Aula estatística descritiva básica

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Aula básica de estatística descritiva. Contem organização de dados em tabelas, classes, médias, variância, desvio padrão, coeficiente de variação, covariância.

Aula básica de estatística descritiva. Contem organização de dados em tabelas, classes, médias, variância, desvio padrão, coeficiente de variação, covariância.

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  • 1. Estatística básicaEstatística básica Estatística é a ciência dos dados, envolvendo oEstatística é a ciência dos dados, envolvendo o desenvolvimento de processos, métodos e técnicas de coleta classificação organização resumo análise ecoleta, classificação, organização, resumo, análise e interpretação de dados sobre uma população, e os é d d i l õ f di õmétodos de tirar conclusões ou fazer predições com base nesses dados. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 2. Estatística básicaEstatística básica Organização e  descrição Descritiva descrição dos dados Estatística Cálculo de médias,  variâncias, estudo de  gráficos, tabelas, etc.Estatística gráficos, tabelas, etc. Indutiva Estimação de Indutiva  (Inferencial) ç parâmetros, teste de  hipóteses, etc. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 3. Estatística básicaEstatística básica • A estatística tem a capacidade de sintetizar os dados;A estatística tem a capacidade de sintetizar os dados; • A amostragem é o ponto de partida (na prática) para• A amostragem é o ponto de partida (na prática) para todo um Estudo Estatístico. É através da amostragem b d d d di ã d d i dque obtemos os dados da medição de determinada característica ou propriedade de um objeto, pessoa ou coisa; Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 4. Estatística básicaEstatística básica • População: é a coleção de todas as observaçõesPopulação: é a coleção de todas as observações potenciais sobre determinado fenômeno; •Amostra: é o conjunto de dados efetivamente•Amostra: é o conjunto de dados efetivamente observados, ou extraídos; População Amostras Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 5. Estatística básicaEstatística básica Cada observação individual ou item é denominadaCada observação individual ou item é denominada como unidade elementar, que pode estar composta por um ou mais itens medidos propriedadespor um ou mais itens medidos, propriedades, atributos, etc, denominados como variáveis. Variável é uma característica, propriedade ou, p p atributo de uma unidade da população, cujo l d i t id d dvalor pode variar entre as unidades da população. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 6. Estatística básicaEstatística básica Exemplo:p Unidade elementar Variáveis Nome Idade Cargo Sexo Peso Escolaridade João 27 Supervisor M 62 kg 2º grau Alex 38 Chefe M 78 kg 1º grau Ana 32 Secretária F 58 kg 3º grau Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 7. Estatística básicaEstatística básica •Tipos de variáveisTipos de variáveis N i l Qualitativa Nominal Variável Ordinal Variável Discreta Quantitativa Contínua Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 8. Estatística básicaEstatística básica • Exemplo: Para uma população de peças produzidos em umExemplo: Para uma população de peças produzidos em um processo, poderíamos ter: Variável TipoVariável Tipo Estado: Perfeita ou defeituosa Qualitativa Nominal Qualidade: 1ª, 2ª ou 3ª categoria Qualitativa Ordinal Número de peças defeituosas Quantitativa Discreta Diâmetro das peças Quantitativa Contínua Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 9. Estatística básicaEstatística básica Agrupamento de dados e distribuição de frequências • Quando vamos fazer um levantamento de uma população, um dos passos é retirar uma amostra dessa população e obter dados relativos à variável desejada nessa amostra; • Cabe à Estatística sintetizar tais dados na forma de tabela e gráficos que contenham além dos valores das variáveis o número deque contenham, além dos valores das variáveis, o número de elementos correspondentes a cada variável; Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 10. Estatística básicaEstatística básica Agrupamento de dados e distribuição de frequências • A esse procedimento está associado o conceito de: • Dados brutos: é o conjunto de dados numéricos obtidos que ainda ã f i dnão foram organizados; • Rol: é o arranjo dos dados brutos em ordem crescente (ou decrescente);decrescente); • Amplitude (H): é a diferença entre o maior e o menor dos valores observados;; •Frequência absoluta (ni): é o número de vezes que um elemento aparece na amostra; Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 11. Estatística básicaEstatística básica Agrupamento de dados e distribuição de frequências • n : número total de dados da amostra nn k i i =∑1 • k : número de valores diferentes na amostra k i =1 • Frequência relativa (fi): n n f i i = 1 1 =∑= k i if • Frequência absoluta acumulada (Ni): é a soma da frequência absoluta do valor da variável i com todas as frequências absolutas anteriores; • Frequência relativa acumulada (Fi): N F i n N F i i = Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 12. Estatística básica Agrupamento de dados e distribuição de frequências • Exemplo: Os seguintes dados foram amostrados do números de negócios efetuados diariamente por um operador financeiro: População: Número de negócios efetuados diariamente Dados brutos: {14, 12, 13, 11, 12, 13, 16, 14, 14, 15, 17, 14, 11, 13, 14, 15, 13, 12, 14, 13, 14, 13, 15, 16, 12, 12}, , , , , , , , , , , , , , } Rol: {11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14,14, 15,15,15, 16,16, 17} Amplitude: 17 – 11 = 6Amplitude: 17 – 11 = 6 n = 26 observações Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 13. Estatística básica Número de  Operações  Freq.  Freq. Freq.  Absoluta Freq. fechadas por  dia Absoluta Relativa Absoluta Acumulada Acumulada 11 2 7,69% 2 7,69% 12 5 19,23% 7 26,92% 13 6 23,08% 13 50,00% 14 7 26,92% 20 76,92% 15 3 11,54% 23 88,46% 16 2 7,69% 25 96,15%, , 17 1 3,85% 26 100,00% Total 26 100 00%Total 26 100,00% Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 14. Estatística básica Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 15. Estatística básica Classes • As classes são um artifício para condensar o número de elementos diferentes de uma amostra. Imagine construir uma tabela para 200 l dif ld d bl ivalores diferentes, nos moldes do problema anterior. • Os principais pré‐requisitos para uma boa definição de classes em um conjunto de dados são:conjunto de dados são: •a) as classes devem abranger todas as observações; •b) o extremo superior de uma classe é o extremo inferior da classe subsequente (simbologia: |⎯, intervalo fechado à esquerda e aberto à di i )direita); •c) cada valor absoluto deve enquadrar‐se em apenas uma classe; •d) k ≤ 25 de modo geral sendo k o número de classes;d) k ≤ 25, de modo geral, sendo k o número de classes; •e) As unidades das classes devem ser as mesmas dos dados. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 16. Estatística básica Classes • Cálculo de k: Nk l1 (Fórmula de Sturges)Nk 2log1 += Nk ≅ 2ln ln 22 n knn kk =⇒=⇒≤ Obs.: N é o número de elementos diferentes da amostra e, muitas vezes, pode ser considerado N = n (no. de observações). • Intervalo da classe (h): h ≈ H/k • Ponto médio da classe (xi) : Ponto médio entre o limite inferior e o limite superior de cada classe. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 17. Estatística básica • Exemplo: Utilizando os dados do exemplo anterior, temos: 37 ≅≅k 6=H 3 2l ln 47log1 2 ≅= ≅+= Nk k 2 3 6 ==h 3 2ln ≅k 3 Freq Faixa de  negócios Xi Freq.  Absoluta Freq. Relativa Freq. Absoluta Acumulada Freq. Acumulad a 11|⎯13 12 7 26,92% 7 26,92% 13|⎯15 14 13 50,00% 20 76,92% 15|⎯17 16 6 23,08% 26 100,00%| , , Total 26 100,00% Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 18. Estatística básica Medidas de Posição • Mostram o valor representativo em torno do qual os dados tendem a n p q agrupar‐se com maior ou menor frequência. x xxxxx x n i i n ∑= = +++++ = 14321 ... • Média aritmética: nn x == ∑= = ++++ = i n i i nn px pxpxpxpx x 1332211 . ....... • Média aritmética ponderada: ∑= = ++++ = n i i n p pppp x 1 321 ... pi : peso da amostra xi Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 19. Estatística básica Medidas de Posição • Exemplo: Os dados {11, 13, 15, 17, 19} apresenta a seguintep { , , , , } p g média (n=5, pois temos cinco números) : 1917151311 ++++ 15 5 1917151311 = ++++ =x • Se um aluno obteve as notas {7, 10, 6, 8} com pesos {1, 2, 2,{ } p { 3}, qual será a nota final do aluno: 875,7 8 63 3221 3.82.62.101.7 == +++ +++ =x Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 20. Estatística básica Medidas de Posição P R O • A soma dos desvios é sempre O P R p igual a zero R I E •A soma dos quadrados dosE D A •A soma dos quadrados dos  desvios das observações de uma A D E série é sempre um valor mínimo Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com E
  • 21. Estatística básica Medidas de Posição • Média aritmética ponderada para dados agrupados em classes: ∑++++ i n i i nx nxnxnxnx 1332211 . ....... ∑ = = ++++ ++++ = n i i i n nn n nnnn nxnxnxnx x 1 1 321 332211 ... ....... =i 1 ∑= n inn n f i i =• Sabendo que: ∑=i i 1 n fi n i i inn fxfxfxfxfxx ∑= =++++= 1 332211 ........ • fi : Frequência de ocorrência da amostra xi Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 22. Estatística básica Medidas de Posição • Exemplo: Qual a média do número de operações fechadasp p ç por dia: Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 23. Estatística básica Medidas de Posição • A média pela frequência absoluta é:p q 1237652 1.172.163.157.146.135.122.11 ++++++ ++++++ =x 5413 352 1237652 ≈= ++++++ x • A média pela frequência relativa é: 54,13 26 ≈x p q %08,23.13%23,19.12%69,7.11 +++=x 5413 %85,3.17%69,7.16%54,11.15%92,26.14 +++ Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com 54,13≈x
  • 24. Estatística básica Valor Medidas de Posição • Exemplo: Calcule a média da tabela abaixo: Valor  médio da  classe p 3626161314712 ++ 92,13 26 362 6137 6.1613.147.12 ≈= ++ ++ =x •Observe que o resultado apresentou uma pequena diferença do anterior (2,8% maior que 13,54 ). A precisão dos dados na tabela em classes diminuiu pouco em relação aos dados originais. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 25. Estatística básica Medidas de Posição • Mediana: É o valor do meio de um conjunto de dados, quando osj , q dados estão dispostos em ordem crescente ou decrescente, ou seja, o Rol de Dados. termo n x o ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 1~ Se n é impar⎟ ⎠ ⎜ ⎝ 2 Se n é impar 1 22~ termo n termo n x oo ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Se n é par 2 x ⎠⎝⎠⎝= p Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 26. Estatística básica Medidas de Posição Exemplo: Qual a mediana dos dados abaixo:p Dados brutos: {14, 12, 13, 11, 12, 13, 16, 14, 14, 15, 17, 14, 11, 13, 14, 15, 13, 12, 14, 13, 14, 13, 15, 16, 12, 12} Rol: {11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14,14, 15,15,15, 16,16, 17} n = 26 observações (par) 513 14131413 1 2 26 2 26 ~ ++ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ termotermo termotermo x oo oo 5,13 222 ===⎠⎝⎠⎝=x A mediana dos dados é 13,5. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 27. Estatística básica Medidas de Posição • Exemplo: Calcule a mediana dos dados abaixo:p • A mediana estará na faixa de 13 a 15, pois temos no total 26 observações e mediana i (13º ) ( i ã i l l édi 13º 14ºencontra‐se no meio (13º termo) (aqui não iremos calcular a média entre o 13º e o 14º ‐ Verique !). 71313 ~ ~ −x Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com 92,13 720 713 1315 13 13 13 ≈⇒ − − = − x x
  • 28. Estatística básica Medidas de Posição • Moda ou classe modal (mo): É o valor que representa a maior( o) q p frequência em um conjunto de observações individuais. Em alguns casos, pode haver mais de uma moda. X Xi ni 0|⎯ 3 1,5 7 3|⎯ 6 4,5 13 ⇒ Classe modal3| 6 , 6|⎯ 9 7,5 6 9|⎯ 12 10 5 2 ⇒ Classe modal 9| 12 10,5 2 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 29. Estatística básica Medidas de Posição S í l l d j d b õ Média • Sensível a valores extremos de um conjunto de observações • Usa todos os dados disponíveis • “Robusta” : Não sofre muito com a presença de alguns valores  Mediana muito altos ou muito baixos • Não usa todos os dados disponíveis • Não é afetada por valores extremos Moda • Não usa todos os dados disponíveis Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 30. Estatística básica Medidas de Posição • Percentil: De forma geral, o percentil de um conjunto de valoresg , p j postos em ordem crescente é um valor que contém p% das observações abaixo dele. Os percentis de ordem 25, 50 e 75 são chamados de quartis. Os decis são os percentis de ordem 10, 20, ..., 90. 10 − = − xp p 10100 − = − n x1 n 1 1 .100 − = n x p Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com x1 n 1−n
  • 31. Estatística básica Medidas de Posição • Calcular o percentil de ordem 50 (2º Quartil).p ( ) Q50 = mediana (são 50 dados ⇒ o Q50 está no 25º termo) X n AcumX ni Acum. 1,810|⎯ 1,822 7 7 2139 2125 83418461 834,1 ~ − = −x 1,822|⎯ 1,834 14 21 2139834,1846,1 −− 48341 ~ 1,834|⎯ 1,846 18 39 18 4 012,0 834,1 = −x 1,846|⎯ 1,858 7 46 1 858| 1 870 4 50 837,1 ~ =x1,858|⎯ 1,870 4 50 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 32. Estatística básica As medidas de dispersão possuem a finalidade de verificar quanto os Medidas de Dispersão ou Variabilidade valores da série estão distantes da média da série. O principal meio de calcular a variabilidade é através da variância, que é l l d l fó l b icalculada pela fórmula abaixo: ( )2 nn ( ) 2 1 2 1 2 2 xxx n i i n i i − ∑∑ 112 x nn s ii −== == Onde n é o número de observações, é a média e xi são os valores individuais. Esta fórmula é valida para população. Para amostra deve‐se x individuais. Esta fórmula é valida para população. Para amostra deve se considerar n‐1 ao invés de n. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 33. Estatística básica Medidas de Dispersão ou Variabilidade Exemplo: Os dados {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} apresentam qual média, variância e desvio padrão ? A ê i t 10 ú A édi é i l d lA sequência apresenta n=10 números. A média é igual a soma dos valores dividido pelo número de elementos. A variância e desvio padrão são calculados na sequência:calculados na sequência: 5,5 10 55 ==x 385109...21 2222 1 2 =++++=∑= x n n i i 25,85,5 10 385 22 1 2 2 =−=−= ∑= x n x s n i i Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com 87,225,82 =∴=⇒ ss
  • 34. Estatística básica Para calcular a variância quando os dados estiverem dispostos em classes Medidas de Dispersão ou Variabilidade deve‐se utilizar a seguinte fórmula: ( ) k 2 ( ) ( )∑ ∑= −= − = k ii i ii fxx nxx s 2 1 2 2 . . k é o número de classes, ni é a frequência absoluta, n o número de observações e fi a frequência relativa; ( )∑=in 1 relativa; •Quando extraímos a raiz quadrada da variância, obtemos o desvio padrão (s). • Uma observação importante é que a variância possui as unidades dos dados individuais elevado ao quadrado enquanto que o desvio padrão edados individuais elevado ao quadrado, enquanto que o desvio padrão e média possuem mesma unidade. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 35. Estatística básica Medidas de Dispersão ou Variabilidade Exemplo: Calcular a variância e desvio padrão dos dados abaixo: X Freq.  Absoluta Iremos realizar osAbsoluta 1,810|⎯1,822 7 Iremos realizar os cálculos na forma de tabela, porque os dados 1,822|⎯1,834 14 1,834|⎯1,846 18 , p q ficam mais organizados e os cálculos mais fáceis de 1,846|⎯1,858 7 1,858|⎯1,870 4 serem entendidos. 1,858| 1,870 4 ( ) nxx k ∑ 2 Verifique que as colunas serão organizadas de acordo com a fórmula para calcular a variância Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com ( ) n nxx s i ii∑= − = 12 .calcular a variância.
  • 36. Estatística básica Medidas de Dispersão ou Variabilidade x xi ni xi‐xm (xi‐xm)2 (xi‐xm)2.nix xi ni xi xm (xi xm) (xi xm) .ni 1,810|⎯1,822 1,816 7 ‐0,0024 0,00058 0,0040 1 822| 1 834 1 828 14 ‐0 012 0 00014 0 00201,822|⎯1,834 1,828 14 ‐0,012 0,00014 0,0020 1,834|⎯1,846 1,840 18 0,000 0,00000 0,0000 1 846|⎯1 858 1,852 7 0,012 0,00014 0,00101,846| 1,858 1,852 7 0,012 0,00014 0,0010 1,858|⎯1,870 1,864 4 0,024 0,00058 0,0023 Soma 9,200 Soma 0,00936 Média (xm) 1,840 s2 0,00187m 0430 043,0 00187,02 = = s s Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com %4,2%100. 840,1 043,0%100. ≈== x sCV
  • 37. Estatística básica Medidas de Dispersão ou Variabilidade Outra forma de expressar a dispersão dos dados é através do Coeficiente de Variação (CV), que é dado pela fórmula: %100. x s CV = onde s é o desvio padrão, e é a média.x • O Coeficiente de Variação dá uma indicação de quanto os dados estão dispersos em torno da média. Quanto maior o valor de CV, maior a dispersãodispersão. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 38. Estatística básica Medidas de Dispersão ou Variabilidade Exemplo: No exemplo de cálculo de variância e desvio padrão, obtivemos os valores 8,25 e 2,87 respectivamente. A média tinha resultado em 5,5 O l d C fi i t d V i ã áO valor do Coeficiente de Variação será: 872s Um valor de 52% indica que os dados estão muito dispersos com relação %52%100. 5,5 87,2 %100. ≈== x s CV a média. Por exemplo os dados {5 1; 5 2; 5 3; 5 4; 5 5; 5 6; 5 7; 5 8; 5 9; 6 0}Por exemplo, os dados {5,1; 5,2; 5,3; 5,4; 5,5; 5,6; 5,7; 5,8; 5,9; 6,0} apresentam média: 5,55; desvio‐padrão: 0,29 e CV = 5% (Confira!) Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 39. Estatística básica Covariância: Mede a correlação (dependência) linear entre duas variáveis x e yvariáveis x e y. É calculada como:É calculada como: n ( )( ) yxyx yyxx yxCov n i ii .. . ),( 1 −= −− = ∑= yy n y ),( A covariância entre as mesmas variáveis, isto é, Cov(x, x) por exemplo, é igual a própria variância Var(x) = s2. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com exemplo, é igual a própria variância Var(x) s .
  • 40. Estatística básica ( )( ). xxxx n ii −−∑ ( )( ) 21 )(),( sxVar n xxCov i === ∑= • Os seguintes valores de covariância dão uma indicação se osOs seguintes valores de covariância dão uma indicação se os valores são independentes, ou possuem correlação positiva ou negativa. 0),( =yxCov Variáveis independentes negativa. ),( y 0),( >yxCov Correlação linear positiva 0),( <yxCov Correlação linear negativa Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 41. Estatística básica 0),( =yxCov0),( >yxCov 0),( <yxCov Variáveis  independentes Correlação  linear positiva Correlação  linear negativa p • Na prática quando as variáveis são independentes o valor da covariância resulta em um valor próximo de 0 (entre ‐3 a 3) mas não sendo estes valoresresulta em um valor próximo de 0 (entre ‐3 a 3), mas não sendo estes valores fixos e, portanto, é sempre recomendável considerar o gráfico das variáveis x e y para uma avaliação conjunta. Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 42. Estatística básica Exemplo: Calcular a covariância dos dados abaixo, e verifique se a correlação é positiva ou negativa. X Y 10 21 15 15 18 12 12 1812 18 9 20 Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 43. Estatística básica Solução: Sempre esboce o gráfico das variáveis X e Y para confirmar! X Y X.Y ..),( −= yxyxyxCovX Y X.Y 10 21 210 7610 2,17.8,124,209 ..),( −= yxyxyxCov 15 15 225 18 12 216 76,10−= 12 18 216 9 20 180 Média 12,8 17,2 209,4Média 12,8 17,2 209,4 A covariância resultou em um valor negativo, indicando uma correlação Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com linear negativa que podemos confirmar pelo gráfico.
  • 44. Estatística básicaEstatística básica Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 45. Estatística básicaEstatística básica Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 46. Estatística básicaEstatística básica Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 47. Estatística básicaEstatística básica Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 48. Estatística básicaEstatística básica Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 49. Estatística básicaEstatística básica Aulas de Matemática / Física / Química ‐ (21) 8126‐2831 ‐ Contato: horacimar@gmail.com (Falar c/ HORACIMAR)Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 50. Estatística básicaEstatística básica Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com
  • 51. Estatística básicaEstatística básica Aulas de Matemática / Física / Química – Contato: Horacimar  (21) 8126‐2831   horacimar@gmail.com