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Módulo 1
    ANÁLISIS
MATEMÁTICO DE LA
  OPTIMIZACIÓN



 Copyright ©2005 by South-Western, a division of Thomson Learning...
Matemática de la Optimización
• Muchas teorías económicas empiezan con el
  supuesto de que un agente económico quiere
  e...
Maximización de una función de una
            variable
  • Ejemplo: Administrador de una firma desea
    maximizar benefi...
Maximización de una función de una
            variable
• El admimistrador posiblemente intentará variar q para
  ver dónd...
Maximización de una función de una
            variable
• Si el producto se incrementa más alla de q*, las
  utilidades di...
Derivadas
• La derivada de = f(q) es el límite de            / q para
  cambios muy pequeños en q

       d      df       ...
Valor de una derivada en un punto
• La evaluación de la derivada en el punto q =
  q1 puede ser denotado
                 ...
Condición de primer orden para un
             máximo
 • Para que una función de una variable to
   alcance su valor máxim...
Condiciones de segundo orden
• La condición de primer orden (d /dq) es una
  condición necesaria para un máximo, pero no e...
Condiciones de segundo orden

• Esto puede significar que para que q* sea
  un óptimo,
 d                          d
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Segundas derivadas
• La derivada de una derivada se denomina
  segunda derivada
• La segunda derivada puede denotarse por
...
Condiciones de segundo orden

• La condición de segundo orden para un
  máximo (local) es
              2
          d
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Reglas para hallar derivadas
                                       db
1. Si b es una constante, entonces              0
 ...
Reglas para hallar derivadas
          x
     da        x
5.            a ln a para cualquier constante a
     dx
     – u...
Reglas para hallar derivadas
• Supongamos que f(x) y g(x) son dos
  funciones de x y f’(x) y g’(x) existe
• Entonces
     ...
Reglas para hallar derivadas
         f ( x)
     d
         g ( x)   f ' ( x) g ( x)   f ( x) g ' ( x)
8.                ...
Reglas para hallar derivadas
• Si y = f(x) y x = g(z) y si existen f’(x) y
  g’(x), entonces:
       dy   dy dx     df   d...
Reglas para hallar derivadas
  • Algunos ejemplos de la regla de la cadena
    incluyen
                 ax             ax...
Ejemplo de maximización de utilidad
• Suponga que la relación entre utilidad y producto es
                    = 1,000q - ...
Funciones de varias variables
• La mayoría de los objetivos de los agentes
  económicos dependen de varias variables
   – ...
Derivadas
• La derivada parcial de y con respecto a x1 se
  denota por
               y        f
                    o    ...
Derivadas parciales
• Una definición más formal de la derivada
  parcial es

f                           f ( x1   h, x 2 ,...
Calculando derivadas parciales
                                     2                         2
1. If y        f ( x1 , x2...
Calculando derivadas parciales
 3. Si y        f ( x1 , x2 )       a ln x1   b ln x2 , entonces
   f               a      ...
Derivadas parciales
• Las derivadas parciales son la expresión
  matemática del supuesto ceteris paribus
  – muestra cómo ...
Derivadas parciales
• Debemos tener en cuenta cómo están
  medidas las variables
  – Si q representa la cantidad de gasoli...
Elasticidad
• Las elasticidades miden el efecto
  proporcional del cambio en una variable
  sobre otra
• La elasticidad de...
Elasticidad y forma funcional
• Suponga que
             y = a + bx + otros términos
• En este caso,
              y   x  ...
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• Supongamos que
                          y = axb
• En este caso,

                  y   x   ...
Elasticidad y forma funcional
• Supongamos que
                  ln y = ln a + b ln x
• En este caso,
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Derivada parcial de segundo-orden

• La derivada parcial de una derivada parcial
  se denomina derivada parcial de segundo...
Teorema de Young
• Bajo condiciones generales, no importa el
  orden en el cual se realiza la diferenciación
  parcial par...
Uso de las parciales de
              segundo-orden
• Las parciales de segundo-orden juegan un papel
  importante en mucha...
Diferencial total
• Supongamos que y = f(x1,x2,…,xn)
• Si todas las x’s varían en una pequeña
  cantidad, el efecto total ...
Condición de primer orden para un
        máximo (o mínimo)
• Una condición necesaria para un máximo (o mínimo)
  de la fu...
Encontrar un máximo
• Supongamos que y es una función de x1 y x2
          y = - (x1 - 1)2 - (x2 - 2)2 + 10
            y ...
Frontera de posibilidades de producción

• Ejemplo anterior: 2x2 + y2 = 225
• Puede re-escribirse: f(x,y) = 2x2 + y2 - 225...
Teorema de la función implícita
• No siempre será posible resulver funciones
  implícitas de la forma g(x,y)=0 para funcio...
El teorema de la envolvente
• El teorema de la envolvente considera cómo el
  valor óptimo de una función en particular
  ...
El teorema de la envolvente
• Supongamos que y es una función de x
                   y = -x2 + ax
• Para valores diferent...
El teorema de la envolvente
Valores óptimos de x e y para valores alternativos de a

    Valor de a       Valor de x*     ...
El teorema de la envolvente
y*
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                                          A medida que a aumenta,
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                   ...
El teorema de la envolvente
• Supongamos que estamos interesados en
  cómo y* cambia a medida que a cambia
• Hay dos forma...
El teorema de la envolvente
• Para calcular la pendiente de la función,
  debemos resolver para el valor óptimo de x
  par...
El teorema de la envolvente
• Por lo tanto,
              dy*/da = 2a/4 = a/2 = x*


• Pero, podemos ahorrar tiempo utiliz...
El teorema de la envolvente
                    y/ a = x
• Manteniendo x = x*
                 y/ a = x* = a/2

• Es el mi...
El teorema de la envolvente
• El teorema de la envolvente afirma que el cambio
  en el valor óptimo de una función con res...
El teorema de la envolvente
• El teorema de la envolvente puede extenderse al
  caso donde y es una función de varias vari...
El teorema de la envolvente
• Valores óptimos para estas x’s se determinarían
  como una función de a

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El teorema de la envolvente
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  resulta en una expresión para el valor óptim...
El teorema de la envolvente
• Debido a las condiciones de primer orden, todos
  los términos excepto f/ a son iguales a ce...
Maximización restringida
• ¿Qué ocurre si no son posibles todos los valores de
  las x’s?
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Método del multiplicador
          Lagrangiano
• Supongamos que queremos encontrar los
  valores de x1, x2,…, xn que maxim...
Método del multiplicador
           Lagrangiano
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  comienza con la siguiente expr...
Método del multiplicador
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• Condiciones de primer orden
               L/ x1 = f1 + g1 = 0
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  orden pueden resolverse para x1...
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• El multiplicador Lagrangiano ( ) tiene una
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• Si se relajase la restricción en una pequeña
  cantidad, no importaría q...
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  incrementarse sustancialmente rela...
Dualidad
• Cualquier problema de maximización
  restringida está vinculado con un problema
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Dualidad
• Individuos que maximizan su utilidad sujeta a una
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Maximización restringida
• Supongamos que un agricultor tiene cierta
  extensión de valla (P) y desea encerrar la forma
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Maximización restringida
• Configurando el multiplicador Lagrangiano
             L = x·y + (P - 2x - 2y)
• Las condicione...
Maximización restringida
• Dado que y/2 = x/2 = , x debe ser igual a y
   – el campo sería cuadrado
   – x e y serían esco...
Maximización restringida
• Interpretación del multiplicador de Lagrange
  – si el agricultor estuviese interesado en conoc...
Maximización restringida
• Problema dual: escoger x e y para minimizar la
  cantidad de valla requirida para rodear el
  c...
Maximización restringida
• Conditiones de primer orden:
               LD/ x = 2 -      D·y   =0
               LD/ y = 2 ...
Teorema de la envolvente &
    maximización restringida
• Supongamos que queremos maximizar
                  y = f(x1,…,x...
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    Maximización restringida
• Alternativamente, puede demostrarse que
           dy*/da = L/ a...
Restricciones con desigualdad
• En algunos problemas económicos no necesitamos
  que las restricciones se cumplan exactame...
Restricciones con desigualdad
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  introduciendo tres nuevas variables (a, b, y
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Restricciones con desigualdad
               g(x1,x2) - a2 = 0;
                x1 - b2 = 0; and
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      L/ x1 = f1 +     1g1   +   2   =0
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   funciones de dos variables
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Funciones homotéticas
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Funciones homotéticas
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Funciones homotéticas
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Funciones homotéticas
• La disyuntiva implícita entre x e y es
                    k 1
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• Las derivadas se usan a menudo en
  economía porque los economistas están
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  una herramienta importante para el
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  1. 1. Módulo 1 ANÁLISIS MATEMÁTICO DE LA OPTIMIZACIÓN Copyright ©2005 by South-Western, a division of Thomson Learning. All rights reserved. 1
  2. 2. Matemática de la Optimización • Muchas teorías económicas empiezan con el supuesto de que un agente económico quiere encontrar el valor óptimo de alguna función – consumidores buscan maximizar utilidad – empresas buscan maximizar utilidad • Este capítulo introduce a las matemáticas que se emplean en estos problemas 2
  3. 3. Maximización de una función de una variable • Ejemplo: Administrador de una firma desea maximizar beneficios f (q) Utilidad máxima * * ocurre en q* = f(q) Cantidad q* 3
  4. 4. Maximización de una función de una variable • El admimistrador posiblemente intentará variar q para ver dónde se obtienen los beneficios máximos – un incremento de q1 a q2 produce un aumento en * 2 = f(q) 0 q 1 Cantidad q1 q2 q* 4
  5. 5. Maximización de una función de una variable • Si el producto se incrementa más alla de q*, las utilidades disminuirán – un incremento de q* a q3 conduce a una caída en * = f(q) 0 q 3 Cantidad q* q3 5
  6. 6. Derivadas • La derivada de = f(q) es el límite de / q para cambios muy pequeños en q d df f (q1 h) f (q1 ) lim dq dq h 0 h • El valor de este ratio depende del valor de q1 6
  7. 7. Valor de una derivada en un punto • La evaluación de la derivada en el punto q = q1 puede ser denotado d dq q q1 • En nuestros ejemplos previos, d d d 0 0 0 dq q q1 dq q q3 dq q q* 7
  8. 8. Condición de primer orden para un máximo • Para que una función de una variable to alcance su valor máximo en algún punto, la derivada en ese punto debe ser cero df 0 dq q q* 8
  9. 9. Condiciones de segundo orden • La condición de primer orden (d /dq) es una condición necesaria para un máximo, pero no es una condición suficiente Si la función de utilidad tuviese forma de u, con la condición de primer orden se obtendría q* donde se minimizaría * Cantidad q* 9
  10. 10. Condiciones de segundo orden • Esto puede significar que para que q* sea un óptimo, d d 0 para q q* y 0 para q q* dq dq • Por lo tanto, en q*, d /dq debe ser decreciente 10
  11. 11. Segundas derivadas • La derivada de una derivada se denomina segunda derivada • La segunda derivada puede denotarse por 2 2 d d f 2 o 2 o f " (q) dq dq 11
  12. 12. Condiciones de segundo orden • La condición de segundo orden para un máximo (local) es 2 d 2 f " (q ) q q* 0 dq q q* 12
  13. 13. Reglas para hallar derivadas db 1. Si b es una constante, entonces 0 dx d [bf ( x)] 2. Si b es una constante, entonces bf ' ( x) dx b dx b 1 3. Si b es constante, entonces bx dx d ln x 1 4. dx x 13
  14. 14. Reglas para hallar derivadas x da x 5. a ln a para cualquier constante a dx – un caso especial de esta regla es dex/dx = ex 14
  15. 15. Reglas para hallar derivadas • Supongamos que f(x) y g(x) son dos funciones de x y f’(x) y g’(x) existe • Entonces d [f ( x ) g ( x )] 6. f '(x) g'(x) dx d [f ( x ) g ( x )] 7. f ( x )g ' ( x ) f ' ( x )g ( x ) dx 15
  16. 16. Reglas para hallar derivadas f ( x) d g ( x) f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x) 8. 2 dx [ g ( x )] dado que g ( x) 0 16
  17. 17. Reglas para hallar derivadas • Si y = f(x) y x = g(z) y si existen f’(x) y g’(x), entonces: dy dy dx df dg 9. dz dx dz dx dz • Se denomina la regla de la cadena. La regla de la cadena nos permite estudiar cómo una variable (z) afecta otra variable (y) a través de su influencia sobre alguna variable intermedia (x) 17
  18. 18. Reglas para hallar derivadas • Algunos ejemplos de la regla de la cadena incluyen ax ax de de d (ax ) ax ax 10. e a ae dx d (ax ) dx d [ln( ax )] d [ln( ax )] d (ax ) 11. ln( ax ) a a ln( ax ) dx d (ax ) dx 2 2 2 d [ln( x )] d [ln( x )] d ( x ) 1 2 12. 2 2 2x dx d(x ) dx x x 18
  19. 19. Ejemplo de maximización de utilidad • Suponga que la relación entre utilidad y producto es = 1,000q - 5q2 • La condición de primer orden para un máximo es d /dq = 1,000 - 10q = 0 q* = 100 • Dado que la segunda derivada es siempre -10, q = 100 es un máximo global 19
  20. 20. Funciones de varias variables • La mayoría de los objetivos de los agentes económicos dependen de varias variables – existen trade-offs (disyuntivas) • La dependencia de una variable (y) sobre una serie de otras variables (x1,x2,…,xn) se denota por y f (x1, x 2 ,..., xn ) 20
  21. 21. Derivadas • La derivada parcial de y con respecto a x1 se denota por y f o o f x1 o f1 x1 x1 • Se entiende que al calcular una derivada parcial, todas las demás x’s se mantienen constantes 21
  22. 22. Derivadas parciales • Una definición más formal de la derivada parcial es f f ( x1 h, x 2 ,..., x n ) f ( x1, x 2 ,..., x n ) lim x1 x 2 ,...,x n h 0 h 22
  23. 23. Calculando derivadas parciales 2 2 1. If y f ( x1 , x2 ) ax1 bx1 x2 cx2 , entonces f f1 2ax1 bx2 y x1 f f2 bx1 2cx2 x2 ax1 bx2 2. Si y f ( x1 , x2 ) e , entonces f ax1 bx2 f ax1 bx2 f1 ae y f2 be x1 x2 23
  24. 24. Calculando derivadas parciales 3. Si y f ( x1 , x2 ) a ln x1 b ln x2 , entonces f a f b f1 y f2 x1 x1 x2 x2 24
  25. 25. Derivadas parciales • Las derivadas parciales son la expresión matemática del supuesto ceteris paribus – muestra cómo los cambios en una variable afectan algunos resultados cuando otras influencias se mantienen constantes 25
  26. 26. Derivadas parciales • Debemos tener en cuenta cómo están medidas las variables – Si q representa la cantidad de gasolina demandada (medida en billones de litros) y p representa el precio en dólares por litro, entonces q/ p medirá el cambio en la demanda (en billones de litros por año) para un cambio en el precio de un dólar por litro 26
  27. 27. Elasticidad • Las elasticidades miden el efecto proporcional del cambio en una variable sobre otra • La elasticidad de y con respecto a x es y y y x y x ey , x x x y x y x 27
  28. 28. Elasticidad y forma funcional • Suponga que y = a + bx + otros términos • En este caso, y x x x ey ,x b b x y y a bx • ey,x no es constante – es importante notar el punto en el cual la elasticidad va a ser computada 28
  29. 29. Elasticidad forma funcional • Supongamos que y = axb • En este caso, y x b 1 x ey , x abx b b x y ax 29
  30. 30. Elasticidad y forma funcional • Supongamos que ln y = ln a + b ln x • En este caso, y x ln y ey , x b x y ln x • Las elasticidades pueden calcularse a través de la diferenciación logarítmica 30
  31. 31. Derivada parcial de segundo-orden • La derivada parcial de una derivada parcial se denomina derivada parcial de segundo- orden 2 ( f / xi ) f fij xj x j xi 31
  32. 32. Teorema de Young • Bajo condiciones generales, no importa el orden en el cual se realiza la diferenciación parcial para evaluar las derivadas parciales de segundo orden fij f ji 32
  33. 33. Uso de las parciales de segundo-orden • Las parciales de segundo-orden juegan un papel importante en muchas teorías económicas • Una de las más importantes es la parcial de segundo orden de la misma variable, fii – muestra cómo la influencia marginal de xi sobre y ( y/ xi) cambia a medida que se incrementa xi – un valor de fii < 0 indica rendimiento maginal decreciente 33
  34. 34. Diferencial total • Supongamos que y = f(x1,x2,…,xn) • Si todas las x’s varían en una pequeña cantidad, el efecto total sobre y será f f f dy dx1 dx 2 ... dx n x1 x2 xn dy f1dx1 f2dx 2 ... fn dx n 34
  35. 35. Condición de primer orden para un máximo (o mínimo) • Una condición necesaria para un máximo (o mínimo) de la función f(x1,x2,…,xn) es que dy = 0 para cualquier combinación de cambios pequeños en las x’s • La única forma de que esto sea cierto es si f1 f2 ... fn 0 • Un punto en el que esta condición se verifica se denomina punto crítico 35
  36. 36. Encontrar un máximo • Supongamos que y es una función de x1 y x2 y = - (x1 - 1)2 - (x2 - 2)2 + 10 y = - x12 + 2x1 - x22 + 4x2 + 5 • Condiciones de primer orden implican que y 2 x1 2 0 * x1 1 x1 O * y x2 2 2x2 4 0 x2 36
  37. 37. Frontera de posibilidades de producción • Ejemplo anterior: 2x2 + y2 = 225 • Puede re-escribirse: f(x,y) = 2x2 + y2 - 225 = 0 • Dado que fx = 4x y fy = 2y, la disyuntiva de coste de oportunidad entre x e y es dy fx 4x 2x dx fy 2y y 37
  38. 38. Teorema de la función implícita • No siempre será posible resulver funciones implícitas de la forma g(x,y)=0 para funciones explícitas de la forma y = f(x) – los matemáticos han derivado las condiciones necesarias – en muchas aplicaciones económicas, estas condiciones son las mismas que las condiciones de segundo orden para un máximo (o mínimo) 38
  39. 39. El teorema de la envolvente • El teorema de la envolvente considera cómo el valor óptimo de una función en particular cambia cuando un parámetro de esa función cambia • La forma más simple de verlo es mediante un ejemplo 39
  40. 40. El teorema de la envolvente • Supongamos que y es una función de x y = -x2 + ax • Para valores diferentes de a, esta función representa una familia de parábolas invertidas • Si a a asignamos un valor específico, entonces y es una función de x solamente y el valor de x que maximiza y puede calcularse 40
  41. 41. El teorema de la envolvente Valores óptimos de x e y para valores alternativos de a Valor de a Valor de x* Valor de y* 0 0 0 1 1/2 1/4 2 1 1 3 3/2 9/4 4 2 4 5 5/2 25/4 6 3 9 41
  42. 42. El teorema de la envolvente y* 10 A medida que a aumenta, 9 el valor máximo de 8 7 for y (y*) se incrementa 6 5 4 La relación entre a 3 ey 2 1 es cuadrática 0 a 0 1 2 3 4 5 6 7 42
  43. 43. El teorema de la envolvente • Supongamos que estamos interesados en cómo y* cambia a medida que a cambia • Hay dos formas de hacer esto – calculamos la pendiente de y directamente – mantenemos x constante en su valor óptimo y calculamos y/ a directamente 43
  44. 44. El teorema de la envolvente • Para calcular la pendiente de la función, debemos resolver para el valor óptimo de x para cualquier valor de a dy/dx = -2x + a = 0 x* = a/2 • Sustituyendo, obtenemos y* = -(x*)2 + a(x*) = -(a/2)2 + a(a/2) y* = -a2/4 + a2/2 = a2/4 44
  45. 45. El teorema de la envolvente • Por lo tanto, dy*/da = 2a/4 = a/2 = x* • Pero, podemos ahorrar tiempo utilizando el teorema de la envolvente – Para cambios pequeños en a, dy*/da puede ser computado manteniendo x en x* y calculando y/ a directamente de y 45
  46. 46. El teorema de la envolvente y/ a = x • Manteniendo x = x* y/ a = x* = a/2 • Es el mismo resultado obtenido anteriormente 46
  47. 47. El teorema de la envolvente • El teorema de la envolvente afirma que el cambio en el valor óptimo de una función con respecto a un parámetro de la función puede ser encontrado diferenciando parcialmente la función objectivo mientras se mantiene constante x (o varias x’s) en este valor óptimo dy * y {x x * (a)} da a 47
  48. 48. El teorema de la envolvente • El teorema de la envolvente puede extenderse al caso donde y es una función de varias variables y = f(x1,…xn,a) • Encontrar un valor óptimo para y consistiría en resolver n ecuaciones de primer orden y/ xi = 0 (i = 1,…,n) 48
  49. 49. El teorema de la envolvente • Valores óptimos para estas x’s se determinarían como una función de a x1* = x1*(a) x2* = x2*(a) . . . xn*= xn*(a) 49
  50. 50. El teorema de la envolvente • Sustituyendo en la función objectivo original resulta en una expresión para el valor óptimo de y (y*) y* = f [x1*(a), x2*(a),…,xn*(a),a] • Diferenciando resulta dy * f dx1 f dx 2 f dx n f ... da x1 da x2 da xn da a 50
  51. 51. El teorema de la envolvente • Debido a las condiciones de primer orden, todos los términos excepto f/ a son iguales a cero si las x’s están en sus valores óptimos • Por lo tanto, dy * f {x x * (a)} da a 51
  52. 52. Maximización restringida • ¿Qué ocurre si no son posibles todos los valores de las x’s? – puede ser que todos los valores de x tengan que ser positivos – las elecciones de los consumidores están limitadas por la cantidad de poder adquisitivo disponible • Un método para resolver problemas de maximización restringidas es el método del multiplicador Lagrangiano 52
  53. 53. Método del multiplicador Lagrangiano • Supongamos que queremos encontrar los valores de x1, x2,…, xn que maximizan y = f(x1, x2,…, xn) sujeta a una restricción que permite utilizar sólo ciertos valores de las x’s g(x1, x2,…, xn) = 0 53
  54. 54. Método del multiplicador Lagrangiano • El método del multiplicador Lagrangiano comienza con la siguiente expresión L = f(x1, x2,…, xn ) + g(x1, x2,…, xn) donde es una variable adicional denominada multiplicador de Lagrange • Cuando la restricción se mantiene, L = f porque g(x1, x2,…, xn) = 0 54
  55. 55. Método del multiplicador Lagrangiano • Condiciones de primer orden L/ x1 = f1 + g1 = 0 L/ x2 = f2 + g2 = 0 . . . L/ xn = fn + gn = 0 L/ = g(x1, x2,…, xn) = 0 55
  56. 56. Método del multiplicador Lagrangiano • Generalmente las condiciones de primer orden pueden resolverse para x1, x2,…, xn y • La solución tendrá dos propiedades: – las x’s cumplirán con la restricción – estas x’s harán del valor de L (y por lo tanto de f) tan grande como sea posible 56
  57. 57. Método del multiplicador Lagrangiano • El multiplicador Lagrangiano ( ) tiene una importante interpretación económica • Las condiciones de primer orden implican que f1/-g1 = f2/-g2 =…= fn/-gn = – los numeradores miden el beneficio marginal que una unidad más de xi tendrán para la función f – los denominadores reflejan la carga agregada sobre la restricción de utilizar más xi 57
  58. 58. Método del multiplicador Lagrangiano • En las elecciones óptimas para las x’s, el ratio del beneficio marginal de incrementar xi y el coste marginal de incrementar xi sería el mismo para cada x • es el ratio común de coste-beneficio para todas las x’s beneficio marginal de xi coste marginal de xi 58
  59. 59. Método del multiplicador Lagrangiano • Si se relajase la restricción en una pequeña cantidad, no importaría que x está cambiando • El multiplicador Lagrangiano provee una medida de cómo la relajación dela restricción afectaría el valor de y • provee un “precio sombra” para la restricción 59
  60. 60. Método del multiplicador Lagrangiano • Un valor alto de indica que y puede incrementarse sustancialmente relajando la restricción – cada x tiene un alto ratio coste-benecio • Un valor bajo de indica que no hay mucho que ganar al relajar la restricción • =0 implica que la restricción no es vinculante (cambiando la restricción no cambia la solución óptima) 60
  61. 61. Dualidad • Cualquier problema de maximización restringida está vinculado con un problema dual de minimización restringida que enfoca la atención sobre las restricciones del problema original 61
  62. 62. Dualidad • Individuos que maximizan su utilidad sujeta a una restricción presupuestaria – problema dual: los individuos minimizan el gasto necesario para lograr un nivel dado de utilidad • Las firmas minimizan el coste de los insunmos para producir un nivel dado de producto – problema dual: las firmas maximizan el producto para costes de insumos adquiridos 62
  63. 63. Maximización restringida • Supongamos que un agricultor tiene cierta extensión de valla (P) y desea encerrar la forma rectangular más grande posible • Denotemos x como la extensión de un lado • Denotemos y como la extensión del otro lado • Problema: escoger x e y tal que se maximiza el área (A = x·y) sujeta a la restricción de que el perímetro es fijo en P = 2x + 2y 63
  64. 64. Maximización restringida • Configurando el multiplicador Lagrangiano L = x·y + (P - 2x - 2y) • Las condiciones de primer orden para un máximo son L/ x = y - 2 = 0 L/ y = x - 2 = 0 L/ = P - 2x - 2y = 0 64
  65. 65. Maximización restringida • Dado que y/2 = x/2 = , x debe ser igual a y – el campo sería cuadrado – x e y serían escogidos tal que el ratio de beneficios marginales y costes marginales serían iguales • Dado que x = y e y = 2 , podemos utilizar la restricción para mostrar que x = y = P/4 = P/8 65
  66. 66. Maximización restringida • Interpretación del multiplicador de Lagrange – si el agricultor estuviese interesado en conocer qué campo adicional puede tener valla agregando un metro adicional de valla, sugiere que puede saberlo dividiendo el perímetro presente (P) por 8 – por lo tanto, el multiplicador Lagrangiano provee información acerca del valor implícito de la restricción 66
  67. 67. Maximización restringida • Problema dual: escoger x e y para minimizar la cantidad de valla requirida para rodear el campo minimizar P = 2x + 2y sujeta a A = x·y • Configurando el Lagrangiano: LD = 2x + 2y + D(A - x y) 67
  68. 68. Maximización restringida • Conditiones de primer orden: LD/ x = 2 - D·y =0 LD/ y = 2 - D·x =0 LD/ D = A - x·y = 0 • Resolviendo, tenemos x = y = A1/2 • El multiplicador Lagrangiano ( D) = 2A-1/2 68
  69. 69. Teorema de la envolvente & maximización restringida • Supongamos que queremos maximizar y = f(x1,…,xn;a) sujeta a la restricción g(x1,…,xn;a) = 0 • Una forma de resolver sería fijando la expresión para el Lagrangiano y resolver las condiciones de primer orden 69
  70. 70. Teorema de la envolvente & Maximización restringida • Alternativamente, puede demostrarse que dy*/da = L/ a(x1*,…,xn*;a) • El cambio en el valor máximo de y que resulta cuando a cambia puede encontrarse diferenciando parcialmente L y evaluando la derivada parcial en el punto óptimo 70
  71. 71. Restricciones con desigualdad • En algunos problemas económicos no necesitamos que las restricciones se cumplan exactamente • Por ejemplo, supongamos que buscamos maximizar y = f(x1,x2) sujeta a g(x1,x2) 0, x1 0, and x2 0 71
  72. 72. Restricciones con desigualdad • Una forma de resolver este problema es introduciendo tres nuevas variables (a, b, y c) que convierte las desigualdades en igualdades • Para asegurar que se cumplen las desigualdades, elevamos al cuadrado estas nuevas variables para asegurar que sus valores son positivos 72
  73. 73. Restricciones con desigualdad g(x1,x2) - a2 = 0; x1 - b2 = 0; and x2 - c2 = 0 • Cualquier solución que obedece estas tres restricciones de igualdad también cumplirán con las restricciones de desigualdad 73
  74. 74. Restricciones de desigualdad • Podemos establecer el siguente Lagrangiano L = f(x1,x2) + 1 [g(x1,x2) - a2] + 2[x1 - b2] + 3[x2 - c2] • Con lo cual obtendremos ocho condiciones de primer orden 74
  75. 75. Restricciones de desigualdad L/ x1 = f1 + 1g1 + 2 =0 L/ x2 = f1 + 1g2 + 3 =0 L/ a = -2a 1 =0 L/ b = -2b 2 =0 L/ c = -2c 3 =0 L/ 1 = g(x1,x2) - a2 = 0 L/ 2 = x1 - b2 = 0 L/ 3 = x2 - c2 = 0 75
  76. 76. Restricciones de desigualdad • De acuerdo con la tercera condición, ya sea a o 1 =0 – si a = 0, la restricción g(x1,x2) se cumple exactamente – si 1 = 0, la disponibilidad de alguna holgura de la restricción implica que su valor para la función objetivo es 0 • Similares relaciones de complementariedad de holguras (formadas por el conjunto de las restricciones de menor o igual multiplicadas por su correspondiente ) también se cumplen para x1 y x2 76
  77. 77. Restricciones de desigualdad • A estos resultados se los conoce como las condiciones de Kuhn-Tucker – muestran que las soluciones para problemas de optimización que involucran a restricciones con desigualdades diferirán de problemas similares que involucran restricciones con igualdades – no podemos equivocarnos trabajando principalmente con restricciones con igualdades, hay que considerar las desigualdades 77
  78. 78. Condiciones de segundo orden – funciones de una variable • Denotemos y = f(x) • Una condición necesaria para un máximo es que dy/dx = f ’(x) = 0 • Para asegurar que el punto es un máximo, y debe ser decreciente para los movimientos fuera de él 78
  79. 79. Condiciones de segundo orden- funciones de una variable • La diferencial total mide el cambio en y dy = f ’(x) dx • Para estar en un máximo, dy debe ser decreciente para incrementos pequeños en x • Para ver los cambios en dy, debemos utilizar la segunda derivada de y 79
  80. 80. Condiciones de segundo orden – funciones de una variable 2 d [f ' ( x )dx ] 2 d y dx f " ( x )dx dx f " ( x )dx dx • Notemos que d 2y < 0 implica que f ’’(x)dx2 < 0 • Dado que dx2 debe ser positivo, f ’’(x) < 0 • Esto significa que la función f debe tener una forma cócava en el punto crítico 80
  81. 81. Condiciones de segundo orden – funciones de dos variables • Supongamos que y = f(x1, x2) • Las condiciones de primer orden para un máximo son y/ x1 = f1 = 0 y/ x2 = f2 = 0 • Para asegurar que el punto es un máximo, y debe disminuir para movimientos en cualquier dirección fuera del punto crítico 81
  82. 82. Condiciones de segundo orden – funciones de dos variables • La pendiente en la dirección x1 (f1) debe ser decreciente en el punto crítico • La pendiente en la dirección x2 (f2) debe ser decreciente en el punto crítico • Pero, se deben establecer condiciones sobre las derivadas parciales cruzadas (f12 = f21) para asegurar que dy es decreciente para todos los movimientos a través del punto crítico 82
  83. 83. Condiciones de segundo orden – funciones de dos variables • La diferencial total de y está dado por dy = f1 dx1 + f2 dx2 • La diferencial de esta función es d 2y = (f11dx1 + f12dx2)dx1 + (f21dx1 + f22dx2)dx2 d 2y = f11dx12 + f12dx2dx1 + f21dx1 dx2 + f22dx22 • Por el teorema de Young, f12 = f21 y d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22 83
  84. 84. Condiciones de segundo orden- funciones de dos variables d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22 • Para que esta ecuación sea indefectiblemente negativa para cualquier cambio en las x’s, f11 y f22 deben ser negativas • Si dx2 = 0, entonces d 2y = f11 dx12 – para d 2y < 0, f11 < 0 • Si dx1 = 0, entonces d 2y = f22 dx22 – para d 2y < 0, f22 < 0 84
  85. 85. Condiciones de segundo orden – funciones de dos variables d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22 • Si ni dx1 o dx2 son cero, entonces d 2y será sin ambigüedad negativo sólo si f11 f22 - f122 > 0 – las derivadas parciales de segundo orden (f11 y f22) deben ser suficientemente negativas tal que compensan cualquier tipo de efectos contratio de las derivadas parciales cruzadas (f12 = f21) 85
  86. 86. Maximización restringida • Supongamos que queremos escoger x1 y x2 para maximizar y = f(x1, x2) • Sujeta a la restricción linear c - b1x1 - b2x2 = 0 • Podemos establecer el Lagrangiano L = f(x1, x2) + (c - b1x1 - b2x2) 86
  87. 87. Maximización restringida • Las condiciones de primer orden son f1 - b 1 = 0 f2 - b 2 = 0 c - b1x1 - b2x2 = 0 • Para asegurar que tenemos un máximo, debemos usar la diferencial total de “segundo” orden d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22 87
  88. 88. Maximización restringida • Sólo los valores de x1 y x2 que satisfacen la restricción pueden ser consideradas como alternativas válidas para el punto crítico • Por ello, debemos calcular la diferencial total de la restricción -b1 dx1 - b2 dx2 = 0 dx2 = -(b1/b2)dx1 • Estos son los cambios relativos permitidos en x1 y x2 88
  89. 89. Maximización restringida • Debido a las condiciones de primer orden que implican que f1/f2 = b1/b2, podemos sustituir y obtener dx2 = -(f1/f2) dx1 • Dado d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22 podemos sustituir dx2 y tenemos d 2y = f11dx12 - 2f12(f1/f2)dx12 + f22(f12/f22)dx12 89
  90. 90. Maximización restringida • Combinando términos y reordenando d 2y = f11 f22 - 2f12f1f2 + f22f12 [dx12/ f22] • Por lo tanto, para d 2y < 0, debe ser cierto que f11 f22 - 2f12f1f2 + f22f12 < 0 • Esta ecuación caracteriza un conjunto de funciones denominadas funciones cuasi-cóncavas – cualquier par de puntos dentro del conjunto puede formar una línea introducida completamente en el conjunto 90
  91. 91. Funciones cóncavas y cuasi- cóncavas • Las diferencias entre las funciones cóncavas y cuasi-cóncavas pueden ilustrarse con la función y = f(x1,x2) = (x1 x2)k donde las x’s pueden tomar solamente valores positivos y k puede tomar una variedad de valores positivos 91
  92. 92. Funciones cóncavas y cuasi- cóncavas • No importa que valores toma k, esta función es cuasi-cóncava • Si la función es cóncava o no depende del valor de k – si k < 0.5, la función es cóncava – si k > 0.5, la función es convexa 92
  93. 93. Funciones homogéneas • Una función f(x1,x2,…xn) es homogénea de grado k si f(tx1,tx2,…txn) = tk f(x1,x2,…xn) – cuando una función es homogénea de grado uno, duplicando todos los argumentos duplica el valor de la función – cuando una función es homogéna de grado cero, duplicando todos los argumentos deja la función sin cambios 93
  94. 94. Funciones homogéneas • Si una función es homogénea de grado k, las derivadas parciales de la función será homogénea de grado k-1 94
  95. 95. Teorema de Euler • Si diferenciamos la definición de homogeneidad con respecto a la proporcionalidad del factor t, obtenemos ktk-1f(x1,…,xn) x1f1(tx1,…,txn) + … + xnfn(x1,…,xn) • Esta relación se denomina teorema de Euler 95
  96. 96. Teorema de Euler • El teorema de Euler muestra que, para funciones homogéneas, hay una relación definida entre los valores de la función y los valores de sus derivadas parciales 96
  97. 97. Funciones homotéticas • Una función homotética es una que se forma tomando una transformación monotónica de una función homogénea – no tienen las propiedades de homogeneidad de sus funciones subyacentes 97
  98. 98. Funciones homotéticas • Tanto para funciones homogéneas como para las homotéticas, las disyuntivas implícitas entre las variables en la función dependen solamente de los ratios de aquellas variables, no de sus valores absolutos 98
  99. 99. Funciones homotéticas • Supongamos que examinamos la función implícita de dos variables f(x,y) = 0 • La disyuntiva implícita entre x e y para una función de dos variables dy/dx = -fx/fy • Si asumimos que f es homogénea de grado k, sus derivadas parciales serán homogéneas de grado k- 1 99
  100. 100. Funciones homotéticas • La disyuntiva implícita entre x e y es k 1 dy t fx (tx , ty ) fx (tx , ty ) k 1 dx t fy (tx , ty ) fy (tx , ty ) • Si t = 1/y, x x F ' fx ,1 fx ,1 dy y y dx x x F ' fy ,1 fy ,1 y y 100
  101. 101. Funciones homotéticas • La disyuntiva no está afectada por la transformación monotónica y permanece una función solamente del ratio x e y 101
  102. 102. Puntos importantes a considerar: • Utilizando matemáticas tenemos una forma conveniente para que los economistas desarrollen sus modelos – las implicaciones de varios supuestos económicos pueden estudiarse a través de herramientas matemáticas 102
  103. 103. Puntos importantes a considerar: • Las derivadas se usan a menudo en economía porque los economistas están interesados en cómo los cambios marginales en una variable afectan a otras – las derivadas parciales incorporan el supuesto ceteris paribus utilizando en muchos modelos económicos 103
  104. 104. Puntos importantes a considerar: • Las matemáticas para optimización es una herramienta importante para el desarrollo de modelos que asumen que los agentes económicos racionalmente persiguen algunas metas – las condiciones de primer orden requieren todas las derivadas parciales sean cero 104
  105. 105. Puntos importantes a considerar: • La mayoría de los problemas de optimización económica involucran restricciones en las elecciones que los agentes pueden realizar – las condiciones de primer orden para un máximo sugieren que cada actividad puede operar a un nivel en el cual el beneficio marginal de la actividad es igual a su coste marginal 105
  106. 106. Puntos importantes a considerar: • El multiplicador Lagrangiano se emplea para ayudar a resolver problemas de maximization – el multiplicador Lagrangiano puede ser interpretado como el valor implícito (precio sombra) de la restricción 106
  107. 107. Puntos importantes a considerar: • El teorema de la función implícita ilustra la dependencia de las elecciones que resultan de un problema de optimización sobre los parámetros del problema 107
  108. 108. Puntos importantes a considerar: • El teorema de la envolvente examina cómo las elecciones óptimas cambiarán a medida que cambia el parámetro del problema • Algunos problemas de optimización pueden involucrar restricciones que son desigualdades antes que igualdades 108
  109. 109. Puntos importantes a considerar: • Condiciones de primer orden son necesarias pero no suficientes para asegurar un máximo o un mínimo – las condiciones de segundo orden que describen la curvatura de una función deben revisarse 109
  110. 110. Puntos importantes a considerar: • Ciertos tipos de funciones ocurren en muchos problemas económicos – funciones cuasi-cóncavas obedecen las condiciones de segundo orden de problemas de máximo o mínimo restringido donde las restricciones son lineales – las funciones homotéticas tienen la propiedad de que las disyuntivas implícitas entre las variables dependen solamente de los ratios de estas variables 110
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