Solución de Sistemas de Ecuaciones lineales

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Se presentan diferentes métodos numéricos para determinar la solución aproximada de un sistema de ecuaciones lineales.

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Solución de Sistemas de Ecuaciones lineales

  1. 1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE RECTORADO ACADÉMICO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE ELÉCTRICA ANÁLISIS NUMÉRICO TUTOR: Lic. Domingo Méndez. ESTUDIANTE: TSU Oswaldo Heredia Unidad III . Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
  2. 2. Métodos de Eliminación Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando matrices. Eliminación Gaussiana También llamado Algoritmo de Gauss, propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta ésta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables. Consta de los siguientes pasos: 1. Determinar la primera columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercambiarlo por un renglón que no tenga cero. 3. Obtener ceros abajo del elemento delantero sumando múltiplos adecuados a los renglones debajo de él.
  3. 3. Métodos de Eliminación 5. Comenzando con el último renglón no cero avanzar hacia arriba para que en cada renglón tenga un 1 delantero y arriba de él queden sólo ceros. Para ello debería sumar múltiplos adecuados del renglón a los renglones correspondientes. Ejemplo: 4. Cubrir el renglón y la columna de trabajo y repetir el proceso comenzando en el paso 1. Al término del ciclo entre el paso 1 al 4 (es decir cuando se han barrido todos los renglones), la matriz debería tener forma de escalón.
  4. 4. Métodos de Eliminación
  5. 5. Gauss-Jordan Métodos de Eliminación Consiste en realizar transformaciones elementales en el sistema inicial, destinadas a transformarlo en un sistema diagonal. El número de operaciones de este método, es mayor en un 50% al del método de Gauss. Pasos de este método: 1. Determinar la primera columna (a la izquierda) no cero. 2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercambiarlo por un renglón que no tenga cero. Multiplicar el renglón, y hacerlo 1. Este primer 1 será llamado 1 pivote. 3. Obtener ceros arriba y abajo del 1 pivote sumando múltiplos adecuados a los renglones debajo de renglón pivote en la matriz completa. 4. Cubrir la columna y el renglón de trabajo y repetir el proceso comenzando en el paso 1 con la columna siguiente.
  6. 6. Métodos de Eliminación Ejemplo: Gauss-Jordan
  7. 7. Métodos de Eliminación Gauss-Jordan
  8. 8. Métodos de Eliminación Descomposición LU Se basa en la descomposición de la matriz original de coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U). Esto es: A=LU, siendo L la Matriz Triangular Inferior y U la Matriz Triangular Superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1. PASOS: 1. Descomposición LU: A se factoriza en matrices triangulares inferior L y superior U. 2. Sustitución: L y U se usan para determinar una solución X para un lado derecho b. Primero se genera un vector intermedio Y mediante la sustitución hacia delante. Después el resultado se sustituye en la ecuación para obtener mediante sustitución hacia atrás el valor de X.
  9. 9. Métodos de Eliminación Ejemplo: Descomposición LU
  10. 10. Métodos de Eliminación Descomposición LU
  11. 11. Métodos de Eliminación Factorización De Cholesky Una matriz simétrica definida positiva puede ser descompuesta como el producto de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior. La matriz triangular inferior es el triángulo de Cholesky de la matriz original positiva definida. El resultado de Cholesky ha sido extendido a matrices con entradas complejas. Es una manera de resolver sistemas de ecuaciones matriciales y se deriva de la factorización LU con una pequeña variación. Ejemplo:
  12. 12. Métodos de Eliminación Factorización de QR, Householder La Factorización QR Dada una matriz cuadrada y no singular A de orden n x n, entonces existe una matriz ortogonal Q y una matriz triangular superior R tal que A = QR; esta es llamada la factorización QR de A. Si la matriz A no es cuadrada y de orden m x n con m mayor que n entonces: donde R1 es una matriz triangular inferior de orden n x n y 0 es una matriz de ceros de orden (m-n) x n. Si la matriz A es de orden m x n con m menor que n entonces A = QR = (R1 S); donde S es un matriz de orden (n-m) por m. Existen tres métodos de obtener la factorización QR y uno de ellos es Transformaciones Householder.
  13. 13. Métodos de Eliminación Factorización de QR, Householder Transformaciones Householder y la factorización QR Una matriz de la forma: es llamada una matriz Householder, donde I es la matriz identidad y u es un vector no nulo. Propiedades de la matriz H: a) |Hx|2=|x|2 para todo vector x. Es decir, la matriz Householder no cambia la longitud del vector. b) H es una matriz ortogonal. c) H2= I d) Det(H)=-1.
  14. 14. Métodos de Eliminación Método De Gauss Seidel Este método utiliza valores iniciales y después itera para obtener estimaciones refinadas de la solución. Es un método indirecto, puesto que después de tener la aproximación inicial, se repite el proceso hasta alcanzar la solución con un margen de error tan pequeño como se desee. La fórmula utilizada para hallar los xi viene dada por el despeje de cada una de las xi en cada una de las ecuaciones. Los nuevos valores de xi sustituyen de inmediato a los valores anteriores y los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor xi depende de los valores actualizados de x1, x2, ..., xi-1. La desventaja de este método es que no siempre converge a la solución exacta o algunas veces los hace de manera muy lenta. Únicamente es confiable para aquellos sistemas dominantes diagonalmente. .
  15. 15. Métodos de Eliminación Método De Gauss Seidel Ejemplo:
  16. 16. Métodos de Eliminación Es el método más simple y se aplica sólo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones. PASOS: 1. Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello se ordenan las ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita i. En notación matricial se escribirse como: x = c + Bx donde x es el vector de incógnitas. 2. Se toma una aproximación para las soluciones y a ésta se le designa por xo 3. Se itera en el ciclo que cambia la aproximación xi+1 = c + Bxi Método de Jacobi
  17. 17. Métodos de Eliminación Método de Jacobi Ejemplo: Matriz A: D: matriz diagonal. L: matriz triangular inferior. U: matriz triangular superior.
  18. 18. FIN

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