モナモナ言う  モナド入門.tar.gz   2012-11-18 hiratara
100分で話して来た
超短縮版
話す内容• 抽象化オタクの更なる高みを目指す• 「モナドは自己関手の圏のモノイド」 という雑学
大統一理論2
お題Monoid則とMonad則は統一できるか?
そのとき   Philip Wadlerの脳裏に閃光が走った!      ※この話はフィクションです
モノイダル圏双関手□と自然同型α、λ、ρがある圏  A       B        A□B      f        g      f□g A’       B’       A’□B’
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Monoid a(1)                                                          prod (id, mappend’)(a, a), a            ((x, y), z) -...
Monoid a(1)             (x <> y) <> z = x <> (y <> z)                                                          prod (id, m...
Monoid a(2)          prod (mempty’, id)                prod (id, mempty’)((), a)                        (a, a)            ...
Monoid a(2)                    mempty <> x = x                    x <> mempty = x          prod (mempty’, id)             ...
Monoid a(2)                    mempty <> x = x                    x <> mempty = x          prod (mempty’, id)             ...
Monoidは    集合圏のモノイド
モナド則• 以下と同値  join . fmap join = join . join  join . fmap return = join . return = id• 証明は http://ja.wikibooks.org/wiki/Has...
Monad m(1)         id                fmap joinmmma            mmma                   mma  join                            ...
Monad m(1)         join . fmap join = join . join            id                        fmap joinmmma               mmma   ...
Monad m(2)     return                fmap returnma              mma                      ma                    join     id...
Monad m(2)          join . fmap return = id             join . return = id     return                   fmap returnma     ...
Monad m(2)          join . fmap return = id             join . return = id     return                   fmap returnma     ...
Monadは自己関手圏のモノイド
まとめ• 同じ図で法則をまとめれるのはイイ• 書きかけの検証用ソース https://gist.github.com/4104020
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  1. 1. モナモナ言う モナド入門.tar.gz 2012-11-18 hiratara
  2. 2. 100分で話して来た
  3. 3. 超短縮版
  4. 4. 話す内容• 抽象化オタクの更なる高みを目指す• 「モナドは自己関手の圏のモノイド」 という雑学
  5. 5. 大統一理論2
  6. 6. お題Monoid則とMonad則は統一できるか?
  7. 7. そのとき Philip Wadlerの脳裏に閃光が走った! ※この話はフィクションです
  8. 8. モノイダル圏双関手□と自然同型α、λ、ρがある圏 A B A□B f g f□g A’ B’ A’□B’
  9. 9. (モノイダル圏の) モノイド η□M M□η I□M M□M M□I μ λ ρ α M□μ M□M(M□M)□M M□(M□M) M μ□M μ M□M M
  10. 10. Monoid a(1) prod (id, mappend’)(a, a), a ((x, y), z) -> (x, (y, z)) a, (a, a) (a, a) prod (mappend’, id) mappend’ mappend’ (a, a) prod (f, g) (x, y) = (f x, g y) a mappend’ = uncurry mappend
  11. 11. Monoid a(1) (x <> y) <> z = x <> (y <> z) prod (id, mappend’)(a, a), a ((x, y), z) -> (x, (y, z)) a, (a, a) (a, a) prod (mappend’, id) mappend’ mappend’ (a, a) prod (f, g) (x, y) = (f x, g y) a mappend’ = uncurry mappend
  12. 12. Monoid a(2) prod (mempty’, id) prod (id, mempty’)((), a) (a, a) (a, ()) mappend’ snd fst a mempty’ = const mempty
  13. 13. Monoid a(2) mempty <> x = x x <> mempty = x prod (mempty’, id) prod (id, mempty’)((), a) (a, a) (a, ()) mappend’ snd fst a mempty’ = const mempty
  14. 14. Monoid a(2) mempty <> x = x x <> mempty = x prod (mempty’, id) prod (id, mempty’)((), a) (a, a) (a, ()) mappend’ snd fst a ”集合” mempty’ = const mempty
  15. 15. Monoidは 集合圏のモノイド
  16. 16. モナド則• 以下と同値 join . fmap join = join . join join . fmap return = join . return = id• 証明は http://ja.wikibooks.org/wiki/Haskell/ %E5%9C%8F%E8%AB%96 を参照
  17. 17. Monad m(1) id fmap joinmmma mmma mma join join joinmma ma
  18. 18. Monad m(1) join . fmap join = join . join id fmap joinmmma mmma mma join join joinmma ma
  19. 19. Monad m(2) return fmap returnma mma ma join id id ma
  20. 20. Monad m(2) join . fmap return = id join . return = id return fmap returnma mma ma join id id ma
  21. 21. Monad m(2) join . fmap return = id join . return = id return fmap returnma mma ma join id id ma ”自己関手”
  22. 22. Monadは自己関手圏のモノイド
  23. 23. まとめ• 同じ図で法則をまとめれるのはイイ• 書きかけの検証用ソース https://gist.github.com/4104020
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