Divisibilidad

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Divisibilidad

  1. 1. DIVISIBILIDAD 1° ESO 2° ESO 3° ESO 4° ESO A 4° ESO B 1 Relación de divisibilidad Relación de divisibilidad m.c.m. de 2 números Enteros Ecuación factorizada de grado n División entera 2 Múltiplos y divisores Múltiplos y divisores M.C.D. de 2 números Enteros Ecuación Pol. Factorizada División de Polinomios 3 Números Primos y Compuestos Números Primos y Compuestos Fracciones Resolución ecuaciones de 1 grado Teorema del Factor 4 Criterios de divisibilidad Criterios de divisibilidad Múltiplo y divisor de 1 polinomio 5 Descomposición en primos Descomposición en primos Descomp. en factores de 1 polinomio 6 m.c.m. m.c.m. Resolución Ec 1° grado 7 M.C.D. M.C.D.
  2. 2. MÍNIMO Reconocer si un número es múltiplo o divisor de otro número dado. Aplicar las propiedades de los múltiplos y divisores para resolver problemas. Utilizar los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 10 y 11 en la resolución de problemas. Distinguir si un número es primo o compuesto. Calcular todos los divisores de un número. Fáctorizar un número. MÁXIMO Hallar el máximo común divisor (M.C.D.) y el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos números, descomponiéndolos en factores primos. Resolver problemas de la vida real en los que aparezcan conceptos de divisibilidad. 1° ESO 1 Relación de divisibilidad 2 Múltiplos y divisores 3 Números Primos y C. 4 Criterios de divisibilidad 5 Descomposi- ción en primos 6 m.c.m. 7 M.C.D. DIVISIBILIDAD
  3. 3. DIVISIBILIDAD 1) LA RELACIÓN DE DIVISIBILIDAD Cuando el cociente entre el mayor numero y el menor es exacto a b 0 c Es división exacta bcabe un numero exacto de veces en a aes divisible entre b ay bestán emparentados por la relación de divisibilidad 1° ESO 1 Relación de divisibilidad 2 Múltiplos y divisores 3 Números Primos y C. 4 Criterios de divisibilidad 5 Descomposi- ción en primos 6 m.c.m. 7 M.C.D.
  4. 4. DIVISIBILIDAD 2) MÚLTIPLOS Y DIVISORES a es múltiplo de b o que es igual si la división a : b es exacta b es divisor de a Los múltiplos de un número a se obtienen al multiplicar a por cuanquier otro número natural k. Los divisores de un número a se obtienen buscando las divisiones exactas Múltiplos Divisores 1° ESO 1 Relación de divisibilidad 2 Múltiplos y divisores 3 Números Primos y C. 4 Criterios de divisibilidad 5 Descomposi- ción en primos 6 m.c.m. 7 M.C.D.
  5. 5. DIVISIBILIDAD1° ESO 1 Relación de divisibilidad 2 Múltiplos y divisores 3 Números Primos y Compuestos 4 Criterios de divisibilidad 5 Descomposi- cion en primos 6 m.c.m. 7 M.C.D. Los números que se pueden descomponer en factores se llaman NÚMEROS COMPUESTOS. Los números que no se pueden descomponer en factores se llaman NÚMEROS PRIMOS. Un numero primo solo tiene dos divisores: el mismo y la unidad. 1 x 12 2 x 6 3 x 4 Ejemplo: Nota: se trabaja con números de hasta cuatro cifras.
  6. 6. DIVISIBILIDAD1° ESO 1 Relación de divisibilidad 2 Múltiplos y divisores 3 Numeros Primos y C. 4 Criterios de divisibilidad 5 Descomposi- ción en primos 6 m.c.m. 7 M.C.D. MULTIPLO DE 2: Un número es múltiplo de 2 si termina en cifra par: 0,2,4,6,8. MULTIPLO DE 3: Un número es múltiplo de 3 si las suma de sus cifras es múltiplo de 3. MULTIPLO DE 5: Un número es múltiplo de 5 si termina por 0 o 5. MULKTIPLO DE 10: Un número es múltiplo de 10 si termina por la cifra 0. Nota: se trabaja con números de hasta cuatro cifras. Ejemplo: Busca entre estos números los múltiplos de 2, los de 3, los de 5, los de 7, los de 13. 104, 130, 140, 119, 143, 182 186, 147, 200, 255, 245, 203 4. CRITERIO DE DIVISIBILIDAD
  7. 7. DIVISIBILIDAD1° ESO 1 Relación de divisibilidad 2 Múltiplos y divisores 3 Números Primos y C. 4 Criterios de divisibilidad 5 Descomposi ción en primos 6 m.c.m. 7 M.C.D. Nota: se trabaja con números de hasta cuatro cifras. 5.1 DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS: Los dividimos entre sus divisores primos, entre 2 tantas veces como se puedas, después entre 3, después entre 5, … hasta obtener en el cociente un 1. Ejemplo: Cocientes Factores Parciales Primos 600 300 150 75 25 5 1 2 2 2 3 5 5 600:2 300:2 150:2 75:3 25:5 5:5 600 = 2 ∙ 3 ∙ 5 3 2
  8. 8. DIVISIBILIDAD1° ESO 1 Relación de divisibilidad 2 Múltiplos y divisores 3 Números Primos y C. 4 Criterios de divisibilidad 5 Descomposi ción en primos 6 m.c.m. 7 M.C.D. Nota: se trabaja con números de hasta cuatro cifras. 5.2 MULTIPLOS Y DIVISORES de números descompuestos en factores primos Ejemplo 1: dado un numero descompuesto en factores primos buscar sus múltiplos por 2, 3 y 5 40 ∙ 5 = 200 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5 Los múltiplos de un numero contienen todos los factores primos de ese numero. 40 Ejemplo 2: 40 : 4 = 10 → 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 = 4 ∙ 10 Los divisores de un numero contienen algunos de los factores primos de ese numero.
  9. 9. DIVISIBILIDAD1° ESO 1 Relación de divisibilidad 2 Múltiplos y divisores 3 Números Primos y C. 4 Criterios de divisibilidad 5 Descomposi- ción en primos 6 m.c.m. 7 M.C.D. Nota: se trabaja como mucho con 3 números de hasta 3 cifras. 6. MÚLTIPLOS COMUNES A VARIOS NÚMEROS El menor de los múltiplos comunes de dos o mas números a,b,c …, Se llama mínimo común múltiplo y se espesa m.c.m. (s, b, c, …) Método para el calculo: 1.Se descomponen los numero en factores primos. 2.Se toman todos los factores primos (comunes y no comunes), elevado cada uno al mayor de los exponentes con que aparece. Ejemplo: calculo de m.c.m. (54, 60): 54 27 9 3 1 2 3 3 3 60 30 15 5 1 2 2 3 5 54 = 2 ∙ 33 60 = 2 ∙ 3 ∙ 52 m.c.m. (54, 60) = 2 ∙ 3 ∙ 5 = 5402 3
  10. 10. DIVISIBILIDAD1° ESO 1 Relación de divisibilidad 2 Múltiplos y divisores 3 Números Primos y C. 4 Criterios de divisibilidad 5 Descomposi- ción en primos 6 m.c.m. 7 M.C.D. Nota: se trabaja como mucho con 3 números de hasta 3 cifras. El mayor de los divisores comunes a 2, o mas números, a, b, c, …, se llama MÁXIMO COMÚN DIVISORES y se expresa M.C.D. (a, b, c, …). Calculo de M.C.D.: 1.Se descompones los números en factores primos. 2.Se toman solamente los factores primos comunes, elevado cada uno al menor exponente con el que aparece. Ejemplo: Calculo de M.C.D. (60, 100). 60 30 15 5 1 2 2 3 5 100 50 25 5 1 2 2 5 5 60 = 2 ∙ 3 ∙ 52 100 = 2 ∙ 52 2 M.C.D. (60, 100) = 2 ∙ 5 = 202
  11. 11. DIVISIBILIDAD2° ESO 1 Relación de divisibilidad 2 Múltiplos y divisores 3 Números Primos y C. 4 Criterios de divisibilidad 5 Descomposi- ción en primos 6 m.c.m. 7 M.C.D. OBJETIVOS MÍNIMOS a) Reconocer si un número es múltiplo o divisor de otro. b) Conocer y aplicar los criterios de divisibilidad. c) Aplicar procedimientos óptimos para descomponer un número en factores primos. d) Conocer y aplicar los algoritmos óptimos para calcular el M.C.D. y el m.c.m. de dos o más números. e) Resolver problemas apoyándose en el concepto de m.c.m f) Resolver problemas apoyándose en el concepto de M.C.D.
  12. 12. DIVISIBILIDAD Ej: 390:15 390 15 90 26 0 Es división exacta 390es divisible entre 15 2° ESO 1 Relación de divisibilidad 2 Múltiplos y divisores 3 Números Primos y C. 4 Criterios de divisibilidad 5 Descomposi- ción en primos 6 m.c.m. 7 M.C.D. 1) Decimos que un número b es divisible entre otro a (distinto de cero) si existe un tercer entero c tal que b = a · c
  13. 13. DIVISIBILIDAD 2. MÚLTIPLOS Y DIVISORES: PROPIEDADES 2° ESO 1 Relación de divisibilidad 2 Múltiplos y divisores 3 Números Primos y C. 4 Criterios de divisibilidad 5 Descomposi- ción en primos 6 m.c.m. 7 M.C.D.
  14. 14. DIVISIBILIDAD2° ESO 1 Relación de divisibilidad 2 Múltiplos y divisores 3 Números Primos y Compuesto 4 Criterios de divisibilidad 5 Descomposi- ción en primos 6 m.c.m. 7 M.C.D. Los números que se pueden descomponer en factores se llaman NÚMEROS COMPUESTOS. Los números que no se pueden descomponer en factores se llaman NÚMEROS PRIMOS. Un numero primo solo tiene dos divisores: el mismo y la unidad. Ejemplo:  6: Número compuesto  2: Número primo  3: Número primo
  15. 15. DIVISIBILIDAD2° ESO 1 Relación de divisibilidad 2 Múltiplos y divisores 3 Números Primos y C. 4 Criterios de divisibilidad 5 Descomposi- ción en primos 6 m.c.m. 7 M.C.D. 4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 1) Un número es divisible por 2 si acaba en 0 o en cifra par. 2) Un número es divisible por 3 si lo es la suma de sus cifras. 3) Un número es divisible por 4 si lo es el número formado por sus dos últimas cifras. 4) Un número es divisible por 5 si acaba en 0 o en 5. 5) Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3 al mismo tiempo. 6) Un número es divisible por 8 si lo es el formado por sus tres últimas cifras. 7) Un número es divisible por 9 si lo es la suma de sus cifras. 8) Un número es divisible por 10 si acaba en 0. 9) Un número es divisible por 11 si lo es la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar impar y la suma de las que ocupan lugar par. 10)Un número es divisible por 25 si lo es el formado por sus dos últimas cifras. 11)Un número es divisible por 100, 1000, 10000,... si acaba en 00, 000, 0000,...
  16. 16. DIVISIBILIDAD2° ESO 1 Relación de divisibilidad 2 Múltiplos y divisores 3 Números Primos y C. 4 Criterios de divisibilidad 5 Descomposi ción en primos 6 m.c.m. 7 M.C.D. 5.1 DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS: Los dividimos entre sus divisores primos, entre 2 tantas veces como se puedas, después entre 3, después entre 5, … hasta obtener en el cociente un 1. Ejemplo: Cocientes Factores Parciales Primos 600 300 150 75 25 5 1 2 2 2 3 5 5 600:2 300:2 150:2 75:3 25:5 5:5 600 = 2 ∙ 3 ∙ 5 3 2
  17. 17. DIVISIBILIDAD2° ESO 1 Relación de divisibilidad 2 Múltiplos y divisores 3 Números Primos y C. 4 Criterios de divisibilidad 5 Descomposi ción en primos 6 m.c.m. 7 M.C.D. 5.2 MÚLTIPLOS Y DIVISORES de números descompuestos en factores primos Ejemplo 1: dado un numero descompuesto en factores primos buscar sus múltiplos por 2, 3 y 5 40 ∙ 5 = 200 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5 Los múltiplos de un numero contienen todos los factores primos de ese numero. 40 Los divisores de un numero contienen algunos de los factores primos de ese numero. Ejemplo 2: 40 : 4 = 10 → 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 = 4 ∙ 10
  18. 18. DIVISIBILIDAD2° ESO 1 Relación de divisibilidad 2 Múltiplos y divisores 3 Números Primos y C. 4 Criterios de divisibilidad 5 Descomposi- ción en primos 6 m.c.m. 7 M.C.D. 6. MULTIPLOS COMUNES A VARIOS NUMEROS El menor de los múltiplos comunes de dos o mas números a,b,c …, Se llama mínimo común múltiplo y se espesa m.c.m. (s, b, c, …) Método para el calculo: 1.Se descomponen los numero en factores primos. 2.Se toman todos los factores primos (comunes y no comunes), elevado cada uno al mayor de los exponentes con que aparece. Ejemplo: calculo de m.c.m. (54, 60): 54 27 9 3 1 2 3 3 3 60 30 15 5 1 2 2 3 5 54 = 2 ∙ 33 60 = 2 ∙ 3 ∙ 52 m.c.m. (54, 60) = 2 ∙ 3 ∙ 5 = 5402 3
  19. 19. DIVISIBILIDAD2° ESO 1 Relación de divisibilidad 2 Múltiplos y divisores 3 Números Primos y C. 4 Criterios de divisibilidad 5 Descomposi- ción en primos 6 m.c.m. 7 M.C.D. 7. El MAYOR de los divisores comunes a 2, o mas números, a, b, c, …, se llama MÁXIMO COMÚN DIVISOR y se expresa M.C.D. (a, b, c, …). Calculo de M.C.D.: 1.Se descomponen los números en factores primos. 2.Se toman solamente los factores primos comunes, elevado cada uno al menor exponente con el que aparece. Ejemplo: Calculo de M.C.D. (60, 100). 60 30 15 5 1 2 2 3 5 100 50 25 5 1 2 2 5 5 60 = 2 ∙ 3 ∙ 52 100 = 2 ∙ 52 2 M.C.D. (60, 100) = 2 ∙ 5 = 202
  20. 20. DIVISIBILIDAD M.C.D. y m.c.m. de dos números enteros Múltiplos y divisores de un polinomio Descomposiciones en factores de un polinomio Resolución de ecuaciones de primer grado (1 paso: quitar denominadores con el m.c.m.; 2 paso: Eliminar paréntesis; 3 paso transponer términos; 4 paso: reducir términos; 5 términos despeja la incógnita) 3° ESO 1 m.c.m. de 2 números Enteros 2 M.C.D. de 2 números Enteros 3 Fracciones 4 Multiplo y divisore de 1 polinomio 5 Descomp. en factores de 1 polinomio 6 Resolución Ecuación de 1° grado
  21. 21. DIVISIBILIDAD 1. M.C.M. DE 2 NÚMEROS ENTERO: Es igual al de sus valores absolutas. Se obtiene descomponiendo los números en factores primos y multiplicando los factores comunes y no comunes elevados al MAYOR exponente Ejemplo: m.c.m. ( -18, 42 ) = =m.c.m. (| -18 |, | 42 |) = =m.c.m. ( 18, 42 ) = = m.c.m.( 2 ∙ 3 ∙ 3 , 2 ∙ 3 ∙ 7 ) = = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 7 = 126 3° ESO 1 m.c.m. de 2 números Enteros 2 M.C.D. de 2 números Enteros 3 Fracciones 4 Multiplo y divisore de 1 polinomio 5 Descomp. en factores de 1 polinomio 6 Resolución Ecuación de 1° grado
  22. 22. DIVISIBILIDAD3° ESO 1 m.c.m. de 2 números Enteros 2 M.C.D. de 2 números Enteros 3 Fracciones 4 Multiplo y divisore de 1 polinomio 5 Descomp. en factores de 1 polinomio 6 Resolución Ecuación de 1° grado 2. M.C.D. DE 2 NÚMEROS ENTERO: Es igual al de sus valores absolutas. Se obtiene descomponiendo los números en factores primos y multiplicando los factores comunes elevados al MENOR exponente Ejemplo: M.C.D. ( -18, 42 ) = = M.C.D. (| -18 |, | 42 |) = = M.C.D. ( 18, 42 ) = = M.C.D.( 2 ∙ 3 ∙ 3 , 2 ∙ 3 ∙ 7 ) = = 2 ∙ 3 = 6
  23. 23. DIVISIBILIDAD3° ESO 1 m.c.m. de 2 números Enteros 2 M.C.D. de 2 números Enteros 3 Fracciones 4 Multiplo y divisore de 1 polinomio 5 Descomp. en factores de 1 polinomio 6 Resolución Ecuación de 1° grado 3. FRACCIONES: Expresión a/b en la que a y b son números entero. 3.1 REDUCCION A COMUN DENOMINADOR: Se calcula el m.c.m. de los denominadores que será el denominador de las fracciones equivalente. 3.2 SUMAS Y RESTA DE FRACCIÓNES: Se reducen a común denominador y después se suman y se restan 3.3 SIMPLIFICACION DE FRACCIONES: para simplificar las fracciones usamos M.C.D. para obtener una fracción irreducible. Ejemplo: 3 4 2 3 12 10 3 + 12 - 10 15 5 3 15 15 15 15 =5/15=1/3.
  24. 24. DIVISIBILIDAD3° ESO 1 m.c.m. de 2 números Enteros 2 M.C.D. de 2 números Enteros 3 Fracciones 4 Multiplo y divisore de 1 polinomio 5 Descomp. en factores de 1 polinomio 6 Resolución Ecuación de 1° grado 4. MULTIPLO Y DIVISORE DE 1 POLINOMIO: Si tenemos los Polinomio P(x) y Q(x) y los dividimos, obtenemos otros dos polinomios C(x) y R(x), tales que P(x)=Q(x) ∙ C(x) + R(x). Si R(x)=0, la división es exacta y el polinomio P(x) es divisible por Q(x). Ejemplo: ( x3 - 3x2 + 2x ) : x = x2 - 3x + 2 • ( x3 - 3x2 + 2x ) es divisible por x • ( x3 - 3x2 + 2x ) es múltiplo de x • X es divisor de ( x3 - 3x2 + 2x ) Nota: El grado de los monomio son potencias de una cifra.
  25. 25. DIVISIBILIDAD3° ESO 1 m.c.m. de 2 números Enteros 2 M.C.D. de 2 números Enteros 3 Fracciones 4 Multiplo y divisore de 1 polinomio 5 Descompos. en factores 6 Resolución Ecuación de 1° grado 5. DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS: ( a2 - b2 ) = ( a + b )(a - b )
  26. 26. DIVISIBILIDAD3° ESO 1 m.c.m. de 2 números Enteros 2 M.C.D. de 2 números Enteros 3 Fracciones 4 Multiplo y divisore de 1 polinomio 5 Descompos. en factores 6 Resolución Ecuación de 1° grado 6. RESOLUCIÓN ECUACIÓN DE 1° GRADO: 1 paso: quitar denominadores con el m.c.m. 2 paso: Eliminar paréntesis, 3 paso transponer términos. 4 paso: reducir términos 5 paso: despeja la incógnita ( ) 3 82 4 13 + = −− xxx ( ) ( )( ) ( )824133 3 82 12 4 13 12 +=−− + ⋅= −− ⋅ xxx xxx ( ) 328339 328133 +=+− +=+− xxx xxx 332839 −=−− xxx 292 =− x 2 29 −=x
  27. 27. DIVISIBILIDAD4° ESOA 1A División de monomios y de polinomios 2A Fracción irreducible 3A Resolución de ecuaciones de 1 grado 1A. DIVISIÓN DE MONOMIOS: ( ) ( ) nm n m nm x b a bx ax bxax − ==: DIVISIÓN DE POLINOMIOS: ( ) ( ) ( ) ( )xRxCxQxP +⋅= Si R(x)=0 la división es exacta 32 3253 99811476 2 34 23456 +−= +−+ +−++++ xx xxx xxxxxx EJEMPLO:
  28. 28. DIVISIBILIDAD4° ESOA 1A División de monomios y de polinomios 2A Fracción irreducible 3A Resolución de ecuaciones de 1 grado 2A. FRACCIÓN IRREDUCIBLE: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xQ xP xDxQ xDxP xQ xP 1 1 = ⋅ ⋅ = D(x) es el M.C.D. de P(x) y Q(x) por lo tanto obtenemos una Fracción irreducible:
  29. 29. DIVISIBILIDAD 3A. RESOLUCIÓN ECUACIÓN DE 1° GRADO: 1 paso: quitar denominadores con el m.c.m. 2 paso: Eliminar paréntesis, 3 paso transponer términos. 4 paso: reducir términos 5 paso: despeja la incógnita ( ) 3 82 4 13 + = −− xxx ( ) ( )( ) ( )824133 3 82 12 4 13 12 +=−− + ⋅= −− ⋅ xxx xxx ( ) 328339 328133 +=+− +=+− xxx xxx 332839 −=−− xxx 292 =− x 2 29 −=x 4° ESOA 1A Ecuación factorizadas con factores de grado n 2A Ecuación Polifónicas que pueden factorizarse 3A Resolución de ecuaciones de 1 grado
  30. 30. DIVISIBILIDAD4° ESO B 1B División entera 2B División de Polinomios 3B Teorema del Factor 1B. DIVISIÓN ENTERA: En general: Dividendo = Divisor ∙ Cociente + Resto D = d ∙ C + R Si R es cero la división es exacta : • D es divisible por d o múltiplo de d. • d es un factor de D o un divisor de D.
  31. 31. DIVISIBILIDAD4° ESO B 1B División entera 2B División de Polinomios 3B Teorema del Factor 2B. DIVISIÓN DE POLINOMIO: En general: Dividendo = Divisor ∙ Cociente + Resto D (x)= d(x) ∙ C(x) + R(x) Si R(x) es cero la división es exacta : • D(x) es divisible por d(x) o múltiplo de d(x). • d(x) es un factor de D(x) o un divisor de D(x).
  32. 32. DIVISIBILIDAD4° ESO B 1B División entera 2B División de Polinomios 3B Teorema del Factor 3B. TEOREMA DEL FACTOR: P(x) = (x-a)∙C(x) Un polinomio tiene como factor x-a si el valor numérico de dicho polinomio para x=a es cero. EJEMPLO: ( )( )431272 −−=+− xxxx

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