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01 sequência

  1. 1. Matemática – 2º Ano Sequências Introdução Observe abaixo um pedaço do calendário do mês de abril. Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sab 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 O dia 25 cairá em que dia da semana? Uma das maneiras de verificar isso é percebendo que de 7 em 7 dias ocorre à repetição do diada semana. Como 25 – 7 = 18 e 18 – 7 = 11, que cai numa segunda, então dia 25 também cairá numasegunda. Uma forma diferente de contatar isso é listando todos os dias do mês de abril, até chegarmosno dia 25: 1º – Sexta 2º – Sábado 3º – Domingo 4º – Segunda 5º – Terça 24º – Domingo 25º – Segunda Esse processo de ordenamento dos dias da semana passa pelo conceito de sequência – uma lis-ta ordenada de objetos. Aqui, o vigésimo quinto elemento da sequência é “Segunda”. Escrevemoscom a simbologia a 25 = Segunda . Na matemática, as sequências que mais estudamos são as numéricas, aquelas em que os ele-mentos são números. Definição De modo simples, pode–se dizer que uma sequência, ou sucessão, é um conjunto de objetos dequalquer natureza organizados ou escritos numa ordem bem determinada. Assim, por exemplo, pode-mos falar na sequência dos dias da semana (domingo, segunda–feira, terça–feira, quarta–feira, quinta–feira, sexta–feira, sábado) ou na sequência dos números ímpares naturais em ordem crescente(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, … . ) Observe que a sequência dos dias da semana é um sequência finita e a dos números ímpares éuma sequência infinita. Representação Para representar uma sequência, escrevemos seus elementos, ou termos, entre parênteses. Porexemplo, para representar a sequência dos números primos, fazemos assim: (2, 3, 5, 7, 11, … ) Genericamente, uma sequência será representada da seguinte maneira: (a1 , a 2 , a 3 , a 4 , …, a n , …) , com n * . Os índices associados à letra a indicam as posições dos termos na sequência, logo: a1 representa o primeiro termo; a 2 representa o segundo termo; a n representa o n–ésimo termo (um termo qualquer). Página 1
  2. 2. Matemática – 2º Ano Observações1) Para qualquer sequência, a n 1 representa o antecessor de a n e a n + 1 representa o sucessor dean .2) Na sequência (a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , a 8 , a 9 , a10 ) , os termos a 1 e a 10 são ditos extremos, e ostermos a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , a 8 e a 9 são denominados meios. Dois termos serão ditos equidistantesdos extremos quando a soma dos seus índices coincidirem com a soma dos índices dos extremos. As-sim, podemos verificar que os termos a 3 e a 8 são equidistantes dos extremos, pois 3 + 8 = 1 + 10 .3) Se uma sequência tem uma quantidade ímpar de termos, então o índice do seu termo central(médio) será igual à média aritmética dos índices dos extremos ou de seus equidistantes. Lei de formação Para determinarmos os termos de uma sequência numérica, devemos ter uma propriedade co-mum entre seus elementos ou uma fórmula matemática que os determine. Exemplo * A fórmula matemática a n = 2n 1 , com n , é denominada lei de formação da sequênciados números ímpares, pois para: n = 1, temos a1 = 2 (1) – 1 a1 = 1 n = 2, temos a 2 = 2 (2) – 1 a2 = 3 n = 3, temos a 3 = 2 (3) – 1 a3 = 5 n = 4, temos a 4 = 2 (4) – 1 a4 = 7 A sequência obtida é: (1 , 3 , 5 , 7 , …). Exercícios resolvidos1) Determine o sexto termo da sequência que 3) Determine os quatro primeiro termos dapossui como lei de formação (termo geral) a =3a n = 2n + 5 sequência cuja lei de formação é 1 an = 2 + an – 1 Resolução Resoluçãoa n = 2n + 5 a6 = 2 (6) + 5 a2 = 2 + a2 – 1 a 2 = 2 + a1a 6 = 12 + 5 a 6 = 17 a2 = 2 + 3 a2 = 5Portanto, o sexto termo da sequência é 17. a3 = 2 + a2 a3 = 2 + 5 a3 = 72) A soma dos seis primeiros termos de uma a 4 = 2 + a3 a4 = 2 + 7 a4 = 9 10, se n for par Portanto, os quatro primeiros termos sãosequência dada por a n = é: (3, 5, 7, 9) . 2n, se n for ímpar Resolução 4) Qual a ordem do termo central de uma se- quência que possui onze termos?a1 = 2 (1) = 2; a 2 = 10; a 3 = 2 (3) = 6; Resoluçãoa 4 = 10; a 5 = 2 (5) = 10; a 6 = 10.Portanto, a sequência é Para uma sequência de onze termos, os extremos 2, 10 , 6, 10, 10, 10, , e a soma dos seus seis são a 1 e a 11 ; logo, o seu termo central será a 6 ,primeiro termos é 48. 1 + 11 pois 6 = . 2 Página 2
  3. 3. Matemática – 2º Ano Exercícios1) Para cada sequência, determine os termos 7) (UFC-CE) Um garoto brinca de arrumarpedidos. palitos, fazendo uma sequência de quadrados, a2 = cada um com uma diagonal, como na figura:a) (1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, …) a6 = a1 =b) (-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, …) a4 = O número de palitos que ele utilizará para fazer a6 = 100 quadrados, tendo em cada um uma diagonal, é igual a: a1 = a) 401.c) (a, e, i, o, u) a3 = b) 411. a5 = c) 421. d) 431. (-32, 16, -8, 4, -2, 1) e) 444.d) termos de ordem ímpar: termos de ordem par: 8) O termo de valor 35 ocupa que posição na sequência dado por a n = 2n – 3 ?2) Para cada item abaixo, de acordo com a sualei de formação, determine a sequência dos: 9) Complete a tabela de acordo com os dadosa) Divisores positivos de 36, em ordem ascen- fornecidos em cada linha.dente; Termo Posição Lei deb) Múltiplos não negativos de 3, em ordem qualquer da Ocupada formaçãoascendente; sequência pelo termoc) Números ímpares que soa quadrados perfei- a n = 3n + 1 a n = 31 n=tos; a n = (2)n – 100 a7 = n=7d) Número pares entre 5 e 20. a n = (81)2 n a4 = n=43) Determine o sétimo termo da sequênciadado por a n = 10n 2n 2 , com n * . 10) Determine a ordem do termo central numa sequência que possui quinze termos.4) A soma dos oito primeiros termos da se-quência dada por 11) Os termos a 5 e a 15 são equidistantes dos 2 n , se n for primo extremos para uma sequência de vinte termos?an = é: 2n + 1, se n não for primo 12) (Enem) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) – objeto que pode ser dividido em par-5) Determine a sequência de dez termos dada tes que possuem semelhança com o objeto inici- a1 = 28 al. A geometria fractal, criada no século XX,por . estuda as propriedades e o comportamento dos a n = 2– n a n – 1 fractais – objetos geométricos formados por repe- tições de padrões similares.6) Determine o próximo termo de cada uma O triângulo de Sierpinski, uma das formas ele-das seguintes sequências. mentares da geometria fractal, pode ser obtidoa) (1, 1, 2, 3, 5, 8, …) a7 = por meio dos seguintes passos:b) (1, 3, 5, 7, … ) a5 = 1) Comece com um triângulo equilátero (figu-c) (1, 2, 4, 7, 11, 16, …) a7 = ra 1); 2) Construa um triângulo em que cada ladod) (0,5; 0,25; 0,125; …) a4 = tenha a metade do tamanho do lado do triânguloe) (1, 3, 7, 13, 21, 31, …) a7 = anterior e faça três cópias; Página 3
  4. 4. Matemática – 2º Ano3) Posicione essas cópias de maneira que cada 13) (Enem) Uma pessoa procurou encontrartriângulo tenha um vértice comum com um dos uma maneira de arrumar bolinhas de 1 cm devértices de cada um dos outros dois triângulos, diâmetro numa caixa cúbica de 10 cm de aresta,conforme a figura 2; onde cada bolinha de uma camada se apoiaria em4) Repita sucessivamente os passos 2 e 3 para 4 bolinhas da camada inferior, como mostra acada cópia dos triângulos obtidos no posso 3 (fi- figura. Ele iniciou colocando na base da caixagura 3) 100 bolinhas, na segunda camada 81 bolinhas e assim por diante, sempre diminuindo o número de bolinhas a cada nova camada. Deste modo quantas bolinhas ele conseguiu colocar na caixa?a) 14) (Supra-SC) Usando cubos, podemos fazer as seguintes construções: na primeira, usamos 1 cubo; na segunda, 6 cubos e na terceira, 11 cu- bos. Quantos cubos usaremos na décima constru- ção?b) a) 31. b) 35. c) 36. d) 45. e) 46c) 15) Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci (filho de Bonacci), foi um matemático italiano que viveu de 1180 a 1250, aproximada- mente.d) Em 1202, ele propôs o problema a seguir, de grande repercussão por ter aplicações em várias áreas do conhecimento, como Economia, Biolo- gia, Física, etc. Admitindo-se que cada casal de coelhos só pro- crie dois meses após o seu nascimento e que, ae) partir de então, gere um casal a cada mês, quan- tos casais haverá ao final de doze meses, partin- do-se de um único casal de coelhos recém- nascidos? Indicando por a n o número de casais, no mês n temos: Página 4
  5. 5. Matemática – 2º Anoa1 = 1 , pois no primeiro mês haverá um único 16) (Unifesp) Dia 20 de julho de 2008 caiu numcasal; domingo. Três mil dias após, essa data cairá:a 2 = 1 , pois no segundo mês haverá um único a) Numa quinta-feira. b) Numa sexta-feira.casal; c) Num sábado.a 3 = 2 , pois no terceiro mês terá nascido um d) Num domingo.novo casal e, portanto, haverá um total de dois e) Numa segunda-feira.casais;a 4 = 3 , pois no quarto mês terá nascido um novocasal e, portanto, haverá um total de três casais; eassim por diante. Dessa forma, obtemos a se-quência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, … . )Observando que os dois primeiro termos são i-guais a 1 e que cada termo, a partir do terceiro, éa soma dos dois anteriores, represente os dozeprimeiro termos da sequência de Fibonacci (o 12ºé a resposta do problema proposto por Fibonac-ci). Página 5

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