Relaciones metricas en un triángulo rectángulo

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  • 1. Para el estudio de las relaciones métricas entre los elementos de los triángulos esindispensable saber el concepto de proyección. PPROYECCIÓNProyección de un puntoLa proyección de un punto P sobre una recta l , es el pié de perpendicular P bajada desde P, PP se llama proyectante. l PProyección de un segmento AB sobre una recta l La proyección del segmento AB sobre la recta l es el segmento AI B I cuyos extremos son las proyecciones de los extremos A y B sobre l
  • 2. A B B A l l I I A I B AI B Se lee: A I B I es la proyección del segmento AB sobre la recte l
  • 3. M F G J HI l l l I E F GI MI HEF I : Proyección de EF sobre I H I G I : proyección de HG Sobre l MI : es la Proyección de MJ sobre l
  • 4. Ejemplo: Ejemplo:AH : es la proyección de AB AN : es la proyección de AM sobre ACsobre ACHC : es la proyección de BC NC : es la proyección de MC sobre ACsobre AC BM : es la proyección de AB sobre BC MC : es la proyección de AC sobre BC
  • 5. RELACIONES MÉTRICAS: Al trazar la altura »h» en el triángulo rectángulo BAC quedanproyectados los dos catetos sobre la hipotenusa. Las proyecciones de los catetos b y cson m y n respectivamente. Se cumple los siguientes teoremas:1.Teorema de la altura relativa.El cuadrado de la altura relativa a lahipotenusa es igual al producto delas proyecciones de los catetos sobrela hipotenusa. 2h m.n2.Teorema de los catetos.El cuadrado de un cateto es igual 3.Teorema de Pitágoras.al producto de la hipotenusa porla proyección del cateto sobrela hipotenusa. a2 b2 c 2 En un triángulo rectángulo también se cumple: 2 2c a.n b a.m 1 1 1 b.c a.h b2 c2 h2
  • 6. Ejemplos: AB = 14 cm1.Encuentra la altura. Hallando h por : b.c a.h ( 14 ) ( 48 ) = 50 h H = 13,44 cm 2.Encuentra la altura.Desarrollo:Primero hallamos AB por Pitágoras. 2 2 2 50 AB 48 Desarrollo: 2 2 50 48 AB Aplicando Pitágoras:
  • 7. 2 2 3.Encuentra «x» AB 3 2 3 AB 15Aplicando: b.c a.h 3 2 3 15h Desarrollo: 6 15 2 h cm Aplicando: c a.n 15 x2 4 20 x 80 x 16 5 x 4 5cm
  • 8. 4.Halla el valor de «x» 5.En un triángulo rectángulo ABC, un cateto es 7 cm menor que el otro cateto y la hipotenusa mide 8 cm mas que el cateto menor. Encuentra el perímetro del triángulo Desarrollo: x +1 x -7Desarrollo:Aplicando: c2 a.n x 2 2 2x 7 16 x 1 x 7 x2 x 7 16 x2 2 x 1 x 2 14 x 49 x 2 x 2 16 x 48 0 x 4 7cm Resolviendo: X = 12 y 4
  • 9. el valor de x es 12 , para 4 no cumple. 1) Por dato: Los lados del triángulo son: 5,12 y 13 m–n=7 m=n+7 Perímetro : 30cm 2) h2 mn 6.Hallar el perímetro de un triángulo rectángulo, si la altura relativa a la 144 = ( n + 7 ) ( n ) hipotenusa mide 12 cm, y la diferencia de las medidas de sus proyecciones n2 7n 144 0 ortogonales de sus catetos sobre la hipotenusa mide 7 cm. ( n + 16 ) ( n – 9 ) = 0 n=9 Desarrollo: B Por lo tanto: m = 16 3) Hallando los lados del triángulo: c b=m+n b = 25 a 12 c2 mb c2 16 25 m n C = 4.5 = 20 CA H a2 b n a2 25 9 b a = 15 Perímetro : 25 + 20 + 15 = 60 cm
  • 10. RELACIONES MÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO OBLICUÁNGULOTeorema de Euclides:1.En un triángulo acutángulo, el cuadrado dellado opuesto a un ángulo, es igual a la sumade los cuadrados de los otros dos lados , menosel doble del producto de uno de ellos por laproyección del otro sobre el anterior. 2 2 2 a b c 2bm 2 2 2 c a b 2bn
  • 11. 2.En un triángulo obtusángulo secumple que el cuadrado del ladoopuesto a un ángulo obtuso esigual a la suma de los cuadradosde los otros dos lados, más el dobledel producto de uno de ellos porla proyección del otro sobre elanterior. 2 2 2a b c 2bm
  • 12. Teorema de la medianaEn todo triángulo, la suma de loscuadrados de los lados es iguala dos veces el cuadrado de lamediana relativa al tercer ladomás la mitad del cuadrado deltercer lado. 2 2 2 ba c 2m 2
  • 13. Teorema de la proyección de la mediana.La diferencia de los cuadrados de dos lados de un triángulo es igual dobleproducto del tercer lado por la proyección de la mediana sobre el tercer lado. 2 2 a c 2bn
  • 14. Teorema de la bisectriz interiorEn todo triángulo, el cuadrado delsegmento bisectriz interior es igualal producto de los lados que formanel vértice del cual se traza la bisectrizmenos el producto de los segmentosque determina la bisectriz sobre ellado opuesto. 2 BM a.c m.n
  • 15. Ejemplos diversos: Aplicando: 2 21.Dos lados de un triángulo ABC miden x2 18 14 2 14 13AB = 14 cm y AC = 18 cm. halla el lado BCsabiendo que su proyección sobre ellado AB = 1cm. x2 324 196 364 x2 520 364 Desarrollo: x2 156 x 4 37 C 2. De la figura, halla x 18 xA 13 H 1 B 14
  • 16. Desarrollo: h1 R P x/2 Q h2 h2 h1 x/2 x/2En el triángulo BPR: 2 x 1 h1h2 2En el triángulo AQH:
  • 17. x h1 2 4 x4 2 9x2 2 16 h1 2x 2 2 2 x x 9 16 h2 9 2 X =3 x 4 2 9 3 h2 x 2 X = 12Multiplicando 2 y 3: 2 2 h1h2 9x 2 2 x 9 x2 2