• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Www.mathvn.com  -bai tap quan he vuong goc on thi dai hoc
 

Www.mathvn.com -bai tap quan he vuong goc on thi dai hoc

on

  • 1,737 views

 

Statistics

Views

Total Views
1,737
Views on SlideShare
1,075
Embed Views
662

Actions

Likes
1
Downloads
38
Comments
0

4 Embeds 662

http://hocnua.mov.mn 562
http://giasuvaban.com 97
http://www.giasuvaban.com 2
http://tc10it3a.webmienphi.in 1

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Www.mathvn.com  -bai tap quan he vuong goc on thi dai hoc Www.mathvn.com -bai tap quan he vuong goc on thi dai hoc Document Transcript

    • www.MATHVN.com QHVG-KGI) Hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc:1) Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh b»ng a. Gäi M, N, P, Q, R lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB,CD, AD, BC vµ AC. CMR: a) MN  RP b) MN  RQ c) AB  CD2) Cho tø diÖn ABCD. Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh BC vµ AD. BiÕt: AB =CD = 2a; MN = a 3 . TÝnh gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng AB vµ CD.3) Cho tø diÖn ®Òu ABCD cã c¹nh b»ng a. gäi O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp BCD.Chøng minh: AO  CD.II) §­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng:  Gãc cña ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng:1) Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA = a 6 , SA  (ABCD). TÝnh gãccña : a) SC víi (ABCD). b) SC víi (SAB). c) SB víi (SAC).2) Cho ABC vu«ng c©n t¹i B, AB = a, SA = a, SA  (ABC). a) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (SBC). b) TÝnh gãc hîp bëi SB vµ (SAC).3) Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a vµ SO  (ABCD) (O lµ t©m ®¸y). GäiM, N lµ trung ®iÓm cña SA vµ BC. BiÕt gãc cña MN vµ (ABCD) lµ 600 a) TÝnh MN vµ SO. b) TÝnh gãc cña MN víi mÆt ph¼ng (SBD)4) Cho h×nh vu«ng ABCD vµ SAB ®Òu c¹nh a n»m trong hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc. Gäi Ilµ trung ®iÓm cña AB. a) CM: SI  (ABCD) vµ tÝnh gãc hîp bëi SC víi (ABCD). b) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ B ®Õn mÆt ph¼ng (SAD). Suy ra gãc cña SC hîp víi (SAD). c) J lµ trung ®iÓm cña CD. CM: (SIJ)  (ABCD). TÝnh gãc hîp bëi ®­êng th¼ng SI vµ(SDC).) Chøng minh ®­êng vu«ng gãc víi mÆt, ®­êng vu«ng gãc víi ®­êng1) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O; SA  (ABCD). gäi H, I, KlÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn SB, SC, SD. a) Chøng minh r»ng: BC  (SAB); CD  (SAD); BD  (SAC). b) Chøng minh r»ng: AH  SC; AK  SC. Tõ ®ã suy ra AH, AI, AK ®ång ph¼ng. c) Chøng minh r»ng: HK  (SAC); HK  AI www.MATHVN.com - 1
    • www.MATHVN.com QHVG-KG2) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi t©m O. BiÕt SA = SC;SB = SD. a) CM: SO  (ABCD). b) Gäi I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, BC. CMR: IJ  (SBD).3) Cho tø diÖn ABCD cã ABC vµ DBC lµ hai tam gi¸c ®Òu. Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. a) CM: BC  (AID). b) H¹ AH  ID (H  ID). CM: AH  (BCD)4) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a. SAB ®Òu; SCD vu«ngc©n ®Ønh S. I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, CD. a) TÝnh c¸c c¹nh cña SIJ. CMR: SI  (SCD); SJ  (SAB) b) Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña S lªn IJ. CMR: SH  AC.5) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a. MÆt bªn SAB lµ tam gi¸c®Òu, SC = a 2 . Gäi H, K lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ AD. a) CMR: SH  (ABCD) b) CMR: AC  SK; CK  SD.6) Cho tø diÖn OABC cã OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc víi nhau. Gäi H lµ h×nh chiÕuvu«ng gãc cña O lªn (ABC). CMR: a) BC  (OAH) b) H lµ trùc t©m cña ABC 1 1 1 1 c) 2  2  2  OH OA OB OC 2 d) C¸c gãc cña ABC ®Òu nhän.7) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt cã AB = a; BC = a 3 , mÆt bªnSBC vu«ng t¹i B, mÆt bªn SCD vu«ng t¹i D cã SD = a 5 a) CM: SA  (ABCD) vµ tÝnh SA. b) Trong mÆt ph¼ng (ABCD) kÎ ®­êng th¼ng qua A  víi AC c¾t c¸c ®­êng th¼ng CB, CDlÇn l­ît t¹i I, J. Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A lªn SC. H·y X¸c ®Þnh c¸c giao ®iÓmK, N cña SB, SD víi mÆt ph¼ng (HIJ). CMR: AK  (SBC) AN  (SCD) c) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c AKHN.8) Gäi I lµ mét ®iÓm bÊt kú ë trong ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh R. CD lµ d©y cung cña®­êng trßn (O) qua I. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa ®­êng trßn (O) t¹i Ita lÊy ®iÓm S víi OS = R. gäi E lµ ®iÓm ®èi t©m cña D trªn ®­êng trßn (O). CMR: a) SDE vu«ng. b) SD  CE. c) SCD vu«ng.9) Cho MAB vu«ng t¹i M ë trong mÆt ph¼ng (). Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆtph¼ng () t¹i A ta lÊy hai ®iÓm C, D ë hai bªn ®iÓm A. Gäi C lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cñaC trªn MD, H lµ giao ®iÓm cña AM vµ CC. a) CM: CC (MBD).www.MATHVN.com - 2
    • www.MATHVN.com QHVG-KG b) Gäi K lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H trªn AB. CMR: K lµ trùc t©m cña BCD.10) Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB= 2R; (O) ë trong mÆt ph¼ng (). Dùng AS = 2Rvu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (). Gäi T lµ mét ®iÓm di ®éng trªn tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O) t¹i A. §Æt ABT = . ®­êng trßn BT gÆp ®­êng trßn (O) t¹i M. Gäi N lµ h×nh chiÕu vu«nggãc cña A trªn SM. a) Chøng minh c¸c mÆt bªn cña tø diÖn SAMB ®Òu lµ c¸c tam gi¸c vu«ng. b) CMR: khi T ®i ®éng ®­êng th¼ng TN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh H. c) TÝnh  ®Ó AHN c©n.11) Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i B; SA  (ABC). AH lµ ®­êngcao kÎ tõ A cña SAB . HK  SB (K  SC). CM: a) BC  (SAB) b) AH  (SBC) c) KH  (SAB)12) Cho ba tia Ox, Oy, Oz kh«ng ®ång ph¼ng ®«i mét vu«ng gãc víi nhau.A  Ox, B  Oy, C  Oz. Gäi H lµ trùc t©m ABC. CMR: OH  (ABC).13) Cho tø diÖn SABC cã SA  (ABC). H, K lµ trùc t©m ABC vµ SBC. CMR: a) AH, SK, BC ®ång quy. b) SC  (BHK). c) HK  (SBC).14) Cho tø diÖn ABCD. SA  (ABC). Dùng ®­êng cao AE cña ABC. a) CM: SE  BC. b) H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SE. CM: AH  SC.15) Cho tø diÖn ®Òu, CMR hai c¹nh ®èi cña tø diÖn nµy vu«ng gãc víi nhau.16) Cho mÆt ph¼ng () vµ mét ®­êng trßn (C) ®­êng kÝnh AB chøa trong mÆt ph¼ng ®ã. M (C) kh«ng trïng víi A vµ B. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng () t¹i A ta lÊy®iÓm S. a) CM: c¸c mÆt bªn cña tø diÖn SAMB lµ c¸c tam gi¸c vu«ng. b) Mét mÆt ph¼ng () qua A vu«ng gãc víi SB t¹i D c¾t SM t¹i E. CM: AED vu«ng.17) Cho h×nh chãp S.ABCD cã SA  (ABCD) ®¸y ABCD lµ h×nh thang vu«ng t¹i A vµ D ABvíi AD = DC = . I lµ trung ®iÓm cña AB. 2 a) CM: CI  SB vµ DI  SC. b) Chøng minh c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp S.ABCD lµ c¸c tam gi¸c vu«ng. ) ThiÕt diÖn qua mét ®iÓm cho tr­íc vµ vu«ng gãc víi mét ®­êng th¼ng cho tr­íc:1) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang vu«ng t¹i A vµ B víi AB = BC = a,AD = 2a, SA  (ABCD) vµ SA = 2a. Gäi M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh AB; () lµ mÆt ph¼ngqua M vu«ng gãc víi AB. §Æt x = AM (0 < x < a). a) T×m thiÕt diÖn cña h×nh chãp S.ABCD víi mÆt ph¼ng (). ThiÕt diÖn lµ h×nh g×? b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn. www.MATHVN.com - 3
    • www.MATHVN.com QHVG-KG2) Cho tø diÖn SABC cã ABC ®Òu c¹nh a, SA  (ABC) vµ SA = 2a. Gäi () lµ mÆt ph¼ngqua B vµ vu«ng gãc víi SC. T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn t¹o vëi mÆt ph¼ng () vµ tÝnh diÖntÝch cña thiÕt diÖn.3) Cho tø diÖn SABC cã ABC lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, SA  (ABC) vµ SA = a. T×m thiÕt diÖncña tø diÖn SABC víi mÆt ph¼ng () vµ tÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn trong c¸c tr­êng hîp sau: a) () qua S vµ vu«ng gãc víi BC. b) () qua A vµ vu«ng gãc víi trung tuyÕn SI cña SBC. c) () qua trung ®iÓm M cña SC vµ  AB4) Cho h×nh tø diÖn S.ABC cã ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n ®Ønh B, AB = a. SA  (ABC) vµSA = a 3 . M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn c¹nh AB, §Æt AM = x (0 < x < a) Gäi () lµ mÆtph¼ng qua M vµ vu«ng gãc víi AB. a) X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña tø diÖn SABC t¹o bëi mÆt ph¼ng (). b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn nµy theo a vµ x.5) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD vµ h×nh vu«ng c¹nh a; SA  (ABCD) vµ SA = a 2 .VÏ ®­êng cao AH cña SAB. SH 2 a) CMR:  SB 3 b) Gäi () lµ mÆt ph¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi SB, () c¾t h×nh chãp S.ABCD theo thiÕtdiÖn lµ h×nh g×? TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.6) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh b»ng a; SA  (ABCD) vµ SA = a 2 . Gäi () lµ mÆt ph¼ngqua A vµ vu«ng gãc víi SC; () c¾t SB, SC, SD lÇn l­ît t¹i M, N, P. a) CMR: AM  SB, AD  SD SM.SB = SN.SC = SP.SD = SA2 b) CM: tø gi¸c AMNP néi tiÕp ®­îc vµ cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau. c) Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD; K = AN  MP. CMR: S, K, O th¼ng hµng d) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c AMNP.7) Cho h×nh thoi ABCD cã t©m O víi c¸c ®­êng chÐo AC = 4a, BD = 2a. Trªn ®­êng th¼ngvu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABCD) t¹i O lÊy ®iÓm S víi SO = 2a 3 . mÆt ph¼ng () qua A vµ SC c¾t SB, SC, SD lÇn l­ît t¹i B, C, D. a) Chøng minh tø gi¸c ABCD cã hai ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau. b) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c ABCD c) CMR: BCD lµ tam gi¸c ®Òu8) Cho h×nh tø diÖn S.ABC cã ABC lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a. SA  (ABC) vµ SA = a. Gäi Mlµ mét ®iÓm tuú ý trªn AC, () lµ mÆt ph¼ng qua M vµ  AC. a) Tuú theo vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn c¹nh AC, cã nhËn xÐt g× vÒ thiÕt diÖn t¹o bëi mÆt ph¼ng() víi tø diÖn SABCwww.MATHVN.com - 4
    • www.MATHVN.com QHVG-KG b) §Æt CM = x (0 < x < a). TÝnh diÖn tÝch S cña thiÕt diÖn trªn theo a vµ x vµ X¸c ®Þnh x ®ÓdiÖn tÝch nµy cã GTLN. TÝnh diÖn tÝch lín nhÊt ®ã.9) Cho h×nh l¨ng trô ABC.ABC cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a. AA  (ABC) vµ AA = a.Cã nhËn xÐt g× vÒ thiÕt diÖn cña l¨ng trô t¹o bëi mÆt ph¼ng () trong mçi tr­êng hîp sau: a) () qua A vµ  BC b) () qua B vµ  AI (I lµ trung ®iÓm cña BC).III) Hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc: ) NhÞ diÖn - gãc cña hai mÆt ph¼ng:1) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, vÏ SA = a 3 , SA  (ABCD). TÝnh sè ®o cña c¸c nhÞ diÖnsau: a) (S, AB, C) b) (S, BD, A) c) (SAB, SCD)2) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a t©m O; SA  (ABCD). TÝnh SA theo a ®Ó sè ®o nhÞ diÖn(B, SC, D) b»ng 1200. a a 63) Cho h×nh thoi ABCD c¹nh a cã t©m O vµ OB = . VÏ SO  (ABCD) vµ SO = . 3 3 a) CM: gãc ASC = 300. b) Chøng minh c¸c mÆt ph¼ng (SAB); (SAD)  víi nhau.4) Cho tø diÖn SABC cã SA, SB, SC ®«i mét vu«ng gãc vµ SA = SB = SC. Gäi I, J lµ trung®iÓm cña AB, BC. TÝnh gãc hîp bëi hai mÆt ph¼ng (SAJ) vµ (SCI).5) Cho tø diÖn ABCD cã mÆt ABC lµ tam gi¸c ®Òu, mÆt DBC vu«ng c©n t¹i D. BiÕt AB = 2a,AD = a 7 . TÝnh sè ®o gãc nhÞ diÖn c¹nh BC.6) Cho ba nöa ®­êng th¼ng Ox, Oy, Oz kh«ng ®ång ph¼ng víi gãc xOy = 900 gãc yOz =600. TÝnh sè ®o nhÞ diÖn t¹o bëi hai mÆt ph¼ng xOz, zOy.7) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SAB ®Òu vµ vu«ng gãc(ABCD). Gäi H lµ trung ®iÓm cña AB. a) CM: SH  (ABCD). b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. CM: SC  DI. TÝnh sè ®o nhÞ diÖn (B, SC, D)  øng dông cña ®Þnh lý diÖn tÝch h×nh chiÕu cña ®a gi¸c1) Cho ABC ®Òu c¹nh a ë trong mÆt ph¼ng (). Trªn c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi () a 2vÏ tõ B vµ C lÊy c¸c ®o¹n BD = ; CE = a 2 n»m cïng mét bªn víi (). 2 a) CM: ADE vu«ng. TÝnh S ADE . b) TÝnh gãc cña (ADE) vµ ().2) Cho h×nh thoi ABCD cã ®Ønh A ë trong mÆt ph¼ng (). C¸c ®Ønh kh¸c kh«ng ë trong mÆtph¼ng (), BD = a, AC = a 2 . ChiÕu vu«ng gãc h×nh thoi xuèng mÆt ph¼ng () ta ®­îch×nh vu«ng ABCD. www.MATHVN.com - 5
    • www.MATHVN.com QHVG-KG a) TÝnh: S ABCD , S AB C D . Tõ ®ã suy ra gãc cña (ABCD) vµ (). b) Gäi E vµ F lÇn l­ît lµ giao ®iÓm cña CB vµ CD víi mÆt ph¼ng (). TÝnh diÖn tÝch cña tøgi¸c EFDB vµ EFDB.3) Cho ABC ®Òu c¹nh a. Tõ c¸c ®Ønh A, B, C ta vÏ c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc mÆt ph¼ng(ABC) lÊy c¸c ®iÓm A, B, C sao cho AA = a, BB = 2a, CC = x (A, B, C ë cïng mét phÝa®èi víi mÆt ph¼ng chøa tam gi¸c) a) X¸c ®Þnh x ®Ó ABC vu«ng t¹i A. b) Trong tr­êng hîp ®ã tÝnh gãc cña (ABC) vµ (ABC).4) Cho ABC c©n cã ®¸y lµ BC = 3a, BC  () vµ tam gi¸c cã ®­êng caoAH = a 3 . A lµ h×nh chiÕu cña A trªn () sao cho ABCvu«ng t¹i A. TÝnh gãc cña haimÆt ph¼ng () vµ (ABC). ) Chøng minh hai mÆt ph¼ng vu«ng gãc. Chøng minh ®­êng th¼ng vu«ng gãc víimÆt ph¼ng:1) Cho tø diÖn ABCD cã AB  (BCD). Trong BCD vÏ c¸c ®­êng cao BE vµ DF c¾t nhaut¹i O. trong mÆt ph¼ng (ADC) vÏ DK  AC t¹i K. a) CM: (ADC)  (ABE); (ADC)  (DFK) b) Gäi H lµ trùc t©m cña AOD. CM: OH  (ACD).2) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O. (SAD) vµ (SAB) cïng vu«nggãc víi (ABCD). Gäi () lµ mÆt ph¼ng qua A vµ  víi SC, () c¾t SC t¹i I. a) CMR: SA  (ABCD). b) X¸c ®Þnh giao ®iÓm K cña () vµ SO. c) CM: (SBD)  (SAO) vµ BD // (). d) X¸c ®Þnh giao tuyÕn d cña (SBD) vµ ().3) Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng, SA  (ABCD).a) CM: (SAD)  (SCD)b) Gäi BE, DF lµ hai ®­êng cao cña SBD. CMR: (ACF)  (SBC); (ACE)  (SDC); (AEF)  (SAC)4) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA  (ABCD). Gäi M, N lµ a 3ahai ®iÓm lÇn l­ît ë trªn c¹nh BC, DC sao cho BM = ; DN = . CM: (SAM)  (SMN). 2 45) Cho ABC vu«ng t¹i A. VÏ BB vµ CC cïng vu«ng gãc víi (ABC). a) CM: (ABB)  (ACC) b) Gäi AH, AK lµ ®­êng cao cña ABC vµ ABC. CMR: (BCCB)  (AHK) (ABC)  (AHK)6) Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, mÆt bªn (SAB) lµ tam gi¸c ®Òuvµ vu«ng gãc víi ®¸y. Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB. CMR: a) SI  (ABCD) b) AD  (SAB)www.MATHVN.com - 6
    • www.MATHVN.com QHVG-KG7) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng t©m O; AB = a; SO  (ABCD) vµ aSO = ; Gäi I, J lµ trung ®iÓm cña AD vµ BC. CMR: 2 a) (SAC)  (SBD) b) (SIJ)  (SBC) c) (SAD)  (SBC)8) Cho h×nh vu«ng ABCD, I lµ trung ®iÓm cña AB. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆtph¼ng (ABCD) t¹i I ta lÊy ®iÓm S (S  I). a) CM: (SAD)  (SAB). (SBC)  (SAB). b) J lµ trung ®iÓm cña BC. CM: (SBD)  (SIJ).9) Cho ABC vu«ng t¹i A; Gäi O, I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña BC, AB, AC. Trªn ®­êngth¼ng  (ABC) t¹i O ta lÊy ®iÓm S (S  O). CMR: a) (SBC)  (ABC) b) (SOI)  (SAB) c) (SOI)  (SOJ)10) Cho tø diÖn SABC cã SA = SC. (SAC)  (ABC). Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC.CM: SI  (ABC).11) Cho tø diÖn ABCD cã AB  (BCD). Gäi BE, DF lµ hai ®­êng cao cña BCD ; DK lµ®­êng cao cña ACD. a) CM: (ABE)  (ADC); (DFK)  (ACD). b) Gäi O vµ H lÇn l­ît lµ trùc t©m cña hai BCD , ACD. CM: OH  (ADC).12) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt, SAB c©n t¹i S vµ (SAB) (ABCD). I lµ trung ®iÓm cña AB. CMR: a) BC  (SAB). b) AD  (SAB). c) SI (ABCD). ) ThiÕt diÖn qua mét ®­êng th¼ng cho tr­íc vµ vu«ng gãc víi mét mÆt ph¼ng chotr­íc:1) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a; SA  (ABCD) vµ SA = a 3 .Gäi () lµ mÆt ph¼ng chøa AB vµ  (SCD). a) X¸c ®Þnh râ mÆt ph¼ng (). mÆt ph¼ng () c¾t h×nh chãp S.ABCD theo thiÕt diÖn lµ h×nhg×? b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.2) Cho h×nh chãp S.ABC, ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i B; AB = a; SA  (ABC) vµ SA= a 3 . Gäi E, F lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña SC vµ SB. M lµ mét ®iÓm trªn AB, §Æt AM = x.() lµ mÆt ph¼ng chøa EM vµ vu«ng gãc (SAB). a) X¸c ®Þnh râ mÆt ph¼ng (). mÆt ph¼ng () c¾t h×nh chãp S.ABC theo thiÕt diÖn lµ h×nhg×? b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn theo a vµ x.3) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh thang ABCD vu«ng t¹i A vµ D;AB = 2a, AD = DC = a. Hai mÆt (SAB) vµ (SAD) cïng vu«ng gãc víi ®¸y, SA = a. Gäi E lµ trung ®iÓm cña SA, M lµ mét ®iÓm trªn AD víi AM = x. Gäi () lµ mÆtph¼ng chøa EM vµ vu«ng gãc (SAD). www.MATHVN.com - 7
    • www.MATHVN.com QHVG-KG a) X¸c ®Þnh râ mÆt ph¼ng (). mÆt ph¼ng () c¾t h×nh chãp S.ABCD theo thiÕt diÖn lµh×nh g×? b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn theo a vµ x.4) Cho h×nh l¨ng trô ABC.ABC ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a. AA  (ABC) vµ AA = a 2 .Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB vµ AC. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña l¨ng trôvíi mÆt ph¼ng () qua MN vµ vu«ng gãc (BCCB). TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.5) Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ vu«ng c¹nh a. SA  (ABCD) vµ SA = 2a. X¸c ®Þnh thiÕtdiÖn cña h×nh chãp S.ABCD t¹o bëi mÆt ph¼ng () trong c¸c tr­êng hîp sau: a) () qua t©m O cña ®¸y, trung ®iÓm M cña SD vµ vu«ng gãc (ABCD). b) () qua A, trung ®iÓm N cña CD vµ  (SBC).IV) Kho¶ng c¸ch:  C¸c bµi to¸n vÒ kho¶ng c¸ch:1) Cho tø diÖn ABCD cã BCD lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, AB  (BCD) vµ AB = a. TÝnh kho¶ngc¸ch: a) Tõ D ®Õn (ABC) b) Tõ B ®Õn (ACD)2) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA  (ABCD), SA = h. GäiO lµ t©m h×nh vu«ng ABCD. TÝnh kho¶ng c¸ch: a) Tõ B ®Õn (SCD) b) Tõ O ®Õn (SCD)3) Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng v¹nh a, mÆt bªn (SAB)  ®¸y vµ SA = SB = b.TÝnh kho¶ng c¸ch: a) Tõ S ®Õn (ABCD) b) Tõ trung ®iÓm I cña CD ®Õn (SHC), H lµ trung ®iÓm cña AB. c) Tõ AD ®Õn (SBC).  X¸c ®Þnh ®o¹n vu«ng gãc chung cña hai ®­êng th¼ng chÐo nhau:1) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a. SA = h; SA  (ABCD).Dùng vµ tÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña: a) SB vµ CD. b) SC vµ BD. c) SC vµ AB. d) SB vµ AD.2) Cho tø diÖn OABC cã OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc vµ OA = OB = OC = a. Gäi I lµtrung ®iÓm cña BC. Dùng vµ tÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña c¸c cÆp ®­êng th¼ng: a) OA vµ BC. b) AI vµ OC.www.MATHVN.com - 8
    • www.MATHVN.com QHVG-KG3) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA  (ABCD), SA = a. TÝnhkho¶ng c¸ch gi÷a hai ®­êng th¼ng: a) SA vµ BD. b) SC vµ BD. c) AC vµ SD.4) Cho hai tam gi¸c c©n kh«ng ®ång ph¼ng ABC vµ ABD cã ®¸y chung AB. a) CM: AB  CD. b) X¸c ®Þnh ®o¹n vu«ng gãc chung cña AB vµ CD.5) Cho h×nh chãp S.ABCD cã SA  (ABC) vµ SA = a 2 . ABC vu«ng t¹i B víi AB = a. Mlµ trung ®iÓm AB. TÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña SM vµ BC6) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. I lµ trung ®iÓm cña AB. Dùng IS  (ABCD) vµ IS =a 3 . Gäi M, N, P lµ trung ®iÓm cña BC, SD, SB. Dùng vµ tÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc 2chung cña: a) NP vµ AC. b) MN vµ AP. www.MATHVN.com - 9
    • www.MATHVN.com QHVG-KGVI) MÆt cÇu: 2) Cho tø diÖn OABC cã OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc víi nhau. OA = a, OB = b, OC =c. TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn OABC. 3a 3) Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, SA  (ABC); SA = . X¸c ®Þnh 2t©m vµ b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S.ABC. 4) Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu ABCD, c¹nh ®¸y AB = a, c¹nh bªn SA = a 2 . X¸c ®Þnh t©mvµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp. 5) Cho h×nh chãp S.ABCD. §¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt cã AB = 2a, AD = a, SA (ABCD); SA = 3a. X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp. 6) Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh thang c©n ABCD ngo¹i tiÕp víi ®­êng trßn t©m Ob¸n kÝnh a. §­êng cao cña h×nh chãp lµ SO = 2a. a) CM: O c¸ch ®Òu c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp S.ABCD. b) X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh cña h×nh cÇu néi tiÕp h×nh chãp S.ABCD. 7) TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu néi tiÕp h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC cã c¹nh ®¸y b»ng a, gãccña mÆt bªn víi ®¸y lµ (). 8) TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu néi tiÕp h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng a,®­êng cao SH = h. 9) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh thoi ABCD t©m O, SO  (ABCD). a) CM: O c¸ch ®Òu c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp. Tõ ®ã suy ra h×nh chãp cã mÆt cÇu néi tiÕp. b) TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu néi tiÕp biÕt SO = h, gãc BAD = a,  < 900 vµ AB = a 10) Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y lµ tam gi¸c vu«ng t¹i A, BC = 2a. c¸c c¹nh bªn SA = SB= SC = b . T×m t©m vµ b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp. 11) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SAB lµ tam gi¸c ®Òu vµ vu«nggãc víi ®¸y. X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp. 12) Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh a, Gäi H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn (BCD). a) TÝnh AH. b) X¸c ®Þnh t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD. 13) Cho tø diÖn S.ABC cã ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i B, AB = a,SA = a 2 , SA  (ABC). Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB. X¸c ®Þnh t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh mÆtcÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn. 14) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi (ABCD) dùng tõ t©m aO cña h×nh vu«ng lÊy mét ®iÓm S sao cho OS = . X¸c ®Þnh t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu 2ngo¹i tiÕp h×nh chãp S.ABCD. 15) Cho ba nöa ®­êng th¼ng Ox, Oy, Oz kh«ng ®ång ph¼ng vµ gãc xOy = 900 gãc yOz =600 , gãc zOx = 120. Trªn Ox, Oy, Oz lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm A, B, C sao cho OA = OB = OC= a. a) CM: ABC vu«ng t¹i B.www.MATHVN.com - 10
    • www.MATHVN.com QHVG-KG b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC. CM: OI  (ABC). c) X¸c ®Þnh t©m vµ tÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn OABC16) Cho ABC c©n cãgãc BAC = 1200 vµ ®­êng cao AH = a 2 . Trªn ®­êng th¼ng  vu«ng gãc (ABC) t¹i A lÊyhai ®iÓm I, J ë hai bªn ®iÓm A sao cho IBC ®Òu vµ JBC vu«ng c©n. a) TÝnh c¸c c¹nh cña ABC. b) TÝnh AI, AJ vµ CM: BIJ, CIJ lµ tam gi¸c vu«ng. c) T×m t©m vµ b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp c¸c tø diÖn IJBC, IABC. 17) Cho ABC vu«ng c©n t¹i B (AB = a). Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB. Tõ M dùng ®­êngth¼ng vu«ng gãc (ABC) trªn ®ã lÊy ®iÓm S sao cho SAB ®Òu. a) Dùng trôc cña c¸c ®­êng trßn ABC vµ SAB. b) TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn SABC. www.MATHVN.com - 11
    • www.MATHVN.com QHVG-KGVII) DiÖn tÝch, ThÓ tÝch khèi ®a diÖn 1) Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD, c¹nh ®¸y AB = a vµ c¸c mÆt bªn hîp víi ®¸y métgãc . TÝnh thÓ tÝch vµ S xq cña h×nh chãp. 2) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh ch÷ nhËt cã AB = a, AD = b, SA = b, SA (ABCD). M lµ ®iÓm thuéc SA víi AM= x, mÆt ph¼ng (MBC) c¾t SD t¹i N. TÝnh thÓ tÝchkhèi ®a diÖn ABCDMN theo a, b vµ x. 3) Cho l¨ng trô ®øng ABC.ABC cã ®¸y lµ ABC vu«ng c©n cã AB = AC = a, c¹nh bªnAA = a. gäi E lµ trung ®iÓm cña AB, F lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña E lªn BC. mÆt ph¼ng(CEF) chia l¨ng trô thµnh hai phÇn. TÝnh tû sè thÓ tÝch cña hai phÇn ®ã. 4) Cho l¨ng trô ®øng ABC.ABC cã ®¸y lµ tam gi¸c vu«ng cã CA = CB = a;CC = 2a. M, N lµ trung ®iÓm cña AB vµ AA, mÆt ph¼ng (CMN) c¾t BC t¹i P. a) CM: PC = 2PB. b) TÝnh: V AMNCPC . 5) Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.ABCD c¹nh a. Gäi E, F lµ trung ®iÓm cña CD vµ CB.MÆt ph¼ng (AEF) chia h×nh lËp ph­¬ng thµnh hai phÇn. TÝnh thÓ tÝch cña mçi phÇn. 6) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a, SA  (ABCD), SA = h. Gäi I, J, Klµ trung ®iÓm cña SA, BC, CD. Chøng minh mÆt ph¼ng (IJK) chia h×nh chãp S.ABCD thµnhhai phÇn cã thÓ tÝch b»ng nhau.7) Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng avµ gãc ASB = . a) TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp. a  b) Chøng minh r»ng ®­êng cao cña h×nh chãp b»ng cot g 2  1 2 2 c) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp.8) Cho h×nh chãp S.ABC cã hai mÆt bªn (SAB) vµ (SAC) vu«ng gãc víi ®¸y.§¸y ABC lµmét tam gÝc c©n ®Ønh A. Trung tuyÕn AD b»ng a. C¹nh SB t¹o víi ®¸y gãc  vµ t¹o víi mÆtph¼ng (SAD) gãc . a) X¸c ®Þnh c¸c gãc  vµ . b) Chøng minh r»ng: SB2 = SA2 + AD2 + BD2. c) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch h×nh chãp.9) Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.ABCD c¹nh a. E vµ F lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña CB vµCD. a) X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh lËp ph­¬ng t¹o bëi (AEF). b) TÝnh thÓ tÝch hai phÇn cña h×nh lËp ph­¬ng do mÆt ph¼ng (AEF) c¾t ra.10) Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a. C¹nh bªn SA vu«ng gãc víi mÆt®¸y. Tõ A h¹ c¸c ®­êng vu«ng gãc AE víi SB vµ AF víi SD. a) Chøng minh: (AEF)  SCwww.MATHVN.com - 12
    • www.MATHVN.com QHVG-KG b) Gäi P lµ giao ®iÓm cña (AEF) víi SC. T×m quü tÝch cña P khi S ch¹y trªn nöa ®­êng th¼ng Ax vu«ng gãc víi ®¸y ABCD c) Chøng minh r»ng cã hai vÞ trÝ cña S trªn Ax sao cho VPABCD b»ng mét gi¸ trÞ V cho tr­íc víi ®iÒu kiÖn V kh«ng v­ît qu¸ mét gi¸ trÞ V1 nµo ®ã mµ ta ph¶i x¸c ®ÞnhVII) To¸n tæng hîp c¸c phÇn: 1) Cho ABC ®Òu cã ®­êng cao AH = 3a, lÊy ®iÓm O trªn ®o¹n AH sao cho AO = a. Trªn®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng chøa tam gi¸c t¹i O lÊy ®iÓm S sao cho OS = BC. a) CM: BC  SA. b) TÝnh SO, SA, SH theo a. c) Qua I trªn ®o¹n OH vÏ mÆt ph¼ng ()  OH. () c¾t AB, AC, SC, SB lÇn l­ît t¹i M, N,P, Q. CM: MNPQ lµ h×nh thang c©n. d) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c MNPQ theo a vµ x = AI. X¸c ®Þnh x ®Ó diÖn tÝch nµy cã gi¸ trÞ línnhÊt. 2) Cho h×nh chãp S.ABC cã SA  (ABCD). §¸y ABC kh«ng ph¶i lµ tam gi¸c c©n. Gäi Bvµ C lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SB vµ SC. a) Chøng minh tø gi¸c BCCB néi tiÕp ®­îc vµ c¸c c¹nh BC vµ BC kh«ng song song. b) CM: 5 ®iÓm A, B, C, B, C ë trªn mét mÆt cÇu. c) Gäi I lµ giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng BC vµ BC. CM: gãc IAB = gãc ICA 3) Cho hai nöa ®­êng th¼ng chÐo nhau Ax, By hîp víi nhau mét gãc lµ 600, AB = a lµ ®o¹n vu«ng gãc chung. Trªn Ax, By lÇn l­ît lÊy c¸c ®iÓm C, D sao cho AC = 2a,BD = a. Gäi () lµ mÆt ph¼ng chøa By // Ax, E lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C lªn (). a) CM: CD  By. b) Chøng minh 5 ®iÓm A, B, C, D, E ë trªn mét mÆt cÇu, tÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu ®ã. c) TÝnh gãc hîp bëi CD vµ mÆt ph¼ng (ABC). d) TÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña CE vµ AD.4) Cho hai nöa ®­êng th¼ng Ax, By hîp víi nhau gãc nhän  nhËn AB = h lµm ®o¹n vu«nggãc chung. Trªn By lÊy ®iÓm C víi BC = a, gäi D lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C trªn Ax.Gäi Az lµ nöa ®­êng th¼ng qua A vµ // By a) TÝnh ®é dµi AD vµ kho¶ng c¸ch tõ C ®Õn mÆt ph¼ng (ABD). b) X¸c ®Þnh t©m cña mÆt cÇu ®i qua bèn ®iÓm A, B, C, D. c) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ D ®Õn By.5) Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng avµ gãc ASB = . a) TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh chãp. a  b) Chøng minh r»ng ®­êng cao cña h×nh chãp b»ng cot g 2  1 2 2 c) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp. www.MATHVN.com - 13
    • www.MATHVN.com QHVG-KG6) Cho h×nh chãp S.ABC cã hai mÆt bªn (SAB) vµ (SAC) vu«ng gãc víi ®¸y.§¸y ABC lµmét tam gÝc c©n ®Ønh A. Trung tuyÕn AD b»ng a. C¹nh SB t¹o víi ®¸y gãc  vµ t¹o víi mÆtph¼ng (SAD) gãc . a) X¸c ®Þnh c¸c gãc  vµ . b) Chøng minh r»ng: SB2 = SA2 + AD2 + BD2. c) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch h×nh chãp.7) Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a. MÆt bªn SAB lµ tam gi¸c®Òu vµ vu«ng gãc víi ®¸y. Gäi H lµ trung ®iÓm cña AB vµ lµ mét ®iÓm di ®éng trªn ®­êngth¼ng BC. a) Chøng minh r»ng SH  (ABCD). TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.ABCD. b) T×m tËp hîp c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña S lªn DM. c) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ S ®Õn DM theoa vµ x = CM.8) Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD.ABCD c¹nh a. E vµ F lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña CB vµCD. a) X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh lËp ph­¬ng t¹o bëi (AEF). b) TÝnh thÓ tÝch hai phÇn cña h×nh lËp ph­¬ng do mÆt ph¼ng (AEF) c¾t ra.9) Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a; SA = a vµ SA  (ABCD), AI, AJ vµ AElµ c¸c ®­êng cao xuÊt ph¸t tõ A trong tam gi¸c SAB, SAD vµ SAC a) Chøng minh: AI, AJ, AE ®ång ph¼ngChøng minh r»ng tø gi¸c AIEJ cã c¸c ®­êng chÐo vu«ng gãc nhau vµ tÝnh diÖn tÝch cña nã10) Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh ch÷ nhËt c¹nh; SA  (ABCD). Dùng c¸c ®­êng caoAH, AK trong tam gi¸c SAB vµ SAD. Chøng minh:(AHK)  (SBC) vµ (AHK)  (SCD)11) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh ch÷ nhËt t¹iA lÊy mét ®iÓm S. mÆt ph¼ng qua CD c¾t SA t¹i M vµ SB t¹i N a) CDMN lµ h×nh g×?Nãi c¸ch dùng ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ S vu«ng gãc víi (CDMN)12) Cho h×nh thang ABCD vu«ng t¹i A vµ D vµ AB = 2a; AC = DC = a; SA = a lµ ®o¹nth¼ng vu«ng gãc víi (ABCD) a) Chøng minh (SAC)  (SBC)TÝnh gãc nhÞ diÖn (A, SB, C)13) Trong mÆt ph¼ng (P) cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. Hai ®iÓm M vµ N di ®éng trªn c¸cc¹nh BC vµ CD. §Æt Chøng minh: = x vµ CN = y. Trªn ®­êng th¼ng At vu«ng gãc víi (P)lÊy mét ®iÓm S. T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a x vµ y ®Ó: a) Gãc cña c¸c mÆt ph¼ng (SAM) vµ (SAN) b»ng 450(SAM)  (SMN)14) Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. Hai mÆt ph¼ng (SAB) vµ(SAD) vu«ng gãc víi nhau; SA = a a) Chøng minh: (SAB)  (SBC) vµ (SBD)  (SAC) b) X¸c ®Þnh vµ tÝnh gãc nhÞ diÖn (S, BD, A) c) X¸c ®Þnh vµ tÝnh gãc nhÞ diÖn (B, SC, D)15) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹ch a. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh vu«ngt¹i A ta lÊy mét ®iÓm S víi AS = h. X¸c ®Þnh vµ tÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña: a) SC vµ BDwww.MATHVN.com - 14
    • www.MATHVN.com QHVG-KG b) SC vµ AD16) Trªn c¹nh AD cña h×nh vu«ng ABCD c¹nh a lÊy ®iÓm M víi AM = x (0 < x < a) vµ trªnnöa ®­êng th¼ng Ax vu«ng gãc víi mp(ABCD) t¹i A ta lÊy ®iÓm S sao cho AS = y > 0a) Chøng minh r»ng nhÞ diÖn c¹nh SB cña h×nh chãp SABCM lµ nhÞ diÖn vu«ngb) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn mp(SAC)c) Gäi I lµ trung ®iÓm cña SC; H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña I lªn Chøng minh:. T×m quü tÝch cña H khi M ch¹y trªn c¹nh AD vµ S ch¹y trªn Ax17) Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang vu«ng ABCD vu«ng t¹i A vµ B, AB = BC =a; AD = 2a; ®­êng cao cña h×nh chãp lµ SA = 2a a) X¸c ®Þnh vµ tÝnh ®o¹n vu«ng gãc chung cña AD vµ SC b) TÝnh gãc ph¼ng nhÞ diÖn c¹nh SD18) Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ nöa lôa gi¸c ®Òu c¹nh a, chiÕu cao SA = h a) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SABCD b) mÆt ph¼ng qua A vu«ng gãc víi SD c¾t SB, SC, SD ®­êng th¼ng¹i B’, C’ , D’. Chøng minh r»ng tø gi¸c AB’C’D’ néi tiÕp c) Chøng minh: A’B’ > C’D’19) Cho h×nh chãp SABCD, ®¸y lµ h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, chiÒu cao SA. a) H·y nªu c¸ch dùng thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (P) qua A vµ vu«ng gãc víi SC b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn20) Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ nöa lôc gi¸c ®Òu ABCD víi AD = 2a, AB = BC = CD =A. C¹nh SA = h vu«ng gãc víi ®¸y. (P) lµ mÆt ph¼ng qua A vu«ng gãc víi SD c¾t SB, SC,SD t¹i B’, C’, D’ a) Chøng minh r»ng AB’C’D’ lµ mét tø gi¸c néi tiÕp b) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SAB’C’D’ c) TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c AB’C’D’21) Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a. C¹nh bªn SA vu«ng gãc víi mÆt®¸y. Tõ A h¹ c¸c ®­êng vu«ng gãc AE víi SB vµ AF víi SD. d) Chøng minh: (AEF)  SC e) Gäi P lµ giao ®iÓm cña (AEF) víi SC. T×m quü tÝch cña P khi S ch¹y trªn nöa ®­êng th¼ng Ax vu«ng gãc víi ®¸y ABCD f) Chøng minh r»ng cã hai vÞ trÝ cña S trªn Ax sao cho VPABCD b»ng mét gi¸ trÞ V cho tr­íc víi ®iÒu kiÖn V kh«ng v­ît qu¸ mét gi¸ trÞ V1 nµo ®ã mµ ta ph¶i x¸c ®Þnh22) Trong mÆt ph¼ng (P) cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a. Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD.Trªn ®­êng th¼ng Ox vu«ng gãc víi (P) ta lÊy ®iÓm S. 1/ Gi¶ sö c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp SABCD t¹o víi ®¸y mét gãc  a) X¸c ®Þnh ®­êng vu«ng gãc chung cña SA vµ CD . TÝnh ®é dµi ®­êng vu«ng gãc chung ®ã theo a vµ  b) Mét mÆt ph¼ng ®i qua AC vµ vu«ng gãc víi (SAD) chia h×nh cÇu thµnh hai phÇn . TÝnh tû sè thÓ tÝch cña hai phÇn ®ã 2/ Gi¶ sö ®iÓm S thay ®æi, h·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña S trªn Ox sao cho mÆt ph©n gi¸c cña gãc nhÞ diÖn øng víi c¹nh ®¸y cña mÆt xung quanh cña h×nh chãp SABCD thµnh hai phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau23) Trong mÆt ph¼ng (P) cho ®­êng trßn (r) b¸n kÝnh R; A lµ ®iÓm cè ®Þnh trªn (r), S lµ®iÓm trªn ®­êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi (P) t¹i A. ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp trong (r) cã hai®­êng cheo AC vµ BD vu«ng gãc víi nhau. a) Gi¶ sö S cè ®Þnh, ph¶i chän ®¸y ABCD thÕ nµo ®Ó h×nh chãp SABCD cã thÓ tÝch lín nhÊt www.MATHVN.com - 15
    • www.MATHVN.com QHVG-KG b) Víi ABCD ®· ®Þnh chän nh­ ë c©u a. Gi¶ sö S di ®éng trªn (d). Trªn ®o¹n AB lÊy ®iÓm M. §Æt AM = x (0  x  R 2 ) vµ AS = y. BiÕt SM = R 2 . H·y x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn AB ®Ó h×nh chãp SAMBC cã thÓ tÝch lín nhÊt24) Cho h×nh chãp SABCD trong ®ã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt. C¹nh bªn SA  (ABCD).Mét mÆt ph¼ng qua A vu«ng gãc víi SC c¾t SB ë B’, c¾t SD ë D’. a) Chøng minh r»ng tø gi¸c AB’C’D’ cã hai gãc ®èi vu«ng gãc nhau b) Chøng minh r»ng nÕu S di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi (ABCD) t¹i A th× mÆt ph¼ng (AB’C’D’) lu«n ®i qua mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh. Chøng minh r»ng c¸c ®iÓm A, B, B’, C, C’, D, D’ cïng n»m trªn mét mÆt cÇu cè ®Þnh c) Gi¶ sö gãc SC vµ mÆt (SAB) b»ng x. TÝnh tû sè gi÷a thÓ tÝch cña h×nh chãp SAB’C’D’ vµ thÓ tÝch h×nh chãp SABCD theo x, biÕt r»ng AB = BC25) Cho h×nh chãp SABCD cã mÆt ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt víi AB = a, AD = b. C¹nhSA vu«ng gãc víi (ABCD) vµ SA = 2a. M lµ ®iÓm trªn SA vu«ng gãc víi (ABCD) vµ SA =2a. M lµ ®iÓm trªn SA víi AM = x(0  x  2a) a) MÆt ph¼ng (MBC) c¾t h×nh chãp theo thiÕ diÖn lµ h×nh g×? TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn ®ã. b) X¸c ®Þnh x sao cho thiÕt diÖn nãi trªn cã diÖn tÝch lín nhÊt c) X¸c ®Þnh x sao cho mÆt ph¼ng (MBC) chia h×nh chãp ra thµnh hai phÇn cã thÓ tÝch b»ng nhau26) Cho h×nh chãp SABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c c©n, AB = AC = a, gãc A = . BiÕt r»ngSA vu«ng gãc víi (ABC) vµ SA = h. cho biÕt tån t¹i 3 ®iÓm M, N, P lÇn l­ît thuéc AB, AC,BC sao cho AM = AN = AP vµ c¸c tam gi¸c SMP, SNP, t­¬ng ®­¬ng a) Chøng minh P lµ trung ®iÓm cña BC b) TÝng thÓ tÝch cña h×nh chãp SAMPN c) Chøng minh h×nh chãp SAMPN cã mÆt cÇu néi tiÕp. TÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu Êy27) Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt, SA  (ABCD), AB = a, AD = b,SA = 2a. Gäi M lµ trung ®iÓm cña SA.MÆt ph¼ng (MBC) c¾t h×nh chãp theo thiÕt diÖn lµ h×nh g×. TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn Êy ®h ®µ l¹t – d - 200028) Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, trªn ®­êng th¼ng d ®i qua A vµ vu«ng gãc v¬i mÆtph¼ng (ABCD) lÊy ®iÓm S sao cho SA = a. Trªn c¹nh CD lÊy ®iÓm M di ®éng. H¹ SH  BMvµ AK  SH. §Æt gãc ABM =  a) Chøng minh: AK  (SBM) vµ tÝnh AK theo a vµ H¹ AI  SB. Chøng minh SB  (AKI) vµ t×m quü tÝch K khi M thay ®æi trªn c¹nh CD ®h qg tphcm – d - 2000 Kim tù th¸pbµi1: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD víi ®¸y lµ h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a. MÆtbªn t¹o víi mÆt ®¸y h×nh chãp 1 gãc 600. MÆt ph¼ng (P) chøa c¹nh AB vµ c¾t SC, SD lÇnl­ît t¹i M vµ N. Cho biÕt gãc t¹o bëi mÆt ph¼ng (P) vµ mÆt ®¸y cña h×nh chãp lµ 300 a) Tø gi¸c ABMN lµ h×nh g×? b) TÝnh VSABMN theo a ®h sp tphcm – a - 2000bµi2: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD víi ®¸y lµ h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a vµSA = SB = SC = SD = a. a) TÝnh STP vµ VSABCD theo a ®h sp tphcm – d - 2001www.MATHVN.com - 16
    • www.MATHVN.com QHVG-KG b) TÝnh cosin cña gãc nhÞ diÖn (SAB, SAD)bµi3: Cho h×nh thoi ABCD t©m O; SO lµ ®o¹n th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh thoi a) Chøng minh r»ng (SAC) lµ mÆt ph¼ng ph©n gi¸c cña c¸c nhÞ diÖn c¹nh SA vµ SC. Suy ra O c¸ch ®Òu bèn mÆt bªn cña h×nh chãp SABCDT×m mét ®iÓm c¸ch ®Òu n¨m mÆt cña h×nh chãp Êybµi4: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a. Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng; SO vu«nggãc víi (ABCD); SA = b, SA t¹o víi (ABCD) vµ (SBC) hai gãc b»ng nhau vµ b»ng  a) X¸c ®Þnh h×nh chiÕu H cña A xuèng mÆt ph¼ng (SBC). Chøng minh SO = AH b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a vµ b råi suy ra gi¸ trÞ cña tgbµi5: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh ABCD, diÖn tÝch b»ng a2 3 vµ gãcgi÷a hai ®­êng chÐo b»ng 600. BiÕt r»ng c¸c c¹nh cña h×nh chãp nghiªng ®Òu trªn mÆt ®¸ymét gãc 450 a) Chøng minh: ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt b) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãpbµi6: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu SABCD cã c¹nh ®¸y b»ng a, ®­êng cao h. Gäi (P) lµ mÆtph¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi SC t¹i C’ a) h ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn g× ®èi víi a ®Ó C’  SC? b) Trong ®iÒu kiÖn ®ã (P) cßn c¾t SB, SD lÇn l­ît t¹i B’, D’. Chøng minh B’C’D’ lµ tam gi¸c tïbµi7: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu SABCD c¹nh a , ®­êng cao SO = a 3 a) M lµ mét ®iÓm trªn ®o¹n OC víi AM = x. Qua M ta dùng mÆt ph¼ng (P) song song víi SA vµ BD. Nªu c¸ch dùng thiÕt diÖn vµ tÝnh diÖn tÝch cña nã theo a vµ x b) NÕu M thuéc ®o¹n AO, h·y lÆp l¹i c©u hái trªnbµi8: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu SABCD. Gäi M, N, E lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB, AD vµSC a) Dùng thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (MNE) b) TÝnh tû sè thÓ tÝch hai phÇn cña h×nh chãp ph©n chia bëi thiÕt diÖn trªnbµi9: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu SABCD ®Ønh S, c¹nh ®¸y b»ng a, ®­êng cao SH. Mét ®iÓmM b¾t kú thuéc AH, mÆt ph¼ng (P) qua M song song víi AD vµ SH c¾t AB, DC, SD vµ SAlÇn l­ît t¹i I, J, K, L a) Cho biÕt SH = a 2 . X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn AH ®Ó thiÕt diÖn IJKL lµ mét tø gi¸c ngo¹i tiÕp b) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M trªn AH ®Ó thÓ tÝch khèi ®a diÖn DIJKLH ®¹t gi¸ trÞ lín nh©t c) mÆt ph¼ng (P) c¾t DB t¹i N. T×m quü tÝch giao ®iÓm P cña hai ®­êng chÐo cña tø gi¸c MNKL khi M thay ®æi trªn AHbµi10: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu, c¹nh ®¸y a, gãc gi÷a mÆt bªn vµ mÆt ®¸y lµ . Qua métc¹nh ®¸y ta dùng mét mÆt ph¼ng t¹o víi mÆt ®¸y gãc . TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖnbµi11: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu SABCD trong ®ã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a vµ SA = SB= SC = SD = a. a) TÝnh chiÕu cao vµ thÓ tÝch h×nh chãp b) Gäi M, N, P theo thø tù lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, AD vµ SC. MÆt ph¼ng MNP c¾t SB vµ SD t¹i Q vµ R. So s¸nh c¸c ®o¹n QB vµ RD víi SB c) Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (MNP) chia h×nh chãp ®· cho thµnh hai phÇn cã thÓ tÝch b»ng nhau; kÕt qu¶ ®ã cã ®óng kh«ng nÕu SA = SB = SC  a www.MATHVN.com - 17
    • www.MATHVN.com QHVG-KGbµi12: Chop h×nh chãp tø gi¸c ®Òu SABCD cã ®é dµi c¹nh ®¸y AB = a vµ gãc SAB =  .TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp SABCD theo a vµ  ®h y hn - 2000bµi13: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu: SABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a. Gãc ph¼ngnhÞ diÖn t¹o bëi mÆt bªn vµ ®¸y lµ  (450 <  < 900) a) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ VSABCD b) Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Tõ M kÎ MK vu«ng gãc víi mp(SAD). MÆt ph¼ng (BCK) c¾t h×nh chãp theo 1 thiÕt diÖn lµ h×nh g×? TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn theo a vµ  ®h nn - 2000bµi14: Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu SABCD cã ®­êng cao SH, ®­êng trung ®o¹n thuéc mÆtbªn (SBC) lµ SN = a vµ hîp víi ®­êng cao SH mét gãc  a) TÝnh VSABCD theo a vµ  c® l® xh - 2000 b) Trong mÆt ph¼ng (SHN) vµ HK  SN Chøng minh: HK lµ kho¶ng c¸ch tõ H tíi mÆt (SBC) TÝnh HK biÕt a = 3960 vµ  = 22030’ c) TÝnh HK biÕt diÖn tÝch toµn phÇn cña h×nh chãp lµ: STP = 8a2sincos2(450 – /2) Chãp côt:bµi1: Mét chãp côt tø gi¸c ®Òu cã chiÒu cao h, c¹nh ®¸y lín gÊp ®«i c¹nh ®¸y nhá, c¹nh bªnt¹o víi c¹nh ®¸y lín xuÊt ph¸t tõ cïng mét ®Ønh gãc TÝnh diÖn tÝch xung quanh vµ thÓ tÝch chãp côtbµi2: BiÕt hai ®¸y cña mét chãp côt cã diÖn tÝch B, B’. TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn trung b×nh ,tøc kµ thiÕt diÖn ®i qua ®iÓm gi÷a mét c¹nh bªn vµ song song víi hai ®¸y cña chãp côtbµi3: Cho h×nh chãp côt tam gi¸c ®Òu ngo¹i tiÕp mét h×nh cÇu b¸n kÝnh r cho s½n. TÝnh thÓtÝch h×nh chãp côt biÕt r»ng c¹nh ®¸y lín gÊp ®«i c¹nh ®¸y nhábµi4: Cho chãp côt tø gi¸c ®Òu ABCDA’B’C’D’. TÝnh tû sè diÖn tÝch cña hai tø gi¸cACC’A’ vµ ABC’D’ biÕt r»ng gãc cña mÆt ph¼ng t¹o bíi hai tø gi¸c ®ã lµ bµi5: Cho chãp côt lôc gi¸c ®Òu ngo¹i tiÕp h×nh cÇu t©m I b¸n kÝnh R. Gäi O vµ O’ lµ t©mcña hai ®¸y, x vµ y lµ trung ®o¹n cña hai ®¸y a) Chøng minh r»ng víi R cho s½n th× tÝch xy kh«ng ®æi b) TÝnh thÓ tÝch chãp côt theo x, y vµ R. TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña thÓ tÝch khi x, y thay ®æi c) TÝnh gãc cña mÆt bªn víi ®¸y lín khi x + y = 4R hoÆc khi x – y = 2Rbµi6: Cho h×nh chãp côt tam gi¸c ®Òu ABCA’B’C’ ngo¹i tiÕp h×nh cÇu t©m O b¸n kÝnh R a) Chøng minh hai mÆt ph¼ng (OBC) vµ (OB’C’) vu«ng gãc víi nhau b) H lµ giao ®iÓm cña BC’ vµ B’C’. Chøng tá OH vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (BCC’B’) c) Trong c¸c h×nh chãp côt nãi trªn x¸c ®Þnh h×nh chãp côt cã thÓ tÝch nhá nhÊt, Chøng minh r»ng trong ®iÒu kiÖn nµy diÖn tÝch toµn phÇn cña h×nh chãp côt còng nhá nhÊt. TÝnh c¸c gi¸ trÞ nhá nhÊt nãi trªn H×nh chãp:bµi1: Cho h×nh chãp SABCD víi ABCD lµ nöa lôc gi¸c ®Òu (AD > BC) vµ SA  (ABCD).Mét mÆt ph¼ng qua A vu«ng gãc víi SD c¾t D’ vµ c¾t SB, SC t¹i B’, C’ . Chøng minh:AB’C’D’ lµ tø gi¸c néi tiÕpwww.MATHVN.com - 18
    • www.MATHVN.com QHVG-KGbµi2: Cho h×nh vu«ng ABCD c¹ch a. Tõ trung ®iÓm I cña AD ta dùng ®­êng th¼ng vu«nggãc víi mÆt ph¼ng (ABCD) vµ trªn ®ã lÊy ®iÓm S sao cho SAD lµ tam gi¸c ®Òu a) Dùng vµ tÝnh ®é dµi ®o¹n vu«ng gãc chung cña SD vµ AB b) Dùng vµ tÝnh ®é dµi cña ®o¹n vu«ng gãc chung cña SA vµ CM trong ®ã M lµ trung ®iÓm cña ABbµi3: Trong mp() cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Gäi (C) lµ ®­êng trßn ®­êng kÝnh BD trongmÆt ph¼ng qua BD vµ vu«ng gãc víi (); M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn (C) a) Chøng minh: AM  MC b) Cã vÞ trÝ nµo cña M trªn (C) ®Ó (MAB)  (MCD) kh«ng? c) Gäi () lµ mÆt ph¼ng qua CD vµ vu«ng gãc víi (). ®­êng th¼ng AM c¾t () t¹i M’. Gäi H’ lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M’ lªn CD. Chøng minh r»ng: DH’ = k2M’H2 víi k lµ mét h»ng sè kh«ng phô thuéc vµo M. Tõ ®ã suy ra quü tÝch cña M’ khi M chuyÓn ®éng trªn (C)bµi4: Cho h×nh vu«ng ABCD n»m trong mp(P). Qua A dùng nöa ®­êng th¼ng Ax  (P). Mlµ mét ®iÓm trªn Ax. ®­êng th¼ng qua M vu«ng gãc víi mp(MCB) c¾t (P) ë R. §­êng th¼ngqua M vu«ng gãc víi mp(MCD) c¾t (P) ë S a) Chøng minh: A, B, R th¼ng hµng vµ A, D, S th¼ng hµng b) T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña ®o¹n RS khi M di chuyÓn trªn Ax c) Gäi H lµ ch©n ®­êng cao kÎ tõ A trong MAI. Chøng minh AH lµ ®­êng cao cña tø diÖn ARMS vµ H lµ trùc t©m cña MRSbµi5: Cho h×nh chãp SABCD cã c¸c ®Æc ®iÓm sau: §¸y lµ h×nh thang c©n ABCD ngo¹i tiÕp®­êng trßn t©m O b¸n kÝnh a, AB // CD vµ CD = 4AB. SO = 2a lµ ®­êng cao a) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp b) Chøng minh r»ng O c¸ch ®Òu bèn mÆt bªn cña h×nh chãp. X¸c ®Þnh t©m vµ b¸n kÝnh h×nh cÇu néi tiÕp h×nh chãpbµi6: Cho tø diÖn ABCD víi AB = a; CD = b a) X¸c ®Þnh h×nh d¹ng cña thiÕt diÖn cña tø diÖn víi mÆt ph¼ng (P) song song víi AB vµ CD b) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña mÆt ph¼ng (P) sao cho diÖn tÝch thiÕt diÖn lín nhÊt c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ mÆt ph¼ng (P) sao cho thiÕt diÖn lµ h×nh thoibµi7: Cho h×nh chãp PQRS ®¸y lµ tam gi¸c ®Òu QRS c¹nh b»ng m, PQ = m 2 ; ®­êng caocña h×nh chãp kÎ tõ P ®i qua trung ®iÓm cña RS. Ng­êi ta c¾t h×nh chãp b»ng mét mÆtph¼ng song song víi PQ vµ RS vµ c¸ch ®Ønh Q mét ®o¹n b»ng d a) Nªu c¸ch dùng thiÕt diÖn. X¸c ®Þnh h×nh d¸ng thiÕt diÖn b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖnbµi8: Cho h×nh chãp tø gi¸c SABCD cã c¹nh SA = x, cßn tÊt c¶ c¸c c¹nh kh¸c ®é dµi b»ng 1 a) Chøng minh SA  SC b) TÝnh thÓ tÝch cña h×nh chãp. X¸c ®Þnh x ®Ó bµi to¸n cã nghÜa. X¸c ®Þnh x ®Ó thÓ tÝch lín nhÊtbµi9: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ mét h×nh b×nh hµnh ABCD. Mét mÆt ph¼ng (P) c¾t SA SC SB SDSA, SB, SC, SD theo thø tù t¹i A’, B’, C’, D’. Chøng minh hÖ thøc:    SA SC SB SDbµi10: Hai h×nh chãp tam gi¸c ®Òu cã chung chiÒu cao, ®Ønh, c¸c c¹nh bªn cña h×nh chãptrïng víi t©m cña h×nh chãp kia, c¸c c¹nh bªn cña h×nh chãp nµy c¾t c¸c c¹nh bªn cña h×nh www.MATHVN.com - 19
    • www.MATHVN.com QHVG-KGchãp kia. C¹nh bªn l cña h×nh chãp thø nhÊt t¹o víi ®­êng cao gãc . C¹nh bªn cña h×nhchãp thø hai t¹o víi ®­êng cao gãc  . TÝnh thÓ tÝch phÇn chung cña hai h×nh chãpbµi11: Trong mÆt ph¼ng () cho OAB vµ mét ®iÓm di ®éng M trªn ®o¹n AB. Tõ M ta dùnghai ®­êng th¼ng song song víi OB vµ OA, LÇn l­ît c¾t OA, OB t¹i P vµ Q; Gäi I lµ giao®iª,r cña AQ vµ BP. Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mp() t¹i M ta lÊy ®iÓm S  M. §ÆtOA = a, OB = b OP OQ a) Chøng minh:   1 . Tõ ®ã suy ra thÓ tÝch hai h×nh chãp SOPIQ vµ SIAB b»ng a b nhau b) Cho gãc AOB = 600, a = 2b vµ SM = b 3 . Gäi 1, 2 lÇn l­ît lµ gãc ph¼ng cña hai nhÞ diÖn t¹o bíi (SOA) vµ (SOB) víi mp(). Chøng minh r»ng: khi M ®i ®éng trªn 2 2 ®o¹n AB th× ta lu«n cã hÖ thøc:  1 tg 1 tg 2bµi12: §¸y cña h×nh chãp lµ tam gi¸c vu«ng cã diÖn tÝch Q vµ gãc nhän . MÆt bªn quac¹nh ®èi víi  vu«ng gãc víi mÆt ®¸y; hai c¹nh bªn cßn l¹i hîp víi mÆt ®¸y gãc  a) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp theo , , Q b) Víi gi¸ trÞ nµo cña  th× tiÕp tuyÕn ®ã lín nhÊt (Q,  kh«nh ®æi)bµi13: Trong mÆt ph¼ng (P) cho h×nh thang c©n ABCD ngo¹i tiÕp ®­êng trßn t©m O b¸n kÝnhR, c¸c c¹nh ®¸y AB vµ CD tho¶ m·n ®iÒu kiÖn AB/CD = ¼ . Trªn ®­êng th¼ng d vu«ng gãcv¬Ýu (P) t¹i O lÊy ®iÓm S sao cho OS = 2R a) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch cña h×nh chãp SABCD b) Chøng minh O c¸ch ®Òu bèn mÆt cña h×nh chãp SABCD tõ ®ã t×m t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu néi tiÕp h×nh chãpbµi14: Chøng minh r»ng nÕu h×nh chãp cã c¸c mÆt bªn lµm víi mÆt ®¸y mét gãc b»ng nhauth× h×nh chãp cã mÆt cÇu néi tiÕp. §iÒu ng­îc l¹i cã ®óng kh«ng?bµi15: Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu SABC cã ch©n ®­êng cao SH = h. Gäi I, J, K lÇn l­ît lµtrùc t©m c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp a) Chøng minh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp SIJK cã t©m trªn SH b) Gäi r lµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu Êy. TÝnh thÓ tÝch cña SABC theo r vµ hbµi16: Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu SABC víi c¹nh ®¸y AB = a vµ ®­êng cao SH = h a) TÝnh theo a vµ h c¸c b¸n kÝnh r, R cña c¸c mÆt cÇu néi tiÕp, ngo¹i tiÕp h×nh chãp b) Gi¶ sö a cè ®Þnh, h thay ®æi. X¸c ®Þnh ®Ó r/R lín nhÊtbµi17: Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu cã diÖn tÝch mÆt cÇu ngo¹i tiÕp lµ S vµ diÖn tÝch mÆt cÇunéi tiÕp lµ s a) Chøng minh: S  9s b) TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp theo S vµ swww.MATHVN.com - 20