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EJERCICIOS DE CALCULO INTEGRAL

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  • 1. TRABAJO Nº 2<br />EJERCICIO Nº30.<br />HALLAR:<br />cosx+3.cos3x+5.cos5x+7.dx<br />Desarrollo. <br />Por identidades de arco compuesto sabemos que: cosα.cosβ=cosα-β+cos⁡(α+β)2<br />Sea: cosx+3.cos3x+5.cos5x+7=I<br /> I=12cosx+3-(3x+5)+cosx+3+(3x+5)cos⁡(5x+7)<br />= 12cos-(2x+2)+cos⁡(4x+8)cos⁡(5x+7)<br />= 12cos2x+2+cos⁡(4x+8)cos⁡(5x+7)<br />=12cos2x+2cos⁡(5x+7)+cos⁡(4x+8)cos⁡(5x+7)<br />=1212(cos3x+5+cos⁡(7x+9))+12(cosx-1+cos9x+15) <br />=14cos3x+5+cos⁡(7x+9)+cosx-1+cos⁡(9x+15)<br />Remplazando en la integral tenemos.<br />14cos3x+5+cos⁡(7x+9)+cosx-1+cos⁡(9x+15).dx<br />14cos3x+5.dx+cos7x+9.dx+cosx-1.dx+cos9x+15.dx<br />=14sen(x+5)3+sen(7x+9)7+senx-1+sen(9x+15)9+c<br />EJERCICIO Nº30.<br />Hallar:<br />cos42x.sen32x.dx<br />Desarrollo.<br />cos42x.sen32x.dx=cos42x.sen22x.sen2x.dx<br />=cos42x.(1-cos22x).sen2x.dx<br />=(cos42x-cos62x).sen2x.dx<br />=cos42x.sen2x.dx-cos62x.sen2x.dx<br />Sea: u= cos2x -> du= -2sen2x.dx -> -du2=sen2x.dx reemplazando en la integral<br />=-12u4.du+12u6.du<br />=-12.u55+12.u77 <br />=cos42x.sen32x.dx= -cos52x10+cos72x14<br />EJERCICIO Nº 63.<br />Hallar:<br />tan4x.sec3x.dx<br />Desarrollo. <br />tan4x.sec3x.dx = (sec2x-1)2.sec3x .dx<br />=(sec4x-2sec2x+1).sec3x .dx = sec7x.dx-2sec5x.dx+sec3x.dx<br /> tan4x.sec3x.dx = sec7x.dx-2sec5x.dx+sec3x.dx<br />Aplicamos el método de integración por partes a cada término.<br /> sec3x.dx<br />Descomponemos sec3x en dos factores sec3x=secx.sec2x<br /> sec3x.dx= secx.sec2x.dx<br />Sea: u=secx; ->du=secx.tanx.dx<br /> dv=sec2x.dx -> v=tanx<br />Sabemos que: u.dv=uv-v.du<br /> sec3x.dx = secx.tanx-tanx.secx.tanx.dx<br />= secx.tanx-secx.tan2x.dx<br />= secx.tanx-secx.(sec2x-1).dx<br />= secx.tanx-sec3x.dx+secx.dx<br />2 sec3x.dx = secx.tanx+ln|secx+tanx|<br /> sec3x.dx = secx.tanx2+ln|secx+tanx|2<br />∴ secx.tanx2+ln|secx+tanx|2<br /> sec5x.dx= sec3x.sec2x.dx<br />Aplicamos la formula de integración por partes u.dv=uv-v.du<br />Sea: u=sec3x ->du=3sec2x.secx.tanx<br /> dv=sec2x.dx->v=tanx<br /> sec5x.dx=sec3x.tanx-3sec2x.secx.tanx.tanx.dx<br />= sec3x.tanx-3sec3x.tan2x=sec3x.tanx-3sec3x.(sec2x-1)<br />= sec3x.tanx-3(sec5x-sec3x).dx<br />= sec3x.tanx-3sec5x.dx+3sec3x.dx<br /> sec5x.dx= sec3x.tanx-3sec5x.dx+3sec3x.dx<br />4sec5x.dx= sec3x.tanx+3sec3x.dx <br />4sec5x.dx= sec3x.tanx+3secx.tanx2+ln|secx+tanx|2<br /> sec5x.dx = sec3x.tanx4+3(secx.tanx)8+3(ln|secx+tanx|)8<br />∴ sec3x.tanx4+3(secx.tanx)8+3(ln|secx+tanx|)8<br /> sec7x.dx = sec5x.sec2x.dx<br />Sea: sec5x=u ->du=5sec4x.secx.tanx<br /> dv=sec2x.dx->v=tanx<br />Aplicamos la formula de integración por partes. u.dv=uv-v.du<br /> sec7x.dx=sec5x.tanx-5sec4x.secx.tanx.tanx.dx<br />= sec5x.tanx-5sec5x.tan2x.dx<br />= sec5x.tanx-5sec5x(sec2x-1).dx<br />= sec5x.tanx-5sec7x.dx+5sec5x.dx<br /> sec7x.dx= sec5x.tanx-5sec7x.dx+5sec5x.dx<br />6sec7x.dx= sec5x.tanx+5sec5x.dx<br /> sec7x.dx= sec5x.tanx6+56sec3x.tanx4+3(secx.tanx)8+3(ln|secx+tanx|)8<br /> sec7x.dx= sec5x.tanx6+5sec3x.tanx24+5(secx.tanx)16+5(ln|secx+tanx|)16<br />∴ sec5x.tanx6+5sec3x.tanx24+5(secx.tanx)16+5(ln|secx+tanx|)16<br />Por lo tanto tan4x.sec3x.dx = sec7x.dx-2sec5x.dx+sec3x.dx<br />sec7x.dx= sec5x.tanx6+5sec3x.tanx24+5(secx.tanx)16+5(ln|secx+tanx|)16 …… (α)<br />-2 sec5x.dx = -sec3x.tanx2+-3(secx.tanx)4+-3(ln|secx+tanx|)4 …………… (β)<br />sec3x.dx = secx.tanx2+ln|secx+tanx|2 ………………………………… (θ)<br />Sumando α, β y θ tenemos.<br />tan4x.sec3x.dx = sec5x.tanx6-7sec3x.tanx24+secx.tanx16+ln|secx+tanx|16<br />∴ sec5x.tanx6-7sec3x.tanx24+secx.tanx16+ln|secx+tanx|16+c<br />

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