HUKUM KEPLER
Mata Kuliah AS - 03
Pelatihan Astronomi
Lembang, 6 September 2004
Kepler lahir 27 -12 - 1571 di Weil der Stadt, Wurttemberg
Meninggal 15 - 11 - 1630 di Regensburg. Beberapa hasil karya:
Pe...
Ketiga hukum Kepler akan diturunkan
secara umum melalui hukum gravitasi
Newton. Dari penurunan tersebut
disadari bahwa ket...
I. Hukum Gerak Dua Benda (Two Body Problem)
Y
Z
X
•(X1,Y1,Z1)
m1
•(X2,Y2,Z2)
m2r
Pada benda 1 bekerja gaya tarik gravitasi...
Enam pers. diferensial gerak (1.2a s/d 1.3c) orde 2, dan bila dapat diselesaikan
menghasilkan
koordinat (X1 ,Y1 ,Z1) dan (...
Tulis X = X2 – X1 ; Y = Y2 – Y1 ; Z = Z2 – Z1
dan M = m1 + m2
Diperoleh dari (I.3a, b, c)
d X
d t
G M
X
r
2
2 3= −
d Y
d t...
Kalikan (I.9a,b,c) masing-masing dengan Z, X dan Y dan dijumlahkan
a1Z + a2X + a3Y = 0 (I.10)
Persamaan bidang datar, orbi...
Integrasikan persamaan dan hasilnya adalah
dengan h tetapan integrasi (I.16)
Definisikan energi potensial gravitasi benda ...
Pilih bidang orbit sebagai bidang (X,Y). Jadi gerak benda hanya ditentukan
oleh persamaan yang mengandung variabel X dan Y...
Pemecahan persamaan differensial (I.28) adalah
dengan ω tetapan integrasi dan nyatakan
(I.30) dalam variabel lama
u H= −c ...
Dalam hal benda pusat; matahari, perifokus (B) menjadi perhelion dan apofokus (A)
menjadi apohelion
Dalam hal bintang gand...
Akibat hukum itu. Bila benda berada di dekat perifokus akan bergerak cepat, sedang
di sekitar apofokus kecepatannya rendah...
Dari (I.32): p
c
=
2
µ
Dan (I.33): e
h c
= +( )1
2
2
1
2
µ
Dan (I.35): p = a(1-e2
)
Didapat a = -µ/h, atau h = -µ/a, maka ...
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Hukum kepler

1,321
-1

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
1,321
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
119
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide
  • Hukum kepler

    1. 1. HUKUM KEPLER Mata Kuliah AS - 03 Pelatihan Astronomi Lembang, 6 September 2004
    2. 2. Kepler lahir 27 -12 - 1571 di Weil der Stadt, Wurttemberg Meninggal 15 - 11 - 1630 di Regensburg. Beberapa hasil karya: Penemuan supernova: 1604 Pembuatan teropong kepler: 1611 Ketiga hukum kepler: 1609, 1619 Pembuatan tabel logaritmik 8 digit u/ tabel astronomi Rudolphine: 1626, lih: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history /Mathema ticians/Kepler.html
    3. 3. Ketiga hukum Kepler akan diturunkan secara umum melalui hukum gravitasi Newton. Dari penurunan tersebut disadari bahwa ketiga hukum kepler adalah manifestasi pergerakan dua benda di bawah gaya sentral ~ 1/r2 , dengan r adalah jarak antara kedua benda yang menghubungkan kedua pusat massa benda yang berupa bola. Anggapan tersebut memenuhi untuk planet-planet di tatasurya.
    4. 4. I. Hukum Gerak Dua Benda (Two Body Problem) Y Z X •(X1,Y1,Z1) m1 •(X2,Y2,Z2) m2r Pada benda 1 bekerja gaya tarik gravitasi sebesar m d r d t G m m r r r1 2 2 1 2 2   = − (I.1) Gaya diurai dalam komponen X, Y, Z m d X d t G m m X X r m d Y d t G m m Y Y r m d Z d t G m m Z Z r 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 = − − = − − = − − (I.2a) (I.2b) (I.2c)     r X X i Y Y j Z Z k= − + − + −( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 Dengan cara sama pada benda 2 bekerja gaya tarik gravitasi sebesar m d X d t G m m X X r m d Y d t G m m Y Y r m d Z d t G m m Z Z r 2 2 2 2 1 2 2 1 3 2 2 2 2 1 2 2 1 3 2 2 2 2 1 2 2 1 3 = − − = − − = − − (I.3a) (I.3b) (I.3c) Koordinat Cartesian
    5. 5. Enam pers. diferensial gerak (1.2a s/d 1.3c) orde 2, dan bila dapat diselesaikan menghasilkan koordinat (X1 ,Y1 ,Z1) dan (X2 ,Y2 ,Z2) sebagai fungsi waktu t. Artinya Letak kedua benda setiap saat dapat diketahui atau ditentukan, d.l.p. Lintasan atau Orbit kedua benda didapat eksak. Enam p.d. orde ke-2 itu mempunyai 12 tetapan integrasi. Harga ke-12 tetapan integrasi dapat ditentukan dari keadaan awal kedua benda, y.i. Enam koordinat kedudukan awal (tiga koordinat X,Y,Z untuk masing-masing benda), dan enam komponen kecepatan awal (tiga komponen kecepatan awal vX ,vY ,vZ untuk masing-masing benda) Tinjau dalam hal benda yang satu dianggap diam dan merupakan pusat koordinat (seperti gerak planet terhadap matahari) – gerak semacam ini disebut gerak bendayang satu relatif terhadap bendayang lain Maka kita hanya perlu 6 tetapan: tiga koordinat kedudukan awal dan tiga komponen kecepatan awal benda yang bergerak
    6. 6. Tulis X = X2 – X1 ; Y = Y2 – Y1 ; Z = Z2 – Z1 dan M = m1 + m2 Diperoleh dari (I.3a, b, c) d X d t G M X r 2 2 3= − d Y d t G M Y r 2 2 3= − d Z d t G M Z r 2 2 3= − (I.4a,b,c) (I.5) (I.6a,b,c) Jadi bendakeduabergerak seperti di tempat bendapertama, adamassayang besarnyasama dengan jumlah massakeduabenda Kalikan (1.6b) dengan X dan (1.6a) dengan Y, perkurangkan dan integrasikan Kalikan (1.6c) dengan Y dan (1.6b) dengan Z, perkurangkan dan integrasikan Kalikan (1.6a) dengan Z dan (1.6c) dengan X, perkurangkan dan integrasikan X d Y d t Y d X d t 2 2 2 2 0− = Y d Z d t Z d Y d t 2 2 2 2 0− = Z d X d t X d Z d t 2 2 2 2 0− = X d Y d t Y d X d t a− = 1 Y d Z d t Z d Y d t a− = 2 Z d X d t X d Z d t a− = 3 (I.9a,b,c)
    7. 7. Kalikan (I.9a,b,c) masing-masing dengan Z, X dan Y dan dijumlahkan a1Z + a2X + a3Y = 0 (I.10) Persamaan bidang datar, orbit benda berada pada bidang datar tetap Kalikan (1.6a) dengan 2(dX/dt) dan (1.6b) dengan 2(dY/dt) dan (1.6c) dengan 2(dZ/dt) dan ketiganya dijumlahkan d d t d X d t d Y d t d Z d t G M r X d X d t Y d Y d t Z d Z d t       +       +             = − + +     2 2 2 3 1 2 (I.12) v d X d t d Y d t d Z d t 2 2 2 2 =       +       +       r X Y Z2 2 2 2 = + + Jarak antara kedua benda r dan kecepatan benda v nyatakan dengan (I.13) (I.14) Dari (I.12), (I.13) dan (I.14) diperoleh d v d t G M r d r d t 2 22= − (I.15)
    8. 8. Integrasikan persamaan dan hasilnya adalah dengan h tetapan integrasi (I.16) Definisikan energi potensial gravitasi benda 2 V = - G m2M / r (I.17) Definisikan energi kinetik benda 2 T = ½ m2v2 (I.18) Persamaan (I.16), (I.17), (I.18) menghasilkan T +V = h’ (I.19) Artinya, energi total benda tetap selama gerak dalam orbitnya v G M r h2 2= − + Akan dicari apa makna matematis dari ketiga Hukum Pergerakan Kepler Hk. Kepler I Orbit planet berupa elips dengan matahari di tiik fokus elips Hk. Kepler II Garis hubung matahari planet dalam selang waktu sama menyapu luas daerah yang sama Hk. Kepler III Kuadrat waktu edar planet mengitari matahari sebanding dengan pangkat tiga setengah sumbu panjang elips
    9. 9. Pilih bidang orbit sebagai bidang (X,Y). Jadi gerak benda hanya ditentukan oleh persamaan yang mengandung variabel X dan Y saja. Jadi hanya persamaan (I.9a) dan (I.16) yang relevan. dengan h tetapan integrasi (I.16)v G M r h2 2= − +X d Y d t Y d X d t a− = 1 d X d t d Y d t G M r h       +       + = 2 2 2 Kita beralih ke tata koordinat Cartesian ke tata koordinat Kutub dengan cara (I.20)X d Y d t Y d X d t c− =(I.21) X = r cos θ ; Y = r sin θ (I.21) dan (I.20) menjadi d r d t r d d t r h       +       = + 2 2 2 2 θ µ r d d t c2 θ = µ = G M (I.26)(I.24)(I.25) Dari (I.24) dan (I.25) diperoleh 1 1 2 04 2 2 2 2 r d r d r c r h cθ µ      + − − = (I.27) Nyatakan u r c = − 1 2 µ d u d u H θ       + = 2 2 2 (I.28) H c h c 2 2 4 2= + µ (I.29)
    10. 10. Pemecahan persamaan differensial (I.28) adalah dengan ω tetapan integrasi dan nyatakan (I.30) dalam variabel lama u H= −c o s ( )θ ω (I.30) u r c = − 1 2 µ Diperoleh r p e p c e h c = + = = + = − 1 1 2 2 2 1 2 c o s ( ) ν µ µ ν θ ω (I.31) (I.33) (I.32) (I.34) Persamaan (I.31) adalah persamaan irisan kerucut. Irisan kerucut dapat: lingkaran, elips, parabola atau hiperbola. Elips adalah sebuah irisan kerucut jadi membuktikan Hk. Kepler I p = parameter kerucut, e = eksentrisitas, ν = anomali benar (lihat gambar)
    11. 11. Dalam hal benda pusat; matahari, perifokus (B) menjadi perhelion dan apofokus (A) menjadi apohelion Dalam hal bintang ganda, benda pusat adalah bintang, kedua titik menjadi periastron dan apoastron Setengah jarak AB: setengah sumbu besar dan ditulis a yang harganya p = a(1-e2 ) (I.35) Titik perifokus dicapai bila ν = 00 atau r=a(1-e), sedang apofokus bila ν = 1800 atau r=a(1+e) Catat: benda pusat m1 di titik fokus orbit Sudut ω kedudukan perifokus terhadap garis acuan tertentu: garis potong bidang orbit dan bidang langit (bidang tegaklurus garis pandang). Bila h < 0 dan e < 1 , orbit berupa elips, h = 0 dan e = 1, orbit berupa parabola, h > 0 dan e > 1, orbit berupa hiperbola. Dari persamaan (I.19) bahwa harga h ditentukan energi total orbit. Perhatikan dari persamaan (I.25) dapat ditulis ½ r2 dθ= ½ c dt (I.36) Ruas kiri adalah luas segitiga yang disapu vektor radius dalam waktu dt. Untuk selang waktu tetap atau sama, ruas kanan akan tetap pula. Ini adalah Hk. Kepler II
    12. 12. Akibat hukum itu. Bila benda berada di dekat perifokus akan bergerak cepat, sedang di sekitar apofokus kecepatannya rendah. Integrasi persamaan (I.36) luas Elips A = 1/2 c Periode P A = π ab = π a2 (1 – e2 )1/2 Jadi cP = 2 π a2 (1 – e2 )1/2 , diperoleh harga c Dengan (I.32), (I.35) dan (I.39) didapat a3 /P2 = µ/4π2 atau (I.26) a3 /P2 = G (m1 + m2) / 4π2 Dalam hal planet mengitari matahari m1 = M0 massa matahari dan m2 massa planet, karena m2 << M0 maka a3 /P2 = GM0 / 4π2 = Konstan Ini membuktikansemua planet harga a3 /P2 merupakan perbandingan yang tetap. Hk. Kepler III Dalam hal orbit lingkaran dengan jari-jari a, maka e = 0, maka v = 2πa/P didapat v2 = GM0 /a (I.37) (I.38) (I.39) Latihan: Perlihatkan dengan menuliskan (I.32), (I.33) dan (I.35) diperoleh (I.16); v G M r a 2 2 1 = − −( )
    13. 13. Dari (I.32): p c = 2 µ Dan (I.33): e h c = +( )1 2 2 1 2 µ Dan (I.35): p = a(1-e2 ) Didapat a = -µ/h, atau h = -µ/a, maka dari (I.16): v G M r h2 2= − + v G M r a 2 2 1 = − −( ) Kecepatan di dalam Orbit Elips Kepler menemukan orbit planet mengitari matahari. Tetapi tidak bisa menjelaskan mengapa planet-planet bisa tetap di dalam orbit. Jawab ada dua faktor yang menyebabkan planet-planet tetap di dalam orbit yakni Inersia dan gravitasi Inersia : kecendrungan obyek tetap bergerak dalam garis lurus atau diam Gravitasi : berupaya menarik agar obyek jatuh bebas ke benda yang menarik.
    1. A particular slide catching your eye?

      Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later.

    ×