Modulo 3: Las Preferencias y la Utilidad (Parte 2)

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Modulo 3: Las Preferencias y la Utilidad (Parte 2)

  1. 1. Módulo 3 Utilidad
  2. 2. Recordando las preferencias <ul><li>x y: x es extríctamente preferida a y </li></ul><ul><li>x ~ y: x e y son igualmente preferidas </li></ul><ul><li>x y: x es preferida al menos tanto como y </li></ul> ~ 
  3. 3. <ul><li>Completas: para cualquier par de canastas x e y siempre es posible determinar que x y o </li></ul><ul><li>y x </li></ul>Axiomas de la elección racional ~  ~ 
  4. 4. <ul><li>Reflexivas: cualquier canasta x es siempre al menos tan preferida como ella misma x x </li></ul>Axiomas de elección racional ~ 
  5. 5. <ul><li>Transitivas: si x es al menos tan preferida como y, y y es al menos tan preferida como z, entonces x es al menos tan preferida como z x y e y z x z. </li></ul>Axiomas de elección racional ~  ~  ~ 
  6. 6. Utilidad <ul><li>Una relación de preferencia que es completa, reflexiva, transitiva y continua puede ser representada por una función de utilidad continua </li></ul><ul><li>Continuidad significa que cambios pequeños en la canasta de consumo provocan cambios pequeños en el nivel de preferencia </li></ul>
  7. 7. Utilidad <ul><li>Dado los supuestos mencionados, es posible mostrar que los individuos son capaces de clasificar en orden todas las situaciones posibles de menos a más deseable </li></ul><ul><li>Los economistas llaman a este ranking utilidad </li></ul><ul><ul><li>si A se prefiere a B, entonces la utilidad asignada a A excede la utilidad asignada a B </li></ul></ul><ul><li>U (A) > U (B) </li></ul>
  8. 8. Utilidad <ul><li>La utilidad se ve afectada por el consumo de bienes físicos, actitudes sicológicas, presiones de grupo, experiencias personales, y el ambiente cultural general </li></ul><ul><li>Los economistas generalmente prestan atención a las opciones cuantificables mientras mantienen constantes otros factores que afectan a la utilidad </li></ul><ul><li>- supuesto de ceteris paribus </li></ul>
  9. 9. <ul><li>Una función de utilidad U(x) representa a una relación de preferencias si y sólo si: x’ x” U(x’) > U(x”) x’ x” U(x’) < U(x”) x’ ~ x” U(x’) = U(x”). </li></ul>Funciones de Utilidad   ~ 
  10. 10. <ul><li>La utilidad es un concepto ordinal </li></ul><ul><li>Por ejemplo, si U(x) = 6 y U(y) = 2 entonces la canasta x es estríctamente preferida a la canasta y. Pero x no es tres veces preferida a y </li></ul>Funciones de Utilidad
  11. 11. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia <ul><li>Consideremos las canastas (4,1), (2,3) y (2,2). Supongamos que (2,3) (4,1) ~ (2,2) </li></ul><ul><li>Asignemos a estas canastas números cualquiera que preserven el orden de preferencias, por ejemplo: U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4. </li></ul><ul><li>A etos números los denominamos niveles de utilidad </li></ul>
  12. 12. <ul><li>Una curva de indiferencia contiene canastas igualmente preferidas </li></ul><ul><li>Igualmente preferida  el mismo nivel de utilidad </li></ul><ul><li>En consecuencia, todas las canastas en una curva de indiferencia tienen el mismo nivel de utilidad </li></ul>Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
  13. 13. <ul><li>Así, las canastas (4,1) y (2,2) están en la curva de indiferencia con un nivel de utilidad U  </li></ul><ul><li>Pero la canasta (2,3) está en la curva de indiferencia con un nivel de utilidad </li></ul><ul><li>U  6. </li></ul><ul><li>Sobre un grafico, estas curvas de indiferencia se presentan así: </li></ul>Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
  14. 14. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia U  6 U  4 (2,3) (2,2)  (4,1) x 1 x 2 
  15. 15. <ul><li>Otra forma de visualizar la misma información es graficando el nivel de utilidad sobre el eje vertical. </li></ul>Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
  16. 16. U(2,3) = 6 U(2,2) = 4 U(4,1) = 4 x 1 x 2 Utilidad Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
  17. 17. <ul><li>Esta visualización en 3D de las preferencias nos puede brindar mayor información si incorporamos las curvas de indiferencia. </li></ul>Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
  18. 18. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia U  U  Curvas de indiferencia más altas contienen canastas más preferidas. Utilidad x 2 x 1
  19. 19. <ul><li>Comparando más canastas se constituye una colección mayor de curvas de indiferencia y una mejor descripción de las preferencias del consumidor. </li></ul>Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
  20. 20. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia U  6 U  4 U  2 x 1 x 2
  21. 21. <ul><li>Como antes, estas pueden ser visualizadas en 3D graficando cada una de las curvas a una altura correspondiente a su nivel de utilidad. </li></ul>Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
  22. 22. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia U  6 U  5 U  4 U  3 U  2 U  1 x 1 x 2 Utilidad
  23. 23. <ul><li>La comparación de todas las canastas de consumo posibles nos entrega una completa colección de curvas de indiferencia, a cada una de las cuales se les asigna un nivel de utilidad </li></ul><ul><li>Esta conjunto de curvas de indiferencia representa las preferencias del consumidor </li></ul>Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
  24. 24. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia x 1 x 2
  25. 25. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia x 1 x 2
  26. 26. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia x 1 x 2
  27. 27. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia x 1 x 2
  28. 28. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia x 1 x 2
  29. 29. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia x 1 x 2
  30. 30. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia x 1
  31. 31. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia x 1
  32. 32. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia x 1
  33. 33. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia x 1
  34. 34. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia x 1
  35. 35. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia x 1
  36. 36. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia x 1
  37. 37. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia x 1
  38. 38. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia x 1
  39. 39. Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia x 1
  40. 40. <ul><li>El conjunto de todas las curvas de indiferencia para una relación de preferencia dada, es un mapa de indiferencia. </li></ul><ul><li>Un mapa de indiferencia es equivalente a la función de utilidad. </li></ul>Funciones de Utilidad y Curvas de Indiferencia
  41. 41. Funciones de Utilidad <ul><li>No hay una función de utilidad única que represente a una relación de preferencias. </li></ul><ul><li>Supongamos que U(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 representa una cierta relación de preferencia. </li></ul><ul><li>Ahora volvamos a considerar las canastas (4,1), (2,3) y (2,2). </li></ul>
  42. 42. <ul><li>U(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 , entonces U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4; es decir, (2,3) (4,1) ~ (2,2). </li></ul>Funciones de Utilidad 
  43. 43. <ul><li>U(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 (2,3) (4,1) ~ (2,2) </li></ul><ul><li>Definamos V = U 2 . </li></ul>Funciones de Utilidad 
  44. 44. <ul><li>Entonces V(x 1 ,x 2 ) = x 1 2 x 2 2 y V(2,3) = 36 > V(4,1) = V(2,2) = 16 en consecuencia (2,3) (4,1) ~ (2,2) </li></ul><ul><li>V representa los mismos órdenes de utilidad que U y entonces representa las mismas preferencias </li></ul>Funciones de Utilidad  
  45. 45. <ul><li>U(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 (2,3) (4,1) ~ (2,2) </li></ul><ul><li>Definamos W = 2U + 10 </li></ul>Funciones de Utilidad 
  46. 46. <ul><li>Entonces W(x 1 ,x 2 ) = 2x 1 x 2 +10, entonces W(2,3) = 22 > W(4,1) = W(2,2) = 18. Y de nuevo, (2,3) (4,1) ~ (2,2) </li></ul><ul><li>W representa el mismo órden de preferencias de U y de V y entonces representa las mismas preferencias </li></ul>Funciones de Utilidad 
  47. 47. <ul><li>Si </li></ul><ul><ul><li>U es una función de utilidad que representa a una relación de preferencias y </li></ul></ul><ul><ul><li>f es una función estríctamente creciente, </li></ul></ul><ul><li>Entonces V = f(U) es también una función de utilidad representativa de la misma relación de preferencias. </li></ul>Funciones de Utilidad
  48. 48. Bienes, Males, Neutros <ul><li>Un bien es bien cuando una unidad adicional incrementa la utilidad (nos dá una canasta más preferida) </li></ul><ul><li>Un mal es un bien cuando una unidad adicional disminuye la utilidad (nos dá una canasta menos preferida) </li></ul><ul><li>Un bien neutro es un bien cuando una unidad adicional no cambia la utilidad (nos dá una canasta igualmente preferida) </li></ul>
  49. 49. Bienes y Males Utilidad Agua x’ Unidades que son bienes Unidades que son males Alrededor de x’ unidades, una cantidad adicional de agua es un bien neutro Función Utilidad
  50. 50. Algunas otras funciones de utilidad y sus curvas de indiferencia <ul><li>En vez de U(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 consideremos V(x 1 ,x 2 ) = x 1 + x 2 . ¿Cómo se presentan las curvas de indiferencia de esta función? </li></ul>
  51. 51. Curvas de indiferencia de sustitutos perfectos 5 5 9 9 13 13 x 1 x 2 x 1 + x 2 = 5 x 1 + x 2 = 9 x 1 + x 2 = 13 V(x 1 ,x 2 ) = x 1 + x 2 .
  52. 52. Curvas de indiferencia de sustitutos perfectos 5 5 9 9 13 13 x 1 x 2 x 1 + x 2 = 5 x 1 + x 2 = 9 x 1 + x 2 = 13 Todas son líneales y paralelas V(x 1 ,x 2 ) = x 1 + x 2 .
  53. 53. Curvas de indiferencia de sustitutos perfectos 5 5 9 9 13 13 x 1 x 2 Las curvas de indiferencia serán lineales. La TMgS será constante a lo largo de la curva de indiferencia
  54. 54. <ul><li>En vez de U(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 ó V(x 1 ,x 2 ) = x 1 + x 2 , consideremos W(x 1 ,x 2 ) = mín{x 1 ,x 2 }. ¿Cómo se presentan las curvas de indiferencia de esta función? </li></ul>Curvas de indiferencia de complementarios perfectos
  55. 55. Curvas de indiferencia de complementarios perfectos x 2 x 1 45 o mín{x 1 ,x 2 } = 8 3 5 8 3 5 8 mín{x 1 ,x 2 } = 5 mín{x 1 ,x 2 } = 3 W(x 1 ,x 2 ) = mín{x 1 ,x 2 }
  56. 56. Curvas de indiferencia de complementarios perfectos x 2 x 1 45 o mín{x 1 ,x 2 } = 8 3 5 8 3 5 8 mín{x 1 ,x 2 } = 5 mín{x 1 ,x 2 } = 3 Todas son ángulos rectos con vertices en el rayo que parte del origen W(x 1 ,x 2 ) = mín{x 1 ,x 2 }
  57. 57. Curvas de indiferencia de complementarios perfectos x 2 x 1 45 o 3 5 3 5 Las curvas de indiferencia tienen forma de L. Sólo escogiendo más de los dos bienes a la vez se puede incrementar la utilidad mín{x 1 ,x 2 } = 3 mín{x 1 ,x 2 } = 5
  58. 58. <ul><li>Una función de utilidad de la forma U(x 1 ,x 2 ) = f(x 1 ) + x 2 es líneal en x 2 y se conoce como cuasi-lineal </li></ul><ul><li>Por ejemplo: U(x 1 ,x 2 ) = 2x 1 1/2 + x 2 </li></ul>Función de utilidad cuasi-lineal
  59. 59. Curvas de indiferencia cuasilineales x 2 x 1 Cada una de las curvas es una copia verticalmente desplazada de las otras.
  60. 60. <ul><li>Cualquier función de utilidad de la forma U(x 1 ,x 2 ) = x 1 a x 2 b con a > 0 y b > 0 se conoce como función de utilidad Cobb-Douglas </li></ul><ul><li>El tamaño relativo de a y b indican la importancia relativa de los bienes </li></ul><ul><li>Por ejemplo: U(x 1 ,x 2 ) = x 1 1/2 x 2 1/2 (a = b = 1/2) V(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 3 (a = 1, b = 3) </li></ul>Función de utilidad Cobb-Douglas
  61. 61. Función de utilidad con elasticidad de sustitución constante (CES) <ul><li>La utilidad CES ( Constant elasticity of substitution ) </li></ul><ul><ul><li>La elasticidad de sustitución (  ) es igual a 1/(1 -  ) </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>sustitutos perfectos   =  </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>proporciones fijas   = 0 </li></ul></ul></ul>
  62. 62. Función de utilidad con elasticidad de sustitución constante (CES) <ul><li>La utilidad CES ( Constant elasticity of substitution ) incluye como casos especiales: </li></ul><ul><li>- función lineal (sustitutos perfectos) </li></ul><ul><li>- función de proporciones fijas </li></ul><ul><li>(complementos perfectos) </li></ul><ul><li>- función Cobb-Douglas </li></ul>
  63. 63. Curvas de indiferencia Cobb-Douglas x 2 x 1 Todas las curvas son hipérbolas, asintóticas pero nunca tocan los ejes
  64. 64. Utilidad Marginal <ul><li>Marginal significa “incremental” </li></ul><ul><li>La utilidad marginal de un bien es la tasa de cambio de la utilidad total cuando la cantidad del bien i cambie. Por ejemplo: </li></ul>
  65. 65. <ul><li>Por ejemplo si U(x 1 ,x 2 ) = x 1 1/2 x 2 2 entonces </li></ul>Utilidad Marginal
  66. 66. <ul><li>Por ejemplo, si U(x 1 ,x 2 ) = x 1 1/2 x 2 2 entonces </li></ul>Utilidad Marginal
  67. 67. <ul><li>Por ejemplo, si U(x 1 ,x 2 ) = x 1 1/2 x 2 2 entonces </li></ul>Utilidad Marginal
  68. 68. <ul><li>Por ejemplo, si U(x 1 ,x 2 ) = x 1 1/2 x 2 2 entonces </li></ul>Utilidad Marginal
  69. 69. <ul><li>Así, si U(x 1 ,x 2 ) = x 1 1/2 x 2 2 entonces </li></ul>Utilidad Marginal
  70. 70. Utilidd Marginal y Tasa Marginal de Sustitución <ul><li>La ecuación general para una curva de indiferencia es U(x 1 ,x 2 )  k, donde k es una constante La diferencia total de esta identidad es: </li></ul>
  71. 71. Utilidd Marginal y Tasa Marginal de Sustitución Reordenando:
  72. 72. Utilidd Marginal y Tasa Marginal de Sustitución reordenando y Ésta es la TMgS
  73. 73. Utilidad Marginal y Tasa Marginal de Sustitución, un ejemplo <ul><li>Supongamos que U(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 . Entonces </li></ul>
  74. 74. Utilidad Marginal y Tasa Marginal de Sustitución TMgS(1,8) = - 8/1 = -8 TMgS(6,6) = - 6/6 = -1. x 1 x 2 8 6 1 6 U = 8 U = 36 U(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 ;
  75. 75. Tasa Marginal de Sustitución x y y 1 y 2 U 1 x 1 x 2 En ( x 1 , y 1 ), la curva de indiferencia es más inclinada. La persona estaría dispuesta a renunciar más y para ganar unidades adicionales de x En ( x 2 , y 2 ), la curva de indiferencia es más plana. La persona estaría dispuesta a renunciar menos de y para ganar unidades adicionales de x
  76. 76. Tasa Marginal de Sustitución para funciones de utilidad cuasi-lineales <ul><li>Una función de utilidad cuasi-lineal es de la forma U(x 1 ,x 2 ) = f(x 1 ) + x 2 . </li></ul>
  77. 77. <ul><li>La TMgS = - f (x 1 ) no depende de x 2 en consecuencia, la pendiente de las curvas de indiferencia para una función de utilidad cuasi lineal es constante a lo largo de cualquier de cualquier líneal para la cual x 1 es constante.¿Cómo es el mapa de curvas de indiferencia en este caso? </li></ul>Tasa Marginal de Sustitución
  78. 78. Tasa Marginal de Sustitución x 2 x 1 Cada una de las curvas es una copia verticalmente desplazada de las otras. TMgS es una constante a lo largo de la línea para la cual x 1 es constante. TMgS = - f(x 1 ’) TMgS = -f(x 1 ”) x 1 ’ x 1 ”
  79. 79. Transformaciones Monotónicas y Tasa Marginal de Sustitución <ul><li>Aplicar una transformación monotónica a una función de utilidad crea otra función de utilidad que representa a la misma relación de preferencias </li></ul><ul><li>¿Pero, qué sucede con la TMgS cuando se aplica una transformación monotónica? </li></ul>
  80. 80. <ul><li>Para U(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 la TMgS = - x 2 /x 1 . </li></ul><ul><li>Creamos V = U 2 ; V(x 1 ,x 2 ) = x 1 2 x 2 2 . ¿Cuál es la TMgS para V? que es la misma TMgS para U. </li></ul>Tasa Marginal de Sustitución
  81. 81. <ul><li>De manera más general, si V = f(U) donde f es una función estríctamente creciente, entonces </li></ul>Tasa Marginal de Sustitución En consecuencia, la TMgS no cambia por una transformación monotónica positiva
  82. 82. Tasa Marginal de Sustitución <ul><li>Intuitivamente, el supuesto de utilidad marginal decreciente está relacionado con el concepto de TMgS decreciente </li></ul><ul><ul><li>una TMgS decreciente requiere que la utilidad sea una función cuasi-cóncava, independiente de cómo se mida la utilidad </li></ul></ul><ul><ul><li>una utilidad marginal decreciente depende de cómo se mide la utilidad </li></ul></ul><ul><li>Por lo tanto, estos conceptos son diferentes </li></ul>
  83. 83. Preferencias homotéticas <ul><li>Si la TMgS depende solamente del ratio de las cantidades de los dos bienes, no de las cantidades de los bienes, la función de utilidad es homotética </li></ul><ul><ul><li>Sustitutos perfectos  TMgS es la misma en cada punto </li></ul></ul><ul><ul><li>- Complementos perfectos  TMgS =  si y / x >  /  , indefinido si y / x =  /  , y TMgS = 0 si y / x <  /  </li></ul></ul>
  84. 84. Preferencias homotéticas <ul><li>Para el caso de la función Cobb-Douglas, la TMgS puede ser, </li></ul>
  85. 85. Preferencias no homotéticas <ul><li>Algunas funciones de utilidad no exhiben preferencias homotéticas, </li></ul>utility = U ( x , y ) = x + ln y
  86. 86. El caso de muchos bienes <ul><li>Supongamos que la utilidad es una función de n bienes y está dado por, </li></ul>utility = U ( x 1 , x 2 ,…, x n ) <ul><li>La diferencial total del caso de n bienes es, </li></ul>
  87. 87. El caso de muchos bienes <ul><li>Es simple generalizar el caso de dos bienes al caso de muchos bienes: </li></ul><ul><li>- las elecciones para el caso de muchos bienes pueden traer consigo muchas ideas </li></ul><ul><li>- las matemáticas para el caso de muchos bienes no es especialmente intuitivo, por ello nos centraremos en el caso de dos bienes </li></ul>

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