4. 8
Objetivos
• Simplificar expresiones algebraicas utilizando
las operaciones entre variables y coeficientes
• Identificar variables y coeficientes en un
problema cotidiano
• Plantear ecuaciones que permitan resolver un
problema cotidiano e interpretar su solución
5. 8
¿Cómo vamos a lograr los objetivos?
Vamos a ayudar a Janeth a interpretar lo que
le dice Diocelina.
Janeth es una joven Antioqueña que tiene
problemas económicos en su casa, le da
miedo hablarle al joven que le gusta y le está
yendo mal en matemáticas en el colegio.
6. 8
¿Cómo vamos a lograr los objetivos?
Por consejo de una tía, Janeth decide ir
donde Diocelina Matemáticas.
Diocelina es una adivina que encuentra
soluciones a cualquier problema, pero todos
los consejos de Diocelina se deben descifrar
utilizando matemáticas.
7. 8
¿Cómo vamos a lograr los objetivos?
• Expresiones algebraicas: Crearemos las
expresiones algebraicas correspondientes a los
materiales de una pijama
• Monomios: Simplificaremos las expresiones
algebraicas de los materiales de las pijamas
• Planteamiento y solución de ecuaciones lineales:
Cuál es la edad de Carlos
• Solución de ecuaciones cuadráticas: ¿Cuántas
horas debe estudiar Janeth?
9. 8
¿Cómo vamos a lograr los objetivos?
• Expresiones algebraicas: Crearemos las
expresiones algebraicas correspondientes a los
materiales de una pijama
• Monomios: Simplificaremos las expresiones
algebraicas de los materiales de las pijamas
• Planteamiento y solución de ecuaciones lineales:
Cuál es la edad de Carlos
• Solución de ecuaciones cuadráticas: ¿Cuántas
horas debe estudiar Janeth?
10. 8
¿Qué le dice Diocelina a Janeth
acerca de sus problemas
económicos?
Veamos el video.
11. 8
Expresiones algebraicas
Es una expresión matemática en la que se
utilizan letras, números y signos de
operaciones para reflejar la relación que
existe entre varias magnitudes.
Por ejemplo:
5𝑥2
− 𝑥𝑦2
+ 8𝑥3
𝑦3
12. 8
Valor numérico de una expresión
algebraica
Si en una expresión algebraica se
reemplazan las letras por números y se
realizan las operaciones indicadas se
obtiene un resultado que se denomina
valor numérico de la expresión algebraica.
13. 8
Valor numérico de una expresión
algebraica
Si en la expresión algebraica
5𝑥2 𝑦2 − 𝑥𝑦2 + 8𝑥3 𝑦3
reemplazamos 𝑥 por 2 y reemplazamos 𝑦 por 3
obtenemos
5𝑥2 𝑦2 − 𝑥𝑦2 + 8𝑥3 𝑦3
5(2)2
(3)2
−(2)(3)2
+8(2)3
(3)3
5 4 9 − 2 9 + 8 8 27
180 − 18 + 1728
1890
14. 8
Monomios
Es una expresión algebraica en la que las únicas
operaciones que aparecen entre las variables y
las constantes son el producto y la potencia con
exponente un número natural.
Ejemplo:
3𝑥𝑦
Parte literal.
Coeficiente.
15. 8
Monomios
Es una expresión algebraica en la que las únicas
operaciones que aparecen entre las variables y
las constantes son el producto y la potencia con
exponente un número natural.
Ejemplo:
4𝑎3
𝑏
Parte literal.
Coeficiente.
16. 8
Monomios
Dos monomios son semejantes cuando
tienen la misma parte literal.
Los monomios 2𝑎𝑥3
𝑦2
, −4𝑎𝑥3
𝑦2
y
9𝑎𝑥3
𝑦2
son semejantes.
Los monomios 5𝑎𝑥3
𝑦2
y −𝑎𝑥3
𝑦 no son
semejantes.
17. 8
Suma y resta de monomios
Para poder sumar o restar dos monomios deben
ser semejantes y, en este caso, se suman o
restan los coeficientes. Cuando los monomios
no son semejantes la suma queda indicada.
Por ejemplo
3𝑥3
𝑦2
− 2𝑥3
𝑦2
= 𝑥3
𝑦2
5𝑥2
𝑦2
− 𝑥𝑦2
= 5𝑥2
𝑦2
− 𝑥𝑦2
18. 8
Producto de monomios
Se multiplican los signos, los coeficientes y las
potencias que tengan la misma base.
Por ejemplo
4𝑎3
𝑏2
𝑐 −2𝑏3
𝑐2
= −8𝑎3
𝑏5
𝑐3
19. 8
¿Dónde encontramos expresiones algebraicas?
Para representar un problema de la vida real
utilizando expresiones algebraicas debemos
comprender cuáles son los parámetros del
problema, cuáles son conocidos y cuáles
desconocidos.
Los parámetros que son conocidos estarán
representados por los coeficientes y los
desconocidos estarán representados por las
variables.
20. 8
¿Qué está diciendo Diocelina?
Veo que dentro de tu familia una persona sabe coser y pijamas
puede empezar a hacer.
Para que el negocio pueda florecer cuidado con los gastos deben
tener.
Algodón y seda usarán para las pijamas fabricar.
Un pantalón y una camisa todas tendrán.
El pantalón tiene mucha piel por cubrir, así que con la tela de dos
camisas un pantalón se puede construir.
Con esta información y lo que sepas de tu capital, decidirás
cuánta tela comprar.
Actividad 1
21. 8
¿Qué está diciendo Diocelina?
“Un pantalón y una camisa todas tendrán.
El pantalón tiene mucha piel por cubrir, así que con la tela de dos
camisas un pantalón se puede construir.”
𝑥 cantidad de tela para una pantalón.
𝑦 cantidad de tela para una camisa.
Como un pantalón necesita el doble de tela que una camisa
tenemos que
𝑥 = 2𝑦
Actividad 1
22. 8
2minutos
¿Qué está diciendo Diocelina?
“Los botones evitan las tentaciones.
Si sensatos ustedes son, harán buen uso de cada botón.
Seis botones tendrán para cuatro pijamas decorar.
No todos los botones iguales serán,
Grandes y pequeños deberán comprar.
Dos tercios del total deben ser grandes y sobre el resto ya sabes.”
¿Cuáles variables identificas? ¿Con cuáles expresiones
algebraicas puedes representar lo que dice Diocelina?
Actividad 1
23. 8
¿Qué está diciendo Diocelina?
“Seis botones tendrán para cuatro pijamas decorar.
Grandes y pequeños deberán comprar.
Dos tercios del total deben ser grandes y sobre el resto
ya sabes.”
2minutos
Actividad 1
24. 8
¿Qué está diciendo Diocelina?
“Con el hilo debes coser un bolsillo en cada pijama.
Y todo debe ser hecho con el alma.
Un rectángulo es la forma usual y el perímetro debes calcular.
Para la altura del bolsillo encontrar, las matemáticas vas a trabajar.
Cinco veces el cuadrado de un número igualarás a la edad de tu
mamá.
Después debes saber que tres medios de la altura la base debe
tener.”
¿Cuáles variables identificas? ¿Con cuáles expresiones algebraicas
puedes representar lo que dice Diocelina?
2minutos
Actividad 1
25. 8
¿Qué está diciendo Diocelina?
“Un rectángulo es la forma usual y el perímetro debes
calcular.
Para la altura del bolsillo encontrar.
Cinco veces el cuadrado de un número igualarás a la edad
de tu mamá.
Después debes saber que tres medios de la altura la base
debe tener.”
Actividad 1
26. 8
Ahora que tenemos las expresiones algebraicas
correspondientes a la tela, el hilo y los botones
identifica cuáles monomios son semejantes y cuales
no.
Pijamas:
𝑥 = 2𝑦
Total de tela para las pijamas
𝑥 + 𝑦
2𝑦 + 𝑦
1 minuto
Actividad 2
27. 8
Ahora que tenemos las expresiones algebraicas
correspondientes a la tela, el hilo y los botones
identifica cuáles monomios son semejantes y cuales
no.
Total de botones grandes
2
3
𝑧
Total de botones pequeños
1
3
𝑧
1 minuto
Actividad 2
28. 8
Ahora que tenemos las expresiones algebraicas
correspondientes a la tela, el hilo y los botones
identifica cuáles monomios son semejantes y
cuales no.
Hilo.
5 𝑥2
+ 1 = 50
3
2
𝑥 + 𝑥 +
3
2
𝑥 + 𝑥 = 𝑤
1 minuto
Actividad 2
29. 8
¿Cómo vamos a lograr los objetivos?
• Expresiones algebraicas: Crearemos las
expresiones algebraicas correspondientes a los
materiales de una pijama.
• Monomios: Simplificaremos las expresiones
algebraicas de los materiales de las pijamas.
• Planteamiento y solución de ecuaciones
lineales: Cuál es la edad de Carlos.
• Solución de ecuaciones cuadráticas: ¿Cuántas
horas debe estudiar Janeth?
30. 8
Veamos ahora en el video qué
le dice Diocelina a Janeth
acerca del joven que le gusta.
31. 8
Ecuaciones
Es una igualdad matemática entre dos
expresiones algebraicas.
Por ejemplo, la siguiente expresión es una
ecuación.
𝑥 + 𝑦 = 3 + 2𝑥
Miembros
de la
ecuación.
32. 8
Clasificación de las ecuaciones
Clasificación de acuerdo al grado.
Una ecuación de grado n, es una ecuación en la
que el monomio de mayor grado tiene grado n.
La ecuación 𝑥 + 𝑦 = 3 + 2𝑥 tiene grado 1.
La ecuación 𝑎2
+ 3 = 𝑏 − 27 tiene grado 2.
33. 8
Clasificación de las ecuaciones
Clasificación de acuerdo al grado.
Una ecuación de grado n, es una ecuación en la que
el monomio de mayor grado tiene grado n.
Cuando una ecuación tiene grado 1 se dice que es
lineal; cuando tiene grado 2 decimos que es
cuadrática y cuando tiene grado 3 decimos que es
una ecuación cúbica.
34. 8
Clasificación de las ecuaciones
Clasificación de acuerdo al número de
variables.
La ecuación 𝑥 + 𝑦 = 3 + 2𝑥 es una ecuación de
dos variables.
La ecuación 𝑎2
+ 3 = 27 es una ecuación de
una variable.
35. 8
¿Cuáles son las ecuaciones para la edad de Carlos?
• Si a la edad de Carlos le restas tres años
obtendrás el doble de la edad que tenías hace 4
años.
• Pero eso no me soluciona nada yo tengo 17
años…
2 minutos
Actividad 3
36. 8
Retomemos el problema de las pijamas.
¿Cuáles ecuaciones puedes plantear si sabemos
que la mamá de Janeth dispone de 100 metros
de tela, y la mamá de Janeth tiene 50 años?
2 minutos
Actividad 3
37. 8
¿Qué significa resolver ecuaciones?
Resolver una ecuación significa encontrar un
conjunto de valores para las variables, de forma tal
que se satisfaga la igualdad que define la ecuación.
Por ejemplo, para la ecuación lineal de una variable
𝑧 = 4𝑧 +
3
11
Una solución es 𝑧 = −
1
11
.
39. 8
¿Cómo resolvemos una ecuación?
Para resolver una ecuación lineal de una
variable hacemos los siguientes pasos:
1. Eliminación de denominadores.
2. Eliminación de paréntesis.
3. Transposición de términos.
4. Reducción de términos semejantes.
5. Despeje de la variable.
47. 8
Resuelve la ecuación que encontraste en la
actividad anterior para hallar la edad de Carlos.
Actividad 5
48. 8
¿Cómo vamos a lograr los objetivos?
• Expresiones algebraicas: Crearemos las
expresiones algebraicas correspondientes a los
materiales de una pijama.
• Monomios: Simplificaremos las expresiones
algebraicas de los materiales de las pijamas.
• Planteamiento y solución de ecuaciones lineales:
Cuál es la edad de Carlos.
• Solución de ecuaciones cuadráticas: ¿Cuántas
horas debe estudiar Janeth?
49. 8
Veamos ahora qué le dice
Diocelina a Janeth para que le
vaya mejor en matemáticas
en el colegio.
50. 8
Solución de una ecuación cuadrática de una
variable
Las ecuaciones cuadráticas generalmente
tienen la forma
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Y tienen dos soluciones. Para hallarlas usamos
la fórmula
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
51. 8
Solución de una ecuación cuadrática de una
variable
Resolvamos la ecuación
𝑥2
+ 3𝑥 + 2 = 0
Tenemos que 𝑎 = 1, b = 3 y 𝑐 = 2. Por lo tanto
𝑥 =
−3 ± 32 − 4(1)(2)
2(1)
52. 8
Solución de una ecuación cuadrática de una
variable
𝑥 =
−3 ± 32 − 4(1)(2)
2(1)
𝑥 =
−3 ± 9 − 8
2
La primera solución es 𝑥 =
−3+1
2
=
−2
2
= −1
La segunda solución es 𝑥 =
−3−1
2
=
−4
2
= −2
53. 8
Plantea la ecuación correspondiente al horario de
Janeth . Después halla la solución.
“Un número debes encontrar… A su cuadrado su
doble y su triple debes restar. A este resultado un
seis debes adicionar como resultado un cero
obtendrás.”
2 minutos
Actividad 6
54. 8
“Un número debes encontrar… A su cuadrado su
doble y su triple debes restar. A este resultado un
seis debes adicionar como resultado un cero
obtendrás.”
𝑥2 − 2𝑥 − 3𝑥 + 6 = 0
Actividad 6
55. 8
Formen grupos de tres personas.
Miren atentamente la consulta de otro cliente
de Diocelina: Marcos.
Cada integrante del grupo ayudará a Marcos a
resolver una de las tres preguntas que tiene.
Veamos el video.
Actividad Grupal
56. 8
Formen grupos de tres personas.
Primer problema: ¿Cuánto dinero le
corresponde a cada uno?
“A Marta le corresponde el doble que a
Fermín… a Marcos le corresponden 2000 más
que a Marta.”
“lo importante es que reunimos 54000
pesitos para la comida”
Actividad Grupal
57. 8
Formen grupos de tres personas.
Primer problema: ¿Cuánto dinero le corresponde a
cada uno?
Actividad Grupal
58. 8
Segundo problema: ¿Cuánta comida deben llevar?
“Nosotros habíamos pensado en latas de atún,
algo de pan, algo de tomar como botellas de agua,
de gaseosa y de jugo. Ahhh y también habíamos
pensado en llevar galletas y dulces, para ponerle
sabor a la vida.”
“Se deben llevar sólo 20 elementos. Se llevan
tantos panes como galletas. Una lata de atún se
come bien con dos panes. Y un par de dulces cada
uno se puede comer.”
Actividad Grupal
60. 8
Segundo problema: ¿Cómo son los manteles que deben
llevar?
“Si el mantel es rectangular, el alto cinco unidades menos
que el ancho tendrá. Si el mantel es triangular, la altura y la
base 9,3 metros deben sumar. Si un trapecio es el mantel,
tres magnitudes vas a tener. La base mayor tu parámetro
será y la base menor tres quintos de ella medirá, la altura
tendrá sólo un cuarto de la base mayor del trapecio que
usarás.”
“El área que tenemos para hacer el picnic es de 20 metros
cuadrados.”
Actividad Grupal
