Etnomatematica Modulo Inicial

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Curso Inicial de Matematica Andina para Profesores en servicio

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  • Realmente un trabajo científico muy interesante, que no sólo se limitó a una región sino que abarcó las regiosnes donde la etmatemática se desarrolló.
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Etnomatematica Modulo Inicial

  1. 1. Serie: Interculturalidad y EducaciónHugo Sierra Valdivia
  2. 2. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivia SUMARIO Pág.Prólogo 021. Etnomatemática y educación matemática 03 1.1 El enfoque intercultural en la reforma educativa del Perú. 03 1.2 Interculturalidad en el área de matemática. 042. Las ideas fundamentales de soporte a la etnomatematica en la naturaleza de la 06 matemática y las metas de la educación. 2.1 ¿Cómo conceptualizar etnociencia?, ¿y etnomatemática? 06 2.2 Relación Etnomatemática – Matemática. 07 2.3 Relación Etnomatemática – Educación Matemática. 093. Primero etnogeometría para seguir con etnomatemática 11 3.1 Introducción 11 3.2 ¿Qué es etnomatemática? 11 3.3 ¿Qué es la etnogeometría? 14 3.4 Conclusión 174. Conceptos claves del pensamiento matemático andino: Yupay – Número 19 4.1 Sistemas de numeración. 19 4.2 Sugerencias metodológicas. 245. Khipu – Signos 27 5.1 Introducción. 27 5.2 Numerología andina: sillares de la filosofía cosmológica andina 27 5.3 Génesis andino 28 5.4 Ley de relatividad andina. 30 5.5 Ley de analogía. 31 2
  3. 3. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivia  Primera cualidad. 31  Segunda cualidad. 32  Tercera cualidad. 35  Cuarta cualidad. 37  Quinta cualidad. 37 5.6 Sugerencias metodológicas 396. El mundo de las Mandalas 41 6.1 La Mandala: un fenómeno multicultural 44  Asia. 44  Países árabes. 45  Europa. 45  Australia. 45  América. 45 6.2 Sugerencias metodológicas. 46 PRÓLOGO “El hombre calcula según su cultura” White, 1947 No considerar esta memoria, equivaldría por un lado a negarnos la posibilidad de pensar y de vivir de un modo distinto; y por el otro, a negar la naturaleza de una lógica distinta en la que se desarrollan nuestras culturas. Este trabajo es probablemente insólito y quizás logre una apertura a lo que nosotros denominamos “la lógica del otro”, importante porque busca conciliar la matemática occidental y la matemática andina entendidas ambas como etnomatemáticas de pueblos y culturas distintas pero no antagónicas. Aborda la etnomatematica andina desde una perspectiva cosmológica, filosófica, antropológica y religiosa traducida en la dimensión curricular, metodológica y didáctica de la misma. Con esta antología se demuestra una rigurosidad poco usual en publicaciones sobre etnomatematica, contiene ideas subversivas en el pensamiento, contraviene lo que usualmente es aceptada como verdad única y reconocida universalmente, se rechaza la hegemonía de la visión 3
  4. 4. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivia eurocéntrica del conocimiento matemático y busca el respeto y el diálogo que debe existir entre dos culturas partir de los conocimientos regionales y su forma de comprensión del mundo. Se busca impregnar en las lógicas y juicios distintos, que existe una matemática no “convencional” subyacente en las mentes de hombres y mujeres, niñas y niños andinos. Se procura aceptar que si la cultura occidental tiene científicos la cultura andina tiene sabios, si la madre de las ciencias en la cultura occidental es la filosofía, en la concepción filosófica andina es la etnomatematica entendida como etnociencia. Entender esos principios naturales en la relación del hombre con el cosmos es y debe ser el punto de partida de nuestra acción educativa en nuestra variada realidad andina. En esa línea de pensamiento, esta tentativa de aproximarnos e interpretar la realidad andina a partir de la etnomatematica, está abierta, esperando que mentes brillantes como las vuestras sigan investigando, profundizando y proclamando este conocimiento sagrado y extraordinario denominado etnomatematica andina. Hugo Sierra Valdivia ETNOMATEMÁTICA Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA1.1 EL ENFOQUE INTERCULTURAL EN LA REFORMA EDUCATIVA DEL PERÚ. C on los lineamientos de la política nacional de educación intercultural y educación bilingüe intercultural publicados en 1991, en el Perú se puso en marcha un cambio de perspectiva. Desde entonces la educación intercultural no se refiere únicamente a los grupos indígenas, sino que se convierte en un principio que guía la educación de todos los peruanos: “La interculturalidad deberá constituir el principio rector de todo el sistema educativo nacional. En tal sentido, la educación de todos los peruanos será intercultural”. (Proyecto Educativo Nacional al 2021). El concepto se ha ampliado de una orientación intercultural limitada al marco de la educación bilingüe a una orientación intercultural general de la educación inicial y primaria. 4
  5. 5. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra ValdiviaLos términos interculturalidad, multiculturalidad o pluriculturalidad se encuentran enlos objetivos generales de la educación de los programas de enseñanza deprimaria. Se emplean en tres sentidos: • Descriptivo, como denominación de las condiciones sociales, culturales y lingüísticas del país. El Perú es un país multicultural y multiétnico; diversidad étnica, cultural y lingüística de la sociedad peruana. • Normativo, para formular los objetivos generales de la educación. El tratamiento de la interculturalidad nos lleva a preparar al niño y a la niña para vivir en una sociedad dividida en numerosos estratos y a comprenderla a través de la integración en la diferenciación; la educación debe concordar con nuestra realidad de país multicultural y multiétnico; la diversidad cultural debiéramos estimarla como una riqueza; el niño debe afianzar su sentido de pertenencia a su cultura y al Perú colmo país diverso donde coexisten culturas igualmente valiosas. • Didáctico – metódico, como dimensión pedagógica (contenido transversal) o como principio fundamental para todas las áreas, grados y ciclos de estudio: el contenido transversal de interculturalidad constituye un principio rector del sistema educativo, y se entiende como un proceso dinámico que permite construir relaciones más equilibradas basadas en el respeto y el diálogo entre los actores de diversos universos sociales y culturales coexistentes en el país.El término general de interculturalidad se empleó en los términos de enseñanza talcomo se formula en la política nacional educativa: Perú se describe como un paísmulticultural y multilingüe que se caracteriza por su variedad de culturas, y ellodeberá ser considerado en clase.Sin embargo, no sólo se presenta un cuadro armónico de esta realidad, sino que sepone énfasis en que la realidad social del Perú muestra varios problemas yconflictos: pobreza, discriminación, desigualdad social, violencia, racismoetnocentrismo, prejuicios, estereotipos, discriminación étnica. La meta de laeducación intercultural es contribuir a la solución de conflictos sociales y culturales,contrarrestar actitudes racistas y discriminatorias que se dan en la vida cotidiana. 5
  6. 6. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivia Con esta concepción de la educación intercultural para todos los peruanos, orientada a la solución de conflictos y problemas, los programas de enseñanza del país son, en comparación con otros países latinoamericanos, notablemente elaborados, innovadores y consecuentes.1.2 INTERCULTURALIDAD EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA. La adaptación de los contenidos y métodos de las lecciones de matemática al contexto cultural usualmente abarca una amplia gama de aspectos: • Aspectos socioculturales: las formas usadas en medidas y pesos, la medición del tiempo y el entendimiento de éste, la forma como se percibe el espacio y la distribución del espacio, la función del cálculo en la vida cotidiana. • Aspectos lingüísticos: la construcción de conceptos numéricos y de palabras para designar los números, la terminología matemática, el vocabulario empleado para las medidas de masa y peso. • Aspectos semióticos: la representación de cantidades en forma gráfica icónica y numérica; la organización del tiempo y del espacio. • Aspectos aritmético-geométricos: la forma de los números (conjuntos, series, rangos), los métodos de apoyo para la representación de cantidades, los algoritmos de las operaciones matemáticas, las formas de percepción y reconstrucción de perspectivas. • Aspectos de conceptualización: La teorías numéricas, la prototeorías matemáticas, el desarrollo científico de sistemas matemáticos, entre otros. Las intenciones interculturales se mencionan repetidas veces en los programas de enseñanza y en lo relacionado con el área de matemática, así como en las bases pedagógicas y los objetivos generales de la educación. • Se espera también que los educandos reconozcan y valoren los conocimientos matemáticos de los diferentes grupos socioculturales y a la vez se inicien en el uso de las tecnologías modernas. (Fundamentación del área de matemática en el DCN) • Reconoce y valora los conocimientos matemáticos de los diferentes grupos socioculturales y los de nuestra cultura ancestral.C on respecto a estos temas, en los programas de enseñanza de primaria hay pocas unidades interculturales donde se cristalice estas intenciones, aunque se pone énfasis en el desarrollo de la clase, 6
  7. 7. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdiviadesde el punto de vista de la “vida diaria”, “situaciones concretas”, situacionesproblemáticas” y “contextualización”, así como en la utilización de la matemáticacomo un instrumento de comunicación.Así podría lograrse una orientación intercultural de la clase a partir de estas basesconceptuales, aunque sería recomendable detallar los contenidos, los temaspropuestos, y las sugerencias metodológicas para facilitar el trabajo docente.En el contenido del programa de enseñanza para la formación docente también haypocas sugerencias sobre el traslado de la interculturalidad como un contenidotransversal en la clase de matemática. Debe resaltarse la incorporación de lainterculturalidad en el sentido de una orientación de la matemática a la pluralidadlingüística y sociocultural como tema de formación docente continua. Se hanlogrado muy buenas bases en la elaboración del programa correspondiente paraintroducir una perspectiva intercultural en el área de matemática. 7
  8. 8. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivia LAS IDEAS FUNDAMENTALES DE SOPORTE A LA ETNOMATEMÁTICA EN LA NATURALEZA DE LA MATEMÁTICA Y LAS METAS DE LA EDUCACIÓN (Ubiratan D’Ambrocio) “Es un deber ineludible cooperar con el respeto, la solidaridad de y, con todos los credos humanos que tienen los mismos derechos para la preservación de todos éstos géneros. Éste es el ser de la ética de la diversidad: el respeto para el otro (el diferente); la solidaridad con el otro; la cooperación con el otro. Esto lleva a la calidad de vida y dignidad por la humanidad entera.”2.1 ¿CÓMO CONCEPTUALIZAR ETNOCIENCIA? ¿Y ETNOMATEMÁTICA? Etnociencias son los cuerpos de conocimiento establecidos como sistemas de explicaciones y como maneras de hacer, qué han sido acumulados a través de las generaciones en ambientes naturales y culturales distintos. Esto no difiere de los conceptos actuales de Ciencia y Tecnología, salvo el énfasis cedido reconociendo la especificidad que es el resultado del ambiente natural y cultural. Etnomatemáticas son estos cuerpos de conocimiento derivados de las prácticas cuantitativas y cualitativas, de cómo se cuenta, pesa y mide, compara, ordena y clasifica. Los dos tienen obviamente una relación de simbiótica. El rechazo y exclusión de las culturas de la periferia, tan común en el proceso colonial, todavía prevalece en la sociedad moderna. Grandes sectores de la población no tienen acceso a una completa ciudadanía. Algunos no tienen acceso a las necesidades básicas para la supervivencia. Ésta es la situación en la mayor parte del mundo e incluso ocurre en la mayoría de las naciones más desarrolladas y ricas. Para construir una civilización que rechaza falta de equidad, arrogancia y fanatismo, la educación debe prestar atención especial a la redención de las culturas que han sido subordinadas durante mucho tiempo y deben dar prioridad al fortalecimiento de los sectores excluidos de sociedades. La Etnomatemática contribuye a restaurar la dignidad cultural y ofrece las herramientas intelectuales para el ejercicio de ciudadanía. La Etnomatemática se reconoce como una práctica escolar válida que refuerza la creatividad, los esfuerzos, el mismo-respeto cultural y ofrece una visión amplia de la humanidad con la tendencia creciente hacia el multiculturalismo o pluriculturalismo. En la vida cotidiana, la Etnomatemática se reconoce cada vez más como sistemas de conocimiento que ofrece la posibilidad de una relación más favorable y 8
  9. 9. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivia armoniosa en la conducta humana y entre los humanos y naturaleza. El rechazo del conocimiento que afecta a las poblaciones es de la misma naturaleza que el rechazo del conocimiento a los individuos, particularmente los niños. Proponer direcciones para neutralizar prácticas inculcadas es el desafío mayor de los educadores, particularmente de Educadores en Matemática. Sobre la Historia de Matemática, hay necesidad de una historiografía más amplia. La historia de Matemática apenas puede distinguirse de la larga historia de la conducta humana en contextos regionales definidos y puede reconocerse la dinámica de intercambios de la población. Ésta es una manera de identificar el origen de exclusión de las poblaciones y las civilizaciones enteras a través del rechazo del conocimiento que permite la propuesta de medidas correctivas. La Etnomatemática permite un mejor entendimiento de la dinámica cultural bajo la que el conocimiento se genera. La historiografía propuesta puede verse como una transdisciplinaridad y transculturalidad que se acerca a la Historia de Matemática.2.2 Relación Etnomatemática – Matemática. En este apartado nos ocuparemos de la relación entre etnomatemática y matemática, entendida esta última como la disciplina académica, formal y profesional, que en muchos artículos etnomatemáticos se llama matemática occidental y que por abreviatura llamaremos simplemente Matemática. Según Borba en un enfoque etnomatemático, la matemática académica es sólo una entre muchas matemáticas. La matemática producida en la academia es también ethno porque también es producida en un contexto académico con sus propios valores, rituales y códigos especiales, de la misma manera que otras {etno} matemáticas. Como vimos en la sección anterior, la matemática es calificada desde la etnomatemática como un instrumento de opresión, con el que la cultura occidental ha impuesto (muchas veces por la fuerza) su cosmovisión en gran parte del planeta. Uno de los pilares claves de esta cosmovisión es el racionalismo, que encuentra en la Matemática su paradigma. A partir de registros históricos encontrados, la etnomatemática asegura que desde la época griega el racionalismo lo ha sido usado como instrumento de dominación, por ello hace una crítica a la visión imperante del pensamiento griego como único tipo de racionalidad posible, no sólo porque existen otros tipos de racionalidad, sino porque, según DAmbrosio, crea una distinción entre la Matemática y las matemáticas practicadas por grupos culturales identificables, estas últimas que no responden al concepto de rigor y formalismo de las matemáticas académicas Las matemáticas desde los griegos (y según DAmbrosio a causa de ellos) han sido reservadas para una elite selecta, que actualmente es europea, blanca y masculina, 9
  10. 10. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdiviay que se dice poseedora del verdadero conocimiento, en desmedro de otras formasde este, como los desarrollos matemáticos de Egipto, Mesopotamia, China yAmérica precolombina. Se considera entonces que las matemáticas griegas y elracionalismo son intrínsecamente opresivos y eurocentristas, por lo que una lucha(política) contra la opresión, debe contemplar una lucha (epistemológica) contra elracionalismo.Rowlands y Carson plantean una contradicción en el discurso etnomatemático, poruna parte se objeta la herencia griega porque desconoce otras formas deconocimiento, pero en algunos estudios etnomatemáticos se reconocenantecedentes de culturas como la egipcia y la babilónica en la propia matemáticagriega, por lo que entonces el legado griego incluiría parte de esos desarrollossupuestamente olvidados.Si bien es cierto que la Matemática, como lo dice Borba, es una forma deetnomatemática, no es cierto que sea una entre muchas y con el mismo valor. Nopuede ser así, ya que es producto del intercambio entre muchas culturas a lo largode la historia. Rowlands y Carson anotan que el mundo ha adoptado lasconvenciones Matemáticas por la misma razón que lo hizo occidente, porque hansido examinadas, probadas y refinadas con el crisol de la experiencia práctica, queno se entrega a la pasión o a la persuasión ideológica.Aunque se acepta el interés de la etnomatemática por reconocer que las distintasprácticas de cada cultura son realizadas con un grado de intencionalidad yconciencia, es decir obedecen a un pensamiento matemático, estas prácticas estáninmersas dentro de un entramado mítico propio en el que no se puede reconocerclaramente una reflexión sobre el conocimiento matemático y su estructura; estecarácter de abstracción nos viene dado por los griegos y su estudio de lageometría, realizado con el ánimo de inferir y no sólo como el desarrollo desdenecesidades prácticas de hacer frente a una situación cotidiana, este hecho no esadvertido por DAmbrosio. Aclaramos que no estamos diciendo que culturas no-occidentales carecieran de este carácter, sino que sólo tenemos pruebasprovenientes de los griegos.Finalmente hay que hacer dos precisiones, elestudio crítico que realizan Rowlands yCarson se refiere exclusivamente a los usosde la etnomatemática en la enseñanza de lasmatemáticas, es decir, no habla (por lomenos explícitamente) de la etnomatemáticacomo programa de investigación enepistemología e historia. Es más, no niega supertinencia y reconoce que ha introducidosensibilidad cultural y respeto por lasdiferencias culturales.De otra parte, los propios Ubiratan DAmbrosio y Marcia Ascher niegan un interéspor desplazar a la Matemática, y afirman que se necesitan más y mejoresmatemáticas. DAmbrosio aclara que la etnomatemática no se preocupa tanto por lamatemática (él mismo no ve futuro en denegar los éxitos obtenidos en la tecnologíay ciencia desarrollada siguiendo el pensamiento griego), sino por la manera en queel conocimiento es construido, reconociendo que el conocimiento matemático es 10
  11. 11. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivia universal. No importa en qué lugar ni en qué tiempo estemos ubicados, los triángulos equiláteros tienen ángulos iguales, pero que su interés está en cómo se producen y usan las matemáticas, siendo esto sí muy particular.2.3 Relación Etnomatemática – Educación Matemática. La aparición de los planteamientos etnomatemáticos generó y genera un remezón y una reflexión en los terrenos de la educación matemática, por varios aspectos: a) Son puestos en tela de juicio los métodos generalmente promovidos en la escuela para la construcción de conceptos y realización de procedimientos; en distintos estudios se documentan y analizan procedimientos alternativos en comunidades no escolarizadas b) Se ha venido considerando una invarianza cultural en la enseñanza de las matemáticas, suponiendo que no había diferencias de aprendizaje atribuibles a la cultura, por ello no importaba que existiese un único currículo con el cual abordar el proceso de enseñanza-aprendizaje. Estudios antropológicos sobre las concepciones del espacio y del tiempo, así como investigaciones sobre errores en el aprendizaje de las matemáticas han colaborado para reevaluar dicha invarianza. Se plantea entonces la inclusión de elementos culturales en la enseñanza de las matemáticas; esta inclusión se propone de diversas formas: • La adecuación de contextos y situaciones de aplicación del conocimiento matemático, de tal manera que se logre relacionar la vida diaria de los estudiantes con la matemática. • La inclusión de tópicos culturales en los temas a estudiar. Por ejemplo, el tejido de canastos formaría parte de los contenidos del área de matemática de cierta comunidad, siendo objeto de enseñanza y evaluación. Aquí surge nuevamente la pregunta ¿Para qué enseñar en la escuela cosas que se aprenden fuera de ella? • El uso por parte del profesor de formas de enseñanza y lenguajes propios del grupo cultural, también el uso de elementos autóctonos, por ejemplo la yupana, que pueden enriquecer las acciones de enseñanza. Todo lo anterior concluye en una consideración de la etnomatemática como una propuesta pedagógica. Recordemos que, fundamentalmente la etnomatemática es un programa de investigación en la historia y en la epistemología de las matemáticas, y que como bien apunta René Thom Toda educación matemática descansa en una filosofía de las matemáticas y en tanto esa filosofía valore el trabajo matemático de distintas culturas a través del tiempo, la educación relacionada se comportará igual. La etnomatemática tiene discrepancias con la manera en que se ha presentado la historia de la matemática en distintos escenarios, particularmente en la escuela. Por lo que hace una fuerte crítica a la presentación del desarrollo histórico cultural, ya que según Adán Pari generalmente se asume un modelo lineal, o uno jerárquico. 11
  12. 12. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra ValdiviaEn el primero se interpreta la diversidad del pensamiento como un proceso dediferenciación, modernización y perfeccionamiento en el cálculo.Desde esta perspectiva, las invenciones de una cultura se van sumando al acervomatemático. El cero de la India, por ejemplo, llegó a Arabia, donde se unió con lamatemática griega. Esta matemática llegó a Europa y allí tomó su caráctercientífico. Se puede pensar el conocimiento matemático como un único edificio, enel que un piso fue colocado por una cultura, el siguiente por otra, y así hasta quellegamos a un piso en el que se toma el método científico, de allí en adelante lospisos son construidos por una sola comunidad: los matemáticos profesionales. Eldesarrollo sería evolutivo, lineal y todos tendríamos la misma matemática, aunquehaya sido construida en un intercambio cultural. 12
  13. 13. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivia PRIMERO ETNOGEOMETRÍA PARA SEGUIR CON ETNOMATEMÁTICA Oscar Pacheco Ríos cepdi@movinet-bo.com Centro Pedagógico de Informática Santa Cruz de la Sierra - Bolivia3.1 INTRODUCCIÓN En esta última década la Etnomatemática se ha presentado, como una nueva corriente del saber matemático, intentando rescatar los valores que el pueblo y su cultura tienen. Esta corriente es vista por algunos con cierto escepticismo y por otros como la nueva alternativa para el aprendizaje de la Matemática. Después de leer a los más prominentes impulsores hemos llegado al convencimiento de que tienen razón, pero, nosotros consideramos que antes que la propia Etnomatemática esta la Ethnogeometría como la antesala de la primera.3.2 ¿QUÉ ES ETNOMATEMÁTICA? En el intento de situarnos con el tema mismo de lo que trata la Etnogeometría, consideramos que debemos ver, qué es Etnomatemática. Aunque hay una lista larga de autores que intentan dar una definición exacta, lo haremos según lo señala el Prof. DAmbrosio, por ser uno de los precursores más activos y consecuentes y según el resumen analítico del Prof. neozelandés Bill Barton. "Las diferentes formas de matemática que son propias de los grupos culturales, las llamamos Etnomatemática". Este es un juicio a fortriori, o actual, pues, los grupos culturales existen y se encuentran por toda la faz de la Tierra. Luego todos los modos de matematización que realicen esos grupos culturales para solucionar sus problemas cotidianos, se las puede denominar ETNOMATEMÁTICA. El reconocido Ubiratan DAmbrosio afirma que "La ETNOMATEMÁTICA en mi concepción es etno + matema + tica, eso es, SU ENTORNO NATURAL y CULTURAL [=ETNO] EXPLICAR, ENSEÑAR, COMPRENDER, MANEJAR, LIDIAR, "To cope with", "se débrouiller" [=MATEMA] LAS ARTES, TECNICAS, MANERAS, ESTILOS [=TICAS]”. Según esta explicación, "ETNO" es el "ENTORNO NATURAL y CULTURAL" del hombre en una forma atemporal, es decir, no se refiere al hombre primitivo en su condición de cazador o recolector, se refiere al hombre 13
  14. 14. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdiviade todas las épocas hasta llegar a la actual, en su diario accionar en su contextocircundante y circunstancial.Si, "MATEMA" está homologada con "LAS ARTES, TECNICAS, MANERAS,ESTILOS "To cope with" (para cubrir con o abarcar), “se débrouiller" (manejar odirigir). Significa que es importante referirse, a todas las formas de expresión oexultación mental y espiritual hechas realidad, abarcando de un modo poético,gráfico, pictórico, petroglífico o folklórico con sus propias modalidades."TICAS" es una referencia clara a la metodología, es el cómo trasmitir o compartir,cualquier experiencia (inclusive el MATEMA), con otra(s) persona(s) para que esa(s)persona(s) tenga(n) acceso a un nuevo conocimiento. En el entendido que ese nuevoconocimiento le permitirá solucionar sus tribulaciones o le causará el placer de lograrsus metas, pese a los factores socio-culturales que puedan influenciarlo positiva onegativamente.El mismo creador del concepto antes interpretado y según Eduardo SebastianiFerreira dirá que la Matemática es una parte de la Etnomatemática, donde dentro dela Educación, "la Matemática se constituiría en una parte de la Etnomatemática", portanto para aprender Matemática invariablemente se debe pasar por Etnomatemática.Al parecer Bill Barton, se preocupa más con esto último y él, después de estudiar alos autores citados en su trabajo, aunque observa que DAmbrosio se ubica más enla dimensión socio-antropológica, considera que son cuatro, los términos críticospara la definición: Matemática, Matemático, Nosotros y Cultura. • "La Matemática son los conceptos y las prácticas en el trabajo de esa gente quiénes se llaman a sí mismos matemáticos." • "El Matemático se refiere a esos conceptos y a las prácticas, que se identifican como si estuvieran relacionadas en alguna manera a la Matemática". "El matemático y la Matemática ambos son culturalmente específicos porque sus referentes dependen de quiénes usan los términos. Es posible, que por ejemplo, que algunos matemáticos discrepen sobre lo qué es legítimamente Matemática." • "En el "Nosotros", usamos la definición como un grupo, quienes comparten una comprensión de Matemática y quienes están interesados en Etnomatemática. Que el grupo incluirá comúnmente matemáticos, quienes toman su propia definición, pero incluirán también a otros, quienes han experimentado Matemática como una categoría en su educación propia. Cuando una Cultura étnica diferente, anda implicada con el "nosotros", nos referimos a los miembros de una cultura, que contiene la categoría de matemáticos. El uso puntual del pronombre hace que el etnomatemático tenga un punto de vista particular". • "Cultura” se toma para tener el significado usado por DAmbrosio, que se refiere al grupo de gente quien "desarrolló prácticas, conocimiento, y, en particular, jergas y códigos, que claramente comprende la manera como ellos matematizan, es decir: es la manera que ellos cuentan, miden, relacionan y 14
  15. 15. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivia clasifican, e infieren" (DAmbrosio 1984). Tal grupo puede ser un grupo étnico, un grupo nacional, un grupo histórico, o un grupo social dentro de una cultura más amplia. La Cultura refiere al conjunto compartido identificable de comunicaciones, comprensión y prácticas. No es necesaria la definición de Etnomatemática si el conjunto es descriptible con exactitud."Habiendo definido los términos, hay cuatro implicaciones de la definición:a) Etnomatemática no es un estudio matemático; es más como la antropología o historiab) La definición en sí misma depende de quien lo afirma, y culturalmente es específico.c) La práctica que describe es también culturalmente específica.d) Etnomatemática implica alguna forma de relativismo para la Matemática".Ya no analizamos estas cuatro implicaciones, pues, ello equivaldría a elaborar untratamiento específico sólo de la Etnomatemática y ese no es nuestro objetivo porahora."En la Etnomatemática, los etnomatemáticos intentan describir el mundo matemático,como los otros lo ven. "... la Etnomatemática crea un puente entre la Matemática ylas ideas (conceptos y prácticas) de otras Culturas. La parte de un estudioetnomatemático esclarecerá, por qué esas otras ideas se observan comomatemáticas, y por lo tanto por qué ellas podrían ser de interés a los matemáticos.Tal estudio crea la posibilidad de ambas Matemáticas que provean una nuevaperspectiva sobre los conceptos o prácticas para ellas dentro de la otra cultura, y delos matemáticos que ganan una nueva perspectiva sobre (y posiblemente nuevomaterial), su propio tema...".Consideramos que, aquí cabe como una síntesis del párrafo anterior lo quemanifiesta el mismo profesor Ubiratan DAmbrosio: ". . .el carpintero definitivamentetrabaja con una idea Matemática; los matemáticosquienes [arbitrariamente deciden trisecar unángulo usando únicamente la regla y el compás]tratan con una idea. Para ambos es importante, yaunque ellos son diferentes, ellos se vinculan poruna idea".Haciendo un pequeño anticipo al siguientecapítulo, queremos ampliar lo anterior y decir:antes que la idea matemática, está la idea de laforma y es esta forma la que obliga a buscar una"unidad de medida" que luego permitirá realizarcálculos en el caso del carpintero y en el delgeómetra de igual modo primero concibe la ideade la abertura angular del ángulo original quedebe ser trisecado o triseccionado, luego determina la abertura del compás (usaráuna medida) que le permitirá realizar el trazado respectivo. Sólo ahora podemosdecir que realizan distintos trabajos, pero vinculados por una misma idea. 15
  16. 16. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivia Desde nuestra visión. "Etnomatemática es el conjunto de conocimientos matemáticos, prácticos y teóricos, producidos o asimilados y vigentes en su respectivo contexto sociocultural, que supone los procesos de: contar, clasificar, ordenar, calcular, medir, organizar el espacio y el tiempo, estimar e inferir". El conjunto de los conocimientos matemáticos de la comunidad del aprendiz, relacionados con su cosmovisión e historia, fundamentalmente comprende: • El sistema de numeración propio. • Las formas geométricas que se usan en la comunidad. • Unidades o sistemas de medida utilizadas local o regionalmente (tiempo, capacidad, longitud, superficie, volumen). • Instrumentos y técnicas de cálculo, medición y estimación; procedimientos de inferencia; otros conceptos, técnicas e instrumentos matemáticos usuales. • Las expresiones lingüísticas y simbólicas correspondientes a los conceptos, técnicas, e instrumentos matemáticos.". Para finalizar este capítulo, queremos indicar que en todo lo visto hasta aquí, sólo hemos querido tomar lo que consideramos de mayor relevancia en la Etnomatemática, como una base para sustentar nuestra afirmación de "Primero ver Etnogeometría para seguir con Etnomatemática", lo que intentaremos demostrar enseguida.3.1 ¿QUÉ ES LA ETNOGEOMETRÍA? "... Al tratar de transmitir la importancia de las ideas, nosotros las elaboramos con nuestras expresiones occidentales que tenemos de ellas. Desde el principio nosotros diferenciamos, entre las matemáticas que son implícitas y las que son explícitas, y entre los conceptos occidentales que nosotros usamos para describir o explicar y esos conceptos nosotros los atribuimos a la gente de otras Culturas. [Marcia Ascher]. Ante la falta de literatura y/o de otros autores que hubieran tocado en forma particular a lo que se nos ha ocurrido llamar "Etnogeometría" y considerando que nuestra idea tiene asidero, tanto implícita como explícitamente. Hemos creído conveniente crear, el concepto semánticamente, con la conjunción de Etno+Etnología+Geometría = Etnogeometría como el "Estudio y conocimiento de la Geometría bajo el aspecto cultural de los pueblos comparando sus afinidades de antropología cultural o social y de los lazos de civilización que los caracteriza". Además tomamos el sentido semiológico del concepto. Porque los códigos que encierra la composición del nombre, se refieren al pueblo, a la gente de nuestros días, por tanto hace una práctica diaria de la aplicación geométrica en casi todos sus quehaceres. Para aclarar aun más. Diremos que, cuando se da mayor importancia al aspecto biológico y natural aunado con el psíquico sociológico, etc., estos estudios caen 16
  17. 17. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdiviadentro de la Antropología. Mas, si se comprenden en ellos, todos los fenómenoshistórico-culturales, además de los puramente naturales, se entra en la Etnología.Ampliando y flexibilizando nuestra visión. Por ejemplo, Etnología vendría a ser, cadareunión de los ICME, donde nos congregamos centenares de personas de diferentesrazas y nacionalidades que nos sentimos afines por la Matemática o su enseñanza,lo que en otras palabras es estudiar nuestra riqueza material y espiritual con respectode la Matemática. Mas, sin pretender reuniones tannumerosas tenemos, las de cada día en nuestrascomunidades e instituciones educativas, a los queasisten alumnos de diferentes etnias, pero con un fincomún, adquirir conocimientos. Esto implica que elmundo actual tiende a hermanar a los hombres de y entodos los confines de la Tierra, y está lejano el día enque se discutió en las universidades de Europa, elproblema de sí los negros de África o los indios delNuevo Mundo tenían alma y si eran realmentehombres.Mientras en la Etnomatemática, los etnomatemáticosintentan describir el mundo matemático, como los otroslo ven. Etnogeometría, no es el intento de describir,cómo, las ideas se ven a través de los otros, muy al contrario, fue y es la generadorano sólo de ideas que todos - etnomatemáticos o no - ven. Tiene una inmanenciapermanente. Es el material que inspira a la Etnomatemática, estudiar la historia apartir de la Geometría sea esta euclidiana o no-eucludiana.La Etnogeometría da lugar a que "... la Etnomatemática...", pueda crear "... un puenteentre la Matemática y las ideas (conceptos y prácticas) de otras Culturas." Launiversalidad de determinadas formas básicas que son parte de una Cultura tambiénuniversal. Realizar, un estudio etnogeométrico podría ser de mucho mayor interés alos etnomatemáticos, porque partirían de realidades tangibles para luego realizarabstracciones (formular conceptos, o crear teoremas, por ejemplo, sobreequicomposición de poliedros, al observar, los muros de las fortalezas incaicas) conuna nueva perspectiva. Tal estudio permitiría la posibilidad de matematizar losconceptos o prácticas dentro de una Cultura y, compararla con la otra Cultura, porejemplo: que tienen de semejantes la forma de las viviendas de los Uruchipayas delDepartamento de Oruro en Bolivia, con la de los africanos de Mozambique; quizá aprimera vista diremos la forma cónica de los techos y el material que los cubre.A partir de la Etnogeometría, el etnomatemático esta obligado a elucidar o aclarar nosólo los conceptos resultantes de las prácticas etnogeométricas, sino, a tomarloscomo su material de trabajo para hacer que la Etnomatemática sea el nexo real conla Matemática, porque (como ya lo dijimos), la Etnogeometría, no sólo tienefundamentos etnológicos, socio-antropológicos, más también, socio-culturales, quehan sido y pueden seguir siendo aplicados, al aprendizaje de la Geometría, luego, ala práctica de la Etnomatemática y finalmente a la Matemática.Por otro lado, tomemos lo que dice Marcia Ascher. Que, las cosas las vemos connuestros ojos occidentalizados, o sea que estamos condicionados a ver siempre bajoesa óptica y cuando alguien lo ve desde otra, nos llama la atención y parece serincoherente. Eso es comprensible, pues, tantos siglos de academicismo nos hansubyugado, que no le damos campo a nuestra mente para pensar de otro modo, sin 17
  18. 18. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivialos símbolos numéricos que representan abstracciones (eso no implica queprescindamos de ellos). Y posiblemente esa sea la razón por la cual hayan aparecidodetractores de la Etnomatemática, sin intentar comprenderla, como la nueva aurorapara la enseñanza de la Matemática.La Etnogeometría es parte intrínseca de la vivencia diaria del hombre y su entornonatural , pues donde quiera que dirija su atención, a las ruinas de la civilizaciónantigua Inca, "La Puerta del Sol"; las edificaciones de las urbes citadinas(arquitectura) como, la ciudad de Sucre -Bolivia- o, Lima - Perú -, con influencia, deotra cultura, sea francesa, hispana, etc., etc. Antes que Etnomatemática oMatemática, verá Etnogeometría y sólo después, Geometría y Matemática; lo mismoserá, cuando perciba que una persona es diferente de otra por sus formasanatómicas, complexión física, estatura o color, además su vestimenta, distinta yvariada de acuerdo al lugar geográfico en el que habite, con diseños tejidos oestampados en su mayor parte realizados con moldes de hojas, pétalos o talladosmatriciales en madera, así como, otras representaciones bordadas en bajorrelievecon una policromía que muestra la riqueza espiritual de los artesanos.Aleatoriamente comparemos los kimonos de los campesinos japoneses, con la túnicao el sari de los hindúes. Las polleras de la chola de las ciudades andinas, que tienenforma arrepollada con la forma de cono truncado de la minifalda de las jóvenescitadinas. En la Naturaleza misma se encuentra con expresiones geométricas, vemosflores de formas poligonales hojas cardioides que inspiran coordenadas polares ohelechos que generan fractales. En fin una riqueza espiritual y cultural (inclusive,ideológica por su aplicación), que noshace admirar. En todas esasexpresiones, no vemos ni percibimosinmediatamente ideas, símbolos niconceptos matemáticos. Estas y éstos sepresentarán después, mediante lasabstracciones mentales que realicen, losinteresados (matemáticos o estudiosos),es decir, se hará Etnomatemática y luegoMatemática, partiendo de laEtnogeometría.Tenemos otros ejemplos, en los que,"forma, medida y cantidad" están en unasimbiosis a primera vista inseparable. Talel caso de la actividad comercial de losmercados, en los que, las vendedorascolocan sus productos formando“montoncitos” semejantes a ortoedros, pirámides truncadas o conos, donde 2montones (pirámides) de papa por 2 soles, cuatro montoncitos (conos) de arvejas por3 soles. Las vendedoras del mercado pensarían primero en medidas académicas?Sólo, después de que toman conciencia de la forma del cuerpo y de otros aspectossingulares pueden realizar conclusiones de tipo cualitativo y cuantitativo referidas amedir, pesar, contar, comparar y calcular - si, es que, a estas actividades se lespuede llamar Matemática.La vendedora del mercado cuando está formando sus "montoncitos" crea las formasque serán más atrayentes al posible comprador (etnogeometriza -si vale el término-),luego determina el valor que tendrá en la venta el montoncito, a montoncitos más 18
  19. 19. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivia grandes con mayor número de unidades (papas, arvejas, frutas, etc.), menos ganancia y, a montoncitos más pequeños menos unidades implica más ganancia según sus costos, dicho de otro modo hace Etnomatemática. No se detiene a pensar si está aplicando un conocimiento académico curricular de Razones y Proporciones o de Reparto Proporcional. Estos, son ejemplos reales y actuales. Y ¿Qué podemos decir de los hombres primitivos, que aun no conocían la simbología numeral, cuando trazaron sus pinturas rupestres, luego cuando se hicieron sedentarios y comenzaron a tener noción del derecho de propiedad y el academicismo no había nacido aun? Sin tomar en cuenta, el tiempo, pero, la semejanza entre dos culturas. ¿De dónde obtuvieron los Quechuas, el concepto de "Pachatupuy" (Geometría) cuya traducción literal es, Pacha = Tierra y, Tupuy = Medida ¿La tomarían de los egipcios? Pues, sabemos que ellos dan origen al nombre de "geometría" como resultado de su trabajo anual empírico, al parcelar o reparcelar las tierras aledañas al Río Nilo después de cada riada. Y como lo leímos, nos admira, toda esa maravilla construida con unos conocimientos básicos de Geometría y de Arquitectura y además con una unidad de medida arbitraria, como era el "codo del arquitecto". A priori podemos afirmar que, la concepción de las formas les obliga (sin ser totalmente empíricos), a crear ciertas unidades de medida y realizar operaciones en ese trabajo y no lo hacen partiendo de hipótesis. Parten de lo que está en su entorno. Utilizan ese conocimiento y el que está, en ellos y con ellos mismos o sea la Etnogeometría. Parecería que no teorizaron diciendo: "si la base es de n codos entonces la cúspide estará a n codos de altura". Dado que la pirámide para los egipcios no sólo es una tumba para el Faraón. Es la "luz que ilumina el camino", posiblemente dependiendo a qué Faraón iba destinada la pirámide, sería más alta y con menos o más galerías. Dicho de otro modo, el ver formas y reproducir formas, está, en él y con el hombre, sin importar la época en la que vive. Por esta observación llamamos parte intrínseca de la vida del hombre. Quizá haya otras maneras de explicarlo mejor y con otras palabras, luego, creemos que, es aquí donde la crítica ayudará a mejorar o retirar esta concepción nuestra proposición. Luego, desde el punto de vista etnogeométrico. Toda percepción, sea ésta real o de abstracción, es global. ¿Quién podría pensar, en la primera contemplación, en conceptos, reglas o axiomas matemáticos al visitar las pirámides Mayas; al contemplar desde el aire, las figuras petroglíficas del Valle de Nazca? o las figuras zoomorfas de la Puerta del Sol en Tiwanaku?3.4 CONCLUSIÓN Parangonando con la proposición del Prof. Ubiratan DAmbrisio, diremos que dentro de la Educación, la Matemática es parte de la Etnomatemática y Etnogeometría. Para finalizar queremos manifestar que, quizá deberíamos haber puesto énfasis, sólo en esta última parte, como la prueba irrefutable de que para ver la Etnomatemática a profundidad, no se puede ignorar a la Etnogeometría como un primer paso. Es decir, 19
  20. 20. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdiviapartir del valor cultural que tienen las formas geométricas, para luego ir al valorcultural de la matematización. Sin embargo como la vida continua y ella, está ligada alos problemas no sólo socio-culturales, sino, a los socio-económicos, no podemosquedarnos en el pasado, cuando la realidad del "sistema" nos golpeainmisericordemente, tal como vemos en el ejemplo de la vendedora de hortalizas.BIBLIOGRAFIA• Ascher, Marcia. Mathematics of the Incas. Dover Publications Inc. New York 1981• Barton, Bill. Teniendo el Sentido de la Etnomatemática. The University of Auckland. New Zeland. 1997.• Pacheco Ríos, Oscar. Enseñar Matemática Partiendo de Geometría. Ed. CEPDI S.C.-Bolivia- 1993• Santaló, L. A. Geometría No-Euclidiana. Eudeba Buenos Aires Argentina 1985 20
  21. 21. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivia CONCEPTOS CLAVES DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO ANDINO YUPAY – NÚMERO4.1 SISTEMAS DE NUMERACIÓN. MONTALUISA CHASIQUIZA, Luís. 1988. Comunidad, Escuela y Currículo. Santiago de Chile. UNESCO / OREAL. p. 45 – 52. Las primeras ideas desarrolladas en el campo matemático han sido la cantidad, la proporción, la agrupación, el aumento, la disminución, la repetición, la distribución. A partir de ellas se han tomado las medidas de tiempo, espacio y masa. Según las circunstancias que le ha tocado vivir a cada cultura se han ido creando términos para designar estos elementos de las matemáticas. Como ejemplo de la manera específica de organizar las cantidades, se analizará el sistema de numeración o la forma de numerar de algunas culturas. Ello mostrará que algunos pueblos sólo han requerido contar hasta veinte o menos, mientras que otros han llegado hasta millones. Después, se presentarán algunos instrumentos utilizados por los indígenas para el cálculo, la manera de calcular de los analfabetos y el reto que representa la enseñanza de las matemáticas en la educación bilingüe. Toda cultura ha desarrollado un sistema para cuantificar y medir los elementos importantes para ella. En lo que respecta a los números, los pueblos indígenas han elaborado sus sistemas de numeración desde tiempos muy antiguos. Para ello, han creado palabras para cada número, o se han ayudado con las manos, con los pies, y con el concepto de “veces”. Hay culturas que han tenido un sistema de numeración de base 10 (decimal), como la quechua; otras que han tenido un sistema de numeración de base 20 (vigesimal), como la maya; y otras han combinado varios sistemas, tomando como referencia el cuerpo humano. 21
  22. 22. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra ValdiviaEs muy importante empezar a reflexionar como los números se expresan en lalengua, para descubrir el sistema que los sustenta y así desarrollar un programa deenseñanza de las matemáticas más adecuado.Para ampliar la visión sobre las diferentes maneras de numeración, se harán acontinuación varios ejemplos extraídos de diferentes culturas.Empezaremos con los números de 1 a 10 en la lengua Candoshi, pueblo indígena dela amazonía peruana, en la lengua quechua del Ecuador y en castellano. QUECHUA Número CANDOSHI CASTELLANO (Ecuador) 1 minamta shuc uno 2 tsibono ishcai dos 3 tochpa quimsa tres 4 iponponaro chuscu cuatro 5 zamiatpata pichca cinco 6 minam matayaro sucta seis 7 tsibon matayaro canchas siete 8 tochip matayaro pusac ocho 9 iponponaro matayaro iscun nueve 10 chunka o koviz iptaro chunca diezSi analizamos los números de 1 a 10 de cada lengua, podemos notar lo siguiente: elquechua y el castellano tienen una palabra diferente para cada número, mientras queel candoshi llega hasta 5, después vuelve a repetir los números 1 – 2 – 3 – 4añadiendo la palabra matayaro.También se observa que el candoshi utiliza para el número 10 un préstamo de lalengua quechua, u otra expresión que significa “con todos los dedos de la manos”.La numeración maya es un sistema vigesimal, cuya base se refiere al mismohombre. El número 20 resulta del conteo de los 20 dedos que tiene el hombre;podemos decir entonces, que es la base científica de la numeración maya, porque enla mayoría de los idiomas mayas, hombre se dice winaq y el número 20 se dicewinaq también.Como podemos notar en la siguiente tabla, la lengua aymara presente en Perú,Bolivia y Chile, presentan algunos términos que son similares a los del quechua (tres,cinco, seis, diez) 22
  23. 23. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivia AYMARA QUECHUA CHACHI WAONúmero (Bolivia) (Perú) (Ecuador) (Ecuador) 1 maya huk main aruke 2 paya iskay pallu mea 3 kimsa kimsa pema meagoaruke 4 pusi tawa taapallu meagomea 5 pishqa pisqa manda emenpuke 6 suxta suqta manchismain emenpuke goaruke 7 paqallqu qanchis manchispallu emenpuke gomea 8 kimsaqallqu pusaq manchis pema emenpuke meagoaruke 9 llatunka Isqun manchis taapallu emenpuke meagomea 10 tunka chunka paitya tipenpuke Otra particularidad de esta lengua es que el 7 y el 8 están formados sobre la base de los números 2 y 3 (pa- y kimsa), seguidos por la palabra qallqu. Por eso, algunos autores han opinado que tal vez antiguamente en esta lengua 5 se decía qallqu y después, con la influencia del quechua se ha introducido el phisca. En realidad, esta hipótesis no está demostrada, sin embargo se puede suponer que qallqu significaba algo que expresaba las cinco unidades. Tendríamos así: • 7 = paqallqu  2 + algo para expresar 5 • 8 = kimsaqallqu  3 + algo para expresar 5. • El número 9 en cambio está formado de la partícula lla seguida de tunka (diez). Es probable que llatunka quiera decir “casi diez” y que “lla” sea una transformación de mya (que significa “casi”) Estos detalles parecen mostrar que el idioma fue decimalizado sobre la base de alguna forma antigua de organizar los números, que no fue precisamente la decimal (posiblemente una de base cinco) Ahora trataremos de explicar la numeración de la cultura wao de la amazonía ecuatoriana. WAO Número (Ecuador) 1 aruke 1 2 mea 2 3 meagoaruke 2+1 4 meagomea 2+2 5 emenpuke 5 (mano izquierda) 6 emenpuke goaruke 5+1 7 emenpuke gomea 5+2 8 emenpuke meagoaruke 5+2+1 9 emenpuke meagomea 5+2+2 10 tipenpuke 10 (mano derecha) 15 tipenwa 10 + 5 (dos manos y pie izquierdo) 20 emenwake 20 (dos manos y dos pies) 23
  24. 24. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra ValdiviaComo se puede observar, el sistema de numeración está basado en las manos y lospies, comenzando por los izquierdos en su orden. Existe también la idea del parsubyacente en el sistema.En la lengua de la cultura chachi de la costa ecuatoriana se ha organizado el sistemade la siguiente manera: CHACHI Número (Ecuador) 1 main 2 pallu 3 pema 4 taapallu 2+2 5 manda 6 manchismain 5+1 7 manchispallu 5+2 8 manchis pema 5+3 9 manchis taapallu 5+4 10 paitya 5x2 (pai = 2; tyapa = pedazo, extremidad) 20 Mancha´lura 1x4x5 (man = 1; cha´ = persona; lura = bulto La persona está constituida por cuatro extremidades de 5 dedos cada una.Estos pocos ejemplos nos dan una idea de las distintas formas como los indígenashan organizado la numeración y de las dificultades que se pueden presentar paramanejar números con muchas cifras y cantidades muy altas. También nos dan ideade la asociación entre conceptos numéricos y lengua.En Costa Rica por ejemplo, en las lenguas bribri y cabecar, el número se asocia a laforma, tamaño y masa del objeto. Así 5 casas, 5 palmeras, 5 naranjas se dice demanera diferente, a pesar de ser siempre el número 5.Trataremos ahora de analizar más detenidamente el sistema de numeraciónquechua, que como ya afirmamos es estrictamente decimal.En esta lengua hay nombres diferentes para cada uno de los números del 1 al 10. Apartir del 10 hay un nombre específico para cada una de las potencias de esta base. 101 = 10 chunka 102 = 100 pachak 103 = 1 000 huaranca 106 = 1 000 000 hunuEste sistema decimal quechua facilita enormemente la enseñanza de la escritura delos números a los niños y adultos, así como las operaciones matemáticas. En tantoque el español, al igual que el inglés, el francés, el portugués, el alemán, etc. norepresentan el sistema decimal de manera tan clara. 24
  25. 25. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra ValdiviaEl castellano, para los números a partir de 10, no tiene regla de composición fija, sinoque presenta algunas irregularidades como se observa en la tabla siguiente: Número CASTELLANO QUECHUA 11 once chunka hukniyuq (10 y 1) 12 doce chunka iskayniyuq (10 y 2) 13 trece chunka kimsayuq (10 y 3) 14 catorce chunka tawayuq (10 y 4) 15 quince chunka pisqayuq (10 y 5) 16 dieciséis chunka suqtayuq (10 y 6) 17 diecisiete chunka qanchisniyuq (10 y 7) 18 dieciocho chunka pusaqniyuq (10 y 8) 19 diecinueve chunka isqunniyuq (10 y 9)Como se puede observar, en el idioma castellano hasta el quince nombramosprimero a las unidades y después las decenas. A partir del número dieciséis,anteponemos las decenas y después nombramos las unidades.Por el contrario, en quechua las unidades siempre siguen a las decenas para losnúmeros del diez al diecinueve. Por eso, un niño o una niña quechua tiene mayordificultad con los números en castellano, que un niño o una niña castellano hablante.De hecho, al comienzo, los niños y las niñas que hablan castellano se confunden ydicen “diez y uno”, “diez y dos”, etc. En la cultura quechua no hay posibilidad deconfusión porque existe una sola regla para la composición de los números. Estaregla es la siguiente:Ejemplo: 29 = iskay chunka isconnyuc 2 x 10 + 9El niño y la niña quechua distingue de inmediato que en 29 hay dos 10 (decenas) ynueve unidades, mientras que el niño y la niña indígena no lo hace.La misma regla se observa también en el aymara.Ejemplo: 17 = tunka paqallquni 10 + 7 243 = pa patak pusi tunk kimsani 2 x 100 + 4 x 10 + 3 25
  26. 26. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivia A partir de estos ejemplos nos podemos dar cuenta de la conveniencia de enseñar las matemáticas a niños y niñas a partir de su idioma materno, de otra manera se obstaculiza el desarrollo del pensamiento matemático del niño o la niña, puesto que los sistemas numéricos de su lengua materna y aquel del castellano pueden estar basados sobre dos lógicas distintas.4.2 SUGERENCIAS METODOLÓGICAS. En la siguiente propuesta didáctica se pone énfasis en ofrecer a las/los estudiantes la posibilidad de reflexionar un poco sobre lo que es un sistema numérico y con qué términos científicos (lingüísticos) se le puede describir. El texto básico previo se puede utilizar como fuente de información y/o para elaborar una separata que esté a su disposición y agregamos algunas hojas de trabajo como material complementario. Es importante partir de los idiomas (los vernáculos o el castellano) que habla nuestro alumnado, y siempre relacionarlos con nuestras reflexiones en el aula.DESCRIPCIÓN Y COMPARACIÓN DE SISTEMAS NUMÉRICOS. Se presenta a los estudiantes una hoja de trabajo que muestra los números del 1 al 10 en diferentes idiomas 1.- Escriben los números en su propia lengua materna y en castellano. (Hoja de ejercicios 1) 2.- Observan los sistemas de numeración y articulan sus observaciones al comparar estos sistemas diferentes. 3.- Tratan de formular reglas en cuanto a la estructura lingüística de cada uno de los sistemas, en un trabajo grupal. EJEMPLOS: • En castellano hay diez palabras diferentes para los diez primeros números. • El sistema wao tiene como base el cinco. 4.- Después formulan observaciones a la comparación de los sistemas entre sí. EJEMPLOS: • En el aymara y quechua las palabras para el 3, 5, 6 y 10 son parecidas. • El candoshi utiliza un préstamo lingüístico del quechua para el 10. 5.- Se recogen los términos utilizados por los alumnos y las alumnas para la descripción de los sistemas numéricos, se aclara su uso correcto y se explica su significado. (Trabajar el paso 5 en la hoja de ejercicios 2, considerando el nivel de desarrollo de las capacidades lingüísticas y comunicativas de los niños/niñas) 26
  27. 27. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivia 27
  28. 28. Hoja de ejercicios 1 QuechuaNúmero en Castellano (Bolivia)Aymara (Perú)Candoshi (Ecuador)Wao (Ecuador)Chachi (Perú)Secaya maya minamta aruke main teó moño paya tsibono mea pallu cayaye kimsa tochpa meagoaruke pema toasoñe pusi iponponaro meagomea taapallu cajese pishqa zamiatpata emenpuke manda te’ejete suxta minam matayaro emenpuke goaruke manchismain yeque te’te ejatupe ejatupe queno maca paqallqu tsibon matayaro emenpuke gomea manchispallu ayo kimsaqallqu tochip matayaro emenpuke meagoaruke manchis pema jopoayo llatunka iponponaro matayaro emenpuke meagomea manchis taapallu jopoayo quenomaca ayo tunka chunka o koviz iptaro tipenpuke paitya si’ajena28 Hugo Sierra Valdivia Etnomatemática Andina en Educación Matemática
  29. 29. Hoja de ejercicios 2 vernáculaTérmino en lengua Análisis etimológico Aproximación significativa Estructura de formación 1 huk uno solo indivisibleel cosmos, la existencia, la unidad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1029 Hugo Sierra Valdivia Etnomatemática Andina en Educación Matemática
  30. 30. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivia KHIPU – SIGNOS5.1 INTRODUCCIÓN. La cosmovisión de las culturas andinas tiene su fundamento en una matemática ritual o simbólica. La matemática está conceptuada como otro medio de representación y recreación del orden cósmico. No hay sociedad sin creaciones mitológicas, prácticas rituales y representaciones iconográficas. Mientras que el mito presenta el orden de la sociedad, el rito lo actualiza y el icono lo ilustra. Enunciar el mito, celebrar el rito y fijarlos gráficamente son formas de perpetuar el orden. Así, hacer operaciones de cálculo y construcciones geométricas no tiene un sentido solamente funcional y técnico, sino que también intenta expresar una particular visión del mundo. En este acápite se presenta una introducción a la numerología andina y al significado de algunos símbolos numéricos y se explica las formas de representar cantidades gráficamente, lo que nos permite entrar al mundo de los números rituales andinos.5.2 NUMEROLOGÍA ANDINA. LUIZAGA, Jorge. Filosofía andina. Fundamentos, alteridad y perspectiva. La Paz. pp. 27 – 44. 1996. Sillares de la filosofía cosmológica andina. Nos preguntamos si la cultura andina conoció y utilizó un ordenamiento cósmico, si creó una filosofía cosmológica; si los tuvo ¿Qué signos utilizó para documentar estos conocimientos? Los signos numéricos rituales fueron los instrumentos con los cuales se registró este conocimiento y está ampliamente documentado por hallazgos arqueológicos de toda índole, por el arte textil andino, arcaico y contemporáneo; además, otras fuentes utilizaron y utilizan dichos signos. El significado filosófico de estos signos es un estudio que tiene que documentarse con otras fuentes, que esta vez son: el idioma, sus traducciones etimológicas, los mitos, la tradición oral y las crónicas de la época colonial. Un mito recopilado en la región del lago titicaca y documentado fragmentariamente en diferentes trabajos de investigación nos servirá de argumento para demostrar los enunciados que emanan de la filosofía numerológica, y lo presentaremos como fundamento de la temática del presente trabajo. 30
  31. 31. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra ValdiviaLamentablemente los mitos andinos han sido cercenados, arbitrariamentefragmentados y sufrido la inquisición de la religión intolerante que los conquistó.Entonces, lo deplorable de la recuperación de estos mitos es que se han rescatadomuchos, pero han sido depurados de todo lo que no les servía a los intereseshegemónicos y a la “misión” imperialista envenenados de poder, de losconquistadores. Eso significa que la mitología andina que conocemos es parcial yfragmentada por intereses creados de destrucción cultural.La tradición oral ha mantenido muchos mitos, pero sin los elementos fundamentalesde su esencia, cercenados no solo por la intolerancia religiosa, como ya lo dijimos,sino también por el transcurso del tiempo.Antropólogos, como Lévi y Strauss, han recuperado y estudiado los mitos, pero sinllegar a la conformación de un corpus mítico, donde se puede integrar los fragmentospara tener una mejor y total visión del contexto mítico andino y/o amazónico.El trabajo que hizo Jorge Luizaga por más de cinco años tiende a la reconstrucciónde mitos a partir de los fragmentos existentes. El grueso de su trabajo se orientó a lareconstrucción de un mito fundamental del génesis andino, que se pudo recuperarfragmentariamente desde la región de la Patagonia hasta la amazonía, dondeencontramos diferentes acepciones pero el mismo mensaje.El centro geográfico de este mito es el área del Lago Titicaca en sí y su periferia, lazona circunlacustre. El mito del génesis andino que se pudo restaurar de formacoherente reza de la siguiente manera. GÉNESIS ANDINO En la oscuridad de los tiempos, Ch’amak Pacha, era de tinieblas. Allí donde todo cohabitaba un solo espacio ilimitado, Sol y Luna en la inmensidad de la soledad que los acompañaba, buscaron en el fuego del amor, que nació ante la sola presencia de ambos, saciar aquel anhelo que los acosaba. Ese amor pasional tenía que ser fugaz, pues el ordenador del espacio sideral ( Pachakamac) no permitirá generación alguna en un estado donde la efectividad del Sol y la melancolía de la Luna iban a perturbar a un mismo tiempo a aquellos seres que poblarán un mundo futuro. Ese mundo futuro: la tierra (Pachamama) se interpone al amor del Sol y la Luna, generando así el día y la noche en un mundo que sentirá calor y frío, alegría y tristeza, vida y muerte, a lo largo de su existencia cíclica en el devenir de los tiempos. El Sol resignado a su destino busca solucionar la ausencia de su amada Luna con fortuitos amores que se le presentan en el azar de la vida. La Luna en ausencia perturbada, no concibe aquella separación y desconsoladamente llora por muchas noches y días, ocasionando así el primer y único diluvio andino. Las lágrimas cuajadas de cristalizan tristeza son albergadas en la Tierra y generan el lago sagrado de los Andes: el Lago Titicaca. 31
  32. 32. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivia Pasaron muchas décadas o quizás siglos que vivían para sí en soledad sentida: Sol y Luna. Fue así como el Sol quiso dar fin a la oquedad que regía el universo y decidió encontrase con ese primer amor que todavía quemaba sus entrañas: la Luna, y volver a sentir nuevamente el calor que los había unido en el amanecer de los tiempos, aún, cuando ese encuentro sea solo por algunos instantes. La Luna, dolida aún, no podía concebir estar nuevamente frente a frente con aquel ser que amaba todavía. Ella evitaba ese encuentro recogiéndose lo más temprano posible a sus aposentos de ausencia y desconsuelo. El Sol buscaba a toda costa poder encontrarla, amaneciendo cada día más temprano, con la esperanza de volver a reflejarse en aquellos ojos azabaches, donde la melancolía fue el origen de esa necesidad de vida. Por aquellos azares del destino, después de tanto tiempo de desesperada búsqueda y encuentros fallidos, la Luna se atrasó unos instantes en el horizonte e esperanza que dibujaban las montañas de la cordillera. El Sol acababa de salir regalando luz a la Tierra, en un calor de entrega desinteresada. En ese instante. Aquel instante siempre soñado, aquel instante que ayer fuera imposible, hoy se convierte en realidad. Allí estaban nuevamente frente a frente, en el universo. La Luna reflejaba su faz en las cristalinas aguas del lago, otras lágrimas de desconsuelo por ella vertidas. El Sol, embellecido por aquella imagen amada, logró por un instante detener su cotidiano viaje por el firmamento. Son sus imágenes reflejadas en el lago sagrado de los Andes (Lecho preconcebido) que, con abrazo infinito logran en ese anhelado momento de unión fecundarse en inconmensurable dicha. Cuentan nuestros antepasados que cada que las imágenes del Sol y la Luna copulan en las aguas sagradas del lago, se genera la fuerza vital ( Wira) que dio origen y hoy regenera y consolida nuestras vidas en el devenir cíclico del génesis andino.Volviendo al contexto filosófico, podemos decir que el ordenamiento de las especiesen el pensamiento andino se entiende como un ordenamiento basado en la reflexión.Mediante ella todas las especies y objetos (individuales) obtienen un lugar en elespacio–tiempo del mundo andino (Pacha). 32
  33. 33. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivia Esta reflexión del orden cósmico, utiliza signos matemáticos de ordenamiento, que se diferencian fundamentalmente de la numeración arábiga utilizada hoy en día, porque en sí son ya una construcción matemática. Además el ordenamiento numérico andino, considera una compleja interrelación de contenidos: • Principio cósmico. • Contenido filosófico (concepto.) • Signo cosmológico. El sentido de la numeración cosmológica con progresión numérica del 1 al 5, podemos considerarlo como la doctrina del génesis andino. Este génesis no es una simple creación, sino una emanación progresiva e infinita de generación de vida a partir de una primera unidad. Los números sacros del 1 al 5 son pasos fundamentales de dicha emanación y cada número manifiesta un plano de realización concreta. Todos estos planos juntos, por interrelación, forman el concepto de “realidad andina” en si concluida, pero no finalizada en el proceso evolutivo de la humanidad. La realidad andina está configurada por las cinco cualidades numérico – filosóficas, que son los fundamentos de la vida como tal. Ahora bien, ¿en que relación se encuentran los planos o esferas de la realidad? Estos planos o esferas se encuentran en una relación análoga. Entonces, todo lo que existe en un plano será analógicamente replicado en el plano subsiguiente, bajo dos conceptos fundamentales, y son la ley de relatividad y la ley de analogía que se definen de la siguiente manera:5.4 LEY DE RELATIVIDAD ANDINA: Toda réplica entre planos y/o esferas se rige bajo el principio de relatividad, por el cual nunca serán iguales sino únicamente similares en su contenido conceptual, bajo un sistema simbólico sincrónico, en el que la energía potencial es representada por el Sol, y que, a su vez, tiene sus correspondencias:  La estelomorfa (la constelación de Orión),  La zoomorfa (el cóndor),  La fitomorfa (el maíz),  La geomorfa (los achachila de las montañas), y  La humanomorfa (hombre) La energía dinámica es representada por la Luna, y sus correspondencias son:  La estelomorfa (la constelación de Cuz del Sur),  La zoomorfa (el puma), 33
  34. 34. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivia  La fitomorfa (el cactus),  La geomorfa (la apachita de las montañas), y  La humanomorfa (mujer)5.5 LEY DE ANALOGÍA: En consecuencia, esta ley, bajo ese principio de relatividad, considera al microcosmo reflejo del macrocosmo, o en su versión esotérica, lo de abajo es como lo de arriba, y viceversa. Entonces, analogía en el pensamiento andino es el factor generador del sistema y no entiende como atributo o estructura de formación lógica ni substancial en busca de una causa final. Por las razones anteriormente discutidas, los números rituales andinos comprenden estados relativos a lo social, administrativo y económico, etc. No son simples codificaciones numéricas sino una necesidad cultural para reflejar estados dinámicos de procesos que transmiten el devenir del cosmos, expresado por el misterio de la vida. Bajo esa visión filosófica, es que ahora podemos dedicarnos a explicar los contenidos filosóficos de números rituales andinos que devienen del mito genético andino. PRIMERA CUALIDAD. La cualidad primera tiene el significado de “ser primogénito, causa única y el principio del cosmos por excelencia” su signo es la abstracción de la espiral. La espiral es la forma básica de todo movimiento cósmico, comprendiendo su sentido ascendente y descendente, respectivamente, que cumple la categoría de complementariedad de opuestos. Y es la espiral el signo para simbolizar el inicio primigenio. La primera cualidad no es cuantificable, lo uno todavía no es un número. El uno absoluto es incontable, indeterminable e irreconocible. Lo uno necesariamente solo puede ser reconocido si existe “lo otro”. Pero mientras la primera unidad no se divida, será la negación del todo y por ende de la vida. El concepto de la primera unidad en sí es la representación del cosmos en su totalidad y abarca la infinitud que se despliegan en todas las direcciones. • Como Unidad en sí, su despliegue o dilatación es, en sí misma, hacia adentro. 34
  35. 35. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdivia• Como unidad en la dualidad, su despliegue es la reflexión recíproca e invertida de sí.• Como unidad en la multiplicidad (en la trinidad, en la tetracidad, etc.), su despliegue configura la concepción del espacio-tiempo en la cultura andina.De esa manera, la primera cualidad es la pre-manifestación del génesis. A partir deesta cualidad las subsiguientes están definidas por su posición en torno a laemanación generada por ella. Las cualidades numéricas se encuentranintrínsecamente unidas, pero mantienen su independencia y su posición convaloración propia.La primera cualidad como tal no es ni número ni cantidad, obedece a la característicade blanco (jan-qu), que no es color. Jan-qu traducido etimológicamente del aymara,significa sin energía, por ende si color.Finalmente, se desprenden de esta cualidad dos axiomas fundamentales de lafilosofía andina.• La unidad en sí únicamente se concibe en la multiplicidad (por lo menos en la dualidad)• La unidad es inseparable e inconcebible fuera de la dualidad. La importancia de la primera unidad en sí reside en ser el motor energético en el proceso de emanación que se autogenera a partir del despliegue de las cualidades numéricas siguientes.SEGUNDA CUALIDADLa cualidad segunda es el impulso creador manifestado, que se originó en la causaprimera del ser primogénito y el cosmos como tal (comparar, en el mito del génesisandino, con la metáfora del Sol y la Luna)La filosofía europea, no considera esta categoría filosófica; lo más cercano a esteenunciado lo encontramos en Platón con su concepto de “dualidad indeterminada”, oen algunas teorías metafísicas europeas que consideran al principio generador comoalgo que tiene que volverse en sí para ser productor.En la actualidad, el pensamiento netamente racional y las religiones monoteístas noaceptan la concepción de dualidad, porque niega la omnipotencia de la unidad yconsidera a la totalidad inherente a la dualidad.Esto significa que el todo solo se expresa dentro de esta categoría como el par deopuestos complementarios, no antagonistas (complementariedad de opuestos, noantagonistas).Profundizando en el pensamiento andino, diremos que esta cualidad representa elmovimiento generador de la partición primigenia de la unidad en sí; y se hasimbolizado dentro de los números sacros andinos como la suma de la unidad en sí ysu imagen reflejada: 35
  36. 36. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra ValdiviaLa segunda unidad todavía no es la pluralidad, ella pertenece a la esfera de latotalidad unitaria, pero introduce en el todo el movimiento. Mientras que la primeracualidad expresa la totalidad en reposo e inercia, y la segunda es la manifestación yel impulso. De ese impulso del estado inerte es que se genera la primera partición.En una primera etapa se trata de una división interna (por esa razón se habla departición aparente), porque todavía no se separa de la unidad total. El impulsoprimigenio genera la primera polarización interna de la primera unidad y ocasiona eldespliegue de la imagen reflejada de la totalidad.El mito utiliza la metáfora del Sol, como imagen y de la Luna como imagen reflejada.¿Qué, quién y cómo ocurre la reflexión? La totalidad busca auto reconocerse y lohace por medio de la reflexión, originando su imagen reflejada como la diferenciacomplementaria de si.El pensamiento andino utiliza una reflexión diferente y sui generis. Utiliza la reflexiónen un espejo cóncavo, donde la imagen reflejada es el opuesto inverso de la imagenen sí. La reflexión no solamente produce la imagen reflejada, sino que también,después de liberar a la imagen reflejada, deja espacio a la segunda fuerza cósmica:la imagen y la imagen reflejada.Por esa razón la primera unidad busca su auto sacrificio. Ese auto sacrificio tienegran significado, pues ocasiona un retorno a la oscuridad, a la muerte y provoca ladualidad de contrarios (luz y no-luz; positivo y no-positivo; negativo y no negativo, elser y el no-ser; el estar y el no-estar, etc.)Al retornar la primera unidad a lo inconmensurable, al vacío, (ch’usa), a un estado sincontenido, sin determinación, esta se convierte en un punto de paso que rige lo estary lo no-estar y es el nexo neutro entre los opuestos complementarios (tinku). Esepunto, donde retorna la primera cualidad, es un estado sin cuerpo, sin sombra, sinatracción y sin límites.Un aspecto importante del auto sacrificio de la primera unidad es también eldespliegue de los elementos primogénitos.• El elemento fuego (nina)• El elemento agua (yaco)• El elemento aire (wayra)• El elemento tierra (pachamama) 36
  37. 37. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra ValdiviaEstos elementos energéticos, son energías o potencialidades de transformación ypor ello tienen un gran significado en la emanación a partir de la primera unidad.Estos elementos primogénitos se encuentran en posición opuesta a la primeraunidad, porque carecen de neutralidad, allí donde se encuentran juegan un papeldecisivo, porque se confrontan, se conglomeran y aportan a la complementariedadde los opuestos.Observemos el papel que juega el elemento aire en la reflexión de la primera unidad.El impulso primigenio de la primera unidad proita el despliegue de la imagen y suimagen reflejada, ¿bajo que circunstancias se realiza esta reflexión?, ¿dónde,cuando y en qué se reflejará la primera unidad?En el Universo, en la inmensidad donde espacio y tiempo no existen, se encuentra elescenario donde se genera la primera reflexión en el espejo – aire. Solo el elementoaire puede cumplir con los requerimientos de esta primera reflexión que es a-espacialy a-temporal y a-causal. Para el pensamiento racional, la presencia del elemento aireantes de la reflexión es una contradicción, ya que los elementos se generan por laparticipación de la totalidad, es decir por intermedio de la reflexión. Pero aquíestamos frente a un problema a-lógico para el entendimiento racional propiamentedicho. Y es la concepción de simultaneidad no secuencial, ni lineal, con el que operael pensamiento andino a-causal.La simultaneidad es una noción que el pensamiento andino considera como unproceso de auténtica simultaneidad, en el que origen, causa y efecto, se generan alunísono. Además el despliegue de los elementos obedece a una secuencia pre-concebida: el elemento aire aparece simultáneamente con los elementos fuego yagua, generando el escenario propicio para la reflexión. Estos elementos (fuego,agua y aire) conforman la primera trinidad andina, origen de la concepción filosóficade la segunda cualidad.Finalmente, la aparición del elemento tierra servirá para la reflexión de los elementosfuego y agua (segunda trinidad generatriz), definiendo un espacio, es decir, quegenerará la localización de la segunda reflexión de las imágenes del Sol y la Luna,como reza en el mito del génesis andino.Los elementos aire y tierra son energías de trans-substanciación intermediarias y loselementos fuego y agua son energías de trans-substanciación determinantes oconsecuenciales que se encuentran en un estado de oposición complementaria,formando dos pares de oposición: aire / tierra y fuego / agua.Estos dos pares de oposición forman la tetra-complementariedad del pensamientoandino. Se entiende por tetra-complementariedad al sistema lógico de pensamientono antagonista del pensamiento andino, que se basa y fundamenta en el manejo dedos pares mínimos (uno intermediario y el otro determinante) para la conformaciónde un instrumento con cuatro elementos diferentes, que sin aislar a ningún elementode análisis, logra consenso. Especialmente la lógica andina utiliza este tipo deinferencia, donde no se elimina al tercero (tercero excluido) y se logra haceraseveraciones de verdad a partir de premisas dudosas o aparentemente no-ciertas,para lo lógica formal.Entonces, el origen de la imagen reflejada produce la diferenciación de la totalidad ensus opuestos complementarios, este estado de diferenciación lo podemos considerar 37
  38. 38. Etnomatemática Andina en Educación Matemática Hugo Sierra Valdiviacomo la tendencia a la separación, al aislamiento, a la disolución, pero a la vez seencuentra en re-sonancia, con una relación de tendencia a la re-unión, al re-encuentro.Las dos tendencias juntas (de separación y de unión) originan la tensión y la crisisque precede a toda creación. El mito utiliza como metáfora el desconsuelo amoroso yel momento de re-encuentro y unión.En esta cualidad encontramos una expresión fundamental de la ley de analogía. Elproceso de reflexión de la totalidad se repite en todo lo creado, hasta la expresiónmás ínfima de vida, es decir que todo se rige por esta categoría filosófica andina, yaque esta reflexión es dinámica y el ser reside en la totalidad.TERCERA CUALIDADLa tercera cualidad representa la creación individualizada de la primera dualidadgeneratriz complementaria. Representa la vida (terrenal), la fuerza, el sonido y lamanifestación material de todo lo creado; es por eso que cada forma y contenidoconcretos son parte de la creación y representan la unidad en la trinidad.Esta cualidad es la expresión de la vida en sí: la humana, la animal, la vegetal y lamineral como género. Por analogía esa creación también es generatriz: vida materiales vida generadora de vida, que asume, a partir de la analogía por reflexión, lascaracterísticas generatrices de la primera dualidad.Su signo se constituye a partir del signo del dualismo generatriz como base yfundamento, más el producto de éste como espiral simple que se adhiere, generandoasí, todas las especies en lo femenino y masculino respectivamente.Aquí nos encontramos con la tercera reflexión, donde lo masculino y/o femenino nose refleja en su opuesto complementario para que después de su individuación porgénero aseguren la vida. Esta reflexión es una paso a lo concreto y experimenta unadisminución energética que asegura la libertad de acción de los individuos para supropio desarrollo. 38

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