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  • 1. Ing.  Humberto Jiménez Olea
  • 2. Dada una fuerza en el espacio (F) que actúa en el origen O del sistema de coordenadas  XYZXYZ. Para definir su dirección se traza el plano OBAC que contiene a la fuerza (F). Este plano pasa a  é d l j i l Ytravés del eje vertical Y. Su orientación esta definida por el ángulo φ que  forma por el plano XY Mientras que la direcciónforma por el plano XY. Mientras que la dirección  de F dentro del plano esta definida por el ángulo  θy que forma la fuerza con respecto al eje Y.  Ing.  Humberto Jiménez Olea
  • 3. La fuerza F puede descomponerse en una componente vertical Fy y una componente  horizontal Fh. Esto se hace en el plano OBAC , donde las  componentes escalares correspondientes son:componentes escalares correspondientes son: Fy = F cos θy Fh = F sen θy La Fh a su vez puede descomponerse en sus 2  componentes rectangulares  Fx y Fz a lo largo de los ejes  X y Z esta operación se realiza en el plano XZ como se veX y Z, esta operación se realiza en el plano XZ, como se ve  en la figura. Entonces tenemos que: Fx = Fh cos φ = F sen θy cos φ La fuerza se ha descompuesto en 3  componentes vectoriales rectangulares:x h φ y φ Fz = Fh sen φ = F sen θy sen φ componentes vectoriales rectangulares: Fx, Fy y Fz Ing.  Humberto Jiménez Olea
  • 4. Por otro lado podemos aplicar el teorema de Pitágoras a los  triángulos OAB y OCD de la figura por lo que podemostriángulos OAB y OCD de la figura, por lo que podemos  relacionar: F2 = (OA)2 = (OB)2 + (BA)2 = Fy 2 + Fh 2( ) ( ) ( ) y h Fh 2 = (OC)2 = (OD)2 + (DC)2 = Fx 2 + Fz 2 Si eliminamos Fh 2 de estas 2 ecuaciones y se despeja F se  obtiene la siguiente relación entre la magnitud de F y sus  componentes rectangulares:componentes rectangulares: F2 = (OA)2 = (OB)2 + (BA)2 = Fy 2 + Fh 2 222 zyx FFFF ++= y Ing.  Humberto Jiménez Olea
  • 5. Si trazamos una “caja” que tenga como arista a Fx, Fy y Fz como se ve en la figura de la izquierda podemos relacionar loscomo se ve en la figura de la izquierda, podemos relacionar los  triángulos OAD, OAE  con el triangulo OAE que fue utilizado  para deducir nuestra primera formula (Fy = F cos θy ), por lo  que podemos relacionar: Fx = F cos θx Fy = F cos θy Fz = F cos θz 3 á l θ θ θ d fi l di ió d l f FLos 3 ángulos θx, θy, y θz definen la dirección de la fuerza F,  los cosenos de estos ángulos se conocen como cosenos  directores de la fuerza F. Ing.  Humberto Jiménez Olea
  • 6. Ejercicio 1: Una fuerza de 500N forma ángulos de 60°, 45° y 120° con los ejes X, Y y Z respectivamente. E l F F F d l fEncuentra las componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza.  Resultado: Fx = 250N, Fy = 354 N, Fz = ‐250 N Relaciones de los Cosenos DirectoresRelaciones de los Cosenos Directores (cos θx)2 + (cos θy)2 + (cos θz)2 = 1 cos θx = Fx / F cos θy = Fy / F          cos θz = Fz / F Ejercicio 2: Una fuerza de F tiene las componentes Fx = 20 lb, Fy ‐30 lb y Fz = 60 lb. Determina la p x , y y z magnitud de F y los angulos θx, θy, y θz que forman con los ejes de coordenadas. Respuestas: F = 70 lb,   θx = 73.4°,   θy = 115.4°, y θz = 31°
  • 7. Fuerza definida por su magnitud y 2 puntos sobre su línea de acción. El vector MNv se representa con sus componentes escalares por:  MNv = dx + dy + dz El vector unitario λ puede obtenerse con : λ = MNv / MN = 1/d (dx + dy + dz)El vector unitario λ puede obtenerse con :   λ = MNv / MN = 1/d (dx + dy + dz) F  es igual al producto de F y λ, por lo tanto:   F = F λ = F/d (dx + dy + dz) Podemos encontrar la distancia (d) de M a N con la siguiente relación: 222 zyx dddd ++= Los ángulos se obtienen con:Las componentes se obtienen con: Los ángulos se obtienen con: cos θx = dx / d cos θy = dy / d       cos θz = dz / d Las componentes se obtienen con: Fx = F dx / d Fy = F dy / d       Fz = F dz / d Ing.  Humberto Jiménez Olea
  • 8. El alambre de una torre esta anclado en A por medio de un perno, la tensión en el alambre es d 2 500 Nde 2,500 N. Determine las componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza que actúa sobre el perno. Los ángulos θx, θy, y θz que definen la dirección de la fuerza.θy, y θz que definen la dirección de la fuerza. Resultado: Fx = –1 060 N F 2 120 N cos θx = 115.1° θ 32°Fy = 2,120 N Fz = 795 N cos θy = 32° cos θz = 71.5° Metodología: 1.‐ Determinar dx, dy y dz en base al diagrama.y 2.‐ Encontrar la distancia del vector (d). 3.‐ Encontrar las componentes Fx, Fy y Fz. 4.‐ Por último calcular los ángulos de dirección de la fuerza θx, θy, y θz Ing.  Humberto Jiménez Olea
  • 9. Adicción de fuerzas en el espacio. La resultante es la suma de 2 o más fuerza en el espacioLa resultante es  la suma de 2 o más fuerza en el espacio. R = ΣF La resultante R de 2 o más fuerzas en el espacio se calcula sumando sus componentes  rectangulares.rectangulares. R = Rx + Ry + Rz Para determinar las componentes de la fuerza resultante tenemos que: Rx = ΣFx Ry = ΣFy Rz = ΣFzRx  ΣFx Ry  ΣFy Rz  ΣFz La magnitud de la resultante y los ángulos de dirección en el espacio con respecto a los ejes  de coordenadas con las siguientes relaciones: 222 zyx RRRR ++= cos θx = Rx / R cos θy = Ry / R            cos θz = Rz / R Ing.  Humberto Jiménez Olea
  • 10. Una sección de una pared de concreto precolado se sostiene temporalmente por los cables mostrados en la fi d l i i d S b l t ió d 840figura de la izquierda. Se sabe que la tensión es de 840 lb en el cable AB y 1,200 lb en el cable AC. Determina la magnitud y dirección de la resultante de las fuerzas ejercidas por los cables AB y AC sobre la estaca A R = 1,650 lb cos θ = 150 8°cos θx = 150.8 cos θy = 64.1° cos θz = 102.6° Metodología: 1.‐ Determinar dx, dy y dz en base al diagrama AB y AC. 2.‐ Encontrar la distancia del vector (d) de AB y AC. 3 ‐ Encontrar las componentes F F y F de AB y AC3. Encontrar las componentes Fx, Fy y Fz de AB y AC. 4.‐ Encontrar las componentes Rx, Ry y Rz mediante la suma de las componentes de AB y AC (respetar los signos). 5.‐ Encontrar R. 4.‐ Por último calcular los ángulos de dirección de la Resultante θx, θy, y θz Ing.  Humberto Jiménez Olea

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