Integral
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×
 

Integral

on

  • 4,001 views

 

Statistics

Views

Total Views
4,001
Views on SlideShare
3,162
Embed Views
839

Actions

Likes
2
Downloads
207
Comments
1

1 Embed 839

http://www.cnslearning.net 839

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Microsoft PowerPoint

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
  • yahoo
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

Integral Integral Presentation Transcript

  • by:HERI CAHYONO(08411.145)www.cnslearning.net
  • X Apabila terdapat fungsi F x yang dapat didefinisikan pada integral. sedemikian hingga dF x F x f x dx Sifat-Sifat Umum Integral Tertentu maka anti turunan dari F x adalah Rumus-Rumus Pengintegralan Tak Tentu Pengintegralan Fungsi Trigonometri Tentu Fungsi Trigonometri dg Peubah Sudut(ax+b F x C dengan konstanta sembarang. Sifat Fungsi Trigonometri Integral Substitusi Contoh soal Integral Parsial 3 Tentukan integral dari fungsi f x 4x Luas Daerah Dibawah Kurva Luas daerah yg dibatasi kurva y=f(x), Sumbu x, garis x=a dan x=b Jawab Luas Daerah Antar 2 Kurva Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu x 4Jika fungsi f x x diturunkan , maka F x f x 4 xV3olume Benda Putar Mengelilingi Sumbu y Volume Benda Putar Suatu Daerah Antara 2 Kurva MENU
  • Sifat-Sifat Umum Integral Tertentu b b b f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx a a a b b b f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx a a a c b b f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx, a c a untuk a<c<b CONTOH
  • Contoh:Hitunglah nilai dari integal-integral tentuberikut ini 3 3 1 2 1 2 1 2 9 x dx x (3) (0) 0 2 0 2 2 2 3 3 1 2 ( x 2)dx x 2x 2 2 2 1 2 1 (3) 2(3) ( 2) 2 2(2) 2 2 9 4 1 6 4 2 2 2
  • Rumus-Rumus Pengintegralan Tak Tentu dx x c adx ax c f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx n 1 x dx xn 1 c, dengan n bilangan rasional dan n 1 n 1 a n ax n dx x 1 c, dengan n bilangan rasional dan n 1 n 1
  • Pengintegralan Fungsi Trigonometri Tentu cos xdx sin x c sin xdx cos x c sec2 xdx tan x c tan x. sec xdx sec x c cot x. cosecxdx cosecx c cosec 2 xdx cot x c
  • Fungsi Trigonometri dengan Peubah Sudut (ax+b) 1 cos(ax b)dx sin(ax b) c a 1 sin x(ax b)dx cos(ax b c) a 2 1 sec (ax b)dx tan(ax b) c a
  • Seperti pada integral fungsi aljabar, padafungsi integral trigonometri juga berlaku sifat: k f ( x) dx k f ( x) dx [ f ( x) g ( x)] dx f ( x)dx g ( x)dx CONTOH
  • Contoh: 1 cos 2 x dx sin 2 x c 2 2 2 x sin x dx x dx sin x dx 1 3 x cos x c 3 2 2 2 sec x dx 2 sec dx 2 tan x c
  • Integral Substitusi du1. Diubah ke dalam bentuk f u dx dx2. Yang memuat bentuk a2 x2 , a2 x2 , x2 a2 bentuk a2 x 2 dx disubstitusikan dengan x=a sin Ѳ bentuk a2 x 2 dx disubstitusikan dengan x= a tan Ѳ bentuk x 2 a 2 dx disubstitusikan dengan x= a sec Ѳ CONTOH
  • 1. Tentukn integral dariJawabMisal u = 2x+5Maka atauSubtitusi u = 2x+5 dan , maka dapat diubah menjadi = = =
  • 2. Carilah hasil integral dariJawab: SehinggaMisalkan x = 2 sin t x = 0 → 2 sin t = 0 → t = 0 = =2 x = 2 → 2 sin t = 2 → t = x = 2 sin t → dx = 2 cos t 2 dt =2 = = 2 = =2 = 2 = = 2 cos t
  • Integral ParsialIntegral Parsial digunakan apabila soal Integral tidak dapatdiselesaikan dengan Integral Substitusi.Jika y = u . v , maka: dy = v du + u dv Jadi,Rumus Integral Parsial u dv = dy – v du CONTOH
  • Tentukan hasil dari sinx dxJawab:sin x dxmisal: u = x → du = dx dv = sin x dx → v = -cos x dv = u . v - dusin x dx = x (-cos x) - dx = -x cos x + dx = -x cos x + sin x + c
  • Penggunaan Integral TentuA. LUAS DERAH b L f ( x) dx a1. Luas daerah dibawah kurvaMenghitung luas daerah dibawah kurvaRumus teorema dasar integral b b f ( x)dx f ( x) f (b) f (a) a a bNotasi kurung siku) a f (xBentuk f(b)-f(a) dapat ditulis dengan notasi khusus CONTOH
  • 2. Luas daerah yang dibatasi kurva y=f(x), sumbu x dan garis-garis x=a dan x=b dapat ditentukan oleh integral tertentu . b b f ( x)dx f ( x) f (b) f (a) a a -a dan b masing-masing disebut batas bawah dan batas atas pengintegralan -interval (a,b) disebut wilayah pengintegralan CONTOH
  • 3. Luas daerah antara 2 kurva b L1 f ( x) dx a b L2 g ( x) dx aSehingga luas daerah yang dibatsi oleh kurvay=f(x), kurva y=g(x) garis x=a dan garis x=bditentukan dengan rumus: b f ( x) g ( x) dx a CONTOH
  • B. Volum benda putar1. Volum benda putar mengelilingi sumbu xJika daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x),sumbu x dan garis-garis x=a dan x=b diputarsejauh 360 mengelilingi sumbu x, maka volumatau isi benda putar yang terjadi dapatditentukan.Dengan rumus:b b 2 2 y dx f ( x) dx a a CONTOH
  • 2. Volum benda putar mengililingi sumbu y Jika daerah yang dibatasi oleh kurva x=g(y), sumbu y dan garis-garis y=c dan y=d diputar sejauh 360 mengelilingi sumbu y, maka volum atau isi benda putar yang terjadi dapat ditentukan. Dengan rumus: 2 d d 2 x dy g ( y ) dy c c CONTOH
  • 3. Volum benda putar suatu daerahantara 2 kurva 1. Diputar mengelilingi sumbu x Rumus yang dipakai adalah b b 2 2 2 2 f ( x) g ( x) dx ( y1 y2 )dx a a
  • 2. Diputar mengelilingi sumbu y Rumus yang digunakan adalah d d 2 2 2 2 f ( y) g ( y) dy ( x1 x2 )dy c c CONTOH
  • Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y x 2 6 x dan sumbu x!Jawab:Batas belum diketahui, dicari dengan: y x 2 6 x, y 0 x2 6x 0 x ( x 6) 0 6 0 x 0 x 6 L x 2 6 x dx atau L x 2 6 x dx 0 6 6 L x 2 6 x dx 0 3 6 x 6 2 63 6 2 x .6 0 36satuan luas 3 2 0 3 2
  • Carilah luas daerah antara y 2x x2 dengan sumbu x!Jawab:Batas belum diketahui, maka dicari dengan:y 2 x x 2 dan y 00 2x x20 x(2 x)x 0 x 2 2 2 1 3 L 2 x x 2 dx x2 x 0 3 0 2 1 3 2 1 3 1 2 .2 0 .0 1 satuan luas 3 3 3
  • Carilah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x2 x dan y 5 x x 2 !Jawab: y yBatas: x2 x 5x x 2 2x2 6x 0 x 0 x 3 Untuk menggambar: 3 3 >> y x2 x L 5x x2 x2 x dx 6x 2 x 2 dx 0 x2 x 0 0 0 x( x 1) 3 3 6 2 2 3 2 3 x 0 x 1 x x 3x 2 x 2 3 0 3 0 >> y 5x x 2 2 3 2 3 0 5x x 2 3.32 .3 3.0 2 .0 3 3 0 x(5 x) 9 0 9 satuan luas x 0 x 5
  • Tentukan isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y 2x x2Dan sumbu x, diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360°!Jawab: b 2 2 2 2V y dx 2x x dx a 0 2 2 2 3 4 4 3 4 4 1 5 4x 4x x dx x x x 0 3 4 5 0 4 3 4 4 1 5 4 3 4 4 1 5 2 2 2 0 0 0 3 4 5 3 4 5 16 16 0 satuan volume 15 15
  • Daerah yang dibatasi ole y=3x, y=1, y=2, dan sumbu y, diputar mengelilingi sumbu y.Tentukan volume benda yang terjadi!Jawab: y 3x y x 3 2 V x 2 dy 1 2 2 2 2 y y2 dy dy y 2 dy 1 3 1 9 9 1 2 3 1 3 1 3 1 3 8 1 . y .2 .1 9 3 1 9 3 3 9 3 3 7 satuan volume 27
  • Hitunglah volume benda yang terjadi jika daerah dua kurva y x2 , y x 2diputar mengelilingi sumbu x!Jawab: 2 2 V x 2 x 2 2 dx 1 2 x 2 4 x 4 x 4 dx 1 2 1 3 1 x 2 x 2 4 x x5 3 5 1 1 3 32 1 1 2 2.4 4.2 2 4 3 5 3 5 2 14 satuan volume 5
  • TERIMA KASIH