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Quantenphysik

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  • 1. Hallo Ich bin der Carl und werde euch heute irgendwas uber ¨ Quantenphysik erz¨hlen. a
  • 2. ¨Ubersicht ¨ Ubersicht Einleitung Klassische Mechanik Teilchen Wellen Welle-Teilchen-Dualismus Mathematische Grundlagen Hilbert-R¨ume a Operatoren Postulate der Quantenmechanik Der harmonische Oszillator
  • 3. Klassische Mechanik - Teilchen
  • 4. Zeitentwicklung In der klassischen Mechanik werden in der Regel Massepunkte (aka Teilchen) betrachtet.
  • 5. Zeitentwicklung In der klassischen Mechanik werden in der Regel Massepunkte (aka Teilchen) betrachtet. Sind Anfangsposition q i und Anfangsimpuls {pi } aller N Teilchen bekannt, ist dadurch die zeitliche Entwicklung des “Systems” gegeben.
  • 6. Hamiltonfunktion Die Zeitentwicklung l¨sst sich zum Beispiel durch die a Hamilton-Funktion H bestimmen. H pi , q i , t = T + V N pi2 = + V qi , t 2m i=1
  • 7. Bewegungsgleichungen Die Geschwindigkeit des i-ten Teilchens ist dann gegeben durch ∂H qi = ˙ ∂pi Die Impuls¨nderung ist a ∂H pi = − ˙ ∂q i
  • 8. Zusammenfassung In der klassischen Mechanik sind Teilchen Massepunkte und haben zu jedem Zeitpunkt einen eindeutigen Ort und einen eindeutigen Impuls.
  • 9. Klassische Mechanik - Wellen
  • 10. 4π νAν = j c
  • 11. Welle-Teilchen-Dualismus
  • 12. Quantenmechanik - Mathematische Grundlagen
  • 13. In der Quantenmechanik wird der Zustand eines “Teilchens” durcheinen Vektor in einem “Zustandsraum” beschrieben.
  • 14. In der Quantenmechanik wird der Zustand eines “Teilchens” durcheinen Vektor in einem “Zustandsraum” beschrieben.Alle m¨glichen Zust¨nde des Teilchens sind Vektoren in diesem o aRaum.
  • 15. In der Quantenmechanik wird der Zustand eines “Teilchens” durcheinen Vektor in einem “Zustandsraum” beschrieben.Alle m¨glichen Zust¨nde des Teilchens sind Vektoren in diesem o aRaum.Dieser “Zustandsraum” ist ein komplexer Hilbert-Raum.
  • 16. Hilbert-R¨ume a
  • 17. Hilbert-R¨ume sind (vollst¨ndige) Vektorr¨ume mit einem a a aSkalarprodukt
  • 18. Hilbert-R¨ume sind (vollst¨ndige) Vektorr¨ume mit einem a a aSkalarproduktAlso zum Beispiel der R2 : a1 b1 a, b = · = a1 b1 + a2 b2 a2 b2
  • 19. Einschub: Komplexe Zahlen
  • 20. i 2 = −1 z = a + ib z 2 = (a + i b)2 = a2 − b 2 + i 2ab z∗ = a − i bz z ∗ = a2 + b 2 = |z|2 z∗ ≡ z
  • 21. Das Skalarprodukt
  • 22. Das Skalarprodukt Das Skalarprodukt eines komplexen Vektorraums V ist eine Abbildung zweier Vektoren des Vektoraums in die komplexen Zahlen: a, b ∈ C ∀a, b ∈ V
  • 23. Das Skalarprodukt Zus¨tzlich hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften: a a) a, b = b, a
  • 24. Das Skalarprodukt Zus¨tzlich hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften: a a) a, b = b, a b) a, b1 + λ b2 = a, b1 + λ a, b2
  • 25. Das Skalarprodukt Zus¨tzlich hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften: a a) a, b = b, a b) a, b1 + λ b2 = a, b1 + λ a, b2 c) a, a ≥ 0 und a, a = 0 ⇔ a = 0
  • 26. Das Skalarprodukt Zus¨tzlich hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften: a a) a, b = b, a b) a, b1 + λ b2 = a, b1 + λ a, b2 c) a, a ≥ 0 und a, a = 0 ⇔ a = 0 Aus a) und b) folgt: a1 + λ a2 , b = a1 , b + λ a2 , b
  • 27. Das Skalarprodukt Zus¨tzlich hat ein Skalarprodukt die folgenden Eigenschaften: a a) a, b = b, a b) a, b1 + λ b2 = a, b1 + λ a, b2 c) a, a ≥ 0 und a, a = 0 ⇔ a = 0 Aus a) und b) folgt: a1 + λ a2 , b = a1 , b + λ a2 , b Außerdem folgt, dass sich uber das Skalarprodukt der Betrag der ¨ Vektoren (mathematisch: eine Norm) definieren l¨sst: a |a| = a, a
  • 28. Ket-Vektoren In der Physik wird zur Darstellung der Zustandsvektoren im Hilbertraum meist die “Bra-Ket”-Notation verwendet.
  • 29. Ket-Vektoren Ein “Ket”-Vektor ist einfach ein Vektor aus dem “Zustandsraum” H, f¨r den wir uns eine lustige Benennung ausgedacht haben. u
  • 30. Ket-Vektoren Ein “Ket”-Vektor ist einfach ein Vektor aus dem “Zustandsraum” H, f¨r den wir uns eine lustige Benennung ausgedacht haben. u |Ich bin ein Ket-Vektor!
  • 31. Ket-Vektoren Ein “Ket”-Vektor ist einfach ein Vektor aus dem “Zustandsraum” H, f¨r den wir uns eine lustige Benennung ausgedacht haben. u |Ich bin ein Ket-Vektor! |Ich auch!
  • 32. Ket-Vektoren Ein “Ket”-Vektor ist einfach ein Vektor aus dem “Zustandsraum” H, f¨r den wir uns eine lustige Benennung ausgedacht haben. u |Ich bin ein Ket-Vektor! |Ich auch! |Ich beschreibe einen Zustand!
  • 33. Ket-Vektoren Ein “Ket”-Vektor ist einfach ein Vektor aus dem “Zustandsraum” H, f¨r den wir uns eine lustige Benennung ausgedacht haben. u |Ich bin ein Ket-Vektor! |Ich auch! |Ich beschreibe einen Zustand! |Ich bin ein Basis-Vektor!
  • 34. Operatoren Ein (lineare) “Operator” A ist in der Quantenphysik eine Abbildungen, die folgende Eigenschaften erf¨llt: u
  • 35. Operatoren Ein (lineare) “Operator” A ist in der Quantenphysik eine Abbildungen, die folgende Eigenschaften erf¨llt: u a) Aλ |a = λA |a ∀λ ∈ C, |a ∈ H
  • 36. Operatoren Ein (lineare) “Operator” A ist in der Quantenphysik eine Abbildungen, die folgende Eigenschaften erf¨llt: u a) Aλ |a = λA |a ∀λ ∈ C, |a ∈ H b) A (|a + |b ) = A |a + A |b ∀ |a , |b ∈ H
  • 37. Operatoren Ein (lineare) “Operator” A ist in der Quantenphysik eine Abbildungen, die folgende Eigenschaften erf¨llt: u a) Aλ |a = λA |a ∀λ ∈ C, |a ∈ H b) A (|a + |b ) = A |a + A |b ∀ |a , |b ∈ H Zus¨tzlich betrachtet man in der Physik normalerweise Operatoren, a die in den Hilbertraum abbilden: A |a = |A a , |A a ∈ H ∀ |a ∈ H
  • 38. Eigenvektoren Hat ein Operator (vom Nullvektor verschiedene) Vektoren, die er nur um einen Faktor ¨ndert, so nennt man diese Eigenvektoren: a A |Vektor = λ |Vektor
  • 39. Eigenvektoren Hat ein Operator (vom Nullvektor verschiedene) Vektoren, die er nur um einen Faktor ¨ndert, so nennt man diese Eigenvektoren: a A |Vektor = λ |Vektor Den Wert λ bezeichnet man als Eigenwert.
  • 40. Eigenvektoren Hat ein Operator (vom Nullvektor verschiedene) Vektoren, die er nur um einen Faktor ¨ndert, so nennt man diese Eigenvektoren: a A |Vektor = λ |Vektor Den Wert λ bezeichnet man als Eigenwert. Gibt es mehrere linear unabh¨ngige Eigenvektoren mit gleichem a Eigenwert, spricht man von Entartung.
  • 41. Bra-Vektoren Was hat es nun mit dem “Bra” in der Notation auf sich?
  • 42. Bra-Vektoren Was hat es nun mit dem “Bra” in der Notation auf sich? Wir erinnern uns: Der Hilbert-Raum besitzt ein Skalarprodukt. Dieses schreiben wir a, b a, b ∈ H
  • 43. Bra-Vektoren Was hat es nun mit dem “Bra” in der Notation auf sich? Wir erinnern uns: Der Hilbert-Raum besitzt ein Skalarprodukt. Dieses schreiben wir a, b a, b ∈ H In der Bra-Notation schreiben wir das Skalarprodukt nun a|b
  • 44. Bra-Vektoren Was hat es nun mit dem “Bra” in der Notation auf sich? Wir erinnern uns: Der Hilbert-Raum besitzt ein Skalarprodukt. Dieses schreiben wir a, b a, b ∈ H In der Bra-Notation schreiben wir das Skalarprodukt nun a|b Dabei kann man den linken Teil als lineare Abbildung auffassen, die auf den rechten Teil wirkt a| (|b )
  • 45. Bra-Vektoren Was hat es nun mit dem “Bra” in der Notation auf sich? Wir erinnern uns: Der Hilbert-Raum besitzt ein Skalarprodukt. Dieses schreiben wir a, b a, b ∈ H In der Bra-Notation schreiben wir das Skalarprodukt nun a|b Dabei kann man den linken Teil als lineare Abbildung auffassen, die auf den rechten Teil wirkt a| (|b ) Diesen linken Teil bezeichnet man als ”BraVektor, es ist also ein Vektor aus dem Raum der linearen Abbildungen von H. (Also dem Dualraum von H. Die Hilberr¨ume, die in der Physik anwendung finden, sind isometrisch isomorph zu a ihren Dualr¨umen.) a
  • 46. Adjungierte Operatoren Als adjungierten Operator A† zu einem Operator A bezeichnet man einen Operator, f¨r den gilt: u A |φ = |ψ ⇔ φ| A† = ψ| (Der Operator A ”wirkt”nach rechts, A† aber nach links.) Daraus folgt: φ| A |ψ = ψ| A† |φ
  • 47. Operatoren als Ket-Bras Ein Objekt, das ”Ket-Bra”geschrieben wird, ist ein Operator. Beispiel: |1 2| |1 = 2|1 |1 |1 2| |2 = 2|2 |1 Dieser Operator hat also den Eigenvektor |1 zum Eigenwert 2|1 .
  • 48. LUFTHOLPAUSE
  • 49. Nun: Ein einfaches Beispiel: C2 1 |1 ≡ 0 0 |2 ≡ 1
  • 50. Nun: Ein einfaches Beispiel: C2 1 |1 ≡ 0 0 |2 ≡ 1Daraus folgt f¨r die Bra-Vektoren: u 1| ≡ 1 0 2| ≡ 0 1 1 1 1 0 1|1 = 1 0 =1 |1 1| = 1 0 = 0 0 0 0 Matrixprodukt Dyadisches Produkt
  • 51. Analog ist der Operator i |1 2| + 2i |2 1| = 1 0 0 i i 0 1 + 2i 1 0 = =A 0 1 2i 0 2| A |1 = 2| 2i |2 1| A |2 = 1| i |1 ⇒ 2| 2i |2 = 1| A† |2 ⇒ 1| i |1 = 2| A† |1 0 2i ⇒ A† = − = (A∗ )T i 0
  • 52. Postulate der Quantenmechanik
  • 53. 1. Postulat Zu einer festen Zeit t wird der Zustand eines Systems durch einen Ket-Vektor |ψ ∈ H beschrieben.
  • 54. 2. Postulat Zu jeder Messgr¨ße A gibt es einen hermiteschen Operator A, der o in H wirkt.
  • 55. 2. Postulat Zu jeder Messgr¨ße A gibt es einen hermiteschen Operator A, der o in H wirkt. Ein hermitescher Operator ist ein Operator, der gleich seinem adjungierten Operator ist. Insbesonder haben hermitesche Operatoren reelle Eigenwerte.
  • 56. 2. Postulat Zu jeder Messgr¨ße A gibt es einen hermiteschen Operator A, der o in H wirkt. Ein hermitescher Operator ist ein Operator, der gleich seinem adjungierten Operator ist. Insbesonder haben hermitesche Operatoren reelle Eigenwerte. A wird als Observable bezeichnet.
  • 57. 3. Postulat Die einzig m¨glichen Messwerte einer Messung von A ist einer der o Eigenwerte von A.
  • 58. 4. Postulat A sei Obervable mit A |n = an |n , n ∈ N Sind {|n } die normierten Eigenvektoren von A, so bilden sie eine Orthonormalbasis von H. ∞ |n n| = 1 n=1 Befindet sich das System im Zustand |ψ , so ist die Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert an zu messen, gerade P(an ) = | n|ψ |2 f¨r ψ|ψ = 1 u n|ψ wird als Wahrscheinlichkeitsamplitude bezeichnet und ist gerade der Vorfaktor in der Zerlegung von |ψ nach {|n }: ∞ |ψ = n|ψ |n n=1
  • 59. 5. Postulat Wenn eine Messung von A f¨r ein System den Wert an ergibt, so u befindet sich das System unmittelbar nach der Messung im Zustand |n .
  • 60. 6. Postulat Die zeitliche Entwicklung des Zustandes |ψ ist gegeben durch die Schr¨dinger-Gleichung: o d i |ψ(t) = H |ψ(t) dt Dabei ist H (der ”Hamilton-Operator”) die Observable der totalen Energie des Systems.
  • 61. Kompatible Observablen F¨hrt man zun¨chst die Messung A aus und dann die Messung u a von B, so ist das Ergebnis nach den Postulaten ein Eigenwert bm des Operators B. F¨hrt man die Messung andersherum aus, ist das u Ergebnis ein Eigenwert an des Operators A.
  • 62. Kompatible Observablen F¨hrt man zun¨chst die Messung A aus und dann die Messung u a von B, so ist das Ergebnis nach den Postulaten ein Eigenwert bm des Operators B. F¨hrt man die Messung andersherum aus, ist das u Ergebnis ein Eigenwert an des Operators A. Nach beiden Messungen befindet sich das System in einem Eigenzustand von B (|m ) oder von A (|n ). Eine ”gleichzeitige”Messung beider Observablen ist also nur m¨glich, wenn sie den gleichen Satz o {|n, m } von Eigenvektoren besitzen.
  • 63. Kompatible Observablen F¨hrt man zun¨chst die Messung A aus und dann die Messung u a von B, so ist das Ergebnis nach den Postulaten ein Eigenwert bm des Operators B. F¨hrt man die Messung andersherum aus, ist das u Ergebnis ein Eigenwert an des Operators A. Nach beiden Messungen befindet sich das System in einem Eigenzustand von B (|m ) oder von A (|n ). Eine ”gleichzeitige”Messung beider Observablen ist also nur m¨glich, wenn sie den gleichen Satz o {|n, m } von Eigenvektoren besitzen. Dann sind die Observablen vertauschbar: AB |n, m = Abm |n, m = an bm |n, m = Ban |n, m = BA |n, m
  • 64. Kompatible Observablen F¨hrt man zun¨chst die Messung A aus und dann die Messung u a von B, so ist das Ergebnis nach den Postulaten ein Eigenwert bm des Operators B. F¨hrt man die Messung andersherum aus, ist das u Ergebnis ein Eigenwert an des Operators A. Nach beiden Messungen befindet sich das System in einem Eigenzustand von B (|m ) oder von A (|n ). Eine ”gleichzeitige”Messung beider Observablen ist also nur m¨glich, wenn sie den gleichen Satz o {|n, m } von Eigenvektoren besitzen. Dann sind die Observablen vertauschbar: AB |n, m = Abm |n, m = an bm |n, m = Ban |n, m = BA |n, m Man sagt auch sie “kommutieren”. Dies ist genau dann der Fall, wenn das Objekt “Kommutator” verschwindet: [A, B] ≡ AB − BA
  • 65. Der harmonische Oszillator
  • 66. Der harmonische Oszillator Der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators ist gegeben durch: p2 1 H= + mω 2 x 2 2m 2 x: Ortoperator p: Impulsoperator [x, p] = i
  • 67. Der harmonische Oszillator Der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators ist gegeben durch: p2 1 H= + mω 2 x 2 2m 2 x: Ortoperator p: Impulsoperator [x, p] = i Durch Definition der Operatoren 1 mω P= p X = x mω 1 1 a = √ (X + i P) a† = √ (X − i P) 2 2 l¨sst sich der Hamilton-Operator umschreiben zu a ω 2 ω † H= P + X2 = a a + aa† 2 2
  • 68. Der harmonische Oszillator [a, a† ] = 1, also 1 1 H = ω a† a + = ω N+ 2 2
  • 69. Der harmonische Oszillator [a, a† ] = 1, also 1 1 H = ω a† a + = ω N+ 2 2 ¨ Die Eigenzust¨nde {|n } des Anzahl-Operators”N sind algebraisch a bestimmbar. N |n = n |n n ∈ N0 Die Energie-Eigenwerte des Systems sind nun
  • 70. Der harmonische Oszillator [a, a† ] = 1, also 1 1 H = ω a† a + = ω N+ 2 2 ¨ Die Eigenzust¨nde {|n } des Anzahl-Operators”N sind algebraisch a bestimmbar. N |n = n |n n ∈ N0 Die Energie-Eigenwerte des Systems sind nun 1 H |n = ω n + |n 2

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