B. 4. deret aritmetika

  • 11,792 views
Uploaded on

deret aritmetika

deret aritmetika

More in: Education
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
No Downloads

Views

Total Views
11,792
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3

Actions

Shares
Downloads
120
Comments
1
Likes
1

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. Recreated by Heri Sudiana & Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/ B. 4. DERET ARITMETIKA Pada bagian sebelumnya tentang deret telah disebutkan bahwa penjumlahan beruntun suku-suku suatu barisan dinamakan sebagai deret. Jika suku-suku itu adalah suku-suku barisan aritmetika, maka deret yang terbentuk disebut sebagai deret aritmetika. Sebagai contoh : Dari barisan aritmetika : 1, 3, 5, 7, . . , 99 dapat dibentuk deret aritmetika, yaitu : 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + . . . + 99. Dari barisan aritmetika : 2, 4, 6, 8, 10, . . . 2n dapat dibentuk deret aritmetika, yaitu : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + . . . + 2n. Dengan demikian deret aritmetika dapat didefinisikan sebagai berikut : Oleh karena deret merupakan penjumlahan suku-suku, tentu saja jumlah dari suku-suku deret mempunyai nilai tertentu. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dilambangkan dengan Sn, dan rumus Sn ditentukan oleh : nnnn UUUUUUS ++++++= −− 12321 ... Substitusi U1 = a, U2 = a + b, U3 = a + 2b, . . . Un-2 = Un – 2b, dan Un-1 = Un –b , diperoleh : ( ) ( ) ( ) ( ) nnnn UbUbUbabaaS +−+−++++++= 2...2 ……………..(1) Jika urutan suku-suku pada persamaan (1) dibalik, maka diperoleh : ( ) ( ) ( ) ( ) abababUbUUS nnnn ++++++−+−+= 2...2 …………………………(2) Jumlahkan persamaan (1) dan persamaan (2), sehingga menjadi : ( ) ( ) ( ) ( ) nnnn UbUbUbabaaS +−+−++++++= 2...2 ( ) ( ) ( ) ( ) abababUbUUS nnnn ++++++−+−+= 2...2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnnnnn UaUaUaUaUaUaS ++++++++++++= ...2 ( ) ( )nn nn Ua n S UanS += += 2 2 Jika U1, U2, U3, . . . Un, merupakan suku-suku barisan aritmetika, maka U1 + U2 + U3 + . . . Un dinamakan sebagai deret aritmetika. + Penjumlahan n suku dengan masing-masing sukunya (a + Un)
  • 2. Recreated by Heri Sudiana & Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/ Rumus : Jumlah n suku pertama deret aritmetika. Contoh Soal 1 Diketahui deret aritmetika : 3 + 7 + 11 + 15 + . . . a. Tentukan rumus umum suku ke-n pada deret aritmetika tersebut b. Tentukan rumus umum jumlah n suku pertamanya c. Hitunglah jumlah 30 suku pertama Jawab : a. Barisan aritmetika yang bersesuaian dengan deret tersebut adalah 3, 7, 11, 15, . . dengan suku pertama, a = 3, dan beda, b = 4 Rumus umum suku ke-n : ( )bnaUn 1−+= ( )413 −+= nUn 14 −= nUn Jadi, rumus umum suku ke-n adalah : 14 −= nUn b. Rumus umum jumlah n suku pertama ( )nn Ua n S += 2 , dengan menggunakan jawaban bagian a), diperoleh ( )143 2 −+= n n Sn nnSn += 2 2 Jadi rumus umum jumlah n suku peratama adalah : nnSn += 2 2 Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika nnn UUUUUU ++++++ −− 12`321 ... Ditentukan dengan menggunakan hubungan : ( )nn Ua n S += 2 , Dengan n = banyaknya suku, a = suku pertama dan Un = suku ke-n
  • 3. Recreated by Heri Sudiana & Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/ c. Jumlah 30 suku pertama nnSn += 2 2 30)30.(2 2 30 +=S 830.130 =S Jadi, jumlah 30 suku pertama adalah 1.830 Contoh Soal 2 Tentukan nilai deret dari 3 + 10 + 17 + . . . + 262 Jawab : Dari deret 3 + 10 + 17 + . . . + 262, dapat diketahui suku peratama, a = 3, beda tiap suku, b = 7 dan suku terakhir Un = 262. Untuk menentukan jumlah semua sukunya, terlebih dahulu mencari banyaknya suku dengan cara sebagai berikut : ( ) 38 47262 7)1(3262 1 = −= −+= −+= n n n bnaUn Untuk menentukan jumlah 38 suku pertamanya dapat menggunakan cara : Cara I : Cara II ( )( ) ( )( ) ( ) 5035 2596.19 7.1383.2 2 38 12 2 38 38 38 = += −+= −+= S S S bna n S n ( ) ( ) 503538 38 38 )265.(19 2623 2 38 2 = = += += S S S Ua n S nn
  • 4. Recreated by Heri Sudiana & Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/ Contoh Soal 3 Tentukan jumlah semua bilangan antara 40 sampai 350 yang habis dibagi 6 : Jawab : Kita cari dulu bilangan setelah 40 yang habis dibagi 6, yaitu : Kita bagi 40 dengan 6 menghasilkan 6,67 (tidak habis dibagi 6). Jadi bilangan setelah 40 yang habis dibagi 6 adalah 6 x 7 = 42, setelah itu adalah 6 x 8 = 48 dan seterusnya. Kemudian kita bagi 350 dengan 6 menghasilkan 58,33 (tidak habis dibagi 6). Jadi bilangan sebelum 350 yang habis dibagi 6 adalah 6 x 58 = 348. Sehingga akan terbentuk deret aritmetika yaitu : 42 + 48 + 54 + . . . 348. Dari deret tersebut dapat diketahui suku pertama, a= 42, beda tiap suku, b = 6 dan suku terakhir, Un = 348. Untuk menentukan jumlah semua sukunya harus ditentukan dulu banyaknya suku dengan cara sebagai berikut : 52 366348 6).1(42348 )1( = += −+= −+= n n n bnaUn Jadi, jumlah 52 suku pertamanya adalah sebagai berikut : ( ) ( ) 0140.1 )390.(26 34842 2 52 2 52 52 52 = = += += S S S Ua n S nn Contoh Soal 4 Produksi barang suatu pabrik bertambah setiap minggu dengan jumlah yang sama. Bila jumlah produksi sampai minggu ke-6 adalah 1425 unit dan jumlah produksi sampai minggu ke-10 adalah 2875. Tentukan jumlah produksi sampai minggu ke-52.
  • 5. Recreated by Heri Sudiana & Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/ Jawab : Jumlah produksi sampai minggu ke-6 adalah S6 dan jumlah produksi sampai minggu ke-10 adalah S10. ( )( ) ( )( ) ( ) ba ba baS bna n Sn 52475 5231425 162 2 6 12 2 6 += += −+= −+= 2a + 5b = 475………………….(1) 2a + 9b = 575 ………………(2) Dengan metode eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh a = 175 dan b = 25. Jumlah produksi sampai minggu ke-52 adalah ( ) ( )( ) 250.42 )1275350(26 25.`152175.2 2 52 )1(2 2 52 52 52 = += −+= −+= S S S bna n Sn Contoh Soal 5 Tutik meminjam uang di koperasi karyawan sebesar Rp. 5.000.000,- dan akan dibayar setiap bulan dengan pembayaran yang sama sebesar Rp. 500.000,- (tiap bulannya). Jika koperasi membebankan bunga sebesar 2 % dari sisa pinjaman. Tentukan jumlah total bunga yang dibayarkan Tuti. Jawab : Pinjaman sebesar Rp. 5.000.000,- akan diayar setiap bulan dengan jumlah yang sama sebesar Rp. 500.000,-. Dengan demikian Tutik akan mencicil selama 10 bulan, dengan besarnya masing-masing bunga sebagai berikut : Bulan ke-1, bunga = 2% x Rp. 5.000.000,- = Rp. 100.000,- Bulan ke-2, bunga = 2% x Rp. 4.500.000,- = Rp. 90.000,- Bulan ke-3, bunga = 2% x Rp. 4.000.000,- = Rp. 80.000,- dan seterusnya, ternyata suku pertama, a = 100.000,- dan bedanya, b = - 10.000. Maka jumlah semua bunganya adalah : ( )( ) ( )( ) ba ba baS bna n Sn 92575 )92(52875 1102 2 10 12 2 10 += += −+= −+=
  • 6. Recreated by Heri Sudiana & Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/ ( )( ) ( )( )[ ] 000.550. )000.90000.200(5 000.10.110000.100.2 2 10 12 2 10 10 10 RpS S S bna n Sn = −= −−+= −+= Contoh Soal 6 Tentukan nilai dari : ( )∑= − 50 6 3100 n n Jawab : Sesuai definisi notasi sigma bahwa : ( )∑= − 50 6 3100 n n = (100 – 3.6) + (100 – 3.7) + (100 – 3.8) + . . . (100 – 3.50) = 82 +79 + 76 + . . . (-50) Banyaknya suku (n) = 50 – 6 +1 =45, sesuai dengan deret aritmetika, maka jumlahnya adalah ( ) ( ) 720 )32.(5,22 )50(82 2 45 2 45 45 45 = = −+= += S S S Ua n S nn Contoh Soal 7 Nyatakan dalam bentuk notasi sigma dengan batas bawah 1 dari penjumlahan berikut : 2 + 5 + 8 + 11 + . . . + 233 Jawab : Deret di atas merupakan deret aritmetika dengan suku pertama, a = 5, beda tiap suku, b = 3 suku suku terakhir 233. Kita tentukan dulu banyaknya suku dari deret tersebut dengan cara sebagai berikut : ( ) 78 13233 3).1(2233 1 = −= −+= −+= n n n bnaUn Jadi, notasi sigmanya adalah ( )∑= − 78 1 13 n n