Los números enteros

LOS NÚMEROS ENTEROS

LOS NÚMEROS ENTEROSINTRODUCCIÓN¿QUÉ ES UN NÚMERO ENTERO?PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROSREPRESENTACIÓNOPERACIONES: SUMA DE NÚMEROSENTEROSPROPIEDADESSUMAS CONSIGNOS DE AGRUPACIÓN EJERCICIOSMULTIPLICACIÓN PROPIEDADES LA DIVISIÓNPOTENCIACIÓN EJERCICIOS 2

INTRODUCCIÓNEn algún momento los números naturales no sirvieron para el cálculo dealgunas situaciones, por ejemplo: quedar debiendo 5.000 euros o hastamillones o tan pocos como 5, o medir la temperaturas bajo cero, fue poreso que nacieron los números enteros, los cuales son unageneralización del conjunto de los números naturales, que incluyenúmeros negativos.A continuación se presentará una breve explicación de la necesidad deotro conjunto numérico, los números enteros, el por qué aparecieron. Sedefinirá el conjunto de los números enteros y también se presentaránuna serie de situaciones de la vida diaria donde están presentes losnúmeros enteros. Luego conoceremos como representarlos en unalínea recta, como ordenarlos de mayor a menor o de menor a mayor.También conoceremos el valor absoluto de un número entero y ademáslas cuatro operaciones básicas, adición, sustracción, multiplicación ydivisión. Para luego presentar actividades donde aplicar lo aprendido. 3

¿POR QUÉ HA SURGIDO EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROSENTEROS?Los griegos utilizaron reglas parecidas a las que usamos actualmentepara realizar operaciones aritméticas con magnitudes negativas en susdemostraciones geométricas. Sin embargo, corresponde a los hindúes elmérito de transformar esas pautas en reglas numéricas aplicables a losnúmeros positivos, negativos y cero, hacia el año 650 d. C.Los árabes no usaron los números negativos y los consideraban comorestas indicadas. A partir del siglo XV, algunos matemáticos muyconocidos comenzaron a utilizarlos en sus trabajos. Stifel, popularizó lossignos + y - y llamaba a los números negativos, números absurdos, hastaentonces se utilizaba la palabra latina minus que significa menos, o suabreviatura m. 4

Inicia, entonces, la pregunta cómo solucionar expresiones de la forma X +1 = 0, la que no tiene solución en los naturales, así como otras situacionesde la vida real como, deudas, depresiones en los terrenos, temperaturasbajo cero, lo que tampoco es posible representarlas con tales números. Ej: 5 – 8 = ?Surge así la necesidad de extender el sistema de los números naturales aun nuevo sistema en el que tales ecuaciones y situaciones sea posible.Surge así, un nuevo conjunto que se denomina de los números enteros yque se simboliza por la letra ZSTIFEL: Michael Stifel (Esslingen, Alemania 1487 - Jena, Alemania 19 de abril de 1567) fue unmatemático alemán que descubrió los logaritmos e inventó una primigenia forma de tablas logarítmicasantes que John Napier. Su trabajo más importante es Arithmetica integra, publicado en 1544. Contieneimportantes innovaciones en anotación matemática, entre ellas el primer uso de multiplicación por layuxtaposición (sin el símbolo entre las condiciones) en Europa. También fue el primero en usar el término“exponente”, así como exponentes negativos (aunque estos últimos no los consideraba correctos) Volver 5

Y … ¿Qué es un número entero?Ahora, ya conoces bien el sistema de los números naturales, que denotamoscon la letra N y en el cual se definen dos operaciones llamadas suma y productocuyas propiedades ya son bien conocidas para todos ustedes. Por lotanto, podemos preguntarnos:¿Qué es un número entero?El conjunto de los números enteros se designa por la letra Z y está compuestopor: Z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5,…}Ejemplos :+ 4, + 2, + 63 serían positivos y – 4, - 2 y – 63 serían negativos.Al conjunto de los números positivos, negativos y el cero se le llamaConjunto de los números enteros y está compuesto por infinitos números{ ........, - 4, -3, - 2, - 1, 0, +1, + 2, + 3, + 4, .....}LOS NÚMEROS ENTEROS, se representan con la letra Z Volver 6

PROPIEDADES1.Todo número natural es entero, esto quiere decir que el conjunto de los númerosnaturales está contenido en el de los enteros. z … -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … N2. El conjunto de los números enteros no tiene primer elemento, es decir todonúmero entero tiene anterior.3.Todo número entero tiene siguiente.4. Todo número entero es menor que su siguiente y mayor que su anterior; es decirel conjunto de los números enteros está ordenado. Sigue 7

5. Se llama valor absoluto de un número, y se designa por | |, a dicho número sieste es positivo y a su opuesto si este es negativo. (El valor absoluto de unnúmero entero es el número natural que resulta al prescindir del signo)Ejemplo:|+4|= |-4|= 4|-5| = |+5| = 5 Volver 8

Los números enteros se pueden representar sobre una recta en la que situamos elcero, los números negativos a su izquierda y los positivos a su derecha. -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7Los números enteros crecen en valor según nos movemos de izquierda a derecha en larecta numérica Crecen en este sentido -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 Volver 9

SUMA DE NÚMEROS ENTEROSPara sumar dos números enteros hay que distinguir dos casos:1º Si tienen el mismo signo: Se suman los valores absolutos de los números yal resultado se le pone el mismo signo que llevasen los números.EJEMPLOS:a) Sumar 52+34Sabemos que 52 = 52 y │34│= 34, y que el signo de los sumandos esigual (+). Luego, 52 + 34 = +86 = 86.b) Sumar ─138 + (─25)Sabemos que │─138│= 138 y │─25│= 25. por lo cual, la suma de susvalores absolutos es 138 + 25 = 163.Como los sumandos tienen igual signo (─), entonces ─138 + (─25) = ─163es la solución. Sigue 10

2º Si tienen distinto signo: Se restan los valores absolutos de los números y alresultado se le pone el signo del número que tuviese mayor valor absoluto.EJEMPLOS:Sumar: 5 + (- 8) = - 3 y (- 5) + 8 = + 3En conclusión lo que se debe hacer es lo siguiente: Cuando vamos a sumardos números enteros con diferente signo, realizamos una resta del número mayormenos el número menor y el signo del resultado es el mismo signo que tiene elnúmero mayor. Usted puede apreciar este hecho en los ejemplos anteriores Volver 11

PROPIEDADES DE LA SUMA:La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:1.CLAUSURATIVA: Si a y b  Z, entonces: a + b  ZLa suma de dos números enteros es otro número enteroEJEMPLO: 2 + 3 = 5; 2  Z, 3  Z entonces la suma que esigual a 5  a Z2. CONMUTATIVA: Sí a y b  Z, entonces: a + b = b + aSi se invierte el orden de los sumandos el resultado no sealtera.EJEMPLO: 3 + 4 = 7 y 4 + 3 = 7 Sigue 12

3. ASOCIATIVA: Sí a, b, c  Z, entonces: (a + b) + c = a + (b + c)El resultado de sumar más de dos números enteros no dependen de laforma como se asocian.EJEMPLO:5 + 4 + 6 = 11, aplicando la propiedad asociativa: 5 + (4 + 6) = (5 + 4) + 6 = 114. MODULATIVA: Sí a  Z, entonces: a+ 0 = 0 + a = aAl sumar un entero con el cero, el resultado es el entero sumando.El “0” es el elemento neutro de la suma.EJEMPLO: 4 + 0 = 4 y 0 + 4 = 4EXISTENCIA DEL INVERSO ADITIVO: Si a  Z, entonces: a + (-a) = 0Todo numero entero sumado con su opuesto da como resultado cero.EJEMPLO: 4 + ( -4) = 0; 67 + ( -67) = 0; 23 + (-23) = 0 Volver 13

SUMAS CON SIGNOS DE AGRUPACIÓNLos signos de agrupación más utilizados son:Las llaves: { }Los corchetes: [ ]Los paréntesis: ( )• Cuando en una operación existen estos signos, deben tenerse en cuenta ciertasreglas para poder resolver la operación indicada:1.Si en una expresión hay paréntesis y corchetes el orden de las operaciones debeser como sigue: • Se efectúan las operaciones que hay dentro de los paréntesis, si el paréntesis no lleva nada delante o lleva un signo + se escribe el mismo resultado; si el paréntesis lleva delante un signo – se escribe el resultado opuesto.  Sigue 14

2. Se efectúan las operaciones que hay dentro de los corchetes, si el corchete nolleva nada delante o lleva un signo + se escribe el mismo resultado; si el corchetelleva delante un signo – se escribe el resultadoopuesto.Los números enteros positivos se pueden escribir sin el signo + adelante, es decir+5 y 5 es lo mismo.EJEMPLO: Realizar las siguientes operaciones: 5 – [2 – (3 – 9) + (2 – 3)] 5 – [2 – (3 – 9) + (2 – 3)] -15 – [2 +6 – 1] 75- 7 -2 Volver 15

EJERCICIOS PARA EVALUAR LAS COMPETENCIAS ( SUMAS Y RESTASCON NÚMEROS ENTEROS)Con los siguientes ejercicios evaluarás las competencias adquiridas en eleje temático de los números enteros, practicarás cada una de losconceptos estudiados para las operaciones de suma y resta.Realiza las siguientes operaciones, aplicando los conceptos relacionados con los números enteros:Calcula:a) 5 – (6 – 7) + (4 – 9) g) 5 – 12 + (3 – 7) – ( - 3 – 6)b) – [5 + 3 – (6 – 5 + 8)] h) – [(6 – 5) + 8] – [(1+ 3) + 6]c) 9 – (3 – 5) + (6 + 4 – 7) i) – 5 + [3 + (6 – 5) + 8] - 2d) – (4 – 7) – [8 + (9 – 2)]e) – 8 + ( 3 – 5) – (- 3 + 6)f) – [8 - ( 3 – 5)] – (- 3 + 6) Volver 16

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROSPara multiplicar dos números enteros hay que distinguir dos casos:1. Si tienen el mismo signo: Se multiplican los valores absolutos y el resultado será positivo.2. Si tienen distinto signo: Se multiplican los valores absolutos y el resultado será negativo.Regla de los signos: + POR + = + , - POR - = + + POR - = - , - POR + = -EJEMPLO: 3 x 2 = 6; 1 x (- 4) = - 4; ( - 3) x (- 5) = + 15; ( - 2) x 4 = - 8 Volver 17

1. Regla del productoa. El producto de dos números positivos es otro número positivo.b. El producto de dos números negativos es otro positivo.c. El producto de dos números de diferente signo es otro número negativo.2. Asociativa. El agrupamiento de los factores no altera el producto.3. Elemento unidad: el 1 es el elemento neutro o unidad, porque almultiplicar por cualquier número da dicho número.4. Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto5. Elemento absorbente: el “0” es el elemento absorbente de la multiplicación, porque cualquier número multiplicado por “0” es siempre “0”. Ej. 8 x 0 = 06. La propiedad distributiva del producto respecto de la suma: el producto de un número por una suma o diferencia es igual a la suma o diferencia de los productos de dicho número por cada sumando. Ej. 2 x (3 + 4) = 2 x 3 + 2 x 4 = 6 + 8 = 14 Volver 18

POTENCIACIÓNUna potencia es una multiplicación de factores iguales, el factor que serepite se llama base y el número de veces que se repite se llamaexponente, se representa como: a x a x a x a = a4• Para calcular una potencia de base entera hay que tener en cuenta losiguiente:a) Si la base es positiva entonces el resultado siempre es positivob) Si la base es negativa y el exponente es un número par entonces larespuesta es positiva.c) Si la base es negativa y el exponente es un número impar entonces larespuesta es negativa.EJEMPLO: 23 =8; (-3)2 = 9; (-3)3 = -27; 43 = 64 Volver 19

EJERCICIOS:Con los siguientes ejercicios evaluarás las competencias adquiridas en eleje temático de los números enteros, practicarás cada una de losconceptos estudiados para las operaciones de suma y resta.1. Realiza las siguientes operaciones:1) 3 x (2 + 5) + (- 6 x 5 + 2) x (3 – 4) – (6 – 8) =2) 1 – [6 x (2 + 3) – (4 + 1) x 2] x 2 =3) (4 + 7) x (4 + 5) – 8 x (9 – 7) + (–7 – 2) =4) 3 + 2 x 3 x ( - 4 x 2) – ( 6 – 7) – 2 x 4 x (–1) =5) 1 + (3 + 4 x 2 – 6) x 2 – (5 – 7) x 2 =6) 3 – 4 x (2 – 3) x 2 + ( 4 + 3 + 2) x (–1) x 2 =7) 2 – [3 – (2 – 5) x 3 + 2 x (1 – 3) x (–2)] + 5 =8) 4 – 5 x {2 – 3 x [– 4 + 2 x (5 – 4) x (–1)] x (–1)} x (–1) =9) 8 – [4 + (2 – 5) x 2 – 6 x 3 + (6 – 2)] x (–1) + 5 x (–3 – 2) =10) 1 – {2 – [3 x (4 – 5) x 2 – 3] x 2} x (–2) = Volver FIN 20

+ -División de númerosenteros Z Área: Matemática Lic. Sally Romero Gutiérrez Volver

INDICE CONCEPTO LEY DE SIGNOS EJEMPLOS PROPIEDADES AUTOEVALUACIONVolver

CONCEPTO• Es la división inversa de la multiplicación que consiste: “Dados dos números enteros llamados Dividendo y divisor (diferente de cero) Hallar un tercer numero llamado cociente, que multiplicado por el divisor de el dividendo” D ÷d=c

Observación:1. La división de a por b se a÷b ,a: b puede indicar de las a a/b siguientes formas: b2. La división de un Numero = no definido numero por cero no 0 esta definido, por tanto: INDICE

LEY DE SIGNOSAl dividir números enteros delmismo signo, el cocienteobtenido es de signo positivoAl dividir números enteros dedistinto signo, el cocienteobtenido es de signo negativo INDICE

EJEMPLOS• Para demostrar la ley INDICE

PROPIEDADESP. Distributiva P. del Elemento neutro P. del Elemento Absorbente P. de Monotonía INDICE

Propiedad Distributiva• El cociente de dividir una suma indicada de varios números Z entre un divisor diferente de cero es igual a la suma de los cocientes de cada sumando entre el mismo divisor (a+b+c+d) (e) =(a e)+(b e)+(c e)+(d e) a) [( - 24 ) + ( + 18 )]  6 = ( - 24 )  6 + ( + 18 )  6 ( - 6 ) 6 = ( - 4 ) + ( + 3 ) -1 = -1 b) [( + 32 ) + ( + 24 )]  8 = ( + 32 )  8 + ( + 24 )  8 ( + 56 )  8 = ( + 4 ) + ( + 3 ) +7 = +7 propiedades

Propiedad Elemento Neutro• Es el uno como divisor. El cociente de dividir cualquier número entero entre uno es el mismo numero a1=a a) ( - 4 )  ( 1 ) = - 4 b) ( + 12 )  ( 1 ) = + 12 propiedades

Propiedad Elemento absorbente• El cero es absorbente por la izquierda, ya que dividido por cualquier número diferente de cero, siempre da cero. No por la derecha, ya que la división por cero, es imposible. 0a=0 a) 0  ( + 38 ) = 0 b) 0  ( - 95 ) = 0 propiedades

Propiedad de Monotonía Si el dividendo y el divisor de una división exacta se multiplican o dividen por un mismo numero diferente de cero el cociente no varia ac=bca) Si 40  8 = 5 b) Si 40  8 = 5 ===> 40 x 3  8 x 3 ===> (40  4)  (8  4) = 120  24 = 10  2 =5 =5

 Si el dividendo lo multiplicamos o lo dividimos por cualquier numero entero sin alterar el divisor; el cociente quedará multiplicado o dividido por dicho numero entero. a) Si 54  6 = 9 a) Si 54  6 = 9 ===> ( 2 x 54 ) 6 ===> (54  3 ) 6 = 108  6 = 18  6 = 18 =3

 Si el divisor lo multiplicamos o dividimos por un numero diferente de cero, sin alterar el dividendo; el cociente quedará dividido en el primer caso o multiplicado en el segundo caso por el mismo numero entero. a) Si 64  16 = 4 a) Si 64  16 = 4 ===> 64  16 x 2 ===> 64  16  4 = 64  32 = 64  4 =2 = 16  Queda dividido por 2  Queda dividido por 4 propiedades

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