Your SlideShare is downloading. ×
Hukum kepler
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Hukum kepler

958

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
958
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
91
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide
  • Transcript

    • 1. HUKUM KEPLER Mata Kuliah AS - 03 Pelatihan Astronomi Lembang, 6 September 2004
    • 2. Kepler lahir 27 -12 - 1571 di Weil der Stadt, Wurttemberg Meninggal 15 - 11 - 1630 di Regensburg. Beberapa hasil karya: Penemuan supernova: 1604 Pembuatan teropong kepler: 1611 Ketiga hukum kepler: 1609, 1619 Pembuatan tabel logaritmik 8 digit u/ tabel astronomi Rudolphine: 1626, lih: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history /Mathema ticians/Kepler.html
    • 3. Ketiga hukum Kepler akan diturunkan secara umum melalui hukum gravitasi Newton. Dari penurunan tersebut disadari bahwa ketiga hukum kepler adalah manifestasi pergerakan dua benda di bawah gaya sentral ~ 1/r2 , dengan r adalah jarak antara kedua benda yang menghubungkan kedua pusat massa benda yang berupa bola. Anggapan tersebut memenuhi untuk planet-planet di tatasurya.
    • 4. I. Hukum Gerak Dua Benda (Two Body Problem) Y Z X •(X1,Y1,Z1) m1 •(X2,Y2,Z2) m2r Pada benda 1 bekerja gaya tarik gravitasi sebesar m d r d t G m m r r r1 2 2 1 2 2   = − (I.1) Gaya diurai dalam komponen X, Y, Z m d X d t G m m X X r m d Y d t G m m Y Y r m d Z d t G m m Z Z r 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 = − − = − − = − − (I.2a) (I.2b) (I.2c)     r X X i Y Y j Z Z k= − + − + −( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 Dengan cara sama pada benda 2 bekerja gaya tarik gravitasi sebesar m d X d t G m m X X r m d Y d t G m m Y Y r m d Z d t G m m Z Z r 2 2 2 2 1 2 2 1 3 2 2 2 2 1 2 2 1 3 2 2 2 2 1 2 2 1 3 = − − = − − = − − (I.3a) (I.3b) (I.3c) Koordinat Cartesian
    • 5. Enam pers. diferensial gerak (1.2a s/d 1.3c) orde 2, dan bila dapat diselesaikan menghasilkan koordinat (X1 ,Y1 ,Z1) dan (X2 ,Y2 ,Z2) sebagai fungsi waktu t. Artinya Letak kedua benda setiap saat dapat diketahui atau ditentukan, d.l.p. Lintasan atau Orbit kedua benda didapat eksak. Enam p.d. orde ke-2 itu mempunyai 12 tetapan integrasi. Harga ke-12 tetapan integrasi dapat ditentukan dari keadaan awal kedua benda, y.i. Enam koordinat kedudukan awal (tiga koordinat X,Y,Z untuk masing-masing benda), dan enam komponen kecepatan awal (tiga komponen kecepatan awal vX ,vY ,vZ untuk masing-masing benda) Tinjau dalam hal benda yang satu dianggap diam dan merupakan pusat koordinat (seperti gerak planet terhadap matahari) – gerak semacam ini disebut gerak bendayang satu relatif terhadap bendayang lain Maka kita hanya perlu 6 tetapan: tiga koordinat kedudukan awal dan tiga komponen kecepatan awal benda yang bergerak
    • 6. Tulis X = X2 – X1 ; Y = Y2 – Y1 ; Z = Z2 – Z1 dan M = m1 + m2 Diperoleh dari (I.3a, b, c) d X d t G M X r 2 2 3= − d Y d t G M Y r 2 2 3= − d Z d t G M Z r 2 2 3= − (I.4a,b,c) (I.5) (I.6a,b,c) Jadi bendakeduabergerak seperti di tempat bendapertama, adamassayang besarnyasama dengan jumlah massakeduabenda Kalikan (1.6b) dengan X dan (1.6a) dengan Y, perkurangkan dan integrasikan Kalikan (1.6c) dengan Y dan (1.6b) dengan Z, perkurangkan dan integrasikan Kalikan (1.6a) dengan Z dan (1.6c) dengan X, perkurangkan dan integrasikan X d Y d t Y d X d t 2 2 2 2 0− = Y d Z d t Z d Y d t 2 2 2 2 0− = Z d X d t X d Z d t 2 2 2 2 0− = X d Y d t Y d X d t a− = 1 Y d Z d t Z d Y d t a− = 2 Z d X d t X d Z d t a− = 3 (I.9a,b,c)
    • 7. Kalikan (I.9a,b,c) masing-masing dengan Z, X dan Y dan dijumlahkan a1Z + a2X + a3Y = 0 (I.10) Persamaan bidang datar, orbit benda berada pada bidang datar tetap Kalikan (1.6a) dengan 2(dX/dt) dan (1.6b) dengan 2(dY/dt) dan (1.6c) dengan 2(dZ/dt) dan ketiganya dijumlahkan d d t d X d t d Y d t d Z d t G M r X d X d t Y d Y d t Z d Z d t       +       +             = − + +     2 2 2 3 1 2 (I.12) v d X d t d Y d t d Z d t 2 2 2 2 =       +       +       r X Y Z2 2 2 2 = + + Jarak antara kedua benda r dan kecepatan benda v nyatakan dengan (I.13) (I.14) Dari (I.12), (I.13) dan (I.14) diperoleh d v d t G M r d r d t 2 22= − (I.15)
    • 8. Integrasikan persamaan dan hasilnya adalah dengan h tetapan integrasi (I.16) Definisikan energi potensial gravitasi benda 2 V = - G m2M / r (I.17) Definisikan energi kinetik benda 2 T = ½ m2v2 (I.18) Persamaan (I.16), (I.17), (I.18) menghasilkan T +V = h’ (I.19) Artinya, energi total benda tetap selama gerak dalam orbitnya v G M r h2 2= − + Akan dicari apa makna matematis dari ketiga Hukum Pergerakan Kepler Hk. Kepler I Orbit planet berupa elips dengan matahari di tiik fokus elips Hk. Kepler II Garis hubung matahari planet dalam selang waktu sama menyapu luas daerah yang sama Hk. Kepler III Kuadrat waktu edar planet mengitari matahari sebanding dengan pangkat tiga setengah sumbu panjang elips
    • 9. Pilih bidang orbit sebagai bidang (X,Y). Jadi gerak benda hanya ditentukan oleh persamaan yang mengandung variabel X dan Y saja. Jadi hanya persamaan (I.9a) dan (I.16) yang relevan. dengan h tetapan integrasi (I.16)v G M r h2 2= − +X d Y d t Y d X d t a− = 1 d X d t d Y d t G M r h       +       + = 2 2 2 Kita beralih ke tata koordinat Cartesian ke tata koordinat Kutub dengan cara (I.20)X d Y d t Y d X d t c− =(I.21) X = r cos θ ; Y = r sin θ (I.21) dan (I.20) menjadi d r d t r d d t r h       +       = + 2 2 2 2 θ µ r d d t c2 θ = µ = G M (I.26)(I.24)(I.25) Dari (I.24) dan (I.25) diperoleh 1 1 2 04 2 2 2 2 r d r d r c r h cθ µ      + − − = (I.27) Nyatakan u r c = − 1 2 µ d u d u H θ       + = 2 2 2 (I.28) H c h c 2 2 4 2= + µ (I.29)
    • 10. Pemecahan persamaan differensial (I.28) adalah dengan ω tetapan integrasi dan nyatakan (I.30) dalam variabel lama u H= −c o s ( )θ ω (I.30) u r c = − 1 2 µ Diperoleh r p e p c e h c = + = = + = − 1 1 2 2 2 1 2 c o s ( ) ν µ µ ν θ ω (I.31) (I.33) (I.32) (I.34) Persamaan (I.31) adalah persamaan irisan kerucut. Irisan kerucut dapat: lingkaran, elips, parabola atau hiperbola. Elips adalah sebuah irisan kerucut jadi membuktikan Hk. Kepler I p = parameter kerucut, e = eksentrisitas, ν = anomali benar (lihat gambar)
    • 11. Dalam hal benda pusat; matahari, perifokus (B) menjadi perhelion dan apofokus (A) menjadi apohelion Dalam hal bintang ganda, benda pusat adalah bintang, kedua titik menjadi periastron dan apoastron Setengah jarak AB: setengah sumbu besar dan ditulis a yang harganya p = a(1-e2 ) (I.35) Titik perifokus dicapai bila ν = 00 atau r=a(1-e), sedang apofokus bila ν = 1800 atau r=a(1+e) Catat: benda pusat m1 di titik fokus orbit Sudut ω kedudukan perifokus terhadap garis acuan tertentu: garis potong bidang orbit dan bidang langit (bidang tegaklurus garis pandang). Bila h < 0 dan e < 1 , orbit berupa elips, h = 0 dan e = 1, orbit berupa parabola, h > 0 dan e > 1, orbit berupa hiperbola. Dari persamaan (I.19) bahwa harga h ditentukan energi total orbit. Perhatikan dari persamaan (I.25) dapat ditulis ½ r2 dθ= ½ c dt (I.36) Ruas kiri adalah luas segitiga yang disapu vektor radius dalam waktu dt. Untuk selang waktu tetap atau sama, ruas kanan akan tetap pula. Ini adalah Hk. Kepler II
    • 12. Akibat hukum itu. Bila benda berada di dekat perifokus akan bergerak cepat, sedang di sekitar apofokus kecepatannya rendah. Integrasi persamaan (I.36) luas Elips A = 1/2 c Periode P A = π ab = π a2 (1 – e2 )1/2 Jadi cP = 2 π a2 (1 – e2 )1/2 , diperoleh harga c Dengan (I.32), (I.35) dan (I.39) didapat a3 /P2 = µ/4π2 atau (I.26) a3 /P2 = G (m1 + m2) / 4π2 Dalam hal planet mengitari matahari m1 = M0 massa matahari dan m2 massa planet, karena m2 << M0 maka a3 /P2 = GM0 / 4π2 = Konstan Ini membuktikansemua planet harga a3 /P2 merupakan perbandingan yang tetap. Hk. Kepler III Dalam hal orbit lingkaran dengan jari-jari a, maka e = 0, maka v = 2πa/P didapat v2 = GM0 /a (I.37) (I.38) (I.39) Latihan: Perlihatkan dengan menuliskan (I.32), (I.33) dan (I.35) diperoleh (I.16); v G M r a 2 2 1 = − −( )
    • 13. Dari (I.32): p c = 2 µ Dan (I.33): e h c = +( )1 2 2 1 2 µ Dan (I.35): p = a(1-e2 ) Didapat a = -µ/h, atau h = -µ/a, maka dari (I.16): v G M r h2 2= − + v G M r a 2 2 1 = − −( ) Kecepatan di dalam Orbit Elips Kepler menemukan orbit planet mengitari matahari. Tetapi tidak bisa menjelaskan mengapa planet-planet bisa tetap di dalam orbit. Jawab ada dua faktor yang menyebabkan planet-planet tetap di dalam orbit yakni Inersia dan gravitasi Inersia : kecendrungan obyek tetap bergerak dalam garis lurus atau diam Gravitasi : berupaya menarik agar obyek jatuh bebas ke benda yang menarik.

    ×