Your SlideShare is downloading. ×
Numerical integration rom
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

×

Introducing the official SlideShare app

Stunning, full-screen experience for iPhone and Android

Text the download link to your phone

Standard text messaging rates apply

Numerical integration rom

83
views

Published on


0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
83
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. Integrarea numerică CAPITOLUL 501/29/13 1
  • 2. Integrarea numericăDacă funcţia f(x) – continuă pe [a, b]; primitiva acesteia, F(x), este cunoscută,atunci, integrala definită b I = ∫ f ( x ) dx = F( b ) − F( a ) a01/29/13 2
  • 3. Integrarea numericăCând se aplică ? funcţiaf(x) – definită tabelar; determinarea primitivei acesteia, F(x), prin metode analitice, implică un efort de calcul prea mare (se evaluează f(x) pentru câteva argumente, problema revenind la prima situaţie).01/29/13 3
  • 4. Integrarea numerică Cuadratură - calculul numeric al integralelor simple; Cubatură - calculul numeric al integralelor duble.01/29/13 4
  • 5. Integrarea numerică5.1 Formulele de cuadratură Newton-Cotes Se cere calculul integralei definite b I = ∫ f ( x ) dx a01/29/13 5
  • 6. Integrarea numerică5.1 Formulele de cuadratură Newton-Cotes1. Se împarte intervalul [a, b], în n-1 subintervale egale, de lungime b−a h= n −1 cu ajutorul punctelor x i = a + (i − 1)h , i = 1,2,..., n h h h a=x1 x2 x3 xn-1 b=xn01/29/13 6
  • 7. Integrarea numerică5.1 Formulele de cuadratură Newton-Cotes2. Se presupune că sunt cunoscute valorile funcţiei f(x) în nodurile xi, y i = f ( x i ) , i = 1,2,..., n Se aproximează funcţia f(x) prin polinom Lagrange de interpolare. ∏(x − x ) n n j L n −1 ( x ) = ∑ j≠i yi ∏(x − xj) n i =1 i j≠i01/29/13 7
  • 8. Integrarea numerică5.1 Formulele de cuadratură Newton-Cotes reţeaua punctelor de interpolare – ECHIDISTANTĂ se introduce notaţia x − x1 q= h Produsele din expresia polinomului de interpolare Lagrange devin: ∏ ( x − x ) = h ∏ [ q − ( j − 1) ] n n n −1 j j≠i j≠i n ∏ ( x i − x j ) = (−1) n −i h n −1 (i − 1)!(n − i)! j≠i01/29/13 8
  • 9. Integrarea numerică5.1 Formulele de cuadratură Newton-CotesPolinomul de interpolare Lagrange devine: n n ∏ [ q − ( j − 1) ] L n −1 ( x ) = ∑ j≠ i n −i yi i =1 (−1) (i − 1)! (n − i)!01/29/13 9
  • 10. Integrarea numerică5.1 Formulele de cuadratură Newton-Cotes3. Dacă se consideră : b b ∫ f ( x ) dx ≈ ∫ L a a n −1 ( x ) dx Rezultă formula de cuadratură b n ∫ f ( x ) dx ≈ ∑ A y a i =1 i i01/29/13 10
  • 11. Integrarea numerică 5.1 Formulele de cuadratură Newton-Cotes b n ∫ f ( x ) dx ≈ ∑ A y a i =1 i i unde, Schimbare de variabilă x q n n−1 n b ∏[q −( j −1)]dx h ∫ ∏[q −( j −1)]dqAi = ∫ j≠i j≠i n −i = 0 n −i a ( −1) (i −1)! ( n −i)! ( −1) (i −1)! ( n −i)! 01/29/13 11
  • 12. Integrarea numerică5.1 Formulele de cuadratură Newton-CotesPunând aceşti coeficienţi sub formaA i = (b − a )H icu, n−1 n ∫ ∏[q −( j −1)]dq j≠iHi = 0 n −i , i =1,2,..., n (−1) (i −1)! ( n −i)!( n −1)se obţine formula de cuadratură Newton-Cotesb n∫ f ( x ) dx = (b − a )∑ H ya i =1 i i01/29/13 12
  • 13. Integrarea numerică5.1 Formulele de cuadratură Newton-CotesCoeficienţii Hi – coeficienţii CotesProprietăţi 1. n ∑H i =1 i =1 2. H i = H n −i+1ObservaţieSunt independenţi de: funcţia de integrare intervalul de integrare01/29/13 13
  • 14. Integrarea numerică5.2 Formula trapezuluiPrin particularizarea coeficienţilor NC, n −1 n ∫ ∏ [ q − ( j − 1) ]dq 0 j≠ iHi = n −i , i = 1,2,..., n (−1) (i − 1)! (n − i)!(n − 1)pentru n=2, se obţin următoarele valori ale coeficienţilor Cotes: 1 1 1 1 H1 = − ∫ (q − 1)dq = H 2 = ∫ qdq = 0 2 0 201/29/13 14
  • 15. Integrarea numerică5.2 Formula trapezuluiFormula NCb n∫ f ( x ) dx = (b − a )∑ H ya i =1 i i b h ∫ f ( x ) dx = 2 ( y1 + y 2 ) a01/29/13 15
  • 16. Integrarea numerică5.2 Formula trapezuluiFormula NCb n∫ f ( x ) dx = (b − a )∑ H ya i =1 i i b h ∫ f ( x ) dx = 2 ( y1 + y 2 ) aDin punct de vedere practic, formulatrapezului NU prezintă interes ca atare.01/29/13 16
  • 17. Integrarea numerică5.2 Formula trapezuluiPrin generalizareFormulă de cuadraturăde interes practicFormula generalizată a trapezului01/29/13 17
  • 18. Integrarea numerică 5.2 Formula trapezului h h h Procedură a=x1 x2 x3 xn-1 b=xn •Se împarte intervalul [a, b] în n-1 subintervale egale de lungime h=(b-a)/(n-1), prin intermediul a n puncte echidistante x i = a + (i − 1)h, i = 1,2,...n •Se aplică formula trapezului pe fiecare subinterval [xi, xi+1], i=1, ..., n-1. b h h ∫ f (x )dx = 2 ( y1 + y 2 ) + ... + 2 ( y n −1 + y n ) a01/29/13 18
  • 19. Integrarea numerică5.2 Formula trapezului Unde, f(xi)=yi, i=1, 2, ..., n. b  y1 n −1 yn  ∫ f (x )dx = h  2 + ∑ yi + 2  a  i=2 01/29/13 19
  • 20. Integrarea numerică5.2 Formula trapezuluiGeometric, formula implică înlocuirea graficului funcţieif(x) cu o linie poligonală care uneşte punctele (x1, y1), ...,(xi, yi),..., (xn, yn).01/29/13 20
  • 21. Integrarea numerică5.3 Formula lui Simpson •Grad de precizie mai ridicat decât formula trapezului •Rezultă din formulele NC pentru n=3 2 1 1 H1 = H 3 = ∫ (q − 1)(q − 2)dq = 40 6 12 2 H 2 = − ∫ q(q − 2)dq = 20 301/29/13 21
  • 22. Integrarea numerică5.3 Formula lui Simpson y=f(x)Considerând b-a = x3-x1=2h y=L2(x)x3 h ∫ f ( x )dx = 3 ( y1 + 4 y 2 + y3 )x1 Geometric, formula implică înlocuirea curbei y=f(x) cu o parabolă y=L2(x)01/29/13 22
  • 23. Integrarea numerică5.3 Formula lui Simpson Precizia de aproximare poate fi îmbunătăţită prin generalizarea Formulei lui Simpson01/29/13 23
  • 24. Integrarea numerică 5.3 Formula Simpson h h h Procedură a=x1 x2 x3 xn-1 b=xn •Se împarte intervalul [a, b] în n-1 subintervale egale de lungime h=(b-a)/(n-1), prin intermediul a n puncte echidistante, obligatoriu n impar x i = a + (i − 1)h, i = 1,2,...n •Se aplică formula Simpson pe fiecare interval dublu [x1, x3], [x3, x5], ..., [xn-2, xn]. •Se obţine01/29/13 24
  • 25. Integrarea numerică 5.3 Formula Simpsonb h h h∫a f (x)dx = 3 ( y1 + 4y 2 + y 3 ) + 3 (y 3 + 4y 4 + y 5 ) + ... + 3 ( y n − 2 + 4y n −1 + y n ) b h ∫ ydx = 3 ( y1 + 4σ 2 + 2σ1 + y n ) a ( n −3) / 2 ( n −1) / 2 σ1 = ∑ y 2i+1 i =1 σ2 = ∑y 2i i =1 01/29/13 25