1) O documento discute cálculo aproximado de integrais numéricas usando interpolação polinomial. 2) Métodos como a regra dos trapézios, regra de Simpson 1/3 e regra de Simpson 3/8 aproximam a integral de uma função através de um polinômio de interpolação. 3) Erros ocorrem na interpolação e integração numérica devido à diferença entre a função real e seu polinômio de aproximação.

1. 109
5- CÁLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS
5.1- INTEGRAÇÃONUMÉRICA
Integrar numericamente uma função y = f(x) num dado intervalo [a, b] é integrar
um polinômio Pn(x) que aproxime f(x) no dado intervalo.
Em particular, se y = f(x) for dada por uma tabela ou, por um conjunto de pares
ordenados (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn))(onde os xi podem ser supostos em ordem
crescente) , x0 = a, xn = b, podemos usar como polinômio de aproximação para a função y =
f(x) no intervalo [a, b] o seu polinômio de interpolação.
Em particular, o polinômio de interpolação para a função y = f(x) no intervalo [a,
b], a = x0, b = xn é um polinômio de aproximação para f(x) em qualquer subintervalo[xi, xj],
0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ n do intervalo [a, b].
Podemos então usar o polinômio Pn(x) para integrar f(x) em qualquer desses
subintervalos.
As vantagens de se integrar um polinômio que aproxima y = f(x) ao invés de f(x)
são principalmente duas:
a) f(x) pode ser uma função de difícil integração ou de integração praticamente
impossível, enquanto que um polinômio é sempre de integração imediata;
b) As vezes a função é dada simplesmente através de uma tabela-conjunto de
pares ordenados obtidos como resultados de experiências. Aí não se conhece a
expressão analítica da função em termos do argumento x.
As fórmulas de integração são de manejo fácil e prático e nos permite, quando a
função f(x) é conhecida, ter uma idéia do erro cometido na integração numérica, como
veremos mais adiante.
Os argumentos xi podem ser ou não igualmente espaçados, mas estudaremos aqui
somente fórmulas de integração para o caso de argumentos xi igualmente espaçados.
5.2– FÓRMULAS DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA PARA ARGUMENTOS XI IGUALMENTE
ESPAÇADOS (FÓRMULAS DE NEWTON-COTES)
Seja y = f(x) uma função cujo valores f(x0), f(x1), ..., f(xn) são conhecidos (por
exemplo por meio de uma tabela).
Seu polinômio de interpolação sobre [x0, xn] se escreve na forma de Lagrange:
Pn(x) = ∑=
n
k
kk xLf
0
)(
Sabemos que: f(x) = Pn(x) + Rn(x), ou que f(x) ≅ Pn(x).
Então:
∫ ∑∫∫∫ =
=≅=
nnn x
x
n
k
kk
x
x
n
x
x
b
a
dxxLfdxxPdxxfdxxf
000
))(()()()(
0
(4.1)

2. 110
Supondo os argumentos xi igualmente espaçados de h e considerando-se
u =
h
xx 0−
(4.2)
temos que
dx = hdu; e quando x = x0 ⇒ u = 0
x = xn ⇒ u = n
Relembrando que, Lk (x) = ∏
≠
= −
−n
ki
k 0 ik
k
)x(x
)x(x
, (4.3)
substituindo-se a (4.2) na (4.3) tem-se:
Lk (x) = λk(u) = ∏
≠
= −
−n
ki
k 0 i)(k
k)(u
(4.4)
ou ainda,
λk(u) = ∏
≠
= −
−n
ki
k 0 i)(k
k)(u
=
)nk)......(1k(k))(1k(k)......(1k)(0k(
)nu)......(1k(u))(1k(u)......(1u)(0u(
−+−−−−−
−+−−−−−
Então, substituindo a (4.4) na (4.1) resulta:
=λ==≅ ∫∑∫∫ ∑∑∫ ===
n
0
k
n
0k
k
x
x
k
x
x
n
0k
k
n
0k
kk
x
x
hdu)u(fdx)x(Lfdx))x(Lf(dx)x(f
n
0
n
0
n
0
du)u(hf
n
0
k
n
0k
k ∫∑ λ=
=
Fazendo-se:
n
k
n
0
k Cdu)u( =λ∫ ; temos:
∑∫ =
≅
n
0k
n
kk
x
x
Cfhdx)x(f
n
0
(4.5)
Trataremos de obter, agora, algumas fórmulas de integração. Mais adiante
analisaremos o termo do resto.

3. 111
5.2.1- 1º Caso: Regra dos Trapézios
Para n = 1; isto é, queremos obter uma fórmula para integrar f(x) entre dois pontos
consecutivos x0 e x1, usando polinômio do primeiro grau.
Temos, em vista de (4.5) que, ∑∫ =
≅
n
0k
n
kk
x
x
Cfhdx)x(f
n
0
:
∑∫ =
≅
1
0k
1
kk
x
x
Cfhdx)x(f
1
0
; onde, de
n
k
n
0
k Cdu)u( =λ∫ ,
2
1
du)u1(du
10
1u
du)u(C
1
0
1
0
1
0
0
1
0 =−=
−
−
=λ= ∫∫∫
2
1
du
01
0u
du)u(C
1
0
1
0
1
1
1 =
−
−
=λ= ∫∫
Portanto
)]x(f)x(f[
2
h
dx)x(f 10
x
x
1
0
+≅∫
Esta fórmula é conhecida como Regra do Trapézio.
Obs.: Se o intervalo [a, b] é pequeno, a aproximação é razoável; mas se [a, b] é
grande, o erro também pode ser grande. Neste caso dividimos o intervalo [a, b] em n
subintervalos de amplitude
n
ab
h
−
= de tal forma que x0 = a e xn = b e em cada
subintervalo [xj, xj+1], j = 0, 1, ..., n–1 aplicamos a Regra do Trapézio.
Assim obtemos:
2
h
dx)x(f
n
0
x
x
≅∫ [f(x0) + f(x1)] +
2
h
[f(x1) + f(x2)] + ... +
2
h
[f(xn–1) + f(xn)] =
=
2
h
[f(x0) + 2(f(x1) + f(x2) + ... + f(xn–1)) + f(xn)]
Esta é a fórmula do Trapézio Generalizada.

4. 112
Exemplo 5.2.1:
Calcular pela regra do Trapézio ∫ +
4
0
dx)x1(nl usando 5 pontos e sabendo-se que:
x 0 1 2 3 4
nl (1 + x) 0 0.693 1.1 1.387 1.61
Temos:
≅+∫
4
0
dx)x1(nl
2
h
[f(x0) + 2(f(x1) + f(x2) + f(x3)) + f(x4)]
=
2
1
[0 + 2(0.693 + 1.1 + 1.387) + 1.61]
=
2
1
[2(3.180) + 1.61] =
2
1
[7.970]
= 3.985.
4.2.2- 2º Caso: Regra 1/3 de Simpson
Para n = 2; isto é, queremos obter uma fórmula para integrar f(x) entre três pontos
consecutivos x0, x1 e x2, usando polinômio de 2º grau.
Temos de (4.5) que:
∑∫
=
≅
2
0k
2
kk
x
x
hCfdx)x(f
2
0
onde
3
1
du)2u3u(
2
1
du
)20)(10(
)2u)(1u(
du)u(C
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0 =+−=
−−
−−
=λ= ∫∫∫
3
4
du)u2u(du
)21)(01(
)2u)(0u(
du)u(C
2
0
2
2
0
2
0
1
2
1 =−−=
−−
−−
=λ= ∫∫∫
e pelo exercício [4.1] temos
3
1
CC 2
0
2
2 == .
Então:
)]x(f
3
1
)x(f
3
4
)x(f
3
1
[hdx)x(f 21
x
x
0
2
0
++≅∫
Esta fórmula é conhecida como Regra
3
1
de Simpson.

5. 113
De maneira análoga à regra do Trapézio, a generalização da regra
3
1
de Simpson
para integração ao longo de um intervalo [a, b], é feita dividindo-se [a, b] num número par
2n (por que?) de subintervalos de amplitude h =
n2
ab −
de tal forma que x0 = a e x2n = b.
Usando a regra
3
1
de Simpson ao longo do intervalo [xj, xj+2], j = 0, 2, ..., 2n–2,
temos:
)]x(f)x(f4)x(f2...)x(f2)x(f4)x(f2)x(f4)x(f[
3
h
dx)x(f n21n22n243210
x
x
n2
0
++++++++≅ −−∫
Esta é a fórmula
3
1
de Simpson Generalizada.
Exemplo 5.2.2:
Calcular ∫
3
2
2
x
dxxe pela regra
3
1
de Simpson, dada a tabela:
x 2 2.25 2.5 2.75 3.0
2
x
e
2.71 3.08 3.49 3.96 4.48
Assim, temos
∫
3
2
2
x
dxxe )]x(f)x(f4)x(f2)x(f4)x(f[
3
h
43210 ++++≅
=
3
25.0
[5.42 + 4(6.93 + 10.89) + 2(8.725) + 13.44]
=
3
25.0
[5.42 + 71.28 + 17.45 + 13.44]
=
3
25.0
[107.59]
= 8.965833
4.2.3- 3º Caso: Regra 3/8 de Simpson
Para n = 3; isto é, queremos obter uma fórmula para integrar f(x) entre 4 pontos
consecutivos x0, x1, x2 e x3, usando polinômio do 3º grau. Temos
∑∫
=
≅
3
0k
3
kk
x
x
hCfdx)x(f
3
0
onde

6. 114
8
3
du)6u11u6u(
6
1
du)u(C
3
0
23
3
0
0
3
0 =−+−−=λ= ∫∫
8
9
du)u6u5u(
2
1
du)u(C
3
0
23
3
0
1
3
1 =+−=λ= ∫∫
Pelo exercício [4.1], temos:
8
3
CC 3
0
3
3 ==
e
8
9
CC 3
1
3
2 ==
Assim
)]x(f))x(f)x(f(3)x(f[h
8
3
dx)x(f 3210
x
x
3
0
+++≅∫
Essa fórmula é conhecida como Regra
8
3
de Simpson.
Para generalizar a regra
8
3
de Simpson devemos dividir o intervalo [a, b] em um
número conveniente de subintervalos, de amplitude h de tal forma que x0 = a e x3n = b.
Usando a regra
8
3
de Simpson ao longo do intervalo [xj, xj+3], j = 0, 3, 6, ..., 3n–3,
obtemos:
)]x(f))x(f)x(f(3)x(f2...
)x(f2))x(f)x(f(3)x(f2))x(f)x(f(3)x(f[h
8
3
dx)x(f
n31n32n33n3
6543210
x
x
n3
0
+++++
+++++++≅
−−−
∫
Esta é a fórmula
8
3
de Simpson Generalizada.
Exemplo 5.2.3:
Calcular ∫ +
6.0
0
x1
dx
pela regra
8
3
de Simpson e h = 0.1.
Solução: Construímos a tabela de f(x) =
x1
1
+
x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
f(x) 1 0.9091 0.8333 0.7692 0.7143 0.6666 0.625

7. 115
Assim, temos
)]x(f))x(f)x(f(3)x(f2))x(f)x(f(3)x(f[h
8
3
x1
dx
6543210
6.0
0
++++++≅
+∫
=
8
)1.0(3
[1 + 3(0.9091 + 0.8333 + 0.7143 + 0.6666) + 2(0.7692) + 0.625]
=
8
3.0
[12.5333] = 0.469999
Obs.: Calcule diretamente ∫ +
6.0
0
x1
dx
e compare os resultados.
As fórmulas vistas são chamadas fórmulas de Newton-Cotes.
5.3 – ERRO NA INTERPOLAÇÃO E NA INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
5.3.1 – Erro na Interpolação
Quando aproximamos a função f por Pn, ou seja, f(x) ≅ Pn(x), existe um erro
cometido na interpolação expresso por Rn(x), assim, é válida a seguinte relação;
f(x) = Pn(x) + Rn(x),
Rn(x) é definido pelo fórmula do Resto de Lagrange, expresso por:
Teorema 5.3.1.1 - fórmula do Resto de Lagrange
Rn(x) =
)!1n(
)xx)(xx)(xx( n10
+
−−−
f(n + 1)
(ξ) ≤
≤
)!1n(
)xx)(xx)(xx( n10
+
−−−
)t(f )1n(
]x,...,x[t
maxn0
+
∈
;
A fórmula dada é válida quando conhecemos a lei de f.
Se não conhecemos esta lei, Rn(x) pode ser estimado por :
Teorema 5.3.1.2 – Lei de f desconhecida
( )( ) ( )n10 xxxxxx −−−≈ L(x)Rn (maxj
| f[x0 ,x1 ,...,xj ]|/((n+1)!) ).
Se os pontos são igualmente espaçados, vale também que:
Teorema 5.3.1.3 – Lei de f desconhecida e pontos igualmente espaçados.
Rn(x) ≤
( )1n4
Mh j
1n
+
+
, onde Mj = maxj
| ∆j
f[x0 ]|.

8. 116
5.3.2 – Erro na Integração Numérica
Integrando-se ambos os lados de f(x) = Pn(x) + Rn(x), obtemos:
∫∫∫ +=
b
a
n
b
a
n
b
a
dx)x(Rdx)x(Pdx)x(f
Seja Tn = ∫
b
a
n dx)x(R , o termo complementar.
Enunciaremos dois teoremas, cujas demonstrações aqui serão omitidas.
Teorema 5.3.2.1 – Se os pontos xj = x0 + jh, j = 0, 1, ..., n dividem [a, b] em um número
ímpar de intervalos iguais e f(x) tem derivada de ordem (n + 1) contínua em [a, b], então a
expressão do erro para as fórmulas de Newton-Cotes com n ímpar é dada por:
Tn = ∫ −−
+
ξ++ n
0
)1n(2n
du)nu)...(1u(u
)!1n(
)(fh
para algum ponto ξ ∈ [a, b].
Teorema 5.3.2.2 – Se os pontos xj = x0 + jh, j = 0, 1, ..., n dividem [a, b] em um número
par de intervalos iguais e f(x) tem derivada de ordem (n + 2) contínua em [a, b], então a
expressão do erro para as fórmulas de Newton-Cotes com n par é dada por:
Tn = ∫ −−−
+
ξ++ n
0
)2n(3n
du)nu)...(1u(u)
2
n
u(u
)!2n(
)(fh
para algum ponto ξ ∈ [a, b].
Exemplo 5.3.1:
Determinar o menor número de intervalos em que podemos dividir [1, 2] para
obter ∫
2
1
dx)x(nl pela regra do Trapézio com erro ≤ 10–4
.
Solução: T1 ≤ )t´´(fmax
12
nh
2t1
3
≤≤
Temos que
f(t) = nl t, f´(t) =
t
1
, f´´(t) =
2
t
1
−
∴ 1)t´´(fmax
2t1
=
≤≤
∴ T1 ≤ 4
3
101
12
nh −
≤
Mas h =
n
ab −
⇒ h =
n
12−
⇒ h =
n
1

9. 117
∴ n
4
3
10
12n
1 −
≤
∴ 4
2
10
n12
1 −
≤
⇒ n2
≥
12
104
⇒ n2
= 834
∴ nmin = 29
Assim devemos dividir o intervalo [1, 2] em 29 subintervalos iguais para obter
∫
2
1
dx)x(nl pela regra do trapézio com erro ≤ 10–4
.
5.4- Exercícios:
5.4.1) Provar que:
n
kn
n
k CC −=
(Sugestão: Faça a mudança de variável: u = n – v em n
kC )
5.4.2) Determine h de modo que a regra do trapézio forneça o valor de
I = ∫
−
1
0
x
dxe
2
, com erro inferior a 0.5
6
10−
× .
5.4.3) Achar o número mínimo de intervalos que se pode usar para, utilizando a regra
3
1
de
Simpson, obter ∫
π
−
2
0
x
xdxcose com erro inferior a 10–3
.
5.4.4) Nos exercícios [4.2] e [4.3], resolva as integrais numericamente pelas regras
citadas de modo a satisfazer os limites de erros impostos.
5.4.5) Calcular ∫
3
2
2
x
dxxe pela regra
8
3
de Simpson, sobre 07 pontos e dar um limitante
para o erro cometido.