CICLOS ECONÓMICOS DE CHRISTIANO, ECUACIÓN DE BELMAN, SISTEMA DE ECUACIONES QUE CARACTERIZA LA ECONOMÍA, INTRODUCCIÓN A LA LOG-LINEALIZACIÓN, BCRP, UNI, LAMBDA

1. MODELO DSGE - REAL BUSINESS
CYCLE (RBC)
PERCY HUAMÁN PALOMINO∗
June 12, 2014
La macroeconomía moderna sigue avanzando a grandes pasos, cada vez que surgen nuevas crísis, nacen
teorías o mejoran los modelos bases y se van haciendo cada vez mas complejos en su solución. La Programa-
ción Dinámica vía Ecuación de Bellman, es una a herramienta o técnica para resolver problemas dinámicos
estocásticos; entre ellos los Modelos de Equilibrio General Dinámicos (DSGE), Modelos Bayesianos.
Nos permite simplificar modelos complejos de infinitos períodos a modelos simples de dos períodos. Ade-
más en este documento presentamos un caso práctico de como resolver modelos de equilibrio general en
incertidumbre, desde la óptica de un Planificador Social.
∗Economista y Administrador de Negocios; estudios: Economía Avanzada en Banco Central de Reserva del Perú -
BCRP, Derecho Económico en Escuela Nacional de la Competencia y Propiedad Intelectual - INDECOPI, ambos cursos
de extensiones universitarias y la Licenciatura en la Universidad Nacional Federico Villarreal. Cualquier comentario y/o
sugerencia a perhuaman@gmail.com o visite esta página www.facebook.com/EconomiaP araT uV ida.
1

2. Part I
CICLOS ECONÓMICOS DE CHRISTIANO (2001)
LAS FAMILIAS
J = E0
∞
t=0
βt C1−γ
t
1 − γ
s.a.
Ct + Kt+1 − (1 − δ)Kt = A1−α
t Kα
t
E0, Información del valor esperado en el momento cero.
Donde: γ Medida de Aversión Relativa Constante.
γ = Ct
U (Ct)
U (Ct)
PRODUCCIÓN
Yt = A1−α
t Kα
t
Choque de productividad:
lnAt+1 = ρlnAt + εt
At, tecnología, εt ∼ N(0, σ2
ε )
Part II
PASOS DE SOLUCIÓN
Se sigue los siguientes pasos para resolver este tipo de modelos DSGE:
• Obtener las condiciones de primer órden (trayectorias óptimas). Hay dos caminos por Programación
Dinámica (ecuación de Bellman) o por método del Langrageano.
• Escribir todas las ecuaciones del sistema que forman la economía.
• Hallar el estado estacionario.
• Linealizar el sistema de ecuaciones respecto al estado estacionario- Loglinealización con aproximación
de Taylor de primer órden (Métodos Númericos).
• Trabajar en Dynare - MATLAB; Analizar correlaciones, volatilidades y funciones IMPULSO - RE-
SPUESTA.
ECUACIÓN DE BELMAN
Vt(Ct, Kt+1) = Max
Ct,Kt+1
{U(Ct) + βVt+1(Ct+1, Kt+2)} (1)
Kt+1 = A1−α
t Kα
t + (1 − δ)Kt − Ct (2)
Veamos las Condiciones de primer órden (CPO):
∂Vt(Ct, Kt+1)
∂Kt+1
=
∂U(Ct)
∂Ct
∂Ct
∂Kt+1
+β
∂Vt+1(Ct+1, Kt+2)
∂Kt+1
= 0 (3)
Donde ∂ct
∂Kt+1
= −1, acontinuación optimizo la ecuación de Bellman respecto al ahorro del periódot.
2

3. ∂Vt(Ct, Kt+1)
∂Kt
=
∂U(ct)
∂Ct
∂Ct
∂Kt
+
β∂Vt+1(Ct+1, Kt+2)
∂Kt
(4)
Sea



∂Ct
∂Kt
= αA1−α
t Kα−1
t + (1 − δ)



,Iteramos un periódo la última expresión (buscamos ∂Vt+1(Ct+1,Kt+2)
∂Kt+1
)
y remplazamos en (3) :
∂Vt+1(Ct+1, Kt+2)
∂Kt+1
=
∂U(Ct+1)
∂Ct+1
∂Ct+1
∂Kt+1
+
β∂Vt+2(Ct+2, Kt+3)
∂Kt+1
=
∂U(Ct+1)
∂Ct+1
αA1−α
t+1 Kα−1
t+1 + (1 − δ) (5)
∂Vt(Ct, Kt+1)
∂Kt+1
=
∂U(Ct)
∂Ct
{−1} +β
∂U(Ct+1)
∂Ct+1
αA1−α
t+1 Kα−1
t+1 + (1 − δ) = 0
∂U(Ct)
∂Ct
= βEt
∂U(Ct+1)
∂Ct+1
αA1−α
t+1 Kα−1
t+1 + (1 − δ) (6)
Se obtiene la Siguiente Ecuación Euler:
1 = βEt
Ct
Ct+1
γ
αA1−α
t+1 Kα−1
t+1 + (1 − δ) (7)
SISTEMA DE ECUACIONES QUE CARACTERIZA LA ECONOMÍA.
1. 1 = βEt
Ct
Ct+1
γ
αA1−α
t+1 Kα−1
t+1 + (1 − δ) , Ecuación de Euler
2. Kt+1 = A1−α
t Kα
t + (1 − δ)Kt − Ct, Restricción presupuestaria.
3. Yt = A1−α
t Kα
t ,Función de producción.
4. lnAt+1 = ρlnAt + εt,Donde εt ∼ N(0, σ2
ε ) evolución de la productividad.
5. It = Yt − Ct, El nivel de ahorro, es igual a la inversión en una economía cerrada.
ESTADO ESTACIONARIO
En el estado estacionario las variables sólo dependen de los parámetros.
1. Ass = 1
2. Kss = 1−β(1−δ)
βα
1
α−1
3. Yss = A1−α
ss Kα
ss
4. Css = Yss − δKss
5. Iss = Yss − Css
3

4. INTRODUCCIÓN A LA LOG-LINEALIZACIÓN
Es una herramienta que se utiliza para resolver ecuaciones de órden superior, se puede aproximar modelos
de Equilibrio General Dinámico Estocástico (DSGE) y No linealesa
.
Se linealiza entorno al estado estacionario, Veamos:
Xt: Una variable estrictamente positiva.
ˆxt = lnXt − lnX, X; es el estado estacionario.
Para valores pequeños de Xt;ln(1 + ˆxt) = Xt
ˆxt = lnXt − lnX = ln Xt
X
= ln

Xt
X
− 1 +1


Xt
X
− 1 = Xt−X
X
= %Xt, respecto al estado estacionario.
ˆxt = ln ( %Xt + 1) ≈ %Xt
METODO SIMPLE
Xt = Xt
X
X = Xe
ln
Xt
X = Xeˆxt
Por lo tanto; Xt = Xeˆxt
APROXIMACIÓN DE TAYLOR (nos interesa la parte lineal)
f(Xt) ≈ f(X) +
f (X)
1!
(Xt − X) +f (X)
2! (Xt − X)2
+ f(3)
(X)
3! (Xt − X)3
+ · · ·
f(Xt) ≈ f(X) +
f (X)
1!
(Xt − X)
Ejemplo: ˆx = 0
Xt = Xeˆxt
≈ Xe0
+ Xe0
(ˆx − 0) ≈ X(ˆx + 1)
REGLAS PRACTICAS
Xt ≈ X(ˆx + 1)
XtYt ≈ XY (ˆx + ˆy + 1)
Xt
Yt
= X
Y
(ˆx − ˆy + 1)
Xα
t = X
α
(1 + αˆx)
aProfesor Hugo, una consulta, por favor; en un modelo pequeño con choque de productividad, los gráficos de las funciones
Impulso - Respuesta de la variables deberían ser muy semejantes, es decir la linearizadas y no linealizadas?, el choque de
productividad en el consumo linearizada es positivo y mientras en la no linearizada el impacto es negativo. El resto de variables
tienen similares impactos. Otra consulta: cuando hace mejor ajuste la linearización, en modelos grandes o pequeños? Gracias
por su respuesta!
Deberían ser similares, sería raro que efectos de segundo o mayor orden cambien el signo de la respuesta. Aún así, se puede
dar.Y el tema de linealizar o no es un tema que depende de las ecuaciones del modelo y qué tan fuerte sean las no linealidades,
no el tamaño del modelo. Los modelos generalmente tratan de capturar las relaciones entre variables que se observan en los
datos. Estas relaciones tienden a a ser no lineales y por eso un modelo no lineal en términos generales debería tener mejor
bondad de ajuste. Sin embargo, un modelo no lineal grande podría ser difícil de estimar en comparación a un modelo lineal.
Por esta razón se prefieren modelos lineales, muchos modelos en su versión no lineal no pueden estimarse.
LINEARIZACIÓN DE LAS ECUACIONES RESPECTO AL ESTADO ESTACIONARIO
yt = (1 − α)at + αkt (8)
at+1 = ρat + εt (9)
kt =
Yss
δKss
yt −
Css
δKss
ct (10)
γ(ct+1 − ct) =
α Yss
Kss
(yt+1 − kt+1)
α Yss
Kss
+ 1 − δ
(11)
4

5. it =
Yss
Iss
yt −
Css
Iss
ct (12)
Part III
TRABAJO EN DYNARE - MATLAB
Para llevar a las conclusiones del paper de Christiano (2001), habría que reemplazar los paramétros con las
calibraciones del paper. En este caso, no necesariamente son sus calibraciones, el objetivo es familiarizarse
con la resolución de estos modelos desde su versión mas simple.
Veamos los datos de calibraciones del paper de MODELO GREENWOOD-HERCOWITZ - HUFF-
MAN(1988) y de MODELO DE COOLEY-PRESCOTT:
CUADRO: CALIBRACIONES (VARIABLES ENDÓGENAS Y EXÓGENAS LOG- LINEALIZADAS).
VARIABLES ENDÓGENAS Y EXÓGENAS SÍMBOLO DEL PARÁMETRO VALOR
c: consumo β: Factor de descuento 0.987
y: producto α: Participac. del capital en producción 0.64
k: capital δ: Tasa de depreciación del capital 0.25
i: inversión ρ:: Persistencia del choque 0.95
a: productividad σ: Desviación estándar del choque 0.007
e: choque γ: Grado de aversión al riesgo 1.00
Fuente: Elaboración propia.
STEADY-STATE RESULTS
VARIABLE RESULTADO
c -1.903
i 6.7572
y 4.85421
k 11.8048
a 1
APROXIMATED THEORETICAL MOMENTS
VARIABLE MEAN STD. DEV. VARIANCE
c -1.9034 0.0359 0.0013
i 6.7586 0.1316 0.0173
y 4.8552 0.0959 0.0092
k 11.8074 0.2331 0.0543
a 1.0003 0.0224 0.0005
Fuente: Elaboración propia.
FUNCIONES IMPULSO - RESPUESTA
5

6. 10 20 30 40
−0.01
−0.005
0
Consumo
10 20 30 40
0
0.01
0.02
0.03
Ahorro − Inversión
10 20 30 40
0
0.01
0.02
Producto
10 20 30 40
0
0.02
0.04
0.06
Capital
10 20 30 40
0
0.005
0.01
Productividad
Fuente: Elaboración propia.
Part IV
CONCLUSIONES Y REFERENCIAS
El caso presentado, es sólo un esquema de como se resuelve este tipo de problema en su versión mas simple,
en agenda tenemos por incorporar mas sectores a la economía, por ejemplo: el sector laboral, mercados
financieros, el banco central, entre otros.
• Sargent(1987).
• Stockey y Lucas(1987).
• Notas de Clases BCRP, UNI, LAMBDA.
• Michele Boldrin Lawrence J. Christiano - Consultant Jonas D. M. Fisher-Habit Persistence, Asset
Returns and the Business Cycle 2000.
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