EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS.

1. Expresiones algebraicas MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 4. EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS Cristina García Expresión algebraica es toda combinación de números y letras ligadas por los signos de las operaciones aritméticas: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación. Ejemplos

2. Valor numérico de una expresión MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 4. EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS Cristina García

Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas.
Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras por números dados y hacer las operaciones indicadas en la expresión.

Si a y b son las medidas de los lados de un rectángulo, 2a + 2b es la expresión algebraica que nos da el perímetro del rectángulo.
Su valor numérico para a = 3 y b = 2 nos da el perímetro de un rectángulo de esas dimensiones:
2 . 3 + 2 . 2 = 10

a b

3. Monomios enteros MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 4. EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS Cristina García

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras son la multiplicación y potenciación de exponente natural.
El grado de un monomio respecto a una letra es su exponente.
El grado de un monomio es la suma de sus exponentes.

8x 2 y 5 El grado de este monomio es 2 + 5 = 7 Grado respecto de la letra x Grado respecto de la letra y

4.1 Polinomios enteros MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 4. EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS Cristina García

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de monomios
El grado de un polinomio es el grado mayor de sus monomios.
Cada monomio del polinomio se llama también término del polinomio.
Según su números de términos se clasifican en binomios, trinomios,....

P = 8x 5 – 6x 4 – 3xy + xt – 2 Término Grado del polinomio Término de grado 2 Término independiente o término de grado 0

4.2 Igualdad de polinomios MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 4. EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS Cristina García Dos polinomios son iguales cuando los términos que los forman son iguales ¿Qué valores han de tomar a, b y c para que sean iguales los polinomios b = –5 a = 3

5.1 Suma y diferencia de monomios MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 4. EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS Cristina García 2+1=3 x+2y x 2 x 1 + = x 1 x + 2 y =

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.
La suma o diferencia de varios monomios semejentes es otro monomio semejante.

12x 2 y – 3x 2 y + 6x 2 y = (12 – 3 + 6)x 2 y = 15x 2 y 5x 2 + 7xz = 5x 2 + 7xz 12x 2 y – 3x 2 y + 6x 2 y + 5x 2 + 7xz = 15x 2 y + 5x 2 + 7xz Interpretación de la suma de monomios Semejantes No semejantes

5.2 Suma y diferencia de polinomios MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 4. EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS Cristina García

La suma o diferencia de dos polinomios es otro polinomio formado:

por la suma o diferencia de los términos semejantes de ambos, y
por los términos no semejantes de ambos.

P(x) = x 5 + 2x 4 – 3x 2 + x – 4 Q(x) = 3x 4 – 2 x 3 + 3x 2 + 2x P(x) + Q(x) = P(x) = x 5 + 2x 4 – 3x 2 + x – 4 Q(x) = 3x 4 – 2 x 3 + 3x 2 + 2x P(x) – Q(x) = x 5 + 5x 4 – 2x 3 + 3x – 4 x 5 – x 4 + 2x 3 – 6x 2 – x – 4

6.1 Producto de polinomio por monomio MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 4. EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS Cristina García

El producto de monomios es otro monomio que tiene:

como coeficiente, el producto de los coeficientes.
como parte literal, las letras que aparecen en los monomios con exponente igual a la suma de los exponentes con que figura en los factores.

x 3 . x 5 = x 3 +5 = x 8 5x 2 . 7x 4 = 5 . x 2 . 7 . x 4 = 35 x 6 – 2xy 2 . 5x 2 y 3 . 3xt = (–2 . 5 . 3) (x . x 2 . x) (y 2 . y 3 ) t = – 30x 4 y 5 t El producto de un polinomio por un monomio es otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando el monomio por cada término del polinomio 2xy 2 . (3x – 2y + 4) = (2xy 2 . 3x) + (2xy 2 . (– 2y) + (2xy 2 . 4) = 6x 2 y 2 – 4xy 3 + 8xy 2

6.2 Producto de polinomios MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 4. EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS Cristina García El producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando cada término del primero por cada término del segundo y sumando luego los términos semejantes – 7x 3 + 3x 2 – 0x + 2 2x 2 + 3x – 1 7x 3 – 3x 2 + 0x – 2 – 21x 4 + 9x 3 – 0x 2 + 6x – 14x 5 + 6x 4 + 0x 3 + 4x 2 – 14x 5 –15x 4 +16x 3 + x 2 + 6x – 2

6.3 Interpretación geométrica de productos MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 4. EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS Cristina García

7.1 Igualdades notables. Suma por diferencia MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 4. EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS Cristina García La suma por diferencia de dos monomios es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo a + b a – b – ab – b 2 a 2 + ab a 2 – b 2

(3x + y)(3x – y) = (3x) 2 – (y) 2 = 9x 2 – y 2

(–5x + 2y)(–5x – 2y) = (–5x) 2 – (2y) 2 = 25x 2 – 4y 2

(–5x 2 + 2y 3 )(–5x – 2y) = (–5x 2 ) 2 – (2y 3 ) 2 = 25x 4 – 4y 6

7.2 Igualdades notables. Cuadrado de un binomio MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 4. EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS Cristina García El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo a + b a + b ab + b 2 a 2 + ab a 2 +2ab + b 2 (2x + y) 2 = (2x) 2 + 2 . 2x . y + (y) 2 = 4x 2 +4xy + y 2 (5x – 3t) 2 = (5x + (– 3t)) 2 = (5x) 2 + 2 . 5x . (–3t) + (–3t) 2 = 25x 2 – 30xt + 9t 2 (– 3x + 2z) 2 = (– 3x) 2 + 2 . (–3x) . 2z + (2z) 2 = 9x 2 – 12xz + 4z 2 a – b a – b – ab + b 2 a 2 – ab a 2 – 2ab + b 2

7.3 Interpretación geométrica del cuadrado de un binomio MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 4. EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS Cristina García

7.4 Igualdades notables. Cubo de un binomio MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 4. EXPRESIONES ENTERAS. POLINOMIOS Cristina García El cubo de un binomio es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo más el triple del primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo. a 2 + 2ab + b 2 a + b a 2 b + 2ab 2 + b 3 a 3 + a 2 b + ab 2 a 3 + 3a 2 b +3ab 2 +b 3 (2x + y) 3 = (2x) 3 + 2 . (2x) 2 . y + 2 . 2x . y 2 + (y) 3 = 8x 3 +12x 2 y + 6xy 2 + y 3 (x – 3h 2 ) 3 = (x + (– 3h 2 )) 3 = x 3 + 3 . x 2 . (–3h 2 ) + 3 . x . (–3h 2 ) 2 + (–3h 2 ) 3 = = x 3 – 9x 2 h 2 + 27xh 4 –27h 6