. berikan contohnya. Buku SMP = 76.500 eksemplar.3. Jelaskan keuntungan dan kerugiannya Buku SMA = 72.500 eksemplar. jika seseorang melakukan penelitian atau Buku Perguruan Tinggi = 56.000 pengukuran terhadap suatu objek dengan eksemplar. cara mengambil a. Buatlah tabel frekuensi dari data a. populasi; tersebut. b. sampel. b. Buatlah diagram batangnya.4. Banyaknya siswa di suatu SMP dari 6. Misalnya, suatu data mengenai banyaknya tahun 1997 sampai dengan tahun 2006 siswa di daerah D menurut tingkat sekolah adalah sebagai berikut. berdasarkan hasil penelitian tahun 2006 Tahun 1997 sebanyak 650 orang. adalah sebagai berikut. Tahun 1998 sebanyak 640 orang. 35% terdiri atas siswa SD. Tahun 1999 sebanyak 660 orang. 30% terdiri atas siswa SMP. Tahun 2000 sebanyak 670 orang. 25% terdiri atas siswa SMA. Tahun 2001 sebanyak 685 orang. 10% terdiri atas siswa SMK. Tahun 2002 sebanyak 680 orang. a. Buatlah diagram lingkaran dari data Tahun 2003 sebanyak 700 orang. tersebut. Tahun 2004 sebanyak 715 orang. b. Jika jumlah siswa SD sebanyak 600 Tahun 2005 sebanyak 730 orang. orang, hitunglah jumlah siswa: Tahun 2006 sebanyak 730 orang. (i) SMP; a. Buatlah tabel frekuensi dari data (ii) SMA; tersebut. (iii) SMK. b. Buatlah diagram garisnya. Statistika 67
    • 7. Suatu data mengenai jumlah penduduk Diagram tersebut memperlihatkan jumlah di suatu daerah menurut mata penca- produksi gas dan minyak bumi dalam hariannya, yaitu petani 45%, guru 20%, ribuan m3 pada tahun 2002 sampai dengan pedagang 25%, dan wiraswastawan 10%. tahun 2006. a. Buatlah diagram lingkarannya. Berdasarkan diagram tersebut, jawablah b. Jika jumlah penduduk di daerah pertanyaan berikut. tersebut sebanyak 200 orang, hitung- a. Berapa m3 produksi gas yang paling lah banyaknya penduduk berdasarkan banyak? Tahun berapa? mata pencahariannya masing-masing. b. Kapan produksi gas dan minyak 8. Berikut ini diagram garis penjualan telur bumi mengalami penurunan? Kira- seorang pedagang di pasar induk pada kira berapa persen penurunannya? bulan Januari 2006–Juni 2006. c. Kapan produksi minyak bumi meng- Jumlah Telur Terjual (kg) alami kenaikan paling besar? Kira-2.500 kira berapa persen kenaikannya?2.000 d. Dapatkah kamu memperkirakan1.500 berapa m3 produksi gas dan minyak1.000 bumi pada tahun 2007?500 10. Banyaknya kendaraan bermotor rakitan (Bulan) 2006 (dalam unit) dari tahun 1995 sampai Jan Feb Mar Apr Mei Jun dengan tahun 1998 tercatat sebagai a. Pada bulan apakah penjualan telur berikut. paling banyak? Tahun Jenis b. Pada bulan apakah penjualan telur Kendaraan 1995 1996 1997 1998 pedagang itu mengalami penurunan? jeep 6.079 5.598 4.081 1.257 c. Pada bulan apakah penjualan telur sedan 39.839 35.303 55.102 8.401 pick up 275.552 220.681 267.367 43.194 pedagang itu mengalami kenaikan? bus 48.020 52.761 49.958 4.699 d. Tentukan jumlah telur yang terjual truk 18.051 11.151 12.771 528 selama 6 bulan (dari Januari 2006– motor 1.042.938 1.425.373 1.861.111 519.404 Juni 2006). Jumlah 1.430.479 1.750.867 2.250.390 577.483 Sumber: Statistik Indonesia, 2000 9. Perhatikan diagram berikut. a. Buatlah diagram garis kendaraan 100.000 bermotor rakitan dalam negeri 80.000 selama tahun 1995–1998 untuk 60.000 keenam jenis kendaraan. 40.000 b. Pada tahun berapakah perakitan 20.000 kendaraan paling banyak? c. Jenis kendaraan apakah yang paling 2002 2003 2004 2005 2006 Minyak Bumi Gas banyak dirakit selama tahun 1995– 1998?68 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • B. Ukuran Pemusatan Data1. Mean (Rataan)Mean atau rataan merupakan salah satu ukuran pemusatan Tugasdata. Dengan mengetahui mean, kamu dapat memperkirakan untukmuvariasi data yang lain. Mean biasanya dinotasikan dengan Carilah data sampel dihuruf yang di atasnya terdapat garis, seperti x , y , dan v . sekolahmu mengenai Mean suatu data adalah jumlah seluruh datum dibagi usia dan tinggi badan siswa Kelas VII, VIII, danoleh banyak datum. IX. Kemudian, buatlah Jika data terdiri atas n datum, yaitu x1, x2, ..., xn, maka masing-masing diagram batang untuk datamean dari data tersebut ditentukan oleh rumus berikut. usia dan tinggi badan tersebut, serta tentukan: mean ( x ) = jumlah datum = x1 x 2 ... xn a a. usia siswa yang paling banyak datum a a n banyak; b. rata-rata tinggi badan siswa.Contoh 3.7 Kerjakan dalam kertas terpisah, kemudian kumpulkan pada gurumu.Nilai rapor Wina adalah 8, 7, 7, 9, 8, 6, 7, 8, 9, 6, 7. Tentukanmean atau rataannya.Penyelesaian:x = jumlah datum a banyak datum a a = 8 7 7 9 8 6 7 8 9 6 7 = 7,45 11Jadi, mean (rataan) nilai rapor Wina adalah 7,45. Jika data disajikan dalam tabel distribusi frekuensi maka Tabel 3.8 Tabel Distribusitampak seperti Tabel 3.8. FrekuensiMean dari data tersebut adalah Nilai Frekuensi ( xi ) ( fi ) f 1 x1 f 2 x2 f 3 x 3 ... f i xix = . f1 f 2 f3 fi x1 f1 x2 f2Contoh 3.8 x3 f3 . .Siswa kelas IX B mengikuti ujian Sains. Distribusi nilai ujian . .yang diperoleh disajikan pada tabel berikut. . . xi fi Nilai ( xi ) 4 5 6 7 8 9 Frekuensi ( fi ) 2 8 10 10 7 3Hitunglah meannya. Statistika 69
    • Penyelesaian: f 1 x1 f 2 x2 f 3 x3 ... f 6 x6 x= f1 f 2 f3 f6 x = (4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 8 10 10 7 3 = 261 = 6,525 40 Jadi, meannya adalah 6,525.SiapaBerani? Contoh 3.9 Lamanya pembicaraan melalui telepon (dalam menit) pada suatu hari Jika berat badan rata-rata dari tabel berikut adalah 47, tentukan yang dilakukan oleh nilai p. seorang manajer suatu perusahaan tercatat Berat Badan 44 45 46 47 48 49 50 sebagai berikut 4, 3, 8, 5, 11, 9, 3, 16, 5, Frekuensi 4 3 6 6 2 p 4 15, 9, 11, 12, 9, 10, 8, 7, 5, 4, 8. Tentukan mean dari data Penyelesaian: tersebut. f 1 x1 f 2 x 2 ... f 7 x7 x = f1 f 2 ... f7 ( 44 4) (4 ) (4 6) ( 4 ) ( 4 2) ( 4 p ) (50 4) 5 47 = 4 3 6 6 2 p 4 1.165 49 p 47 = 1175 + 47p = 1165 + 49p 25 p 2p = 10 p=5 Jadi, nilai p adalah 5.Siapa Sekarang, lakukan aktivitas berikut bersama kelompokBerani? belajarmu. Dalam satu tahun, Aktivitas 3.1 sebuah mobil telah menempuh jarak sepanjang 14.250 km 1. Tuliskan sepuluh datum x1, x2, x3, ..., x10. dan menghabiskan bensin Misalkan, mean dari data itu adalah x . Hitunglah x . 1.500 liter. a. Untuk setiap satu 2. Tambahkan setiap datum pada langkah ke-1 dengan bilangan liter bensin, hitunglah bulat sebarang p sehingga diperoleh data x1 + p, x2 + p, x3 + p, ..., rata-rata jarak yang x10 + p. Misalkan, mean dari data ini adalah w . Hitunglah w . ditempuh mobil. b. Untuk menempuh 3. Lakukan langkah ke-1 dan ke-2 untuk data yang lain dan jarak 142,5 km, nilai p yang lain. Coba kamu selidiki apakah w = x + p? hitunglah berapa 4. Kalikan setiap datum pada langkah ke-1 dengan bilangan liter bensin yang dibutuhkan mobil itu. bulat sebarang q sehingga diperoleh data qx1, qx2, qx3, ..., qx10. Misalkan, mean dari data ini adalah y . Hitunglah y .70 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • 5. Lakukan langkah ke-1 dan ke-4 untuk data yang lain dan nilai q yang lain. Coba kamu selidiki apakah y = q x ?6. Kalikan setiap datum pada langkah ke-1 dengan bilangan bulat q. Kemudian, tambahkan dengan bilangan bulat p sehingga diperoleh data qx1 + p, qx2 + p, qx3 + p, ..., qx10 + p. Misalkan, mean dari data ini adalah z . Hitunglah z .7. Lakukan langkah ke-1 dan ke-6 untuk data yang lain dan nilai p dan q yang lain. Coba kamu selidiki apakah z = q x + p? Siapa Berani? Hasil Aktivitas 3.1 memperjelas sifat berikut.Diketahui data x1, x2, x3, ..., xn dengan mean x . Mean gaji bruto per1. Jika setiap datum ditambahkan dengan bilangan bulat bulan karyawan sebuah perusahaan adalah sebarang p maka diperoleh data x1+ p, x2 + p, x3 + p, ..., Rp1.200.000,00. Bulan xn + p dengan mean w = x + p. depan, setiap karyawan memperoleh kenaikan2. Jika setiap datum dikalikan dengan bilangan bulat gaji sebesar 15%. sebarang q maka diperoleh data qx1, qx2, qx3, ..., qxn dengan Berapa mean gaji bruto per bulan karyawan mean y = q x . perusahaan tersebut3. Jika setiap datum dikalikan q, kemudian ditambahkan p setelah kenaikan? maka diperoleh data qx1 + p, qx2 + p, qx3 + p, ..., qxn + p dengan mean z = q x + p.Contoh 3.10Mean nilai ujian Matematika siswa Kelas IX A adalah 4,8. Olehkarena meannya terlalu kecil, setiap siswa memperoleh tambahan Tugasnilai 2. Berapakah mean nilai ujian yang baru? untukmuPenyelesaian: Tunjukkan bahwa rumusDiketahui: Mean mula-mula adalah x = 4,8 dan p = 2. berikut berlaku untukDitanyakan: Mean baru w . menyelesaikan Contoh 3.11(2).Pengerjaan: w = x + p = 4,8 + 2 = 6,8 n xlama xa xbaru =Jadi, mean nilai ujian yang baru adalah 6,8. n 1 dengan n = banyak datum Jika terdapat beberapa kelompok data yang masing-masing xlama = nilai rata-rata darimeannya diketahui, kamu dapat menghitung mean gabungan n datum xbaru = nilai rata-rata daridari kelompok-kelompok data tersebut, seperti berikut. (n – 1) datumMisalnya, xa = nilai salah satu datum yang tidakkelompok data ke-1 memiliki mean x1 ; dimasukkan dalamkelompok data ke-2 memiliki mean x 2 ; perhitungan. Tulislah langkah- langkahnya pada kertas. terpisah, kemudian. kumpulkan kepadakelompok data ke-i memiliki mean xi ; gurumu. Statistika 71
    • Tabel 3.9 maka mean gabungannya x gab adalah sebagai berikut. ni x n1 x1 n2 x 2 ... ni xi 35 6 x gab = , i = 1, 2, 3, 30 7 ... n1 n2 ... ni 40 6,5 105 dengan ni = banyak datum pada kelompok data ke-i dan n1 + n2 + ... + ni = jumlah total datum. Contoh 3.11 TechnoMath 1. Data nilai rata-rata ulangan umum Matematika disajikanPerhitungan mean dapatdilakukan dengan bantuan pada Tabel 3.9. Nilai rata-rata Matematika dari 35 siswa Kelaskalkulator. Kalkulator IX A adalah 6. Nilai rata-rata Matematika dari 30 siswa Kelasyang digunakan adalah IX B adalah 7. Nilai rata-rata Matematika dari 40 siswa Kelaskalkulator scientific, sepertifx-3600Pv. IX C adalah 6,5. Tentukan nilai rata-rata gabungannya. Penyelesaian: Diketahui n1 = 35, n2 = 30, n3 = 40, x1 = 6, x 2 = 7, dan x 3 = 6,5 sehingga ( )( ) ( )( ) ( 4 )( , 5) = 680 = 6,48 x gab = 35 30 40 105 Jadi, nilai rata-rata gabungannya adalah 6,48.Untuk menghitung mean Coba periksa hasil ini dengan menggunakan kalkulator.dengan kalkulator, kamuharus menset kalkulator 2. Nilai rata-rata ujian Bahasa Indonesia 40 siswa Kelas IX Apada fungsi statistika adalah 51. Jika seorang siswa yang mendapat nilai 90 tidakdengan menekan tombol dimasukkan dalam perhitungan rata-rata tersebut, tentukan MODE 3 . nilai rata-rata ujian yang baru.Misalnya, diketahui datanilai ujian Matematika Penyelesaian:5 orang siswa sebagai Langkah 1berikut. Tuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal6, 7, 5, 8, 8.Untuk menentukan tersebut.meannya, simpan data-data Diketahui: Jumlah siswa = 40 orang.tersebut dalam memorikalkulator dengan menekan Nilai rata-rata, x = 51.tombol-tombol berikut. Ditanyakan: Nilai rata-rata ujian yang baru jika seorang SHIFT KAC 6 siswa mendapat nilai 90 tidak dimasukkan dalam per- DATA 7 hitungan rata-rata tersebut. DATA 5 DATA 8 Langkah 2 Tentukan strategi yang akan digunakan untuk menyelesaikan DATA 8 DATA . soal tersebut. Kamu harus terlebih dahulu menghitung jumlahKemudian, untukmenentukan meannya, nilai dari 40 orang siswa. Kemudian, mensubstitusikan nilaitekan yang diperoleh pada nilai rata-rata ujian yang baru. SHIFT x . Langkah 3Hasilnya adalah 6,8. Selesaikan soal dengan menggunakan strategi yang telahBandingkanlah denganhasil perhitunganmu secara ditentukan.manual. x1 x 2 ... x 40 x = = 51 4072 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • x1 + x2 + ... + x40 = 51 × 40 = 2.040 Tugas Nilai rata-rata ujian yang baru adalah untukmu ( x1 x 2 ... x 40 ) 90 2.040 90 1.950 xbaru = = = = 50 Lakukan tugas ini secara 39 39 39 berkelompok. Kerjakan Jadi, nilai rata-rata ujian yang baru adalah 50. dalam kertas terpisah, kemudian kumpulkan Langkah 4 pada gurumu. Periksa kembali jawaban yang telah diperoleh. Caranya, 1. Carilah harga 5 jenis hitung nilai x1 + x2 + ... + x40, apakah nilainya sama dengan rokok per bungkus dengan merek yang 2.040 atau tidak? Jika sama, berarti jawabannya benar. berbeda. Hitung harga ( x1 x 2 ... x 40 ) 90 rata-rata sebatang xbaru = rokok dari setiap 39 jenisnya. ( x1 x 2 ... x 40 ) 90 2. Ayah Pandi mengisap 50 = rokok rata-rata 30 39 batang per hari. x1 + x2 + ... + x40 – 90 = 50 × 39 Gunakan harga x1 + x2 + ... + x40 = 1.950 + 90 rata-rata per batang x1 + x2 + ... + x40 = 2.040 salah satu jenis rokok Terbukti bahwa jawaban yang diperoleh benar. pada nomor 1 untuk menghitung biaya pembelian rokok yang dikeluarkan ayah Pandi2. Median (Nilai Tengah) selama 1 tahun. Menurutmu, barang-Sama halnya dengan mean, median juga merupakan ukuran barang apakah yang dapat dibeli ayah Pandipemusatan data yang digunakan untuk menganalisis data. dengan uang yang telahMedian adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan digunakan untuk membeli rokok tersebut?dari datum terkecil ke terbesar. (1) Telepon genggam Jika banyak datum ganjil, mediannya adalah datum (2) TV berwarna (3) Lemari esyang tepat berada di tengah data setelah diurutkan. Datum (4) Radio tapeini tepat membagi data menjadi dua kelompok datum yang Meninggalkan kebiasaan merokok merupakan idesama banyak. Jika banyak datum genap, mediannya adalah yang baik. Bagaimanamean atau rata-rata dari dua datum yang terletak di tengah pendapatmu?setelah data tersebut diurutkan. Median biasanya dinotasikandengan Me.Contoh 3.12Tentukan median dari bilangan-bilangan berikut.a. 6, 4, 8, 9, 3, 8, 5, 9, 7.b. 71, 74, 70, 72, 69, 80, 76, 81, 71, 68, 75, 73.Penyelesaian:a. Urutkan dahulu data tersebut dari datum terkecil ke datum terbesar sehingga diperoleh bagan berikut. 3 4 5 6 7 8 8 9 9 empat datum empat datum median = 7 Statistika 73
    • Oleh karena banyak datum ganjil maka mediannya adalah datum yang tepat berada di tengah data. Jadi, mediannya adalah 7. b. Urutkan dahulu data tersebut dari datum terkecil ke datum terbesar sehingga diperoleh bagan berikut. 68 69 70 71 71 72 73 74 75 76 80 81 lima datum lima datum median = 72 73 = 72,5 2 Oleh karena banyak datum genap maka mediannya adalah rata-rata dua datum yang di tengah. Jadi, mediannya adalah 72,5. Contoh 3.12 menggambarkan ketentuan berikut. 1) Jika banyak datum yang telah diurutkan ganjil (n ganjil) maka Me = x n 1 dat ke- tum e n+1 2 2 Misalnya, pada Contoh 3.12(a) Me = x n 1 = x 9 1 = x 10 = x5 = 7 2 2 2 Jadi, mediannya adalah datum ke-5 setelah data tersebut diurutkan, yaitu 7. 2) Jika banyak datum yang telah diurutkan genap (n genap)Siapa x xBerani? n n 1 maka Me = 2 2 . 2 Diketahui data sebagai berikut. Nilai tersebut menunjukkan mean dari dua datum 10, 6, 6, 8, 5, 8, p, 7. yang terletak di tengah setelah data diurutkan, yaitu Tentukan nilai p jika n mediannya 6,5. mean dari datum ke- dan datum ke- n 1 . 2 2 Misalnya, pada Contoh 3.12(b) x n x n x 12 x 12 1 1 Me = 2 2 = 2 2 2 2 x6 x7 = = 72 73 2 2 = 72,5 Jadi, mediannya adalah 72,5. Bagaimana cara menentukan median dari data yang disajikan dalam tabel frekuensi?74 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Pada prinsipnya, menentukan median dari data sepertiini sama saja dengan yang telah kamu pelajari. Denganmempelajari contoh berikut, kamu pasti dapat menemukan Uji Kecerdikancaranya. Diketahui data sepertiContoh 3.13 berikut. 2 , 5, 4, p, 3, 3, 1 p, 7,Tentukan median dari data pada Tabel 3.10 dan Tabel 3.11. 3 2 8, 2p – 4, 3, dan 6.Tabel 3.10 Tabel Distribusi Tabel 3.11 Tabel Distribusi Jika mean = 5, Frekuensi Frekuensi a. tentukan nilai p; Nilai Frekuensi b. tentukan median dari Nilai Frekuensi data tersebut. 4 3 4 3 5 4 5 9 6 10 6 8 7 8 7 10 8 3 8 6 9 1 9 4Penyelesaian:a. Banyak datum pada Tabel 3.10 adalah 29 (jumlah total frekuensi), berarti banyak datumnya ganjil. Oleh karena itu, mediannya adalah datum yang tepat berada pada urutan ke- n 1 = urutan ke- 29 1 = urutan ke-15. 2 2 Berdasarkan Tabel 3.10 diketahui: 1. datum ke-1 sampai dengan ke-3 adalah 4 (interval ke-1); 2. datum ke-4 sampai dengan ke-7 adalah 5 (interval ke-2); InfoNet 3. datum ke-8 sampai dengan ke-17 adalah 6 (interval ke-3). Oleh karena datum ke-15 terletak pada interval ke-3 maka Kamu dapat menambah wawasanmu tentang materi datum ke-15 tersebut adalah 6. dalam bab ini dari internet Jadi, median dari data pada Tabel 3.10 adalah 6. dengan mengunjungib. Coba kamu cari median data pada Tabel 3.11. alamat: kur2003.if.itb.ac.id/ file/CN%20IF2152%20 distribusi%20peluang%203. Modus kontinu.pdfPada bagian sebelumnya, kamu telah belajar tentang ukuranpemusatan data, yaitu mean dan median. Ukuran pemusatandata berikutnya adalah modus. Datum-datum yang menyusun suatu data tentubervariasi. Ada datum yang muncul hanya sekali. Ada jugadatum yang muncul lebih dari sekali. Datum yang palingsering muncul dinamakan modus dan biasanya dinotasikandengan Mo. Statistika 75
    • Contoh 3.14 Catatan 1. Tentukan modus dari setiap data berikut. • Jika frekuensi (banyak setiap datum) dalam a. 4, 6, 3, 7, 4, 6, 5, 7, 8, 6, 9, 6. suatu data sama b. 12, 10, 8, 10, 9, 7, 8, 6, 5. maka data tersebut tidak memiliki modus. c. 6, 6, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 4, 4, 10, 10, 3, 3, 2, 2. Contoh: Penyelesaian: 10, 9, 8, 1, 2, 3, 4, 6. a. Datum yang paling sering muncul adalah 6, yaitu • Jika suatu data memiliki modus lebih sebanyak empat kali. Jadi, modusnya adalah 6. dari dua maka data b. Datum yang paling sering muncul adalah 8 dan 10, yaitu tersebut disebut sebanyak dua kali. Dengan demikian, modusnya ada polimodal. Contoh: dua, yaitu 8 dan 10. Data yang memiliki dua modus 1, 2, 2, 3, 1, 4, 5, 3, disebut bimodal. 6, 4, 8, 7, 9. Data ini memiliki c. Data ini tidak memiliki modus karena frekuensi setiap empat modus, yaitu datumnya sama banyak. 1, 2, 3, dan 4. 2. Data berikut memiliki mean 5,6. 9, p, 6, 4, 3, 5, q, 5, 7, 4. Hitunglah nilai p + q. Jika data itu memiliki modus 5, tentukan: a. nilai p dan q; b. median. Penyelesaian: 9 p 6 4 3 5 q 5 7 4 x = 10 43 p q 5,6 = 10 56 = 43 + p + q p + q = 13 a. Tanpa memperhatikan nilai p dan q, modus dari data itu adalah 4 dan 5. Diketahui modus data adalah 5 sehingga nilai p yang mungkin adalah 5. Untuk p = 5 maka p + q = 13 5 + q = 13 q =8 Jadi, nilai p = 5 dan q = 8. b. Untuk menentukan median, data diurutkan sebagai berikut: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 9 Me Me = 5 5 = 5 2 Jadi, mediannya adalah 5.76 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Contoh 3.15 Tugas untukmu1. Tentukan modus dari data pada Tabel 3.12 Kerjakan bersama teman Tabel 3.12 Tabel Distribusi Frekuensi sebangkumu. Carilah informasi tentang cara Nilai Frekuensi menghitung ukuran pemusatan untuk 5 3 data tunggal dengan 6 4 menggunakan kalkulator. 7 4 Kemukakan informasi 8 9 yang kamu peroleh 9 5 tersebut di depan kelas. 10 5 Demonstrasikan pula cara menggunakan kalkulator Penyelesaian: untuk menghitung mean, Datum yang memliki frekuensi terbanyak adalah 8 dengan median, dan modus pada frekuensi 9. contoh-contoh soal pada bab ini di depan kelas. Jadi, modus dari data pada Tabel 3.12 adalah 8.2. Data pada Tabel 3.13 memiliki rata-rata 7,1. Tentukan modus dari data tersebut. Tabel 3.13 Tabel Distribusi Frekuensi Nilai Frekuensi 5 5 6 10 7 9 8 p 9 4 10 2 Penyelesaian: Sebelum menentukan modus dari data pada Tabel 3,13, kamu harus mengetahui nilai p terlebih dahulu. 5 5 6 10 7 9 8p 9 4 10 2 x 5 10 9 p 4 2 25 60 63 8p 36 20 7, 1 30 p 204 8p 7, 1 30 p 213 + 7,1 p = 204 + 8p 0,9p = 9 p = 10 Datum yang memiliki frekuensi terbanyak adalah 6 dan 8 dengan fekuensi 10. Jadi, modus dari data pada Tabel 3.13 adalah 6 dan 8. Statistika 77
    • Tes Kompetensi 3.2Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.1. Tentukan mean, median, dan modus dari 6. Nilai rata-rata hasil ulangan Fisika dari setiap data berikut. 39 murid adalah 6,5. Jika seorang anak a. 8, 5, 6, 8, 7, 8, 9, 6, 8, 9, 8, 4, 5 mengikuti ulangan susulan, nilai rata-rata b. 6, 4, 7, 5, 10, 3, 6, 8, 7, 2, 7, 6 tersebut menjadi 6,56. Berapakah nilai2. Hasil ulangan Matematika dari siswa murid yang mengikuti ulangan susulan? Kelas IX B tercatat sebagai berikut. 7. Waktu rata-rata hasil tes lari 100 m dari 6 8 3 5 6 5 9 4 7 45 siswa adalah 15 sekon. Jika seorang 8 9 3 4 7 3 7 7 8 siswa terlambat mengikuti tes tersebut dan ketika dites waktu yang tercatat 12 7 4 5 3 5 5 8 9 10 sekon, berapakah waktu rata-rata dari 46 2 10 4 10 2 3 4 6 9 siswa tersebut? 6 6 9 6 8. Seorang siswa dinyatakan lulus apabila a. Buatlah tabel frekuensinya. nilai ujiannya lebih dari nilai rata-rata b. Tentukan mean, median, dan modus dikurangi 0,1. Jika hasil ujian dari peserta dari data tersebut. tes tampak pada tabel berikut, tentukan3. Berdasarkan hasil sembilan kali ulangan jumlah murid yang lulus. pada Semester 1, Sani mendapat nilai Nilai Ujian 54 55 56 57 58 59 60 65 70 7, 4, 5, 4, 6, 5, 8, 7, dan 5. Ukuran Frekuensi 8 4 7 6 5 4 3 2 1 pemusatan data (mean, median, atau modus) manakah yang menguntungkan 9. Berikut ini adalah catatan waktu 10 pe- Sani apabila nilai tersebut akan dipilih renang dalam final gaya bebas 100 m. untuk menentukan nilai rapornya? Berilah Perenang Catatan Waktu (detik) penjelasan dari setiap jawabanmu. A 57 B 494. Berikut ini adalah diagram garis pen- C ... jualan sepeda motor dari sebuah dealer D 53 E 58 pada tahun 2006. F 58 G 53 H ... 18 I 52 J 59 16 14 Jika waktu rata-rata dari 10 perenang Unit 12 adalah 54 detik dan perenang H lebih 10 cepat 1 detik dari perenang C, tentukan: 0 a. catatan waktu s perenang H dan C; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 (Bulan ke-) b. siapakah yang menjadi juara? 10. Tabel berikut memperlihatkan distribusi Tentukan mean, median, dan modus dari frekuensi yang salah satu frekuensinya data tersebut. belum diketahui.5. Jika berat badan rata-rata dari tabel berikut Tentukan rata-rata Data Frekuensi 47 kg, tentukan nilai p. hitung yang mungkin 0 1 2 3 Berat Badan (kg) 44 45 46 47 48 49 50 dari data tersebut. 3 2 4 ? Frekuensi 4 3 6 6 2 p 4 5 178 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • C. Ukuran Penyebaran Data1. JangkauanPada bagian sebelumnya, kamu telah belajar tentangpengertian data. Pada bagian ini, kamu akan belajar tentangpengertian jangkauan suatu data. Apakah jangkauan suatudata? Jangkauan suatu data adalah selisih antara datumterbesar dan datum terkecil, yang dirumuskan sebagaiberikut. InfoMatika Jangkauan = datum terbesar – datum terkecil Ukuran statistika yangContoh 3.16 membagi data terurut dari datum terbesar ke datum terkecil menjadi1. Nilai rapor seorang siswa Kelas IX adalah 5, 8, 7, 6, 7, 5, 6, 10 kelompok sama banyak disebut desil. 6, 7. Tentukan jangkauannya. Letak desil ditentukan Penyelesaian: dengan rumus berikut. Datum terbesar = 8, dan datum terkecil = 5. Letak Di = datum ke- Jangkauan = datum terbesar – datum terkecil = 8 – 5 = 3. i n 12. Suatu data memiliki mean 16 dan jangkauan 6. Jika setiap 10 atau Di = x i n 1 . nilai di dalam data tersebut dikalikan q, kemudian dikurangi p 10 maka diperoleh data baru dengan mean 20 dan jangkauan 9. Dalam hal ini, i = 1, 2, ..., 10 dan n = banyak Tentukan nilai dari 2p + q. datum. Penyelesaian: Coba kamu tentukan Data mula-mula adalah x1, x2, x3, ..., xn dengan mean x = 16 desil ke-5 dari data 4, 3, 4, 5, 7, 8, 5, 4, 3, dan j = 6 sehingga j = xn – x1 = 6 ... (1) 2, 6, 9, 6. Data baru adalah qx1 – p, qx2 – p, qx3 – p, ..., qxn – p dengan j = 9 sehingga (qxn – p) – (qx1 – p) = 9 q(xn – x1) = 9 ... (2) Substitusikan persamaan (1) ke (2), diperoleh q 6=9 q= 3 2 Diketahui z = 20 maka z = qx – p q x – p = 20 3 (16) – p = 20 p = 4 2 Jadi, 2p + q = 2(4) + 3 = 9 1 . 2 2 Statistika 79
    • 2. Kuartil, Jangkauan Interkuartil, dan Simpangan Kuartil Median yang telah kamu pelajari pada bagian sebelumnya adalah membagi data terurut menjadi dua kelompok yang sama banyak. Bagaimana jika data yang telah terurut dibagi menjadi empat kelompok yang sama banyak? Kamu akan memperoleh empat kelompok yang masing-masing terdiri atas 1 data. Ukuran yang membagi data menjadi empat 4 kelompok yang sama banyak disebut kuartil. Ada tiga jenis kuartil, yaitu kuartil pertama (kuartil bawah), kuartil kedua (kuartil tengah atau median), dan kuartil ketiga (kuartil atas). Kuartil-kuartil itu berturut-turut diberi notasi Q1, Q2, dan Q3. Untuk lebih jelasnya, amati gambar pembagian data terurut menjadi empat kelompok yang sama banyak berikut. Gambar 3.11 Kelompok 1 * Kelompok 2 * Kelompok 3 * Kelompok 4 1 1 1 1 data data data data 4 4 4 4 Q1 Q2 Q3 (kuartil bawah) (kuartil tengah) (kuartil atas) Keterangan: Banyak datum kelompok 1 = banyak datum kelompok 2 = banyak datum kelompok 3 = banyak datum kelompok 4. Untuk menentukan nilai-nilai kuartil dari suatu data, langkah pertama yang harus kamu lakukan adalah mengurutkan data tersebut. Misalnya, diketahui data 4, 2, 3, 5, 7, 3. Setelah diurutkan, tentukan median dari data tersebut. Nilai median yang diperoleh tidak lain adalah Q2. Kemudian, tentukan kuartil bawah (Q1) dengan membagi data di bawah Q 2 menjadi dua bagian sama banyak. Selanjutnya, tentukan kuartil atas (Q3) dengan cara membagi data di atas Q2 menjadi dua bagian sama banyak. Hasilnya tampak seperti pada bagan berikut. 2 3 3 4 5 7 Q1 Q2 Q3 Dengan demikian, diperoleh Q1 = 3, Q2 = 3 4 = 3,5; dan Q3 = 5. 280 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Jangkauan interkuartil adalah selisih antara kuartil atas Matematikadan kuartil bawah. Jika jangkauan interkuartil dinotasikan Riadengan QR maka Isilah petak-petak berikut dengan cara menurun. QR = Q3 – Q1 2 3 6 7 4 Simpangan kuartil (jangkauan semiinterkuartil) adalah 1 5 8setengah dari jangkauan interkuartil. 9 Jika jangkauan semiinterkuartil dinotasikan dengan Qdmaka Qd = 1 QR atau Qd = 1 (Q3 – Q1) 2 2 Pertanyaan:Contoh 3.17 1. Badan Pusat Statistik 2. Nilai tengahNilai rapor Irma, siswa Kelas IX adalah sebagai berikut: 3. Data yang diperoleh7, 6, 8, 5, 7, 9, 7, 7, 6. Tentukan: dengan caraa. kuartil bawah, median, dan kuartil atas; menghitung 4. Elemen-elemen datab. jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil. 5. Nilai yang palingPenyelesaian: sering muncul 6. Selisih antara data 5 6 6 7 7 7 7 8 9 terbesar dan data terkecil 7. Batas-batas Q1 = 6 6 = 6 Q3 = 7 8 = 7,5 2 Q2 = 7 2 pembagian data 8. Himpunan bagiana. Jadi, kuartil bawah = 6, median = 7, dan kuartil atas = 7,5. dari populasib. QR = Q3 – Q1 9. Nilai rata-rata Jika kamu menjawab = 7,5 – 6 = 1,5 dengan benar, kamu akan Qd = 1 (Q3 – Q1) menemukan sebuah kata 2 pada petak yang diarsir. Kata apakah itu? = 1 (1,5) = 0,75 2Jadi, jangkauan interkuartil = 1,5 dan simpangan kuartil = 0,75. Untuk menentukan kuartil data yang beberapa datum-nya sama (memiliki frekuensi tertentu), dapat digunakanrumus berikut. Catatan Misalkan, banyak seluruh datum: n1 + n2 + ... + ni = Ndengan i = 1, 2, 3, ..., sehingga Dalam beberapa buku, ni dinotasikan dengan fi Q1 merupakan datum ke- 1 N atau 25% N; karena banyak datum 4 yang sama (n) tidak lain merupakan frekuensi dari Q2 merupakan datum ke- 1 N atau 50% N; datum tersebut. 2 Q3 merupakan datum ke- 3 N atau 75% N. 4 Statistika 81
    • Contoh 3.18Tabel 3.14 Misalnya, data pada Tabel 3.14 adalah nilai ulangan Matematika dari 40 siswa Kelas IX A. Nilai Frekuensi a. Tentukan kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas. 1 1 2 4 b. Tentukan jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil. 3 2 Penyelesaian: 4 5 Diketahui: N = n1 + n2 + ... + ni 5 8 = 1 + 4 + 2 + 5 + 8 + 9 + 5 + 4 + 1 + 1 = 40 6 9 1 7 5 a Q1 merupakan datum ke- 1 N = 40 = 10. 8 4 4 4 9 1 Jadi, Q1 merupakan datum ke-10, yaitu 4. 1 10 1 Q2 merupakan datum ke- 1 N = 40 = 20. 2 2 Jadi, Q2 merupakan datum ke-20, yaitu 5. 3 Q3 merupakan datum ke- 3 N = 40 = 30. 4 4 Jadi, Q3 merupakan datum ke-30, yaitu 7. b. QR = Q3 – Q1 = 7 – 4 = 3 1 1 Qd = QR = · 3 = 1,5 2 2 Tes Kompetensi 3.3Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.Untuk soal nomor 1 dan 2, tentukanlah kuartil Tentukan:bawah, median, kuartil atas, jangkauan inter- a. jangkauan;kuartil, dan simpangan kuartil. b. kuartil bawah, median, kuartil atas;1. 49 30 46 43 42 c. jangkauan interkuartil dan simpangan 47 40 45 44 56 kuartil. 149 150 155 152 151 4. Lama pembicaraan melalui telepon yang 154 153 160 151 dilakukan oleh seorang pedagang elektronik2. 14 12 15 13 12 11 (dinyatakan dalam menit) tercatat sebagai 14 13 12 15 11 12 berikut.3. Tekanan darah seorang pasien (dinyata- 8 12 4 10 35 12 kan dalam mmHg) rumah sakit dicatat 6 8 15 9 12 24 sehingga diperoleh data berikut. 17 25 16 7 11 15 180 160 175 150 176 130 10 12 14 14 5 16 174 125 178 126 180 124 18 6 22 25 23 18 180 120 165 120 166 12082 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Tentukan: Tentukan: a. jangkauan; a. jangkauan; b. kuartil bawah, median, kuartil atas; b. kuartil bawah, median, dan kuartil c. jangkauan interkuartil dan simpangan atas; kuartil. c. jangkauan interkuartil dan simpangan5. Perhatikan tabel berikut. kuartil. Nilai 3 4 5 6 7 8 9 Frekuensi 3 2 8 12 10 3 2D. Distribusi FrekuensiKamu telah mengetahui bahwa jika suatu data disajikandengan cara pengelompokan data, akan diperoleh tabel Hal Pentingdistribusi frekuensi. Untuk membuat tabel distribusi Istilah-istilah penting yangfrekuensi yang baik, gunakanlah aturan-aturan berikut. kamu temui pada bab inia. Tentukan datum terkecil dan datum terbesar, kemudian adalah • data hitung jangkauannya (range) dengan rumus berikut. • datum • data kuantitatif Jangkauan = datum terbesar – datum terkecil • data kualitatif • data diskritb. Tentukan banyaknya interval kelas, misalnya p dengan • data kontinu perkiraan yang memenuhi ketentuan berikut. • populasi • sampel 6 ≤ p ≤ 15 • mean • median • modusc. Tentukan panjang interval kelas dengan rumus panjang • jangkauan kelas sebagai berikut. • kuartil • simpangan kuartil jangkauan a a a Panjang kelas = banyak interval kelas a ad. Tentukan batas bawah dan batas atas setiap interval kelas.e. Tentukan frekuensi pada masing-masing interval kelas dengan menggunakan sistem turus (tally). Batas bawah interval kelas ke-1 biasanya diambil daridatum terkecil. Adapun datum terbesar harus termuat dalaminterval kelas terakhir.Contoh 3.19Misalnya, data tinggi badan 40 siswa SMP Harapan yang diukursampai sentimeter terdekat adalah sebagai berikut.160, 160, 168, 165, 169, 170, 160, 176, 150, 175, 149, 158,164, 166, 150, 167, 168, 155, 159, 175, 147, 174, 154, 167,150, 164, 176, 166, 148, 161, 170, 158, 151, 163, 158, 163,170, 159, 153, 156 Statistika 83
    • Buatlah tabel distribusi frekuensi dari data tersebut. Penyelesaian: data terkecil 147 sehingga jangkauan = 176 – 147 = 29. interval kelas, misalnya 6.Tabel 3.15 interval kelas (p) adalah Tanda p= jangkauan a a a = 29 = 4,83 5. Nilai Frekuensi Hitung banyak interval kelas a a 6 147 - 151 |||| ||| 8 interval ke-1 adalah 147, dan batas atasnya 151. 152 - 156 |||| 4 Batas bawah interval ke-2 adalah 152, dan batas atasnya 157 - 161 |||| ||| 8 162 - 166 |||| || 7 156, dan seterusnya. 167 - 171 |||| ||| 8 172 - 176 |||| 5 - frekuensi interval ke-1 adalah 8 Jumlah 40 - frekuensi interval ke-2 adalah 4, dan seterusnya. Dengan demikian, diperoleh tabel distribusi frekuensi seperti terlihat pada Tabel 3.15. Tes Kompetensi 3.4Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.1. Misalkan, data tinggi badan siswa Kelas 2. Amati data pada tabel berikut. IX SMP Pertiwi diukur sampai sentimeter Nilai Ulangan Frekuensi terdekat adalah sebagai berikut. 31–40 3 141 162 147 158 41–50 4 157 164 168 161 51–60 7 146 148 168 169 61–70 20 155 156 141 144 71–80 21 81–90 18 170 152 165 166 91–100 7 163 161 143 145 Jumlah 80 150 164 160 145 168 149 144 142 Tentukan: 163 160 165 161 a. panjang dan banyaknya interval kelas; 149 160 151 155 b. batas bawah dan atas interval kelas; a. Tentukan jangkauannya. c. tepi bawah kelas ke-1, ke-2, ke-3, b. Jika banyaknya interval kelas 6, ke-4, ke-5, ke-6, dan ke-7; tentukan panjang setiap kelasnya. d. tepi atas kelas ke-1, ke-2, ke-3, ke-4, c. Buatlah tabel distribusi frekuensi ke-5, ke-6, dan ke-7. dari data itu. 3. Setiap hari, banyaknya pasien di sebuah rumah sakit dicatat. Kemudian, diperoleh data sebagai berikut.84 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • 98 102 99 106 90 97 a. Tentukan jangkauannya. 104 109 82 75 86 91 b. Buatlah tabel distribusi frekuensi 89 101 108 105 103 95 dari data tersebut. 92 88 96 76 78 80 5. Seorang ibu mencatat perkembangan 84 88 79 79 100 99 berat badan anaknya setiap bulan selama 98 94 85 87 93 100 dua tahun (dinyatakan dalam kilogram) 96 80 81 94 sebagai berikut. a. Tentukan jangkauannya 3,00 5,60 8,30 8,50 b. Jika banyaknya interval kelas 7, 3,40 5,95 7,90 8,50 tentukan panjang setiap kelasnya. 3,90 6,60 7,80 8,75 c. Buatlah tabel distribusi frekuensi 4,35 7,10 8,00 8,40 dari data tersebut. 5,20 7,50 8,25 8,404. Pada suatu hari, temperatur minimum 5,35 8,00 8,15 8,75 beberapa daerah di Indonesia dicatat a. Tentukan jangkauannya. dalam derajat Celsius hingga diperoleh b. Buatlah tabel distribusi frekuensinya. data berikut. 12 21 14 23 17 5 18 20 28 19 16 19 11 25 6 10 15 22 24 26 7 27 20 21 8 11 13 28 18 22 26 24 9 10 8 6 17 19 21 27 20 17 10 22 15 16 24 21 RingkasanBerikut ini contoh rangkuman dari sebagian materi pada bab ini.1. Populasi adalah semua objek yang 4. Mean adalah rata-rata dari sekumpulan menjadi sasaran pengamatan. data.2. Sampel adalah bagian dari populasi 5. Median adalah nilai tengah dari yang diambil untuk dijadikan sasaran sekumpulan data yang telah diurutkan. pengamatan. 6. Modus adalah data yang paling banyak3. Metode penyajian data, di antaranya muncul pada sekumpulan data. diagram batang, diagram garis, piktogram, 7. Jangkauan interkuartil adalah selisih dan diagram lingkaran. antara kuartil atas dan kuartil bawah.Coba kamu buat rangkuman dari materi yang telah kamu pelajari pada bab ini dengan kata-katamu sendiri. Tuliskan rangkuman tersebut pada buku latihanmu. Statistika 85
    • Refleksi 1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 sampai 8 orang atau disesuaikan dengan kondisi kelasmu. 2. Setiap anggota kelompok menceritakan tentang materi apa saja dari Bab Statistika yang paling kamu senangi serta mengapa kamu menyenangi materi tersebut. 3. Tuliskan hasilnya, kemudian presentasikan di depan kelas bergantian dengan kelompok lain. Tes Kompetensi Bab 3Kerjakanlah pada buku tugasmu.Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.1. Suatu lembaga lingkungan hidup 3. Nilai rata-rata sekelompok siswa yang ingin mengetahui kandungan unsur berjumlah 40 orang adalah 62. Jika tembaga dalam Sungai Ciliwung yang seorang siswa yang mendapat nilai 23 tercemar. Untuk keperluan tersebut, dari kelompok itu tidak dimasukkan petugas hanya mengambil secangkir dalam perhitungan rata-rata tersebut, air dari Sungai Ciliwung. Sampel dari nilai rata-rata ujian menjadi .... keadaan tersebut adalah .... a. 61,05 c. 62 a. unsur tembaga b. 61,425 d. 63 b. secangkir air 4. Diketahui kelompok bilangan 2, 3, 7, c. Sungai Ciliwung 7, 8, 8, 8, 9, 11. d. secangkir air dari Sungai Ciliwung (1) Modus lebih dari rata-rata2. Diketahui nilai ulangan Biologi 10 (2) Median kurang dari rata-rata siswa yang diambil secara acak adalah (3) Modus sama dengan rata-rata 8, 4, 7, 9, 4, 7, 3, 6, 5, 7. (4) Modus sama dengan median (1) Rataan = 6 Pernyataan yang benar adalah .... (2) Median = 6,5 a. (1), (2), dan (3) (3) Modus = 7 b. (1) dan (3) Pernyataan yang benar adalah .... c. (2) dan (4) a. (1) dan (2) d. (1) dan (4) b. (1) dan (3) 5. Banyaknya sepeda motor rakitan c. (2) dan (3) dalam negeri (dalam unit) tahun d. (1), (2), dan (3) 1993–1998 disajikan pada diagram garis berikut.86 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Banyaknya sepeda motor 5001.861.111 400 Banyaknya Siswa1.425.373 3001.042.938 200781.404 100607.239519.404 Tahun jalan kaki sepeda mobil bus 1993 1994 1995 1996 19971998 Transportasi Siswa Sumber: Departemen Perindustrian Kenaikan banyaknya sepeda motor Selisih siswa yang naik sepeda dan bus rakitan yang paling besar terjadi pada adalah .... tahun .... a. 270 orang a. 1993–1994 b. 280 orang b. 1994–1995 c. 290 orang c. 1995–1996 d. 300 orang d. 1996–1997 9. Dalam suatu ujian yang diikuti 426. Hasil ulangan Matematika siswa Kelas siswa, diperoleh rataan nilai ujian 30. IX A disajikan pada tabel berikut. Oleh karena rataannya terlalu rendah, semua nilai ujian siswa dikalikan 2, Nilai (x) 4 5 6 7 8 9 kemudian dikurangi 5. Rataan nilai Frekuensi (f ) 2 6 13 12 6 3 yang baru adalah .... Median dari data tersebut adalah .... a. 55 c. 53 a. 5,5 c. 6,5 b. 54 d. 52 b. 6 d. 7 10. Nilai rata-rata ujian Matematika pada7. Untuk memudahkan pelaksanaan suatu tabel berikut adalah 6. acara, jumlah siswa Kelas IX dibagi ke Nilai 4 5 6 8 10 dalam lima kelompok dengan per- Frekuensi 20 40 70 p 10 bandingan 1 : 2 : 3 : 4 : 5. Nilai p sama dengan .... Jika data tersebut dibuat diagram a. 5 c. 20 lingkarannya, besar sudut masing- b. 10 d. 25 masing kelompok adalah .... a. 20°, 40°, 60°, 80°, 100° 11. Nilai rata-rata ulangan Matematika b. 24°, 48°, 76°, 92°, 120° 10 siswa adalah 55. Jika digabung lagi c. 26°, 52°, 72°, 96°, 114° dengan 5 siswa lain, nilai rata-ratanya d. 24°, 48°, 72°, 96°, 120° menjadi 53. Nilai rata-rata dari 5 siswa tersebut adalah ....8. Diagram berikut menunjukkan ber- a. 49 c. 50,5 bagai cara dari 1.270 siswa menuju ke b. 50 d. 51 sekolah. Statistika 87
    • 12. Jangkauan dari 6, 4, 7, 5, 8, 7, 8, 6, 8, 17. Pak Agus dan Pak Harif masing- 5, 10, 6 adalah .... masing memiliki lima ekor kambing. a. 4 c. 6 Berat rata-rata kambing Pak Agus b. 5 d. 7 36 kg, sedangkan berat rata-rata13. Nilai rata-rata ulangan Matematika kambing Pak Harif hanya 34 kg. 15 siswa adalah 7,0. Jika nilai ulangan Seekor kambing Pak Harif ditukarkan Matematika Andri dimasukkan dalam dengan seekor kambing Pak Agus kelompok tersebut, nilai rata-ratanya sehingga berat rata-rata kambing menjadi 7,125. Nilai ulangan Andri Pak Harif sama dengan berat rata- adalah .... rata kambing Pak Agus. Selisih berat a. 7 c. 8 kambing yang ditukarkan adalah .... b. 7,125 d. 9 a. 5 c. 1014. Simpangan kuartil dari 7, 4, 5, 6, 7, b. 6 d. 12 4, 5, 7, 8, 9, 6 adalah .... 18. Sebuah dadu dilemparkan sebanyak a. 1 c. 2,5 120 kali. Frekuensi harapan munculnya b. 2 d. 3 mata dadu kurang dari 4 adalah ....15. Amati diagram berikut. a. 20 c. 60 b. 40 d. 80 81º PKn 19. Nilai rata-rata ujian Matematika dari 39 siswa adalah 45. Jika nilai dari 30º Matematika seorang siswa lain yang bernama Riva 240 buah digabungkan, nilai rata-rata ujian 75º 60º Matematika dari 40 siswa sekarang menjadi 46. Nilai ujian Matematika Banyak buku pelajaran yang tersedia Riva adalah .... untuk pelajaran PKn adalah .... a. 70 c. 80 a. 16 buku b. 75 d. 85 b. 64 buku 20. Diketahui data kuantitatif: 4, 5, 5, c. 96 buku 7, 3, 2, 4, 6, 7, 4. Pernyataan berikut d. 128 buku benar, kecuali .... Ebtanas 2001 a. Modus = 416. Peluang munculnya angka prima pada b. Median = 5 pelemparan dadu bersisi 6 adalah .... c. Mean = 4,7 1 3 d. Q3 = 6 a. c. 6 6 2 4 b. d. 6 6 Ebtanas 199888 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Bab 4 Sumber: pop.blogsome.comPeluang Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami peluang kejadian sederhana dengan cara menentukan ruang sampel suatu percobaan dan menentukan peluang suatu kejadian sederhana.Peluang merupakan konsep yang baru kamu kenal. Konsep A. Pengertianpeluang sangat penting peranannya dalam kehidupan sehari- Peluanghari. Saat ini, teori peluang banyak digunakan dalam berbagai B. Frekuensibidang, seperti ekonomi, sosial, pendidikan, kesehatan, dan Harapanolahraga, seperti uraian berikut. Pada tahun 2007, diketahui rasio setiap satu orang siswaKelas IX SMP Karya Kita lulus ujian nasional adalah 0,85.Jika pada tahun ajaran 2007/2008 sekolah itu menampung280 orang siswa kelas IX, berapa banyak siswa SMP tersebutyang diperkirakan lulus ujian nasional? Kamu harus menguasai konsep peluang untuk menjawabpertanyaan tersebut. Oleh karena itu, pelajarilah bab inidengan baik. 89
    • Diagram Alur Peluang dapat dihitung melalui dihitung menggunakan nilai nilai Frekuensi Relatif 0 ≤ P(K) ≤ 1 n(K) P(K) = n(S) rumus Titik Sampel Ruang Sampel Frekuensi relatif pengertian munculnya kejadian banyak kejadian(K) K= Setiap anggota banyak percobaan ruang sampel dari pengertian kejadian yang mungkin Himpunan semua kejadian yang mungkin diperoleh dari suatu percobaan disusun menggunakan Tabel Diagram pohon Cara mendaftar Tes Apersepsi AwalSebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di bukulatihanmu.1. Buatlah tiga kalimat yang menyatakan 4. Sebuah uang logam dilemparkan satu kemungkinan. kali. Tentukan kemungkinan kejadian2. Tentukan apakah pernyataan-pernyataan yang akan muncul. berikut merupakan kejadian pasti atau 5. Banyaknya siswa dalam satu kelas kejadian mustahil. berjumlah 56 orang. Perbandingan a. Bulan berputar mengelilingi bumi. banyaknya siswa laki-laki dan siswa b. Matahari terbenam di sebelah perempuan adalah 3 : 5. Tentukan timur. banyaknya siswa laki-laki dan siswa c. Paus bernapas dengan insang. perempuan dalam kelas tersebut.3. Sebuah dadu dilemparkan satu kali. Tentukan kemungkinan mata dadu yang muncul.90 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • A. Pengertian PeluangKamu sering mendengar ungkapan-ungkapan berikut dalamkehidupan sehari-hari. Indonesia memiliki peluang yang kecil untuk mencapai babak final. Kemungkinan Klub Jaya memenangkan pertandingan Sumber: insert.web.id sangat besar. Gambar 4.1 kemungkinan besar hujan akan turun. Nina dan Andri memiliki kesempatan yang sama untuk menjadi juara kelas. Apakah sebenarnya yang dimaksud dengan peluang ataukemungkinan itu? Untuk menjawab pertanyaan tersebut,pelajarilah pengertian peluang dan nilai peluang suatukejadian berikut. Kamu akan memulai bagian ini denganmempelajari pengertian kejadian acak.1. Kejadian AcakPernahkah kamu memperhatikan sekumpulan ibu-ibu yangsedang arisan? Saat arisan, seorang ibu mengundi nama-nama pemenang dengan menggunakan sebuah gelas. Namapemenang yang akan keluar tidak dapat diprediksikan. Uraian tersebut menggambarkan salah satu contohkejadian acak. Untuk memahami pengertian kejadian acak,lakukanlah percobaan dalam Aktivitas 4.1 berikut. Aktivitas 4.1Tujuan: Memahami pengertian kejadian acak.Lakukanlah percobaan-percobaan berikut kemudian jawablahpertanyaannya.Percobaan 1Lemparkan sebuah mata uang logam. Dapatkah kamumemastikan sisi yang akan muncul, sisi angka atau sisi gambar?Percobaan 2Lemparkan sebuah dadu. Dapatkah kamu memastikan mukadadu yang akan muncul?Percobaan 3Sediakan sebuah kotak. Isikan kelereng berwarna merah, kuning,dan hijau masing-masing sebanyak 15 butir ke dalam kotaktersebut. Aduklah kelereng itu. Kemudian, tutup matamudan ambillah sebutir demi sebutir secara acak sebanyak 3 kali Peluang 91
    • pengambilan. Dapatkah kamu memastikan, kelereng warna apa saja yang terambil jika setiap selesai pengambilan, kelereng tersebut dikembalikan lagi ke dalam kotak? Percobaan 4 Sediakan sebuah stoples. Isikan permen karet berwarna merah, kuning, dan hijau masing-masing sebanyak 20 butir ke dalam stoples tersebut. Ambillah permen karet berwarna merah sebutir demi sebutir tanpa menutup mata. Dapatkah kamu memastikan warna tiga permen karet yang diambil? Pada Percobaan 1, kejadian yang menjadi perhatian adalah munculnya sisi angka atau gambar. Tentu saja kamu tidak tahu pasti sisi uang logam yang akan muncul. Kamu hanya mengetahui bahwa hasil yang mungkin muncul adalah sisi angka atau sisi gambar. Tentu saja, kedua sisi ini tidak mungkin muncul bersamaan. Tugas Kejadian munculnya sisi angka atau sisi gambar pada untukmu Percobaan 1 tidak dapat dipastikan, sehingga dinamakan kejadian acak. Demikian pula kejadian munculnya muka dadu Sebutkan masing- pada Percobaan 2 dan kejadian terambilnya kelereng berwarna masing 3 contoh dalam kehidupan sehari- merah, kuning, atau hijau pada Percobaan 3 merupakan hari yang merupakan kejadian acak. Tuliskan permen karet pada Percobaan 4, apakah merupakan kejadian pada kertas terpisah, kemudian kumpulkan acak? Coba kamu jelaskan. pada gurumu. Percobaan-percobaan pada Aktivitas 4.1 dilakukan untuk mengamati kejadian tertentu. Percobaan-percobaan seperti ini dinamakan percobaan statistika. Kejadian acak memang sangat menarik untuk diamati. Oleh karena itu, fokus pembahasan pada bab ini adalah kejadian acak. 2. Kejadian Sederhana Seperangkat kartu bridge terdiri atas 13 buah kartu merah bergambar hati, 13 kartu merah bergambar wajik, 13 kartu hitam bergambar sekop, dan 13 kartu hitam bergambar keriting. Misalkan, sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge tersebut. Andaikan kartu yang terambil bergambar wajik, kejadian muncul kartu bergambar wajik pada pengambilan tersebut dinamakan kejadian sederhana karena munculnya kartu bergambar wajik pasti merah. Kejadian munculnya kartu berwarna merah dinamakan92 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • kejadian bukan sederhana karena munculnya kartu berwarnamerah belum tentu bergambar wajik, tetapi mungkin ber-gambar hati.3. Frekuensi Relatif dan Peluang Suatu KejadianPada bagian ini, kamu akan belajar tentang cara menghitungpeluang dengan pendekatan frekuensi relatif. Ambillah se-keping uang logam, kemudian lakukan percobaan statistika,yaitu melempar uang logam tersebut sebanyak 20 kali. Misalnya, muncul sisi angka sebanyak 11 kali. Per-bandingan banyak kejadian munculnya angka dan banyakpelemparan adalah 11 . Nilai ini dinamakan frekuensi relatif 20 Siapamunculnya angka. Jika sebuah dadu dilempar 30 kali dan Berani?muncul muka dadu bernomor 6 sebanyak lima kali, berapakahfrekuensi relatif munculnya muka dadu bernomor 6? Satu mata uang logam Uraian tersebut menggambarkan rumus frekuensi dilempar sebanyak 300 kali. Ternyata, muncul sisirelatif munculnya suatu kejadian yang diamati, yaitu sebagai angka 156 kali. Berapaberikut. frekuensi relatifnya? (tulis Frekuensi relatif (fr) munculnya kejadian K dirumuskan dalam bentuk pecahan biasa dan desimal).sebagai berikut. banyak kejadian K a ea fr = banyak percobaan aContoh 4.1Pada pelemparan dadu sebanyak 100 kali, muncul muka dadubernomor 1 sebanyak 16 kali. Tentukan frekuensi relatif muncul-nya muka dadu bernomor 1.Penyelesaian: banyak kejadian a ea 16fr = = = 0,16. banyak percobaan a 100Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bernomor 1 adalah0,16. Kamu telah mengetahui pengertian frekuensi relatif.Apakah hubungan antara frekuensi relatif dan peluang suatukejadian? Untuk menyelidikinya, lakukan aktivitas berikut. Peluang 93
    • Aktivitas 4.2 Tujuan: Menghitung peluang dengan pendekatan frekuensi relatif. Lemparkan sekeping uang logam ke atas sebanyak 6 kali. Catat banyak sisi angka yang muncul dan isikan hasilnya pada Tabel 4.1. Kemudian, hitung frekuensi relatifnya, teliti sampai dua desimal. Ulangi langkah-langkah tersebut untuk pelemparan sebanyak 12, 16, 20, 40, dan 80 kali. Tabel 4.1 Tabel Frekuensi Relatif Banyak Sisi Angka Frekuensi Relatif Banyak Lemparan yang Muncul Muncul Sisi Angka 6 Uji Kecerdikan 12 16 Banyak ahli Matematika yang pada kali pertama 20 mengembangkan teori 40 peluang sebenarnya adalah orang-orang yang 80 senang berjudi. Salah satunya adalah Girolamo Amatilah tabel yang telah kamu lengkapi tersebut. Apa yang Cardano, seorang dapat kamu simpulkan tentang frekuensi relatif munculnya sisi profesor di bidang Matematika, sekaligus angka jika banyaknya lemparan semakin besar? seorang penjudi. Cardano menghitung peluang pelemparan dadu dan Kegiatan tersebut menunjukkan bahwa semakin banyak peluang penarikan kartu As dari setumpuk lemparan yang dilakukan maka frekuensi relatif kejadian kartu. Tidak hanya itu, munculnya sisi angka akan mendekati suatu bilangan tertentu, dia juga menyarankan cara-cara yang menarik peluang dari kejadian muncul untuk bermain curang. sisi angka. Jadi, peluang suatu kejadian dapat dihitung melalui Bagaimana pendapatmu tentang hal ini? pendekatan frekuensi relatif. 4. Titik dan Ruang Sampel dalam Teori Peluang a. Pengertian Titik Sampel dan Ruang Sampel Suatu Kejadian Pada pelemparan mata uang logam, kejadian yang mungkin adalah muncul angka (A) atau gambar (G). Jika dinyatakanSiapa dengan notasi himpunan, misalnya S, maka S = {A, G}.Berani? ruang sampel, sedangkan titik A dan G dinamakan titik sampel Tentukan ruang sampel sampel dinotasikan dengan n(S). dan titik sampel dari Uraian tersebut memperjelas pengertian ruang sampel penelitian golongan darah manusia. dan titik sampel, yaitu sebagai berikut.94 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • 1) Ruang sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin diperoleh dari suatu percobaan. 2) Titik sampel adalah setiap anggota ruang sampel atau disebut juga kejadian yang mungkin.Contoh 4.2Tentukan ruang sampel dan titik sampel dari pelemparan sebuahdadu.Penyelesaian:Kejadian yang mungkin dari pelemparan sebuah dadu adalahmunculnya muka dadu bernomor 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Dengandemikian,S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan titik sampelnya 1, 2, 3, 4, 5, dan 6.b. Menyusun Ruang Sampel dengan Cara a A MendaftarPada pelemparan tiga mata uang logam sekaligus, misalkanmuncul sisi angka (A) pada mata uang pertama, muncul sisigambar (G) pada mata uang kedua, dan muncul sisi angka (A) Gpada mata uang ketiga. Kejadian ini dapat ditulis AGA. Kejadian A AAlain yang mungkin dari pelemparan tiga mata uang sekaligus badalah AAA, AGG, dan GGG. Jika ruang sampelnya kamu Atuliskan dengan cara mendaftar, diperoleh S = {AAA, AAG, AGA, G AGGAA, AGG, GAG, GGA, GGG} sehingga n(S) = 8. A GAc. Menyusun Ruang Sampel dengan G Menggunakan Diagram Pohon G GGCara lain yang dapat digunakan untuk menuliskan anggotaruang sampel adalah menggunakan diagram pohon. Amati c A AAAkembali kasus pelemparan tiga mata uang sekaligus pada A G AAGbagian b. Sekarang, kamu akan mencoba menyusun ruang A A AGAsampelnya dengan menggunakan diagram pohon. G Untuk mata uang pertama, kejadian yang mungkin G AGGadalah munculnya sisi angka (A) atau gambar (G). Diagram- A GAAnya dapat kamu buat seperti pada Gambar 4.2(a). A Untuk mata uang kedua, kejadian yang mungkin adalah G GAG G A GGAsama. Diagram pohonnya tampak pada Gambar 4.2(b). G Kejadian yang mungkin untuk mata uang ketiga juga G GGGsama. Diagram pohon kejadian untuk pelemparan tiga mata Gambar 4.2uang tampak pada Gambar 4.2(c).tersebut, dapat ditentukan ruang sampelnya, yaitu S = {AAA,AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}. Peluang 95
    • Matematika d. Menyusun Ruang Sampel dengan Cara Ria Membuat Tabel 1. Buatlah kelompok Pada percobaan melemparkan dua dadu sekaligus, misalnya yang terdiri atas 3 muncul muka dadu bernomor 2 pada dadu pertama dan orang. 2. Buatlah tiga buah muka dadu bernomor 3 pada dadu kedua. Kejadian ini kartu dengan gambar dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan, yaitu (2, 3). yang berbeda-beda. Jika muncul muka dadu bernomor 5 pada dadu pertama dan muka dadu bernomor 1 pada dadu kedua, bagaimana menyatakan kejadian itu sebagai pasangan berurutan? Pada selembar kertas, buatlah tiga gambar Ruang sampel dari percobaan melempar dua dadu sekaligus yang sama seperti dapat disusun dengan cara membuat tabel seperti berikut. gambar pada kartu. Tabel 4.2 Tabel Ruang Sampel Dadu Dadu ke-2 3. Kocok ketiga kartu ke-1 1 2 3 4 5 6 tersebut olehmu. Kemudian, ambil satu 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) kartu secara acak oleh temanmu dan 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) tempatkan di atas 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) gambar yang menurut tebakan temanmu 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) sesuai dengan gambar pada kartu. 5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) Pada tabel tersebut dapat dilihat terdapat 36 titik sampel sehingga n(S) = 36. 4. Buka kartu tersebut. 5. Kisaran Nilai Peluang Apakah tebakan temanmu benar? a. Rumus Peluang 5. Tempatkan kartu yang telah dibuka di atas gambar yang sesuai. 6. Lakukan langkah pelemparan yang mungkin adalah muncul muka dadu yang sama untuk bernomor 1, 2, 3, 4, 5, atau 6, sehingga ruang sampelnya kartu yang kedua dan ketiga oleh temanmu adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. yang lain. Apakah Misalkan, kejadian munculnya muka dadu bernomor tebakan temanmu benar? genap adalah G G atau 7. Dapatkah kamu kejadian G dinotasikan dengan n(G), sehingga n(G) = 3. menghitung peluang untuk menebak kartu Peluang munculnya setiap titik sampel dalam ruang pertama, kedua, atau ketiga dengan sampel S sama, yaitu 1 . Dengan demikian, peluang muncul- 6 benar? Berapa nilai nya muka dadu bernomor genap adalah sebagai berikut. peluangnya? 1 1 1 3 1 P(G) = 6 6 6 6 2 P(G) juga dapat diperoleh dengan cara berikut.96 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n(S) = 6.G = {2, 4, 6} sehingga n(G) = 3. n(G ) 3 1P(G) = . n(S ) 6 2 Jika setiap anggota ruang sampel S memiliki peluangmuncul yang sama maka peluang kejadian K yang memilikianggota sebanyak n(K) didefinisikan sebagai berikut. n( K ) P(K) = , dengan K S n(S )Contoh 4.3dadu bernomor:a. 2 c. 7 Siapab. kurang dari 4 d. 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 Berani?Penyelesaian:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n(S) = 6. Sebuah kotak berisi 4 bola berwarna merah dana. Misalkan, A kejadian munculnya muka dadu nomor 2 maka 6 berwarna putih. Sebuah bola diambil dari kotak itu A = {2}, n(A) = 1, dan P(A) = n( A ) = 1 . secara acak, kemudian n(S ) 6 dikembalikan lagi. Berapab. Misalkan, C kejadian munculnya muka dadu bernomor peluang terambilnya bola kurang dari 4 maka C = {1, 2, 3}, n(C) = 3, dan berwarna: a. merah; P(C) = n(C ) = 3 = 1 . b. putih? n(S ) 6 2c. Misalkan, D kejadian munculnya muka dadu nomor 7 maka D = { }, n(D) = 0, dan P(D) = n( D ) = 0 = 0. n(S ) 6d. Misalkan, E adalah kejadian munculnya muka dadu bernomor 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 maka E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan 6 n(E) = 6 sehingga P(E) = = 1. 6b. Nilai PeluangContoh 4.3 memperlihatkan kepada kamu bahwa peluangsuatu kejadian nilainya berkisar 0 sampai dengan 1. Secaramatematis, hal itu ditulis 0 ≤ P(K) ≤ 1, dengan P(K) adalahpeluang suatu kejadian K. Jika nilai peluang suatu kejadian sama dengan nol atauP(K) = 0, nilai tersebut menunjukkan bahwa kejadian K tidakmungkin terjadi. Misalnya, pada pelemparan dadu, peluang Peluang 97
    • munculnya mata dadu bernomor 7 adalah nol, atau P(7) = 0 karena pada dadu tidak terdapat mata dadu yang bernomor 7 (lihat Contoh 4.3(c)). Untuk kejadian-kejadian lain yang nilainya mendekati nol, berarti kemungkinan kejadian tersebut terjadi sangat kecil. Sebaliknya, jika nilai peluang suatu kejadian sama dengan satu atau P(K) = 1, nilai tersebut menunjukkan bahwa kejadian K pasti terjadi. Misalnya, pada pelemparan sebuah dadu, peluang munculnya mata dadu yang lebih dari 0 tetapi kurang dari 7 adalah 1. Dengan kata lain, munculnya mata dadu yang lebih dari 0, tetapi kurang dari 7 merupakan suatu kejadian yang pasti terjadi. Dari uraian tersebut, dapatkah kamu menemukan per- nyataan berikut? 1) Peluang suatu kejadian nilainya dari 0 sampai dengan 1 (ditulis 0 ≤ P(K) ≤ 1). 2) Peluang suatu kejadian yang tidak mungkin terjadi, nilainya nol atau P(K) = 0 (kejadian tersebut dinama- kan kejadian yang mustahil). 3) Peluang suatu kejadian yang pasti terjadi, nilainya 1 atau P(K) = 1 (kejadian tersebut dinamakan kejadian nyata/pasti). Jika kejadian L merupakan komplemen dari kejadian K maka P(K) + P(L) = 1 atau P(L) = 1 – P(K). Misalkan, peluang hari ini hujan 0,3 maka peluang hari ini tidak hujan adalah 1 – 0,3 = 0,7. Contoh 4.4 1. Dua puluh lima kartu diberi angka 1, 2, 3, ..., 25. Kartu tersebut dikocok. Kemudian, diambil kartu secara acak peluang terambilnya kartu berangka InfoNet a. ganjil b. kelipatan 3 Penyelesaian:Kamu dapat menambahwawasanmu tentang materi Ruang sampel dalam percobaan ini adalah S = {1, 2, 3, ...,dalam bab ini dari internet 25} sehingga n(S) = 25.dengan mengunjungi a. Misalkan, G kejadian terambilnya kartu berangka ganjilalamat:zaki.web.ugm.ac.id/web/ maka G = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25}mod.php?mod=download&o sehingga n(G) = 13.p=visit&lid=118 n(G ) 13 Peluang G adalah P(G) = = . n(S ) 2598 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Jadi, peluang terambilnya kartu berangka ganjil 13 adalah . 25 b. Misalkan, K adalah kejadian terambilnya kartu berangka kelipatan 3 maka K = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} sehingga n(K) = 8. n( K ) 8 Peluang K adalah P(K) = = . n(S ) 25 Jadi, peluang terambilnya kartu dengan angka kelipatan tiga adalah 8 . 252. Dari 36 siswa terdapat 22 orang gemar voli, 17 orang gemar tenis, dan 4 orang tidak gemar keduanya. Jika seorang siswa dipilih secara acak, berapa peluang: a. seorang siswa hanya gemar voli; b. seorang siswa hanya gemar tenis; c. seorang siswa gemar voli dan tenis; d. seorang siswa tidak gemar voli dan tenis? Penyelesaian: Langkah 1 Tuliskan apa yang diketahui dan ditanyakan. S = 36 Voli Tenis 22 – x x 17 – x Ditanyakan: 4 Peluang: a. seorang siswa hanya gemar voli; b. seorang siswa hanya gemar tenis; Gambar 4.3 c. seorang siswa gemar voli dan tenis; d. seorang siswa tidak gemar voli dan tenis. Langkah 2 Perjelas soal dengan menggunakan gambar. Pada soal ini, gunakanlah diagram Venn seperti Gambar 4.3. Langkah 3 Selesaikan soal berdasarkan gambar dengan terlebih dahulu mencari nilai x, yaitu jumlah siswa yang gemar voli dan tenis. (22 – x) + x + (17 – x) + 4 = 36 43 – x = 36 x = 7 a Peluang seorang siswa hanya gemar voli = 15 . 36 b = 10 orang. 10 Peluang seorang siswa hanya gemar tenis = . 36 Peluang 99
    • Siapa c Berani? 7 Peluang seorang siswa gemar voli dan tenis = . 36 Dua dadu dilempar secara bersamaan. d Tentukan peluang angka 4 pada salah satu dadu Peluang seorang siswa tidak gemar voli dan tenis = . 36 yang merupakan faktor dari mata dadu yang lain. Langkah 4 Periksa kembali jawaban yang diperoleh. Untuk menguji apakah jawabanmu benar atau salah, jumlahkan semua nilai peluang dari a sampai dengan d. Jika jumlah peluangnya sama dengan 1, berarti jawabanmu benar. Tahukah kamu mengapa berlaku seperti itu? Coba jelaskan. 15 10 7 4 36 1 36 36 36 36 36 Dapat disimpulkan bahwa jawaban yang diperoleh benar. Contoh 4.5 A AA A peluang munculnya a. tepat dua angka; G AG b. angka dan gambar; A GA c. paling sedikit satu angka. G Penyelesaian: Ruang sampel percobaan ini dapat ditentukan dengan diagram G GG pohon di samping. Jadi, ruang sampel percobaan ini adalah S = {AA, AG, GA, GG} sehingga n(S) = 4. a. Misalnya, E kejadian muncul tepat dua angka maka E = {AA} dan n(E) = 1. n( E ) 1 Peluang kejadian E adalah P(E) = = . n(S ) 4 1 Jadi, peluang muncul tepat dua angka adalah . 4 b. Misalnya, F kejadian muncul angka dan gambar maka F = {AG, GA} dan n(F) = 2. n( F ) 2 1 Peluang kejadian F adalah P(F) = = = . n(S ) 4 2 1 Jadi, peluang muncul angka dan gambar adalah . 2 c. Misalnya, H kejadian muncul paling sedikit satu angka maka H = {AA, AG, GA}dan n(H) = 3. n( H ) 3 Peluang kejadian H adalah P(H) = = n(S ) 4 Jadi, peluang muncul paling sedikit satu angka adalah 3 . 4100 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Tes Kompetensi 4.1Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.1. Suatu kantong berisi 4 kelereng merah, b. Mengambil kartu As dari satu set 6 kelereng putih, dan 8 kelereng hijau. kartu bridge. Sebuah kelereng diambil secara acak dari c. Memilih bilangan genap dari 20 dalam kantong itu. bilangan bulat positif pertama. a 5. Sebuah dadu dan sebuah mata uang berwarna bukan putih? logam dilemparkan ke atas bersama-sama. b. Jika pada pengambilan pertama Sebuah hasil yang mungkin muncul yang terambil adalah kelereng hijau adalah (2, A), artinya muncul muka dadu dan tidak dikembalikan, berapa bernomor 2 dan muncul angka pada peluang terambilnya kelereng hijau permukaan uang. pada pengambilan kedua? a sampel dengan meng-2. Sebuah uang logam dilemparkan ke atas gunakan diagram pohon. sebanyak empat kali. Diketahui salah b. Tentukan P(2, A), P(4, A) dan P(5, G). satu hasil yang mungkin muncul adalah c. Tentukan P(genap, G), artinya ke- angka, angka, gambar, dan gambar, mungkinan munculnya nomor ditulis AAGG. genap pada dadu dan munculnya a. Susunlah ruang sampel dengan gambar pada uang logam. model diagram yang kamu sukai. 6. Sebuah memiliki 2 sisi berwarna merah, b. Tentukan P(AAGG), P(AAAA), dan 2 sisi berwarna putih, satu sisi berwarna P(GGGG). hijau dan kuning. Jika kubus tersebut c. Tentukan peluang munculnya paling dilemparkan, tentukan peluang sisi bagian sedikit: atas yang muncul adalah (i) dua angka; (ii) tiga gambar. a. merah; c. tidak merah.3. Dua buah dadu dilemparkan ke atas b. kuning; sekaligus. Diketahui salah satu hasil yang 7. Tes kesehatan dilakukan terhadap 40 mungkin adalah muncul permukaan angka orang anak di tiga kota yang diambil 2 pada dadu pertama dan muncul angka 3 secara acak, diperoleh bahwa: pada dadu kedua, ditulis (2, 3). Kota P : 6 orang buta warna a sampel dengan cara Kota A : 2 orang buta warna membuat tabel. Kota C : 3 orang buta warna b. Tentukan P(2, 3) dan P(1, 4). a c. Tentukan peluang munculnya muka pada masing-masing kota. dadu: b. Tentukan peluang dari keseluruhan (i) berjumlah 1; pengujian bahwa seseorang itu buta (ii) berjumlah 8; warna. (iii) berjumlah 13. c4. Tentukan ruang sampel peristiwa berikut. keadaan tersebut. a. Mengambil bola dari kotak yang 8. Tentukan peluang munculnya sekurang- berisi 3 bola merah, 2 bola putih, kurangnya dua angka pada pelemparan 3 dan 1 bola hitam. mata uang secara bersamaan. Peluang 101
    • B. Frekuensi Harapan Sebuah mata uang logam dilempar sebanyak 100 kali. Dalam sekali pelemparan, peluang munculnya sisi angka adalah 1 . 2 Dari pelemparan uang logam sebanyak 100 kali, kamu dapat mengharapkan munculnya sisi angka sebanyak 50 kali. Tidak mengherankan apabila dalam percobaan itu ternyata muncul sisi angka sebanyak 47 kali, 48 kali, 52 kali, atau 56 kali. Akan tetapi, akan mengherankan apabila munculnya angka sebanyak 50 kali dari 100 kali pelemparan uang logam disebut frekuensi harapan. Dalam buku ini, frekuensi harapan dinotasikan dengan Fh. Frekuensi harapan dari suatu kejadian ialah harapan banyak nya muncul suatu kejadian yang diamati dari sejumlah percobaan yang dilakukan. Fh = P(K) N dengan P(K)= peluang kejadian K N = banyaknya percobaan Contoh 4.6 Hal Penting frekuensi harapan munculnya mata dadu bernomor 3? Penyelesaian: Istilah-istilah penting yang Misalkan, K = kejadian munculnya mata dadu bernomor 3 kamu temui pada bab ini adalah sehingga P(K) = 1 . • peluang kejadian 6 • frekuensi relatif • titik sampel • ruang sampel Fh = P(K) × 36 • kejadian acak = 1 × 36 • frekuensi harapan 6 = 6 Jadi, frekuensi harapan munculnya mata dadu bernomor 3 dari 36 kali pelemparan adalah 6 kali. Jika hasil percobaan tersebut munculnya dadu bernomor 3 jauh dari harapan, hal ini mungkin disebabkan berat pada setiap mata dadu tidak sama (dadu tidak homogen).102 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Tes Kompetensi 4.2Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.1. Sebuah dadu dilemparkan sebanyak 100 5. Diketahui bahwa peluang seorang penembak akan menembak tepat mengenai nya muka dadu bernomor: sasaran adalah 0,69. Di antara 100 orang a. 4; penembak, berapa orang yang diperkira- b. genap; kan menembak tepat mengenai sasaran? c. kurang dari 5; 6. Diketahui di suatu desa terdapat 200 d. prima. keluarga. Rata-rata jumlah anggota setiap2. Dua buah dadu dilemparkan sekaligus. keluarga adalah 6 orang dan jumlah orang Sebuah hasil yang mungkin muncul dewasa seluruhnya 500 orang. Suatu saat, adalah (3, 4). Jika percobaan dilakukan desa itu diserang suatu wabah penyakit sebanyak 250 pelemparan, berapa kali dengan peluang terjangkit wabah bagi harapan munculnya muka dadu: orang dewasa 0,3 dan bagi anak-anak a. (3, 4); b. berjumlah 7; akan terjangkit wabah tersebut? c. bernomor sama? 7. Sebuah uang logam salah satu mukanya3. Sebuah dadu dan dua buah mata uang diberi beban sehingga peluang muncul- logam dilemparkan bersama-sama. Ke- nya gambar (G) dua kali peluang mun- jadian yang mungkin muncul adalah culnya angka (A). Jika uang tersebut di- (3, A, G). Jika percobaan dilakukan lemparkan 100 kali, berapakah frekuensi sebanyak 200 kali, berapa kali harapan harapan: munculnya: a. munculnya angka (A); a. (3, A, G); b. munculnya gambar (G). b. (ganjil, G, A); 8. Pada suatu percobaan pelemparan mata c. (prima, A, A); uang logam sebanyak 200 kali, ternyata d. (genap, G, G). muncul sisi angka (A) sebanyak 70 kali4. Peluang seorang siswa lulus ujian adalah dan sisi gambar (G) sebanyak 130 kali. 0,75. Jika terdapat 600 siswa yang Mengapa hal ini terjadi? Coba kamu mengikuti ujian, berapa orang yang jelaskan. diperkirakan akan lulus? Peluang 103
    • Ringkasan Berikut ini contoh rangkuman dari sebagian materi pada bab ini. 1. Ruang sampel adalah himpunan semua 3. Kisaran nilai peluang munculnya kejadian kejadian yang mungkin diperoleh pada K adalah sebagai berikut. suatu percobaan. Setiap anggota dari 0 ≤ P(K) ≤ 1 ruang sampel disebut titik sampel. Jika P(K) = 1, kejadian K pasti terjadi. 2. Jika setiap anggota ruang sampel S Jika P(K) = 0, kejadian K tidak mungkin mempunyai peluang yang sama untuk terjadi. muncul, peluang kejadian K S 4. Jika L komplemen dari kejadian K maka yang memiliki anggota sebanyak n(K) berlaku didefinisikan sebagai berikut. P(K) + P(L) = 1 atau P(L) = 1 – P(K). P(K) = n( K ) 5. Frekuensi harapan munculnya kejadian K n(S ) didefinisikan sebagai berikut. Fh = P(K) N Coba kamu buat rangkuman dari materi yang telah kamu pelajari pada bab ini dengan kata- katamu sendiri. Tuliskan rangkuman tersebut pada buku latihanmu. Refleksi 1 kelasmu. 2. Setiap anggota kelompok menceritakan tentang faktor-faktor apa saja yang menghambat pemahamanmu terhadap materi tentang Peluang. 3. Tuliskan hasilnya, kemudian presentasikan di depan kelas bergantian dengan kelompok lain.104 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Tes Kompetensi Bab 4Kerjakanlah pada buku tugasmu.Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.1. Sebuah dadu dilempar 100 kali. Dari 4 9 hasil pelemparan tersebut, muncul a. c. 58 29 mata dadu bernomor 3 sebanyak 17 kali 7 20 dan mata dadu bernomor 5 sebanyak b. d. 9 29 18 kali. Peluang muncul mata dadu 4 bernomor 3 atau 5 adalah .... 9 100 buah. Setiap kartu diberi nomor a. 7 c. 1 sampai dengan 100. Seperangkat 20 50 17 153 kartu itu dikocok, kemudian diambil b. d. secara acak. Peluang terambilnya kartu 100 5.0002. Gambar berikut memperlihatkan bernomor bilangan prima adalah .... lempengan bernomor 1, 2, 3, 4, 5, 1 27 a. c. dan 6 dengan jarum penunjuknya. 4 100 Jika lempengan tersebut diputar, 13 7 b. d. jarum akan tetap pada posisinya. 50 25 Adapun pada saat berhenti, jarum 5. Dari pernyataan berikut yang merupa- penunjuk akan menunjuk ke angka kan suatu kepastian adalah .... tertentu. Pada pemutaran 60 kali, a. Dalam 1 tahun terdapat 365 hari. jarum menunjuk ke angka 5 sebanyak b 12 kali. Peluang jarum menunjuk ke apung. angka lima adalah .... c 1 a. d 6 1 tahun sekali. 1 b. 6. Tiga keping uang logam dilempar ber- 5 6 2 1 sama-sama. Peluang munculnya tiga c. 5 3 4 4 sisi angka adalah .... 1 d. a. 1 c. 3 3 8 83. Sebuah stoples berisi 18 butir kelereng 1 1 berwarna merah, 14 butir berwarna b. d. 4 2 hijau, 11 butir berwarna kuning, 7. Sebuah dadu dilempar sebanyak 20 dan 15 butir berwarna biru. Sebuah kali, ternyata muncul muka dadu kelereng diambil dari stoples itu secara bernomor 3 sebanyak 3 kali. Frekuensi acak. Peluang terambilnya kelereng relatif munculnya angka tiga adalah .... yang bukan berwarna merah adalah .... Peluang 105
    • 3 12. Peluang munculnya muka dadu ber- a. c. 3 20 nomor prima pada pelemparan dadu 3 bersisi 6 adalah .... b. d. 60 10 1 3 a. c. 8. Dua puluh enam kartu masing-masing 6 6 diberi huruf A, B, C, ..., Z. Sebuah kartu f C Z b. 2 d. 5 diambil secara acak dari seperangkat 6 6 kartu itu, kemudian dikembalikan. Jika Ebtanas 1998 dilakukan pengambilan sebanyak 50 13. Dari 300 kali pelemparan sebuah kali, harapan terambilnya huruf vokal dadu, frekuensi harapan munculnya adalah .... mata dadu yang merupakan faktor 9 7 prima dari 6 adalah .... a. 7 c. 11 13 13 a. 50 c. 150 8 6 b. 100 d. 200 b. 9 d. 13 13 13 Ebtanas 1999 9. Di suatu daerah, peluang bayi terkena 14. Peluang seorang pemain basket akan polio adalah 0,03 dan peluang melempar bola tepat masuk ring 0,7. terkena campak 0,05. Jika 1.500 bayi Jika ia melempar sebanyak 70 kali, di daerah itu diperiksa, bayi yang kemungkinan banyaknya bola yang terkena campak sebanyak .... tepat masuk ring adalah .... a. 45 orang a. 50 c. 10 b. 60 orang 1 c. 75 orang b. 49 d. 7 d. 100 orang 15. Sebuah dadu hitam dan sebuah dadu 10. Banyak anggota ruang sampel pada putih dilemparkan bersamaan satu kali. pelemparan sekeping uang logam dan Kemungkinan keluarnya jumlah 5 atau sebuah dadu yang dilakukan secara 10 dari kedua dadu itu adalah .... bersamaan adalah .... 1 7 a. 12 titik sampel a. c. 9 36 b. 18 titik sampel 1 5 b. d. c. 20 titik sampel 12 36 d. 24 titik sampel 16. Diagram berikut memperlihatkan 11. Dari seperangkat kartu bridge dilakukan jalan yang dapat dilalui oleh kendaraan pengambilan secara acak sebanyak 260 yang bergerak dari kota A ke kota G kali, dan setiap kali pengambilan kartu yang melalui kota-kota B, C, D, E, C E dikembalikan. Frekuensi harapan yang dan F. F terambil kartu As adalah .... A D a. 5 kali c. 40 kali E b. 20 kali d. 60 kali A G Ebtanas 1996 A F106 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Ruang sampel yang dapat dilalui 19. Frekuensi harapan munculnya mata suatu kendaraan adalah .... dadu bilangan prima pada percobaan a. {ABDG, ACDG, ABEG, ABFG, { G G G G pelemparan sebuah dadu sebanyak ABCG, ACFG} G G 300 kali adalah .... b. {ABEG, ABDG, ABCG, ACBG, { G G G G a. 65 kali ACED, ACFG} G b. 100 kali c. {ABDG, ABEG, ABCG, ACBG, { G G G G c. 150 kali ABDG, ABCG} G G d. 200 kali d. {ABDG, ABEG, ABFG, ACDG, { G G G G Ebtanas 1993 ACEG, ACFG} G G 20. Dalam suatu kardus terdapat 10 bola17. Tiga mata uang dilempar sekaligus berwarna merah, 7 bola berwarna sebanyak 80 kali. Frekuensi harapan kuning, dan 3 bola berwarna hitam. muncul dua sisi angka adalah .... Satu bolanya diambil secara acak ter- a. 35 kali nyata berwarna merah, dan tidak di- b. 30 kali kembalikan. Jika diambil satu lagi, c. 25 kali nilai kemungkinan bola tersebut d. 20 kali berwarna merah adalah ....18. Dua buah dadu dilempar bersamaan. 9 a. Kejadian yang mungkin muncul 20 adalah mata dadu berjumlah 2, yaitu 9 b. (1, 1). Artinya, muncul mata dadu 19 10 bernomor 1 pada dadu pertama dan c. 19 kedua. Peluang muncul dua mata dadu 10 berjumlah bilangan prima adalah .... d. 20 5 7 a. c. Ebtanas 1987 18 18 1 15 b. d. 3 36 Peluang 107
    • Tes Kompetensi Semester 1 Kerjakanlah pada buku tugasmu. A. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. 1. Pada segitiga ABC, DE //CB, AE = 25 5. Segitiga ABC dengan A sebesar 85° cm, EB = 25 cm, dan CB = 60 cm. dan B sebesar 70° akan sebangun Panjang DE adalah .... A dengan .... a. 20 cm a. PQR, Q = 70°, dan P = 70° b. 25 cm E b. MNO, M = 85°, dan O = 20° D c. 30 cm c. XYZ, Z = 25°, dan X = 85° B d. 60 cm d. KLM, L = 70°, dan M = 35° C 6. Diketahui sebuah tabung terbuka 2. Pada gambar berikut, besar ABC mempunyai tinggi 20 cm. Jika keliling dan ACB adalah .... 22 a. 75° dan 55° A D lingkaran alas tabung 88 cm dan π = 55° 7 b. 75° dan 50° 75° maka luas permukaan tabung tersebut c. 50° dan 55° C adalah .... d. 75° dan 55° E a. 2.068 cm2 B 3. Jika trapesium ABCD dan trapesium b. 1.914 cm2 PQRS sebangun maka panjang BC c. 1.034 cm2 adalah .... d. 1.188 cm2 S R D C 7. Diketahui sebuah kerucut dengan luas 15 cm alas kerucut 1.386 cm2. Jika tinggi 22 kerucut tersebut 28 cm dan π = , A 16 cm B P 20 cm Q 7 luas permukaan kerucut adalah .... a. 12 cm a. 3.696 cm2 b. 15 cm b. 4.567 cm2 c. 18 cm c. 3.966 cm2 d. 16 cm d. 4.657 cm2 4. Pada gambar berikut panjang KM = 8. Amati gambar berikut dengan 12 cm dan MO = 6 cm. Panjang ML saksama. adalah .... M 1.000 mL 1.000 mL a. 12 cm O 500 mL 500 mL b. 16 cm bola besi c. 24 cm d. 26 cm K L Jari-jari bola besi adalah ....108 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • a. 2,413 12. Sebuah tempat penampungan air ber- b. 2,516 bentuk tabung yang diameternya 7 dm c. 2,616 dan tingginya 0,6 m. Jika ke dalam d. 2,717 tabung tersebut dialiri air dengan debit 9. Diketahui sebuah sumur dengan 2 liter/menit, waktu yang dibutuhkan diameter 140 cm dan tinggi 12 m. Jika untuk mengisi tabung sampai penuh adalah .... isi airnya 1 volume sumur, volume air 4 a. 12 jam 24 menit 22 tersebut adalah .... b. 15 jam 24 menit 7 a. 462 liter c. 16 jam 24 menit b. 4.620 liter d. 17 jam 24 menit c. 46.200 liter 13. Sebuah bola yang terbuat dari karet d. 462.000 liter jari-jarinya 14 cm. Jika untuk setiap10. Ke dalam sebuah tabung yang berisi cm2 karet, diperlukan biaya Rp25,00, air (penuh) dimasukkan kerucut besar biaya yang diperlukan untuk pejal yang diameternya sama dengan membuat bola tersebut adalah .... diameter tabung, yaitu 10 cm dan tinggi a. Rp61.500,00 kerucut 6 cm, seperti ditunjukkan pada b. Rp75.000,00 gambar berikut. c. Rp51.050,00 S T d. Rp70.500,00 14. Sebuah corong berbentuk kerucut yang penuh berisi pasir diameternya 6 m dan tingginya 3 m. Jika pasir V tersebut dipindahkan ke dalam sebuah Jika volume air setelah dimasukkan wadah berbentuk kubus dan pasir 1 kerucut pejal menjadi 1.257 cm3, yang tersisa 1.260 liter, panjang sisi 7 kubus adalah .... tinggi tabung adalah .... a. 5 m a. 15 cm b. 3 m b. 16 cm c. 2 m c. 17 cm d. 7 m d. 18 cm 15. Mean dari data berikut ini adalah ....11. Diketahui volume sebuah kerucut Nilai 4 5 6 7 8 9 adalah V. Jika jari-jari kerucut tersebut Frekuensi 1 4 5 6 4 2 diperbesar 3 kali jari-jari kerucut semula sedangkan tinggi kerucut a. 6,5 tetap, volume kerucut menjadi .... b. 6,6 a. 3 V c. 6 V c. 6,7 b. 9 V d. 12 V d. 7 UN 2005 Tes Kompetensi Semester 1 109
    • 16. Diketahui data sebagai berikut. a. 3,5; 5; 6 14 12 11 13 10 1 4 b. 4; 5; 6 11 10 15 12 11 11 c. 4; 5; 6,5 Pernyataan dari data tersebut adalah d. 4; 5,5; 6,5 (1) rataan = 12 19. Sebuah dadu dilempar sebanyak 400 (2) modus = 11 kali. Frekuensi harapan munculnya (3) median = 12 mata dadu kelipatan 2 adalah .... Pernyataan yang benar adalah .... a. 100 a. (1) dan (2) b. 200 b. (2) dan (3) c. 300 c. (1) dan (3) d. 400 d. (1), (2), dan (3) 20. Dalam sebuah kotak terdapat 20 17. Nilai rata-rata ujian Matematika dari nama peserta undian yang dikemas 50 murid adalah 6,5. Jika dua orang secara seragam. Satu nama akan murid yang masing-masing mendapat diambil dari kotak tersebut secara nilai 8 dan 5 tidak dimasukkan dalam acak. Peluang setiap orang untuk bisa perhitungan rata-rata tersebut, nilai memenangkan undian adalah .... rata-rata ujian yang baru adalah .... 1 a. a. 6 c. 7 20 1 b. 6,5 d. 7,5 b. 10 18. Diketahui data sebagai berikut. 1 c. 5 4 7 4 3 6 7 5 Nilai kuartil bawah, median, dan d. 1 kuartil atas dari data tersebut berturut- turut adalah ....110 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Bab 5 Sumber: www6.fheberswalde.dePangkatTak Sebenarnya Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam pemecahan masalah sederhana dengan cara mengidentifikasi sifat- sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar, melakukan operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar, serta memecahkan masalah sederhana yang berkaitan dengan bilangan berpangkat dan bentuk akar.Di Kelas VII kamu telah mempelajari sifat-sifat perkalian A. Bilangan Rasionaldan pembagian bilangan bulat berpangkat bilangan bulat Berpangkatpositif. Pada bab ini sifat-sifat tersebut akan dikembangkan Bilangan Bulatsampai bilangan rasional berpangkat bilangan bulat dan B. Bentuk Akar danbentuk akar. Pangkat Pecahan Konsep-konsep bilangan berpangkat dan bentuk akarbanyak digunakan dalam bidang ilmu dan teknologi, sepertipada contoh berikut. Jari-jari penampang melintang sebuah batang tumbuhan 5dikotil pada musim dingin adalahx cm. Adapun pada 2musim panas, ukurannya menyusut x cm. Setelah mem-pelajari bab ini, kamu dapat menghitung penurunan luaspenampang tumbuhan dikotil tersebut pada musim panas. 111
    • Diagram Alur Bilangan Berpangkat terdiri atas Pangkat Sebenarnya Pangkat Tak Sebenarnya adalah adalah Pangkat Bilangan Bulat Positif Pangkat Nol Pangkat Bilangan Pangkat Pecahan sifat Bulat Negatif definisi definisi 1. am × an = am + n am a0 = 1, a bilangan dapat diubah 2. = am – n 1 an rasional dan a ≠ 0 a–n = sifat menjadi n an 3. am = am × n = an × m a bilangan rasional, 4. pan + qam = an (p + qam – n) a ≠ 0, dan n bilangan Bentuk Akar 5. pan – qam = an (p – qam – n) bulat positif pam – qan = an(pam – n – q) 1 1 n 1 1. pm = pm n m 1 2. p n = p m n = n pm m m 1 m 3. p n = p n = n p Tes Apersepsi Awal Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihanmu. 1. Tentukan nilai dari bilangan berpangkat c. 32 × 3 × 33 berikut. d. (–2)3 × (–2)2 × (–2)4 a. 72 c. (–11)2 4. Tentukan nilai dari bilangan berpangkat b. 13 3 d. (–15)3 berikut. 2. Tentukan nilai dari akar bilangan a. (23)2 berikut. b. (32)3 a. 81 c. 3 216 5. Selesaikan soal-soal berikut. 3 a. (34)2 – (15)2 b. 625 d. 512 b. (23)2 + (23)4 3. Selesaikan soal-soal berikut. a. 53 – 22 + (–3)2 b. 82 – 13 – (–2)3112 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • A. Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat1. Bilangan RasionalDi Kelas VII, kamu telah mempelajari konsep bilanganrasional. Agar tidak lupa, konsep tersebut akan dipelajarikembali pada bab ini. Untuk itu, pahami kembali definisi Tugasbilangan rasional berikut. untukmu Definisi 5.1 Coba kamu selidiki apakah bilangan-bilangan Bilangan rasional ialah bilangan yang dapat dinyatakan berikut merupakan a bilangan rasional? dalam bentuk , dengan a dan b adalah bilangan bulat a. 0,5 b b. 0,3333.... serta b ≠ 0. c. 0,16666.... d. 1,41421356237.... e. 0,08080808080808.... Bilangan 1 , 1 , 2 , – 2 , – 3 , dan – 5 merupakan bilangan 2 3 3 5 7 9 f. 3rasional karena memenuhi bentuk seperti pada Definisi 5.1. Tuliskan hasil penyelidikanmu pada buku latihan, kemudian2. Pengertian Bilangan Rasional kumpulkan kepada gurumu. Berpangkat Bilangan Bulat PositifDalam kehidupan sehari-hari, kadang-kadang kamu harusmengalikan bilangan-bilangan berikut:3×35×5×5 InfoMatika(–2) × (–2) × (–2) × (–2)(1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5) Pangkat dua dari suatu Perkalian berulang tersebut akan lebih sederhana jika bilangan yang digitditulis dalam bentuk bilangan berpangkat, seperti berikut. terakhirnya 5 dapat dihitung dengan rumus3 × 3 ditulis 32 dan dibaca "tiga pangkat dua". n (n + 1) + 255 × 5 × 5 ditulis 53 dan dibaca "lima pangkat tiga". Dalam hal ini + berarti angka-angkanya(–2) × (–2) × (–2) × (–2) ditulis (–2)4 dan dibaca "negatif didekatkan. Misalnya,dua pangkat empat". berapa nilai dari 452? 452 berarti n = 4 Coba kamu tentukan bentuk bilangan berpangkat dariperkalian berulang (1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5) × (1,5). 4 (4 + 1) + 25 Penulisan perkalian berulang dalam bentuk bilangan 20 + 25 = 2025berpangkat tersebut memperjelas definisi berikut. Jadi, 452 = 2025 Dengan penalaran Definisi 5.2 yang sama seperti perhitungan tersebut, Jika a bilangan rasional dan n bilangan bulat positif maka hitunglah perkalian berulang n faktor dari a ialah a. 752 b. 852 a a a a ... a dituli a n .. . 1 2 4 4 3 n faktor a Pangkat Tak Sebenarnya 113
    • Pada Definisi 5.2, an disebut bilangan berpangkat dengan TechnoMath a sebagai bilangan pokok dan n sebagai pangkat (eksponen). Contoh 5.1 Dengan menggunakan Calculator Scientific tipe FX-570W kamu dapat 1. Nyatakan bilangan berpangkat berikut dalam perkalian menentukan nilai (4,9)3 dengan menekan tombol- berulang, kemudian hitunglah. tombol berikut secara a. 73 c. –(34) berurutan. 3 ( 4 • 9 ) x3 2 b. (–3)4 d. 3 Pada layar akan muncul tampilan Penyelesaian: a. 73 = 7 × 7 × 7 = 49 × 7 = 343 b. (–3)4 = (–3) × (–3) × (–3) × (–3) = 9 × 9 = 81 Selanjutnya, untuk c. –(34) = –(3 × 3 × 3 × 3) = –(9 × 9) = –81 mengetahui hasilnya tekan 3 tombol = 2 2 2 2 8 d. = sehingga pada layar akan 3 3 3 3 27 muncul tampilan. 2. Sebuah bak mandi berbentuk kubus dan mempunyai panjang rusuk 9,2 dm. Berapa mililiter volume bak mandi tersebut? Penyelesaian: Diketahui: Panjang rusuk bak mandi (p) = 9,2 dm Ditanyakan: Volume bak mandi (V) dalam satuan mL. Tugas V = p3 = (9,2)3 = 9,2 × 9,2 × 9,2 = 84,64 × 9,2 = 778,688 untukmu Volume bak mandi itu adalah 778,688 dm3 atau 778,688 liter. Salin dan lengkapilah Diketahui 1 liter = 1000 ml sehingga perkalian berikut. 778,688 liter = 778,688 × 1000 mL = 778.688 mL. 1. 2,54 × 2,53 Jadi, volume bak mandi tersebut adalah 778.688 mL. = ( 4 .. 3 ) ( 4 .. 3 ) 1 2 .. 1 2 .. ... faktor ... faktor = ( .. ) ... 142 3 ... faktor 3. Sifat Bilangan Rasional Berpangkat = 2,5 ... 2. Misalkan, a adalah Bilangan Bulat Positif bilangan rasional. a3 × a5 a. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat = ( 4 .. 3 ) ( 4 .. 3 ) .. .. 1 2 1 2 ... faktor ... faktor Pelajari operasi hitung berikut. = ( 4 .. 3 ) 1 2 ... 33 × 32 = ( 4 2 3 ) ( 1 { ) ... faktor 3 f ktor fak 2 f ktor fak = a ... Berdasarkan uraian = 3 3 2 4 343 3 = 33+2 1 3 tersebut dapatkah kamu ( 3 2 ) faktor a menerka sifat umum perkalian bilangan Jadi, 33 × 32 = 33+2. berpangkat? Cobalah Sekarang, lakukan Tugas untukmu di samping. nyatakan sifat tersebut dengan kata-katamu Perkalian bilangan berpangkat tersebut memperjelas sendiri. sifat berikut ini. Kemudian, ujilah dugaanmu untuk Sifat 5.1 mengalikan 2 bilangan berpangkat sebarang. Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka am × an = am+n114 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Contoh 5.2 Siapa Berani?1. a. 52 × 53 = 52+3 = 55 b. (–2)4 × (–2)5 = (–2)4+5 = (–2)9 Panjang rusuk sebuah kubus adalah 5 cm. c. 23 × 34 tidak dapat disederhanakan karena bilangan Kemudian, panjang pokoknya tidak sama. rusuk kubus tersebut d. 3y2 × y3 = 3y2+3 = 3y5, dengan y = bilangan rasional. diperpanjang menjadi 5 kali panjang rusuk2. Ketinggian suatu benda dapat ditentukan dengan meng- semula. Berapa liter 1 2 volume kubus yang baru? gunakan rumus gerak jatuh bebas, yaitu h = gt . Dalam 2 hal ini h = ketinggian benda, g = percepatan gravitasi bumi, dan t = waktu benda sampai jatuh ke tanah. Sebuah benda dijatuhkan dari puncak sebuah gedung. Hasil pengukuran menunjukkan bahwa waktu benda sampai jatuh ke tanah adalah 4,9 detik. Jika percepatan gravitasi bumi di tempat Tugas itu 9,8 m/det2, berapa meterkah tinggi gedung tersebut? untukmu Penyelesaian: Salin dan lengkapilah Diketahui: t = 4,9 detik dan g = 9,8 m/det2 pembagian bilangan Ditanyakan: h = ? berikut. 6. 7 to 4 faktor . ... fa or 8 h = 1 gt2 = 1 × 9,8 × (4,9)2 = 4,9 × (4,9)2 6 1. 24 = ( ... ) 2 2 4 ( .. ) ... 1 2 3 4 = (4,9)1+2 = (4,9)3 = 117,649 ... faktor 6. 7 kt8r 4f 4 . faktor ... fa tor to 6.. 7 to 4 fa 8 .. faktor or Jadi, tinggi gedung tersebut adalah 117,649 meter. = ( ... ) ( ... ) ( ... ) . 1 2 3 4 ... faktorb. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat = 1 ... = 2... .. 23 ... faktorPelajari operasi hitung berikut. 2. Misalnya, a adalah 6 5 faktor 7 or 4 8 fa a 4 bilangan rasional. 5 6. 7 to 4 fa 8 . ... faktor or3 = 3 3 3 3 3 a5 ( ... ) =32 3 3 { a3 ( .. ) 1 2 3 4 .. 2 f ktor fak ... faktor ( 5 2 ) faktor fakto kt kto 6. 7 kt8r 4f 4 . faktor ... fa tor to 6.. 7 to 4 fa 8 .. faktor or } 6 7 8 4 2 f ktor fak ( ... ) ( ... ) = = 3 3 3 3 3 = 34 2 3 3 = 35–2 1 3 ( ... ) . 1 2 3 4 3 3 { ( 5 2 ) faktor a ... faktor = 1 ... = a... .. 23 2 faktor akt ... faktor 35 Berdasarkan uraianJadi, 2 = 35–2 3 tersebut, coba kamu terka sifat umumSelanjutnya, lakukan Tugas untukmu di samping. pembagian bilangan Pembagian bilangan berpangkat tersebut memenuhi berpangkat. Nyatakan sifat tersebut dengansifat berikut. kata-katamu sendiri. Kemudian, ujilah Sifat 5.2 dugaanmu untuk Jika a bilangan rasional, a ≠ 0, dan m, n bilangan bulat menghitung pembagian m dua bilangan berpangkat positif maka a n = am–n dengan m > n. sebarang. a Pangkat Tak Sebenarnya 115
    • Contoh 5.3 37 1. a. = 37–4 = 33 = 27 34 (–5)6 b. = (–5)6–4 = (–5)2 = 25 (–5)4 2 p5 c. = 2p5–2 = 2p3 p2 2. Percepatan sentripetal dari sebuah benda yang bergerak v2 melingkar dirumuskan as = r . Dalam hal ini as = percepatan sentripetal bersatuan m/det2, v = kecepatan benda bersatuan m/det, dan r = jarak benda ke pusat lingkaran bersatuan Sumber: CD Image meter. Sebuah mobil bergerak di suatu tikungan yang ber- bentuk seperempat lingkaran dengan jari-jari 16 m. Mobil melaju dengan kecepatan tetap 57,6 km/jam. Berapa m/det2 percepatan sentripetal mobil tersebut? Penyelesaian: Tugas Diketahui: r = 16 m untukmu v = 57, 6 km = 57.600 m = 16 m/det jam a 3.600 det Salin dan lengkapilah Ditanyakan as? perpangkatan berikut. as = v = 16 = 162–1 = 161 = 16 2 2 1. (54)3 = 1 ... .. 23 ... faktor r 16 = (4 .. 3 ) 1 2 .. ( .. ) .. 1 2 3 4 ( .. ) ... 1 2 3 4 Jadi, percepatan sentripetalnya adalah 16 m/det2. ... faktor ... faktor ... faktor = 1 ...3 = 5 42 ... ... × ... c. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat ... faktor 2. Misalnya, a adalah bilangan rasional. Pelajari operasi hitung berikut ini. (a2)4 = 1 ... .. 23 ... faktor (23)2 = 232 3 3 1 2 = (4 .. 3 ) (4 .. 3 ) 1 2 ... 1 2 ... 2 f ktor fak ... faktor ... faktor = ( 4 2 3 ) ( 4 2 3 ) = 2 2 422 2 2 32 1 1 1 ( ... ) ( ... ) ( 2 3 ) faktor a 1 24 4 3 1 24 4 3 3 f ktor fak 3 faktor a ... faktor ... faktor 2×3 = 1 ...3 = a .. ... × ... =2 42 ... faktor Jadi, (23)2 = 22×3 = 23×2 Kemudian, ujilah dugaanmu untuk Sekarang, kerjakan Tugas untukmu di samping. memangkatkan bilangan Perpangkatan bilangan berpangkat yang telah kamu berpangkat sebarang. Berdasarkan uraian pelajari tersebut memperjelas sifat berikut. tersebut, dapatkah kamu Sifat 5.3 menduga sifat umum perpangkatan bilangan Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka berpangkat? Cobalah (am)n = am×n = an×m nyatakan sifat tersebut dengan kata-katamu sendiri.116 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Contoh 5.41. a. (34)2 = 34×2 = 38 5 3 5 3 15 b. 1 = 1 = 1 2 2 2 3 4×3 c. ( ) = (–2) = (–2)122. Energi kinetik (Ek) sebuah benda bermassa m kg yang 1 bergerak dengan kecepatan v m/det dirumuskan Ek = mv2. 2 Sebuah benda bermassa 6 kg bergerak dengan kecepatan 27 m/det. Berapa joule energi kinetik benda tersebut? Penyelesaian: Diketahui: m = 6 kg v = 27 m/det = 33 m/det Ditanyakan: Ek = ? 1 1 Ek = mv2 = × 6 × (33)2 = 3 × 33×2 = 3 × 36 = 37 = 2.187 2 2 Jadi, energi kinetiknya adalah 2.187 joule. Tugasd. Sifat Perpangkatan dari Bentuk Perkalian untukmuPelajarilah operasi hitung berikut. Salin dan lengkapilah(2 × 3)3 = ( 1 ) ( 2 4) 4 (4 4 ) 3 operasi hitung berikut. 3 faktor f 1. (3 × 5)4 = 1 ...... 23 ... faktor =( = 23 × 33 14 2 3 ) ( 4 2 3 ) 1 = (4 .. 3 ) (4 .. 3 ) 1 2 ... 1 2 ... 3 f ktor fak 3 faktor a ... faktor ... faktorJadi, (2 × 3)3 = 23 × 33. = ... × ... 2. Misalkan, a dan bSekarang, kerjakan Tugas untukmu di samping. bilangan rasional. Perpangkatan dari bentuk perkalian yang telah kamu (a × b)5 = 1 ... .. 23 ... faktorpelajari tersebut memperjelas sifat berikut. = (4 .. 3 ) (4 .. 3 ) ... ... 1 2 1 2 Sifat 5.4 ... faktor ... faktor = ... × ... Jika n bilangan bulat positif dan a, b bilangan rasional maka Berdasarkan uraian (a × b)n = an × bn tersebut coba kamu terka sifat umum perpangkatan dari bentuk perkalianContoh 5.5 tersebut. Nyatakan sifat itu dengan kata-katamu sendiri.1. a. (2 × 5)2 = 22 × 52 = 4 × 25 = 100 b. {(–3) × 2)3 = (–3)3 × 23 = –27 × 8 = –216 c. (–3pq)4 = (–3)4 × p4 × q4 = 81p4q42. Suatu alat listrik mempunyai hambatan 2 × 102 ohm dialiri arus 3 × 102 ampere selama 2 menit. Berapa joule besarnya energi listrik yang digunakan? Pangkat Tak Sebenarnya 117
    • Tugas Penyelesaian: untukmu Diketahui: R = 2 × 102 ohm I = 3 × 102 ampere Bersama kelompok belajarmu, coba kamu t = 2 menit = 120 detik selidiki mengapa pada Ditanyakan W? Sifat 5.5 nilai b tidak W = I 2 R t = (3 × 102)2 × 2 × 102 × 120 boleh sama dengan nol. Presentasikan hasil = 32 × (102)2 × 2 × 102 × 1,2 × 102 penyelidikanmu di depan = 9 × 2,4 × 104 × 102 × 102 = 21,6 × 108 = 2,16 × 109 kelas bergantian dengan kelompok yang lain. Jadi, energi listrik yang digunakan sebesar 2,16 × 109 joule. e. Sifat Perpangkatan dari Bentuk Pembagian Tugas untukmu Untuk memahami sifat perpangkatan dari bentuk pembagian, pelajarilah operasi hitung berikut dengan saksama. Salin dan lengkapilah operasi hitung berikut. 2 }faktor 2f k 2 2 1. 3 4 = 1 ...3 .. = 2 2 = 2 2 = 22 5 42 ... faktor 3 { 3 3 3 3 { 3 2 f ktor fak 2 f ktor fak 6. 7 to 4 faktor . ... fa or 8 ... ( ... ) = 3 2 2 ( .. ) 1 2 3 4 .. 5... Jadi, 2 = 22 ... faktor 3 3 2. Misalkan, a dan b Sekarang, kerjakan Tugas untukmu di samping. bilangan rasional a 3 Perpangkatan dari bentuk pembagian yang telah kamu = 1 ...3 ... b 42 ... faktor pelajari itu memperjelas sifat berikut. 6. 7 to 4 faktor . aktor ... fa or 8 Sifat 5.5 ( ... ) a... = ( .. ) .. = b... Jika a, b bilangan rasional, b ≠ 0, dan n bilangan bulat 1 2 3 4 n n positif maka a = an . ... faktor Berdasarkan uraian tersebut coba kamu terka b b sifat umum perpangkatan dari bentuk pembagian Contoh 5.6 itu. Nyatakan sifat tersebut dengan kata- 3 2 katamu sendiri. 3 3 27 2 pq 22 p 2 q 2 4 p2q 2 1. = 33 = 3. = = 7 7 343 r r2 r2 4 4 2. 2 = ( ) = 16 3 34 81 f. Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Berpangkat Catatan Sebelum mempelajari sifat penjumlahan dan pengurangan bilangan berpangkat, dapatkah kamu menyederhanakan Sifat distributif pada bentuk aljabar adalah penjumlahan bilangan berpangkat berikut? a (b + c) = ab + ac. a. 35 + 37 c. 2 × 53 + 55 b. (–3)3 + (–3)5118 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Cocokkan hasilnya dengan jawaban berikut. InfoMatikaa. 35 + 37= 35 (1 + 32) (sifat distributif ) 5 5 = 3 × 10 = 10 × 3b. (–3)3 + (–3)5 = (–3)3 (1 + (–3)2) (sifat distributif ) 3 3 = (–3) × 10 = 10 × (–3)c. 2 × 5 + 5 = 53 (2 + 52) 3 5 (sifat distributif ) = 53 × 27 = 27 × 53 Uraian tersebut sesuai dengan konsep penjumlahanbilangan berpangkat seperti berikut. Edward Waring Sifat 5.6 (1743–1798) Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah Setiap bilangan bulat bilangan bulat positif, dengan m ≥ n maka merupakan bilangan pangkat tiga dari pan + qam = an(p + qam–n) bilangan itu sendiri atau merupakan jumlah Konsep penjumlahan dua bilangan berpangkat tersebut dari beberapa bilangan pangkat tiga. Pernyataanberlaku juga untuk pengurangan dua bilangan berpangkat ini diungkapkan olehseperti berikut. seorang matematikawan Inggris, Edward Waring, Sifat 5.7 pada tahun 1770. Pernyataan tersebut Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah dapat dibuktikan bilangan bulat positif, dengan m ≥ n maka kebenarannya. Jika diambil sebarang pan – qam = an(p – qam – n) bilangan bulat, pam – qan = an(pam – n – q) bilangan tersebut dapat dinyatakan sebagai bilanganContoh 5.7 bulat berpangkat tiga. Misalnya, 3 = 43 + 43 + (–5)3 dan1. 25 + 27 = 25 (1 + 22) (sifat 5.6) 20 = 43 + 43 + (–3)3 + = 25 × 5 = 5 × 25 (–3)3 + (–3)3 + (–3)3.2. 55 – 57 = 55 (1 – 52) (sifat 5.7) Sumber: Ensiklopedi Matematika & Peradaban Manusia, 2002 = 55 × (–24) = –24 × 553. 3 × 7 – 2 × 75 = 75 (3 × 7 – 2) 6 (sifat 5.6) = 75 × 19 = 19 × 75 Tugas untukmu4. Sifat Bilangan Rasional Berpangkat 1. Gunakan Sifat 5.2 untuk Bilangan Bulat Negatif dan Nol menyederhanakan a5 . a8a. Pengertian Pangkat Bilangan Bulat Negatif 2. Dengan menuliskan ke dalam bentuk faktor-Berdasarkan Sifat 5.2, telah dipelajari bahwa untuk a adalah faktornya, sederhana-bilangan rasional, a ≠ 0, dan m, n adalah bilangan bulat kanlah a5 . a8 am Berdasarkan keduapositif dengan m > n, berlaku = am–n. langkah tersebut, an apa yang dapat kamu simpulkan? Pangkat Tak Sebenarnya 119
    • Siapa Sifat tersebut dapat dikembangkan untuk m < n. Sebagai Berani? contoh, amatilah bentuk berikut. a3 Bilangan sempurna = a3–5 = a–2 ... (1) adalah bilangan yang a 5 Dengan cara menuliskan ke dalam bentuk faktor- jumlah seluruh faktornya sama dengan dua kali faktornya, pembagian tersebut dapat dituliskan sebagai bilangan tersebut. Sebagai contoh, 28 berikut. a3 a a a = a a a merupakan bilangan 1 sempurna karena jumlah = seluruh faktornya sama a5 a a a a a a a a a a dengan 2 × 28, yaitu =1× 1 = 1 ... (2) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 a a a2 = 56 1 = 2 × 28 Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa a–2 = . Untuk mengetahui a2 bilangan sempurna, Dengan demikian, kamu dapat mengubah bilangan salah satunya dapat menggunakan rumus rasional berpangkat bilangan bulat negatif ke dalam bentuk 2p (P p+1 – 1). bilangan rasional berpangkat bilangan bulat positif dan Dalam hal ini p merupakan bilangan sebaliknya. prima. Coba kamu Secara umum, untuk bilangan berpangkat n, dengan n tentukan paling sedikit dua buah bilangan adalah bilangan bulat positif dapat ditulis seperti berikut. sempurna lainnya (selain 28) dengan menggunakan 1 = a–n, a ≠ 0 rumus tersebut. an Sekarang, amati bentuk perpangkatan berikut yang dihitung dengan menggunakan kalkulator. InfoMatika 1 1 –1 = 0,25 = –2 = 0,111 ... = 1 = 2 4 9 3 –3 = 0,125 = 1 = 13 8 2 cokelat Uraian tersebut memenuhi definisi bilangan rasional hitam berpangkat bilangan bulat negatif seperti definisi berikut. merah perak Definisi 5.3 Nilai dari komponen Jika a bilangan rasional, a ≠ 0, dan n adalah bilangan bulat resistor ditandai oleh sebuah sistem warna positif maka a–n = 1n garis. Inilah cara untuk a menuliskan bilangan yang besar dalam benda yang kecil. Dua garis yang Contoh 5.8 pertama menunjukkan sebuah bagian dan yang ketiga mewakili operasi Ubahlah bentuk pangkat berikut menjadi bentuk pangkat perkalian dengan pangkat positif. 10. Adapun garis yang a. 5–2 b. 2–3 keempat menunjukkan toleransi nilai. Penyelesaian: Sumber: Ensiklopedi Matematika & Peradaban Manusia, 2002 a. 5–2 = 12 b. 2–3 = 13 5 2120 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Sifat pangkat bilangan bulat positif dari Sifat 5.1 sampai Siapadengan Sifat 5.5 berlaku juga untuk bilangan berpangkat Berani?bilangan bulat negatif, dengan a, b adalah bilangan rasional 1. Ubahlah bentukdan m, n adalah bilangan bulat negatif. Coba kamu tuliskan pangkat berikutkelima sifat tersebut di buku tugasmu. menjadi bentuk pangkat positif.Contoh 5.9 a. 10–7 b. (–2)–3 c. (–8)–2a. 5–4 × 56 = 5–4 + 6 = 52 = 5 × 5 = 25 d. 7–15 2 2. Selesaikan soalb. ( )2 = (–3)2 – 4 = (–3)–2 = ((–3)–1)2 = 1 berikut. Kemudian, ( )4 3 ubahlah hasilnya 1 × 1 = 1 ke bentuk pangkat = negatif. 3 3 9 2 2 5 a. 5 5b. Pengertian Pangkat Nol 4 1 2 2 b. 2 2Kamu telah mempelajari Sifat 5.2 bilangan rasional ber- 2 2 2 3 mpangkat bilangan bulat positif dan negatif, yaitu a n = am–n, 7 7 c. 3 a 7dengan a bilangan rasional, m dan n adalah bilangan bulat,m ≠ 0, n ≠ 0, serta m ≠ n. Sekarang, amati sifat tersebutuntuk m = n. TugasSebagai contoh, a 5 = a5–5 = a0 5 ... (1) untukmu a Pada Definisi 5.4, disebut- Dengan cara menuliskan ke dalam bentuk faktor-faktornya, kan bahwa a0 = 1. Selidiki mengapa hal tersebutpembagian tersebut dapat dituliskan sebagai berikut. berlaku untuk a bilangana5 = a a a a a = 1 ... (2) rasional dan a ≠ 0? Bagaimana jika a = 0?a5 a a a a a Tulis hasil penyelidikanmu pada buku tugasmu, Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa a0 = 1. kemudian kumpulkan Uraian tersebut memenuhi konsep bilangan berpangkat pada gurumu.nol seperti definisi berikut. Definisi 5.4 a0 = 1, dengan a bilangan rasional dan a ≠ 0 Siapa Berani? Sifat 5.1 sampai dengan Sifat 5.5 yang telah kamu pelajaripada bagian 3 berlaku juga untuk bilangan berpangkat nol, Ubahlah bentuk pangkat berikut menjadi bentukdengan m = n = 0, a adalah bilangan rasional, dan a ≠ 0. pangkat positif.Coba tuliskan kelima sifat tersebut. 5 4 a.Contoh 5.10 7 5 2 b. 9Hitunglah bentuk perpangkatan bilangan rasional berikut. c. (0,1)–2 2 2 3 2 3 2 2 2 d. (0,15)–11. 2. 3. 2 3 5 5 3 Pangkat Tak Sebenarnya 121
    • Penyelesaian: 3 2 2 2 2 8 1. = = 3 3 3 3 27 3 2 3 ( 2) 1 2. 2 2 = 2 = 2 = 2 5 5 5 5 5 2 2 2 4 2 4 3. 2 = 2 = 2 = 24 = 16 3 3 3 3 81 Tes Kompetensi 5.1 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. 1. Hitunglah: a. 3–5 × 33 : 3–4 Tentukan R jika R1 = 1 , R2 = 12 , 2 2 4 b. 2 22 R3 = 23 , dan R4 = 22 . 1 2 25 5. Diketahui produksi semen (x) sebuah c. (0,25)–2 × (0,25)4 pabrik memenuhi persamaan d. (2 × 7)3 × 72 × 1 x = 5 × 2–4 × t2 × 106 2 75 dengan t bilangan bulat positif yang 3 2 30 52 menyatakan waktu berjalan dalam tahun. e. 52 Jika keuntungan perusahaan dinyatakan p 2 2 oleh p dari persamaan = 2–5 × 105, 2. Hitunglah 5 1 7 1 dan nyatakan hasilnya x 5 7 berapakah keuntungan perusahaan yang dalam bentuk yang paling sederhana. diperoleh selama 3 tahun? 3. Volume sebuah kerucut dinyatakan 6. Gunakanlah Sifat 5.6 dan 5.7 untuk 1 menyederhanakan bilangan berpangkat dengan rumus V = 3 berikut. r2t, dengan r = jari-jari t a. 2 × 85 + 5 × 86 alas kerucut dan t = tinggi b. 2 × 75 + 3 × 74 r kerucut. c. 3 × (–5)6 – 2 × (–5)5 d. 5 × 113 – 7 × 114 Jika r = 1 d, dalam hal ini d = 7. Hambatan sebuah alat listrik (R) bersatuan 2 diameter alas kerucut, nyatakan: V2 a. V dalam , d, dan t; ohm dirumuskan R = . Dalam hal ini P b. t dalam V, dan r; V = tegangan listrik bersatuan volt, dan P = c. d dalam , V, dan t; daya listrik bersatuan watt. Pada sebuah alat d. t dalam , V, dan d. listrik tertulis 220 volt, 220 watt. Berapa 4. Hambatan total R dari sebuah rangkaian ohm hambatan alat listrik tersebut? seri paralel ditentukan oleh persamaan 8. Besarnya energi listrik yang digunakan 1 1 1 1 1 1 1 pada sebuah alat listrik dirumuskan R= W = I 2Rt. Dalam hal ini W = energi listrik R1 R2 R3 R4 bersatuan joule, I = kuat arus listrik122 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • bersatuan ampere, R = hambatan listrik 10. Panjang sebuah karet gelang () dirumuskan bersatuan ohm, dan t = waktu bersatuan sebagai berikut. 2 detik. Suatu alat listrik mempunyai –3 –3 25 = (4a ) hambatan 3 × 102 ohm dialiri arus 102 ( 9)4 ampere selama 5 menit. Berapa joule dengan a merupakan bilangan 1, 2, 3, besarnya energi listrik yang digunakan? 4, dan 5 yang menyatakan jenis karet9. Sebuah penampungan air berbentuk kubus gelang. Jenis karet gelang manakah yang dengan panjang rusuk 1,5 × 103 cm. Berapa memiliki ukuran terpanjang? liter volume penampungan air tersebut?B. Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan1. Bilangan Real ADi Subbab A kamu telah mempelajari konsep bilanganrasional. Agar kamu lebih memahami konsep bilanganrasional, coba kamu selidiki apakah bilangan-bilangan 1berikut merupakan bilangan rasional?a. –3 c. 0, 13245814 .... 45° B Cb. 0,252525 .... d. 1 Gambar 5.1Sekarang, pelajarilah Gambar 5.1. Gambar tersebut memperlihatkan sebuah segitiga siku-siku istimewa dengan besar sudut lancipnya 45° dan panjang Catatansisi siku-sikunya 1 satuan panjang. Panjang sisi AC dapat ditentukan dengan menggunakan Hubungan antara macam-macam bilanganDalil Pythagoras seperti berikut. dapat disajikan seperti diagram berikut.(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 × AC = 12 12 = 2 . Bilangan RealJadi, panjang sisi AC adalah 2 satuan panjang. Amati bilangan 2 tersebut. Dengan menggunakan Bilangan Bilangankalkulator, akan diperoleh nilai 2 = 1,414213562.... Rasional IrasionalApakah 2 merupakan bilangan rasional? Coba kamu 2 = a , dalam hal ini a dan Bilangan Bilangancari nilai-nilai a dan b agar Bulat Pecahan bb bilangan bulat dan b ≠ 0. Ternyata, tidak ada nilai a dan Bilanganb yang memenuhi a = Bilangan Bulat Cacah 2 , sehingga 2 bukan bilangan Negatif brasional. Jadi, 2 merupakan bilangan irasional. Gabungan Bilangan Bilangan Noldari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan Bulat Positif (Bilanganirasional merupakan himpunan bilangan real. Asli) Pangkat Tak Sebenarnya 123
    • 2. Pengertian Bentuk Akar Siapa Untuk memahami pengertian bentuk akar, pelajarilah Berani? perhitungan-perhitungan berikut ini. 4 = 22 = 2 16 = 42 = 4 Bentuk 4 x 2 dengan x ≥ 0 32 = 3 9 = 25 = 52 = 5 dapat merupakan Berapakah 36 , bentuk akar atau bukan 49 , 64 , dan 81 ? bentuk akar. Tentukan Perhitungan akar pangkat bilangan tersebut memenuhi paling sedikit dua nilai definisi berikut. x agar bentuk tersebut merupakan Definisi 5.5 a. bentuk akar, b. bukan bentuk akar. a , bil a 0 a2 = a , bil a 0 Amati contoh-contoh berikut. Tugas 1. Misalkan, a = 2 (a > 0) untukmu Nilai a 2 = 22 = 2 Bentuk akar hanyalah sebagian kecil dari 2. Misalkan, a = –2 (a < 0) anggota-anggota himpunan bilangan Nilai a 2 = ( )2 = –(–2) = 2 irasional. Contoh bilangan Sekarang, adakah akar pangkat yang tidak memenuhi? irasional yang bukan bentuk akar yaitu dan Akar pangkat bilangan yang tidak memenuhi Definisi 5.5 e. Carilah informasi dinamakan bentuk akar, seperti 2 , 3 , 5 , 7 , dan 8 . mengenai bilangan dan e. Kemudian, buatlah Bentuk akar tersebut merupakan bilangan irasional. laporan dari tugas tersebut dan kumpulkan. 3. Menyederhanakan Bentuk Akar Sebuah bentuk akar dapat disederhanakan menjadi per- kalian dua buah akar pangkat bilangan, dengan salah satu akar pangkat bilangan memenuhi Definisi 5.5. Amati dan Siapa pelajari contoh berikut. Berani? 8 = 4 2 = 4 × 2 =2× 2 =2 2 Perhatikan balok berikut. 18 = 9 2 = 9 × 2 = 3 × 2 = 3 2 H G Berdasarkan perhitungan tersebut, dapatkah kamu F E menemukan sifat berikut? D C Sifat 5.8 A B ab a b, Diketahui AB = 8 cm, dengan a dan b adalah bilangan rasional positif. BC = 4 cm, dan CG = 6 cm. Hitunglah panjang diagonal sisi AC Contoh 5.11 dan diagonal ruang AG dalam bentuk akar yang paling sederhana. 1. 12 = 4 3 = 4 × 3= 2 3 2. 24 = 4 6 = 4 × 6 = 2 6124 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • 4. Operasi Aljabar pada Bentuk Akara. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk AkarDi buku Kelas VII Bab 3, kamu telah mempelajari penjum-lahan dan pengurangan bentuk aljabar, misalnya2x + 3x = (2 + 3)x = 5x ... (1)5y – 2y = (5 – 2)y = 3y ... (2)Konsep tersebut berlaku juga untuk bentuk akar, misalnya2 2 + 3 2 = (2 + 3) 2 = 5 2 ... (3)5 3 – 2 3 = (5 – 2) 3 = 3 3 ... (4) Berdasarkan kedua contoh tersebut dapatkah kamu Siapamenerka sifat umum penjumlahan dan pengurangan bentuk Berani?akar? Nyatakan sifat tersebut dengan kata-katamu sendiri. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar tersebut Hitunglah operasi bentuk akar berikutmemperjelas sifat berikut. dengan terlebih dahulu menyederhanakan bentuk Sifat 5.9 akarnya. a. 2 + 32 a c b c = (a + b) c b. 6 + 54 – 250 a c b c = (a – b) c c. 32 – 2 + 8 dengan a, b, c adalah bilangan rasional dan c ≥ 0. d. 4 3– 27 12Contoh 5.121. 4 2 + 3 2 – 2 2 = (4 + 3 – 2) 2 = 5 22. 3 5 +3 2 (Tidak dapat dijumlahkan karena tidak meme- nuhi aturan penjumlahan bentuk akar)b. Perkalian Bentuk AkarDengan menggunakan Sifat 5.8, kamu dapat menghitung Siapaperkalian bentuk akar berikut. Berani? 2 3 = 2 3 = 6 Sederhanakan bentuk 3 3 = 3 3 = akar berikut. 9 =3 a. 2 5 2 55 3 6 2 = 5 × 6 × 3 2 = 30 6 b. 5 7 5 7 Ketiga perkalian tersebut memenuhi sifat perkalian c. 7 12 2bentuk akar, yang secara umum ditulis seperti berikut. d. 10 8 2 2 Sifat 5.10 e. a b c d = ac bd dengan a, b, c, d adalah bilangan rasional, b ≥ 0, dan d ≥ 0. Pangkat Tak Sebenarnya 125
    • Contoh 5.13 Sederhanakan bentuk-bentuk berikut. 2 a. 3 2 3 2 b. 5 3 Penyelesaian: a. Ingat perkalian suku dua. (a + b) (a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2 Oleh karena itu, 2 2 3 2 3 2 = 3 2 3 2 3 2 = 3× 3– 2 × 2 =3–2=1 Siapa b. Ingat, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Berani? Oleh karena itu, 2 2 2 5 3 = 5 +2 5× 3 + 3 Sederhanakan bentuk akar berikut. = 5 × 5 + 2 15 + 3 × 3 a. 20 50 = 5 + 2 15 + 3 = 8 + 2 15 4 2 b. 150 252 12 14 c. Pembagian Bentuk Akar c. 2 27 3 2 18 24 Untuk memahami pembagian bentuk akar, amati dan pelajarilah uraian berikut. 1. 100 : 4 = 10 : 2 = 5 = 100 : 4 = 25 = 5 2. 36 : 9 = 6 : 3 = 2 = 36 : 9 = 4 = 2 Berdasarkan uraian tersebut, diperoleh hubungan berikut. 1. 100 : 4 = 100 : 4 = 5 2. 36 : 9 = 36 : 9 = 2 Tugas Perhitungan tersebut menggambarkan sifat pembagian untukmu dalam bentuk akar seperti berikut. Pada Sifat 5.11, dituliskan persamaan Sifat 5.11 a a a = a atau a = a b b dengan a dan b bilangan b b b b rasional, a ≥ 0, dan b > dengan a dan b adalah bilangan rasional, a ≥ 0, dan b > 0. 0. Selidikilah bagaimana jika a dan b negatif? Berilah beberapa Contoh 5.14 contoh, lalu amati. Kemudian, tuliskan hasil penyelidikanmu 18 = 18 = 6 15 = 6 15 = 2 5 pada buku tugasmu dan a. 6 b. kumpulkan pada gurumu. 3 3 3 3 3 3126 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • 5. Merasionalkan Penyebut Suatu PecahanKamu telah mempelajari bahwa bentuk akar merupakan bilanganirasional, seperti 2 , 5 , 2 + 5 , 3 – 2 , dan 5 + 3 .Pecahan bentuk akar merupakan bilangan irasional juga Misalnya 1 , 1 , 3 , 5 , dan 1 . 2 5 2 6 3 2 3 5 3 Penyebut pecahan-pecahan tersebut dapat diubahmenjadi bilangan rasional. Cara merasionalkan setiappenyebut berlainan. Akan tetapi, prinsip dasarnya sama, yaitumengalikan penyebut-penyebut tersebut dengan pasanganbentuk akar sekawannya sehingga diperoleh penyebutbilangan rasional. Berdasarkan contoh pecahan-pecahan bentuk akartersebut, secara umum bentuk akar yang dapat dirasionalkan, a c c c cyaitu , , , , dan , dengan b a b a b b d b da, b, c, dan d adalah bilangan rasional dan b > 0, d > 0. Penyebut dari pecahan-pecahan tersebut berturut-turut b ,a b ,a b, b d , dan b d . Apakah bentuksekawan dari setiap penyebut itu?a. Bentuk sekawan dari b adalah b .b. Bentuk sekawan dari a + b adalah a – b .c. Bentuk sekawan dari b + d adalah b – d . Perkalian bentuk akar dengan sekawannya akanmenghasilkan bilangan rasional. Berikut ini perkalian bentuk akar dengan pasangansekawannya yang menghasilkan bilangan rasional. 2a. b × b = b =b 2b. a b a b = a2 – b = a2 – b 2 2 InfoNetc. b d = b – d =b–d b d Kamu dapat menambah dengan b, a2 – b, dan b – d adalah bilangan rasional. wawasanmu tentang materi Sampai saat ini, kamu telah mempelajari perkalian penye- dalam bab ini dari internet dengan mengunjungi alamat:but pecahan bentuk akar dengan pasangan sekawannya sehingga manajemen.klanis.or.id/diperoleh penyebut bilangan rasional. Sekarang, kamu akan warehouse/bab%2021%20 bilangan%20pangkat.docmempelajari bagaimana penerapannya dalam merasionalkanpenyebut dari pecahan bentuk akar. Secara umum, pecahanbentuk akar yang dapat dirasionalkan penyebutnya adalah a c c c , dan c . , , , b a b a b b d b d Pangkat Tak Sebenarnya 127
    • Pecahan tersebut masing-masing dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawan dari penyebutnya, yaitu sebagai berikut. a = a b b a. Ingat , 1 b b b b = a b2 = a b = a b b b Uji Kecerdikan b c c a b a b b b. = Ingat , 1 Kerjakan soal-soal a b berikut. Kemudian, a b a b a b pasangkan hasilnya dengan jawaban yang = c a b = c a2 b = c a b bersesuaian dengan 2 a b a2 b cara menuliskan huruf- a 2 b huruf soal pada kotak c c a b c yang tersedia. Jika kamu c. = = 2 a b menjawab dengan benar, a b a b a b a b kamu akan memperoleh kalimat pernyataan dari c c b d = c seorang matematikawan d. = b d b d b d b d b d Jerman, Carl Friedrich Gauss. c c b d = c e. = b d A. 34 × 3–6 3 b d b d b d b d 16/81 6 E. –125 1/9 Contoh 5.15 H. (–5) 3 1/6 6 I. 43 2 –3 Sederhanakan penyebut pecahan-pecahan berikut dengan me- 4 4 –3 rasionalkan penyebutnya. 1 K. 22 1/9 10 6 1/4 a. b. M. 3 27 1/9 5 5 2 256 N. 4 : 44 Penyelesaian: 3 1/9 a. 10 = 10 5 = 10 5 = 2 5 R. 2 3 5 40 5 256 5 5 5 2 T. 3 3 6 6 5 2 –3 b. = 4 4 5– 2 5 2 5 2 2 U. 3 3 = 6 5 2 = 6 5 2 = 2 5+2 2 5 2 3 6. Pangkat Pecahan Kamu telah mempelajari bilangan rasional berpangkat bilangan bulat positif, nol, dan bilangan bulat negatif. Selanjutnya, kamu akan mempelajari bilangan berpangkat pecahan. Misalkan,128 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • pandanglah persamaan 9n = 3. Ini berarti 9 dipangkatkan n samadengan 3. Selain itu, 9n = 3 dapat juga ditulis dalam bentuk(32)n = 3 × 32n = 31 1 Artinya, 2n = 1 atau n = . Jadi, jika 9n = 3, sama artinya 1 2dengan 9 2 = 3. 1 1 Pada bentuk 9 2 , bilangan adalah eksponen pecahan. 1 2Bilangan 9 2 dinamakan bilangan berpangkat pecahan.Sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa 9 = 3 dan 1 19 2 = 3. Jadi, 9 2 = 9 = 3. Secara umum, jika an = p dengan a, p adalah bilangan real 1dan n adalah bilangan bulat, dengan n > 0 maka a = p n . Catatan Definisikan a = n p (dibaca: "a adalah akar pangkat ndari p"). Pada definisi tersebut berlaku ketentuan berikut. • Bilangan berpangkat(i) p merupakan bilangan real positif dan nol untuk n bilangan tak sebenarnya meliputi, bilangan genap. berpangkat nol,(ii) p merupakan semua bilangan real untuk n bilangan ganjil. bilangan berpangkat Contoh: Jika 125k = 5 maka bilangan bulat negatif, dan bilangan 1 (53)k = 5 53k = 51 3k = 1 k = berpangkat pecahan 3 seperti 1 2 1 Jadi, 125 3 = 5, atau 3 125 = 5. 2–3, 5–2, 30, 50, 33 , 32 2 1 1 , dan .Dengan menggunakan pengembangan Sifat 5.3, kamu dapat 2 3menentukan hubungan antara akar pangkat suatu bilangan • Bilangan berpangkatdan bilangan berpangkat pecahan seperti berikut. bilangan bulat n positif disebut juga 1 n 1 n bilangan berpangkat pn = pn = p n = p1 = p sebenarnya, seperti 5 1 n 23, (–3)2, , (0,2)3, 1 2 p n =p 2 10 , dan 1 3 . 5 3 1 1p n adalah akar pangkat n dari p atau dituliskan n p = pn . 1p n disebut bilangan berpangkat pecahan. 1Pada p n berlaku ketentuan berikut.(i) p merupakan bilangan real positif dan nol, untuk n bilangan genap.(ii) p merupakan semua bilangan real untuk n bilangan ganjil. Secara umum, untuk bilangan berpangkat pecahan,berlaku sifat berikut. Pangkat Tak Sebenarnya 129
    • Sifat 5.12 Sifat 5.13 Uji Kecerdikan 1 m 1 m 1 n = pm pm 1 1 n p pn = p n n = Penjualan sepeda motor m = p m n pada suatu dealer mengikuti persamaan 3 Sifat 5.14 p = 1.000 t 2 . m m m 1 m 1 2 p n = pn = p n = n p Dalam hal ini, t adalah bilangan bulat positif yang menyatakan waktu dalam tahun. Berdasarkan Sifat 5.13 dan 5.14, terlihat bahwa a. Hitung banyaknya sepeda motor yang m m terjual pada tahun pn = n pm = n p ke-4. b. Apakah penjualan terus meningkat Contoh 5.16 dari tahun ke tahun? Jika ya, bagaimana pendapatmu mengenai dampaknya 1. Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut. 5 terhadap lingkungan? a. 3 8 b. 23 Penyelesaian: 3 3 a. 3 8 = 23 = 2 3 = 21 = 2 5 3 3 3 3 3 b. 23 = 25 = 32 = 8 4= 8 4 3 = 2 3 4 = 2 × 3 4 = 23 4 3 2. Ubahlah bentuk akar berikut menjadi pangkat pecahan. a. 3 52 b. 5 81 Penyelesaian: 2 4 5 Hal Penting a. 3 52 = 53 b. 5 81 = 34 = 3 5 3. Ubahlah pangkat pecahan berikut menjadi bentuk akar. 1 • eksponen 3 3 • polinem a. 12 4 b. 63 c. 22 • bilangan berpangkat Penyelesaian: • pangkat negatif 3 3 • pangkat pecahan a. 12 4 = 4 123 c. 22 = 2 23 = 23 = 8 = 2 2 • bentuk akar 1 3 b. 6 = 3 6 Contoh 5.17 x Jari-jari penampang melintang sebuah batang tumbuhan dikotil 5 pada musim dingin adalah x cm. Adapun pada musim 2 x x panas, ukurannya tersebut menyusut sejauh x cm, seperti pada gambar di samping. Hitunglah penurunan luas penampang x tumbuhan dikotil tersebut pada musim panas.130 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Penyelesaian:Langkah 1Menuliskan apa yang diketahui dan yang ditanyakan soal tersebut. 5Diketahui: Jari-jari batang mula-mula = r1 = x cm 2 5 Jari-jari batang setelah menyusut r2 = x x cm 2Ditanyakan: Penurunan luas penampang ( L)Langkah 2 SiapaMenentukan konsep yang akan digunakan untuk menjawab Berani?soal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah luas daerah 1. Sederhanakanlahlingkaran dan operasi pada bentuk akar. soal-soal berikut.Langkah 3 a. 3 8Menyelesaikan soal. b. 5 81 L = Luas mula-mula – Luas batang setelah menyusut c. 3 125 5 2 5 2 d. 8 256 = πr12 – πr22 = x x x e. 3 8 2 2 10 2 f. 5 42 25 3 = x x = 25 x 9 x= 16 πx = 4πx 1 4 2 4 4 4 g. 3 52 2Jadi, penurunan luas penampang tumbuhan tersebut = 4πx cm2. 2. Ubahlah bentuk akarLangkah 4 berikut menjadi pangkat pecahan.Memeriksa kembali jawaban yang telah diperoleh. 3 a. 11 c. 13Oleh karena L = πr12 – πr22 maka 2 b. 162 3 d. 3 322 3 9 3. Ubahlah pangkatL + πr22 = 4πx + x = 4πx + x pecahan berikut 2 4 2 menjadi bentuk akar. = 16 9 x= 25 x= 5 x = πr12 a. 22 1 c. 115 2 4 4 4 2 2Jadi, jawaban L = 4πx cm2 tersebut benar karena L + πr22 = πr12. b. 7 3 Tes Kompetensi 5.2Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu.1. Sederhanakan bentuk akar berikut. 3. Sederhanakan pecahan bentuk akar berikut a. 48 c. 72 dengan merasionalkan penyebutnya. 3 8 b. 54 d. 80 a. c.2. Hitunglah operasi-operasi berikut. 6 3 21 3 4 a. 2 6 3 3 6 b. d. 2 5 7 11 b. 2 3 3 7 4. Nyatakan soal-soal berikut dalam bentuk c. 48 akar yang paling sederhana. 1 6 a. 3210 d. 8 90 5 b. 27 6 6 5 Pangkat Tak Sebenarnya 131
    • 5. Sederhanakanlah soal-soal berikut dan 1 nyatakan hasilnya dalam bentuk bilangan 9. Tunjukkan bahwa x2 bilangan x2 berpangkat rasional positif. 2 1 2 rasional untuk x = 5 1. a. 73 72 c. (–5) × ( ) 3 5 1 1 3 1 3 10. Selidikilah apakah pernyataan berikut benar b. 4 42 d. 8 4 2 2 atau salah. Jelaskan hasil penyelidikanmu. 6. Amati persamaan berikut. 1 a = a 2 = ( )( ) 1 1 3 1 2 a3 b3 = a a = ( ) = –a Ubahlah persamaan tersebut dalam bentuk 11. Sebuah kubus dengan yang paling sederhana, tanpa mengguna- panjang rusuk 6 cm R R Z kan pangkat bilangan negatif. disandarkan pada 7. Hitunglah p + q, p – q, dan p × q, serta dinding sehingga S sederhanakan hasilnya jika posisinya miring Q a. p= 3 dan q = 2 seperti pada 2 3 2 3 gambar. P Y b. p = 12 dan q = 3 Jika PY = 4 cm dan RZ = 31 cm, berapa 11 3 11 3 tinggi titik R dari lantai? 8. Carilah nilai x untuk persamaan 12. Sederhanakan bentuk a2 – b2 untuk x 4x 2 = 1 . a= 1 , dan b = 1 . 3 2 4 2 2 3 2 2 3 2 2 Ringkasan Berikut ini contoh rangkuman dari sebagian materi pada bab ini. 1. Bilangan rasional ialah bilangan yang dapat 4. Jika a adalah bilangan rasional dan m, n a adalah bilangan bulat positif maka dinyatakan dalam bentuk , dengan a dan b (am)n = am × n = an × m. b adalah bilangan bulat serta b ≠ 0. 5. Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan 2. Jika a adalah bilangan rasional dan m, n m, n adalah bilangan bulat positif dengan adalah bilangan bulat positif maka m ≥ n maka pan + qam = an (p + qam – n). am × an = am + n. 6. Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan 3. Jika a adalah bilangan rasional, dengan m, n adalah bilangan bulat positif dengan a ≠ 0, dan m, n adalah bilangan bulat m ≥ n maka m positif maka a n = am – n dengan m > n. pan – qam = an (p – qam – n); a pam – qan = an (pam – n – q). Coba kamu buat rangkuman dari materi yang telah kamu pelajari pada bab ini dengan kata- katamu sendiri. Tuliskan rangkuman tersebut pada buku latihanmu.132 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Refleksi 1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 sampai 8 orang atau disesuaikan dengan kondisi kelasmu. 2. Setiap anggota kelompok menceritakan tentang materi apa saja dari bab ini yang menurutmu paling mudah dan yang paling sulit dipahami berikut alasannya. 3. Tuliskan hasilnya, kemudian presentasikan di depan kelas bergantian dengan kelompok lain. Tes Kompetensi Bab 5Kerjakanlah pada buku tugasmu.Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.1. Nilai (–6)–2 sama dengan .... 1 6. = .... a. 36 c. – 1 82 36 a. 2–6 c. 26 1 1 b. d. –36 b. 82 d. 82 362. 35 = .... 7. 27 12 = .... a. 3 + 3 + 3 + 3 + 3 a. 3 c. 2 3 b. 3 × 3 × 3 × 3 × 3 b. 15 d. 2 5 c. 5 + 5 + 5 d. 5 × 5 × 5 8. Dengan merasionalkan penyebutnya,3. Dengan merasionalkan penyebutnya, bentuk 6 dapat disederhanakan men- 6 3 bentuk dapat disederhanakan jadi .... 3 3 2 menjadi .... a. 3 c. 3 3 a. 3 + 3 c. 3 – 3 b. 2 3 d. 3 3 2 b. d. 2 – 3 1 3 3 9. 8 9 = .... 3 2 3 a. 2 c. 34. 343 = .... 3 8 a. 7 c. –6 b. 8 d. 3 5 b. 6 d. –7 10. 5 = ....5. 23 + 25 = .... a. 5 3 c. 5 5 a. 25 c. 5 × 23 b. 28 d. 3 × 23 b. 3 5 d. 3 3 Pangkat Tak Sebenarnya 133
    • 11. 125 = .... 32 32 32 15. = .... 2 23 23 23 a. 53 9 8 5 a. c. b. 3 2 8 9 3 3 b. 1 d. c. 52 6 4 2 16. 3 = .... d. 3 5 12. Dengan cara merasionalkan penyebutnya, a. 9 b. 27 90 c. 36 bentuk akar dapat disederhanakan 72 d. 81 menjadi .... 20 a. 5 17. = .... 5 1 b. 5 a. 2 5 2 c. 2 5 b. 4 5 1 c. 5 5 d. 3 2 d. 8 5 3 2 5 18. 2 10 = .... 13. 3 3 = .... 1 a. 2 3 a. 35 b. 2 5 2 b. 33 c. 2 10 1 d. 5 2 c. 33 2 19. 12 8 12 8 = .... d. 35 a. 2 2 3 b. 4 14. 125 3 100 2 = .... c. 6 9 d. 8 a. 100 1 3 29 20. 3 4 3 4 = .... b. 1.000 a. 1 19 b. 3 c. 1.000 c. 9 39 d. 81 d. 1.000134 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Bab 6 Sumber: www.scatork.comBarisan danDeret Bilangan Pada bab ini, kamu akan diajak untuk memahami barisan dan deret bilangan serta penggunaannya dalam pemecahan masalah dengan cara menentukan pola barisan bilangan sederhana, menentukan suku ke-n barisan aritmetika dan barisan geometri, menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika dan deret geometri, serta memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret.Barisan dan deret bilangan tentu merupakan pelajaran A. Pola Bilanganyang baru kamu kenal. Konsep barisan dan deret bilangan B. Barisan dan Deretsangat penting peranannya dalam ilmu pengetahuan dan Bilanganteknologi serta dalam kehidupan sehari-hari, seperti uraianberikut ini. Sebuah stadion olahraga yang baru dibangun mempunyai100 tempat duduk pada barisan paling depan di tribun baratdan timur, serta 60 tempat duduk pada barisan paling depandi tribun utara dan selatan. Setiap baris tempat duduktersebut 4 kursi lebih banyak daripada baris di depannya.Berapa kapasitas penonton dalam stadion tersebut jikaterdapat 25 baris tempat duduk? Untuk menjawab permasalahan tersebut, kamu harusmempelajari konsep barisan dan deret bilangan seperti materiyang dibahas pada bab ini. 135
    • Diagram Alur Barisan dan Deret Bilangan materi dasarnya membahas tentang Pola Bilangan misalnya Barisan Bilangan Deret Bilangan terdiri atas terdiri atas • Pola bilangan ganjil • Pola bilangan genap • Pola bilangan segitiga • Pola bilangan persegi • Pola bilangan persegipanjang Barisan Barisan Deret Deret Aritmetika Geometri Aritmetika Geometri Tes Apersepsi Awal Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihanmu. 1. Sebutkanlah bilangan genap positif 4. Sebutkanlah bilangan asli kelipatan 6 yang kurang dari 20. antara 1 dan 100. 2. Sebutkanlah bilangan ganjil positif 5. Sebutkanlah bilangan asli kelipatan 10 antara 11 dan 30. dari 10 sampai dengan 250. 3. Sebutkanlah bilangan kuadrat dari 1 sampai dengan 15. A. Pola Bilangan Gambar 6.1 memperlihatkan gedung pertunjukan yang mempunyai 40 tempat duduk pada barisan paling depan. Setiap baris tempat duduk tersebut 4 kursi lebih banyak daripada baris di depannya. Apabila kamu tuliskan banyaknya tempat duduk pada setiap baris, diperoleh tabel sebagai berikut. Sumber: CD Image Baris ke- 1 2 3 4 5 ... 20 Gambar 6.1 Banyak Kursi 40 44 48 52 56 ... 116136 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Amati bilangan-bilangan 40, 44, 48, 52, 56, ..., 116.Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu kumpulan(himpunan) bilangan dengan pola tertentu, yang setiapsuku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah4. Contoh lain bilangan-bilangan yang memiliki pola adalahnomor rumah di jalan raya atau di perumahan. Rumah-rumahdi sebelah kiri bernomor 1, 3, 5, 7, 9, ..., 87. Adapun rumah-rumah di sebelah kanan bernomor 2, 4, 6, 8, 10, ..., 88. Amati barisan bilangan 1, 3, 5, 7, 9, ..., 87 dan jugabarisan bilangan 2, 4, 6, 8, 10, ..., 88. Sumber: Dokumentasi Penerbit Kedua barisan bilangan tersebut memiliki pola, dengan Gambar 6.2 Penomoran rumah di suatusetiap suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya jalan merupakan contoh poladitambah 2. bilangan.1. Pengertian Pola BilanganJika kamu amati, anggota-anggota himpunan bilanganyang telah dipelajari, diurutkan dengan suatu aturan ter-tentu sehingga bilangan-bilangan pada himpunan tersebutmembentuk suatu barisan. Suatu barisan bilangan dapat ditunjukkan dengan pola-pola. Untuk itu, pelajarilah barisan bilangan berikut ini.a. Barisan 1, 3, 5, 7, 9 ... disebut barisan bilangan ganjil. Pola barisan ini dapat dilihat pada Gambar 6.3. Gambar 6.3b. Barisan 2, 4, 6, 8, .... Barisan ini disebut barisan bilangan asli genap. Polanya dapat dilihat pada Gambar 6.4.c. Amati Gambar 6.5 berikut. Gambar 6.4 Gambar 6.5 Pola tersebut dapat disusun dengan barisan bilanganberikut. 1=1 3=1+2 6=1+2+310 = 1 + 2 + 3 + 4 Sumber: images.search.yahoo.com Gambar 6.6 Barisan dan Deret Bilangan 137
    • Pola bilangan tersebut adalah salah satu contoh barisan bilangan segitiga. d. Amati pola bilangan pada Gambar 6.7. Pola bilangan pada Gambar 6.7 disebut pola bilangan persegi. Mengapa? Diskusikan dengan temanmu. Gambar 6.7 Tugas untukmu Pola tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut. 1 = 1 atau 12 = 1 Coba kamu selidiki 4 = 1 + 3 atau 22 = 1 + 3 mengapa barisan 1, 3, 6, 10, ... disebut 9 = 1 + 3 + 5 atau 32 = 1 + 3 + 5 barisan bilangan 16 = 1 + 3 + 5 + 7 atau 42 = 1 + 3 + 5 + 7 segitiga. Jelaskan hasil penyelidikanmu. e. Pola bilangan persegipanjang di antaranya dapat kamu lihat pada Gambar 6.8. Gambar 6.8 Pola tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut. 2=1×2 12 = 3 × 4 6=2×3 20 = 4 × 5 Mengapa barisan tersebut dinamakan barisan persegi- panjang? Coba kamu jelaskan. 2. Pola Bilangan pada Segitiga Pascal Orang yang pertama kali menemukan susunan bilangan yang 1 berbentuk segitiga adalah Blaise Pascal. Untuk mengabadikan namanya, hasil karyanya tersebut kemudian disebut segitiga 1 1 Pascal. Adapun bentuk dari bilangan pada segitiga itu tampak a b 1 2 1 dalam Gambar 6.9. Jika kamu amati dengan cermat, bilangan-bilangan 1 3 3 1 yang terdapat pada segitiga Pascal memiliki pola tertentu, 1 4 6 4 1 yaitu dua bilangan yang berdekatan dijumlahkan untuk 1 5 10 10 5 1 mendapatkan bilangan pada baris selanjutnya. Sekarang, amati bilangan-bilangan yang terdapat pada Gambar 6.9 sepanjang garis a dan b pada Gambar 6.9. Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu barisan dengan aturan berikut.138 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • 1=1 InfoMatika 1+2=3 1+2+3=6 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Dengan demikian, barisan 1, 3, 6, 10, ... merupakanbarisan bilangan pada segitiga Pascal. Segitiga Pascal dapat digunakan untuk menentukankoefisien pada suku banyak (x + y)n dengan n bilangan asli.Misalnya,(x + y)1 = 1x + 1y = x + y(x + y)2 = 1x2 + 2xy + 1y2 = x2 + 2xy + y2 Blaise Pascal (1623–1662)(x + y)3 = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 Blaise Pascal, ilmuwan(x + y)4 = 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4 berkebangsaan Prancis = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 yang merupakan keajaiban dalam dunia matematika.3. Menemukan Pola dari Perhitungan Segitiga Pascal yang Bilangan ditunjukkan di sini telah dikenal selamaPada Bagian 1, kamu telah mengetahui bahwa jumlah 600 tahun. Kemudian, ia menemukan bahwabilangan-bilangan ganjil berurutan (jumlah n bilangan ganjil banyak dari sifat-sifatyang pertama) memiliki pola tertentu, yaitu: segitiga dihubungkan dengan barisan-barisan1 + 3 = 22, dan deret-deret yang1 + 3 + 5 = 32, istimewa. Sumber: Ensiklopedi Matematika1 + 3 + 5 + 7 = 42, dan seterusnya. & Peradaban Manusia, 2002Jika kamu amati, akan diperoleh:a. Jumlah dua bilangan ganjil yang pertama sama dengan kuadrat dari bilangan 2,b. Jumlah tiga bilangan ganjil yang pertama sama dengan kuadrat dari bilangan 3,c. Jumlah empat bilangan ganjil yang pertama sama dengan kuadrat dari bilangan 4, dan seterusnya.Sekarang, amatilah pola bilangan dari perhitungan berikutini.22 – 12 = 4 – 1 = 3 = 2 + 1,32 – 22 = 9 – 4 = 5 = 3 + 2,42 – 32 = 16 – 9 = 7 = 4 + 3,52 – 42 = 25 – 16 = 9 = 5 + 4, dan seterusnya. Pola bilangan ini menunjukkan bahwa selisih darikuadrat bilangan berurutan sama dengan jumlah dari bilanganberurutan tersebut. Hal ini dapat ditunjukkan dengan caraaljabar berikut ini. Barisan dan Deret Bilangan 139
    • Misalkan, bilangan yang berurutan itu adalah a dan a + 1 maka (a + 1)2 – a2 = a2 + 2a + 1 – a2 = 2a + 1 = (a + 1) + a Pola bilangan tersebut selalu benar untuk setiap a bilangan asli. Tes Kompetensi 6.1 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. 1. a. Gambar berikut menunjukkan suatu c. lima belas bilangan ganjil yang pola yang disusun dari batang-batang pertama, dan korek api. d. dua puluh dua bilangan ganjil yang pertama. 5. Hitunglah bilangan-bilangan berikut dengan cepat (tanpa menggunakan kalkulator). 1 4 9 a. 3982 – 3972 Salingambar tersebut,kemudianlanjut- b. 5762 – 5752 kan dengan dua suku berikutnya. c. 10732 – 10722 b. Berdasarkan gambar tersebut, tulis- d. 12562 – 12552 lah barisan bilangannya. 6. Amatilah kesamaan-kesamaan berikut. c. Pola bilangan apakah yang memiliki 152 = 225 = 200 + 25 barisan seperti itu? = (1 × 2) × 100 + 25 2. Gambarlah pola noktah (seperti pada 252 = 625 = 600 + 25 Gambar 6.3) dengan menggunakan = (2 × 3) × 100 + 25 barisan bilangan berikut. 352 = (3 × 4) × 100 + 25 a. (1 × 4), (2 × 5), (3 × 6), (4 × 7), ... 452 = (4 × 5) × 100 + 25 b. (2 × 1), (2 × 2), (2 × 3), (2 × 4), ... Dengan melihat pola tersebut, hitunglah c. (2 + 1), (3 + 2), (4 + 3), (5 + 4), ... soal-soal berikut ini dengan cepat. 3. Gunakan segitiga Pascal untuk meng- a. 552 uraikan bentuk perpangkatan berikut. b. 652 a. (x + y)5 c. 952 b. (x + y)6 d. 1052 c. (x – y)3 7. Amatilah kesamaan-kesamaan berikut. d. (x – y)4 3 + 23 = 1 + 8 = 9 = 32 = (1 + 2)2 4. Berapa jumlah dari: 3 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 = 62 a. sembilan bilangan ganjil yang = (1 + 2 + 3)2 pertama, 3 + 23 + 33 + 43 = (1 + 2 + 3 + 4)2 b. sebelas bilangan ganjil yang Dengan melihat pola tersebut, hitunglah pertama, soal-soal berikut ini dengan cepat.140 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • a. 13 + 23 + 33 + 43 + 53 8. Tentukan urutan bilangan yang habis b. 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 dibagi: c. 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 a. 10; c. 2; d. 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 b. 5; d. 3.B. Barisan dan Deret Bilangan1. Barisan BilanganBilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola (aturan) InfoMatikatertentu membentuk suatu barisan bilangan. Misalnya,barisan bilangana. 40, 44, 48, 52, 56, ..., 116 Terdapat dua macam deret bilanganb. 1, 3, 5, 7, 9, ..., 51 dan berdasarkan atasc. 2, 4, 6, 8, 10, ...,98. banyaknya suku pada Suatu barisan bilangan dapat pula dibentuk dari deret tersebut, yaitu deret berhingga danbilangan-bilangan yang tidak mempunyai pola (aturan) deret tak berhingga.tertentu, misalnya barisan bilangan 1, 2, 5, 7, 3, 4... . Barisan Deret berhingga adalah suatu deret yang banyakbilangan seperti ini disebut barisan bilangan sebarang. sukunya terbatas. Bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan Contoh, 1 + 2 + 3 + ... + 100. Deret ini ditulisbilangan disebut suku barisan tersebut. Misalnya, pada dengan notasi U1 + U2 +barisan bilangan ganjil 1, 3, 5, 7, ... suku ke-1 dari barisan ... + Un. Adapun deret tak berhingga adalahtersebut adalah 1, suku ke-2 adalah 3, suku ke-3 adalah 5, deret yang banyakdan seterusnya. Dapatkah kamu menentukan suku ke-1, sukunya tak terbatas. Contoh, 1 + 2 + 3 + ....suku-2, dan suku-5 dari barisan 1, 2, 5, 7, 3, 9...,61. Deret ini biasanya ditulis Jadi, suatu barisan bilangan dapat dikatakan sebagai dengan notasi U1 + U2 + U3 + ....suatu barisan yang dibentuk oleh suku-suku bilangan. Dapatkah kamu membedakan kedua2. Deret Bilangan macam deret tersebut? Coba beri contoh lainAmati kembali barisan-barisan bilangan berikut. deret berhingga dana. 40, 44, 48, 52, 56, deret tak berhingga.b. 1, 3, 5, 7, 9,c. 2, 4, 6, 8, 10. Berdasarkan pola ketiga barisan tersebut, dapat diperolehpenjumlahan berikut.a. 40 + 44 + 48 + 52 + 56,b. 1 + 3 + 5 + 7 + 9,c. 2 + 4 + 6 + 8 + 10. Penjumlahan suku-suku dari barisan-barisan tersebutdinamakan deret. Oleh karena itu, jika U1, U2, U3, ..., Unadalah suatu barisan bilangan maka U1 + U2 + U3 + ... + Undinamakan deret. Barisan dan Deret Bilangan 141
    • Matematika 3. Barisan Aritmetika Ria Amati keempat barisan bilangan berikut. Berikut adalah a. 1, 3, 5, 7, 9, ..., Un, sekumpulan bilangan b. 99, 96, 93, 90, ..., Un, yang di antaranya terdapat beberapa c. 1, 2, 5, 7, 12, ..., Un, bilangan yang memenuhi d. 2, 4, 8, 16, 32, ..., Un. rumus n(n ) Selisih dua suku berurutan pada barisan (a) selalu Un = 2 tetap, yaitu 2. Demikian pula selisih dua suku berurutan Jika U1 = 1, pada barisan (b) selalu tetap, yaitu 3. Barisan bilangan yang hubungkanlah bilangan- bilangan yang memenuhi demikian dinamakan barisan aritmetika. Adapun selisih dua rumus tersebut dengan suku berurutan pada barisan (c) tidak tetap. Barisan bilangan garis. Bentuk apakah yang kamu peroleh? (c) bukan merupakan barisan aritmetika. Apakah barisan (d) • merupakan barisan aritmetika? Coba selidiki olehmu. • • 28 • Pada barisan aritmetika, selisih dua suku berurutan 11 • 36 8 • • • 45 • dinamakan beda dan dilambangkan dengan b. Secara umum, 55 7 21 66 • barisan aritmetika didefinisikan sebagai berikut. • • 10 4 78 • • Suatu barisan U1, U2, U3, ..., Un, Un + 1 dinamakan barisan • • 6 17 aritmetika jika untuk setiap n bilangan asli memenuhi 91 1 • • Un + 1 – Un = Un – Un–1 = ... = U2 – U1 = b. • • • 20 15 44 82 3 Jika suku pertama barisan aritmetika adalah a dengan beda b maka barisan aritmetika U1, U2, U3, ..., Un menjadi a, a + b, a + 2b, ..., a + (n – 1)b U1 U2 U3 Un Dengan demikian, suku ke-n barisan aritmetika dirumuskan sebagai berikut. Un = a + (n – 1) b Dapatkah kamu menemukan rumus Un + 1 dengan menggunakan rumus suku ke-n yang telah kamu ketahui? Contoh 6.1 1. Selidikilah apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan aritmetika atau bukan. a. 1, –1, –3, –5, –7, –9, –11, –13, –15 b. 2, –2, 2, –2, –2 Penyelesaian: a. Barisan aritmetika dengan b = –1 – 1 = –3 – (–1) = –5 – (–3) = –2142 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • b. Bukan barisan aritmetika karena selisih dua suku yang Siapa berurutan tidak sama atau tidak tetap. Berani?2. Tentukan suku ke-20 dari barisan bilangan asli kelipatan 3 kurang dari 100. 1. Di antara barisan- barisan bilangan Penyelesaian: berikut, selidiki Barisan bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 manakah yang adalah 3, 6, 9, 12, ..., 99. merupakan barisan aritmetika? a = 3 dan b = 3 sehingga Un = a + (n – 1)b 1 1 a. 5, 4 , 4, 3 , U20 = 3 + (20 – 1)3 = 3 + 57 = 60 2 2 Jadi, suku ke-20 dari barisan bilangan asli kelipatan 3 kurang 1 3, 2 2 dari 100 adalah 60. b. 2, 1, 1 , 1 , 13. Tuliskan lima suku pertama barisan aritmetika jika diketahui 2 4 8 2 c. 5, 11 , 16, a = 5 dan b = . 2 5 1 Penyelesaian: 21 , 27 2 2 2. Tuliskan lima suku U1 = a = 5 dan b = pertama barisan 5 2 2 aritmetika jika U2 = a + b = 5 + =5 diketahui 5 5 u6 = 9 dan u10 = 24. 2 4 U3 = a + (3 – 1) b = a + 2b = 5 + 2 =5 5 5 2 1 U4 = a + (4 – 1)b = a + 3b = 5 + 3 =6 5 5 U5 = a + (5 – 1)b = a + 4b = 5 + 4 2 =6 3 Catatan 5 5 Jika aturan suatu barisan Jadi, lima suku pertama barisan tersebut adalah 5, 5 2 , 5 4 , aritmatika ditambah b 5 5 1 3 maka suku ke-n akan 6 , dan 6 . memuat 5 5 b × n, yaitu Un = b × n + ... atau Un = b × n – ...4. Deret Aritmetika Contoh:Berdasarkan pola kedua barisan aritmetika pada Bagian 3, Tentukan rumus suku ke-n dari 7, 10, 13, 16,dapat diperoleh penjumlahan sebagai berikut. ..., 64.a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + Un. Penyelesaian: Oleh karena aturannya Deret ini dinamakan deret aritmetika naik karena nilai ditambah tiga maka suku Un semakin besar. ke-n memuat 3n, yaitu U1 = 7 = 3 × 1 + 4b) 99 + 96 + 93 + 90 + ... + Un. U2 = 10 = 3 × 2 + 4 Deret ini dinamakan deret aritmetika turun karena nilai U3 = 13 = 3 × 3 + 4 (Nilai 4 ditentukan sendiri Un semakin kecil. agar hasilnya sama Kamu dapat menentukan suku-suku pada deret seperti suku barisan yang dimaksud). Uraianaritmetika sebagai berikut. tersebut menggambar- Misalkan, jumlah n suku pertama deret tersebut kan rumus suku ke-n dari barisandilambangkan dengan Sn maka 7, 10, 13, 16, ..., yaitu Un = 3 × n + 4 = 3n + 4. Barisan dan Deret Bilangan 143
    • Sn = a + (a + b) + ... + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b) Sn = (a + (n – 1)b) + (a + (n – 2)b) + ... + (a + b) + a + 2Sn = (2a + (n – 1)b) + (2a + (n – 1)b) + ... + (2a + (n – 1)b) n faktor sama n 2Sn = n(2a + (n – 1)b) maka Sn = (2a + (n – 1)b) 2 Tugas Jadi, jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah untukmu n Dapatkah kamu Sn = (2a + (n – 1)b) 2 membuktikan bahwa pada deret aritmetika Oleh karena Un = a + (n – 1)b, rumus Sn dapat dituliskan berlaku Un = Sn – Sn – 1? sebagai berikut. Tuliskan hasil pembuktian n n tersebut pada buku Sn = (a + Un) atau Sn = (U1 + Un) tugasmu, kemudian 2 2 kumpulkan pada gurumu. Dapatkah kamu menemukan rumus Sn + 1 dengan menggunakan rumus Sn yang telah kamu ketahui? Contoh 6.2 1. Tentukan jumlah bilangan bulat antara 250 dan 1.000 yang habis dibagi 7. Penyelesaian: Jumlah bilangan bulat antara 250 dan 1.000 yang habis dibagi 7 adalah 252 + 259 + 266 + ... + 994. Deret bilangan ini merupakan deret arimetika dengan a = 252, b = 7, dan Un = 994 sehingga Un = a + (n – 1)b 994 = 252 + (n – 1)7 994 = 252 + 7n – 7 994 = 245 + 7n 7n = 994 – 245 7n = 749 n = 107 Hal Penting Sn = n (a + Un) maka S107 = 107 (252 + 994) = 66.661 2 2 • pola bilangan Jadi, jumlahnya adalah 66.661. • barisan aritmetika 2. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika dirumuskan • barisan geometri dengan Sn = 5n2 – 4n. Tentukanlah suku ke-n deret • deret aritmetika • deret geometri tersebut. • sukubeda Penyelesaian: • segitiga Pascal • jumlah n suku pertama Jumlah n suku pertama adalah Sn = 5n2 – 4n Jumlah (n – 1) suku pertama adalah144 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Sn–1 = 5(n – 1)2 – 4(n – 1) = 5(n2 – 2n + 1) – 4(n – 1) Siapa = 5n2 – 10n + 5 – 4n + 4 = 5n2 – 14n + 9 Berani? Un = Sn – Sn–1 = (5n2 – 4n) – (5n2 – 14n + 9) = 5n2 – 4n – 5n2 + 14n – 9 = 10n – 9 1. Jumlah n suku pertama suatu deret Jadi, suku ke-n deret tersebut adalah Un = 10n – 9. aritmetika ditentukan oleh rumus Sn = 2n2 + 3n.Contoh 6.3 Tentukan suku ke-n dan beda (b) deret tersebut.Sebuah perusahaan mobil mainan memproduksi 3.000 buah 2. Sebuah perusahaanmobil mainan di tahun pertama produksinya. Karena permintaan kompor memproduksi 4.000 buah komporkonsumen setiap tahunnya meningkat, perusahaan tersebut di tahun pertamamemutuskan untuk meningkatkan jumlah produksinya dengan produksinya.menambah produksi mobil mainan sebanyak 10% dari produksi Setiap tahun jumlah produksinyaawal tiap tahunnya. Tentukanlah: bertambah dengana. Jumlah mobil mainan yang diproduksi pada tahun ke- jumlah yang sama. delapan; Total produksi sampai dengan tahunb. Jumlah mobil mainan yang telah diproduksi sampai dengan kedelapan adalah tahun kedelapan. 37.600 buah. a. BerapaPenyelesaian: penambahanLangkah 1 produksi setiapMenentukan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal. tahunnya? b. Berapa komporDiketahui: Suku pertama (a) = 3.000 yang diproduksi Beda (b) = 10% × 3.000 = 300 pada tahun n=8 kesepuluh? 3. Seorang pengusahaDitanyakan: kecil meminjam modala. Jumlah mobil mainan yang diproduksi pada tahun kedelapan m rupiah dari suatu bank dengan suku (U8). bunga tunggal 1,2%b. Jumlah mobil mainan yang telah diproduksi sampai tahun per bulan. Setelah kedelapan (S8). setahun pengusaha itu mengembalikanLangkah 2 pinjaman dana. Menentukan U8 dengan menggunakan rumus bunga sebesar Un = a + (n – 1)b, sebagai berikut. 57.200.000,00. Berapa rupiah modal yang U8 = a + (8 – 1)b = a + 7b dipinjam pengusaha = 3.000 + 7 (300) = 5.100 tersebut? Jadi, jumlah mobil mainan yang diproduksi pada tahun kedelapan adalah 5.100 buah.Langkah 3 Tugasb. Menentukan S8 dengan menggunakan rumus untukmu Sn = n (a + Un), sebagai berikut 2 Coba kamu gunakan 8 kalkulator untuk mencari S8 = (3.000 + U8) = 4 (3.000 + 5.100) = 32.400 S107 dari Contoh 6.2 2 nomor 1 tersebut. Jadi, jumlah mobil mainan yang telah diproduksi sampai Apakah hasil yang kamu tahun kedelapan adalah 32.400 buah. peroleh adalah 275? Barisan dan Deret Bilangan 145
    • 5. Barisan Geometri InfoMatika Amatilah ketiga barisan berikut ini. a. 5, 15, 45, 135, b. 160, 80, 40, 20, c. 2, 8, 24, 120. Pada barisan (a) tampak bahwa 15 = 45 = 135 = 3. 5 15 45 Jadi, perbandingan dua suku yang berurutan pada barisan tersebut sama, yaitu 3. Demikian pula barisan (b) memiliki Johan Gauss perbandingan yang sama untuk dua suku yang berurutan, (1771–1885) 1 yaitu . Barisan bilangan (a) dan (b) dinamakan barisan Banyak orang 2 mengatakan, Johan Gauss adalah seorang geometri. Adapun perbandingan dua suku yang berurutan jenius dalam aritmetika. pada barisan (c) tidak sama. Barisan (c) bukan merupakan Ketika ia berusia 9 tahun, seorang guru barisan geometri. menyuruh murid-murid Perbandingan dua suku yang berurutan pada barisan di kelasnya untuk menjumlahkan deret geometri dinamakan pembanding atau rasio, dilambangkan bilangan dengan p. 1 + 2 + 3 + ... + 40. Gauss hanya Secara umum, barisan geometri didefinisikan sebagai memerlukan waktu berikut. beberapa saat saja untuk memperoleh Suatu barisan U1, U2, U3, ..., Un, Un+1 dinamakan barisan jawaban (820), bahkan geometri apabila untuk setiap n bilangan asli berlaku tanpa menulis sesuatu. Ia mendapat jawaban Un Un Un U2 dalam otaknya dengan 1 = = 1 = ... = =p menyadari jumlah itu Un Un 1 Un 2 U1 dapat dipikirkan sebagai berikut: Jika suku pertama barisan geometri adalah a dengan (1 + 40) + (2 + 39) + pembandingnya p maka barisan geometri U1, U2, U3, ..., Un ... + (20 + 21) = 41 + 41 + ... + 41 = 20 × 41 dinyatakan dengan = 820. a, ap, ap2, ..., apn–1, ... Raja sangat kagum akan kemampuan Gauss muda sehingga raja bersedia membayar biaya U1, U2, U3,..., Un pendidikannya. Akhirnya, sehingga rumus suku ke-n barisan geometri adalah sebagai Gauss menjadi salah satu ahli matematika berikut. terkemuka di dunia. Un = apn–1 Ia juga meninggalkan hasil karyanya dalam bidang astronomi, Dapatkah kamu menemukan rumus Un + 1 dengan meng- pengukuran tanah, dan gunakan rumus suku ke-n yang telah kamu ketahui? elektromagnetisme. Contoh 6.4 Sumber: Khazanah Pengetahuan Bagi Anak-Anak Matematika, 1979 1. Selidiki apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan geometri atau bukan.146 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • a. 1, 4, 16, 64, 256 InfoMatika b. 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 Penyelesaian: a. Barisan geometri karena perbandingan dua suku ber- urutan sama, yaitu 4 = 16 = 64 = 256 = 4. 1 4 16 64 b. Bukan barisan geometri karena perbandingan dua suku 3 5 berurutan tidak sama, yaitu . 1 32. Tentukan pembanding (rasio) dan suku ke-8 dari barisan Fibonacci 2, 6, 18, 54, ..., 39.366 (1180–1250) Penyelesaian: Fibonacci mempunyai nama lengkap Leonardo a = 2 dan p = 6 = 18 = 3 of Pisa. Dalam 2 6 perjalanannya ke Un = apn–1 sehingga U8 = 2 × 38–1 = 2 × 37 = 4.374. Eropa dan Afrika Utara, Jadi, pembanding (rasio) = 3 dan suku ke-8 = 4.374. ia mengembangkan kegemarannya akan bilangan. Dalam karya terbesarnya, Liber6. Deret Geometri Abaci, ia menjelaskan suatu teka-teki yangSeperti yang telah kamu ketahui, jika U1, U2, U3, ..., Un adalah membawanya kepada apa yang sekarangbarisan geometri maka suku-sukunya dapat ditulis a, ap, ap2, dikenal sebagai Barisanap3, ..., apn–1. Dari barisan geometri tersebut, kamu dapat Bilangan Fibonacci. Barisannya adalahmemperoleh barisan penjumlahan berikut. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, .... a + ap + ap2 + ap3 + ... + apn–1 Setiap bilangan dalam barisan ini merupakan Barisan penjumlahan ini disebut deret geometri. Misalkan, jumlah dari dua bilanganjumlah n suku pertama deret geometri dilambangkan dengan sebelumnya (1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5,Sn maka berlaku hubungan berikut. ...). Barisan Fibonacci Sn = a + ap + ap2 + ... + apn–2+ apn–1 bisa diteliti dalam susunan daun bunga pSn = ap + ap2 + ap3 + ... + apn–1 + apn atau segmen-segmen dalam buah nanas atau (1 – p)Sn = a – apn biji cemara. = a(1 – pn) Sumber: Ensiklopedi Matematika & Peradaban Manusia, 2002 Dengan demikian, jumlah n suku pertama deretgeometri adalah sebagai berikut. Tugas untukmu a 1 pn a pn Sn = ; p < 1 atau Sn = ;p>1 Apakah mungkin suatu 1 p p 1 barisan aritmetika juga merupakan barisanContoh 6.5 geometri? Coba selidiki olehmu. Berikan beberapaTentukan jumlah delapan suku pertama dari barisan contoh lalu amati. Kemudian, tulislah hasil2, 6, 18, 54, .... penyelidikanmu pada buku tugasmu dan kumpulkan pada gurumu. Barisan dan Deret Bilangan 147
    • Penyelesaian: Catatan a = 2 dan p = 6 = 18 = 3 2 16 Apabila aturan suatu barisan geometri dikali a pn dengan p, maka suku Sn = sehingga p 1 ke-n akan memuat pemangkatan dari p. 2 38 1 2(6.561 1) Contoh: S8 = = = 6.560 Tentukan rumus suku 3 1 2 ke-n dari 9, 27, 81, .... Jadi, jumlah delapan suku pertamanya adalah 6.560. Penyelesaian: Oleh karena aturannya 2. Jumlah n suku pertama suatu deret geometri dirumuskan dikali tiga maka suku dengan Sn = 23n – 1. Tentukan suku ke-n deret tersebut. ke-n memuat 3n, yaitu Penyelesaian: U1 = 9 = 31 + 1 ditentukan sendiri agar hasilnya Sn = 23n – 1 maka sama seperti suku 23 n barisan yang dimaksud. Sn–1 = 23(n–1) – 1 = 23n–3 – 1 = –1 U2 = 27= 32 + 1 23 3n 3n U3 = 81= 33 + 1 Un = Sn – Sn – 1 = (23n – 1) – 2 3 1 = 23n – 2 Uraian tersebut 2 8 menggambarkan rumus 3 3n 3n 7 suku ke-n dari barisan = 8 2 2 = 7 2 = × 23n 9, 27, 81, ..., 8 8 8 yaitu Un = 3n + 1. Contoh 6.6 Di sebuah kabupaten, jumlah penduduk pada 1 Januari 2008 Tugas adalah 50.000 jiwa. Jika tingkat pertumbuhan penduduk di untukmu kabupaten itu 10% per tahun, hitunglah jumlah penduduk di kabupaten itu pada 1 Januari 2018. Dapatkah kamu Penyelesaian: membuktikan bahwa pada deret geometri Langkah 1 berlaku Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal. Un = Sn – Sn – 1? Tuliskan hasil pembuktian tersebut Diketahui: pada buku tugasmu, kemudian kumpulkan pada gurumu. Ditanyakan: Jumlah penduduk pada 1 Januari 2018. Langkah 2 Membuat model matematika dari masalah tersebut. Misalkan, jumlah penduduk pada 1 Januari 2008 adalah U1 = 50.000 maka diperoleh model berikut. Uji Kecerdikan U2 = 50.000 + 0,1(50.000) (gunakan sifat distributif) Dari suatu deret geometri = 50.000 (1 + 0,1) diketahui Sn = 150, Sn + 1 = 155, dan = 1,1 × 50.000 Sn + 2 = 157,5. Tentukan suku pertama deret U3 = 1,1 × 50.000 + 0,1(1,1 × 50.000) (gunakan sifat tersebut. = 1,1 × 50.000 (1 + 0,1) distributif)148 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • = 1,1 × 50.000 × 1,1 Siapa = (1,1)2 × 50.000 Berani? U4 = (1,1)2 × 50.000 + 0,1{(1,1)2 × 50.000} (gunakan sifat 1. Awal bulan, Pak Tobing menabung di 2 = (1,1) × 50.000 (1 + 0,1) distributif) suatu bank sebesar = (1,1)2 × 50.000 (1,1) Rp100.000,00 dengan = (1,1)3 × 50.000 suku bunga majemuk 1% per bulan.Dengan demikian, diperoleh barisan berikut. Berapa rupiah jumlahU1, U2, U3, U4, ... tabungan Pak Tobing setelah disimpan50.000 (1,1) × 50.000 (1,1)2 × 50.000 (1,1)3 × 50.000 .... selama 1 tahun?Langkah 3 2. Seekor ikanMenentukan jumlah penduduk pada 1 Januari 2018. berenang lurus dengan kecepatanAmati bahwa barisan yang diperoleh pada Langkah 2 adalah tetap 32 km/jambarisan geometri dengan suku pertama U1 = a = 50.000 dan selama jam pertama.pembanding p = 1,1. Jumlah penduduk pada 1 Januari 2018 Pada jam kedua kecepatannya menjadiadalah suku ke-11 atau U11. Mengapa? Coba kamu jelaskan 2 -nya, demikianalasannya. 3Rumus suku ke-n barisan geometri adalah Un = apn – 1 maka seterusnya setiap jam kecepatannya menjadiU11 = 50.000(1,1)11 – 1 = 50.000(1,1)10 = 129.687,123 2 kecepatan jamJadi, jumlah penduduk pada 1 Januari 2018 adalah 129.687 jiwa. 3 sebelumnya. Berapa kilometer jarak yang ditempuh ikanContoh 6.7 tersebut pada 8 jam pertama?Bu Aminah membeli mobil baru seharga Rp 200.000.000,00.Mobil tersebut mengalami depresiasi (penurunan harga jual)sebesar 20% pada setiap akhir 1 tahun. Berapa rupiah harga jualmobil tersebut pada akhir tahun keenam?Penyelesaian:Langkah 1Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal.Diketahui: Harga mobil baru Rp200.000.000,00 Depresiasi 20% atau 0,2 setiap akhir 1 tahunDitanyakan: harga jual mobil pada akhir tahun keenam. CatatanLangkah 2Membuat model matematika dari masalah pada soal, sebagai Perhitungan sukuberikut. Misalnya harga mobil baru adalah a = 200.000.000,00 bunga majemuk adalah perhitungan bungadengan demikian diperoleh model berikut. yang akan diperoleh pada bulan atau tahun berikutnya, dihitung U2 = 200.000.000 – 0,2 (200.000.000) (gunakan sifat dari saldo pada bulan = 200.000.000 (1 – 0,2) distributif) atau tahun sebelumnya. = 0,8 × 200.000.000 Penjelasan lebih dalam tentang materi ini akan kamu temui di tingkat U3 = 0,8 × 200.000.000 – 0,2 (0,8 × 200.000.000) SMA/SMK Barisan dan Deret Bilangan 149
    • = 0,8 × 200.000.000 (1 – 0,2) (gunakan sifat distributif) InfoNet = 0,8 × 200.000.000 (0,8) = (0,8)2 × 200.000.000 Kamu dapat menambah wawasanmu tentang materi dalam bab ini dari internet U4 = (0,8)2 × 200.000.000 – 0,2 (0,82 × 200.000.000) dengan mengunjungi = (0,8)2 × 200.000.000 (1 – 0,2) (gunakan sifat distributif) alamat: www.smu-net.com/main. = (0,8)2 × 200.000.000 (0,8) php?act=um&gptp=materi& = 0,83 × 200.000.000 umtr=2 Dengan demikian, diperoleh barisan berikut. a, U2, U3, U4, .... 200.000.000, (0,8) × 200.000.000, (0,8)2 × 200.000.000, (0,8)3 × 200.000.000, .... Langkah 3 Menentukan harga jual mobil pada akhir tahun keenam (U7), sebagai berikut. Amatilah bahwa barisan yang diperoleh pada Siapa langkah ke-2 adalah barisan geometri dengan suku pertama (U1) Berani? = 200.000.000 dan pembanding p = 0,8. Rumus suku ke-n barisan geometri adalah Un = apn – 1 maka Dari deret geometri U7 = 200.000.000 (0,8)7 – 1 diketahui U4 : U6 = k dan = 200.000.000 (0,8)6 U2 × U8 = 1 . k = 52.428.800 Nyatakan suku pertama Jadi, harga jual mobil pada akhir tahun keenam adalah deret tersebut dalam k. Rp52.428.800,00. Tes Kompetensi 6.2 Kerjakan soal-soal berikut dalam buku latihanmu. 1. Tentukan beda dan suku ke-10 dari 3. Tentukan masing-masing 5 contoh barisan berikut. barisan aritmetika dan bukan barisan a. –17, –11, –5, ... aritmetika selain contoh yang sudah ada. 1 2 3 4. Carilah suku ke-n deret aritmetika jika b. , , , ... 2 5 10 diketahui suku pertama (a) dan beda (b) 1 1 berikut. c. –10 , –8, –5 2 2 a. a = 9, b = –3, dan n = 24 d. 1 2 3 , k, ... k, k, b. a = 12, b = –7, dan n = 8 5 5 5 c. a = –4, b = 4, dan n = 100 2. Tentukan rumus suku ke-n dari setiap baris- d. a = 2, b = 9, dan n = 15 an bilangan berikut. 5. Tulislah lima suku pertama dari barisan a. 2, 5, 8, 11, ... yang suku ke-n-nya dinyatakan dengan b. 16, 32, 64, 128, ... rumus berikut. c. 35, 31, 27, 23, ... a. 2n + 1 c. n2 + n d. 108, 36, 12, 4, ... b. n + 1 2 d. 5 × 2n–1150 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • 6. Tentukan rasio (pembanding) dan suku 12. Tentukan nilai t agar barisan berikut ke-n (Un) dari setiap barisan geometri menjadi barisan geometri. berikut. a. t, t + 2, t + 6 a. 1, –1, 1, ... b. t – 2, t + 1, 3t + 3 b. 2, 8, 32, ... 13. Carilah nilai dari 1 1 (2 + 4 + 6 + ... + 100) – (1 + 3 + 5 + ... + 99). c. 5, 2 , 1 . 14. Hitunglah deret bilangan berikut. 2 4 d. 1, 7, 49, ... a. 1 1 1 1 1 1 ... 7. Berapakah jumlah dua belas suku per- 2 4 8 16 52 104 tama deret berikut. b. 11 + 22 + 33 + 44 + 55 + 66 + 77 + a. –5 + (–2) + 1 + ... 88 + 99 b. 6 + 1 + (–4) + ... c. 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 94 + 96 + 98 + 100 c. 32 + 16 + 8 + ... 15. Carilah x sehingga x + 3, 2x + 1, dan d. 1 1 1 ... 5x + 2 adalah bilangan berurutan yang 3 9 27 memenuhi barisan aritmetika.Untuk soal nomor 8 sampai dengan nomor 16. Sebuah bank swasta memberikan bunga10, tentukan jumlah barisan untuk soal-soal majemuk 6% per tahun. Jika bunganyaberikut. ditutup setiap akhir tahun, berapakah 8. Tiga puluh bilangan cacah yang pertama. uang nasabah sebesar Rp1.000.000,00 9. Dua puluh lima bilangan asli genap yang setelah disimpan selama 4 tahun? pertama. 17. Dalam suatu rapat, setiap peserta diminta10. Dua puluh delapan bilangan ganjil yang berjabatan tangan satu kali dengan pe- pertama. serta lain. Berapa kalikah jabatan tangan11. Jumlah n suku pertama suatu deret yang terjadi jika peserta yang datang aritmetika adalah Sn = 3n2 – 5(n – 1). sebanyak: Tentukan: a. 5 orang; c. 15 orang a. suku ke-10; b. 8 orang d. 20 orang b. beda; c. sepuluh suku pertama deret tersebut. RingkasanBerikut ini contoh rangkuman dari sebagian materi pada bab ini.1. Beberapa pola barisan bilangan, di antara- d. barisan bilangan persegi adalah nya adalah sebagai berikut. 1, 4, 9, 16, ..., dan a. barisan bilangan ganjil adalah 2. Barisan bilangan berpola diperoleh dengan 1, 3, 5, 7, ..., mengurutkan bilangan-bilangan dengan b. barisan bilangan genap adalah aturan tertentu, dan tiap-tiap bilangan 2, 4, 6, 8, ..., yang terdapat pada barisan bilangan di- c. barisan bilangan segitiga adalah sebut suku dari barisan itu. 1, 3, 6, 10, ..., Barisan dan Deret Bilangan 151
    • 3. Rumus suku ke-n barisan aritmetika 6. Jumlah n suku pertama deret geometri Un = a + (n – 1)b a 1 pn 4. Jumlah n suku pertama deret aritmetika Sn = ;p<1 1 p n n Sn = (a + Un) atau Sn = (U1 + Un) atau 2 2 5. Rumus suku ke-n barisan geometri a pn 1 Sn = ;p>1 Un = apn –1 p 1 Coba kamu buat rangkuman dari materi yang telah kamu pelajari pada bab ini dengan kata- katamu sendiri. Tuliskan rangkuman tersebut pada buku latihanmu. Refleksi 1. Buatlah kelompok yang terdiri atas 5 sampai 8 orang atau disesuaikan dengan kondisi kelasmu. 2. Setiap anggota kelompok menceritakan tentang faktor-faktor yang menghambatmu dalam memahami materi Barisan dan Deret Bilangan. 3. Tuliskan hasilnya, kemudian presentasikan di depan kelas bergantian dengan kelompok lain. Tes Kompetensi Bab 6 Kerjakanlah pada buku tugasmu. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. 1. Suku berikutnya dari barisan 1, 3, 6, 3. Hasil dari 3472 – 3462 sama dengan 10 adalah .... .... a. 14 a. 2(347 – 346) b. 15 b. 2(347) – 346 c. 16 c. 2(347) + 346 d. 17 d. 347 + 346 2. Jumlah 17 bilangan ganjil yang 4. Suku berikutnya dari barisan 3, 6, 11, pertama sama dengan .... a 18 adalah .... a. 361 a. 28 b. 324 b. 27 c. 289 c. 26 d. 256 d. 25152 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • 5. Suku ke-n dari suatu barisan di- 10. Jika suku ke-n dari suatu barisan adalah tentukan dengan rumus 2n – 1. Suku 5n2 – 3, suku ke-7 adalah .... ke-5 dari barisan tersebut adalah .... a. 242 c. 122 a. 31 c. 33 b. 177 d. 67 b. 32 d. 34 11. Suku pertama dan kedua suatu deret6. Rumus suku ke-n dari barisan 0, 2, 6, geometri berturut-turut adalah 2–4 12, 20 adalah .... dan 2x. Jika suku kedelapan adalah 252 a. n(n + 1) maka x sama dengan .... b. 2n2 + 1 a. –16 c. 2n2 – n b. 12 d. n2 –n c. 87. Amoeba yang terdiri atas satu sel berkem- d. 4 bang biak dengan cara membelah 12. Suku kelima dan kesepuluh dari diri. Setelah 20 menit, Amoeba itu suatu barisan aritmatika berturut- membelah menjadi 2 ekor, setelah turut adalah 30 dan 50. Suku ketujuh 40 menit menjadi 4 ekor, setelah 60 barisan tersebut adalah .... menit menjadi 8 ekor, dan demikian a. 25 seterusnya. Banyaknya Amoeba setelah b. 35 3 jam adalah .... c. 38 a. 512 ekor d. 48 b. 256 ekor 11 21 c. 128 ekor 13. Suku ke-31 barisan 3, , 8, , ..., 2 2 d. 64 ekor 98 adalah .... a. 658. Ibu Ina pergi ke Jakarta selama 50 b. 78 hari. Jika ia berangkat hari Sabtu, ia c. 80 kembali hari .... d. 82 a. Sabtu b. Minggu 14. Pada suatu barisan aritmetika, U1 = 10 c. Senin dan U28 = 91. Beda antara dua suku d. Selasa yang berurutan adalah .... a. 29. Jika suku ke-n dari suatu barisan b. 3 n bilangan adalah , tiga suku c. 4 2n 1 pertamanya adalah .... d. 5 2 3 2 5 15. Jumlah 50 suku pertama deret –98, a. 1, , c. 1, , 5 7 3 3 –95, –92, –89, ... adalah .... 1 2 5 2 3 a. –1.552 c. –1.035 b. , , d. 1, , 3 3 3 3 5 b. –1.225 d. 1.025 Barisan dan Deret Bilangan 153
    • Tes Kompetensi Semester 2 Kerjakanlah pada buku tugasmu. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. 1. Nilai n jika 3 125 = n + 2 adalah .... 6. Jika 2 = 1,414; maka nilai dari a. 5 c. –7 50 adalah .... b. 4 d. –3 a. 7,07 2. Bilangan nol dipangkatkan dengan b. 7,14 bilangan bulat positif akan meng- c. 14,14 hasilkan .... d. 6,414 a. bilangan bulat positif 7. Diketahui a – b = 4 maka nilai dari b. bilangan bulat negatif a b 4 c. bilangan nol (0) 3 adalah .... d. bilangan real b a a. 4 3. Bentuk pangkat x y 1 2 dapat di- b. 42 x 2 tuliskan tanpa pangkat bilangan bulat c. –4 negatif menjadi .... d. –42 y2 8. Bentuk yang paling sederhana dari a. xy 2 c. x2 x5 x4 x y 2 y2 ; x ≠ 0 adalah .... b. d. x x2 x x3 a. x5 4. Sebuah bilangan bulat positif yang b. x6 dipangkatkan dengan bilangan nol c. x7 hasilnya sama dengan .... d. x8 a. 0 b. 1 9. Bentuk sederhana dan rasional dari c. bilangan bulat positif 15 adalah .... d. bilangan bulat negatif 5 10 p 15 5. Bentuk akar dari y r adalah .... a. 5 10 35 p a. yr b. 5 – 10 p b. r y c. 1 5 10 p 3 c. x r d. 5 + 10 d. x154 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • 10. Diketahui barisan bilangan berikut. 16. Diketahui barisan bilangan 2, 4, 7, 1, 4, 8, 13 11, ..., 56. Rumus suku ke-n barisan Suku berikutnya adalah .... tersebut adalah .... a. 19 c. 21 a. Un = 1 (n + 3) b. 20 d. 22 211. Diketahui barisan bilangan berikut. b. Un = 1 (n2 + n + 2) 2 1 × 2, 2 × 3, 3 × 4, ..., 51 × 52 c. Un = 1 (n + 2) Suku ke-n barisan tersebut adalah .... 2 a. n2 + n d. Un = 3 (n2 + 3) b. n2 – n 4 17. Wawan pergi ke Bali selama 40 hari. c. (n – 1) × n Jika ia berangkat pada hari Senin, ia d. n × (n – 2) akan kembali hari ....12. Diketahui barisan bilangan berikut. a. Senin c. Jumat 600, 580, 560, 540, ..., 320. b. Selasa d. Sabtu Suku kedua belas dari barisan tersebut 18. 2, 4, 6, 10, 16, .... adalah .... Barisan bilangan tersebut adalah a. 380 c. 210 barisan bilangan .... b. 300 d. 200 a. segitiga13. Jumlah 15 bilangan genap pertama b. Fibonacci adalah .... c. persegi a. 240 c. 220 d. genap b. 230 d. 210 19. Satu pasukan parade drum band yang14. Suku ketiga dan suku kelima suatu berjumlah 49 orang membentuk for- barisan geometri berturut-turut 27 dan masi barisan. Paling depan 1 orang, 243. Suku pertama barisan tersebut kemudian di belakangnya bertambah adalah .... 2, dan berikutnya bertambah 2 lagi a. 2 c. 5 dan seterusnya. Maka banyaknya b. 3 d. 6 orang pada barisan terakhir adalah ....15. Suatu jenis motor mengalami penu- a. 11 c. 15 runan harga sebesar 2% pada setiap b. 13 d. 17 akhir tahun. Pada Januari harga 20. Sebuah deret aritmetika terdiri dari motor baru Rp16.000.000,00. Harga 10 suku, jumlah suku pertama dan jual motor tersebut pada akhir tahun ke-2 adalah 9. Adapun jumlah suku ke-4 adalah .... ke-5 dan ke-6 adalah 33. Jumlah deret a. Rp14.720.000,00 tersebut adalah .... b. Rp14.740.000,00 a. 30 c. 156 c. Rp14.400.000,00 b. 67 d. 165 d. Rp14.080.000,00 Tes Kompetensi Semester 2 155
    • Tes Kompetensi Akhir Tahun Kerjakanlah pada buku tugasmu. Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. 1. Rumus suku ke-n dari barisan 4, 7, a. 225 c. 256 10, 13 adalah .... b. 250 d. 265 a. 3n + 1 c. 3n – 1 3 3 b. 3n + 2 d. 3n – 2 7. Jika 3 216 y , nilai y adalah .... 2 a. 4 c. 12 2. Panjang sebuah jalan pada peta yang b. 6 d. 16 mempunyai skala 1 : 500.000 adalah 10 cm. Panjang jalan sesungguhnya 8. Frekuensi harapan munculnya mata adalah .... dadu kelipatan dua yang dilempar a. 0,05 km c. 5 km 480 kali adalah .... b. 0,5 km d. 50 km a. 80 c. 240 C b. 160 d. 320 3. Dari seperangkat kartu dilakukan 9. Pada gambar berikut dike- D pengambilan secara acak sebanyak 260 kali dan setiap kali pengambilan kartu tahui panjang BC = 20 cm. A B dikembalikan. Frekuensi harapan yang Jika BD = 6 cm, panjang AD adalah .... terambil kartu As adalah sebanyak .... a. 18 cm c. 8 cm a. 5 kali c. 40 kali b. 12 cm d. 6 cm b. 20 kali d. 60 kali 10. Jika luas permukaan tabung 858 cm2 4. Diketahui data sebagai berikut. dan diameter tabung 21 cm maka 28, 25, 26, 22, 24, 27, 22, 21, 29, 28, volume kerucut dalam tabung tersebut 27, 24, 22, 21, 24, 25, 25, 27, 23, 26. adalah .... Median dari data tersebut adalah .... a. 288,75 cm3 a. 23 c. 25 b. 866,25 cm3 b. 24 d. 26 c. 1.501,5 cm3 d. 1.732,5 cm3 5. Jika diketahui luas permukaan sebuah tangki BBM yang berbentuk bola 11. Seorang pemain sepakbola telah men- 22 cetak 68 gol dari 85 kali penampilan- adalah 2.464 m2 dan π = maka nya. Jika ia ingin mencapai rata-rata 7 jari-jari tangki tersebut adalah .... gol 0,84 dalam 15 pertandingan se- a. 7 m c. 21 m lanjutnya, banyak gol yang harus ia b. 14 m d. 28 m cetak adalah .... 6. Suku ke-15 dari barisan bilangan 1, a. 13 c. 15 4, 9, 16, ... adalah .... b. 14 d. 16156 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • x 2 y3 5 4 52 73 19. Bentuk dapat dituliskan12. Jika 2 2 = x maka nilai x x 3 75 54 tanpa pangkat bilangan bulat negatif adalah .... menjadi .... a. 33 c. 35 a. x5y3 c. xy3 b. 34 d. 36 b. x1y3 d. 2x3y13. Segitiga KLM dengan besar K = 38° 20. Suku ke-8 dari barisan bilangan 2, 7, dan L = 62° sebangun dengan segitiga 12, 17, ... adalah .... ABC dengan besar .... a. 32 c. 42 a. A = 38° dan B = 80° b. 37 d. 47 b. B = 62° dan C = 80° c. A = 80° dan C = 38° 21. Dalam suatu kelas terdapat 25 siswa d. B = 38° dan C = 62° putri dan 15 siswa putra. Jika salah seorang dipanggil oleh wali kelas14. Peluang munculnya muka dadu ber- secara acak, peluang terpanggilnya jumlah 5 pada pelemparan 2 buah siswa putri adalah .... dadu adalah .... 5 3 1 1 a. c. a. c. 8 8 9 6 3 1 1 1 b. d. b. d. 5 4 4 3615. Jumlah 7 suku pertama dalam 22. Volume kerucut yang garis pelukisnya barisan 2, 6, 18, ... adalah .... 20 cm dan jari-jarinya 12 cm dengan a. 486 c. 2.186 π = 3,14 adalah .... b. 976 d. 4.372 a. 752,6 cm3 c. 2.411,5 cm3 b. 5.024 cm3 d. 3.014,4 cm316. Simpangan kuartil dari data: 6, 4, 6, 4, 2, 6, 5, 3, 6 adalah .... 23. Dua bola jari-jarinya masing-masing a. 1,75 c. 1,25 adalah r1 dan R, sedangkan luas b. 1,50 d. 1,00 kulitnya masing-masing L1 dan L2. R Jika R = 4r maka L1 : L2 adalah ....17. Amati gambar berikut. PQ// a. 1 : 4 c. 1 : 16 ST, PQ = 18 cm, ST = 12 b. 1: 8 d. 1 : 32 cm, dan QR = 54 cm. S T 1 1 Panjang TR adalah .... P Q 24. Jika a = 3 dan b = 5 2 4 a. 18 cm c. 36 cm maka 45 = .... b. 24 cm d. 48 cm a. a2b c. a2b218. Sebuah tabung dengan diameter 30 b. ab2 d. a4b 3 cm diisi minyak sampai bagian. Jika 25. Mean dari data 25, 21, 28, 24, 25, 4 27, x, 22, 23, 21 adalah 24. Nilai x volume minyak 8.478 cm3 maka tinggi yang memenuhi adalah .... tabung tersebut adalah .... (π = 3,14) a. 22 c. 24 a. 4 c. 12 b. 23 d. 25 b. 8 d. 16 Tes Kompetensi Akhir Tahun 157
    • Kunci Jawaban Tes Kompetensi Bab 1 Tes Kompetensi Bab 5 1. d 11. b 1. b 11. c 3. d 13. c 3. a 13. d 5. a 15. a 5. c 15. a 7. b 17. b 7. a 17. b 9. c 19. b 9. a 19. b Tes Kompetensi Bab 2 Tes Kompetensi Bab 6 1. a 11. d 1. b 9. c 3. d 13. b 3. d 11. d 5. c 15. b 5. a 13. b 7. b 17. b 7. a 15. b 9. b 19. b Tes Kompetensi Semester 2 Tes Kompetensi Bab 3 1. c 11. a 1. d 11. c 3. a 13. a 3. d 13. d 5. b 15. a 5. d 15. a 7. c 17. c 7. d 17. c 9. b 19. b 9. a 19. d Tes Kompetensi Akhir Tahun Tes Kompetensi Bab 4 1. b 15. c 1. c 11. b 3. b 17. c 3. d 13. b 5. b 19. c 5. d 15. c 7. b 21. a 7. a 17. b 9. c 23. c 9. c 19. b 11. d 25. c 13. b Tes Kompetensi Semester 1 1. c 11. a 3. a 13. a 5. c 15. b 7. a 17. b 9. b 19. b158 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • GlosariumBimodal : data yang memiliki dua Kongruen : bangun-bangun yang memiliki modus. ............................................ (66) bentuk dan ukuran yang sama. .......... (7)Dalil Pythagoras : keterangan Pythagoras Kuartil : ukuran yang membagi data yang dijadikan bukti atau alasan menjadi empat kelompok yang suatu kebenaran. ............................... (7) anggotanya sama banyak. ................ (69)Data : kumpulan datum ......................... (66) Mean : rerata; nilai antara. ..................... (60)Data diskrit : data yang diperoleh dengan cara Median : nilai tengah dari data yang menghitung .................................... (59) diurutkan dari datum terkecil keData kontinu : data yang diperoleh dengan datum terbesar................................. (64) cara mengukur ................................ (59) Modus : datum yang paling seringData kualitatif : data yang tidak berbentuk muncul. .......................................... (66) bilangan. ......................................... (59) Peluang : kemungkinan terjadinya suatuData kuantitatif : data yang berbentuk peristiwa.......................................... (76) bilangan. ......................................... (59) Populasi : semua objek yang menjadiDatum : fakta tunggal ............................ (59) sasaran pengamatan......................... (51)Diagonal : garis yang menghubungkan dua Ruang sampel : himpunan semua kejadian titik sudut yang tidak bersebelahan dalam yang mungkin diperoleh dari suatu suatu segiempat. ................................ (7) percobaan. ...................................... (82)Diameter : garis lurus yang melalui titik Sampel : bagian dari populasi yang diambil tengah lingkaran dari satu sisi ke sisi untuk dijadikan objek pengamatan lainnya. ........................................... (24) langsung dan dijadikan dasar dalamFrekuensi : banyak kejadian yang lengkap penarikan kesimpulan mengenai atau fungsi muncul dalam suatu populasi.............................................. (51) waktu. ............................................. (65) Sebangun : serupa; memiliki perkawananFrekuensi relatif : banyaknya kejadian k; antartitik sudutnya sehingga sudut- banyaknya percoban. ....................... (80) sudut yang sekawan sama besar danGaris pelukis : garis-garis pada sisi lengkung semua rasio ukuran isi yang sekawan yang sejajar dengan sumbunya. ....... (29) sama.................................................. (3)Geometri : cabang matematika yang mene- Sejajar : paralel; garis yang mempunyai rangkan sifat-sifat garis, sudut, bidang, gradien yang sama. ............................ (6) dan ruang. ......................................... (6) Selimut : sisi lengkung. .......................... (29)Hipotenusa : sisi sebuah segitiga yang ter- Simpangan kuartil : setengah dari jangkauan letak di seberang sudut sikunya. ...... (20) interkuartil. ..................................... (50)Jangkauan : selisih antara datum terbesar Statistika : ilmu pengetahuan yang dan datum terkecil. ......................... (68) berhubungan dengan cara-caraJangkauan interkuartil : selisih antara pengumpulan data, pengolahan data, kuartil atas dan kuartil bawah. ........ (73) dan penarikan kesimpulanJari-jari : garis lurus dari titik pusat ke garis berdasarkan data tersebut. ............... (49) lingkaran. ........................................ (28) Substitusi : penggantian ........................ (13) Barisan dan Deret Bilangan 159
    • Indeks A akar 95, 96, 107, 108, 109, 110, 111, 113, diagram batang 49, 57 114, 115, 137, 143 diagram garis 56 aljabar 102, 108, 124 diagram lingkaran 57 aritmetika 126, 127, 128, 129, 130, 133, diagram pohon 82 134, 136, 138 distribusi frekuensi 55 B E bangun datar 4, 7, 8, 19, 20, 24, 39 eksponen 98, 113 bangun geometri 19 F bangun ruang sisi lengkung 27, 28, 29, faktor 87, 90, 92, 97, 103, 104, 105, 38, 142 127, 135 barisan aritmetika 126, 127, 130, 133, fibonacci 130 134, 136 frekuensi 54, 75, 76, 139, 144 barisan geometri 129, 130, 131, 132, 133, 134, 138 G bidang alas 29, 31, 38 garis pelukis 29, 31, 32, 33, 34, 37, 44, bilangan bulat 34, 35, 61, 62, 88, 103, 140 104, 105, 107, 108, 109, 110, 111, geometri 19, 120, 129, 130, 141, 144 128, 137, 140 I bilangan irasional 107, 108, 110 interval 65, 71, 72, 73 bilangan rasional 95, 96, 97, 98, 116 bilangan real 107, 113, 137 J bola 29, 34, 139, 140 jangkauan 50, 68, 69, 71, 73, 75, 144 busur 31 jangkauan interkuartil 50, 68 D K dalil Pythagoras 7, 107, 142, 144 kelas 1, 51, 53, 54, 57, 60, 62, 63, 67, 68, data 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 75, 70, 72, 75, 77, 108 76, 94, 139, 140, 144 kongruen 1, 2, 3, 15, 16, 17, 144 data diskrit 144 kuartil 69, 70, 71, 73, 75, 94, 140, 144 data kontinu 144 L data kualitatif 53, 144 luas daerah 28, 35, 115 data kuantitatif 51, 52, 144 luas permukaan 28, 30, 32, 33, 34, 35, datum 51, 54, 55, 144 36, 37, 44, 46, 47, 93, 139 deret aritmetika 127, 128, 133, 134, 138 deret geometri 120, 130160 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • M sebangun 1, 2, 3, 9, 144mean 50, 60, 62, 73, 76, 94, 140, 144 segitiga Pascal 122, 123median 50, 64, 66, 68, 73, 74, 75, 76, selimut 28, 144 139, 144 simpangan kuartil 69, 75, 140, 144modus 50, 66, 73, 74, 76, 144 skala 3, 24, 55, 144P statistika 49, 51, 142, 144pangkat 97, 98, 103, 104, 105, 107, 108, suku 129, 135, 136, 138, 139, 140 113, 114, 115, 137, 140 Tpangkat tak sebenarnya 96 tabel 53, 55, 56, 58, 60, 61, 65, 67, 71,peluang 57, 73, 76, 79, 140, 142, 144 72, 73, 75, 81, 83, 88, 121piktogram 52, 55, 57, 73 tabung 29, 30, 93, 94, 139, 140pola bilangan 119, 120, 121, 122 tali busur 31populasi 50, 51, 144 titik sampel 78, 82pythagoras 7, 107, 142, 144 UR urutan 65, 124rata-rata 53, 60, 61, 62, 63, 64, 67, 69, V 73, 74, 75, 76, 94, 139 volume 28, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44,ruang sampel 82, 83, 85, 87, 90, 92, 45, 46, 47, 93, 94, 98, 99, 106, 144 139, 140Ssampel 52, 58, 60, 78, 82, 83, 84, 85, 87, 88, 90, 91, 92, 144 Indeks 161
    • Daftar Pustaka Barnett, Raymond A. et.al. 2008. Finite Mathematics for Business, Economics, Life Sciences, and Social Sciences, 11th Edition. New Jersey: Pearson Education Inc. Bennett, Albert B. 2004. Mathematics for Elementary Teachers: a Conceptual Approach, 6th Edi- tion. Singapore: Mc Graw Hill. Bigellow dan Stone. 1996. New Course Mathematics Year 9 Advanced. Melbourne: Macmillan. Bloom, B. S. 1971. Handbook on Formative and Summative Evaluation of Student Learning. New York: Mc Graw Hill. Booth, D. J. 1995. Foundation Mathematics. London: Addison-Wesley. Brumfiel, C. B. 1964. Geometry. London: Addison-Wesley Publishing Company. BSNP. 2006. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar 2006 mata pelajaran Matematika Sekolah Menegah Pertama/Madrasah Tsanawiyah. Jakarta: Depatemen Pendidikan Nasional. Christy, D. T. dan Rosenfeld, R. 1994. Beginning Algebra, Annotated Instructor’s Edition.Wm. C. Brown. Farlow, Stanley. J. 1994. Finite Mathematics and Its Applications. Singapore: Mc Graw Hill. Kaur, Jasbir dan Sim I-Jee. 2000. Aset Peperiksaan Matematik. Selangor: Pearson Education Malaysia. Keng Seng, Teh dan Looi Chin Keong. 1997. New Syllabus D Mathematics 1. Singapore: Shi- glee. Meserve, B. E. dan Max A. Sobel. 1984. Introduction to Mathematics. New Jersey: Prentice- Hall. Moise E.E. 1990. Elementary Geometry From An Advanced Standpoint. London: Addison- Wesley. Negoro, St dan B. Harahap. 1982. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia. Purcell, E. J dan Varberg, D. 1994. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2. Jakarta: Erlangga. Ruseffendi, ET. 1989. Dasar-dasar Matematika Modern dan Komputer untuk Guru. Bandung: Tarsito. Seang, Ooi Yong dkk. 2001. Fokus Indigo SPM Matematik. Selangor: Pelangi. Seymour Lipschutz. 1981. Theory and Problems of Set Theory and Related Topics. Schaums Outline Series. Mc Graw Hill. Suherman, E dan Surjaya, Y. 1990. Evaluasi Pendidikan Matematika. Bandung: Wijaya- kusumah. Sullivan, Michael. 1999. Pre Calculus. Upper Saddle River: Prentice Hall Inc. Watson, Jenny et.al. 2001. Maths Quest for Victoria 9. Queensland: John Wiley & Sons Australia. Yeo, Ricky. 1992. New Syllabus Mathematics. Singapore: EPB Publisher.162 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX
    • Daftar Pustaka Barnett, Raymond A. et.al. 2008. Finite Mathematics for Business, Economics, Life Sciences, and Social Sciences, 11th Edition. New Jersey: Pearson Education Inc. Bennett, Albert B. 2004. Mathematics for Elementary Teachers: a Conceptual Approach, 6th Edi- tion. Singapore: Mc Graw Hill. Bigellow dan Stone. 1996. New Course Mathematics Year 9 Advanced. Melbourne: Macmillan. Bloom, B. S. 1971. Handbook on Formative and Summative Evaluation of Student Learning. New York: Mc Graw Hill. Booth, D. J. 1995. Foundation Mathematics. London: Addison-Wesley. Brumfiel, C. B. 1964. Geometry. London: Addison-Wesley Publishing Company. BSNP. 2006. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar 2006 mata pelajaran Matematika Sekolah Menegah Pertama/Madrasah Tsanawiyah. Jakarta: Depatemen Pendidikan Nasional. Christy, D. T. dan Rosenfeld, R. 1994. Beginning Algebra, Annotated Instructor’s Edition.Wm. C. Brown. Farlow, Stanley. J. 1994. Finite Mathematics and Its Applications. Singapore: Mc Graw Hill. Kaur, Jasbir dan Sim I-Jee. 2000. Aset Peperiksaan Matematik. Selangor: Pearson Education Malaysia. Keng Seng, Teh dan Looi Chin Keong. 1997. New Syllabus D Mathematics 1. Singapore: Shi- glee. Meserve, B. E. dan Max A. Sobel. 1984. Introduction to Mathematics. New Jersey: Prentice- Hall. Moise E.E. 1990. Elementary Geometry From An Advanced Standpoint. London: Addison- Wesley. Negoro, St dan B. Harahap. 1982. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia. Purcell, E. J dan Varberg, D. 1994. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2. Jakarta: Erlangga. Ruseffendi, ET. 1989. Dasar-dasar Matematika Modern dan Komputer untuk Guru. Bandung: Tarsito. Seang, Ooi Yong dkk. 2001. Fokus Indigo SPM Matematik. Selangor: Pelangi. Seymour Lipschutz. 1981. Theory and Problems of Set Theory and Related Topics. Schaums Outline Series. Mc Graw Hill. Suherman, E dan Surjaya, Y. 1990. Evaluasi Pendidikan Matematika. Bandung: Wijaya- kusumah. Sullivan, Michael. 1999. Pre Calculus. Upper Saddle River: Prentice Hall Inc. Watson, Jenny et.al. 2001. Maths Quest for Victoria 9. Queensland: John Wiley & Sons Australia. Yeo, Ricky. 1992. New Syllabus Mathematics. Singapore: EPB Publisher.162 Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan untuk Kelas IX