Đề thi thử ĐH Toán Chuyên Quốc Học Huế 2014 - Khối D - Lần 1
08 bai toan lap pt mat phang p3
1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
DẠNG 4. MẶT PHẲNG CÓ YẾU TỐ TẠO GÓC
Phương pháp giải:
Giả sử mặt phẳng cần lập có một véc tơ véc tơ pháp tuyến là 2 2 2
( ; ; ), 0.= + + ≠Pn a b c a b c
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d nên (P) đi qua 0 0 0( ; ; )∈M x y z d và vuông góc với véc tơ chỉ phương của d.
Khi đó ta có
0 0 0( ): ( ) ( ) ( ) 0
. 0 ( ; )
− + − + − =
= ⇔ = Q d
P a x x b y y c z z
n u a f b c
Từ các dữ kiện về tạo góc của (P) với một mặt phẳng (Q) nào đó hoặc với đường thẳng ∆ ta được một phương trình
đẳng cấp bậc hai theo các ẩn a, b, c.
Thay a = f(b; c) vào phương trình này, giải ra được b = m.c hoặc b = n.c
Chọn cho c = 1, từ đó tim được các giá trị tương ứng của a và b ⇒ phương trình mặt phẳng (P) cần lập.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(−1; 2; −3), B(2; −1; −6) và (P): x + 2y + z −3= 0 . Viết
phương trình (Q) chứa AB và tạo với (P) một góc α thỏa mãn
3
cosα
6
=
Hướng dẫn giải:
Giả sử (Q) có một véc tơ pháp tuyến là 2 2 2
( ; ; ), 0.= + + ≠Qn a b c a b c
Mặt phẳng (Q) chứa A; B nên
( ): ( 1) ( 2) ( 3) 0
. 0 0
+ + − + + =
= ⇒ − − = ⇔ = + Q
Q a x b y c z
n AB a b c a b c
Theo bài, ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2
. 2 3
( );( ) α cosα 2 2
6. 1 4 1
+ +
= ⇒ = = = ⇔ + + = + +
+ + + +
Q
Q
P
P
n n a b c
P Q a b c a b c
n n a b c
( )
2 2 2 2 2
1
2 3 2 2 2 2 8 11 3 0
3
8
= −
⇔ + = + + ⇔ + + = ⇔
= −
b
c
b c b c bc b bc c
b
c
+ Với ,= −b c chọn 1; 1; 0 ( ): ( 2) ( 3) 0 5 0= = − = ⇒ − − + + = ⇔ − − =c b a Q y z y z
+ Với
3
,
8
= −
b
c
chọn 8; 3; 5 ( ):5( 1) 3( 2) 8( 3) 0 5 3 8 35 0= = − = ⇒ + − − + + = ⇔ − + + =c b a Q x y z x y z
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(2; −1; 1), B(0; 1; −2) và đường thẳng
3 1
:
1 1 2
− +
= =
−
x y z
d .
Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (OAB), nằm trong mặt phẳng
(OAB) và hợp với đường thẳng (d) một góc α sao cho
5
cosα
6
= .
Hướng dẫn giải:
Ta có ( ) ( ) ( )2; 1;1 , 0;1; 2 , 1;4;2 = − = − ⇒ = = OABOA OB OA OB n
Do đó (OAB): x + 4y + 2z = 0 (1) .
Gọi M = d ∩ (OAB) thì tọa độ của M là nghiệm của hệ ( )
4 2z
10 10;13; 21
3
1 2
+ +
=
→ = − ⇒ = − −
= −
= − +
x y
x t
t M
y t
z t
08. BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG – P3
Thầy Đặng Việt Hùng
2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Vì ( ) . 0 4 2 0 4 2 ,∆∆∈ ⇒ = ⇔ + + = ⇒ = − −OABOAB n u a b c a b c với ( ); ; .∆ =u a b c
Do đó :
2 2 2 2 2 2
. 2 2 5
α ( ; ) cosα
6. 1 1 4 6
d
d
u u a b c a b c
d
u u a b c a b c
∆
∆
− + − +
= ∆ ⇒ = = = =
+ + + + + +
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
5
6 5 25 4 2 11 16 5 0 11
= − ⇔ − = + + + ⇔ + + = ⇔
= −
b c
b b c b c b bc c
b c
+ Với
5
11
= −b c , chọn
10 31
11; 5; 31 : 13 5
21 11
= − −
= = − = − ⇒ ∆ = −
= − +
x t
c b a y t
z t
+ Với = −b c , chọn
10 2
1; 1; 2 : 13
21
= − +
= = − = ⇒ ∆ = −
= − +
x t
c b a y t
z t
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0;1;−2), vuông góc với
đường thẳng
3 2
:
1 1 1
x y z
d
+ −
= =
−
và tạo với mặt phẳng (P): 2x + y − z +5 = 0 một góc 300
.
Hướng dẫn giải:
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương ( )1; 1;1= −u , đường thẳng ∆ có véc tơ chỉ phương ( ); ;∆ =u a b c .
Mặt phẳng (P) có ( )2;1; 1= −n . Gọi ( ) ( ) 2 2 2
. 21
α ; sinα cos ,
2 . 4 1 1
P
P
P
u n a b c
d P u n
u n a b c
∆
∆
∆
+ −
= ⇒ = = = =
+ + + +
.
( ) ( )2 2 2 2
2 2 2
2 1
2 2a 3 , (*)
26
+ −
⇔ = ⇔ + − = + +
+ +
a b c
b c a b c
a b c
Mặt khác, . 0 0∆⊥ ∆ ⇒ = ⇔ − + = ⇔ = +dd u u a b c b a c
Khi đó, ( )2 2 2 2 2
2.9 3 2 2 2 2 0
2
=
⇔ = + + ⇔ − − = ⇔
= −
a c
a a ac c a ac c c
a
+ Với 2 ,= ⇒ =a c b a chọn 1; 2 : 1 2
2
=
= = = ⇒ ∆ = +
= − +
x t
a c b y t
z t
+ Với 2 ,= − ⇒ = −c a b a chọn 1; 1; 2 : 1
2 2
=
= = − = − ⇒ ∆ = −
= − −
x t
a b c y t
z t
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4: Trong không gian cho hai đường thẳng 1 :
1 2 1
∆ = =
−
x y z
và 2
1 1 1
:
1 1 3
− + −
∆ = =
−
x y z
a) Chứng minh hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆2 và tạo với đường thẳng ∆1 một góc 300
.
Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau:
Đường thẳng ∆1 có véc tơ chỉ phương ( )1 1; 2;1= −u và qua O(0;0;0),
Đường thẳng ∆2 qua B(1; −1; 1) và có véc tơ chỉ phương ( )2 1; 1;3u = − . Ta thấy hai véc tơ chỉ phương của hai đường
khác phương nên d1 và d2 hoặc chéo nhau, hoặc cắt nhau.
Mặt khác, ( )1 2 1 2; 5; 2; 1 , . 6 0. = − − − ⇒ = ≠ u u u u OB
Vậy hai đường thẳng ∆1 và ∆2 chéo nhau.
b) Viết phương trình (P).
3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Giả sử (P) có một véc tơ pháp tuyến là 2 2 2
( ; ; ), 0.Pn a b c a b c= + + ≠
Mặt phẳng (Q) chứa ∆2 nên
2
( ) ( 1) ( 1) ( 1) 0
. 0 3 0 3Q
B Q a x b y c z
n u a b c a b c∆
∈ ⇒ − + + + − =
= ⇒ − + = ⇔ = −
Theo bài, ( ) ( ) 1
1 1
2 2 2
1
. 21 1
α ; sinα cos ,
2 2. 1 4 1
P
P
P
u n a b c
P u n
u n a b c
∆
∆
∆
− +
= ∆ ⇒ = = = ⇔ =
+ + + +
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3 21
6. 2 6 10 2 2 3( 3 5 ) 4 4
2 ( 3 ) 6
b c b c
b bc c b c b bc c b bc c
b c b c
− − +
⇔ = ⇔ − + = − − ⇔ − + = + +
− + +
2 2 2 2 2 2
1
3( 3 5 ) 4 4 2 13 11 0
11 11
2 2
b
b c
c
b bc c b bc c b bc c
b
b c
c
= ⇔ =
⇔ − + = + + ⇔ − + = ⇔
= ⇔ =
+ Với b = c, chọn 1; 1; 2 ( ): 2( 1) ( 1) ( 1) 0 2 2 0c b a P x y z x y z= = = − ⇒ − − + + + − = ⇔ − − − =
+ Với
11
,
2
b
c
= chọn 2; 11; 5 ( ):5( 1) 11( 1) 2( 1) 0 5 11 2 4 0c b a P x y z x y z= = = ⇒ − + + + − = ⇔ + + + =
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 5. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình
1
: , ( ): 2 1 0.
2
x t
d y t P x y z
z t
= −
= + − − =
= − −
Lập phương trình (Q) chứa d và và tạo với (P) một góc φ, biết rằng
1
cosφ .
3
=
Đ/s: (Q): x + 2y + z + 1 = 0
Ví dụ 6. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình
1 2
: , ( ): 1 0.
1 1 1
− +
= = + + =
−
x y z
d P x z
Lập phương trình (Q) chứa d và và tạo với (P) góc 300
.
Đ/s: (Q): 2x – y + z + 3 = 0.
Ví dụ 7. Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình
1 3 1
: , ( ):2 2 0.
1 2 2
− − +
= = − + =
−
x y z
d P x z
a) Xác định số đo góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) .
b) Lập phương trình (Q) chứa d và và tạo với (P) một góc 600
.
Ví dụ 8. Cho hai điểm A(1; 1; 1), B(2; 0; 2) và đường thẳng
2 1 3
:
2 1 1
+ − +
= =
− −
x y z
d . Lập phương trình mặt phẳng (P)
đi qua hai điểm A, B và tạo với d một góc 600
Đ/s: (P1): x – z = 0 và (P2): x + y – 2 = 0
Ví dụ 9. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với đường thẳng ∆ một góc bằng 600
biết
2 3 5
: 2 , :
2 1 1
= − − +
= − ∆ = =
−=
x t x y z
d y t
z t
Đ/s: x – z = 0 và x + y – 2 = 0
Ví dụ 10. Cho hai điểm A(1; -2; -2), B(0; -1; -2). Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và tạo với mặt
phẳng (yOz) một góc φ với
1
cosφ
3
=
Đ/s: ( ): 3 0+ + + =P x y z
4. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Ví dụ 11: Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình : 1 , ( ): 1 0.
1 2
=
= + − + =
= −
x t
d y P x y z
z t
Lập phương trình (Q) chứa d và và tạo với (P) một góc φ, biết rằng
1
cosφ .
15
=
Đ/s: ( ): 2 1 0; ( ): 4 2 3 0+ − = − + + =Q x z Q x y z
Ví dụ 12: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua (1;0;1), ( 2;3; 2)− −A B và tạo với đường thẳng
1 1
:
1 1 2
+ −
∆ = =
−
x y z
một góc φ với
35
cosφ .
6
=
Đ/s: ( ):2 1 0+ − − =P x y z
Ví dụ 13: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
1 1
:
2 1 1
+ −
= =
−
x y z
d và tạo với mặt phẳng (yOz) góc
nhỏ nhất?
Đ/s: ( )max
1
cosφ ( ): 0
3
= ⇒ − + =P x y z
Ví dụ 14: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng
2 1
:
1 1 2
+ +
= =
−
x y z
d và tạo với mặt phẳng (xOy) góc
nhỏ nhất?
Đ/s: ( )max
30 2
cosφ
5 5
= ⇔ = =
c
t
b