Upcoming SlideShare
×

# Penetuan waktu panen

1,140

Published on

0 Likes
Statistics
Notes
• Full Name
Comment goes here.

Are you sure you want to Yes No
• Be the first to comment

• Be the first to like this

Views
Total Views
1,140
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
36
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

### Penetuan waktu panen

1. 1. MODEL MATEMATIKA PENENTUAN WAKTU PANENOPTIMAL PADA POPULASI IKAN DENGAN UKURAN AWAL HOMOGEN DAN HETEROGEN MUSTOPA SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
2. 2. PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Model MatematikaPenentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Ikan dengan Ukuran AwalHomogen dan Heterogen adalah karya saya dengan arahan dari komisipembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggimanapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkanmaupun yang tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dandicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Agustus 2009 Mustopa NRP G551070111
3. 3. ABSTRACTMUSTOPA. Mathematical Models on Determination of Optimal HarvestingTime for Fish Population with Homogeneous and Heterogeneous Initial Size.Under supervision of PAIAN SIANTURI and DONNY CITRA LESMANA. This thesis analyzed the optimal harvesting time for biological assetsconsisting of individuals with homogeneous and heterogeneous size. The optimalharvesting time was determined by maximizing the profit function, which wasdefined as difference between total biomass value and maintenance cost. In thehomogeneous case, it was used the Richards growth model, which was a generalmodel for monomolecular growth, as well as the logistic and Gompertz models.There were two species assumed living, one of the them followed themonomolecular growth model and the other followed the logistic model. Theresult showed that a species, which had the monomolecular growth model, gavean optimal harvesting time faster than the other, which had logistic growth model.The heterogeneous case used continuously of structured population model, whichwere initially proposed by Sinko and Streifer and had the form of a first orderpartial differential equation (PDE) for the evolution of the size distribution. Anoptimality condition of heterogeneous case is obtained and compared with the oneknown in the case of homogeneous size. If the size heterogeneity is taken intoconsideration, then under appropriate natural conditions for the biological andeconomic factors, the population with heterogeneity should be maintained longercompared to the recommendations obtained from the homogeneous models of thesame culture.Keywords: growth model, homogeneous and heterogeneous initial size, optimalharvesting time.
5. 5. waktu panen optimal kultur heterogen tidak dapat peroleh formula untuk waktupanen secara eksplisit, namun dari hasil analisis secara matematik dalampenelitian ini diperoleh indikasi bahwa waktu panen optimal kultur heterogenlebih besar dari waktu panen optimal kultur homogen.Kata kunci: model pertumbuhan, populasi dengan ukuran awal homogen danheterogen, waktu panen optimal.
6. 6. © Hak Cipta milik IPB, tahun 2009Hak Cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber a. Pengutipan hanya boleh untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah, b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB
7. 7. MODEL MATEMATIKA PENENTUAN WAKTU PANENOPTIMAL PADA POPULASI IKAN DENGAN UKURAN AWAL HOMOGEN DAN HETEROGEN MUSTOPA Tesis Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
8. 8. Judul Tesis : Model Matematika Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Ikan dengan Ukuran Awal Homogen dan HeterogenNama : MustopaNRP : G551070111 Disetujui Komisi PembimbingDr. Paian Sianturi Donny C. Lesmana, S.Si., M.Fin.Math. Ketua Anggota Diketahui Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika TerapanDr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.Tanggal Ujian: 13 Agustus 2009 Tanggal Lulus:
11. 11. DAFTAR ISI HalamanDAFTAR TABEL ........................................................................................... xiDAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xiiDAFTAR LAMPIRAN ................................................................................... xiii1. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang .................................................................................. 1 1.2. Tujuan Penelitian .............................................................................. 22. LANDASAN TEORI 2.1. Model Pertumbuhan .......................................................................... 3 2.2. Model Ekonomi Pemanenan ............................................................. 7 2.3. Fungsi Kepadatan Peluang ................................................................ 9 2.4. Deret Taylor ...................................................................................... 113. MODEL MATEMATIKA 3.1. Fungsi Keuntungan Untuk Populasi Awal yang Berukuran Homogen .......................................................................................... 12 3.2. Fungsi Keuntungan Untuk Populasi Awal yang Berukuran Heterogen ......................................................................................... 134. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1. Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Awal Berukuran Homogen ......................................................................................... 16 4.2. Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Awal Berukuran Heterogen ........................................................................................ 23 4.3. Perbandingan Waktu Panen Optimal Populasi Awal dengan Ukuran Homogen dan Heterogen ................................................................ 255. SIMPULAN DAN SARAN 5.1. Simpulan ........................................................................................... 28 5.2. Saran .................................................................................................. 28DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 29LAMPIRAN .................................................................................................... 30
12. 12. DAFTAR TABEL Halaman1. Nilai Parameter (data Hipotetik) ............................................................... 212. Ukuran dan waktu optimal model pertumbuhan monomolekuler dan logistik ....................................................................................................... 22
13. 13. DAFTAR GAMBAR Halaman1. Laju pertumbuhan model monomolekuler untuk nilai k = 0.02, 0.05 dan 0.1 serta ukuran maksimum (xf) 1000 ....................................................... 42. Fungsi pertumbuhan model monomolekuler untuk nilai x0 = 20, x f = 1000 serta nilai k masing-masing 0.02, 0.05 dan 0.1 ........................ 53. Laju pertumbuhan model logistik untuk nilai x f = 1000 serta nilai k masing-masing sebesar 0.02, 0.05 dan 0.1................................................. 64. Fungsi pertumbuhan model logistik untuk nilai x0 = 20, x f = 1000 serta nilai k sebesar 0.02, 0.05 dan 0.1 ...................................................... 75. Fungsi sebaran seragam dalam selang [2, 4] ............................................ 96. Fungsi sebaran beta untuk nilai α = 3 dan β = 2 ................................... 107. Sketsa diagram alur analisis. ..................................................................... 14
14. 14. DAFTAR LAMPIRAN Halaman1. Bukti persamaan (4) .................................................................................. 302. Bukti persamaan (6) ................................................................................. 313. Bukti persamaan 8) .................................................................................. 324. Bukti Lema 1. ............................................................................................ 335. Bukti Lema 2. ............................................................................................ 346. Bukti Proposisi 1. ...................................................................................... 35
15. 15. BAB I PENDAHULUAN1.1. Latar Belakang Salah satu masalah kontrol optimal dari pembaharuan sumber daya alamadalah pengaturan pertumbuhan aset biologi yang dipelihara. Kegiatanbioekonomi dengan kontrol yang relatif tinggi dari proses pertumbuhan sepertihutan, peternakan dan perikanan sangat menarik untuk diaproksimasi denganformulasi. Sebagai contoh, kebijakan penebangan hutan secara optimaldisesuaikan dengan formula Faustman, yang memberikan periode penanamanyang bernilai ekonomis dari suatu jenis tanaman. Masalah lain yang menarikuntuk dijadikan penelitian yang menguntungkan adalah budidaya ikan. Banyakmodel bioekonomi yang berhubungan dengan budidaya ikan diperluas bukanhanya untuk mengoptimalkan waktu panen, tetapi juga aspek lainnya sepertiukuran awal penebaran dan nutrisi makanan. Model fungsi pertumbuhan dari suatu spesies dengan spesies lainnya dapatberbeda sesuai dengan karakteristik faktor-faktor yang memengaruhi pertumbuhanmasing-masing spesies, misalnya spesies tertentu memiliki pola pertumbuhanyang mengikuti model monomolekuler sedangkan spesies lain mengikuti modellogistik atau model lainnya. Pola pertumbuhan yang berbeda dari setiap individudari spesies yang sama merupakan fenomena alam yang dipengaruhi olehbeberapa faktor, seperti tingkah laku spesies, persaingan makanan dankeberagaman ukuran ikan yang membawa laju tingkat kematian yang lebih tinggiuntuk ukuran ikan yang lebih kecil. Fakta-fakta ini menunjukkan bahwa waktupanen optimal dapat berubah jika diasumsikan pertumbuhan setiap individubervariasi. Beberapa model pertumbuhan dengan ukuran heterogen menggunakanpeubah stokastik dalam fungsi pertumbuhannya. Willasen (1998) menggunakanteori kontrol impuls untuk mendapatkan hubungan yang positif antara derajatvariabilitas ukuran dengan waktu panen (Gasca et al, 2007). Namun demikianhasil dari model-model tersebut hanya untuk model pertumbuhan yang sederhana,
16. 16. seperti model pertumbuhan linear atau logistik, disebabkan oleh perlakuan analitikyang kompleks untuk proses stokastiknya. Pada tulisan ini fungsi pertumbuhan hanya bergantung pada peubah ukuranberat awal ikan, baik yang homogen maupun yang heterogen. Faktor-faktor lainseperti kondisi lahan, suhu, persaingan makanan dianggap faktor eksogen yangbernilai konstan. Waktu panen optimal ditentukan dengan memaksimumkanfungsi keuntungan yang merupakan selisih dari fungsi nilai jual ikan pada saatpanen dengan fungsi biaya pemeliharaan.1.2. Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan:1. Menganalisis model matematika waktu panen optimal pada populasi ikan dengan ukuran awal homogen.2. Menganalisis model matematika waktu panen optimal pada populasi ikan dengan ukuran awal heterogen.3. Membandingkan waktu panen optimal kultur homogen dan heterogen.
17. 17. BAB II LANDASAN TEORI2.1. Model Pertumbuhan Bentuk fungsi pertumbuhan satu jenis spesies pada umumnya menggunakannotasi fungsi analitik yang dinyatakan dalam satu persamaan. Secara umumfungsi pertumbuhan menyatakan hubungan ukuran berat (x) sebagai fungsi dariwaktu (t), dan ditulis: x = f(t). (1)Laju pertumbuhan merupakan fungsi dari ukuran berat (x) dan waktu (t) yangmemenuhi persamaan: dx (2) = u ( x, t ) . dt (France & Thornley 1984) Model pertumbuhan satu jenis spesies yang digunakan adalah modelpertumbuhan Richards. Richards adalah orang yang pertama kali menerapkanpersamaan pertumbuhan yang dibangun dalam model yang disebut model VonBertalanffy untuk menunjukkan pertumbuhan hewan (Gasca et al, 2007).Persamaan pertumbuhan Richards merupakan persamaan umum dari persamaanpertumbuhan monomolekuler, logistik, Gompertz dan persamaan lainnya. Bentukumum dari persamaan Richards adalah: n dx kx( x f − x ) n (3) = n dt nx fdengan k dan x f konstanta yang bernilai positif, serta n adalah parameter. Solusiumum dari persamaan Richards adalah: x0 x f x(t ) = (4) [x + (x ) ] 1 n n n − kt n 0 f − x0 e(bukti dapat dilihat pada Lampiran 1)
19. 19. monomolekuler pada persamaan (6) dengan nilai x0 = 20, x f = 1000 serta nilai kmasing-masing 0.02, 0.05, dan 0.1 diperlihatkan pada Gambar 2. ukuran k=0.1 1000 k=0.05 800 k=0.02 600 400 200 waktu 50 100 150Gambar 2 Fungsi pertumbuhan model monomolekuler untuk nilai x0 = 20, x f = 1000 serta nilai k masing-masing 0.02, 0.05 dan 0.1.Dari Gambar 2, dapat dilihat bahwa fungsi pertumbuhan model monomolekulermerupakan fungsi yang monoton naik, konveks dan ukuran berat konvergen kenilai x f . Semakin besar nilai k ukuran berat ikan akan semakin cepat menujunilai kekonvergenannya. Untuk n = 1, persamaan (3) menjadi model persamaan logistik, yaitu: dx ⎛ x ⎞ (7) = kx⎜1 − ⎟. dt ⎜ x ⎟ ⎝ f ⎠Grafik laju pertumbuhan model logistik pada persamaan (7) untuk nilaix f = 1000 serta nilai k masing-masing sebesar 0.02, 0.05, dan 0.1 ditampilkanpada Gambar 3.
20. 20. laju pertumbuhan 25 k = 0.1 20 15 k = 0.05 10 k = 0.02 5 ukuran 200 400 600 800 1000Gambar 3 Laju pertumbuhan model logistik untuk nilai x f = 1000 serta nilai k masing-masing sebesar 0.02, 0.05, dan 0.1Dari Gambar 3, fungsi laju pertumbuhan model logistik merupakan fungsikonveks dan simetris serta laju maksimum tercapai pada ukuran separuh dariukuran maksimumnya. Fungsi ukuran setiap individu terhadap waktu dari model pertumbuhanlogistik adalah: x0 x f x(t ) = (8) x0 + ( x f − x0 )e − kt(bukti dapat dilihat pada Lampiran 3)dengan x0 menyatakan ukuran awal individu pada saat penebaran. Kurva ukuranterhadap waktu model fungsi pertumbuhan logistik pada persmaan (8) untuk nilaix0 = 20, x f = 1000 serta nilai k masing-masing sebesar 0.02, 0.05 dan 0.1diperlihatkan pada Gambar 4.
21. 21. ukuran k = 0.1 1000 k = 0.05 800 600 k = 0.02 400 200 waktu 100 200 300 400 500Gambar 4 Fungsi pertumbuhan model logistik untuk nilai x0 = 20, x f = 1000 serta nilai k sebesar 0.02, 0.05 dan 0.1Pada Gambar 4, nampak bahwa fungsi pertumbuhan model logistik merupakanfungsi yang monoton naik, konveks dan mencapai kestabilan pada nilai x f .Semakin besar nilai k semakin cepat menuju titik kestabilannya. (France & Thornley, 1984)2.2. Model Ekonomi Pemanenan Nilai sekarang (present value) dari jumlah arus kas diskret ct1 , ct2 , . . . , ctnyang dibayarkan pada periode t1, t2, ... tn dengan 0 ≤ t1 < t 2 < . . . < t n adalah: n PV = ∑ cti v(t i ) (9) i =1 1dengan v(t i ) = , r tingkat suku bunga per periode waktu. Jika berlaku (1 + r ) tisuku bunga majemuk kontinu δ yang bernilai konstan untuk setiap waktu t makanilai sekarang dari tingkat diskon untuk 1 satuan nilai pada setiap t ≥ 0didefinisikan v(t ) = e −δ t . Jika M(t) menyatakan total pembayaran pada selangwaktu [0, t] maka didefinisikan ρ (t ) = M (t ) untuk setiap t. Nilai sekarang daritotal pembayaran yang dilakukan pada waktu 0 ≤ t ≤ T adalah:
25. 25. Teorema transformasi. Misalkan X merupakan peubah acak kontinu denganfungsi kepadatan peluang f X dan himpunan nilai yang mungkin dari x adalah A.Untuk fungsi invers h: A → R, misalkan Y = h(X) merupakan peubah acak denganhimpunan nilai yang mungkin B = h(A) = {h(a) : a ∈ A}. Misalkan bahwa inversdari y = h(x) adalah x = h −1 ( y ) yang dapat didiferensialkan untuk semua nilaiy ∈ B . Maka f Y sebagai fungsi kepadatan peluang dari y diberikan oleh: ( f Y ( y ) = f X h −1 ( y ) ) (h ) ( y) , −1 y ∈ B. (19) (Ghahramani, 2005)2.4. Deret Taylor Misalkan I adalah selang yang memuat nilai a. Jika g dapat didiferensialkanhingga orde ke-n pada selang I, maka g dapat direpresentasikan dalam bentukderet sebagai berikut: g ( n −1) (a ) g ( x) = g (a ) + g (a )( x − a ) + K + ( x − a ) n −1 + Rn ( x ) (n − 1)! (20) x 1 n −1 ∫ dengan Rn ( x) = g ( n ) s )( x − s ) n −1 ds . 0 (Salas & Hille 1978)
29. 29. Model fungsi Pertumbuhan Richards Fungsi Penerimaan Fungsi Pemeliharaan Memaksimumkan Fungsi Keuntungan Populasi Homogen Populasi Heterogen Fungsi Sebaran Waktu Panen Optimal Gambar 7 Sketsa diagram alur analisis Fungsi keuntungan adalah selisih fungsi penerimaan saat panen denganfungsi biaya pemeliharaan. Pada fungsi tersebut memuat fungsi pertumbuhan.Pada analisis ini, penulis memilih fungsi pertumbuhan model Richards denganpertimbangan bahwa fungsi tersebut monoton naik, konvek dan memiliki titiktetap sehingga sesuai dengan karakteristik pertumbuhan ikan. Untuk kasuspopulasi awal homogen, solusi analitik waktu panen optimal dapat dengan mudahditentukan dengan mendiferensialkan fungsi keuntungan, tetapi untuk kasuspopulasi awal heterogen solusi analitik lebih kompleks karena memuat fungsisebaran. Fungsi sebaran yang digunakan adalah sebaran seragam dan sebaranbeta karena kedua sebaran ini terdefinisi pada selang yang terbatas.
30. 30. BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN4.1. Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Awal Berukuran Homogen Jika fungsi biomassa pada persamaan (23) diturunkan terhadap t, dandengan menyubstitusikan N (t ) = − μ ( x(t )) N (t ) serta x(t ) = g ( x ) , maka diperoleh: & & d B(t ) = [x(t ) N (t )] & dt (30) = [g ( x ) − x(t )μ ( x )]N (t ) .Dengan mendiferensialkan fungsi akumulasi biaya pemeliharaan pada persamaan(24) diperoleh C (t ) sebagai berikut: & d ⎡ ⎤ t C (t ) = ⎢ ∫ e − rτ f (x(τ )) N (τ )dτ ⎥ & dt ⎣ 0 ⎦. (31) = e − rt f ( x(t ))N (t ) . Jika fungsi keuntungan π (t ) = e − rt p( x(t ))B(t ) − C (t ) diturunkan terhadap t,dan dengan menyubstitusikan persamaan (30) dan (31) maka diperoleh: d − rt π (t ) = & [e p ( x(t )) B(t ) − C (t )] dt & & & = − re − rt p ( x(t )) B (t ) + e − rt [ p ( x(t )) x(t ) B(t ) + p ( x(t )) B (t )] − e − rt f ( x) N (t ) = e − rt N (t )[ p ( x )g ( x )x + p( x )g ( x ) − (r + μ ( x )) p (x )x − f (x )] . (32)Kondisi optimal fungsi keuntungan diperoleh pada saat π (t ) = 0, & sehinggapersamaan umum yang memuat ukuran x pada penebaran populasi awal homogenadalah: p ( x )g ( x )x + p( x )g ( x ) = (r + μ (x )) p( x )x + f ( x ) . (33)
31. 31. 4.1.1. Waktu Panen Optimal Kultur Homogen Untuk Fungsi Pertumbuhan Monomolekuler Untuk penyederhanaan diasumsikan harga ikan p dan tingkat kematian μbernilai konstan (tidak bergantung pada ukuran) sehingga persamaan (33)menjadi: pg ( x) − f ( x) − p (r + μ ) x = 0 . (34)Misalkan fungsi biaya pemeliharaan memiliki bentuk: f (x ) = c0 + ce x + c f f 0 g (x ) ) (35)dengan c0 menunjukkan biaya tetap untuk setiap ikan, ce biaya pemeliharaansetiap ikan pada ukuran x, c f harga pakan per gram dan f 0 menyatakan tingkatefisiensi makanan. Jika diasumsikan g ( x) adalah fungsi pertumbuhan monomolekuler yaitu: dxx(t ) =& = g ( x) = k (ω − x) dengan k konstanta pertumbuhan dan ω ukuran dtmaksimum yang dapat dicapai ikan, maka dengan menyubstitusikan modelpertumbuhan tersebut dan fungsi biaya pemeliharaan f ( x ) = c0 + ce x + c f f 0 g ( x )ke persamaan (34), maka diperoleh ukuran panen optimal ( x h ) sebagai berikut: pk (ω − x) − p (r + μ ) x − c0 − ce x − c f f 0 k (ω − x) = 0 ⇔ ( p − c f f 0 )kω − c0 − (( p − c f f 0 )k + p (r + μ ) + ce )x = 0 ( p − c f f 0 )kω − c0 ⇔ xh = . (36) ( p − c f f 0 )k + p (r + μ ) + ce dxKarena = k (ω − x) , maka dengan menentukan solusi persamaan diferensial dttersebut dan menyubstitusi nilai x h , diperoleh nilai waktu panen optimal populasiawal berukuran homogen (t h ) sebagai berikut:
32. 32. x t dy ∫ (ω − y ) = ∫ k dτ x 0 0 ⇔ − ln (ω − y )]x = k t x 0 1 ⎛ ω − x0 ⎞ ⇔t= ln⎜ ⎟ (37) k ⎝ ω− x ⎠Dengan menyubstitusikan x h pada persamaan (36) ke persamaan (37) diperolehwaktu panen optimal adalah: 1 ⎛ ( ω - x 0 )[( p − c f f 0 ) k + p ( r + μ ) + c e ] ⎞ th = ln ⎜ ⎟. k ⎜ ⎝ ω[ p ( r + μ ) + c e ] + c 0 ⎟ ⎠ (38)Untuk μ konstan (tidak bergantung pada ukuran), maka diperoleh solusi&N (t ) = − μN (t ) sebagai berikut: N (t ) dη t ∫ N0 η = ∫ kdτ 0 ⇔ ln (η )]N N (t ) = kt 0 ⇔ N (t ) = N 0 e − μt . (39)Dengan menyubstitusikan persamaan (39), x(t ) = ω − (ω − x 0 )e − kt (solusi daridx = k (ω − x) ), fungsi g dan f ke persamaan (25), maka fungsi keuntungandtterhadap waktu dari kasus homogen dengan model pertumbuhan monomolekuleradalah sebagai berikut: t π (t ) = e − rt px(t )N (t ) − ∫ e − rτ [c0 + ce x(τ ) + c f f 0 g ( x(τ ))]N (τ )dτ 0 ⇔ π (t ) = e − rt p[ω − (ω − x0 )e − kt ]N 0 e − μt [ ] t ( ) − ∫ e − rτ c 0 + c e ω − (ω − x 0 )e − kτ + c f f 0 k (ω − x 0 )e − kτ N 0 e − μτ dτ 0 ⇔ π (t ) = [ω − (ω − x0 )e − kt ]pN 0 e − (r + μ )t ⎡⎛ c + ceω ⎞ ⎛ (ω − x0 )(c f f 0 k − ce ) ⎞ ⎤ ⎜ r + μ ⎟ 1− e − ⎢⎜ 0 ⎟ ( −( r + μ )t +⎜ ⎜ r+μ+k ) ⎟ ( ) ⎟ 1 − e −(r + μ + k )t ⎥ N 0 (40) ⎢⎝ ⎣ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎦
33. 33. 4.1.2. Waktu Panen Optimal Kultur Homogen untuk Model Fungsi Pertumbuhan Logistik Jika fungsi pertumbuhan g (x) diasumsikan memenuhi model logistik, dx ⎛ x⎞yaitu: = g ( x) = k ⎜1 − ⎟ x dengan k konstanta pertumbuhan model logistik dt ⎝ ω⎠dan ω ukuran maksimum yang dapat dicapai ikan, maka dengan menyubstitusikanmodel pertumbuhan tersebut dan fungsi biaya pemeliharaan ke persamaan (34),diperoleh dua akar persamaan di mana nilai akar terbesar merupakan ukuranoptimal ( x h ) pada waktu panen untuk kasus populasi awal yang berukuranhomogen sebagai berikut: ⎛ x⎞ ⎡ ⎛ x⎞ ⎤ pk ⎜1 − ⎟ x − ⎢c0 + ce x + c f f 0 k ⎜1 − ⎟ x ⎥ − p(r + μ )x = 0 ⎝ ω⎠ ⎣ ⎝ ω⎠ ⎦ ⇔ − (p − c f f0 ) k 2 x + bx − c0 = 0 ω dengan b = k ( p − c f f 0 ) − p(r + μ ) − ce .Akar-akar persamaannya adalah: 4c0 ( p − c f f 0 ) )k − b ± b2 − ω x1, 2 = − 2( p − c f f 0 )k . ωUkuran pada waktu panen optimal ( x h ) adalah nilai akar terbesar dari x1 dan x 2 ,yaitu: ω b + (ω b) 2 − 4kω c0 ( p − c f f 0 ) xh = (41) 2k ( p − c f f 0 ) dengan b = k ( p − c f f 0 ) − p (r + μ ) − ce . dx ⎛ x⎞Solusi dari persamaan diferensial = g ( x) = k ⎜1 − ⎟ x adalah: dt ⎝ ω⎠ x t dy ∫ ⎛ y⎞ = ∫ kdτ x0 y ⎜1 − ⎟ 0 ⎝ ω⎠
34. 34. ⎛ ⎞ ⎜ x ⎟ t 1 1 ⇔ ∫⎜ + ⎟dy = kdτ ∫ ⎜y ⎛ y ⎞⎟ x0 ⎜ ω⎜1 − ⎟ ⎟ 0 ⎝ ⎝ ω⎠⎠ ⎛ x (ω − x 0 ) ⎞ ⇔ ln⎜ ⎜ x (ω − x) ⎟ = kt . ⎟ ⎝ 0 ⎠Hubungan waktu dan ukuran berat pada saat panen dinyatakan dengan persamaanberikut: 1 ⎛ x h (ω − x 0 ) ⎞ ⇔ th = ln⎜ ⎟. (42) k ⎜ x 0 (ω − x h ) ⎟ ⎝ ⎠Dengan menyubstitusi nilai x h pada persamaan (41) ke persamaan (42), makadiperoleh nilai waktu panen optimal (t h ) untuk kasus homogen dengan fungsipersebagai berikut: umuhan model logistik adalah: 1 ⎛ ln ⎜ ( ω b + (ω b) 2 − 4kω c0 ( p − c f f 0 ) (ω − x0 ) ) ⎞ ⎟ . (43) th = ⎜ ⎝ ( ( k ⎜ x0 2kω( p − c f f 0 ) − ω b + (ω b) 2 − 4kω c0 ( p − c f f 0 ) )) ⎟ ⎟ ⎠ x 0ωDengan menyubstitusikan persamaan (39), x(t ) = (solusi dari x0 + (ω − x0 )e − ktdx ⎛ x⎞ = k ⎜1 − ⎟ x ), fungsi g dan f ke persamaan (25), maka fungsi keuntungandt ⎝ ω⎠terhadap waktu dari kasus homogen dengan model pertumbuhan logistik adalahsebagai berikut: t π (t ) = e − rt [ ] px(t )N (t ) − ∫ e − rτ c0 + ce x(τ ) + c f f 0 g ( x(τ )) N (τ )dτ 0 ⎡ x 0ω ⎤⇔ π (t ) = e − rt p ⎢ N e − μt − kt ⎥ 0 ⎣ x0 + (ω − x0 )e ⎦ t ⎡ ⎛ x 0ω ⎞ ⎛ x ω (ω − x )e − kτ ⎞⎤ − ∫ e − rτ ⎢ c 0 + c e ⎜ ⎟ + c f f0k⎜ 0 0 ⎟⎥ N e − μτ dτ 0 ⎢ ⎣ ⎜ x + (ω − x )e − kτ ⎝ 0 0 ⎟ ⎠ ( ⎜ x + (ω − x )e − kτ ⎝ 0 0 )2 ⎟⎥ 0 ⎠⎦
35. 35. ⎡ x 0ω ⎤⇔ π (t ) = ⎢ − kt ⎥ pN 0 e −(r + μ )t − ( A + B + C )N 0 (44) ⎣ x0 + (ω − x0 )e ⎦ dengan: A= ( c0 1 − e − (r + μ )t), r+μ B= ( ce x0ω e kt 1 − e − (r + μ )t ) , dan ( (r + μ ) ω − x0 − x0 e kt ) C= c f f 0 k (ω − x0 )e (k − r − μ t ) ( (e r + μ )t ) −1 (r + μ )(ω − x0 + x0 e kt )4.1.3. Perbandingan Waktu Panen Optimal Model Fungsi Pertumbuhan Monomolekuler dan Logistik Pada Kultur Homogen Misalkan pada Tabel 1 diberikan nilai-nilai parameter yang merupakandata hipotetik sebagai berikut: Tabel 1 Nilai Parameter (data hipotetik) Parameter Deskripsi Nilai r Tingkat diskon 0.06 per tahun μ tingkat kematian per hari 0.0006 p Harga ikan Rp. 15/gram c0 Biaya tetap per ekor Rp. 15 cf Harga makanan Rp. 6/gram ce Biaya pemeliharaan per gram Rp. 0.01 f0 Tingkat efisiensi makanan 0.95 N0 Jumlah populasi awal 2000 x0 Ukuran awal ikan 20 gram k Rasio pertumbuhan 0.03 ω Berat maksimum 1000 gramJika nilai-nilai parameter Tabel 1 disubstitusikan terhadap fungsi keuntungan padamasing-masing model pertumbuhan monomolekuler pada persamaan (40) danlogistik pada persamaan (44) dengan menggunakan software Mathematica 6.0diperoleh kurva sebagai berikut:
36. 36. keuntungan keuntungan 1.4 1071.2 107 1.2 1071. 107 1. 1078. 106 8. 1066. 106 6. 1064. 106 4. 1062. 106 2. 106 waktu waktu 50 100 150 200 250 300 50 100 150 200 250 300 350 (a) (b)Gambar 8 Kurva fungsi keuntungan (a) model pertumbuhan monomolekuler (b) model pertumbuhan logistikDari Gambar 8 terlihat bahwa suatu spesies yang model pertumbuhannyamonomolekuler lebih cepat mencapai waktu panen optimalnya dari spesies yangmodel pertumbuhannya logistik. Selain itu dengan parameter yang sama padaTabel 1, ukuran dan waktu panen optimal dari dua spesies yang berbeda denganmodel pertumbuhan masing-masing monomolekuler dan logistik disajikan padaTabel 2 berikut:Tabel 2 Ukuran dan waktu optimal model pertumbuhan monomolekuler dan logistik Ukuran panen Waktu Panen Spesies Model Pertumbuhan Optimal (gram) Optimal (hari) 1 Monomolekuler 905,77 78,06 2 Logistik 587,43 206,25Berdasarkan Tabel 2 di atas, ukuran ikan pada saat panen untuk spesies yangmodel pertumbuhannya mengikuti model monomolekuler lebih besardibandingkan dengan ukuran spesies yang pertumbuhannya mengikuti modellogistik, sedangkan waktu panennya lebih cepat.
37. 37. 4.2. Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Awal Berukuran Heterogen ω Dengan mendiferensialkan fungsi V (t ) = ∫ p ( x) xN (t , x)dx terhadap t maka 0 ωdiperoleh V (t ) = ∫ p ( x) xN t (t , x)dx , dan dengan menyubstitusi persamaan & 0N t (t , x) + ( g ( x) N (t , x)) x = − μ ( x) N (t , x) pada persamaam V (t ) diperoleh: & ω V (t ) = ∫ p ( x) x [−( g ( x) N (t , x)) x − μ ( x) N (t , x)]dx & 0 atau ω ω V (t ) = − ∫ p ( x) x ( g ( x ) N (t , x)) x dx − ∫ p ( x) xμ ( x) N (t , x)]dx . & (45) 0 0Dengan pengintegralan parsial ∫ udv = uv − ∫ vdu dari bentukω∫ p(x ) x (g (x )N (t , x )) x dx dengan u = p( x )x → du = ( p (x )x )x = ( p ( x) x + p ( x) )dx0dan dv = ( g ( x )N (t , x ))x dx → v = g ( x) N (t , x) sehingga diperoleh: ω ∫ p(x ) x (g (x )N (t , x )) dx = p (x ) x g (x ) N (t , x )| ω x 0 0 (46) ω − ∫ ( p ( x )x + p ( x )) g (x ) N (t , x )dx . 0Karena g (0) = 0 dan g (ω ) = 0 yakni laju pertumbuhan ukuran sama dengan nol⎛ dx ⎞⎜ = 0 ⎟ maka persamaan (46) menjadi:⎝ dt ⎠ ω ω ∫ p(x ) x (g (x )N (t , x ))x dx = − ∫ ( p (x )x + p(x )) g (x ) N (t , x )dx . 0 0 (47)Dengan menyubstitusikan persamaan (47) ke persamaan (45), maka diperoleh &bentuk yang lebih sederhana dari V (t ) , yaitu:
38. 38. ω ω V (t ) = ∫ ( p ( x) x) x g ( x) N (t , x)dx − ∫ p ( x) xμ ( x) N (t , x)]dx . & 0 0 (48) t ωPendiferensialan fungsi biaya C(t ) = ∫ e −rt ∫ f ( x) N (τ , x)dxdτ terhadap t 0 0menghasilkan: ω C (t ) = e − rt ∫ f ( x) N (t , x)dx . & (49) 0Pendiferensialan fungsi keuntungan π (t ) = e − rtV (t ) − C (t ) terhadap t diperoleh: & & & π (t ) = −re − rtV (t ) + e − rtV (t ) − C (t ) . (50)Keuntungan maksimum tercapai pada kondisi π (t ) = 0 sehingga diperoleh &persamaan: & & V (t ) = rV (t ) + e rt C (t ) . (51) & &Dengan menyubstitusi V (t ) , Vt ) dan C (t ) ke persamaan (51) diperoleh: ω ∫ [ p ( x) xg ( x) + p( x) g ( x) − (r + μ ( x)) p( x) x − f ( x)]N (t , x)dx = 0 . 0 (52)Untuk penyederhanaan persamaan (52) digunakan Lema 1 dan Lema 2 sebagaiberikut:Lema 1. Solusi N (t , x) dari persamaan (26) diberikan oleh: t − ∫ ( μ ( s[ x](τ )) + g ( s[ x](τ )))dτ N (t , x) = N 0 v0 ( s[ x](t ))e 0 (53) (bukti dapat dilihat pada Lampiran 4).
39. 39. Lema 2. Misalkan t > 0 dan s ∈ [0, ω ] , maka berlaku: t ∫ g ( x[ s ](τ ))dτ ∂x[ s ](t ) 0 =e (54) ∂s (bukti dapat dilihat pada Lampiran 5).Jika persamaan (53) dan (54) disubstitusikan ke persamaan (52), maka diperoleh: ω ∫ [ p ( x[s](t )) x[s](t ) g ( x[s](t )) + p( x[s](t )) g ( x[s](t )) 0 t − ∫ μ ( x[ s ](τ ))dτ (55) 0 − (r + μ ( x[ s ](t ))) p ( x[ s ](t )) x[ s ](t ) − f ( x[ s ](t ))]v0 ( s )e ds = 0 .Untuk p dan μ konstan persamaan (51) menjadi: ω (56) ∫ [ p g ( x[ s](t )) − f ( x[ s](t )) − (r + μ ) p x[s](t )]v 0 0 ( s )ds = 0Dengan persamaan (52), solusi eskplisit dari ukuran dan waktu panen optimalkultur heterogen tidak dapat ditentukan.4.3. Perbandingan waktu panen optimal populasi awal berukuran homogen dan heterogen Model homogen merupakan bentuk sederhana dari model heterogendengan mengasumsikan bahwa semua ikan memiliki ukuran yang sama padat = 0 . Perbandingan waktu panen kedua model dilakukan dengan memisalkanfungsi pertumbuhan g, μ , r, p dan banyaknya populasi awal N0 sama untukkasus homogen dan heterogen. Diasumsikan bahwa kepekatan ukuran awal v0 model heterogendikonsentrasikan pada interval [ s 0 − ε , s 0 + ε ] ⊆ [0, ω ] dengan nilai rata-rata s 0 ,yang berarti: ω s0 +ε s0 +ε ∫ v0 (s)ds = ∫ v0 (s)ds = 1 atau 0 s 0 −ε ∫ sv s 0 −ε 0 ( s )ds = s 0 . (57)
40. 40. Untuk penyederhanaan diasumsikan μ dan p konstan (tidak bergantung padaukuran populasi ikan), fungsi g ( x) dan h( x) := pg ( x) − f ( x) keduanya kontinu,dapat didiferensialkan dan konvek (turunan kedua bernilai negatif). Demikianpula bahwa h bernilai positif untuk ukuran x ∈ [0, ω ] , sedangkan f diasumsikanberbentuk fungsi konkap. Berdasarkan asumsi di atas kondisi optimal persamaan (34) memberikanbentuk : ψ ( x ) : = h( x ) − p ( r + μ ) x = 0 (58)Dan kondisi optimal persamaan (52) menjadi : ω ξ (t ) : = ∫ [h( x[ s](t )) − (r + μ ) px[ s ](t )]v0 ( s)ds = 0 (59) 0Proposisi Berdasarkan asumsi-asumsi di atas dan diberikan data p, g, N 0 , s 0maka klaim berikut berlaku:(i) Ada bilangan ρ1 > 0 sehingga untuk setiap r dan μ taknegatif dengan r + μ ≤ ρ1 dan fungsi f memenuhi perumusan asumsi, persamaan (56) memiliki dua akar real pada selang [0, ω ] dan nilai akar yang lebih besar merupakan nilai optimal ukuran panen x h .(ii) Ada bilangan ρ 2 >0 dan ε 0 > 0 sedemikian hingga pernyataan berikut berlaku: jika ε ∈ (0, ε 0 ] , r dan μ taknegatif, f ( x) memenuhi perumusan asumsi dan berlaku r + μ + f ( x) ≤ ρ 2 serta kepekatan ukuran awal v0 memenuhi persamaan (55), maka persamaan (57) memiliki tepat dua solusi taknegatif dengan nilai yang lebih besar merupakan waktu panen optimal t H . Selain itu waktu optimal model heterogen lebih besar daripada model homogen tH > th . (60) Bukti: pada Lampiran 6.
41. 41. Hal penting adalah, bahwa jika tingkat kematian, suku bunga, dan biayacukup kecil, maka waktu panen optimal kultur homogen cenderung lebih rendahdaripada kultur heterogen.
42. 42. BAB V SIMPULAN DAN SARAN5.1. Simpulan Berdasarkan hasil analisis yang telah diuraikan pada hasil danpembahasan, maka diperoleh simpulan sebagai berikut:1. Pada kasus homogen dengan model pertumbuhan monomolekuler dan logistik dapat diperoleh solusi analitik untuk ukuran dan waktu pada saat panen optimal. Dengan nilai parameter yang sama, diperoleh bahwa ukuran ikan pada saat panen untuk spesies yang pertumbuhannya mengikuti model monomolekuler lebih besar daripada spesies yang pertumbuhannya mengikuti model logistik, sedangkan waktu panennya lebih cepat.2. Karena memuat proses stokastik yang cukup kompleks, maka solusi analitik dari ukuran dan waktu pada saat panen optimal untuk kasus heterogen tidak dapat ditentukan.3. Waktu panen optimal kultur heterogen lebih besar dari waktu panen optimal kultur homogen.5.2. Saran Karena keterbatasan waktu dan kompleksnya masalah penentuan waktupanen optimal untuk populasi awal berukuran heterogen, maka dalam tesis inikasus tersebut tidak dikaji secara mendalam, sehingga disarankan adanya peminatuntuk melakukan kajian lanjutan.
43. 43. DAFTAR PUSTAKABartlett, MS, Hiorns, RW 1973. The Mathematical Theory of the Dynamics of Biological Populations. Academic Press London-New York.Clark, CW. 1976. Mathematical Bioeconomics : The Optimal Management Of Renewable Resources, A Wiley-Intersscience Publication. New York.Edelstein-Keshet, L. 1988. Mathematical Models in Biology. Random House, New York.France, J., Thornley. 1984. Mathematical Models in Agriculture. Butterworth & Co. London.Ghahramani, S. 2005. Fundamentals of Probability with Stochastic Processes. Pearson Prentice Hall. New Jersey.Gasca-Leyva, E, Hernandez, JM, Veliov, VM, 2007, Optimal harvesting time in a size-heterogeneous population (http://www.science.direct.com/science), 12-09-2008.McCutcheon, JJ., Scott, WF, 1986. An Introduction to the Mathematics of Finance. Butterwott- Heinemann. Burlington.Rose C, Smith, MD. 2002. Mathematical Statistics with Mathematica. Springer-Verlag Inc. New York.Salas SL, Hille E. 1978. Calculus: One and Several Variables. Ed ke-2. John Wiley and Sons. New York.Simon CP, Blume L. 1994. Mathematics for Economists. W.W. Norto and Company. New york.Tu, P.N.V. 1994. Dynamcal System, An Introduction with Applications in Economics and Biology. The Unversity of Calgary. Canada.
44. 44. LAMPIRANLampiran 1 Bukti Persamaan (4) n dx kx( x f − x ) nDari pengintegralan persamaan (3) = n diperoleh hasil sebagai dt nx fberikut: x ⎛1 y n −1 ⎞ t n∫⎜ + ⎟dy = kds ∫ ⎜ y x − yn ⎟ x0 ⎝ f ⎠ 0 [ ⇔ n ln y − ln x f − y n ( n )] x x0 = kt ( ⎛ x n x f n − x0 n ⇔ ln⎜ n n )⎞ = kt ⎟ ⎜ x x − xn ⎝ 0 f ( )⎟ ⎠ n xn x0 e kt ⇔ n = n n x f − xn x f − x0 ⇔ xf n −1 = (x f n − x0 e − kt n ) n n x x0 n xn x0 ⇔ = xf n n ( x0 + x f − x0 e − kt n n ) x0 x f ⇔ x(t ) = □ [x + (x ) ] 1 n n n − kt n 0 f − x0 e
45. 45. Lampiran 2 Bukti persamaan (6) = k (x f − x ) diperoleh hasil sebagai berikut: dxDari pengintegralan persamaan (5) dt x t dy ∫ x f − y = ∫ kds x 0 0 ] ⇔ −ln (x f − y ) x = kt x 0 ⎛ xf − x ⎞ ⇔ ln⎜ ⎟ = − kt ⎜x −x ⎟ ⎝ f 0 ⎠ ⇔ x f − x = (x f − x0 )e − kt ⇔ x(t ) = x f − (x f − x0 )e − kt □
46. 46. Lampiran 3 Bukti Persamaan (8) dx ⎛ x ⎞Dari pengintegralan persamaan (5) = kx⎜1 − ⎟ diperoleh hasil sebagai dt ⎜ x ⎟ ⎝ f ⎠berikut: ⎛1 x ⎞ t ⎜ + 1 ⎟dy = kds ∫⎜ y xf − y ⎟ ∫ x0 ⎝ ⎠ 0 [ ⇔ ln y − ln (x f − y ) x = kt ] x 0 ⎛ x(x f − x0 ) ⎞ ⇔ ln⎜ ⎟ = kt ⎜ x (x − x ) ⎟ ⎝ 0 f ⎠ x x e kt ⇔ = 0 x f − x x f − x0 xf (x f − x0 )e − kt ⇔ −1 = x x0 xf x0 + (x f − x0 )e − kt ⇔ = x x0 x0 x f ⇔ x(t ) = □ x0 + ( x f − x0 )e − kt
47. 47. Lampiran 4 Bukti Lema 1Dari persamaan Sinko dan Streifer, banyaknya ikan sebagai fungsi dari ukuran xdan waktu t dinyatakan N (t , x) yang memenuhi persamaan: N t (t , x ) + ( g ( x )N (t , x ))x = − μ ( x ) N (t , x )atau dalam notasi lain: ∂N (t , x) ∂ ( g ( x) N (t , x) ) + = − μ ( x) N (t , x) ∂t ∂x ∂N (t , x) ∂N (t , x) ⇔ + g ( x) N (t , x) + g ( x) = − μ ( x) N (t , x) ∂t ∂x dxberdasarkan persamaan (21) g ( x) = sehingga diperoleh persamaan: dt ∂N (t , x) dx ∂N (t , x) + = −(μ ( x) + g ( x) )N (t , x) . ∂t dt ∂xRuas kiri persamaan ini merupakan diferensial total N (t , x) terhadap t. Jikadimisalkan M (t ) = N (t , x) maka diperoleh persamaan: M (t ) = −(μ ( x) + g ( x) )M (t ) .yang memiliki solusi sebagai berikut: M (t ) dM (τ ) t M ∫(0) M (τ ) = − ∫ (μ ( x) + g ( x))dτ 0 t ⎛ M (t ) ⎞ ⇔ ln⎜ ⎜ M (0) ⎟⎟ = − ∫ (μ ( x) + g ( x) )dτ ⎝ ⎠ 0 t − ∫ ( μ ( x ) + g ( x ) )dτ ⇔ M (t ) = M (0)e 0 .Dari definisi M (0) = N (0, x) = N 0 v0 ( x) dan dengan memisalkan fungsit → s[ y ](t ) merupakan solusi dari s = g (s ) , maka untuk setiap x ∈ [0, ω ) &berlaku: t − ∫ ( μ ( s[ x](τ )) + g ( s[ x](τ )))dτ N (t , x) = N 0 v0 ( s[ x](t ))e 0 □.
48. 48. Lampiran 5 Bukti Lema 2 ∂x[ s ](t )Dengan mendiferensialkan terhadap t diperoleh: ∂sd ⎛ ∂x[ s ](t ) ⎞ d ∂x[ s ](t ) d d ∂x[ s ](t ) ⎜ ⎟= = x[ s ](t ) = & g ( x[ s ](t )) = g ( x[ s ](t ))dt ⎝ ∂s ⎠ ds ∂t ds ds ∂sPengintegralan bentuk persamaan diferensial biasa di atas maka diperoleh: t ∂x[ s ](t ) ∫ g ( x[ s ](τ ))dτ = e0 □. ∂s
49. 49. Lampian 6 Bukti ProposisiDengan mengasumsikan h( x ) > 0 untuk beberapa nilai x, fungsiψ ( x) : = h( x) − p(r + μ ) x juga bernilai positif, tersedia bahwa (r + μ ) yangcukup kecil yang dijamin dengan pemilihan ρ1 > 0 . Maka ukuran optimal x hjuga ada pada interval (0, ω ) sehingga ψ (0) = − f (0) ≤ 0 danψ (ω ) = − f (ω ) − p(r + μ )ω < 0. Ukuran x h optimal merupakan akar dari ψ , akaradalah penyederhanaan, dan ψ berubah dari positif ke negatif. Ada satu ataulebih akar real dalam [0, x h ] yang berkorenpondensi dengan minimum lokal.Misalkan dipertimbangkan pentingnya kondisi optimal (51) untuk masalahheterogen: ωξ (t ) := ∫ [h( x[ s ](t )) − (r + μ ) px[ s](t )]v0 ds = 0 0Dengan jelas diperoleh bahwa ∀s ∈ [0, ω ] :| x[ s ](t ) − x[ s 0 ](t ) |≤ C1εyang mengakibatkan| ξ (t ) − ψ ( x[ s 0 ](t )) |≤ C 2 εuntuk pendekatan nilai konstanta C1 dan C2. Berdasarkan x[ s 0 ](t ) yang monoton,fungsi ψ ( x[ s 0 ](t ) memiliki dua akar real (satu di antaranya merupakan waktuoptimal t h ) dan akar real merupakan bentuk sederhana. Maka dari pertidaksamaan| ξ (t ) − ψ ( x[ s 0 ](t )) |≤ C 2 ε untuk setiap ε yang cukup kecil, fungsi ξ jugamemiliki dua nilai akar real, nilai-nilai tersebut berada disekitar ε dari akar realψ ( x[ s 0 ](t )) , dan pada akar real kedua ξ berubah tanda dari posistf ke negatif,dengan demikian nilai akar ini merupakan waktu maksimum t H . Selain itu, dariperubahan tanda ξ pada t H menunjukkan bahwa:ξ (t H ) > 0 yang berimplikasi t H > t hUntuk melengkapi bukti, diperlihatkan bahwa untuk ε yang cukup kecildiperoleh ξ (t H ) > 0 .
50. 50. ωDengan formula Taylor fungsi ξ (t ) := ∫ [h( x[ s ](t )) − (r + μ ) px( s ](t )]v0 ds = 0 0dapat dinyatakan dengan: ω ω ⎡ ∂x[s 0 ](t ) ⎤ξ (t ) = O(ε 3 ) + ∫ [h − (r + μ ) px[s 0 ](t )]v0 (s 0 )ds + ∫ ⎢h−(r + μ ) p (s − s0 )v0 (s )ds 0 0 ⎣ ∂s ⎥ ⎦ 1 ⎡ ⎛ ∂x[s 0 ](t ) ⎞ ∂ x[s 0 ](t ) ∂ x[s 0 ](t )⎤ ω 2 2 2 − (r + μ ) p ⎥ (s − s 0 )v0 (s )ds 2 ∫ ⎢ ⎝ ∂s ⎠+ ⎢h" ⎜ ⎟ + h 0 ⎣ ∂s 2 ∂s 2 ⎥ ⎦di mana argumen x[s 0 ](t ) pada h, h’, dan h” dilewatkan. Dari persamaan (53) dan(55) tersebut bahwa dua bentuk yang pertama merupakan akar persamaan padat = th . ∂x[s 0 ](t )Bentuk Pada Lema 2 diubah variabel integrasi menjadi x[s 0 ](τ ) = y , ∂syang memberikan: s (t ) ∫ g ( y )dy / g ( y ) ∂x[s 0 ](t ) s0 ln( g ( s (t ))) − ln( g ( s 0 )) g ( s (t )) =e =e = ∂s g (s0 ) ∂x[s 0 ](t )di mana s (t ) = x[s 0 ](t ) . Turunan kedua dari dapat ditentukan sebagai ∂sberikut: t ∂ x[s 0 ](t ) 2 ∫ g ( x[s 0 ](τ ))dτ t ∂x[s ](τ ) = e0 ∫ g" (x[s ](τ )) ∂s dτ 0 0 ∂2s 0 g (s(t )) g (s (τ )) t = g (s 0 ) 0∫ g" (x[s0 ](t )) g (s0 ) dτmaka: ω ⎡ t ⎤ ξ (t h ) = g ∫⎢ h"g + (h− p(r + μ ))∫ g " (s (τ ))g (s(τ ))dτ ⎥ (s − s 0 ) v0 (s )ds 2 2 g (s 0 ) 2 0 ⎣ 0 ⎦ ω g ∫ [h" g + (h− p(r + μ ))(g − g (s ))](s − s ) v (s )ds. 2 = 2 g (s 0 ) 2 0 0 0 0Dari persamaan ( ( )) ( ) h s t h − p (r + μ )s t h = 0 dan menyingkat bentukp (r + μ ) diperoleh bentuk ξ (t ) sama dengan: h
51. 51. ⎛ h( s ) ⎞ γ ( s) = h" ( s) g ( s) + ⎜ h ( s) − ⎟ (g (s) − g ( s0 )) ⎝ s ⎠ ( )pada titik s = s t h . Diperoleh: ⎛ h(ω) ⎞ γ (ω) = ⎜ h (ω) − ⎟ ( g ( ω) − g ( s 0 ) ) > 0 ⎝ ω ⎠pada saat dua pengali berbentuk negatif. Sudah tentu, kedua bentuk seharusnyanegatif untuk fungsi g yang cembung. Selain itu, diketahui bahwa h (ω ) ≤ 0 danbahwa ada beberapa nilai x ∈ (0, ω ) untuk h( x) > 0 . Kemudian, penggunaankecembungan dari h diperoleh: ω 0 < h( x) = h(ω ) − ∫ h ( x)ds ≤ h(ω ) − (ω − x)h (ω ) ≤ h(ω ) − ωh (ω ) 0yang berimplikasi bahwa bentuk pertama dari ⎛ h(ω) ⎞γ (ω) = ⎜ h (ω) − ⎟ (g (ω) − g ( s 0 ) ) > 0 juga berbentuk negatif. Untuk ⎝ ω ⎠melengkapi bukti dicermati bahwa jika ρ 2 > 0 dipilih bilangan yang cukup kecilmaka s = s (t h ) merupakan perubahan-perubahan kecil untuk ω (pada saatg (ω ) = 0 ), oleh karena itu γ ( s ) > 0 □.