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    Algebra Lineal Algebra Lineal Document Transcript

    • Harold Rodríguez 3G2 Algebra lineal ALGEBRA LINEAL UNIDAD 4 -5 Espacios vectoriales, Transformaciones lineales Maestro: Ing. En sistemas Pedro Pablo Cetina 22 DE JULIO DE 2013 HAROLD RODRÍGUEZ LUGO
    • Harold Rodríguez Lugo 1 Contenido 4.1 Definición de un espacio vectorial.......................................................................................... 2 4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades........................................................ 3 4.3 Combinación lineal, independencia lineal............................................................................. 4 4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base. ............................................ 0 4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades................................................ 3 4.6 Base ortonormal,proceso de ortonoralización de Gram- Schmidt..................................... 3 Segundo paso.............................................................................................................................. 5 Obtener un vector U2 ortogonal a U1:....................................................................................... 5 Cuarto paso. ................................................................................................................................ 6 5.1 Introducción a las transformaciones lineales ....................................................................... 7 5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.................................................................... 9
    • Harold Rodríguez Lugo 2 4.1 Definición de un espacio vectorial En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ). A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares. Satisfacen diez axiomas donde X,Y,Z vectores: 1) Si X pertenece a V y Y, entonces X+Y pertenece a V (Cerradura bajo la suma). 2) Para todo X,Y,Z en V, (X+Y)+Z=X+(Y+Z) (Ley asociativa de la suma de vectores) 3) Existe un vector 0 pertenece a V tal que para todo x que pertenece a V, X+0=0+X=X. (Identico Aditivo) 4) Si X pertenece a V, Existe un vector -X en V tal que X+(- X)=0 (Inverso Aditivo de X) 5) Si X y Yestan en V, entonces X+Y=Y+X (Ley de conmutatividad) 6) Si X pertenece V y t es un escalar, entonces t*X tambien pertenece a V
    • Harold Rodríguez Lugo 3 (Cerradura bajo la multiplicación por un escalar) 7) Si X y Y pertenecen a V y k es un escalar, entonces k*(X+Y)=k*X+k*Y (Primera de distributiva) 8) Si X y Yestan en V y t y k son escalares entonces (t+k)*X=tX+kX (Segunda ley distributiva) 9) Si X pertenece y k y t son escalares,entonces k*(t*X)=(k*t)*X (Ley asociativa de multiplicacion por un escalar) 10) Para cada vector X que pertenece a V, 1X=X. Sea U un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Un subconjuntono vacíoS de U es un subespacio vectorial de U si y si olo si S es un espacio vectorial sobre IK respecto a las leyes de composición heredadas de U Ejemplo: Calcular bases de los subespacios de R 4 S, T, S + T y S ∩ T, siendo S = {(x1; x2; x3; x4)|x1 − x2 = 0} y T =< (1;1;2;1);(2;3; −1;1) >. Solución. Tenemos S = {(x1; x2; x3; x4)|x1 − x2 = 0} = {(x1; x1; x3; x4)|x1; x2; x3 ∈ R} =< (1;1;0;0);(0;0;1;0);(0;0;0;1) > luego un sistema generador de S es {(1;1;0;0);(0;0;1;0);(0;0;0;1)}. Ahora, (0;0;0;0) =α(1;1;0;0) + β(0;0;1;0)+ α=β= o sea que es libre,resulta que B S = {(1;1;0;0);(0;0;1;0);(0;0;0;1)}es una base de S. Un sistema generador de T es (1;1;2;1);(2;3; −1;1). Pero es también libre, ya que(0;0;0;0) = 4.2Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.
    • Harold Rodríguez Lugo 4 y la única solución al sistema anterior es , Por tanto, BT = {(1;1;2;1);(2;3; −1;1)} es una base de T. Dados dos vectores: y , y dos números: a y b, el vector au+ bv se dice que es una combinación lineal de y . Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumaresos vectores multiplicados por sendos escalares. V= a1V1 + a2V2 …+ anVn Ejemplo: Sean x= (1,2) , y= (3,-1); halla el vector que sea la combinación lineal de Z= 2X + 3Y Z=2(1,2) + 3(3,-1)= (2,4) + (9,-3)= (11,1) Independencia lineal: Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal, de no ser linealmente dependientes entonces son linealmente independientes. 4.3 Combinación lineal, independencia lineal
    • Harold Rodríguez Lugo 5 Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes, los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales, es decir: ≠ 0 Ejemplo: Dado S = [(1,1,0), (0,2,3), (1,2,3) (0,0,0)= a(1,1,0) + b(0,2,3) + y(1,2,3) (0,0,0)= (a,a,0) + (0,2b,3b) + (y,2y,3y) (0,0,0)= (a+y,a+2b+2y,3b+3y)  a+y=0  a+2b+2y=0  3b+3y=0 F2-F1 F2/2 F3-3f2 2/3 F1 Como existe una sola solución S es independiente
    • Harold Rodríguez 3G2 Algebra lineal ¿A qué se le llama base? Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente. Propiedades de las bases: 1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible). 2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible). 3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector. Ejemplos de bases:  La base canónica (o base natural, o base estándar) de ℜn: e1 = (1,0,…,0) e2 = (0,1,…,0) ........ en = (0,0,… ,1) - Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo. Son sistema generador de ℜn porque todo vector (a1,a2,…,an)∈ℜn se puede expresar como combinación lineal de ellos: (a1, a2,…an)= a1(1,0…,0)+ a2(0,1,… ,0)+ . . . + an(0,0,… ,1) ¿A qué se le llama dimensión? Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio. 4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.
    • Harold Rodríguez Lugo 1 Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un conjunto de vectoresde dicho espacio Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio. Ejemplo de dimensión: P2 = {polinomios de grado≤ 2 con coeficientes reales} tiene dimensión 3. Una base de P2es, por ejemplo, la formada por los tres polinomios siguientes: (1+0x+0x2 ), (0+x+0x2 ), (0+0x+x2 ) (es decir, los polinomios 1, x, x2). Otra base: 1+2x+3x2 , 4+x2 , 3–x–5x2 . Propiedades de la dimensión:  Significado físico de la dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos dimensión 2,  las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El subespacio {0} es el único de dimensión 0.  La dimensión de un subespacio en ℜn  , coincide con el número de parámetros libres en  su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros=plano…)  Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S ≤ dim T.  Además, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos espacios han de coincidir.  El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del subespacio que generan.  Es decir: si v1,v2,…vn generan un cierto subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r,  entonces dim S = r.  (Si un cierto conjunto de vectores tienen rango 2, entonces generan un plano; etc.) Cambio de base En un espacio vectorial V, dadas dos bases B y B’ , se llama matriz de cambio de base (o de cambio de coordenadas) de B a B’ a la matriz que contiene en sus columnas las coordenadas de los vectores de la base B expresados en función de la base B’.
    • Harold Rodríguez Lugo 2 Conocidas las coordenadas de un vector en base B, nos permitirá hallar las coordenadas de dicho vector en base B’. En efecto, sean (a1, a2, …an) las coordenadas de un vector en base B, y sea P la matriz de cambio de base de B a B’. Entonces: P. = o lo que es lo mismo = P-1 Obteniéndose así (b1, b2, . . . bn) las coordenadas del vector en base B’. Ejemplo: Consideremos en ℜ2 las dos bases siguientes: B ={(2,3), (1, –1)} B’ ={(1,0), (0,1)} Construyendo la matriz de cambio de base de B a B´: Para ello debemos expresar los vectores de la base B en función de la base canónica B’. Para ello debemos expresar los vectores de la base B en función de la base canónica B’. (2,3)= 2(1,0)+3(0,1)= (2,3) (-1,1)= 1(1,0)-1(0,1)= (1,-1) Introduciendo estas coordenadas en las columnas de una matriz, tendremos la matriz de cambio de base de B a B’: P=
    • Harold Rodríguez Lugo 3 El espacio vectorial complejo V se conoce como un espacio con producto interior si para cualquier par de vectores u y v en V, existe un único número complejo (u, v), llamado el producto interior de u y v, tal que si u, v y w están en V y si α ∈ C, entonces Propiedades: i. (v, v) ≥ 0 ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0. iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w) iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w) v. (u, v) = (v, u) vi. (αu, v) = α(u, v) vii. (u, αv) = α(u, v) La barra en las condiciones (v) y (vii) denota el conjugado complejo. Ejemplo: Dado los vectores P y R donde P=8n+3m-5L y R= -3n-6m+2L P.R= (8,3,-5).(3,-6,2)= (8)(3)+(3)(-6)+(-5)(2) = 24-18-10=-4 Los vectores de unabasepueden ser mutuamente perpendiculares, o pueden no serlo. Cuando son mutuamente perpendiculares se dice que es unabase ortogonal. Recuérdese que dos vectoresuyv en son ortogonales si y sólo siu·v= 0. 4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades. 4.6 Base ortonormal,proceso de ortonoralización de Gram- Schmidt.
    • Harold Rodríguez Lugo 4 Si se tiene un conjunto de tres vectoresu, vywen , y se quiere verificar que sean un conjunto ortogonal, se necesitan realizar todas las combinaciones de los productos punto: (uv,uw,vw) Ejemplo: Sean los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1), ¿son un conjunto ortogonal? Al realizar los productos punto u·v= 0,u·w= 0,v·w= 0 nos damos cuenta de que todos son iguales a cero, por lo que el conjunto de vectores es ortogonal. Proceso de ortonormalización de Gram-Sscmidt Es posible transformar cualquier base en (no ortogonal y, por lo tanto, no ortonormal) en una base ortonormal usando el proceso deortonormalizaciónde Gram – Schmidt. Las fórmulas para este proceso incluyen normalizaciones (vectores unitarios), así comoproyeccionesde un vector sobre otro para obtener vectores ortogonales. Fórmula: Normalizar U3: Primer paso: Obtener un primer vector unitario U1: Segundo paso. Obtener un vector U2 ortogonal a U1: Tercer paso. Normalizar U2:
    • Harold Rodríguez Lugo 5 Cuarto paso. Obtener un vector U3 ortogonal a U1 y a U2: Quinto paso. Normalizar U3: Ejemplo Considere los vectores V1 = (1, 0, 1), V1 = (0, 1, 1) y V1 = (1, 0, 0) base de . Transformar esta base en una base ortonormal por el proceso de Gram – Schmidt. Primer paso. Obtener un primer vector unitario U1: Segundo paso. Obtener un vector U2 ortogonal a U1:
    • Harold Rodríguez Lugo 6 Tercer paso. Normalizar U2: Cuarto paso. Obtener un vector U3 ortogonal a U1 y a U2: Quinto paso. Normalizar U3: Finalmente, el conjunto de vectores U1, U2, y U3 es una base ortonormalde .
    • Harold Rodríguez Lugo 7 ¿Qué son las transformaciones lineales? Una transformación lineal, TL, es una función, correspondencia, asignación o transformación asociada a un sistema lineal de ecuaciones por medio de una matriz, es decir, Sean V y W vectores reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v є V un vector único T v є W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar α. T(u+v)=Tu+Tv y T(αv)=αTv Las transformaciones lineales tienen las siguientes propiedades: Sea una transformación lineal T:V . W Entonces para todos los vectores u,v,v1,v2…,vn en V y todos los escalares α1,α2,…,αn. 5.1 Introducción a las transformaciones lineales
    • Harold Rodríguez Lugo 8  T(0)=0  T(u-v)=Tu-Tv  T(α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 +…+ αnvn)= α1Tv1+ α2 Tv2 + … + αnTvn. Las TL pueden descomponerse, ponerse en serie, una tras otra y la consecuencia es que la composición de las TL es otra TL. La composición de las TL genera un producto entre matrices de tal forma que el producto de dos matrices da una matriz que representa la matriz de la TL compuesta. Existen dos tipos de transformaciones de especial interés, la transformación lineal de espacios vectoriales entre sí mismos y la transformación lineal de un espacio entre el espacio unidimensional. Ejemplo: Sea el sistema de ecuaciones lineales: 3x + 4y= 7 5x + 3y=9 Rescribiendo el sistema de ecuaciones lineales: = Haciendo= ,Asignando a la matriz M una función con propiedades especiales, llamada TL, transformación Lineal. Una función T de clase TL, de la matriz M es. T = = T emplea la dupleta y la transforma enla dupleta , debido a que las dupletas están en R2 , entonces: T((x,y))=T(x,y)=(3x+4y,5x+3y) El conjunto sobre el cual opera TL se le llama dominio y el conjunto en el cual caen los resultados de la transformación se denomina como codominio.
    • Harold Rodríguez Lugo 9 Resolver el Sistema de Ecuaciones Lineales significa exigir encontrar (x,y) tal que M(x,y)=(7,9)= B . Donde M es la matriz o TL asociada al sistema de ecuaciones lineales. Sea una transformación lineal T:Rn Rm El conjunto de vectores que se apachurran totalmente por T se llama espacio nulo, núcleo o kernel de T , denominado nu T, y su dimensión se denomina nulidad. El conjunto formado por todas las imágenes de T se denomina el espacio imagen, denominado Im T, y su dimensión se denomina rango. Esto es: nulidad de T = v(T) = dimnu T rango de T = p(T) = dimIm T Sean V y W dos espacios vectoriales y seaT:V W Una transformación lineal,entonces. 1.- El núcleo de T, denominado nuT, está dado por. Un T = vE V: TV=0 2.-La imagen de T, denominadaIm T, está dado por. Im T= wE W: w=Tv para alguna vE V Adicionalmente, si: T:V W Si A es una matriz de m x n y T:Rm Rn está definida por: Tx=Ax 5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal 5.3 Matriz de una transformación lineal
    • Harold Rodríguez Lugo 10 Entonces, T es una transformación lineal donde Para toda transformación lineal de Rn en Rm una matriz A de m x n tal que: Para todo x є Rn , de esta manera, es posible determinar el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal de Rn en Rm en Rm determinando el núcleo y la imagen de la matriz correspondiente. Además al conocer que Tx=Ax. Es posible evaluar T x para cualquier x En Rn en R mediante multiplicación de matrices. Finalmente, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz. Teorema 1 T:Rm Rn Entonces existe una matriz única demxntal que: T x = A x para toda v є Rn . Teorema 2 Sea AT. Entonces, la matriz de transformación correspondiente a la transformación lineal T. 1.-Im T = Im A = CAT 2.- p(T) = p(AT) 3.- nu T = NA 4.- v(T) = v(AT) Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática. Reflexión 5.2 aplicaciones de las transformaciones lineales reflexión dilatación contracción y rotación
    • Harold Rodríguez Lugo 11 Algunas orientaciones deseables para los objetos tridimensionales no pueden ser obtenidas usando solamente giros. Con la reflexión se consigue un efecto "espejo", de modo que los objetos se ven reflejados en un plano. Ejemplo: En este caso, queremos averiguar cómo está definida la transformación T de R2 en R2 que cada vector U=(u1, u2) lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector T(U)=(v1,v2) En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue: Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que: Rotación por un ángulo Ө Sea 0 ≤ Ө < 2π un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de R^2 en R^2 que gira cada vector U=( U1,U2) un ángulo θ para obtener un vector T(u)=(v1,v2) tenemos que : v1= ||T(u)||٠cos(α+Ө) = ||(u)||٠(cos α ٠ cos Ө - sen α ٠ sen Ө ) v2= ||T(u)||٠sen(α+Ө) = ||(u)||٠(sen α ٠ cos Ө - cos α ٠ sen Ө ) Distribuyendo y usando el hecho de que U1=||u|| cos α y U2=||u|| sen α tenemos que: v1= U1 cos Ө - U2 sen Ө
    • Harold Rodríguez Lugo 12 v2= U2 cos Ө + U1 sen Ө Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación T:R^2 → R^2 tal que: T (U1 , U2) = (U1 cos Ө - U2senӨ,U2 cos Ө + U1 sen Ө ) Esta transformación se llama la rotación por un ángulo Ө y es lineal, ya que: T [(U1 , U2)+ λ(v1 , v 2)] = T (u1 + λ v1 , u2 + λ v2 ) = ((u1 + λ v1)cos Ө - (u2 + λ v2) sen Ө, (u2 + λ v2) cos Ө + (u1 + λ v1) sen Ө) = (u1 cos Ө - u2 sen Ө, u2 cos Ө + u1 sen Ө) + λ (v1cos Ө - v2 sen Ө , v2 cos Ө + v1 sen Ө) = T(u1 , u2) + λ T (v1 , v2) Rotación En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de en qué cada vector lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector. Una contracción es unatransformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original. Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2 Haciendo la grafica el punto disminuye en el eje horizontal. Ejemplo dilatación o expansión Una dilatación es una transformación que incrementa distancias. Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2 Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1) Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)
    • Harold Rodríguez Lugo 13 Bibliografía http://personales.unican.es/camposn/espacios_vectoriales2.pdf http://itsavbasicas.blogspot.com/2012/05/45-espacio-vectorial-con- producto.html http://sureyma.blogspot.com/2009/10/espacios-vectoriales.html http://www.ma.uva.es/~antonio/Industriales/Apuntes_09- 10/MatI/05_Tema-04_09-10.pdf http://dcb.fi-c.unam.mx/users/aliciapr/apuntes/Algebra%20Lineal.pdf http://fcm.ens.uabc.mx/~matematicas/algebralineal/IV%20EspVect/al_vec tores_09basesort_total.htm https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:gTRPTz3Yy0UJ:tamateco.desi gn.officelive.com/Documents/TransformacionesLineales.ppt+Aplicaci%C3% B3n+de+las+transformaciones+lineales:+reflexi%C3%B3n,+dilataci%C3%B3n ,+contracci%C3%B3n+y+rotaci%C3%B3n.&hl=es&gl=mx&pid=bl&srcid=ADGEESjx yL8JNq4Z4MSUweeRlCHuXpLT27o5IhJsw8Bmjn5ApRmDhfeAIyw1c9YL5DmZwZzeFi1cN ouAfsKeNjajBOPuAxZur-BRCuU8k-_CGlxJmf5OVFkQDib- ZC9kynkCr9j_dTPa&sig=AHIEtbSAZVdMk5D4BDRYrQg99JNJMI7_5w