2. 1. una sucesión numérica se caracteriza por tener como términos a los
números , distribuidos y ordenados de acuerdo a una ley de formación.
Veamos:
1° 2° 3° 4°……… n°
t1 t2 t3 t4 tn Término de una sucesión
Donde : tn Término general o enésimo termino.
Ejemplos:
tn = 2n − 3 -1 ; 1 ; 3 ; 5 ; …..
f(n) = n + 1 2
2 ; 5 ; 10 ; 17 ; ……
3. DEFINICIÓN .-una sucesión de números reales es una función f: N en R
definida en el conjunto N = { 1 ; 2 ; 3 ; ….} de números naturales y que va
formando valores en el conjunto R de los números reales.
N t R
1
2 −1
1
3
4 3
5
tn = 2n − 3
5. Ejemplo 1
La sucesión para el cual : t n = 2n − 1
2
Los términos son: 1 ;7 ; 17 ; 31 ; …..
Ejemplo 2
1
La sucesión para el cual: tn = 2
n
1 1 1
Los términos son: tn =1; ; ; ;......
4 9 16
tn = 3 − 1 n
Ejemplo 3
La sucesión para el cual:
Los términos son: 2 ; 8 ; 26 ; 80 ; ……..
6. Ejemplo 4
Es cribe el término enésimo o ley de formación de las sucesiones:
a) 2 ; 5 ; 8 ; 11 ; ….. tn = 3n − 1
b) 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; …. tn = 5n + 2
c) – 6 ; - 1 ; 4 ; 9 ; 14 ; ….. tn = 5n − 11
3 11 9
3; ; ; ;..... n +2 2
d)
4 27 32 tn = 3
n
e) 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; …..
tn = 2 n
7. PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Es una sucesión lineal de primer orden, en la cual fijado el primer término; cada
término siguiente , a partir del segundo, se obtiene sumando al termino anterior
un número llamado: diferencia o razón aritmético constante de la sucesión.
Ejemplo 1 :
Se tiene la sucesión :
3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; ……
+2 +2 +2 +2
Es lineal y se denomina progresión aritmética, pues tiene su razón aritmético
constante r = 2
Ejemplo 2
-2 ; - 5 ; - 8 ; - 11 ; ……… r=-3
Ejemplo 3
3 ; 1 ; - 1 ; - 3 ; - 5 ; …. r=-2
8. Cálculo del término enésimo de una P.A.
Donde:
Sea la P.A:
t1 : Primer término
t1 ; t2 ; t3 ; t4 ;....tn tn : Último término, término
general o enésimo término
+r +r +r
Se observa lo siguiente:
n : número de términos
t2 = t1 + r r : es la razón aritmético
t3 = t1 + 2r
t4 = t1 + 3r
. . .
. . .
. . .
tn = t1 + (n − 1)r
9. Ejemplo 1
En cada caso encuentra la ley de formación:
a) 8 ; 3 ; - 2 ; - 7 ; - 12 ; … r=-5 tn = −5n + 13
b) - 18 ; - 15 ; - 12 ; - 9 ; …. tn = 3n − 21
Ejemplo 2
En la P.A . encuentra la cantidad de términos:
9 ; 16 ; 23 ; 30 ; 37 ; ….. ; 142
Desarrollo:
Sabemos que:
142 - 2 = 7n
tn = t1 + (n − 1)r
20 = n
Otra forma: ley de formación
142 = 9 + ( n – 1 ) 7
tn = 7 n + 2
142 – = 9 + 7n - 7 142 = 7n + 2 n = 20
10. Calculo de la suma de los términos de una P.A.
Se tiene la P.A.
t1 ; t2 ; t3 ; t4 ;....tn
S = t1 + t2 + t3 + t4 + .... + tn
Aplicaremos la siguiente fórmula:
(t1 + tn )n
S=
2
Ejemplo 1
Encuentra la suma de los 20 primeros términos de las siguientes P.A:
• 4 ; 7 ; 13 ; …..
11. Desarrollo: Ejemplo 2
Halla la suma de los 25 primeros términos
(t1 + tn )n
S= En la P.A.
2 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; ….
Hallando el último término: Desarrollo:
tn = 3n + 4 Hallando el último término:
tn = 5n + 2
t20 = 3(20) + 4
t25 = 5(25) + 2
t20 = 64
t25 = 127
(4 + 64)20
S= (7 + 127)25
2 S=
2
S = 680 S = 1675
12. PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Es la sucesión en la cual, dado un primer término diferente de cero, cada término
que continúa a partir del segundo, se obtiene del inmediato anterior al
Multiplicarlo por un número diferente de cero llamado cociente común o razón
geométrica de la sucesión.
Ejemplo 1
2 ; 6 ; 18 ; 54 ; 162 ; …. r=3
3 3 3 3
Ejemplo 2
-3 ; - 6 ; - 12 ; - 24 ; …. r=2
2 2 2
13. Término enésimo de una progresión geométrica
Se tiene la siguiente P.G:
5 ; 15 ; 45 ; 135 ; ….
Donde:
3 3 3
Se observa que: tn : Término enésimo.
t2 = 5 × 3 1
t1 : primer término
t3 = 5 × 3 2
r : razón
t4 = 5 × 3
.
3 n : número de términos.
. .
. . .
. . .
n −1
tn = t1 × r
14. Ejemplo 1
Encuentra el término 10 de la P.G. siguiente:
2 ; 8 ; 32 ; 128 ; ….
Desarrollo:
Sabemos : t1 = 2 , r = 4 y n = 10
n −1
tn = t1 × r
10 −1
t10 = 2 × 4
t10 = 2 × 4 9
15. Ejemplo 2 Ejemplo 3
Halla el término enésimo de la P.G Halla el término enésimo de la P.G
1/3 ; 1 ; 3 ; 12 ; …… 60 ; 15 ; 15/4 ; 18/8 ; …
Desarrollo: Desarrollo:
Se tiene:
Se tiene:
n −1
tn = t1 × r 1
tn = 60
n −1
4
1 n −1
tn = .3
3
16. Ejemplo 4
En una P.G. se tiene que el término 6 es 1/32 y r = 1/2. Halla el primer término.
Desarrollo:
n −1
tn = t1 × r
6 −1
1 1
= t1
32 2
1 1 t1 = 1
= t1
32 32
17. Suma de los términos de una P.A.
tn .r − t1
S=
r −1
Ejemplo 1
Halla la suma de los ocho términos de la siguiente P.G.
1; 2; 4; 8;…
Entonces :
Desarrollo:
128 × 2 − 1
n −1 S=
tn = t1 × r 2 −1
t8 = 1.2 7
S = 255
t8 = 128
