Calculo2 2014 introduccion_1

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  • 1. C´alculo Diferencial e Integral II 29 de julio de 2013 Tema 1 Ejemplos que conducen al concepto de integral definida (´Area bajo una curva, trabajo, etc.) ´Area Al definir ´area aceptaremos que el ´area A(Ω) de un conjunto cumple las siguientes propiedades: 1)A(Ω) ≥ 0 (El ´area de un conjunto debe ser un n´umero no negativo) 2)Si Ω es un cuadrado de lado K entonces A(Ω) = k2 3)El ´area del todo es la suma de sus partes. A(Ω) = 4 i=1 A(Ωi) Prof. Esteban Rub´en Hurtado Cruz 1 of 6
  • 2. C´alculo Diferencial e Integral II 29 de julio de 2013 Para definir el ´area de un conjunto S en plano x,y se usan subdivisiones sucesivas del plano en cuadrados definidos por las rectas x = 0, ±1, ±2 ± 3, · · · , y = 0, ±1, ±2 ± 3, · · · lo cual divide al plano completo en cuadrados de lado 1. Podemos denotar por A+ 0 (S) el n´umero de cuadrados que recubren S Analogamente denotamos por A− 0 (S) el n´umero de cuadrados que estan completamente contenidos en S Prof. Esteban Rub´en Hurtado Cruz 2 of 6
  • 3. C´alculo Diferencial e Integral II 29 de julio de 2013 Si dividimos cada cuadrado en cuatro cuadrados iguales de lado 1 2 y ´area 1 4 y denotemos por A+ 1 (S) la cuarta parte de aquellos subcuadrados que tienen puntos que cubren a S y por A− 1 (S) la cuarta parte de aquellos subcuadrados que estan completamente contenidos en S Como cada cuadrado unitario completamente contenido en S da lugar a cuatro subcuadrados completa- mente contenidos en S, se tiene que A− 0 (S) ≤ A− 1 (S) y de manera analoga, A+ 0 (S) ≥ A− 1 (S). Continuando este proceso se obtiene con los valores de A+ n (S) una sucesi´on monotona decreciente y acotada que con- verge hacia un valor A+ (S), mientras que con los valores de A− n (S) formamos una sucesi´on monotona creciente y acotada que converge hacia un valor A− (S), donde cada uno de estos valores representa el ´area exterior y el ´area interior respectivamente. Diremos que el ´area de S A(S) = A− = i,j⊂S 2−2n = l´ım n→∞ A− n = A+ = i,j∩S=∅ 2−2n = l´ım n→∞ A+ n Prof. Esteban Rub´en Hurtado Cruz 3 of 6
  • 4. C´alculo Diferencial e Integral II 29 de julio de 2013 Proposici´on 1. Dado un rect´angulo S con lados a,b su ´area esta determinada por el producto de sus lados. Demostraci´on. Dado el rect´angulo ABCD Vamos a formar una red de cuadrados de lado 2−n que cubren al rect´angulo. Determinaremos el n´umero de cuadrados que contienen al rect´angulo y el n´umero de cuadrados contenidos en el rect´angulo seg´un la figura el n´umero de cuadrados contenidos en el rect´angulo ser´a mn, mientras que el n´umero de cuadrados que contienen al rect´angulo no ser´a mayor que (m + 1)(n + 1). De aqu´ı resulta que el ´area S del rect´angulo est´a comprendida entre mn 22n ≤ S < (m + 1)(n + 1) 22n Por otro lado m 2n ≤ b < m + 1 2n y n 2n ≤ a < n + 1 2n ⇒ mn 22n ≤ ab < (m + 1)(n + 1) 22n por lo tanto |S − ab| ≤ (m + 1)(n + 1) 22n − mn 22n tomando n suficientemente grande se tiene que S = ab Prof. Esteban Rub´en Hurtado Cruz 4 of 6