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2013 iii clase_05

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Incertidumbre de una medida, incertidumbre aleatoria, incertidumbre sistemática, cifras significativas, propagación de la incertidumbre.

Incertidumbre de una medida, incertidumbre aleatoria, incertidumbre sistemática, cifras significativas, propagación de la incertidumbre.

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  • 1. La más fundamental de las cienciasCifras significativas e incertidumbre – Clase 05
  • 2. Cifras significativas e incertidumbre Nuestras mediciones siempre estarán afectadas por incertidumbres de medición, que provienen de las limitaciones impuestas por: • La precisión y exactitud de los instrumentos de medida • La interacción del método de medición con el mesurando • La definición del objeto a medir • La influencia del observador u observadores que realizan la medición2007 - Hugo Vizcarra
  • 3. Cifras significativas e incertidumbre Lo que procuramos en toda medición es conocer las cotas o límites probabilísticos de estas incertidumbres. 𝑥 − ∆𝑥 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥 + ∆𝑥 Buscamos entonces un intervalo donde, con cierta probabilidad, podamos decir que se encuentra el mejor valor de la cantidad física x. Este mejor valor 𝑥 es el valor más representativo de nuestra medición y al semi-ancho ∆𝑥 lo denominamos incertidumbre absoluta. Una forma de expresar la medida es: 𝑥 = 𝑥 ± ∆𝑥2007 - Hugo Vizcarra
  • 4. Cifras significativas e incertidumbre También es posible expresar la incertidumbre en relación al valor más probable, a esto se le conoce como incertidumbre relativa porcentual y se expresa en %. ∆𝑥 𝜀% = ∙ 100% 𝑥 Ejemplos: 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 = 12,5 𝑐𝑚 ± 0,5 𝑐𝑚 = 12,5 𝑐𝑚 ± 4% Masa = 50 𝑔 ± 1 𝑔 = 50 𝑔 ± 2%2010 - Hugo Vizcarra 4
  • 5. Precisión y exactitud La precisión de un instrumento o de un método de medición esta asociada a su sensibilidad (menor variación que puede ser detectada con él) . Un vaso se llena con agua 5 veces y en cada vez se mide su masa con el mismo instrumento: 𝑚1 = 125, 5 𝑔 ± 0,5 𝑔 𝑚2 = 125, 4 𝑔 ± 0,5 𝑔 𝑚3 = 125, 5 𝑔 ± 0,5 𝑔 𝑚4 = 125, 4 𝑔 ± 0,5 𝑔 𝑚5 = 125, 6 𝑔 ± 0,5 𝑔 Poca precisión Se puede decir que el método y/o instrumento es preciso.2010 - Hugo Vizcarra 5
  • 6. Exactitud La exactitud de un instrumento o de un método de medición esta asociada a una buena calibración del mismo. Respecto del ejemplo anterior, si un laboratorio de mucho prestigio nos indica que el vaso con agua mencionado tiene una masa 𝑚 = 120, 5 𝑔 ± 0,5 𝑔. Entonces llegaríamos a la conclusión de que nuestra balanza o método de medición tiene una calibración deficiente. Por lo tanto nuestras medidas son precisas pero poco exactas. Mucha precisión pero poca exactitud2010 - Hugo Vizcarra 6
  • 7. Precisión y exactitud Precisión2007 - Hugo Vizcarra Exactitud
  • 8. Fuentes de incertidumbre Las fuentes de incertidumbre tienen diversos orígenes y pueden clasificarse del siguiente modo: I. Incertidumbre introducida por el instrumento • Incertidumbre de apreciación ap La incertidumbre estará asociada con la mínima variación que podamos resolver con algún método de medición. • Incertidumbre de exactitud exac Representa la incertidumbre absoluta con la que el instrumento en cuestión a ha sido calibrado frente a patrones confiables.2007 - Hugo Vizcarra
  • 9. Fuentes de incertidumbre II. Incertidumbre de interacción int Proviene de la interacción del método de medición con el objeto a medir. III. Falta de definición del objeto sujeto a medición def Proviene del hecho que las cantidades físicas a medir no están medidas con infinita precisión. En general en un experimento dado, todas las fuentes de incertidumbre estarán presentes, de modo que resulta útil definir la incertidumbre nominal de una medición como: 2  ap  def  int  exac  ....... nom 2 2 2 22007 - Hugo Vizcarra
  • 10. Clasificación de la incertidumbreSegún su carácter, las incertidumbres se pueden clasificar ensistemáticos y estadísticos.I. Incertidumbre sistemática Se origina por las imperfecciones de los instrumentos y métodos de medición, y siempre se producen en el mismo sentido.II. Incertidumbre estadística o aleatoria est Son aquellos que se producen al azar, se cometen con igual probabilidad por exceso o por defecto.x  est  2  est  2  2  int  exac  ....... 2 nom 2 ap def 2 2
  • 11. Medición directa Supongamos que deseamos medir la altura de esta imagen con la regla representada.2010 - Hugo Vizcarra 11
  • 12. Medición directa El primer paso es alinear lo mejor posible el cero de la regla con el limite inferior de la imagen, tal 6 como se observa en la figura. 5 4 3 2 1 cm2010 - Hugo Vizcarra 12
  • 13. Medición directa Si ampliamos un poco la zona de medición con una lupa, observamos que no sabemos 6 con precisión cuál es la medida. En todo caso esta se encuentra comprendida entre: 5 4,50 cm ≤ 𝐿 ≤ 4,60 𝑐𝑚 Parece ser 4,55 cm, por lo que la mejor 4 forma de expresar la medida es: 4 LUPA 𝐿 = 4,55 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚2010 - Hugo Vizcarra 13
  • 14. Medición directa Como regla práctica, cada vez que se realiza una medición directa con un instrumento, es conveniente identificar con claridad: Instrumento Regla Cantidad física a medir Longitud Unidad de medida del instrumento cm Sensibilidad o mínima división 0,1 cm Como este instrumento nos brinda la posibilidad de aproximar una cifra a lo largo de la mínima división, la incertidumbre asociada a esta medida es la mitad de la sensibilidad. 0,1 𝑐𝑚 ∆𝐿 = ± = ±0,05 𝑐𝑚 22010 - Hugo Vizcarra 14
  • 15. Medición directa La medida de la altura de la imagen es entonces igual al valor mas probable, generado con las cifras exactas proporcionadas por el instrumento y la aproximada por el que realiza la medida (en este caso 4,55 cm), incluido el intervalo de incertidumbre (en este caso ±0,05 𝑐𝑚). 𝐿 = 4,55 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚 Esta medida tiene tres cifras significativas, notar que el valor mas probable para esta medida y su incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales, no tendría sentido una medida: 𝐿 = 120,321 𝑚 ± 1 𝑚 ya que si la incertidumbre es del orden de 1 m, como podríamos asegurar el valor mas probables hasta las milésimas de metro.2010 - Hugo Vizcarra 15
  • 16. Medición directa Instrumento Regla 6 Cantidad física a medir Longitud 5 Unidad de medida del instrumento cm Sensibilidad o mínima división 0,1 cm 4 Incertidumbre asociada 0,05 cm 3 La medida es: 𝐿 = 4,95 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚 2 Tiene tres cifras significativas 1 cm2007 - Hugo Vizcarra
  • 17. Medición directa Instrumento Regla 6 Cantidad física a medir Longitud Unidad de medida del instrumento cm 5 Sensibilidad o mínima división 0,1 cm Incertidumbre asociada 0,05 cm 4 La medida es: 3 𝐿 = 5,00 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚 Tiene tres cifras significativas 2 Una vez más notar como el valor más probable y la incertidumbre tienen la misma 1 cantidad de decimales. cm2007 - Hugo Vizcarra
  • 18. Medición directa Instrumento Regla Cantidad física a medir Longitud Unidad de medida del instrumento cm Sensibilidad o mínima división 1 cm Incertidumbre asociada 0,5 cm La medida es: 𝐿 = 7,5 𝑐𝑚 ± 0,5 𝑐𝑚 Tiene dos cifras significativas, notar como el valor más probable y la incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales.2007 - Hugo Vizcarra
  • 19. Medición directa ¿Cuál es la medida de α? α2010 - Hugo Vizcarra 19
  • 20. Medición directa Instrumento Transportador Cantidad física a medir Ángulo Unidad de medida del instrumento ° Sensibilidad o mínima división 1° Incertidumbre asociada 0,5° La medida es: 𝛼 = 44,5° ± 0,5° Tiene tres cifras significativas Notar como el valor más probable y la incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales.2010 - Hugo Vizcarra 20
  • 21. Medición directa Una pesa se coloca sobre la balanza digital que se observa en la figura, la balanza registra 19 g. En este caso el instrumento tiene una sensibilidad de 1 g, se observa 19 g lo siguiente que detectaría es 1 g más, además el instrumento no permite aproximar una cifra a lo largo de esta sensibilidad así que en este caso la incertidumbre asociada es ± 1 𝑔.2010 - Hugo Vizcarra 21
  • 22. Medición directa Instrumento Balanza Cantidad física a medir Masa Unidad de medida del instrumento g Sensibilidad o mínima división 1g Incertidumbre asociada 1g La medida es: M= 19 𝑔 ± 1 𝑔 Tiene dos cifras significativas Una vez más notar como el valor más probable y la incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales (cero decimales).2007 - Hugo Vizcarra
  • 23. Medición directa - Incertidumbre aleatoria Supongamos que desea medir el tiempo que le toma a una pequeña canica caer desde 7,00 m de altura. La medida se realiza con un cronómetro con sensibilidad 0,01 s, pero cada vez que se repite la medida, se obtiene un valor diferente, al parecer hay una incertidumbre aleatoria asociada con la medida. Los valores obtenidos son: Altura (m) / ∆𝐡 = ±𝟎, 𝟎𝟓 𝒎 Tiempo (s) / ∆𝒕 = ±𝟎, 𝟎𝟏 𝒔 7,00 1,51 1,32 1,43 1,54 1,392007 - Hugo Vizcarra
  • 24. Medición directa - Incertidumbre aleatoria El tiempo más representativo o más probable es el promedio. 𝑡 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 1,44 𝑠 Para un número de repeticiones pequeño, en este caso son 5, la incertidumbre absoluta se determina según: 𝑡 𝑚𝑎𝑥 − 𝑡 𝑚𝑖𝑛 ∆𝑡 = 2 1,54 𝑠 − 1,32 𝑠 ∆𝑡 = = 0,11 𝑠 22010 - Hugo Vizcarra 24
  • 25. Medición directa - Incertidumbre aleatoria Así, el tiempo que le toma a la canica caer los 7,00 m es: 𝑡 = 1,44 𝑠 ± 0,11 𝑠 Dada la simplicidad de esta determinación, se usa una sola cifra significativa para expresar la incertidumbre. 𝑡 = 1,4 𝑠 ± 0,1 𝑠 Nuevamente notar que el valor más probable y su incertidumbre tiene el mismo número de decimales.2010 - Hugo Vizcarra 25
  • 26. Medición indirecta OPERACIONES CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS Los resultados de cálculos en que intervienen mediciones solamente deben tener números significativos. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Para que el resultado de la adición sólo presente cifras significativas deberás observar qué cantidad tiene el menor número de cifras decimales. Así, en la suma 12,45 cm + 7,3 cm se tienen dos cantidades: la primera con dos decimales y la segunda con uno. El resultado de la adición tendrá el menor número de decimales. Así, la suma será: 12,5 cm + 7,3 cm = 19,8 cm2007 - Hugo Vizcarra
  • 27. Medición indirectaMULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓNVerifica cuál es el factor que tiene el menor número de cifrassignificativas y, en el resultado, se conservará solamente unnúmero de cifras igual al de dicho factor.Así, en el producto 11,2 cm x 6,7 cm se tienen dos cantidades: unacon tres cifras significativas y otra con dos. El resultado deberásescribirlo entonces con dos cifras significativas.11,2 cm x 6,7 cm = 75 cm2
  • 28. Medición indirecta 3 C.S. 3 C.S. a) 12,5 m 7,97 m  99,625 m 2 3 C.S.  99,6 m 2   2 C.S. 2 C.S. b) 2,5 m  2,0 m  5 m 2 3 2 C.S.  5,0 m 22007 - Hugo Vizcarra
  • 29. Medición indirecta 2 C.S. 2 C.S. c) 2,8 N  4,5 m  12,6 Nm 2 C.S.  13 Nm 4 C.S. 120,0 m m d)  8 15,0 s s 3 C.S. 3 C.S. m  8,002007 - Hugo Vizcarra s
  • 30. Medición indirecta  m 2 C.S. 4 C.S.e)  2,8    4000 s   11200 m  s 2 C.S. 1,110 m4 3 C.S. 1, 20 kNd)  0,089 442719 m 150 kPa 3 C.S. 3 C.S.  8,94 102 m
  • 31. Medición indirecta 14,8 m  3,847076812 m 4 2  3,85m 2 3 C.S. 3 C.S. 10,00 s  3,16227766 s  3,162 s 2 4 C.S. 4 C.S. 10,0 m  3,16227766 m  3,16 m 2 3 C.S. 3 C.S.2007 - Hugo Vizcarra
  • 32. Medición indirecta 2 m m m10 2  3,16227766  3,22 C.S. s s s 2 C.S.sen(25,4)  0,428935133  0,429 3 C.S. 3 C.S. 2 C.S. 2 C.S.(0, 25 m) 2 2  0, 049087385 m  4,9 10 m 2 2 4
  • 33. Medición indirecta – propagación de la incertidumbre Cuando dos cantidades medidas, es decir cantidades con incertidumbre, se tienen que sumar, sus incertidumbres se combinan y el resultado es más incierto que los sumandos. A este proceso se le llama propagación de la incertidumbre. En general si operamos con dos cantidades medidas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, etc) la incertidumbre se propaga y el resultado termina con una incertidumbre que depende de las incertidumbres de las cantidades operadas.2007 - Hugo Vizcarra
  • 34. Medición indirecta – propagación de la incertidumbre 1. Cuando dos cantidades físicas se suman o se restan sus incertidumbres absolutas se suman. 𝐴 = 𝑎 ± ∆𝑎 𝐵 = 𝑏 ± ∆𝑏 𝐴 + 𝐵 = 𝑎 + 𝑏 ± ∆𝑎 + ∆𝑏 𝐴 − 𝐵 = 𝑎 − 𝑏 ± ∆𝑎 + ∆𝑏2010 - Hugo Vizcarra 34
  • 35. Medición indirecta – propagación de la incertidumbre 2. Cuando dos cantidades físicas se multiplican o dividen sus incertidumbres relativas porcentuales se suman. ∆𝑎 𝐴= 𝑎± ∙ 100% 𝑎 ∆𝑏 𝐵= 𝑏± ∙ 100% 𝑏 ∆𝑎 ∆𝑏 𝐴∙ 𝐵 = 𝑎∙ 𝑏 ± + ∙ 100% 𝑎 𝑏 𝐴 𝑎 ∆𝑎 ∆𝑏 = ± + ∙ 100% 𝐵 𝑏 𝑎 𝑏2010 - Hugo Vizcarra 35
  • 36. Medición indirecta – propagación de la incertidumbre 2. Cuando una cantidad físicas se eleva a un exponente, su error relativo porcentual se multiplica por el exponente. ∆𝑎 𝐴= 𝑎± ∙ 100% 𝑎 𝑛 𝑛 ∆𝑎 ∆𝑏 𝐴 = 𝑎 ± 𝑛 + ∙ 100% 𝑎 𝑏2010 - Hugo Vizcarra 36
  • 37. Medición indirecta – propagación de la incertidumbre Se mide la base y la altura de un rectángulo: b = 28,45 cm  0,05 cm h = 5,35 cm  0,05 cm Determine el área de este rectángulo. Solución: Área = largo x Ancho A = (28,45 cm  0,05 cm) x (5,35 cm  0,05 cm) Á = 28,45 cm×5,35 cm  28,45 cm×0,05 cm  0,05 cm×5,35 cm  0,05 cm×0,05 cm2007 - Hugo Vizcarra
  • 38. Medición indirecta – propagación de la incertidumbre A = 152,2075 cm2  1,4225 cm2  0,2675 cm2  0,0025 cm2 Como una de las cantidades multiplicadas tienen cuatro y la otra tiene tres cifras significativas, el resultado de la multiplicación debería escribirse con tres cifras. El resto de términos se suman. A = 152 cm2  1,6925 cm2 Finalmente la incertidumbre debe tener solo una cifra significativa, por lo tanto: A = 152 cm2  2 cm22007 - Hugo Vizcarra
  • 39. Medición indirecta – propagación de la incertidumbre Si en vez de hacer toda esta operación, aplicamos la ecuación de propagación del la incertidumbre para el producto, llegaremos al mismo resultado mucho más rápido. 0,05 0,05 𝐴 = 𝑏 × ℎ = 28,45 𝑐𝑚 × 5,35 𝑐𝑚 ± + ∙ 100% 28,45 𝑐𝑚 5,35 𝑐𝑚 A = 152,2075 cm2  1,1 % A = 152,2075 cm2  1,69 cm2 La incertidumbre de la respuesta debe tener solo una cifra, así que: A = 152 cm2  2 cm22007 - Hugo Vizcarra
  • 40. Medición indirecta – propagación de la incertidumbreDados las siguientes cantidades medidas:A = 9,25 s  0,01 sB = 5,50 s  0,01 sCalcule las siguientes operaciones: A+B A–B A×B AB A3
  • 41. Medición indirecta – propagación de la incertidumbre  A + B = (9,25 s + 5,50 s)  (0,01 s + 0,01 s) = 14,75 s  0,02 s  A – B = (9,25 s - 5,50 s)  (0,01 s + 0,01 s) = 3,75 s  0,02 s 0,01 0,01  A×B = (9,25 s × 5,50 s)  ( + ) ∙ 100% 9,25 5,50 A×B = 50,875 s2  0,290% = 50,875 s2  0,1475 s2 A×B = 50, 9 s2  0,1 s22007 - Hugo Vizcarra
  • 42. Medición indirecta – propagación de la incertidumbre 0,01 0,01  A  B = (9,25 s  5,50 s)  ( + ) ∙ 100% 9,25 5,50 A  B = 1,681818  0,290% = 1,681818  0,004876 A  B = 1,682  0,005 En este caso se ha agregado una cifra significativa ya que la incertidumbre no puede ser cero. 0,01  A3 = (9,25 s)3 3 ( ) ∙ 100% 9,25 A3 = 791,453125 s3  2,566875 s3 A3 = 791 s3  3 s32007 - Hugo Vizcarra
  • 43. Bibliografía  Este material tiene fines enteramente educativos  Las imágenes de las diapositivas 1, 5, 6, 11, 12, 13, 16, 17, 18, 19 y 21 son tomadas de Internet.  Las reglas en las figuras de las páginas 11, 12, 13, 16 y 17 han sido dibujadas por mi.  La imagen de las diapositivas 7 es mi dibujo.  Física re-creativa (Experimentos de física usando nuevas tecnologías) de Salvador Gil/Eduardo Rodríguez  El método científico aplicado a las ciencias experimentales de Héctor G. Riveros y Lucia Rosas.  Física Universitaria de Sears Zemansky2010 - Hugo Vizcarra 43