DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES.

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DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES.

  1. 1. 1. División de polinomios por monomios MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández <ul><li>El cociente de dos monomios (si es posible) es igual a otro monomio que tiene: </li></ul><ul><ul><li>como coeficiente , el cociente de los coeficientes;
  2. 2. como parte literal , las letras que aparecen en el dividendo,
  3. 3. cada una con exponente igual a la diferencia del exponente
  4. 4. del dividendo y del divisor. </li></ul></ul>no es un un polinomio El cociente de un polinomio por un monomio (si es posible) es igual a un polinomio cuyos términos son los que se obtienen dividiendo cada término del polinomio por el monomio.
  5. 5. 2.1 División entera de polinomios MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández Dados los polinomios dividendo D(x) y divisor d(x)  0, didivir D(x) entre d(x) es encontrar dos polinomios cociente C(x) y resto R(x) tales que D(x) = d(x) . C(x) + R(x) que se suele esquematizar de la siguiente manera: <ul><li>Si el resto R(x)= 0 la división se llama exacta , y se dice que
  6. 6. el polinomio D(x) es divisible por d(x) o múltiplo de d(x); o que
  7. 7. d(x) es un factor de D(x), o divisor de D(x). </li></ul>D(x) d(x) C(x) R(x)
  8. 8. 2.2 Ejemplo de división entera MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández x 3 3x 5 + 8x 4 – 11x 2 – 3x + 6 – (3x 5 + 2x 4 –4x 3 ) 6x 4 + 4x 3 – 11x 2 – 3x + 6 Primer paso – ( 6x 4 + 4x 3 – 8x 2 ) – 3x 2 – 3x + 6 – x + 2 + 2x 2 – 1 La división entera de polinomios se realiza del mismo modo que la división entera de números naturales. resto – (– 3x 2 – 2x + 4) Se resta (–1) . d cociente Cociente de los términos de mayor grado Cociente de los términos de mayor grado 3x 2 +2x–4 3x 5 + 8x 4 – 11x 2 – 3x + 6 3x 2 +2x–4 x 3 – (3x 5 + 2x 4 –4x 3 ) 6x 4 – 4x 3 – 11x 2 – 3x + 6 Segundo paso 3x 5 + 8x 4 – 11x 2 – 3x + 6 3x 2 +2x–4 x 3 + 2x 2 – (3x 5 + 2x 4 –4x 3 ) 6x 4 – 4x 3 – 11x 2 – 3x + 6 – ( 6x 4 – 4x 3 – 11x 2 ) – 3x 2 – 3x + 6 Tercer paso Se resta x 3 . d Se resta 2x 2 . d Cociente de los términos de mayor grado
  9. 9. 3. División por x-a. Regla de Ruffini MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández Para dividir un polinomio P = 2x 3 – 6x 2 – 4x + 12 entre x – 2 se puede usar el siguiente esquema llamado Regla de Ruffini 2 – 6 – 4 12 2 Se opera: 4 – 2 – 4 – 8 – 16 – 4 Hemos obtenido que: P = 2x 3 – 7x 2 – 4x + 12 = (2x 2 – 2x – 8) (x – 2) + (– 4) r se suma se multiplica por a Coeficientes de P a 2 – 6 – 4 12 2 2
  10. 10. 4.1 Teorema del resto MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández Al dividir P(x) entre x – a obtenemos: Es decir: P(x) = (x – a) C(x) + R Luego P(a) = (a – a) C(a) + R = R El resto de dividir un polinomio P(x) por (x – a) es igual al valor numérico del polinomio P(x) para x = a; es decir R = P(a) El resto de dividir P(x) = 2x 3 – 7x 2 – 4x + 12 entre x – 2 se puede obtener así: P(2) = 2 . 2 3 – 7 . 2 2 – 4 . 2 + 12 = – 4 P(x) x – a C(x) R
  11. 11. 4.2 Teorema del factor MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández Si al dividir P(x) entre x – a obtenemos: Entonces: P(x) = (x – a) C(x) + 0 = (x – a) C(x) que indica que x – a es un factor o divisor del polinomio P(x) Un polinomio P(x) tiene como factor x – a si el valor numérico del polinomio para x = a es 0 Un número a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) para x = a es cero. a es raíz de P(x)  P(a) = 0 Teorema fundamental del álgebra. Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales. P(x) x – a C(x) 0
  12. 12. 5. Raíces de un polinomio. Número de raíces MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández Un número a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) en x=a es cero. O lo que es lo mismo, si al dividir el polinomio P(x) entre x-a la división es exacta, o sea, su resto es cero. a es raíz de P(x) ⇔ P(a) = 0 ⇔ Resto de (P(x):(x-a)) = 0 Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales. Este enunciado es conocido como el Teorema fundamental del álgebra.
  13. 13. 6. Cálculo de las raíces enteras de un polinomio MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández Si un polinomio de coeficientes enteros tiene raíces enteras, éstas son divisores del término independiente. Sea por ejemplo P(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d Si r es una raíz (entera) de P(x) entonces ar 3 +br 2 +cr+d = 0 Entonces: r(ar 2 +br+c) = – d De aquí que se deduce que r divide a d ya que ar 2 +br+c es un número entero. Por tanto las raíces enteras de un polinomio han de ser buscadas entre los divisores del término independiente.
  14. 14. 7.1 Factorización de polinomios MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández <ul><li>Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios,
  15. 15. no constantes, tales que su producto sea el polinomio dado.
  16. 16. Si el polinomio P(x) = a n x n + a n–1 x n–1 + ... + a 1 x + a o ;tiene
  17. 17. n raíces reales r 1 , r 2 , ... , r n se demuestra que la descomposición factorial es:
  18. 18. P(x) = a n (x – r 1 ) (x – r 2 ) ... (x – r n ) </li></ul>Factorizar el polinomio P = x 4 + 3x 3 – x 2 – 3x <ul><li>Se iguala el polinomio a cero: x 4 + 3x 3 – x 2 – 3x = 0 </li></ul><ul><li>Se saca factor común x: x(x 3 + 3x 2 – x – 3) = 0 </li><ul><li>Una raíz es x = 0
  19. 19. Se calculan las raíces de x 3 + 3x 2 – x – 3 = 0 </li><ul><li>Para ello probamos con los divisores positivos y negativos de 3
  20. 20. Obtenemos que 1, –1 y –3 son raíces de x 3 + 3x 2 – x – 3 = 0. </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>Por tanto las raíces de P son: 0, 1, –1 y –3 </li></ul></ul></ul><ul><li>La factorización de P es: (x – 0)(x – 1)(x + 1) (x + 4) = x(x – 1)(x + 1)(x + 4) </li></ul>
  21. 21. 7.2 Interpretación geométrica de la factorización de polinomios MATEMÁTICAS 3 ESO TEMA 5. DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES Javier Fernández

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