夏セミスライドです。少しだけ間違っているところがあります

1. 分割木
～明日から使えないオーダーがやばそうな木～
劉 鴻志@hogloid

2. 問題概要
 2次元平面上にN点があります
 直線で区切られた半平面内にある、点の数を数え
たい
 点は固定されていて、直線は色々なものが来る
（クエリーみたいに）
 クエリー毎にO(N)より早く！！
 半平面ができれば、同じように三角形ができて、
三角形ができれば多角形もできて変なのも大体近
似できます

4. どうしよう？？
 簡単のためN=m^4とします
 2次元の領域を扱うとき、分割統治を使うことが多
い
 これも分割統治でできるのでは？？
 唐突ですが、N点を交わらない2直線で4つの領域に
分け、それぞれの4つの領域にN/4点が属するよう
にしてみましょう
 この分割を、一つの領域が一つの点を持つように
なるまで繰り返します

5. 例

6. 何がうれC?
 半平面を区切る直線が、それぞれの4つに分割され
た領域をすべて含むならその領域の点の数を加算
すべて含まないなら無視
 交差しているなら、再帰的に計算
 毎回、交差する領域の数は4つ中3つ
 もっとも再帰が下ったとき、訪れる葉っぱの数は
3^m
 これがボトルネックなので、O(3^ｍ）=O(3^(log_4
n))=O(n^(log_4 3))≒O(n^0.7925)

7. 構築
 N点を2直線で4つの同じ数の点を含む領域に分けれ
ばよい
 N点をY座標順でソートし、0-originでN/2番目のY座
標でX軸と並行の線を一つ引いてみる

8.  紫を青にして水色にして・・・こうじゃ！
 上の領域で、N/4番目の点のY座標で線を引く
 上の領域で、片方の領域がN/4個の状態が維持されるよ
うに、少しずつ回転

9. 構築
 1回上の領域から出ていく点はもう入ってこないし、左
下の領域には点が入っていくだけ
 毎回、次の点を探すのにO(N)かかるので、合計O(N^2)
 N頂点ある時にかかる計算量をc2(N)とおくと、
c2(N)=O(N^2)+4*c2(N/4)
 再帰が下るたびに、計算量は4/(4*4)=1/4倍になるので、
O(N^2)+O(N^2)/4+O(N^2)/16…
 これより、O(N^2)
 （空間計算量は、葉っぱノード以外点の場所を陽に持つ
必要がないので、O(N)）

10. ベンチマーク
 N=4096(=4^6)、クエリーを10000回投げてみる
 O(N)愚直解は約2秒、今回の方法は約6秒
 毎回交点計算などするし、しょうがないね

11. おまけ
 O(N^2)の構築でやったことより、X軸に平行に一つ同じ
ように直線を引いても、2本目は上側/下側の両方の点を
通るものが必ずある（直線上のものは、どちらに属する
としても構わない）
 下側の通る点pを固定し、上側の点をpから見た角度で
ソートすると、2本目の直線は0-originでN/4-1 or N/4 番
目の点とpを結んだもの
 これが下側の領域も二つに分けているか確認すればよい
 これでO(N^2logN)

12. おまけ2
 情オリ夏セミisGOD（日並感）
 気づいたら3年間連続で出ていました 最高の夏に
出来ました、今まで本当に楽しかったです！！！
 来年はチューターとして参加できるとうれしいナ
～～
 受験こわい＞＜＞＜＞＜＞＜＞＜＞＜＞＜＞＜＞
＜
 キルミーベイベーとても面白い