Bdt tich phan-npk

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Bdt tich phan-npk

  1. 1. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 1 Chöùng minh raèng : 3 4 4 3 4 1 2 2 60 1 1. dx 3 2 sin x 2 3 cotg 1 2. dx 12 x 3 1 1 3. dx 2 61 x ππππ ππππ ππππ ππππ π ππ ππ ππ π −−−− ππππ −−−− ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ 4 1 0 2 5 4 3 1 4. ln2 dx 41 x x 1 5. dx x x 1 8 x 6. dx 18 x x x 3 9 3 ππππ < << << << < ++++ ππππ + ++ ++ ++ + π ππ ππ ππ π + + ++ + ++ + ++ + + ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ 1 0 1 0 Baøi giaûi : 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 1. x sinx 1 sin x 1 1 2 sin x 2 1 3 2 sin x 2 1 4 4 2 2 3 2 sin x2 1 1 1 dx dx dx dx 2 3 2 sin x 4 3 2 sin x 2 π π π ππ π π ππ π π ππ π π π π π π ππ π π ππ π π ππ π π π π ππ ππ ππ π −−−− −−−− π ππ ππ ππ π − −− −− −− −∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 3 3 3 4 4 4 3 4 cotgx 1 3 cotgx 4 3 cotgx 4 2. x dx dx dx 4 x x3 1 4 x 3 cotgx 1 dx 12 x 3 π π ππ π ππ π ππ π π π π ππ π ππ π ππ π π ππππ ππππ  π ππ ππ ππ π   π π π ππ π π ππ π π ππ π π π  π ππ ππ ππ π ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫ 1 3 ⇒ ⇒ ⇒ 3 ⇒ Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm. 1 1 2 2 6 2 2 6 2 6 2 6 6 2 60 1 3. 0 x 1 0 x .... x 1 1 x x 0 0 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 2 1 1 1 1 dx dx 1 x 1 x 1 x I < < − − − − − − −< < − − − − − − −< < − − − − − − −< < − − − − − − − − − −− − −− − −− − − ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫0 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Vôùi 1 2 20 1 I = dx 1- x ∫ Ñaët x sint ; t ; dx costdt 2 2 π ππ ππ ππ π     = − == − == − == − =          ⇒∈ 1 1 2 2 20 0 1x 0 costdt2 I dt 6t 0 1 sin t6 ππππ = = == = == = == = = ππππ −−−− ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫⇒ Vaäy 1 2 60 1 1 dx 2 61 x ππππ −−−− ∫∫∫∫ 2 2 4. 0 x 1 x x 1 x x x x 1 x 1 x x 1 x+ + ++ + ++ + ++ + +⇒ ⇒ ⇒ (((( )))) [[[[ ]]]]2 1 1 1 1 ; x 0,1 x 1 1 x1 x x+ ++ ++ ++ +++++ ⇒ ∀ ∈ Daáu ñaúng thöùc trong (1) xaûy ra khi : x = 0 x = 1    (1) (1) (1) (1) VT VG x VG VP ∅∅∅∅⇒ ∈ Do ñoù : 1 1 1 1 20 0 0 0 1 1 dx 1 dx dx ln2 dx 1 x x 1 41 x x 1 x x ππππ < < < << < < << < < << < < < + ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ + ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫⇒ Chuù yù : 1 20 1 dx 1 x 4 ππππ ==== ++++∫∫∫∫ Xem baøi taäp 5 .
  2. 2. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 20 0 0 1 1 5. 0 1 2 2 2 2 2( 1) 1 1 1 1 ; 2 2 1 1 + + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + + + + ++ + ++ + ++ + + ==== + + + ++ + + ++ + + ++ + + +∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ x x x x x x x x x x x x x dx dx I dx x x x x Ñaët x tgt dx dt ( tg t)dt cos t = = = += = = += = = += = = + 2 2 1 1⇒ π ππ ππ ππ π+ π π+ π π+ π π+ π π = = = == = = == = = == = = = ππππ ++++∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ 4 4 2 20 0 0 1 1 1 4 40 4 ⇒ ⇒ x tg t I dt dt I tg tt Vaäy ππππ + ++ ++ ++ +∫∫∫∫ 1 20 1 2 8 dx x x (((( )))) 5 3 5 4 3 3 5 4 3 3 4 3 3 5 4 3 3 3 5 4 3 3 3 5 4 3 3 1 1 1 3 30 0 6. 0 1 0 2 3 3 3 3 0 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 1 3 3 3 3 1 ; Ñaët 3 3 3 1  + + + + + ++ + + + + ++ + + + + ++ + + + + +  + + + + + + + + + ++ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + ++ + + + + + + + + + + + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + + = = == = == = == = = + ++ ++ ++ + ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫° 1 1 1 0 0 0 0 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x dx dx dx x x x x x x x I dx dx x x x 2 0 1 ;( 0) 2 0 ====⇒ 1 x t t dx tdt t 2 1 1 1 6 3 20 0 1 2 2 3 . 3 1 9 ( ) 1 = == == == = + ++ ++ ++ +∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ t t dt I dt t t Ñaët = == == == =3 2 0 1 3 0 1 ⇒ t u t du t dt u ππππ = == == == = ++++∫∫∫∫ 1 1 20 2 9 1 18 ⇒ du I u Keát quaû : ππππ ==== 4 I (baøi taäp 5) ππππ = == == == = ++++∫∫∫∫ 1 2 30 ° 3 9 3 x I x (töông töï) Vaäy ( ) + + ++ + ++ + ++ + +∫∫∫∫ 1 1 25 4 30 1 3 ⇔ x I dx I x x x π ππ ππ ππ π + + ++ + ++ + ++ + +∫∫∫∫ 5 4 3 18 3 9 3 1 0 x dx x x x 1,Chöùng minh raèng : (((( ))))(((( )))) 2 4 40 121 1+ ++ ++ ++ + ∫∫∫∫ sin .cos sin cos x x dx x x ππππ ππππ 2.Neáu : (((( ))))      = >= >= >= >           ∫∫∫∫ 4 0 0 , 0 , ; cos2 4 ∀ ∈t tg x I dx t x t ππππ thì : (((( ))))2 3 3 3 4 ++++     + >+ >+ >+ >          tg t tgt tg t e ππππ Baøi giaûi : 1. Ta coù cos x sin x sin x cos x : ( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x) + + + ++ + + ++ + + ++ + + + ==== + + + + + ++ + + + + ++ + + + + ++ + + + + + 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 3 2 2 1 1 1 1 1 1 sin cos ( sin )( cos ) ( sin )( cos ) sin cos + + ++ + ++ + ++ + + = += += += + + + + + + ++ + + + + ++ + + + + ++ + + + + + 4 4 4 4 4 4 4 4 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇒ x x x x x x x x
  3. 3. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 3 sin .cos sin .cos sin .cos sin .cos sin sin ( sin )( cos ) sin cos ( sin )( cos ) sin cos sin .cos sin sin ( sin )( cos ) sin cos π ππ ππ ππ π      + ++ ++ ++ +     + + + + + + + ++ + + + + + + ++ + + + + + + ++ + + + + + + +          +++++ + + ++ + + ++ + + ++ + + + ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ 2 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 40 0 3 1 2 2 1 1 1 1 1 1 6 1 1 3 1 2 2 1 1 6 1 1 ⇒ ⇒ ⇒ x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x dx dx dx x x x x sin Ñaët sin sin sin ππππ ππππ   = = == = == = == = = ++++ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫ 2 2 0 2 1 40 2 ° 2 1 ⇒ x J dx t x dt xdx x ππππ ππππ ⇒ = =⇒ = =⇒ = =⇒ = = ++++∫∫∫∫ 1 1 20 0 2 0 1 41 x dt J t t (keát quaû I= 4 π baøi taäp 5) sin Ñaët cos sin cos ππππ = = = −= = = −= = = −= = = − ++++∫∫∫∫ 2 2 2 40 2 ° 2 1 ⇒ x J dx u x du xdx x ππππ ππππ = == == == = ++++∫∫∫∫ 1 2 20 0 2 0 1 4 ⇒ 1 x du J u u (keát quaû I= 4 π baøi taäp 5) sin .cos ( ) ( sin )( cos ) ππππ ++++ + ++ ++ ++ +∫∫∫∫ 2 4 40 1 1 1 6 ⇒ x x dx I J x x Vaäy sin .cos ( sin )( cos ) ππππ ππππ + ++ ++ ++ +∫∫∫∫2 4 40 1 1 12 x x dx x x 2. Ñaët ( )= = + == = + == = + == = + = ++++ 2 2 1 1 ⇒ ⇒ dt t tgx dt tg x dx dx t 4 2 3 3 2 2 2 20 0 0 0 2 4 tgt tgt tgt tgtt dt t dt 1 1 1 t-1 1 1 tgt-1 I = . = = -t -1+ dt = - t - t- ln = - tg t- tgt- ln 1- t 1+ t 1- t 1- t 3 2 t +1 3 2 tgt +1 1+ t t            ∫ ∫ ∫ Vì ( ) >>>> 0I t neân 31 1 tgt-1 :- tg t- tgt- ln > 0 3 2 tgt +1 ln ln                ++++− π π− π π− π π− π π             = + > + + >= + > + + >= + > + + >= + > + + >            ++++              3 3 31 1 1 1 2 1 2 4 3 4 2 3 ⇔ ⇒ tg t tgttgt tg t tg t tgt tg t e tgt 2 n x 1. I = x +1 Chöùng minh : ( ) ≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ + ++ ++ ++ +∫∫∫∫ 1 0 1 1 2 1 1nI dx n n vaø lim →+∞→+∞→+∞→+∞ ==== 0 n nI dx ( )-n x n2. J = x 1+ e Chöùng minh : nJ dx n <<<< ++++∫∫∫∫0 1 2 0 1 vaø n nlim J dx 0 →+∞ = Baøi giaûi : . ++++ ++++ 1 1 1 0 1 1 1 2 1 2 1 ⇒ ⇒x x x ; n n n n n nx x x x x dx dx x dx x x+ ++ ++ ++ +∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ 1 1 1 0 0 0 1 2 1 2 1 ⇒ (((( )))) (((( )))) n n nnx x x x dx dx n x n n x n ++++++++ + + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + +∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ 1 1 1 1 0 0 00 11 1 2 1 1 1 1 1 1 ⇒ ⇒ 2 +1
  4. 4. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 4 Ta coù : (((( )))) 1 0 2 1 0 11 0 1 →∞→∞→∞→∞ →∞→∞→∞→∞ →∞→∞→∞→∞  ==== ++++ ==== ++++ ==== + + + + nn n n lim n lim x lim n x ⇒ (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) 0 1 0 0 0 11 2 0 1 1 1 1 2 1 2 0 1 2 2 0 1 2 0 1 1 − − −− − −− − −− − − − −− −− −− − −−−− = + + += + + += + + += + + + + ++ ++ ++ + ++++∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ . .⇒ 0 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ n n n n n n x n n x x x x xx e e e x x e x hay x e x x e dx x dx x e dx n Ta coù : (((( ))))2 0 1 0 1 −−−− →∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞→∞ →∞ = + == + == + == + = ++++ n xx e dx n lim lim⇒ n n Chöùng minh raèng : 2 2 3 4 4 2 1 0 4 6 0 - 1. cosx(4 3 cosx)(2 cosx 2)dx 8 2. lnx(9 3 lnx 2 lnx)dx 8(e 1) 2 49 3. sinx(1 2 sinx)(5 3 sinx)dx 4. tgx(7 4 tgx)dx 3 64 243 5. sin x.cos xdx 6250 π π π π π π − + ≤ π − − ≤ − π π + − < − ≤ π ≤ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Baøi giaûi : Ñaët f(x) = cosx(4 - 3 cosx)(2 cosx + 2) cosx cosx cosx f(x) f(x)dx dx cosx( cosx)( cosx )dx 2 2 2 2 2 2 3 4 3 2 2 8 3 8 4 3 2 2 8 − − − ⇒ ⇒ cauchy π π π π π π  + − + +   =    − + π∫ ∫ ∫ 2. Ñaët ( ) ln ( ln ln ) ln ( ln )( ln )9 3 2 3 3 2f x x x x x x x= − − = + − ln ln ln ( ) ( ) ln ( ln ln ) ( ) 1 1 1 3 3 3 2 8 3 8 9 3 2 8 1⇒ ⇒ e e e x x x f x f x dx dx x x x dx e  + + + −   =    − − −∫ ∫ ∫ 3. Ñaët ( ) sin ( sin )( sin )1 2 5 3f x x x x= + − ; sinx sinx sinx f(x) 3 1 2 5 3 8 3  + + + −      Ñaúng thöùc sinx sinx sinx x sinx sinx sinx     = + = −= + = −= + = −= + = −     ⇔ ⇔ ⇔ ∈∅⇔ ⇔ ⇔ ∈∅⇔ ⇔ ⇔ ∈∅⇔ ⇔ ⇔ ∈∅     = − == − == − == − =         1 2 1 5 3 4 5 f(x) f(x)dx dx sinx( sinx)( sinx)dx 3 3 3 4 4 4 2 8 8 1 2 5 3 3 π π π π π π π ⇒ < ⇒ < ⇒ + − <∫ ∫ ∫ 4. Ñaët f(x) tgx( tgx) . tgx( tgx) 1 7 4 4 7 4 4 = − = −
  5. 5. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 5 ( ) ( ) 2 0 0 0 4 4 4 4 7 41 49 ( ) 4 2 16 49 49 7 4 16 16x tgx tgx f x f dx dx tgx tgx dx ∏ ∏ ∏  + − ≤ =     ∏ ⇒ ⇒ −∫ ∫ ∫ 4 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 6 4 6 0 5 5. sin .cos (1 cos ).(1 cos ).cos . cos . cos 1 (2 2cos )(1 cos ).cos .cos .cos 2 1 2 2cos 1 cos cos cos cos 2 5 243 243 sin .cos sin .cos 6250 6250 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xdx = − − = − −  − + − + + + ≤     ∏ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ∏ ∫ Chöùng minh raèng : ( )2 2 2 22 3 5 2 1. cos 3sin sin 3cos 3 x x x x dx − ∏ ∏ ∏ + + +∫ ( ) ( )2 2 1 2. 3 2ln 5 2ln 4 1 e x x dx e+ + − −∫ 2 3 cos sin 3. 4 44 x x dx x ∏ + ∏ − +∫ Baøi giaûi : 1. Ñaët 2 2 2 2 ( ) 1 cos 3sin 1. sin 3cosxf x x x x= + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 cos 3sin 3cos sin 2 2 5 2 2 2 cos 3sin sin 3cos 3 x x x f x x x x f f dx dx x x x x dx ∏ ∏ − − −∏ ∏ ∏ ∏ + + + ⇒ ∏ ⇒ ⇒ + + +∫ ∫ ∫ 2. Ñaët ( ) 2 2 1 3 2ln 1 5 2lnx f x x= + + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 2ln 5 2ln 4 4 3 2ln 5 2ln 4 1 x x x e ee f x x f f dx dx x x dx e ≤ + + − ⇒ ≤ ⇒ ⇒ + + − ≤ −∫ ∫ ∫ ( )2 2 2 2 2 2 20 0 2 2 3. 3 cos sin ( 3) 1 cos sin 3 cos sin 3 cos sin2 2 4 4 4 4 x x x x x x x x dx x x x x  + ≤ + +  + + ⇒ ≤ ⇒ ≤ + + + +∫ ∫
  6. 6. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 6 Ñaët ( )2 2 2 1x tgt dx tg t dt= ⇒ = + ( ) ( ) 2 2 20 0 0 2 20 0 4 42 2 2 2 10 1 1 4 2 84 10 4 3 cos sin 3 cos sin 4 4 4 4 4 tg tx dx dt dt x tg tt x x x x dx dx x x ∏ ∏+ ∏ ⇒ = = = ∏ + + + ∏ ∏ + ∏ ⇒ ⇒ − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ÑAÙNH GIAÙ TÍCH PHAÂN DÖÏA VAØO TAÄP GIAÙ TRÒ CUÛA HAØM DÖÔÙI DAÁU TÍCH PHAÂN Chöùng minh raèng : 2 2 0 0 0 0 2 2 1 1 44 1. sin 2 2 cos 2. sin 2 2 sin 1 2 1 3. 1 xdx xdx xdx xdx x x dx dx x x ∏ ∏ ∏∏ ≤ − − < + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 0 2 2 2 1 1 0 0 4 4 sin sin 4.. 5. (ln ) ln 6. sin cos x x dx dx x x x dx xdx xdx xdx ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ > < < ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Baøi giaûi : ∏ ∏ 0 0 4 4 0 sin 1 1. 0; 2sin .cos 2cos 0 cos 14 sin2 2cos sin2 2 cos x x x x x x x x xdx xdx  ≤ ≤  ∏  ∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤   ≤ ≤   ⇔ ≤ ⇒ ≤∫ ∫
  7. 7. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 7 ∏ ∏ 0 0 2 2 cos 1 2. 0; 2sin2 .cos 2sin 0 sin2 sin2 2sin sin2 2 sin x x x x x x x x xdx xdx  ≤  ∏  ∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤   ≤   ⇔ ≤ ⇒ ≤∫ ∫ [ ]3. 1;2x∀ ∈ Xeùt hieäu : 2 -1 2 1 1 0 1 ( 1) x x x x x x x x − − + − − = < + + 1 1 2 21 2 1 1 2 1 1 1 x x x x dx dx x x x x − − − − ⇒ < ⇒ < + +∫ ∫ 4. Ñaët - -x u dx du= ∏ ⇒ = ∏∏ ∏ 0∏ ∏ ∏ ∏ 0 2 22 sin sin( ) sin2 ( ) 0 2 1 1 0 0 2 x x u x dx du dx x u xu x x x x x ∏− ⇒ = − = ∏− ∏− ∏ < < ⇒ < <∏− ⇒ < ∏− ∫ ∫ ∫ Vì : ∏ ∏ ∏0 2 2sin sin sin sin sin 0 x x x x x dx dx x x x x > ⇒ < ⇒ < ∏− ∏−∫ ∫ ∏ ∏ ∏ 2 2 0 sin sinx x dx dx x x ⇒ >∫ ∫ 5. Haøm soá y = f(x) = lnx lieân tuïc treân [1,2] neân y = g(x) = (lnx)2 cuõng lieân tuïc treân [1,2] [ ] ⇒ ⇒ ∀ ⇒ 2 2 1 1 2 2 1 2 0 ln ln2 1(*) 0 (ln ) ln 1,2 (ln ) ln x x x x x x dx xdx < < <∫ ∫∈ Chuù yù : daáu ñaúng thöùc (*) xaûy ra taïi x0 = 1⊂⊂⊂⊂ [1,2] 0 ∏ ∏ ∏ ∏ ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ 0 4 4 sin 6. 0 0 1 1 4 4 cos sin cos sin cos x x tgx tg x x x xdx xdx < < < < = < < <∫ ∫ Chöùng minh raèng : 2 x 1 0 1 0 1 0 1 8 25 3 03 1. 2 4 5 1 1 2. 1 2 1 1 1 3. 2626 2 1 dx dx x x dx x + + + ∫ ∫ ∫ < 2 8 ∏ ∏ ∏ 1 0 21 2 30 1 3 .sin 4. 1 ln2 1 .sin .sin 5. 121 6. 6 4 x x x dx x x e x dx ex dx x x − − + + − − ∫ ∫ ∫ 0
  8. 8. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 8 Baøi Giaûi: ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ + ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ + ≤∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 1. 0 1 0 1 4 4 5 2 4 5 2 4 5 2 4 5 x x x x dx x dx dx x dx ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ ≤ ≤ + ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ + + ∫ ∫ ∫ ∫ 8 8 8 8 1 1 1 1 0 0 0 08 8 2. 0 1 0 1 1 1 2 1 1 0 1 2 1 2 1 1 1 1 2 21 1 x x x x x dx dx dx dx x x ≤ ≤ ⇒ + ⇒ + ⇒ ⇔ + + ⇒ ⇒ + + ∫ ∫ ∫ ∫ 310 10 3 25 25 25 3 33 310 10 25 25 1 1 1 1 25 25 3 30 0 0 03 310 10 3. 0 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 21 1 1 1 1 262 26 21 1 x x x x x x x x x x x dx dx x dx dx x x 4. Tröôùc heát ta chöùng minh : [ ] sin ;(1) 0,1 . 1 sin 1 x x x x x x x ∀ + + ∈ Giaû söû ta coù : (1). [ ](1) ⇔ ∀ ⇔ 1 1 1 1 1 1 ; 0.1 1 sin 1 1 sin 1 x x x x x x x − − + + + + ⇔ ⇔1 1 .sin (1 sin ) 0x x x x x+ + − ñuùng [ ]∀ 0,1x ∈ Vaäy (1) ñaúng thöùc ñuùng , khi ñoù: ( ) ⇔ ⇔ ⇒ 1 1 1 0 0 0 1 1 00 1 0 sin 1 (1) 1 sin 1 1 .sin ln 1 1 ln2 1 sin .sin 1 ln2. 1 .sin x x x dx dx dx x x x x x x x dx x x x x x x dx x x  = −   + + + − + = − + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( )2 2 2 2 21 1 1 3 3 3 1 1 0 sin 1 5. 1, 3 0, 0 1 1 0 sin 1 sin 1 1 0 ; 1 1 1 xx x xe e x x ee x e x x e x dx dx dx I I e ex x x − − −  < =  ⊂ ∏ ⇒ ⇒ < <  + + < < ⇒ < < = = + + +∫ ∫ ∫ ∈ Ñaët 2 2 1 (1 ) cos x tgt dx dt tg t dt t = ⇒ = = +
  9. 9. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 9 ( )3 3 2 3 2 44 4 11 3 1 12 4 tg tx dt dt t tg tt ∏ ∏ ∏ ∏∏ ∏ + ∏ ⇒ Ι = = = = ∏ ∏ +∫ ∫ 4 Vaäy 21 3 sin 0 121 xe x dx ex − ∏ < < +∫ 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 1 1 1 0 0 02 2 3 2 6. 0 1 0 0 4 2 4 4 4 2 4 4 1 1 1 4 2 4 4 1 1 1 4 4 4 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x I dx dx dx J x x x x ⇒ ⇒ − − ⇒ − − − − ⇒ − − − − ⇒ − − − − ⇒ = = − − − − ∫ ∫ ∫ Ñaët 2sin 2cosx t dx tdt= ⇒ = ( ) 20 0 6 60 1 2cos 60 4 2sin6 x tdt I dt t t ∏ ∏ ∏ ⇒ = = = ∏ − ∫ ∫ Ñaët 2 sin 2 cosx t dx tdt= ⇒ = 0 1 0 4 x t ∏ ( ) 4 0 2 0 4 2 cos 2 2 2 8 4 2 2 sin tdt J t ∏ ∏ ∏ ⇒ = = = − ∫ 1 0 2 3 2 6 84 dx x x ∏ ∏ ⇒ ≤ ≤ − − ∫ Chöùng minh raèng : 2 2 1 0 sin2 0 1 1. 1 2. 2 2 x x e e dx e e dx e − ∏ − ∏ ∏ ∫ ∫ 2 2 0 1 40 1 6 3. 1 sin . 2 2 4 1 4. 0.88 1 1 x dx dx x ∏ ∏ ∏ ≤ + ≤ < < + ∫ ∫ Baøi giaûi :
  10. 10. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 10 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 1. 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 2 x x x x xx x x x x x e e e e ee e e e − − − ⇒ ⇒ < ⇒ ⇔ ⇒ = ⇒2 ° °x Töø (1) vaø (2) suy ra 2 : 1x x e e− − 2 2 21 1 1 1 0 0 0 0 1 1x x xe e dx e dx dx e dx e − − −− ⇒ ⇒∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 sin 2 2 2 2sin sin 0 0 0 0 2. 0 sin 1 1 . 2 2 x x x x e e dx e dx e dx e dx e ∏ ∏ ∏ ∏ ⇒ ∏ ∏ ⇒ ⇒∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 22 2 0 0 0 0 1 1 1 3 3. 0 sin 1 0 sin 1 1 sin 2 2 2 2 1 3 1 6 1 sin 1 sin . 2 2 2 2 4 x x x dx x dx dx x dx ∏ ∏ ∏ ∏ ⇒ ⇒ + ∏ ∏ ⇒ + ⇒ +∫ ∫ ∫ ∫ 4. Caùch 1: ( )0,1x∀ ∈ thì 4 2 4 2 4 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x x < ⇒ + < + ⇒ > + + ( ) 1 2 4 2 0 1 1 ln 1 ln 1 2 0,88 1 1 dx dx x x x x 1 1 0 0 ⇒ > = + + = + > + + ∫ ∫ Maët khaùc : 1 4 4 40 1 1 1 1 1 1 1 1 x dx x x + > ⇒ < ⇒ < + + ∫ Vaäy : 1 40 1 0,88 1 1 dx x < < + ∫ Chuù yù : hoïc sinh töï chöùng minh 2 2 2 2 1 lndx x x a C a x = + + + + ∫ baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn . Caùch 2 : ( ) 4 2 2 1 4 2 40 0,1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x dx I x x x 4 ⇒ < ⇒1+ < + ⇒ > ⇒ > + + + ∫ ∈ Vôùi : 1 20 1 1 I dx x = + ∫ Ñaët ( )2 2 1 1 cos x tgt dx dt tg t dt= ⇒ = = +
  11. 11. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 11 ( ) ( ) 4 4 4 2 0 02 20 10 1 1 cos0 14 cos 1 sin tg tx I dt dt tt tg t t I dt t ∏ ∏ ∏ + = = ∏ + = − ∫ ∫ ∫ Ñaët 0 4sin cos 0 t u t du tdt u ∏ = ⇒ = 1 2 ( )( )20 0 0 1 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ln 2 1 2 1 2 1 du u u I du du u u u u u u du du u u u 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2− + +   = = = +  − − + + −  + = + = + − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 1 2 2 1 ln 0,88 0,88 2 2 2 1 I dx x 1 0 + = > ⇒ > − + ∫ Maët khaùc 4 4 1 :1 1 1 1 x x + > ⇒ < + ( )4 1 1 2 1 dx dx x 1 1 0 0 ⇒ < = + ∫ ∫ Töø (1) vaø (2) suy ra : 1 40 1 0.88 1 1 dx x < < + ∫ Chöùng minh raèng : 4 2 0 1 0 3 21 1. 0 32 cos 2. ln 2 1 .sin 3. 1 12 x x tgx dx nx dx x e x dx x e ∏ − ∏ < < + ∏ < + ∫ ∫ ∫ ( ) 200 100 3 21 1 1 10 cos 4. 1 12 cos 1 5. 200 1 1 1 6. 1 1 1 2 1 21 x x nn n e x dx x e x dx x e e dx n nx ∏ ∏ − − − ∏ < + ∏     − −    − −   + ∫ ∫ ∫ Baøi giaûi : 1. 0 0 1 0 1 0 4 x tgx tgx x tgx x ∏ ⇒ ⇒ ⇒ Xeùt :0 4 xα β ∏ < < < < ta coù : 4 4 0 0 0 1 0 0 4 tgx x tgx x x I x tgx dx x tgx dx x tgx dx x tgx dx α β α β ∏ ∏ < <   ⇒ <∏ < <  = = + +∫ ∫ ∫ ∫
  12. 12. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 12 Ta coù : 4 4 4 4 4 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 32 x tgx dx xdx x tgx dx xdx x tgx dx xdx x tgx dx xdx x tgx dx α α β β α α β β ∏ ∏ ∏ ∏ ∏    < < ⇒ <    ∏ ⇒ < < ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Chuù yù : ( ) [ ], ,a bα β ⊂ thì ( ) ( ) ( ) ( ) b b x x x xa b f dx f dx f dx f dx α β α β = + +∫ ∫ ∫ ∫ Tuy nhieân neáu : ( )x m f M thì : ( ) ( ) ( ) ( ) b b b b x xa a a a m dx f dx M dx m b a f dx M b a⇒ − −∫ ∫ ∫ ∫ Nhöng( ) [ ], ,a bα β ⊂ thì ( ) ( ) b b b x xa a a m dx f dx M f dx< <∫ ∫ ∫ (Ñaây laø phaàn maéc phaûi sai laàm phoå bieán nhaát )Do chöa hieåu heát yù nghóa haøm soá ( )x f chöùa( ),α β lieân tuïc[ ],a b maø ( ),α β ⊂ [ ],a b ) 1 1 1 1 1 00 0 0 0 1 0 coscos cos 1 2. ln 1 ln 2 1 1 1 1 cos ln 2 1 nxnx nx dx dx dx x x x x x nx dx x = = + = + + + + ⇒ + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 3 3 3 2 2 21 1 1 3. 1 3 sin 1 1 .sin .sin 1 1 1 x x x e e ex x e x e x edx dx dx x x x − − − −  = ⇒   ⇒ + + +∫ ∫ ∫ 3 21 .sin 1 . 1 x e x dx I x e − ⇒ +∫ vôùi 3 21 1 1 I dx x = +∫ Ñaët ( )2 1x tgt dx tg t dt= ⇒ = + ( )3 3 4 4 2 2 11 3 1 12 4 3 tg tx dt dt tg tt ∏ ∏ ∏ ∏ + ∏ ⇒ Ι = = = ∏ ∏ +∫ ∫ ( ) 3 1 .sin * 1 12 x e x dx x e − ∏ ⇒ +∫ (Caùch 2 xem baøi 4 döôùi ñaây ) Ñaúng thöùc xaûy ra khi :
  13. 13. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 13 1 1 , 1, 3 sin 1sin 1 x xe e x x xx − − = =   ⇔ ⇒ ∅ ∀   ==  ∈ ∈ Vaäy 3 21 .sin : 1 12 x e x dx x e − ∏ < +∫ Xem laïi chuù yù treân , ñaây laø phaàn sai laàm thöôøng maéc phaûi khoâng ít ngöôøi ñaõ voäi keát luaän ñaúng thöùc (*) ñuùng . Thaät voâ lyù 3 3 3 2 2 21 1 1 cos cos 4. 1 1 1 x x x e x e x e dx dx dx x x x − − − + + +∫ ∫ ∫ Do x y e− = giaûm ( ) 1 1 max x e e e − − ⇒ = = 3 3 2 21 1 cos 1 1 1 1 12 x e x dx dx x e x e − ∏ ⇒ = + +∫ ∫ ;do I baøi 3 Daáu ñaúng thöùc : 1 1 , 1, 3 cos 1cos 1 x xe e x x xx − − = =   ⇔ ⇔ ∅ ∀   ==  ∈ ∈ Vaäy 3 21 cos 1 12 x e x dx x e − ∏ < +∫ 5. Ñaët 2 11 cos sin du dxu x x dv xdx v x  = −=  ⇒  = =   200 200 200 2100 100 100 200 200 200 2100 100 100 cos 1 sin sin cos 1 1 1 200 x x dx x dx x x x x dx dx x x x ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ⇒ = + ⇒ = − = ∏ ∫ ∫ ∫ ∫ Vaäy 200 100 cos 1 200 x dx x ∏ ∏ ∏∫ Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöong phaùp ñaïo haøm .
  14. 14. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 14 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 1 11 1 1 0 0 0 1 6. 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 11 x x n n n x n n n n nx n e e x e e x x x e dx dx e dx x x x x xe dx e n nx − − ⇒ ⇒ + + + ⇒ + + + + + ⇔ − −+ ∫ ∫ ∫ ∫ Vaäy ( ) 1 1 10 1 1 1 : 1 1 ; 1 1 2 1 21 x nn n e e dx n n nx − −     − − >    − −   + ∫ Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp nhò thöùc Newton . Chöùng minh raèng : neáu f(x) vaø g(x) laø 2 haøm soá lieân tuïc vaø x xaùc ñònh treân [a,b] , thì ta coù : ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 . . . b b b x x x xa a a f g dx f dx g dx∫ ∫ ∫ Caùch 1 : Cho caùc soá 1α , tuyø yù ( )1,i n∈ ta coù : ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2... ... ... 1n n n nα α α β β β α β α β α β+ + + + + + + + + Ñaúng thöùc (1) xaûy ra khi : 1 2 1 2 ... n n αα α β β β = = Thaät vaäy : phaân hoaïch [a,b] thaønh n ñoaïn nhoû baèng nhau bôûi caùc ñieåm chia : a = x0 < x1 < x2 < …. <xn = b vaø choïn : [ ]1 1, ,i i b a x x i i n n ξ − − = ∀∈ ∈ Do f vaø g lieân tuïc , ta coù : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 lim 2 lim 3 nb ixa n i nb ixa n i n b a f dx f n b a g dx g n ξ ξ →+∞ = →+∞ = →∞ − =   −  =   ∑∫ ∑∫ Khi ñoù (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 lim . lim . lim . . 4 n n i i n n i i n i i n i b a b a f g n n b a f g n ξ ξ ξ ξ →+∞ →+∞ = = →+∞ = − − ⇔ −      ∑ ∑ ∑ Töø (4) ta cuõng coù : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 . . n n n n i i i i i i i i f g f gξ ξ ξ ξ = = = =       ∑ ∑ ∑ ∑ 5 Ñaúng thöùc xaûy ra khi : f(x):g(x) = k hay f(x) = k.g(x)
  15. 15. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 15 Töø (5) ( ) 2 2 2 ( ). ( ) ( ) . ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx⇒ ∫ ∫ ∫ Caùch 2 : t R+ ∀ ∈ ta coù : [ ] 2 2 2 2 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) 2. . ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) 0 b b b a a a tf x g x t f x t f x g x g x h t t f x dx t f x g x dx g x dx − = − + ⇒ = − +∫ ∫ ∫ h(t) laø 1 tam thöùc baäc 2 luoân khoâng aâm neân caàn phaûi coù ñieàu kieän : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 ' 0 0 ( ). ( ) ( ) . ( ) 0 ( ). ( ) ( ) . ( ) h h h b b b a a a b b a a a t f x g x dx f x dx g x dx f x g x dx f x dx g x dx  = > ⇔ ∆ ∆  ⇔ − ≤    ⇒ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b a Chöùng minh raèng : 2 3 sin 5 1. 1 2 3 2. 2 x x dx e dx + < ∏ > ∫ ∫ 1 0 1 0 ( )2 0 1 20 1 3. 1 1 2 3cos 4sin 5 4. 1 4 x x t t x x e e e dt e e x x dx x −   − < + < − −    − ∏ + ∫ ∫ Baøi giaûi : 1. Ta coù ( ) 2 2 2 : ( ). ( ) ( ) . ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx∫ ∫ ∫ ( ñaõ chöùng minh baøi tröôùc ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 1 1 1 1 3 2 2 0 0 0 0 ( ). ( ) ( ) . ( ) 1 1 . 1 1 . 1 1 1 1 1 1 b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx x x x x x x x x dx x x x dx x dx x x dx ⇒ + = + − + = + − + ⇒ + = + − + < + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 2 1 3 0 0 0 1 3 0 3 2 5 1 2 23 2 5 1 2 x x x x dx x x x dx    + < + = − +       ⇒ + < ∫ ∫ 2 2 2 2sin sin sin 0 2. x x x e dx e dx e dx ∏ 2 ∏∏ = +∫ ∫ ∫0 0 Ñaët 2 2 0 2 xx t t dx dt t ∏ ∏ = + ⇒ = ∏
  16. 16. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 16 ( )2 2 2 2 2 2 2 2 sinsin sin 2 0 0 0 2 2 2sin cos sin 0 0 0 2 tx x x x x e dx e dx e dt e dx e dx e dx ∏ ∏ ∏∏ + ∏ ∏ ∏ ⇒ = + = + = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Ta laïi coù 2 2 2 2 sin cos 2 2 2 2 0 0 . x x edx e e dx ∏ ∏     =        ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 2 2sin cos 0 0 2 2 2 2 2 2sin sin 0 0 0 0 2sin 0 0 sin 0 . 1 3 ; 2 2 3 2 x x x x x x e dx e dx hay e dx e dx e dx e dx e dx e e e e dx ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏∏ ∏ <     < ⇒ <          ⇒ > = ∏ >    ⇒ > ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Chuù yù : baøi naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 0 0 2 2 22 0 0 0 2 2 2 2 2 2 1 2 0 3. ( ). ( ) ( ) . ( ) 1 1 1 1 1 2 2 1 1 (1) 2 x x t t t t t x t tt t t t t t b b b a a a x t t x x x x xo t t x x e e dt e e e dt e e e dt e dt e e dt vi f x g x dx f x dx g x dx e e dt e e e e e e e dt e e − − − − − − + = + + +     ⇒ + − − − < − −          ⇒ + − −    ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Maët khaùc 2 : ; 0t t t e e e t x− + > ∀ < < 2 0 0 1 (2) x x t t t x e e dt e dt e− ⇒ + > = −∫ ∫ Töø (1) vaø (2) suy ra ( )2 0 1 : 1 1 2 x x t t x x e e e dt e e−   − < + < − −    ∫ ( ) 22 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 20 0 0 3cos 4sin 1 5 4. 3 4 sin cos 1 1 1 3cos 4sin 3cos 4sin 1 5 1 1 1 x x x x x x x x x x x dx dx dx x x x −    + − + =  + + + − − ⇒ + + +∫ ∫ ∫ Ñaët ( )2 1x tgt dx tg t dt= ⇒ = +
  17. 17. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 17 ( )2 2 2 2 10 1 1 1 1 40 3cos 4sin 5 4. 1 4 tg tx dx dt dt x tg tt x x dx x + ∏ ⇒ = = = ∏ + + − ∏ ⇒ + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 0 0 0 1 0 4 Chöùng minh baát ñaúng thöùc tích phaân baèng phöông phaùp ñaïo haøm. Chöùng minh raèng : ( ) ( ) ( ) 11 7 1 2 0 1.54 2 7 11 108 4 2. 0 1 27 x x dx x x dx − + + − < − < ∫ ∫ ( ) 2 4 0 sin 0 2 sin cos 4 4 3 4. 2 e x x x dx e dx ∏ ∏ ∏ + ∏ > ∫ ∫ Baøi giaûi : 1. Xeùt ( ) ( ) ( ) [ ]7 11 ; 7,11f x x x x= + + − −∈ ( ) ( ) 11 7 ' ' 0 2 2 11 7 x x f x f x x x x − − + = ⇒ = ⇔ = − + x -7 2 11 f’(x) + 0 - f(x) 6 3 2 3 2 ր ց ( ) ( ) ( ) 11 11 11 7 7 7 11 7 3 2 6 3 2 6 54 2 7 11 108 f x dx f x dx dx x x dx − − − − ⇒ ⇒ ⇒ + + − ∫ ∫ ∫ ∫ 2. Xeùt haøm soá : f(x) = x(1-x2 ) ; [ ] ' 2 0,1 ( ) 3 - 4 1x f x x x∀ ∈ ⇒ = + ⇒f’(x)=0 1x x 1 ⇔ = ∨ = 3 x -∞ 0 1 3 1 +∞ f’(x) + 0 - f(x) 0 0 ր ց 4 27
  18. 18. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 18 4 0 ( ) 27 f x⇒ ( ) ( ) ( ) (0) (1) 1 1 1 0 0 0 1 1 40, ; ,0 3 3 27 0 4 4 0 ( ) 0 ( ) 27 27 xx f va f f f x dx dx f x dx ∃ ⇒ 0 < <  = = ⇒ < < ⇒ < <∫ ∫ ∫ ∈ 3. Xeùt haøm soá : ' ( ) sin cos 2 sin ; 0, 4 4 ( ) 2 cos 0 , 0, 4 4 f x x x x x f x x x ∏ ∏    = + = +       ∏ ∏    = + ∀        ∈ ∈ ⇒f(x) laø haøm soá taêng ( ) ( ) ( )0 4 0, 4 x x f f f ∏ ∏  ∀ ⇒   ∈ ( )4 0 2 1 sin cos 2 sin cos 4 4 x x x x dx ∏ ∏ ∏ ⇒ + ⇒ +∫ 4. Nhaän xeùt 0x∀ > thì 1x e x> + ( ñaây laø baøi taäp Sgk phaàn chöùng minh baát ñaúng thöùc baèng pp ñaïo haøm) Xeùt ( ) ( ) ' 1 ; 0 1 0 ; 0t t t t f e t t f e t= − − ⇒ = − > ∀ > ⇒haøm soá f(t) ñoàng bieán 0t∀ Vì x > 0 neân f(x) > f(0) = 0 ( )1 0 1 1x x e x e x⇒ − − > ⇔ > + Do vaäy : ( ) ( ) 2 sin 2 0, 1 sin (1)x x thi e x do∀ ∏ > +∈ ( ) 2 2 sin 2 0 0 0 sin 0 1 cos2 1 sin 2 3 2 x x x e dx x dx dx e dx ∏ ∏ ∏ ∏ − ⇒ > + = ∏+ ∏ ⇒ > ∫ ∫ ∫ ∫ Chöùng minh raèng : 3 4 2 21 20 2 1 1. 5 1 2 3 sin 1 2. 4 2 3 1 2 3 3. 3 3cos cos 1 x dx x x dx x dx x x ∏ ∏ ∏ + ∏ ∏ + + ∫ ∫ ∫ ( ) 3 6 1 20 1 4 4 4 1 3 cot 1 4. 12 3 2 1 1 5. 3 22 6. 2 2 1 1 4 gx dx x dx x x x x dx ∏ ∏ − < < + − < + + − < ∫ ∫ ∫ Baøi giaûi :
  19. 19. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 19 1. Xeùt : ( ) [ ]2 ; 1,2 . 1x x f x x = + ∈ coù ( ) ( ) [ ] 2 ' 22 1 0 ; 1,2 1 x x f x x − = ∀ + ∈ ⇒haøm soá nghòch bieán [ ] ( ) ( ) ( )2 1 1,2 x x f f f∀ ⇒∈ 2 2 2 2 21 1 1 2 21 1 1 1 2 1 2 2 1 5 1 2 x x dx dx dx x x x x 2 2 ⇒ ⇒ 5 + 5 + ⇒ + ∫ ∫ ∫ ∫ 2. Xeùt ( ) ( ) ' 2 sin .cos sin ; ; 6 3x x x x x x f x f x x ∏ ∏ −  = ∀ ⇒ =   ∈ Ñaët .cos sin ' 0 ; ; 6 3 Z x x x Z x x x ∏ ∏  = − ⇒ = − < ∀    ∈ ⇒Z ñoàng bieán treân ; 6 3 x ∏ ∏  ∀    ∈ vaø : ( ) ( ) 3 ' 3 3 0 ; ; 6 6 3 0 ; ; 6 3x Z Z x f x ∏ ∏− ∏ ∏  = < ∀    ∏ ∏  ⇒ < ∀    ∈ ∈ x -∞ 6 ∏ 3 ∏ +∞ f’(x) − f(x) 3 3 3 2 ∏ ∏ ց ( ) 3 3 33 6 6 6 6 3 3 3 2 3 3 sin 3 2 3 3 sin 3 sin 1 2 4 2 X f x hay x x x dx dx dx dx x x ∏ ∏ ∏∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ⇒ ∏ ∏ ∏ ∏ 3 ⇒ ⇒ ∏ ∏∫ ∫ ∫ ∫ : 3. Ñaët [ ] [ ]cos ; 0, 1,1t x x t= ∏ ⇒ −∈ ∈ vaø ( ) [ ]2 1; 1,1t f t t t= + + −∈
  20. 20. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 20 ( ) ( ) ' ' 1 2 1; 0 2t t f t f t= + = ⇔ = − t -∞ -1 1 2 − 1 +∞ f’(t) − 0 + f(t) 1 3 3 4 ց ր ( ) [ ] 3 3; 1,1 4 t f t⇒ ∀ −∈ [ ]2 2 2 20 0 0 20 3 cos cos 1 3; 0, 4 3 1 2 cos cos 1 3 2 3cos cos 1 1 1 2 cos cos 13 3 3 1 2 3 3 3cos cos 1 x x x hay x x x x dx dx dx x x dx x x ∏ ∏ ∏ ∏ ⇒ + + ∀ ∏ 1 + + ⇒ 3 + + ⇒ + + ∏ ∏ ⇒ + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∈ Chuù yù : thöïc chaát baát ñaúng thöùc treân phaûi laø : 20 3 1 2 3 3 3cos cos 1 dx x x ∏∏ ∏ < < + + ∫ (hoïc sinh töï giaûi thích vì sao) ( ) cot 4. ;x gx f x = lieân tuïc ; 4 3 x ∏ ∏  ∀    ∈ coù ( ) ( )' 2 2 2 sin 2 0 ; ; 2 sin 4 3x x x f x x x − + ∏ ∏  = < ∀ ⇒    ∈ f(x) :nghòch bieán treân ; 4 3 ∏ ∏     ( ) ( ) ( )3 4 xf f f∏ ∏⇒ 3 3 3 4 4 4 3 4 3 cot 4 cot 4 3 cot 1 12 3 gx gx dx dx dx x x gx dx x ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ 3 ⇒ ⇒ ∏ ∏ ∏ ∏ ⇒ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) [ ]2 5. 2 ; 0,1x f x x x= + − ∀ ∈ coù f’(x)=1- 2x ( ) ' 1 0 2x f x⇒ = ⇔ = x -∞ 0 1 2 1 +∞
  21. 21. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 21 f’(x) + 0 − f(x) 2 2 ր ց 9 4 ( ) 9 2 4x f⇒ vaø ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 10, ; ,1 92 2 2 42 x x f f f ∃ ⇒ < < = = ∈ 2 2 1 1 1 20 0 0 1 20 9 2 1 1 2 2 4 3 22 2 1 1 3 22 2 1 1 3 22 x x x x dx dx dx x x dx x x ⇒ < + − < ⇒ < < + − ⇒ < < + − ⇒ < < + − ∫ ∫ ∫ ∫ 6. Xeùt : ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 ' 3 34 4 3 3' 4 4 1 1 ; 1,1 1 1 1 4 1 1 0 1 1 0 x x x f x x x f x x f x x x = + + − −    = −  + −  = ⇔ − = + ⇔ = ∈ Maët khaùc : ( ) ( ) ( ) ' 3 3 4 4 1 1 0 1 0 1 1 x f x x x > ⇔ > ⇔ − < < + − x -∞ -1 0 1 +∞ f’(x) + 0 − f(x) 4 4 2 2 ր ց 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 1 1 1 1 1 1 4 44 4 4 4 1 1 1 1 2 2 -1,0 ; 0,1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 4 x x f x va f f f dx x x dx dx x x dx − − − − − ⇒ ≤ ≤ ∃ ∈ ⇒ < < = = ⇒ < + + − < ⇒ < + + − <∫ ∫ ∫ ∫
  22. 22. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 22 Chöùng minh raèng : 2 2 2 2 4 0 200 - 100 100 1 10 1. 2. 2 2. 0,005 9 3.90 ln10 90 ln10 200 x x x x e e dx e e dx e dx − − ≤ ≤ < − ≤ < + + ∫ ∫ ∫ 2 3 2 4 40 11 1 0 2 0 3 4. 9 2 90 cos 5. 1 4 6. 1 x x tg x dx e dx tg dx x ∏ ∏ +   − ≤    ∏ ≥ + < ∫ ∫ ∫ Baøi giaûi : 1. Ñaët ( ) [ ]2 ; 0,2x f x x x= − ∈ coù ( ) ' 1 2x f x= − coù ( ) ' 1 0 2x f x= ⇔ = x -∞ 0 1 2 2 +∞ f’(x) + 0 − f(x) 0 2− ր ց 1 4 ( ) 2 2 2 2 2 2 212 24 44 0 0 0 2 2 4 0 1 2 4 1 2 4 2. 2. x x x x x x x f hay x x e e e e e dx e dx e dx e e dx e − − − − − − ⇒ − − − ⇒ = ⇒ ≤ ≤∫ ∫ ∫ ∫ Chuù yù : thöïc chaát baát ñaúng thöùc treân laø : 22 2 4 0 2. 2.x x e e dx e− − < <∫ 2. Tröôùc heát ta chöùng minh : ( ) 2 2 1 ; 1 0x e x x − ≤ ≠ Ñaët 2 ; 0 0t x x t= ≠ ⇒ > Giaû söû ta coù (1) vaø (1) 1 ; 0 ; 0t t e t e t t t − ⇔ > ⇔ > ( )0 2 ; 0t e t t⇔ − > Ñaët ( ) ( ) ' 1 0 , 0t t x t f e t co f e t= − = − > >
  23. 23. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 23 ( )t f⇒ luoân ñoàng bieán 0t∀ > vaø ( ) ( )0 1 0tf f = > ( ) 2 2 2 2 1 1 0 , 0 x x t f t e e dx dx x x 200 200 − − 100 100 ⇒ > ⇒ ≤ ⇒ ≤∫ ∫ 2200 - 100 0,005x e dx⇒ <∫ 3. Tröôùc heát ta chöùng minh : ( ) 1 2 1 1 1 1 1 ; 1 0 2 x e x x x x − − − + ∀ > Ñaët 1 ; 0 0t x t x = − > ⇒ < ( ) ( )21 1 1 1 ; 2 0 2 t t e t t t⇔ + + + < Xeùt haøm soá ( ) ( ) 21 1 ; 1 ; 0 2 t t t t f e t h e t t t= − − = − − − < ( ) ' 1t t f e= −° t -∞ 0 +∞ f’(t) − f(t) 0 +∞ ց ( ) 0 ; 1 0 ; 0 t t f hay e t t ⇒ > ∀τ < 0 − − > ∀ < ( )1 ; 0 3t t e t⇒ + < ∀ < ( ) ' • 1t th e t= − − x -∞ 0 +∞ ' ht + th 0 ր ( ) ( ) 0 ; 0 1 1 0 ; 0 4 2 t t h t hay e t t ⇒ < ∀ < < + + > ∀ < Töø (3) vaø (4) suy ra :
  24. 24. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 24 2 1 2 100 100 1001 210 10 10 1 1 1 ; 0 2 1 1 1 1 1 ; 0 2 1 1 1 1 1 2 t x x t e t t t hay e x x x x dx e dx dx x x x − − + + + ∀ < − − + >     ⇒ − − +        ∫ ∫ ∫ 100 1 10 9 90 ln10 90 ln10 200 x e dx− ≤ < + +∫ * Laø baøi toaùn khoù , hi voïng caùc em tìm ñieàu thuù vò trong baøi toaùn treân – chuùc thaønh coâng . 4. Xeùt ( ) 4 4 3 2 ; 0, cos 3x f tg x x x ∏  = −    ∈ Ñaët [ ]2 2 1 1 ; 0, 1;4 cos 3 t tg x x x t x ∏  = = + ⇒   ∈ ∈ ∈ ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 ' 3 1 4 4 4 4 1 1 1 4 40 4 2 4 4 0 ; 1,4 30 3 30 3 9 2 90 cos t t t t t f t t f t t f f f f dt f dt dt tg x dx ∏ ⇒ = + − ⇒ = + > ∀ ⇒ ⇒ 3 ⇒ ≤   ⇒ −    ∫ ∫ ∫ ∫ ∈ 5. Xeùt haøm soá ( ) 1 ; 0x x f e x x= − − ∀ coù ( ) ( ) ' 1 0 , 0x x x f e x f= − > ∀ ⇒ ñoàng bieán )0,x∀ +∞∈ ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 1 2 11 1 1 1 2 20 0 0 0 1 0 1 ; 0 1 1 ; 0 1 1 1 1 1 * 1 1 x x x x x f f e x e x x e x x e dx dx dx x x + + ⇒ = ⇒ − − ⇒ + ∀ ⇒ + ∀ +   ⇒ + = +  + +  ∫ ∫ ∫ Ñaët ( )2 1x tgt dx tg t dt= ⇒ = + ( )2 1 1 2 20 0 0 10 1 1 1 1 4 4 t tg t dtx dx x x tg tt = += ∏ ⇒ ⇒ = =  ∏= + +=  ∫ ∫ Töø (*) suy ra : 2 1 1 1 4 x e dx+ ∏ +∫ 6. Tröôùc heát ta chöùng minh : 2 ; 0, 2 xtg x x 2 ∏  <   ∏   ∈
  25. 25. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 25 Xeùt haøm soá ( ) 1 . ; 0, 2 2x x f tg x x ∏  =     ∈ ( ) ' 2 2 sin 2 .cos 2 x x x f xx − = Ñaët sin ' 1 cos 0 , 0, 2 Z x x Z x x ∏  = − ⇒ = − > ∀     ∈ ( ) ( ) ' 0 0 0 , 0, 2x Z Z f x ∏  ⇒ > = ⇒ > ∀     ∈ x -∞ 0 2 ∏ +∞ f’(x) + f(x) 2 ∏ −∞ ր ( ) 2 2 2 0 0 0 2 22 22 2 1 x xtg f x x xtg tg dx dx dx x x ∏ ∏ ∏ ⇒ < ⇒ < ∏ ∏ ⇒ < ⇒ < ∏∫ ∫ ∫ Chöùng minh raèng : ( ) ( ) 4 2001 2001 1999 2 0 1 2 0 2 0 1 1. . . 2 2001 2002 1 2 2. ln 1 ln 1 2 1 2 2 1 3. 2 4 x n n x e dx x x x dx xtg xdx n ∏ ∏ + ∏ ∏ > + + + + + − ∏    +   ∫ ∫ ∫ Baøi giaûi : 1. Tröôùc heát ta chöùng minh : ( )2 2 2 ; 0x e x x x> + ∀ > Xeùt haøm soá: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 2 2 2 ; 0 2. 4 2 ; 4. 4 0 ; 0' ' x x x x x x f e x x x f e x f e x = − + ∀ > = − − = − > ∀ > ( ) ' x f⇒ laø haøm taêng ( ) ( ) ' 0 ; 0 0x x f f∀ > ⇒ > = ( )x f⇒ laø haøm taêng ( ) ( )0 ; 0 x x f f∀ > ⇒ >
  26. 26. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 26 ( ) ( ) ( ) 2 2 1999 2 1999 2 1999 2 1999 2 0 0 2001 2001 1999 2 0 2 . 2. 1 . 2 1 . . 2 2001 2002 x x x x e x x x e x x x x e dx x x x dx x e dx ∏ ∏ ∏ ⇒ > + ⇒ > + ⇒ > + ∏ ∏ ⇒ > + ∫ ∫ ∫ 2. Tröôùc heát ta chöùng minh : ( )2 2 1 ln 1 1 ;x x x x x R+ + + + ∀ ∈ Xeùt haøm soá : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 2 ' 2 22 1 ln 1 1 ln 1 0 1 1 1 0 0 1 1 x x x f x x x x f x x f x x x x x x = + + + − + = + + ⇒ = ⇔ + + = − ≥ ⇔ ⇔ = + = − vaø ( ) ( )' 2 0 ln 1 0 0x f x x x< ⇔ + + < ⇔ < x -∞ 0 +∞ f’(x) - 0 + f(x) 0 ց ր ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 1 2 0 0 ; 1 ln 1 1 ln 1 1 1 1 1 ln 1 1 1 1 ln 1 2 2 1 2 ln 1 ln 1 2 1 2 2 x f f x R x x x x x x x x x x x dx x dx x x x x x x x x dx ⇒ = ∀ ⇒ + + + + ⇒ + + + −   ⇒ + + + − = + + + + −   ⇒ + + + + − ∫ ∫ ∫ ∈ 3. Ñaët ( ) ; 0, 4x f tgx x x ∏  = − ∀ ∈    ( ) ' 2 2 1 1 0 ; 0, cos 4x f tg x x x ∏  = − = > ∀ ∈    ( )x f⇒ ñoàng bieán treân ( ) ( )0 0, 0 4 x f f ∏  ⇒ =  
  27. 27. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 27 4 4 4 1 1 0 2 0 ; 0, 4 1 2 4 n n n n n n n n tgx x x tg x x xtg x x xtg xdx x dx xtg xdx n ∏ ∏ ∏ + + 0 + ∏  ⇒ ∀ ∈ ⇒   ⇒ ⇒ ∏  ⇒   +   ∫ ∫ ∫ Giaû söû f(x) coù ñaïo haøm lieân tuïc treân [0,1] vaø f(1) – f(0) = 1 Chöùng minh raèng : ( )( ) 21 ' 0 1x f dx∫ Ta coù : ( )( ) [ ] 21 ' 0 1 1 ; 0,1x f dx x− ∀ ∈∫ ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 21 1 ' ' ' 1 00 0 2 2 ' ' 2 1 0 2 1 0 2 1 0 1 x x x x x f dx f dx dx f dx f f f dx f dx 1 1 0 0 1 1 0 0  ⇒ − + ⇔ − − +   ⇔ − + ⇒ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Cho f laø 1 haøm lieân tuïc treân [0;1] ñoàng thôøi thoaû maõn ( ) [ ]( ) ( ) ( ) 1 0 1 2 ; ; 0,1 3 2 x x f x a f dx b  ∀ ∈   = ∫ Chöùng minh ( ) 1 0 2 1 3 3 4x dx f <∫ Theo BÑT Bunhiacosky ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 21 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1. . . 3 2 1 2 3 x x xx x x dx dx f dx f dx ff dx dx f f 1 0    =     = ⇒ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Daáu “=” khoâng xaûy ra : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 3 1 2 3 . 2 x x x x f k f k f do f dx = ⇔ = = =∫ Töø (a) : ( ) [ ]1 2 ; 0,1x f x∀ ∈ thì ( ) ( ) 2 0 1 0 x x f f −  − ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 3 2 0x x x x f f f f⇔ − − ⇔ − +
  28. 28. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 28 ( ) ( ) ( ) 2 3 0 2x x f f − + Ñaët ( )x t f= 1 2t⇒ ≤ ≤ thì (2) ( ) 2 3 0t t f t ⇔ − − = t 1 2 2 f’(t) − 0 + f(t) 2 2 3− ց ր ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 3 2 0 3 3 2 3 2 4 x x x x x dx f dx dx f dx dx dx f dx f f 1 0 ⇒ − + < ⇒ < − = ⇒ < ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Töø (1) vaø (2) suy ra : ( ) 2 1 3 3 4x dx f <∫
  29. 29. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 29 BAØI TAÄP TÖÏ LUYEÄN Chöùng minh raèng :
  30. 30. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 30 ( ) 4 2 4 0 0 1 1 0 18 0 0 3 1 1 0 1 1. 228 245 2cos 1 2. 2 183 4sin 2 1 2 3. 39 78 5 4. 3 616 cos 5 5. 4 61 1 6. 216 105 3cos .sin 7. 2 121 8. 3 2 4003 2001 9. .ln . 1 dx x dx x dx x x dx x x dx x dx x x e x dx ex x e dx x x dx ∏ ∏ ∏ ∏ − ∏ ∏ ∫ + ∏ ∏ ∫ + ∫ + <∫ + <∫ + ∏ ∏ ∫ + − ∏ <∫ + − +∫ < ∏∫1 10 24 ( ) 1 2 1 0 0 2 0 1 0 1 0 1 0 2 0 1 0 1 2 0. 2 36 84 1 1 11. 2,3... 22 61 22 2 12. 2 4 7 1 13. 0 3 8 81 2 14.1 19 1 1 15. 3 6 2020 2 1 1 16 . 210 45 3cos 1 17. 0 1 1 dx x x dx n x x x e dx e e x dx x x e dx e x dx x dx x n x dx x n ∏ ∏ ∏ ∫ − − ∏ < =∫ ∏ − − ∫ < <∫ + < <∫ < <∫ + ∏ ∏ ∫ − ∫ + + 1 2 3 0 1 0 1 0 3 4 4 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 3 18.1 2 52 8 2 19.1 1 2 2 20. 3 3 2 1 21. 2 8 73 sin 22. 2 5 4 6 2 23. 2 4 5 3 1 24. 2 18 82 1 1 25. 2004 42 1 26. 7 5 3 18 273 27. 0 dx x x x dx x dx dx x xdx x dx dx x x dx x x dx x x x ∏ ∏ − ∫ − + + +∫ +∫ ∏ ∏ ∫ + −∫ +∫ ∏ ∏ < <∫ + + ∏ ∫ − ∏ ∏ 3 <∫ + + + ( ) 4 1 0 1 0 0 3 0 2 0 2 0 1 1 3 4 1 0 2 ln 2 28.9 81 10 2 2 29. 3 10 3cos 7 1 62 30 . 1 sin 2 2 4 2 31.0 2 3 1 32. 24 23 2 sin 21 33. 1 1 sin( ) 34. ln 2 1 cos( ) 35. ln 2 1 36 e x xdx e x dx dx x x dx tgx dx dx x x e e dx e nx dx x nx dx x ∏ ∏ − ∏ ∫ < + <∫ ∏ ∏∏ < <∫ + ∏ ∏ < + <∫ < <∫ ∏∏ ∫ − − − < <∫ ∫ + ∫ + ( )2 0 1 2 1. ; 3, 4 2 121 2 37. sin 0 x dx n n x x dx ∏ ∏ < =∫ − >∫ Chöùng minh raèng :
  31. 31. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 31 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 6 4 0 4 2 2 0 2 4 2 0 2 2 1. 2 cos 2 cos 2 2 3cos 4sin 5 2. 0 1 12 9 3. 3 2 sin sin 6 sin 5 2 27 4. 2 3 7 4 4 25 5. sin 2 3cos 48 125 6. cos 2sin 3 54 3 3 7. 5 2cos 3 2sin x x dx x x dx x x x x dx tgx tgx tgx dx x x dx x x dx x x dx ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ + + − ∏ + ∏ + ∏ − + + ∏ + − ∏ + < ∏ + < ∏ − + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ o 3 1 < ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 2 4 4 2 0 3 6 0 1 1 0 1 20 2 27 8. sin 2 3 sin 7 4 sin 2 9 9. 3 2 sin 5 sin 1 sin 2 10. 2sin 0 11. 0 1 1 5 1 12. 2 1 24 2 x x x x x dx x x x dx x tgx dx e x dx e e dx x ∏ ∏− ∏ ∏ ∏ ∏ − − − ∏ + − ∏ − + + + > + − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Chöùng minh raèng : 2 2 2 2 18 40 2 0 1 2 2 2 0 2 1 2 1. 13 10 3cos 7 1 2. 14 4 3cos 8 cos 3. 0,1 1 4. 1 5. sin sin 6. x x dx x x x dx x x dx xdx x xdx x xdx e dx e dx ∏ 0 ∏ 0 1 1 0 ∏ ∏ + ∏ ∏ + < + + > < > ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 0 2 2 1 1 ( ) 3 2 1 0 2 1 20 1 1 1 0 4 40 1 20 11 12 13 14 15 16 sin 1cos . 1 1 1 1 . 1 64 2 .1 2 4 .1 1 . 2 sin cos 1 . 2 8 x x x a a a dx x a R x dx x dx e dx e dx x x dx x x − ∏ + + − + ∏ − ∏ < < + ∏ ∏ + ∏ < + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∈
  32. 32. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 32 ( ) 2 1 21 10 22 2 0 0 cos 2 cos 7. 2 2 cos 1 0, 8.. sin sin x x dx x x xdx xdx α α α α − ∏ ∏ − + − + ∏ ∫ ∫ ∫ ∈ ( ) 4 4 2 2 1 2 5 319 17 18 . sin cos .3 6 2 4 6 3 3 . 25 27 2 4 5 xdx xdx x x dx x dx x x ∏ ∏ − ∏ ∏ > + + −∫ ∫ − + ∫ ∫ ( ) ( ) 6 6 2 0 2 2 2 2 2 9. cos 2sin sin 2cos 6 2 2 2 10. 3cos sin 3sin cos 2 x x x x dx x x x x dx ∏ ∏ ∏ − + + + ∏∫ + + + ∏∫ Chöùng minh raèng : ( ) ( ) 3 3 4 6 3 0 0 2 2 21 1 2 0 4 27 2 3. 0 1 3 sin 1 1. 4 2 3 sin 2 2. 8 6 3 1 2 3 4. 3 3cos cos 1 2 1 5. 5 1 2 2 3 6. 0 1 9 x x dx x dx x x x dx x x x dx x x x dx ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ < − <∫ < < < < ∏ ∏ < < + + < < + < − < ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 0 0 2 2 2 2 1 1 33 1 1 2 1 0 2 0 30 28 29 31 32 33 5 3 . 24 5 20 2 32 cos 1 . 2 . 0 8 . 2 4 3 2 0 . 0 1 . 2cos 2cos 1 5 2 x e ex x x x dx x dx x x e dx e x x dx x dx e x x dx ∏ ∏ − − − − + − − − + +∫ < ∏ − − + − < < < + + < ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( )2 2 11 7 22 0 5 2 6 1 20 1 0 2 49 3 8 1 1 9 sin sin sin sin 7 . 10 8 .54 2 11 7 108 8 . 3cos 5 3cos cos3 . 0,65 0,9 1 2 1 1 11. 3 22 dxx x x x x x dx x dx x x dx x dx x x − ∏ ∏ ∏− −− − − − + +   +  +  + + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 30 2 4 22 2 1 21 34 35 7 3 5 3 6 36 . 3 2 sin 3 3 37 38 39 40 3 . sin 1 cos 2 . sin cos 2 2 . cos 2 cos 2 3 . 2cot sin 9 7 5 . 2 6 5 7 3 1 . 0 10 1 x x dx x x dx x x dx x x dx x gx dx x x x dx x x x x dx x x ∏ ∏ −∏ ∏ −∏ ∏ ∏ − ∏ ∏ + < + < ∏ + < + < ∏ − < ∏ ∏  − <    − + − − + + + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
  33. 33. Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà L t Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 33 ( ) ( ) 2 2 3 2 2 200 100 2 4 2 2 2 21 1 0 17. 15 16 5 9 2 12. 2 41 cos 1 13. 200 1 sin 2 14. 2 2 1 . 2 3ln ln 2 1 . 5 1 2 1 1 2 e x dx x x dx x x dx x e e x dx x x dx x x x dx ∏ ∏ ∏ ∏ < < − < ∏ < <   − < −    < < + − < ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 21 2 22 2 0 2 3 2 21 3 1 2 2 4 0 2 2 1 24 22 23 25 26 27 5 2 4 5 21. 15 2 1 . 0 ln . 1 1 ln 5 2 . 1 4 1 1 . ln 2 ln ln3 2 . 2 1 . 2 e e e x x x x x dx x x x e x e e dx e e x x dx x x dx x e dx e e e e dx e x − − + + + − < < − < < + + < < < < < < ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 4 2 0 2 4 3 2 1 18 19 20 . cos2 cos 1 2 . 5 2 4 5 9 2 . 141 3 8 30 72 20 369 x x dx x x dx x x x x dx ∏ ∏ − ∏ − + ∏ − + + − − − + + − ∫ ∫ ∫

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