MODEL MATEMATIKA PENENTUAN WAKTU PANENOPTIMAL PADA POPULASI IKAN DENGAN UKURAN     AWAL HOMOGEN DAN HETEROGEN             ...
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN                    SUMBER INFORMASI       Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judu...
ABSTRACTMUSTOPA. Mathematical Models on Determination of Optimal HarvestingTime for Fish Population with Homogeneous and H...
RINGKASANMUSTOPA. Model Matematika Penentuan Waktu Panen Optimal padaPopulasi Ikan dengan Ukuran Awal Homogen dan Heteroge...
waktu panen optimal kultur heterogen tidak dapat peroleh formula untuk waktupanen secara eksplisit, namun dari hasil anali...
© Hak Cipta milik IPB, tahun 2009Hak Cipta dilindungi Undang-undang     1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya t...
MODEL MATEMATIKA PENENTUAN WAKTU PANENOPTIMAL PADA POPULASI IKAN DENGAN UKURAN     AWAL HOMOGEN DAN HETEROGEN             ...
Judul Tesis    :     Model Matematika Penentuan Waktu Panen Optimal pada                     Populasi Ikan dengan Ukuran A...
PRAKATA       Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telahmelimpahkan karunia-Nya. Atas karunia-Nya pulal...
RIWAYAT HIDUP       Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 15 Agustus 1965 dari pasanganbapak Muhammad Udi dan ibu Nani ...
DAFTAR ISI                                                                                                            Hala...
DAFTAR TABEL                                                                                                          Hala...
DAFTAR GAMBAR                                                                                               Halaman1. Laju...
DAFTAR LAMPIRAN                                                                                                     Halama...
BAB I                            PENDAHULUAN1.1. Latar Belakang     Salah satu masalah kontrol optimal dari pembaharuan su...
seperti model pertumbuhan linear atau logistik, disebabkan oleh perlakuan analitikyang kompleks untuk proses stokastiknya....
BAB II                           LANDASAN TEORI2.1. Model Pertumbuhan     Bentuk fungsi pertumbuhan satu jenis spesies pad...
dengan x0 adalah ukuran berat pada t = 0 dan x f merupakan ukuran berat untukt → ∞. Untuk nilai n = -1, persamaan (3) menj...
monomolekuler pada persamaan (6) dengan nilai x0 = 20, x f = 1000 serta nilai kmasing-masing 0.02, 0.05, dan 0.1 diperliha...
laju pertumbuhan              25                                                               k = 0.1             20     ...
ukuran         k = 0.1         1000                                 k = 0.05           800           600                  ...
T                    T                                                                                        (10)        ...
2.3. Fungsi Kepadatan Peluang           Misalkan X adalah peubah acak kontinu yang memiliki fungsi kepadatanpeluang f(x) d...
Dari Gambar 5, dapat dilihat bahwa fungsi kepadatan peluang untuk 2 ≤ x ≤ 4berupa fungsi konstan, yaitu            f ( x) ...
Teorema transformasi.           Misalkan X merupakan peubah acak kontinu denganfungsi kepadatan peluang f X dan himpunan n...
BAB III                       MODEL MATEMATIKA3.1. Fungsi Keuntungan Untuk Populasi Awal yang Berukuran Homogen     Pada m...
Biaya pemeliharaan setiap ekor ikan berukuran x untuk satu satuan waktudinotasikan dengan f(x). Fungsi f(x) memuat biaya t...
dengan N t (t , x) menyatakan turunan parsial N (t , x) terhadap t, ( g ( x) N (t , x)) xmenyatakan turunan parsial dari g...
Model fungsi                                Pertumbuhan Richards                   Fungsi Penerimaan           Fungsi Peme...
BAB IV                             HASIL DAN PEMBAHASAN4.1. Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Awal Berukuran    ...
4.1.1. Waktu Panen Optimal Kultur Homogen Untuk Fungsi Pertumbuhan       Monomolekuler          Untuk penyederhanaan diasu...
x                          t                                                      dy                                      ...
4.1.2. Waktu Panen Optimal Kultur Homogen untuk Model Fungsi       Pertumbuhan Logistik         Jika fungsi pertumbuhan g ...
⎛           ⎞                                             ⎜                                             x           ⎟    t...
⎡        x 0ω         ⎤⇔ π (t ) = ⎢                − kt ⎥                                   pN 0 e −(r + μ )t − ( A + B + ...
keuntungan                                                         keuntungan                                             ...
4.2. Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Awal Berukuran     Heterogen                                             ...
ω                                       ω                V (t ) = ∫ ( p ( x) x) x g ( x) N (t , x)dx − ∫ p ( x) xμ ( x) N ...
Lema 2. Misalkan t > 0 dan s ∈ [0, ω ] , maka berlaku:                                                         t          ...
Untuk penyederhanaan diasumsikan μ dan p konstan (tidak bergantung padaukuran populasi ikan), fungsi g ( x) dan h( x) := p...
Hal penting adalah, bahwa jika tingkat kematian, suku bunga, dan biayacukup kecil, maka waktu panen optimal kultur homogen...
BAB V                       SIMPULAN DAN SARAN5.1. Simpulan       Berdasarkan hasil analisis yang telah diuraikan pada has...
DAFTAR PUSTAKABartlett, MS, Hiorns, RW 1973. The Mathematical Theory of the Dynamics of        Biological Populations. Aca...
LAMPIRANLampiran 1 Bukti Persamaan (4)                                                                                    ...
Lampiran 2 Bukti persamaan (6)                                       = k (x f − x ) diperoleh hasil sebagai berikut:      ...
Lampiran 3 Bukti Persamaan (8)                                              dx     ⎛    x ⎞Dari pengintegralan persamaan (...
Lampiran 4 Bukti Lema 1Dari persamaan Sinko dan Streifer, banyaknya ikan sebagai fungsi dari ukuran xdan waktu t dinyataka...
Lampiran 5 Bukti Lema 2                                                 ∂x[ s ](t )Dengan          mendiferensialkan      ...
Lampian 6          Bukti ProposisiDengan         mengasumsikan             h( x ) > 0     untuk   beberapa   nilai    x,  ...
ωDengan formula Taylor fungsi                                       ξ (t ) := ∫ [h( x[ s ](t )) − (r + μ ) px( s ](t )]v0 ...
⎛             h( s ) ⎞                     γ ( s) = h" ( s) g ( s) + ⎜ h ( s) −          ⎟ (g  (s) − g  ( s0 ))           ...
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Penetuan waktu panen

1,140

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
1,140
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
36
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Penetuan waktu panen

  1. 1. MODEL MATEMATIKA PENENTUAN WAKTU PANENOPTIMAL PADA POPULASI IKAN DENGAN UKURAN AWAL HOMOGEN DAN HETEROGEN MUSTOPA SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
  2. 2. PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Model MatematikaPenentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Ikan dengan Ukuran AwalHomogen dan Heterogen adalah karya saya dengan arahan dari komisipembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggimanapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkanmaupun yang tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dandicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Agustus 2009 Mustopa NRP G551070111
  3. 3. ABSTRACTMUSTOPA. Mathematical Models on Determination of Optimal HarvestingTime for Fish Population with Homogeneous and Heterogeneous Initial Size.Under supervision of PAIAN SIANTURI and DONNY CITRA LESMANA. This thesis analyzed the optimal harvesting time for biological assetsconsisting of individuals with homogeneous and heterogeneous size. The optimalharvesting time was determined by maximizing the profit function, which wasdefined as difference between total biomass value and maintenance cost. In thehomogeneous case, it was used the Richards growth model, which was a generalmodel for monomolecular growth, as well as the logistic and Gompertz models.There were two species assumed living, one of the them followed themonomolecular growth model and the other followed the logistic model. Theresult showed that a species, which had the monomolecular growth model, gavean optimal harvesting time faster than the other, which had logistic growth model.The heterogeneous case used continuously of structured population model, whichwere initially proposed by Sinko and Streifer and had the form of a first orderpartial differential equation (PDE) for the evolution of the size distribution. Anoptimality condition of heterogeneous case is obtained and compared with the oneknown in the case of homogeneous size. If the size heterogeneity is taken intoconsideration, then under appropriate natural conditions for the biological andeconomic factors, the population with heterogeneity should be maintained longercompared to the recommendations obtained from the homogeneous models of thesame culture.Keywords: growth model, homogeneous and heterogeneous initial size, optimalharvesting time.
  4. 4. RINGKASANMUSTOPA. Model Matematika Penentuan Waktu Panen Optimal padaPopulasi Ikan dengan Ukuran Awal Homogen dan Heterogen. Dibimbing olehPAIAN SIANTURI dan DONNY CITRA LESMANA. Model fungsi pertumbuhan dari suatu spesies ikan dengan spesies lainnyadapat berbeda sesuai dengan karakteristik faktor-faktor yang mempengaruhipertumbuhan masing-masing. Pola pertumbuhan suatu spesies pada umumnyamengikuti model pertumbuhan Richards. Richards adalah orang yang pertamakali menerapkan model pertumbuhan yang dibangun dalam model yang disebutmodel pertumbuhan Von Bertalanffy untuk menunjukkan pertumbuhan padahewan (France & Thornley, 1984). Model pertumbuhan Richards merupakanmodel umum dari model pertumbuhan monomolekuler, logistik, Gompertz, danmodel lainnya. Pola pertumbuhan yang berbeda dari setiap individu suatu spesies ikanyang sama merupakan fenomena alam yang dipengaruhi oleh beberapa faktor,seperti tingkah laku spesies, persaingan makanan dan keberagaman ukuran ikanyang membawa laju tingkat kematian yang lebih tinggi untuk ukuran ikan yanglebih kecil (Gasca et al, 2007). Faktor-faktor tersebut akan mengakibatkanbervariasinya pertumbuhan setiap individu sehingga berpengaruh terhadap waktupanen optimal. Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis model matematika waktupanen optimal pada populasi ikan dengan ukuran awal homogen dan heterogenserta membandingkan waktu panen optimal kedua kultur tersebut. Waktu panenoptimal ditentukan dengan memaksimumkan fungsi keuntungan yang merupakanselisih dari fungsi nilai jual ikan pada saat panen dengan fungsi biayapemeliharaan. Untuk penyederhanaan, fungsi pertumbuhan ikan hanyabergantung pada peubah ukuran berat awal ikan, baik yang homogen maupunyang heterogen, sedangkan faktor-faktor lain seperti kondisi lahan, suhu,persaingan makanan dianggap faktor eksogen yang bernilai konstan. Model matematika waktu panen optimal pada populasi ikan dengan ukuranawal homogen artinya terdapat sejumlah ikan pada kolam dengan ukuran beratawal yang sama. Pada penelitian ini untuk kultur homogen diasumsikan terdapatdua jenis spesies dengan pola pertumbuhan yang berbeda, spesies pertamadiasumsikan mengikuti model pertumbuhan monomolekuler dan spesies keduadiasumsikan mengikuti model pertumbuhan logistik. Hasil analisis fungsikeuntungan dari kedua jenis spesies ini diperoleh bahwa ukuran ikan pada saatpanen optimal untuk spesies yang mengikuti model pertumbuhan monomolekulerlebih besar daripada spesies model pertumbuhan logistik, sedangkan waktu panenoptimalnya lebih singkat. Untuk model dengan ukuran awal heterogen berarti terdapat perbedaanperkembangan ukuran pada waktu yang sama dalam suatu lahan. Persamaandiferensial yang sesuai dengan laju pertumbuhan ikan pada kasus heterogenadalah model Sinko dan Streifer. Pada penelitian ini diasumsikan ukuran awalikan mengikuti fungsi sebaran seragam atau fungsi sebaran beta. Karenamengandung proses stokastik pada fungsi pertumbuhannya, maka dari analisis
  5. 5. waktu panen optimal kultur heterogen tidak dapat peroleh formula untuk waktupanen secara eksplisit, namun dari hasil analisis secara matematik dalampenelitian ini diperoleh indikasi bahwa waktu panen optimal kultur heterogenlebih besar dari waktu panen optimal kultur homogen.Kata kunci: model pertumbuhan, populasi dengan ukuran awal homogen danheterogen, waktu panen optimal.
  6. 6. © Hak Cipta milik IPB, tahun 2009Hak Cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber a. Pengutipan hanya boleh untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah, b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB
  7. 7. MODEL MATEMATIKA PENENTUAN WAKTU PANENOPTIMAL PADA POPULASI IKAN DENGAN UKURAN AWAL HOMOGEN DAN HETEROGEN MUSTOPA Tesis Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
  8. 8. Judul Tesis : Model Matematika Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Ikan dengan Ukuran Awal Homogen dan HeterogenNama : MustopaNRP : G551070111 Disetujui Komisi PembimbingDr. Paian Sianturi Donny C. Lesmana, S.Si., M.Fin.Math. Ketua Anggota Diketahui Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika TerapanDr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.Tanggal Ujian: 13 Agustus 2009 Tanggal Lulus:
  9. 9. PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telahmelimpahkan karunia-Nya. Atas karunia-Nya pulalah karya ilmiah ini dapatpenulis selesaikan. Tema yang dipilih pada penelitian ini yang dilaksanakan sejakbulan Nopember 2008 adalah penentuan waktu panen optimal, dengan judulModel Matematika Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Ikan denganUkuran Awal Homogen dan Heterogen. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Paian Sianturidan Bapak Donny Citra Lesmana, S.Si., M.Fin.Math., yang dengan penuhkesabaran telah memberikan bimbingan kepada penulis dalam merampungkankarya ilmiah ini. Terima kasih disampaikan kepada seluruh Staf DosenDepartemen Matematika IPB yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuanselama penulis menjadi mahasiswa S2 Program Studi Matematika Terapan.Ungkapan terima kasih penulis sampaikan kepada Departemen Agama yang telahmembiayai penulis selama menempuh pendidikan S2 di IPB. Tak lupa penulissampaikan pula ungkapan terima kasih kepada istri, anak-anakku serta seluruhkeluarga yang telah memberikan motivasi dan doa. Semoga kebaikan yang telahmereka berikan kepada penulis, mendapat balasan kebaikan yang berlipat dariAllah SWT. Bogor, Agustus 2009 Mustopa
  10. 10. RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 15 Agustus 1965 dari pasanganbapak Muhammad Udi dan ibu Nani Sumirah. Penulis merupakan putra kesebelas dari duabelas bersaudara. Pada tahun 1985 penulis lulus dari SMA Negeri 5 Bogor. Pada tahunyang sama penulis diterima masuk IPB melalui jalur PMDK, setelah satu tahunmengikuti TPB penulis memilih jurusan Teknologi Industri Pertanian. Karenatuntutan bekerja dari keluarga, penulis memilih mengundurkan diri dari programS1 IPB dan bekerja di perusahaan swasta. Pada tahun 1997 penulis membantumengajar matematika dan fisika di beberapa madrasah dan sekolah swasta.Seiring dengan tuntutan kualifikasi guru, pada tahun 2000 penulis menempuhpendidikan S1 program pendidikan matematika di STKIP PGRI Jakarta (sekarangbernama Universitas Indraprasta PGRI) dan lulus pada tahun 2004. Pada tahunyang sama penulis diangkat menjadi PNS sebagai guru matematika di MAN 1sampai dengan sekarang. Pada tahun 2007 penulis mengikuti seleksi beasiswa S2 yang diadakanoleh Departemen Agama, dan alhamdulillah penulis diterima di Program StudiMatematika Terapan IPB. Setelah mengikuti masa perkuliahan selama dua tahun,penulis dapat menyelesaikan program studi ini pada bulan Agustus 2009.
  11. 11. DAFTAR ISI HalamanDAFTAR TABEL ........................................................................................... xiDAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xiiDAFTAR LAMPIRAN ................................................................................... xiii1. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang .................................................................................. 1 1.2. Tujuan Penelitian .............................................................................. 22. LANDASAN TEORI 2.1. Model Pertumbuhan .......................................................................... 3 2.2. Model Ekonomi Pemanenan ............................................................. 7 2.3. Fungsi Kepadatan Peluang ................................................................ 9 2.4. Deret Taylor ...................................................................................... 113. MODEL MATEMATIKA 3.1. Fungsi Keuntungan Untuk Populasi Awal yang Berukuran Homogen .......................................................................................... 12 3.2. Fungsi Keuntungan Untuk Populasi Awal yang Berukuran Heterogen ......................................................................................... 134. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1. Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Awal Berukuran Homogen ......................................................................................... 16 4.2. Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Awal Berukuran Heterogen ........................................................................................ 23 4.3. Perbandingan Waktu Panen Optimal Populasi Awal dengan Ukuran Homogen dan Heterogen ................................................................ 255. SIMPULAN DAN SARAN 5.1. Simpulan ........................................................................................... 28 5.2. Saran .................................................................................................. 28DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 29LAMPIRAN .................................................................................................... 30
  12. 12. DAFTAR TABEL Halaman1. Nilai Parameter (data Hipotetik) ............................................................... 212. Ukuran dan waktu optimal model pertumbuhan monomolekuler dan logistik ....................................................................................................... 22
  13. 13. DAFTAR GAMBAR Halaman1. Laju pertumbuhan model monomolekuler untuk nilai k = 0.02, 0.05 dan 0.1 serta ukuran maksimum (xf) 1000 ....................................................... 42. Fungsi pertumbuhan model monomolekuler untuk nilai x0 = 20, x f = 1000 serta nilai k masing-masing 0.02, 0.05 dan 0.1 ........................ 53. Laju pertumbuhan model logistik untuk nilai x f = 1000 serta nilai k masing-masing sebesar 0.02, 0.05 dan 0.1................................................. 64. Fungsi pertumbuhan model logistik untuk nilai x0 = 20, x f = 1000 serta nilai k sebesar 0.02, 0.05 dan 0.1 ...................................................... 75. Fungsi sebaran seragam dalam selang [2, 4] ............................................ 96. Fungsi sebaran beta untuk nilai α = 3 dan β = 2 ................................... 107. Sketsa diagram alur analisis. ..................................................................... 14
  14. 14. DAFTAR LAMPIRAN Halaman1. Bukti persamaan (4) .................................................................................. 302. Bukti persamaan (6) ................................................................................. 313. Bukti persamaan 8) .................................................................................. 324. Bukti Lema 1. ............................................................................................ 335. Bukti Lema 2. ............................................................................................ 346. Bukti Proposisi 1. ...................................................................................... 35
  15. 15. BAB I PENDAHULUAN1.1. Latar Belakang Salah satu masalah kontrol optimal dari pembaharuan sumber daya alamadalah pengaturan pertumbuhan aset biologi yang dipelihara. Kegiatanbioekonomi dengan kontrol yang relatif tinggi dari proses pertumbuhan sepertihutan, peternakan dan perikanan sangat menarik untuk diaproksimasi denganformulasi. Sebagai contoh, kebijakan penebangan hutan secara optimaldisesuaikan dengan formula Faustman, yang memberikan periode penanamanyang bernilai ekonomis dari suatu jenis tanaman. Masalah lain yang menarikuntuk dijadikan penelitian yang menguntungkan adalah budidaya ikan. Banyakmodel bioekonomi yang berhubungan dengan budidaya ikan diperluas bukanhanya untuk mengoptimalkan waktu panen, tetapi juga aspek lainnya sepertiukuran awal penebaran dan nutrisi makanan. Model fungsi pertumbuhan dari suatu spesies dengan spesies lainnya dapatberbeda sesuai dengan karakteristik faktor-faktor yang memengaruhi pertumbuhanmasing-masing spesies, misalnya spesies tertentu memiliki pola pertumbuhanyang mengikuti model monomolekuler sedangkan spesies lain mengikuti modellogistik atau model lainnya. Pola pertumbuhan yang berbeda dari setiap individudari spesies yang sama merupakan fenomena alam yang dipengaruhi olehbeberapa faktor, seperti tingkah laku spesies, persaingan makanan dankeberagaman ukuran ikan yang membawa laju tingkat kematian yang lebih tinggiuntuk ukuran ikan yang lebih kecil. Fakta-fakta ini menunjukkan bahwa waktupanen optimal dapat berubah jika diasumsikan pertumbuhan setiap individubervariasi. Beberapa model pertumbuhan dengan ukuran heterogen menggunakanpeubah stokastik dalam fungsi pertumbuhannya. Willasen (1998) menggunakanteori kontrol impuls untuk mendapatkan hubungan yang positif antara derajatvariabilitas ukuran dengan waktu panen (Gasca et al, 2007). Namun demikianhasil dari model-model tersebut hanya untuk model pertumbuhan yang sederhana,
  16. 16. seperti model pertumbuhan linear atau logistik, disebabkan oleh perlakuan analitikyang kompleks untuk proses stokastiknya. Pada tulisan ini fungsi pertumbuhan hanya bergantung pada peubah ukuranberat awal ikan, baik yang homogen maupun yang heterogen. Faktor-faktor lainseperti kondisi lahan, suhu, persaingan makanan dianggap faktor eksogen yangbernilai konstan. Waktu panen optimal ditentukan dengan memaksimumkanfungsi keuntungan yang merupakan selisih dari fungsi nilai jual ikan pada saatpanen dengan fungsi biaya pemeliharaan.1.2. Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan:1. Menganalisis model matematika waktu panen optimal pada populasi ikan dengan ukuran awal homogen.2. Menganalisis model matematika waktu panen optimal pada populasi ikan dengan ukuran awal heterogen.3. Membandingkan waktu panen optimal kultur homogen dan heterogen.
  17. 17. BAB II LANDASAN TEORI2.1. Model Pertumbuhan Bentuk fungsi pertumbuhan satu jenis spesies pada umumnya menggunakannotasi fungsi analitik yang dinyatakan dalam satu persamaan. Secara umumfungsi pertumbuhan menyatakan hubungan ukuran berat (x) sebagai fungsi dariwaktu (t), dan ditulis: x = f(t). (1)Laju pertumbuhan merupakan fungsi dari ukuran berat (x) dan waktu (t) yangmemenuhi persamaan: dx (2) = u ( x, t ) . dt (France & Thornley 1984) Model pertumbuhan satu jenis spesies yang digunakan adalah modelpertumbuhan Richards. Richards adalah orang yang pertama kali menerapkanpersamaan pertumbuhan yang dibangun dalam model yang disebut model VonBertalanffy untuk menunjukkan pertumbuhan hewan (Gasca et al, 2007).Persamaan pertumbuhan Richards merupakan persamaan umum dari persamaanpertumbuhan monomolekuler, logistik, Gompertz dan persamaan lainnya. Bentukumum dari persamaan Richards adalah: n dx kx( x f − x ) n (3) = n dt nx fdengan k dan x f konstanta yang bernilai positif, serta n adalah parameter. Solusiumum dari persamaan Richards adalah: x0 x f x(t ) = (4) [x + (x ) ] 1 n n n − kt n 0 f − x0 e(bukti dapat dilihat pada Lampiran 1)
  18. 18. dengan x0 adalah ukuran berat pada t = 0 dan x f merupakan ukuran berat untukt → ∞. Untuk nilai n = -1, persamaan (3) menjadi: = k (x f − x ) dx (5) dtyang merupakan persamaan pertumbuhan monomolekuler. Kurva lajupertumbuhan model monomolekuler terhadap ukuran pada persamaan (5) dengannilai k = 0.02, 0.05, dan 0.1 serta x f = 1000 diperlihatkan pada Gambar 1. laju pertumbuhan 100 80 k=0.1 60 k=0.05 40 k=0.02 20 ukuran 200 400 600 800 1000Gambar 1 Laju pertumbuhan model monomolekuler untuk nilai k = 0.02, 0.05 dan 0.1 serta ukuran maksimum (xf) 1000.Dari Gambar 1 di atas dapat dilihat bahwa pada model fungsi pertumbuhanmonomolekuler semakin besar ukuran individu maka laju pertumbuhannyasemakin menurun. Dengan menggunakan beberapa nilai parameter k, nampakpula bahwa semakin besar nilai k maka semakin cepat penurunan lajupertumbuhan. Fungsi ukuran individu terhadap waktu dari model pertumbuhanmonomolekuler adalah: x(t ) = x f − ( x f − x0 )e − kt (6)(bukti dapat dilhat pada Lampiran 2)dengan x0 menyatakan ukuran awal individu pada saat penebaran (ukuran padat = 0). Kurva ukuran terhadap waktu untuk model fungsi pertumbuhan
  19. 19. monomolekuler pada persamaan (6) dengan nilai x0 = 20, x f = 1000 serta nilai kmasing-masing 0.02, 0.05, dan 0.1 diperlihatkan pada Gambar 2. ukuran k=0.1 1000 k=0.05 800 k=0.02 600 400 200 waktu 50 100 150Gambar 2 Fungsi pertumbuhan model monomolekuler untuk nilai x0 = 20, x f = 1000 serta nilai k masing-masing 0.02, 0.05 dan 0.1.Dari Gambar 2, dapat dilihat bahwa fungsi pertumbuhan model monomolekulermerupakan fungsi yang monoton naik, konveks dan ukuran berat konvergen kenilai x f . Semakin besar nilai k ukuran berat ikan akan semakin cepat menujunilai kekonvergenannya. Untuk n = 1, persamaan (3) menjadi model persamaan logistik, yaitu: dx ⎛ x ⎞ (7) = kx⎜1 − ⎟. dt ⎜ x ⎟ ⎝ f ⎠Grafik laju pertumbuhan model logistik pada persamaan (7) untuk nilaix f = 1000 serta nilai k masing-masing sebesar 0.02, 0.05, dan 0.1 ditampilkanpada Gambar 3.
  20. 20. laju pertumbuhan 25 k = 0.1 20 15 k = 0.05 10 k = 0.02 5 ukuran 200 400 600 800 1000Gambar 3 Laju pertumbuhan model logistik untuk nilai x f = 1000 serta nilai k masing-masing sebesar 0.02, 0.05, dan 0.1Dari Gambar 3, fungsi laju pertumbuhan model logistik merupakan fungsikonveks dan simetris serta laju maksimum tercapai pada ukuran separuh dariukuran maksimumnya. Fungsi ukuran setiap individu terhadap waktu dari model pertumbuhanlogistik adalah: x0 x f x(t ) = (8) x0 + ( x f − x0 )e − kt(bukti dapat dilihat pada Lampiran 3)dengan x0 menyatakan ukuran awal individu pada saat penebaran. Kurva ukuranterhadap waktu model fungsi pertumbuhan logistik pada persmaan (8) untuk nilaix0 = 20, x f = 1000 serta nilai k masing-masing sebesar 0.02, 0.05 dan 0.1diperlihatkan pada Gambar 4.
  21. 21. ukuran k = 0.1 1000 k = 0.05 800 600 k = 0.02 400 200 waktu 100 200 300 400 500Gambar 4 Fungsi pertumbuhan model logistik untuk nilai x0 = 20, x f = 1000 serta nilai k sebesar 0.02, 0.05 dan 0.1Pada Gambar 4, nampak bahwa fungsi pertumbuhan model logistik merupakanfungsi yang monoton naik, konveks dan mencapai kestabilan pada nilai x f .Semakin besar nilai k semakin cepat menuju titik kestabilannya. (France & Thornley, 1984)2.2. Model Ekonomi Pemanenan Nilai sekarang (present value) dari jumlah arus kas diskret ct1 , ct2 , . . . , ctnyang dibayarkan pada periode t1, t2, ... tn dengan 0 ≤ t1 < t 2 < . . . < t n adalah: n PV = ∑ cti v(t i ) (9) i =1 1dengan v(t i ) = , r tingkat suku bunga per periode waktu. Jika berlaku (1 + r ) tisuku bunga majemuk kontinu δ yang bernilai konstan untuk setiap waktu t makanilai sekarang dari tingkat diskon untuk 1 satuan nilai pada setiap t ≥ 0didefinisikan v(t ) = e −δ t . Jika M(t) menyatakan total pembayaran pada selangwaktu [0, t] maka didefinisikan ρ (t ) = M (t ) untuk setiap t. Nilai sekarang daritotal pembayaran yang dilakukan pada waktu 0 ≤ t ≤ T adalah:
  22. 22. T T (10) PV = ∫ v(t ) ρ (t )dt = ∫ e −δ t ρ (t )dt . 0 0 (McCutcheon & Scott 1986) Misalkan laju pertumbuhan populasi ikan dinyatakan dengan F(x) dan lajupanen dengan h(t), maka laju pertumbuhan berat ikan x memenuhi persamaan: & dx (11) x= & = F ( x) − h(t ) , t ≥ 0. dtJika diasumsikan p adalah harga pada waktu panen bernilai konstan dan c(x)fungsi biaya pada waktu ikan berukuran x, maka penerimaan hasil panen padawaktu t dinotasikan dengan R(t) memenuhi persamaan: R (t ) = [ p − c ( x)]h(t ) . (12)Diasumsikan δ > 0 adalah faktor diskon kontinu, maka nilai sekarang dari fungsipenerimaan adalah: ∞ PV = ∫ e −δt R (t ) dt . (13) 0Persamaan (11) dan (12) disubstitusikan ke persamaan (13) maka diperoleh: ∞ PV = ∫ e −δt [ p − c( x)][ F ( x) − x]dt . & (14) 0 (Clark 1976) Misalkan terdapat suatu fungsi produksi multivariabel, yaitu fungsi yangmenggunakan n input untuk memproduksi suatu produk.. Jika x ∈ Rnmenunjukkan sepaket input, G(x) fungsi permintaan dan p harga, maka fungsipenerimaannya dinyatakan dengan R(x) = pG(x). Jika C(x) menunjukkan biayasepaket input x, maka fungsi keuntungan adalah: π ( x) = R ( x) − C ( x) . (15)Diasumsikan bahwa x yang membuat keuntungan maksimum berada dalam R npositif, maka turunan parsial dari π harus bernilai nol pada nilai x* optimalseperti yang dinyatakan oleh perumusan berikut: ∂π (x *) = ∂R (x *) − ∂C (x *) = 0 (16) ∂xi ∂xi ∂xi (Simon & Blume1994)
  23. 23. 2.3. Fungsi Kepadatan Peluang Misalkan X adalah peubah acak kontinu yang memiliki fungsi kepadatanpeluang f(x) dan terdefinisi pada R. Sifat-sifat yang harus dipenuhi adalah:a. f ( x) ≥ 0 untuk semua x ∈ R ∞b. ∫ f ( x)dx = 1 . −∞ Fungsi kepadatan peluang sebaran kontinu yang digunakan dalam penentuanwaktu panen optimal kultur heterogen adalah sebaran seragam dan sebaran beta.1. Sebaran Seragam Misalkan X peubah acak yang nilainya berada dalam selang [a, b]. Jika Xmenyebar seragam, maka X memiliki fungsi kepadatan peluang: ⎧ 1 ⎪ , untuk a < x < b f ( x) = ⎨ b − a (17) ⎪0 ⎩ , untuk x lainnyaNilai rata-rata dan ragam dari sebaran seragam berturut-turut adalah: a+b (b − a ) 2E ( x) = dan Var ( x) = . Grafik fungsi sebaran seragam peubah 2 12acak X dalam selang [2, 4] disajikan pada Gambar 5 berikut: f(x) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 x 1 2 3 4 5 6 Gambar 5 Fungsi sebaran seragam dalam selang [2, 4].
  24. 24. Dari Gambar 5, dapat dilihat bahwa fungsi kepadatan peluang untuk 2 ≤ x ≤ 4berupa fungsi konstan, yaitu f ( x) = 0.5 sedangkan untuk nilai x lainnyaf ( x) = 0 . Nilai rata-rata dan ragam fungsi ini masing-masing sebesar 3 dan 1 3 .2. Sebaran Beta Peubah acak X yang menyebar beta dengan parameter (α , β ), α > 0, β > 0memiliki fungsi kepadatan peluang: ⎧ 1 ⎪ x α −1 (1 − x) β −1 ; 0 < x < 1 (18) f ( x) = ⎨ B (α , β ) ⎪0 ⎩ ; x lainnya 1dengan B (α , β ) = ∫ x α −1 (1 − x) β −1 dx . Nilai rata-rata dan ragam dari sebaran beta 0 α αβberturut-turut adalah: E (x) = dan Var ( x) = . Grafik α +β (α + β + 1)(α + β ) 2fungsi sebaran beta untuk α = 3 dan β = 2 disajikan pada Gambar 6 berikut: f(x) 1.5 1.0 0.5 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Gambar 6 Fungsi sebaran beta f(x)untuk nilai α = 3 dan β = 2Pada Gambar 6, nampak bahwa fungsi kepadatan peluang sebaran beta untukα = 3 dan β = 2 merupakan fungsi konvek pada selang [0, 1]. Pada selang [0, 1]rumus fungsi kepadatan peluangnya adalah f ( x) = 12 x 2 (1 − x) dan f ( x) = 0 1untuk nilai x lainnya. Nilai rata-rata dan ragam berturut-turut adalah 3 5 dan 1 25 .
  25. 25. Teorema transformasi. Misalkan X merupakan peubah acak kontinu denganfungsi kepadatan peluang f X dan himpunan nilai yang mungkin dari x adalah A.Untuk fungsi invers h: A → R, misalkan Y = h(X) merupakan peubah acak denganhimpunan nilai yang mungkin B = h(A) = {h(a) : a ∈ A}. Misalkan bahwa inversdari y = h(x) adalah x = h −1 ( y ) yang dapat didiferensialkan untuk semua nilaiy ∈ B . Maka f Y sebagai fungsi kepadatan peluang dari y diberikan oleh: ( f Y ( y ) = f X h −1 ( y ) ) (h ) ( y) , −1 y ∈ B. (19) (Ghahramani, 2005)2.4. Deret Taylor Misalkan I adalah selang yang memuat nilai a. Jika g dapat didiferensialkanhingga orde ke-n pada selang I, maka g dapat direpresentasikan dalam bentukderet sebagai berikut: g ( n −1) (a ) g ( x) = g (a ) + g (a )( x − a ) + K + ( x − a ) n −1 + Rn ( x ) (n − 1)! (20) x 1 n −1 ∫ dengan Rn ( x) = g ( n ) s )( x − s ) n −1 ds . 0 (Salas & Hille 1978)
  26. 26. BAB III MODEL MATEMATIKA3.1. Fungsi Keuntungan Untuk Populasi Awal yang Berukuran Homogen Pada model persamaan populasi awal berukuran homogen digunakan asumsibahwa pada waktu awal t = 0 terdapat sejumlah ikan pada kolam dengan ukuranawal yang sama. Misalkan laju pertumbuhan ikan dengan ukuran x dinyatakandengan g(x). Kemudian ukuran masing-masing ikan pada waktu t dinotasikandengan x(t). Persamaan diferensial yang sesuai dengan asumsi ini adalah: x(t ) = g ( x ) , & x(0 ) = S 0 (21)dengan S0 > 0 menyatakan ukuran awal ikan. Faktor-faktor yang memengaruhipertumbuhan ikan di antaranya: berat badan, rasio ukuran individu denganindividu lainnya, suhu dan lain-lain. Untuk penyederhanaan, faktor-faktortersebut dianggap sebagai faktor eksogenus yang bernilai konstan pada setiapwaktu, sehingga g(x) hanya merupakan fungsi dari ukuran ikan. (Gasca et al 2007). Secara umum diasumsikan g adalah fungsi kontinu yang dapatdidiferensialkan dan terdefinisi pada selang [0, ω] dengan ω >0 merupakan beratmaksimum yang mungkin dapat dicapai oleh ikan. Diasumsikan g (0) = 0 ,g (ω) = 0 dan g positif pada selang (0, ω) . Misalkan N0 adalah banyaknya ikanpada waktu awal t = 0. Angka kematian memiliki laju yang bergantung padaukuran ikan dan dinotasikan dengan μ ( x) ≥ 0 dengan μ adalah fungsi kontinudan taknegatif. Sehingga banyaknya ikan dari waktu ke waktu N(t) diberikandalam persamaan diferensial: N (t ) = − μ ( x (t )) N (t ) , & N (0 ) = N 0 (22)dan total biomassa dari semua ikan dalam lahan pada waktu t adalah: B(t ) = x(t ) N (t ) . (23)
  27. 27. Biaya pemeliharaan setiap ekor ikan berukuran x untuk satu satuan waktudinotasikan dengan f(x). Fungsi f(x) memuat biaya tetap per ikan (komponen yangtidak bergantung pada ukuran) dan biaya variabel (komponen yang bergantungpada ukuran, contohnya banyaknya makanan per ikan). Diasumsikan bahwaf(0) ≥ 0 dan f merupakan fungsi naik yang memiliki turunan kontinu. Nilaisekarang dari akumulasi biaya pemeliharaan ikan dinyatakan dengan C(t) dandiberikan oleh persamaan: t C (t ) = ∫ e − rτ f (x(τ )) N (τ )dτ (24) 0dengan r menyatakan tingkat diskon. Fungsi p(x) menunjukkan harga per kilogram ikan ketika berukuran x,yang diasumsikan sebagai fungsi taknegatif dan memiliki turunan yang kontinu.Jika pemodelan waktu panen hanya mengkaji satu kali siklus pemanenan, makafungsi keuntungan adalah: π (t ) = e − rt p(x(t )) B(t ) − C (t ) . (25)3.2. Fungsi Keuntungan Untuk Populasi Awal yang Berukuran Heterogen Pada bagian ini asumsi kesamaan berat individu ikan dihilangkan, berartiterdapat perbedaan perkembangan ukuran pada waktu yang sama dalam suatulahan. Diasumsikan ukuran yang heterogen sudah pasti terjadi pada distribusiawal ukuran dalam populasi. Berdasarkan kondisi di atas, misalkan N 0 merupakan banyaknya ikan padaawal penebaran dan v0 ( x), x ∈ [0, ω ] merupakan fungsi kepekatan ukuran awalpada populasi. Menurut Sinko dan Streifer (1967) banyaknya ikan sebagai fungsidari ukuran x dan waktu t dinyatakan N (t , x) yang memenuhi persamaan: N t (t , x ) + ( g ( x )N (t , x ))x = − μ ( x ) N (t , x ) , 0 < x < ω , t > 0 N (0, x ) = N 0 v0 ( x ) (26) (Gasca et al 2007)
  28. 28. dengan N t (t , x) menyatakan turunan parsial N (t , x) terhadap t, ( g ( x) N (t , x)) xmenyatakan turunan parsial dari g ( x) N (t , x) terhadap x, μ ( x) ≥ 0 adalah lajukematian, g(x) adalah pertumbuhan ikan pada ukuran x, dan fungsi kepadatanawal v0(x) diasumsikan kontinu. Misalkan harga p(x) bergantung pada ukuran ikan. Nilai biomassa dalamlahan dihitung dengan menggunakan rumus: ω V (t ) = ∫ p( x ) x N (t , x )dx . (27) 0Biaya pemeliharaan sampai dengan waktu t adalah: t ω C (t ) = ∫ e − rt ∫ f ( x )N (τ , x )dxdτ (28) 0 0dengan f(x) adalah biaya pemeliharaan setiap ekor ikan berukuran x untuk satusatuan waktu. Masalah yang dihadapi petani adalah menentukan waktu yangoptimal untuk memanen seluruh ikan dalam kolam, yaitu denganmemaksimumkan fungsi: π (t ) = e − rtV (t ) − C (t ) . (29) (Gasca, et al 2007) Analisis penentuan waktu panen optimal dilakukan dengan alur sebagaiberikut:
  29. 29. Model fungsi Pertumbuhan Richards Fungsi Penerimaan Fungsi Pemeliharaan Memaksimumkan Fungsi Keuntungan Populasi Homogen Populasi Heterogen Fungsi Sebaran Waktu Panen Optimal Gambar 7 Sketsa diagram alur analisis Fungsi keuntungan adalah selisih fungsi penerimaan saat panen denganfungsi biaya pemeliharaan. Pada fungsi tersebut memuat fungsi pertumbuhan.Pada analisis ini, penulis memilih fungsi pertumbuhan model Richards denganpertimbangan bahwa fungsi tersebut monoton naik, konvek dan memiliki titiktetap sehingga sesuai dengan karakteristik pertumbuhan ikan. Untuk kasuspopulasi awal homogen, solusi analitik waktu panen optimal dapat dengan mudahditentukan dengan mendiferensialkan fungsi keuntungan, tetapi untuk kasuspopulasi awal heterogen solusi analitik lebih kompleks karena memuat fungsisebaran. Fungsi sebaran yang digunakan adalah sebaran seragam dan sebaranbeta karena kedua sebaran ini terdefinisi pada selang yang terbatas.
  30. 30. BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN4.1. Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Awal Berukuran Homogen Jika fungsi biomassa pada persamaan (23) diturunkan terhadap t, dandengan menyubstitusikan N (t ) = − μ ( x(t )) N (t ) serta x(t ) = g ( x ) , maka diperoleh: & & d B(t ) = [x(t ) N (t )] & dt (30) = [g ( x ) − x(t )μ ( x )]N (t ) .Dengan mendiferensialkan fungsi akumulasi biaya pemeliharaan pada persamaan(24) diperoleh C (t ) sebagai berikut: & d ⎡ ⎤ t C (t ) = ⎢ ∫ e − rτ f (x(τ )) N (τ )dτ ⎥ & dt ⎣ 0 ⎦. (31) = e − rt f ( x(t ))N (t ) . Jika fungsi keuntungan π (t ) = e − rt p( x(t ))B(t ) − C (t ) diturunkan terhadap t,dan dengan menyubstitusikan persamaan (30) dan (31) maka diperoleh: d − rt π (t ) = & [e p ( x(t )) B(t ) − C (t )] dt & & & = − re − rt p ( x(t )) B (t ) + e − rt [ p ( x(t )) x(t ) B(t ) + p ( x(t )) B (t )] − e − rt f ( x) N (t ) = e − rt N (t )[ p ( x )g ( x )x + p( x )g ( x ) − (r + μ ( x )) p (x )x − f (x )] . (32)Kondisi optimal fungsi keuntungan diperoleh pada saat π (t ) = 0, & sehinggapersamaan umum yang memuat ukuran x pada penebaran populasi awal homogenadalah: p ( x )g ( x )x + p( x )g ( x ) = (r + μ (x )) p( x )x + f ( x ) . (33)
  31. 31. 4.1.1. Waktu Panen Optimal Kultur Homogen Untuk Fungsi Pertumbuhan Monomolekuler Untuk penyederhanaan diasumsikan harga ikan p dan tingkat kematian μbernilai konstan (tidak bergantung pada ukuran) sehingga persamaan (33)menjadi: pg ( x) − f ( x) − p (r + μ ) x = 0 . (34)Misalkan fungsi biaya pemeliharaan memiliki bentuk: f (x ) = c0 + ce x + c f f 0 g (x ) ) (35)dengan c0 menunjukkan biaya tetap untuk setiap ikan, ce biaya pemeliharaansetiap ikan pada ukuran x, c f harga pakan per gram dan f 0 menyatakan tingkatefisiensi makanan. Jika diasumsikan g ( x) adalah fungsi pertumbuhan monomolekuler yaitu: dxx(t ) =& = g ( x) = k (ω − x) dengan k konstanta pertumbuhan dan ω ukuran dtmaksimum yang dapat dicapai ikan, maka dengan menyubstitusikan modelpertumbuhan tersebut dan fungsi biaya pemeliharaan f ( x ) = c0 + ce x + c f f 0 g ( x )ke persamaan (34), maka diperoleh ukuran panen optimal ( x h ) sebagai berikut: pk (ω − x) − p (r + μ ) x − c0 − ce x − c f f 0 k (ω − x) = 0 ⇔ ( p − c f f 0 )kω − c0 − (( p − c f f 0 )k + p (r + μ ) + ce )x = 0 ( p − c f f 0 )kω − c0 ⇔ xh = . (36) ( p − c f f 0 )k + p (r + μ ) + ce dxKarena = k (ω − x) , maka dengan menentukan solusi persamaan diferensial dttersebut dan menyubstitusi nilai x h , diperoleh nilai waktu panen optimal populasiawal berukuran homogen (t h ) sebagai berikut:
  32. 32. x t dy ∫ (ω − y ) = ∫ k dτ x 0 0 ⇔ − ln (ω − y )]x = k t x 0 1 ⎛ ω − x0 ⎞ ⇔t= ln⎜ ⎟ (37) k ⎝ ω− x ⎠Dengan menyubstitusikan x h pada persamaan (36) ke persamaan (37) diperolehwaktu panen optimal adalah: 1 ⎛ ( ω - x 0 )[( p − c f f 0 ) k + p ( r + μ ) + c e ] ⎞ th = ln ⎜ ⎟. k ⎜ ⎝ ω[ p ( r + μ ) + c e ] + c 0 ⎟ ⎠ (38)Untuk μ konstan (tidak bergantung pada ukuran), maka diperoleh solusi&N (t ) = − μN (t ) sebagai berikut: N (t ) dη t ∫ N0 η = ∫ kdτ 0 ⇔ ln (η )]N N (t ) = kt 0 ⇔ N (t ) = N 0 e − μt . (39)Dengan menyubstitusikan persamaan (39), x(t ) = ω − (ω − x 0 )e − kt (solusi daridx = k (ω − x) ), fungsi g dan f ke persamaan (25), maka fungsi keuntungandtterhadap waktu dari kasus homogen dengan model pertumbuhan monomolekuleradalah sebagai berikut: t π (t ) = e − rt px(t )N (t ) − ∫ e − rτ [c0 + ce x(τ ) + c f f 0 g ( x(τ ))]N (τ )dτ 0 ⇔ π (t ) = e − rt p[ω − (ω − x0 )e − kt ]N 0 e − μt [ ] t ( ) − ∫ e − rτ c 0 + c e ω − (ω − x 0 )e − kτ + c f f 0 k (ω − x 0 )e − kτ N 0 e − μτ dτ 0 ⇔ π (t ) = [ω − (ω − x0 )e − kt ]pN 0 e − (r + μ )t ⎡⎛ c + ceω ⎞ ⎛ (ω − x0 )(c f f 0 k − ce ) ⎞ ⎤ ⎜ r + μ ⎟ 1− e − ⎢⎜ 0 ⎟ ( −( r + μ )t +⎜ ⎜ r+μ+k ) ⎟ ( ) ⎟ 1 − e −(r + μ + k )t ⎥ N 0 (40) ⎢⎝ ⎣ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎦
  33. 33. 4.1.2. Waktu Panen Optimal Kultur Homogen untuk Model Fungsi Pertumbuhan Logistik Jika fungsi pertumbuhan g (x) diasumsikan memenuhi model logistik, dx ⎛ x⎞yaitu: = g ( x) = k ⎜1 − ⎟ x dengan k konstanta pertumbuhan model logistik dt ⎝ ω⎠dan ω ukuran maksimum yang dapat dicapai ikan, maka dengan menyubstitusikanmodel pertumbuhan tersebut dan fungsi biaya pemeliharaan ke persamaan (34),diperoleh dua akar persamaan di mana nilai akar terbesar merupakan ukuranoptimal ( x h ) pada waktu panen untuk kasus populasi awal yang berukuranhomogen sebagai berikut: ⎛ x⎞ ⎡ ⎛ x⎞ ⎤ pk ⎜1 − ⎟ x − ⎢c0 + ce x + c f f 0 k ⎜1 − ⎟ x ⎥ − p(r + μ )x = 0 ⎝ ω⎠ ⎣ ⎝ ω⎠ ⎦ ⇔ − (p − c f f0 ) k 2 x + bx − c0 = 0 ω dengan b = k ( p − c f f 0 ) − p(r + μ ) − ce .Akar-akar persamaannya adalah: 4c0 ( p − c f f 0 ) )k − b ± b2 − ω x1, 2 = − 2( p − c f f 0 )k . ωUkuran pada waktu panen optimal ( x h ) adalah nilai akar terbesar dari x1 dan x 2 ,yaitu: ω b + (ω b) 2 − 4kω c0 ( p − c f f 0 ) xh = (41) 2k ( p − c f f 0 ) dengan b = k ( p − c f f 0 ) − p (r + μ ) − ce . dx ⎛ x⎞Solusi dari persamaan diferensial = g ( x) = k ⎜1 − ⎟ x adalah: dt ⎝ ω⎠ x t dy ∫ ⎛ y⎞ = ∫ kdτ x0 y ⎜1 − ⎟ 0 ⎝ ω⎠
  34. 34. ⎛ ⎞ ⎜ x ⎟ t 1 1 ⇔ ∫⎜ + ⎟dy = kdτ ∫ ⎜y ⎛ y ⎞⎟ x0 ⎜ ω⎜1 − ⎟ ⎟ 0 ⎝ ⎝ ω⎠⎠ ⎛ x (ω − x 0 ) ⎞ ⇔ ln⎜ ⎜ x (ω − x) ⎟ = kt . ⎟ ⎝ 0 ⎠Hubungan waktu dan ukuran berat pada saat panen dinyatakan dengan persamaanberikut: 1 ⎛ x h (ω − x 0 ) ⎞ ⇔ th = ln⎜ ⎟. (42) k ⎜ x 0 (ω − x h ) ⎟ ⎝ ⎠Dengan menyubstitusi nilai x h pada persamaan (41) ke persamaan (42), makadiperoleh nilai waktu panen optimal (t h ) untuk kasus homogen dengan fungsipersebagai berikut: umuhan model logistik adalah: 1 ⎛ ln ⎜ ( ω b + (ω b) 2 − 4kω c0 ( p − c f f 0 ) (ω − x0 ) ) ⎞ ⎟ . (43) th = ⎜ ⎝ ( ( k ⎜ x0 2kω( p − c f f 0 ) − ω b + (ω b) 2 − 4kω c0 ( p − c f f 0 ) )) ⎟ ⎟ ⎠ x 0ωDengan menyubstitusikan persamaan (39), x(t ) = (solusi dari x0 + (ω − x0 )e − ktdx ⎛ x⎞ = k ⎜1 − ⎟ x ), fungsi g dan f ke persamaan (25), maka fungsi keuntungandt ⎝ ω⎠terhadap waktu dari kasus homogen dengan model pertumbuhan logistik adalahsebagai berikut: t π (t ) = e − rt [ ] px(t )N (t ) − ∫ e − rτ c0 + ce x(τ ) + c f f 0 g ( x(τ )) N (τ )dτ 0 ⎡ x 0ω ⎤⇔ π (t ) = e − rt p ⎢ N e − μt − kt ⎥ 0 ⎣ x0 + (ω − x0 )e ⎦ t ⎡ ⎛ x 0ω ⎞ ⎛ x ω (ω − x )e − kτ ⎞⎤ − ∫ e − rτ ⎢ c 0 + c e ⎜ ⎟ + c f f0k⎜ 0 0 ⎟⎥ N e − μτ dτ 0 ⎢ ⎣ ⎜ x + (ω − x )e − kτ ⎝ 0 0 ⎟ ⎠ ( ⎜ x + (ω − x )e − kτ ⎝ 0 0 )2 ⎟⎥ 0 ⎠⎦
  35. 35. ⎡ x 0ω ⎤⇔ π (t ) = ⎢ − kt ⎥ pN 0 e −(r + μ )t − ( A + B + C )N 0 (44) ⎣ x0 + (ω − x0 )e ⎦ dengan: A= ( c0 1 − e − (r + μ )t), r+μ B= ( ce x0ω e kt 1 − e − (r + μ )t ) , dan ( (r + μ ) ω − x0 − x0 e kt ) C= c f f 0 k (ω − x0 )e (k − r − μ t ) ( (e r + μ )t ) −1 (r + μ )(ω − x0 + x0 e kt )4.1.3. Perbandingan Waktu Panen Optimal Model Fungsi Pertumbuhan Monomolekuler dan Logistik Pada Kultur Homogen Misalkan pada Tabel 1 diberikan nilai-nilai parameter yang merupakandata hipotetik sebagai berikut: Tabel 1 Nilai Parameter (data hipotetik) Parameter Deskripsi Nilai r Tingkat diskon 0.06 per tahun μ tingkat kematian per hari 0.0006 p Harga ikan Rp. 15/gram c0 Biaya tetap per ekor Rp. 15 cf Harga makanan Rp. 6/gram ce Biaya pemeliharaan per gram Rp. 0.01 f0 Tingkat efisiensi makanan 0.95 N0 Jumlah populasi awal 2000 x0 Ukuran awal ikan 20 gram k Rasio pertumbuhan 0.03 ω Berat maksimum 1000 gramJika nilai-nilai parameter Tabel 1 disubstitusikan terhadap fungsi keuntungan padamasing-masing model pertumbuhan monomolekuler pada persamaan (40) danlogistik pada persamaan (44) dengan menggunakan software Mathematica 6.0diperoleh kurva sebagai berikut:
  36. 36. keuntungan keuntungan 1.4 1071.2 107 1.2 1071. 107 1. 1078. 106 8. 1066. 106 6. 1064. 106 4. 1062. 106 2. 106 waktu waktu 50 100 150 200 250 300 50 100 150 200 250 300 350 (a) (b)Gambar 8 Kurva fungsi keuntungan (a) model pertumbuhan monomolekuler (b) model pertumbuhan logistikDari Gambar 8 terlihat bahwa suatu spesies yang model pertumbuhannyamonomolekuler lebih cepat mencapai waktu panen optimalnya dari spesies yangmodel pertumbuhannya logistik. Selain itu dengan parameter yang sama padaTabel 1, ukuran dan waktu panen optimal dari dua spesies yang berbeda denganmodel pertumbuhan masing-masing monomolekuler dan logistik disajikan padaTabel 2 berikut:Tabel 2 Ukuran dan waktu optimal model pertumbuhan monomolekuler dan logistik Ukuran panen Waktu Panen Spesies Model Pertumbuhan Optimal (gram) Optimal (hari) 1 Monomolekuler 905,77 78,06 2 Logistik 587,43 206,25Berdasarkan Tabel 2 di atas, ukuran ikan pada saat panen untuk spesies yangmodel pertumbuhannya mengikuti model monomolekuler lebih besardibandingkan dengan ukuran spesies yang pertumbuhannya mengikuti modellogistik, sedangkan waktu panennya lebih cepat.
  37. 37. 4.2. Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Awal Berukuran Heterogen ω Dengan mendiferensialkan fungsi V (t ) = ∫ p ( x) xN (t , x)dx terhadap t maka 0 ωdiperoleh V (t ) = ∫ p ( x) xN t (t , x)dx , dan dengan menyubstitusi persamaan & 0N t (t , x) + ( g ( x) N (t , x)) x = − μ ( x) N (t , x) pada persamaam V (t ) diperoleh: & ω V (t ) = ∫ p ( x) x [−( g ( x) N (t , x)) x − μ ( x) N (t , x)]dx & 0 atau ω ω V (t ) = − ∫ p ( x) x ( g ( x ) N (t , x)) x dx − ∫ p ( x) xμ ( x) N (t , x)]dx . & (45) 0 0Dengan pengintegralan parsial ∫ udv = uv − ∫ vdu dari bentukω∫ p(x ) x (g (x )N (t , x )) x dx dengan u = p( x )x → du = ( p (x )x )x = ( p ( x) x + p ( x) )dx0dan dv = ( g ( x )N (t , x ))x dx → v = g ( x) N (t , x) sehingga diperoleh: ω ∫ p(x ) x (g (x )N (t , x )) dx = p (x ) x g (x ) N (t , x )| ω x 0 0 (46) ω − ∫ ( p ( x )x + p ( x )) g (x ) N (t , x )dx . 0Karena g (0) = 0 dan g (ω ) = 0 yakni laju pertumbuhan ukuran sama dengan nol⎛ dx ⎞⎜ = 0 ⎟ maka persamaan (46) menjadi:⎝ dt ⎠ ω ω ∫ p(x ) x (g (x )N (t , x ))x dx = − ∫ ( p (x )x + p(x )) g (x ) N (t , x )dx . 0 0 (47)Dengan menyubstitusikan persamaan (47) ke persamaan (45), maka diperoleh &bentuk yang lebih sederhana dari V (t ) , yaitu:
  38. 38. ω ω V (t ) = ∫ ( p ( x) x) x g ( x) N (t , x)dx − ∫ p ( x) xμ ( x) N (t , x)]dx . & 0 0 (48) t ωPendiferensialan fungsi biaya C(t ) = ∫ e −rt ∫ f ( x) N (τ , x)dxdτ terhadap t 0 0menghasilkan: ω C (t ) = e − rt ∫ f ( x) N (t , x)dx . & (49) 0Pendiferensialan fungsi keuntungan π (t ) = e − rtV (t ) − C (t ) terhadap t diperoleh: & & & π (t ) = −re − rtV (t ) + e − rtV (t ) − C (t ) . (50)Keuntungan maksimum tercapai pada kondisi π (t ) = 0 sehingga diperoleh &persamaan: & & V (t ) = rV (t ) + e rt C (t ) . (51) & &Dengan menyubstitusi V (t ) , Vt ) dan C (t ) ke persamaan (51) diperoleh: ω ∫ [ p ( x) xg ( x) + p( x) g ( x) − (r + μ ( x)) p( x) x − f ( x)]N (t , x)dx = 0 . 0 (52)Untuk penyederhanaan persamaan (52) digunakan Lema 1 dan Lema 2 sebagaiberikut:Lema 1. Solusi N (t , x) dari persamaan (26) diberikan oleh: t − ∫ ( μ ( s[ x](τ )) + g ( s[ x](τ )))dτ N (t , x) = N 0 v0 ( s[ x](t ))e 0 (53) (bukti dapat dilihat pada Lampiran 4).
  39. 39. Lema 2. Misalkan t > 0 dan s ∈ [0, ω ] , maka berlaku: t ∫ g ( x[ s ](τ ))dτ ∂x[ s ](t ) 0 =e (54) ∂s (bukti dapat dilihat pada Lampiran 5).Jika persamaan (53) dan (54) disubstitusikan ke persamaan (52), maka diperoleh: ω ∫ [ p ( x[s](t )) x[s](t ) g ( x[s](t )) + p( x[s](t )) g ( x[s](t )) 0 t − ∫ μ ( x[ s ](τ ))dτ (55) 0 − (r + μ ( x[ s ](t ))) p ( x[ s ](t )) x[ s ](t ) − f ( x[ s ](t ))]v0 ( s )e ds = 0 .Untuk p dan μ konstan persamaan (51) menjadi: ω (56) ∫ [ p g ( x[ s](t )) − f ( x[ s](t )) − (r + μ ) p x[s](t )]v 0 0 ( s )ds = 0Dengan persamaan (52), solusi eskplisit dari ukuran dan waktu panen optimalkultur heterogen tidak dapat ditentukan.4.3. Perbandingan waktu panen optimal populasi awal berukuran homogen dan heterogen Model homogen merupakan bentuk sederhana dari model heterogendengan mengasumsikan bahwa semua ikan memiliki ukuran yang sama padat = 0 . Perbandingan waktu panen kedua model dilakukan dengan memisalkanfungsi pertumbuhan g, μ , r, p dan banyaknya populasi awal N0 sama untukkasus homogen dan heterogen. Diasumsikan bahwa kepekatan ukuran awal v0 model heterogendikonsentrasikan pada interval [ s 0 − ε , s 0 + ε ] ⊆ [0, ω ] dengan nilai rata-rata s 0 ,yang berarti: ω s0 +ε s0 +ε ∫ v0 (s)ds = ∫ v0 (s)ds = 1 atau 0 s 0 −ε ∫ sv s 0 −ε 0 ( s )ds = s 0 . (57)
  40. 40. Untuk penyederhanaan diasumsikan μ dan p konstan (tidak bergantung padaukuran populasi ikan), fungsi g ( x) dan h( x) := pg ( x) − f ( x) keduanya kontinu,dapat didiferensialkan dan konvek (turunan kedua bernilai negatif). Demikianpula bahwa h bernilai positif untuk ukuran x ∈ [0, ω ] , sedangkan f diasumsikanberbentuk fungsi konkap. Berdasarkan asumsi di atas kondisi optimal persamaan (34) memberikanbentuk : ψ ( x ) : = h( x ) − p ( r + μ ) x = 0 (58)Dan kondisi optimal persamaan (52) menjadi : ω ξ (t ) : = ∫ [h( x[ s](t )) − (r + μ ) px[ s ](t )]v0 ( s)ds = 0 (59) 0Proposisi Berdasarkan asumsi-asumsi di atas dan diberikan data p, g, N 0 , s 0maka klaim berikut berlaku:(i) Ada bilangan ρ1 > 0 sehingga untuk setiap r dan μ taknegatif dengan r + μ ≤ ρ1 dan fungsi f memenuhi perumusan asumsi, persamaan (56) memiliki dua akar real pada selang [0, ω ] dan nilai akar yang lebih besar merupakan nilai optimal ukuran panen x h .(ii) Ada bilangan ρ 2 >0 dan ε 0 > 0 sedemikian hingga pernyataan berikut berlaku: jika ε ∈ (0, ε 0 ] , r dan μ taknegatif, f ( x) memenuhi perumusan asumsi dan berlaku r + μ + f ( x) ≤ ρ 2 serta kepekatan ukuran awal v0 memenuhi persamaan (55), maka persamaan (57) memiliki tepat dua solusi taknegatif dengan nilai yang lebih besar merupakan waktu panen optimal t H . Selain itu waktu optimal model heterogen lebih besar daripada model homogen tH > th . (60) Bukti: pada Lampiran 6.
  41. 41. Hal penting adalah, bahwa jika tingkat kematian, suku bunga, dan biayacukup kecil, maka waktu panen optimal kultur homogen cenderung lebih rendahdaripada kultur heterogen.
  42. 42. BAB V SIMPULAN DAN SARAN5.1. Simpulan Berdasarkan hasil analisis yang telah diuraikan pada hasil danpembahasan, maka diperoleh simpulan sebagai berikut:1. Pada kasus homogen dengan model pertumbuhan monomolekuler dan logistik dapat diperoleh solusi analitik untuk ukuran dan waktu pada saat panen optimal. Dengan nilai parameter yang sama, diperoleh bahwa ukuran ikan pada saat panen untuk spesies yang pertumbuhannya mengikuti model monomolekuler lebih besar daripada spesies yang pertumbuhannya mengikuti model logistik, sedangkan waktu panennya lebih cepat.2. Karena memuat proses stokastik yang cukup kompleks, maka solusi analitik dari ukuran dan waktu pada saat panen optimal untuk kasus heterogen tidak dapat ditentukan.3. Waktu panen optimal kultur heterogen lebih besar dari waktu panen optimal kultur homogen.5.2. Saran Karena keterbatasan waktu dan kompleksnya masalah penentuan waktupanen optimal untuk populasi awal berukuran heterogen, maka dalam tesis inikasus tersebut tidak dikaji secara mendalam, sehingga disarankan adanya peminatuntuk melakukan kajian lanjutan.
  43. 43. DAFTAR PUSTAKABartlett, MS, Hiorns, RW 1973. The Mathematical Theory of the Dynamics of Biological Populations. Academic Press London-New York.Clark, CW. 1976. Mathematical Bioeconomics : The Optimal Management Of Renewable Resources, A Wiley-Intersscience Publication. New York.Edelstein-Keshet, L. 1988. Mathematical Models in Biology. Random House, New York.France, J., Thornley. 1984. Mathematical Models in Agriculture. Butterworth & Co. London.Ghahramani, S. 2005. Fundamentals of Probability with Stochastic Processes. Pearson Prentice Hall. New Jersey.Gasca-Leyva, E, Hernandez, JM, Veliov, VM, 2007, Optimal harvesting time in a size-heterogeneous population (http://www.science.direct.com/science), 12-09-2008.McCutcheon, JJ., Scott, WF, 1986. An Introduction to the Mathematics of Finance. Butterwott- Heinemann. Burlington.Rose C, Smith, MD. 2002. Mathematical Statistics with Mathematica. Springer-Verlag Inc. New York.Salas SL, Hille E. 1978. Calculus: One and Several Variables. Ed ke-2. John Wiley and Sons. New York.Simon CP, Blume L. 1994. Mathematics for Economists. W.W. Norto and Company. New york.Tu, P.N.V. 1994. Dynamcal System, An Introduction with Applications in Economics and Biology. The Unversity of Calgary. Canada.
  44. 44. LAMPIRANLampiran 1 Bukti Persamaan (4) n dx kx( x f − x ) nDari pengintegralan persamaan (3) = n diperoleh hasil sebagai dt nx fberikut: x ⎛1 y n −1 ⎞ t n∫⎜ + ⎟dy = kds ∫ ⎜ y x − yn ⎟ x0 ⎝ f ⎠ 0 [ ⇔ n ln y − ln x f − y n ( n )] x x0 = kt ( ⎛ x n x f n − x0 n ⇔ ln⎜ n n )⎞ = kt ⎟ ⎜ x x − xn ⎝ 0 f ( )⎟ ⎠ n xn x0 e kt ⇔ n = n n x f − xn x f − x0 ⇔ xf n −1 = (x f n − x0 e − kt n ) n n x x0 n xn x0 ⇔ = xf n n ( x0 + x f − x0 e − kt n n ) x0 x f ⇔ x(t ) = □ [x + (x ) ] 1 n n n − kt n 0 f − x0 e
  45. 45. Lampiran 2 Bukti persamaan (6) = k (x f − x ) diperoleh hasil sebagai berikut: dxDari pengintegralan persamaan (5) dt x t dy ∫ x f − y = ∫ kds x 0 0 ] ⇔ −ln (x f − y ) x = kt x 0 ⎛ xf − x ⎞ ⇔ ln⎜ ⎟ = − kt ⎜x −x ⎟ ⎝ f 0 ⎠ ⇔ x f − x = (x f − x0 )e − kt ⇔ x(t ) = x f − (x f − x0 )e − kt □
  46. 46. Lampiran 3 Bukti Persamaan (8) dx ⎛ x ⎞Dari pengintegralan persamaan (5) = kx⎜1 − ⎟ diperoleh hasil sebagai dt ⎜ x ⎟ ⎝ f ⎠berikut: ⎛1 x ⎞ t ⎜ + 1 ⎟dy = kds ∫⎜ y xf − y ⎟ ∫ x0 ⎝ ⎠ 0 [ ⇔ ln y − ln (x f − y ) x = kt ] x 0 ⎛ x(x f − x0 ) ⎞ ⇔ ln⎜ ⎟ = kt ⎜ x (x − x ) ⎟ ⎝ 0 f ⎠ x x e kt ⇔ = 0 x f − x x f − x0 xf (x f − x0 )e − kt ⇔ −1 = x x0 xf x0 + (x f − x0 )e − kt ⇔ = x x0 x0 x f ⇔ x(t ) = □ x0 + ( x f − x0 )e − kt
  47. 47. Lampiran 4 Bukti Lema 1Dari persamaan Sinko dan Streifer, banyaknya ikan sebagai fungsi dari ukuran xdan waktu t dinyatakan N (t , x) yang memenuhi persamaan: N t (t , x ) + ( g ( x )N (t , x ))x = − μ ( x ) N (t , x )atau dalam notasi lain: ∂N (t , x) ∂ ( g ( x) N (t , x) ) + = − μ ( x) N (t , x) ∂t ∂x ∂N (t , x) ∂N (t , x) ⇔ + g ( x) N (t , x) + g ( x) = − μ ( x) N (t , x) ∂t ∂x dxberdasarkan persamaan (21) g ( x) = sehingga diperoleh persamaan: dt ∂N (t , x) dx ∂N (t , x) + = −(μ ( x) + g ( x) )N (t , x) . ∂t dt ∂xRuas kiri persamaan ini merupakan diferensial total N (t , x) terhadap t. Jikadimisalkan M (t ) = N (t , x) maka diperoleh persamaan: M (t ) = −(μ ( x) + g ( x) )M (t ) .yang memiliki solusi sebagai berikut: M (t ) dM (τ ) t M ∫(0) M (τ ) = − ∫ (μ ( x) + g ( x))dτ 0 t ⎛ M (t ) ⎞ ⇔ ln⎜ ⎜ M (0) ⎟⎟ = − ∫ (μ ( x) + g ( x) )dτ ⎝ ⎠ 0 t − ∫ ( μ ( x ) + g ( x ) )dτ ⇔ M (t ) = M (0)e 0 .Dari definisi M (0) = N (0, x) = N 0 v0 ( x) dan dengan memisalkan fungsit → s[ y ](t ) merupakan solusi dari s = g (s ) , maka untuk setiap x ∈ [0, ω ) &berlaku: t − ∫ ( μ ( s[ x](τ )) + g ( s[ x](τ )))dτ N (t , x) = N 0 v0 ( s[ x](t ))e 0 □.
  48. 48. Lampiran 5 Bukti Lema 2 ∂x[ s ](t )Dengan mendiferensialkan terhadap t diperoleh: ∂sd ⎛ ∂x[ s ](t ) ⎞ d ∂x[ s ](t ) d d ∂x[ s ](t ) ⎜ ⎟= = x[ s ](t ) = & g ( x[ s ](t )) = g ( x[ s ](t ))dt ⎝ ∂s ⎠ ds ∂t ds ds ∂sPengintegralan bentuk persamaan diferensial biasa di atas maka diperoleh: t ∂x[ s ](t ) ∫ g ( x[ s ](τ ))dτ = e0 □. ∂s
  49. 49. Lampian 6 Bukti ProposisiDengan mengasumsikan h( x ) > 0 untuk beberapa nilai x, fungsiψ ( x) : = h( x) − p(r + μ ) x juga bernilai positif, tersedia bahwa (r + μ ) yangcukup kecil yang dijamin dengan pemilihan ρ1 > 0 . Maka ukuran optimal x hjuga ada pada interval (0, ω ) sehingga ψ (0) = − f (0) ≤ 0 danψ (ω ) = − f (ω ) − p(r + μ )ω < 0. Ukuran x h optimal merupakan akar dari ψ , akaradalah penyederhanaan, dan ψ berubah dari positif ke negatif. Ada satu ataulebih akar real dalam [0, x h ] yang berkorenpondensi dengan minimum lokal.Misalkan dipertimbangkan pentingnya kondisi optimal (51) untuk masalahheterogen: ωξ (t ) := ∫ [h( x[ s ](t )) − (r + μ ) px[ s](t )]v0 ds = 0 0Dengan jelas diperoleh bahwa ∀s ∈ [0, ω ] :| x[ s ](t ) − x[ s 0 ](t ) |≤ C1εyang mengakibatkan| ξ (t ) − ψ ( x[ s 0 ](t )) |≤ C 2 εuntuk pendekatan nilai konstanta C1 dan C2. Berdasarkan x[ s 0 ](t ) yang monoton,fungsi ψ ( x[ s 0 ](t ) memiliki dua akar real (satu di antaranya merupakan waktuoptimal t h ) dan akar real merupakan bentuk sederhana. Maka dari pertidaksamaan| ξ (t ) − ψ ( x[ s 0 ](t )) |≤ C 2 ε untuk setiap ε yang cukup kecil, fungsi ξ jugamemiliki dua nilai akar real, nilai-nilai tersebut berada disekitar ε dari akar realψ ( x[ s 0 ](t )) , dan pada akar real kedua ξ berubah tanda dari posistf ke negatif,dengan demikian nilai akar ini merupakan waktu maksimum t H . Selain itu, dariperubahan tanda ξ pada t H menunjukkan bahwa:ξ (t H ) > 0 yang berimplikasi t H > t hUntuk melengkapi bukti, diperlihatkan bahwa untuk ε yang cukup kecildiperoleh ξ (t H ) > 0 .
  50. 50. ωDengan formula Taylor fungsi ξ (t ) := ∫ [h( x[ s ](t )) − (r + μ ) px( s ](t )]v0 ds = 0 0dapat dinyatakan dengan: ω ω ⎡ ∂x[s 0 ](t ) ⎤ξ (t ) = O(ε 3 ) + ∫ [h − (r + μ ) px[s 0 ](t )]v0 (s 0 )ds + ∫ ⎢h−(r + μ ) p (s − s0 )v0 (s )ds 0 0 ⎣ ∂s ⎥ ⎦ 1 ⎡ ⎛ ∂x[s 0 ](t ) ⎞ ∂ x[s 0 ](t ) ∂ x[s 0 ](t )⎤ ω 2 2 2 − (r + μ ) p ⎥ (s − s 0 )v0 (s )ds 2 ∫ ⎢ ⎝ ∂s ⎠+ ⎢h" ⎜ ⎟ + h 0 ⎣ ∂s 2 ∂s 2 ⎥ ⎦di mana argumen x[s 0 ](t ) pada h, h’, dan h” dilewatkan. Dari persamaan (53) dan(55) tersebut bahwa dua bentuk yang pertama merupakan akar persamaan padat = th . ∂x[s 0 ](t )Bentuk Pada Lema 2 diubah variabel integrasi menjadi x[s 0 ](τ ) = y , ∂syang memberikan: s (t ) ∫ g ( y )dy / g ( y ) ∂x[s 0 ](t ) s0 ln( g ( s (t ))) − ln( g ( s 0 )) g ( s (t )) =e =e = ∂s g (s0 ) ∂x[s 0 ](t )di mana s (t ) = x[s 0 ](t ) . Turunan kedua dari dapat ditentukan sebagai ∂sberikut: t ∂ x[s 0 ](t ) 2 ∫ g ( x[s 0 ](τ ))dτ t ∂x[s ](τ ) = e0 ∫ g" (x[s ](τ )) ∂s dτ 0 0 ∂2s 0 g (s(t )) g (s (τ )) t = g (s 0 ) 0∫ g" (x[s0 ](t )) g (s0 ) dτmaka: ω ⎡ t ⎤ ξ (t h ) = g ∫⎢ h"g + (h− p(r + μ ))∫ g " (s (τ ))g (s(τ ))dτ ⎥ (s − s 0 ) v0 (s )ds 2 2 g (s 0 ) 2 0 ⎣ 0 ⎦ ω g ∫ [h" g + (h− p(r + μ ))(g − g (s ))](s − s ) v (s )ds. 2 = 2 g (s 0 ) 2 0 0 0 0Dari persamaan ( ( )) ( ) h s t h − p (r + μ )s t h = 0 dan menyingkat bentukp (r + μ ) diperoleh bentuk ξ (t ) sama dengan: h
  51. 51. ⎛ h( s ) ⎞ γ ( s) = h" ( s) g ( s) + ⎜ h ( s) − ⎟ (g (s) − g ( s0 )) ⎝ s ⎠ ( )pada titik s = s t h . Diperoleh: ⎛ h(ω) ⎞ γ (ω) = ⎜ h (ω) − ⎟ ( g ( ω) − g ( s 0 ) ) > 0 ⎝ ω ⎠pada saat dua pengali berbentuk negatif. Sudah tentu, kedua bentuk seharusnyanegatif untuk fungsi g yang cembung. Selain itu, diketahui bahwa h (ω ) ≤ 0 danbahwa ada beberapa nilai x ∈ (0, ω ) untuk h( x) > 0 . Kemudian, penggunaankecembungan dari h diperoleh: ω 0 < h( x) = h(ω ) − ∫ h ( x)ds ≤ h(ω ) − (ω − x)h (ω ) ≤ h(ω ) − ωh (ω ) 0yang berimplikasi bahwa bentuk pertama dari ⎛ h(ω) ⎞γ (ω) = ⎜ h (ω) − ⎟ (g (ω) − g ( s 0 ) ) > 0 juga berbentuk negatif. Untuk ⎝ ω ⎠melengkapi bukti dicermati bahwa jika ρ 2 > 0 dipilih bilangan yang cukup kecilmaka s = s (t h ) merupakan perubahan-perubahan kecil untuk ω (pada saatg (ω ) = 0 ), oleh karena itu γ ( s ) > 0 □.

×