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La integral definida

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Henry Bottaro
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  • 1. Matemática II - 2012/02 - Domingo Mendez SLIDESHARE DE LA UNIDAD ILA INTEGRAL DEFINIDANotación SigmaCuando se habla del Cálculo como rama de las matemáticas, se mencionan varios de losproblemas que dieron lugar a su origen y desarrollo. Uno de ellos es el problema del área de unaregión plana. La notación sigma Σ (debe su nombre a la letra griega con la que se representa) paraexpresar estos sumatorios, Es aquella que se representa con la letra griega que implicasumatoria en la parte superior, y en la parte inferior están sus índices que especifican el tamañodonde el se encuentra. Siempre el límite superior va a ser mayor que el inferior y su utilidadpráctica es para calcular áreas limitadas por curvas planas.Suma Superior e InferiorLa expresión Y = F(x)= X2 + 1 es el area que se calcula utilizando una sumatoria en la que alaumentar mas veces “n” nos acercamos mas al area buscada.Y = F(1)= 12 + 1 =1 ; [a, b]Y = F(2)= 22 + 1 =5 ; [a, b]La Integral definida y sus propiedades:Hasta ahora se ha dividido el intervalo [a,b] en subintervalos de la misma longitud, pero enrealidad ésto no es necesario. Riemann generalizó todo el estudio que se ha hecho hasta ahorapara subintervalos de distinto tamaño. Además, me he referido hasta ahora a funciones continuasy no negativas (puesto que estába hablando de área bajo una curva). En este aspecto tambiénRiemann generalizó sus conclusiones y la única condición que puso es que la función f(x) estuviesedefinida en [a,b]. Como se vera después, el hecho de que una función sea continua en unintervalo, es condición suficiente para que sea integrable en dicho intervalo. Antes de Riemann ya se utilizaban las integrales definidas, pero este gran matemático generalizósu definición y lo amplió a un mayor nº de funciones.Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre lagráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.Henry Bottaro Slideshare de la Unidad IC.I. 16.557.635
  • 2. Matemática II - 2012/02 - Domingo MendezLa integral definida se representa por .∫ es el signo de integración.a límite inferior de la integración.b límite superior de la integración.f(x) es el integrando o función a integrar.dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites deintegración.2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone comouna suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por laintegral de la función.Henry Bottaro Slideshare de la Unidad IC.I. 16.557.635
  • 3. Matemática II - 2012/02 - Domingo MendezEl teorema de valor medio, también llamado teorema de los incrementos finitos o teorema deBonnet-Lagrange es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunosmatemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo. Este teorema loformuló Lagrange y por eso tambien el conocido como el teorema de Lagrange, es unageneralización del teorema de Rolle.Sea f(x) una función que satisface lo siguiente:1. f(x) es una función continua en el intevalo [a,b]2. f(x) es una funcion diferenciable en [a,b]entonces hay un número "c" en el intervalo [a,b] tal queTEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULOSea una función integrable y definamos por para todo x en [a,b]. Entonces:i) F es continua en [a,b].ii) En todo punto c de [a,b] en el que f sea continua se verifica que F es derivable en dicho puntosiendo. En particular, si f es continua en [a,b], entonces F es derivable en [a,b] y para todo x en[a,b].Demostración.i) Como f es integrable debe estar acotada. Sea tal que para todo x en [a,b]. Entonces, si x < y sonpuntos de [a,b] tenemos que:Por la misma razón, si suponemos que y < x, tendremos que, estas dos desigualdades nos dicenque para todo par de puntos x, y de [a, b]. De esta desigualdad se sigue inmediatamente lacontinuidad de F en [a, b].ii) PongamosDado, e>0, la continuidad de f en c nos dice que hay un δ>0 tal que para todo t ε [a,b] tal que setiene que . Tomemos ahora un punto cualquiera x ε [a,b] tal que entonces es claro que para todo tcomprendido entre x y c se tendrá que y, por tanto, por lo que deducimos que para todo x ε [a,b]tal que , x ¹ c, se verifica que:Henry Bottaro Slideshare de la Unidad IC.I. 16.557.635
  • 4. Matemática II - 2012/02 - Domingo MendezSe ha probado así que, esto es, F es derivable en c y .SUSTITUCIÓN Y CAMBIO DE VARIABLEEl método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la funcióncompuesta.Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variablet, de modo que se obtenga una integral más sencilla.Pasos para integrar por cambio de variable1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:3º Se vuelve a la variable inical:Henry Bottaro Slideshare de la Unidad IC.I. 16.557.635

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